在本文中，我们假设有m（>1）种不同的货币可以在外汇市场上交易。按∧：={1，…，m}设置（有序）货币列表，按∧：={1，…，N}设置交易日期每对（i，j）∈ ∧×∧当i<j时，我们使用\'s（k）ij表示投资者在k日通过（本币）i购买外币j的汇率∈ Λ; 对于i>j，s（k）ij代表投资者在k日卖出外币j以获得本币i的货币汇率∈ Λ.o 请注意，每对m种不同货币都有相应的货币汇率（实际上，总对数为m和m-1） 不同的配对）。因此，日期k和相邻日期k+1的货币汇率可以由两个平方矩阵构成，分别用S（k）和S（k+1）表示，如下所示（k）=s（k）～s（k）··········································。。。。。。。。。。。。s（k）m1s（k）m2···s（k）mm（2.1）andS（k+1）=s（k+1）～s（k+1）······（k+1）1ms（k+1）s（k+1）····（k+1）2m。。。。。。。。。。。。s（k+1）m1s（k+1）m2···s（k+1）mm. （2.2）o对于方阵，主对角线上方的条目称为上三角部分，主对角线下方的条目称为下三角部分。（2.1）和（2.2）中分别定义的S（k）和S（k+1）的上三角部分和下三角部分分别是卖出和买入外币的银行报价对于j=i，s（.）Ij是指货币i在k日对其自身的汇率∈ Λ. 为简单起见，我们设置s（.）ij=1。o从银行的角度来看，假设ij>s（.）ij>0。因此，s（.）之间存在agapIJ和s（.）ijso存在ε>0满足's（.）ij公司-s（.）ij=2ε。

观察参数ε将根据现货市场的交易金额进行更改根据外汇市场机制（如图（2）），当进行外汇交易时，投资者在k日买入（或卖出）外汇，然后在k+1日卖出（或买入）外汇。然后，我们有以下两个矩阵，供投资者在不同时间进行货币交易。S（k）（k+1）=s（k）～s（k）···········································。。。。。。。。。。。。s（k+1）m1s（k+1）m2···s（k）mm,andS（k+1）（k）=s（k+1）～s（k+1）······（k+1）1ms（k）s（k）·····（k+1）2m。。。。。。。。。。。。s（k）m1s（k）m2···s（k）mm,其中，S（k）（k+1）（分别S（k+1）（k））的下三角部分是投资者在k（分别k+1）日出售（分别购买）外币的汇率，S（k）（k+1）（分别S（k+1）（k））的上三角部分是投资者在k+1（分别k）日购买外币的汇率假设投资者持有本国货币i，其中总价值为Xi。在k日，投资者通过本币i购买外币j，其价值等于Xi（k）ij，那么我们的外币价值为Xj（=Xi（k）ij）。在dayk+1时，投资者出售外币XJT以获得本币Xi接下来，让我们定义两个外汇选项^′s（k+1）ij和^s（k+1）ij，分别用于k+1日的货币汇率，由^′s（k+1）ij=（s（k+1）ij，s（k+1）ij>s（k）ij 0，其他（2.3）s（k+1）ij=（s（k+1）ij，’s（k+1）ij>s（k）ij 0，其他（2.4），即如果不可盈利，则不对投资者进行投资。o对于k日市场上的（i，j）TH货币对，k日和k+1日的回报率可分别表示为“r（k）ij，r（k）ij和”r（k+1）ij，r（k+1）ij。

设s（ko）ij和s（ko）ij为k日的期初汇率，并用s（kc）ij和s（kc）ij表示（i，j）TH货币对的收盘汇率，则我们有以下r（k）ij=\'s（ko）ijs（kc）ij，\'s（ko）ij>s（kc）ij 0，其他；r（k+1）ij=\'s（ko）ijs（k+1）cij，\'s（ko）ij>s（k+1）cij0，其他（2.5）和r（k）ij=s（ko）ij's（kc）ij，s（ko）ij>'s（kc）ij0，其他；r（k+1）ij=s（ko）ij's（k+1）cij，s（ko）ij>'s（k+1）cij0，其他。（2.6）o在交易日k和k+1，m货币兑换交易的回报矩阵R（k）和R（k+1）分别由R（k）定义=r（k）–r（k）·····r（k）1mr（k）r（k）·····r（k）2m。。。。。。。。。。。。r（k）m1r（k）m2···r（k）mm（2.7）andR（k+1）=r（k）(R)r（k+1）···'r（k+1）1mr（k+1）r（k）···'r（k+1）2m。。。。。。。。。。。。r（k+1）m1r（k+1）m2···r（k+1）mm. （2.8）请注意，r（.）ij6=0，每当r（.）ji=0，且相互为r（.）ij6=0，无论何时ji=0。此外，r（.）对于i=j，ji=0。在文献中，回报矩阵R（k）也被称为相对价格，例如参见[1]。o对于m种不同货币的每一对（i，j），让ψ（k）ij表示投资者在k日持有的全部资本的比例，以通过本币i购买外币j。然后，kc日m种不同货币的投资组合矩阵ψ（k）可以表示为ψ（k）=ψ（k）ψ（k）··ψ（k）1mψ（k）ψ（k）··ψ（k）2m。。。。。。。。。。。。ψ（k）m1ψ（k）m2···ψ（k）mm. （2.9）注意，对于i，j∈ ∧，ψ（k）ij≥ 0，ψ（k）ii=0，Pmi，j=1ψ（k）ij=1。

在下面的内容中，让P（k）是k日m种不同货币的所有投资组合矩阵的集合，即P（k）：=nψ（k）∈ Rm Rm：Xi，j∈∧ψ（k）ij=1，ψ（k）ij>0，ψ（k）ii=0，i，j∈ ∧o，其中Rm rm表示m×m矩阵的总和对于A=（aij）m×m，B=（bij）m×m∈ Rm Rm，我们通过以下方式定义产品 B：=（cij）m×m∈ Rm Rm，（2.10），其中cij：=aijbij.o返回矩阵ψ（k） 投资组合矩阵ψ（k）的R（k）由ψ（k）给出 R（k）=0ψ（k）’r（k）···ψ（k）1m’r（k）1mψ（k）r（k）0···ψ（k）2m’r（k）2m。。。。。。。。。。。。ψ（k）m1r（k）m1ψ（k）m2r（k）m2···0根据（2.10）。o设Fkbe为投资者在k日结束时持有的资本，TKT为k日收取的交易成本。我们假设k日结束时的资本与k+1日的行将相同。当考虑交易成本时，让FK为k日的总资金。显然，Fk=Fk-1.- Tk，k>1。（2.11）o设置ψ（k） R（k）：=1 1 ··· 1（1×m）ψ（k） R（k）...（m×1）。因此，可以明显看到标量值ψ（k） R（k）=mXi，j=1ψ（k）ij\'\'r（k）ij+r（k）ij（2.12）并且，通过考虑交易成本，我们得到Fk=Fk（ψ（k） R（k））。（2.13）2.3在线投资组合策略由于货币汇率的高波动性，投资者倾向于频繁调整投资策略。

值得指出的是，优化投资组合矩阵的有效策略之一是利用历史数据进行在线投资组合选择。更准确地说，在线投资组合策略由ψ（k+1）=f给出{ψ（1），…，ψ（k）}，{R（1），…，R（k）},式中f：（Rm） Rm）2k→ P（k+1）带（Rm Rm）2k：=Rm Rm···×Rm Rm |{z}2k。很明显，在线投资组合策略ψ（k+1）取决于第（k+1）个交易日之前的投资组合矩阵和回报矩阵在不考虑交易成本的情况下，投资期间（即N天）的总资本将增加至{ψ（·）}，{R（·）}:=NYk=1ψ（k） R（k）, （2.14）式中ψ（k） R（k）在（2.12）中给出。此处，IN{ψ（·）}，{R（·）}指不含交易成本的最终收益。有了（2.14），没有交易成本的基金的指数增长率用in（{ψ（·）}，{R（·）}）表示：=NNXk=1logψ（k） R（k）. （2.15）oLet（ck）k∈∧c=0时，为k日（即Tk）的交易成本与k日（即Fk）开始时的基金持有量之比-1） 换句话说，c=0；ck=TkFk-1=Fk-1.- FkFk-1，k≥ 2，（2.16），其中cks的第二个标识是由于（2.11），而k的Fk>0≥ 1.o在存在交易成本的情况下，投资期间的总投资回报将达到toFN（{ψ（·）}，{R（·）}）=NYk=1ψ（k） R（k）（1）- ck），（2.17），其中ck的定义如（2.16）所示。在（2.17）中，FN（{ψ（·）}，{R（·）}）被命名为交易成本回报。利用（2.17），我们建立了交易成本为asRN（{ψ（·）}，{R（·）}：=NNXk=1log的基金指数增长率ψ（k） R（k）+NNXk=1log（1- ck）。

（2.18）2.4交易成本根据自我融资策略，投资者将对交易日k结束时持有的所有基金进行再投资- 1，对于k≥ 2至下一个交易日k开始。在我们目前的情况下，我们将考虑交易日结束时的交易成本。因此，总资金将减少。有关更多详细信息，请参阅（2.11）。根据（2.13），对货币对（i，j）的投资承认形式xkij=Fkψ（k）ij\'\'r（k）ij+r（k）ij, （2.19）（2.11）中引入了FK。在交易日k+1，投资者将持有一个新的投资组合矩阵ψ（k+1）。同时，在k+1日，相关银行将收取交易成本Tk+1，以便k+1日的资金为Fk+1=Fk- Tk+1。因此，货币对（i，j）在k+1日的投资为x0（k+1）ij=Fk+1ψ（k+1）ij。（2.20）此后，从（2.19）和（2.20）可以得出货币对（i，j）之间的交易成本为| X0（k+1）ij- Xkij |=Fk+1ψ（k+1）ij- Fkψ（k）ij\'\'r（k）ij+r（k）ij. （2.21）为了简单起见，我们进一步假设，出售和购买外币的交易成本是相同的。因此，（2.11）和（2.21）意味着日期（k+1）开始时的总交易成本为qk+1=mXi，j=1 | X0（k+1）ij- Xkij |=mXi，j=1Fk+1ψ（k+1）ij- Fkψ（k）ij\'\'r（k）ij+r（k）ij=mXi，j=1（Fk- Tk+1）ψ（k+1）ij- Fkψ（k）ij\'\'r（k）ij+r（k）ij.（2.22）如果交易成本Tk+1与交易日k+1的总投资Qk+1线性相关，则存在一个正常数c，使得Tk+1=cQk+1。因此，（2.22）得出Tk+1=cQk+1=mXi，j=1Fkψ（k+1）ij- Fkψ（k）ij\'\'r（k）ij+r（k）ij- Tk+1ψ（k+1）ij.

（2.23）对于ψ（k+1）∈ P（k+1）和Tk+1>0，我们设置k+1：=mXi，j=1Fkψ（k+1）ij- Fkψ（k）ij\'\'r（k）ij+r（k）ij.很容易看出Ck+1-mXi，j=1Tk+1ψ（k+1）ij≤ Tk+1≤ ck+1+mXi，j=1Tk+1ψ（k+1）ij.这与ψ（k+1）一起∈ P（k+1）和pmi，j=1ψ（k+1）ij=1，导致tock+1- Tk+1≤ Tk+1≤ ck+1+Tk+1. （2.24）如果c<1，那么我们从（2.24）得出C1+ck+16 Tk+1c1- ck+1。（2.25）设ψ（k）：=ψ（k）ψ（k）··ψ（k）1mψ（k）ψ（k）··ψ（k）2m。。。。。。。。。。。。ψ（k）m1ψ（k）m2···ψ（k）mm,ψ（k）ij：=FkFkψ（k）ij\'\'r（k）ij+r（k）ij. （2.26）我们注意到ψ（k）是在日期k结束时自动达到的m种不同货币的比例矩阵。在下文中，我们假设Fk>0，ψ（k）R（k）>0。我们定义了ψ（k+1）和ψ0（k）之间的距离（ψ（k+1），ψ0k）：=mXi，j=1 |ψ（k+1）ij- ψ0（k）ij |。（2.27）根据k+1，一个有k+1=FkmXi，j=1ψ（k+1）ij-FkFkψ（k）ij\'\'r（k）ij+r（k）ij.这与（2.26）相结合，得出k+1=FkmXi，j=1ψ（k+1）ij- ψ（k）ij= Fkd（ψ（k+1），ψ0（k））。将其代入（2.25），我们得到以下c1+cFkd（ψ（k+1），ψ0（k））6 Tk+1c1- cFkd（ψ（k+1），ψ0（k））。（2.28）从（2.28）中，我们观察到，k+1日的交易成本取决于ψ（k+1）和ψ0（k）之间的距离，ψ（k+1）和ψ0（k）之间的距离越大，意味着交易成本越高，这进一步意味着投资组合中的收益越低。因此，为了提高投资组合的收益，投资者必须缩短ψ（k+1）和ψ0（k）之间的距离。3更新在线投资组合选择规则由于货币汇率的高波动性，投资者通常会一次又一次地尝试买入和卖出货币以获得更多利润。不幸的是，交易越多意味着交易成本越高。

因此，优化投资组合以避免不必要的交易成本是必不可少的，这也是我们本节的目标。设Z（ψ（k+1））为投资组合ψ（k+1）在k+1日期的回报，并假设Z（·）接受以下形式Z（ψ（k+1））=γZF（ψ（k+1），R0（k+1））- ZT（ψ（k+1）），（3.1），其中oR0（k+1）：=r（k+1）(R)r（k+1）···'r（k+1）1mr（k+1）r（k+1）··'r（k+1）2m。。。。。。。。。。。。r（k+1）m1r（k+1）m2···r（k+1）mm（3.2）是在k+1日期对回报矩阵R（k+1）的预测；oZF（ψ（k+1），R0（k+1））是相对于组合矩阵ψ（k+1）和R（k+1）的预测R0（k+1）的投资增量的函数ZT（ψ（k+1））是投资者为投资组合矩阵ψ（k+1）支付的交易成本γ>0是用来平衡最大化投资增长和减少交易的参数。在本文中，函数ZF的第一个替代方案，用Z（1）F表示，允许形式Z（1）F（ψ（k+1），R0（k+1））=ψ（k+1） R0（k+1）。（3.3）和ZF的第二个选择，由Z（2）F编写，具有以下表示形式Z（2）Fψ（k+1），R0（k+1）= 日志ψ0（k） R0（k+1）+R0（k+1）ψ（k+1）- ψ0（k）ψ（k+1） R0（k+1）。（3.4）通过多元函数的泰勒展开公式，我们推导出thatlog（ψ（k+1） R0（k+1））≈ 日志mXi，j=1ψ（k）ij（(R)r（k+1）ij+r（k+1）ij）+Pmi，j=1（(R)r（k+1）ij+r（k+1）ij）ψ（k+1）ij- ψ0（k）ijPmi，j=1ψ（k+1）ij（(R)r（k+1）ij+r（k+1）ij）。因此，Z（2）Fψ（k+1），R0（k+1）是对数的一阶近似值（ψ（k+1） R0（k+1））。关于术语ZT（ψ（k+1）），我们定义ZT（ψ（k+1））：=dreψ（k+1），ψ0（k）. （3.5）我们请读者参考[1、8、9]了解更多详细信息。根据离散随机变量相对熵的定义，我们有以下数据：ψ（k+1），ψ0（k）=mXi，j=1ψ（k+1）ijlogψ（k+1）ijψ0（k）ij=mXi，j=1ψ（k+1）ijlogψ（k+1）ijPmi，j=1ψ（k）ij（(R)r（k）ij+r（k）ij）ψ（k）ij（(R)r（k）ij+r（k）ij）.（3.6）根据L\'Hospital的规则，一个人有极限↓0x日志x=0。

因此，在不丧失一般性的情况下，在（3.6）中，我们可以假设ψ（k+1）ijlogψ（k+1）ij=0，只要ψ（k+1）ij=0。注意，对于任何常数a>1，f（x）=x（log x+log a）是x>0的凸函数，因为f（x）>0。因此，dreψ（k+1），ψ0（k）是ψ（k+1）ij，1的正连续凸函数≤ i、 j≤ m、 如果ψ（k+1）=ψ0（k），即ψ（k+1）ij=ψ0（k）ij，则dreψ（k+1），ψ0（k）= 0、dre最小值ψ（k+1），ψ0（k）可在ψ（k+1）=ψ0（k）时实现。此外，让我，j≥ 1使得ψ0（k）ij=min{ψ0（k）ij}。然后是dre的最大值ψ（k+1），ψ0（k）对于i=i，j=j，当ψ（k+1）ij=1时可用，否则ψ（k+1）ij=0。将（3.3）、（3.4）和（3.5）分别插回（3.1），我们得到z0（1）（ψ（k+1））=γψk+1 R0（k+1）-mXi，j=1ψ（k+1）ijlogψ（k+1）ijψ0（k）ij（3.7）和Z0（2）（ψ（k+1））=γ对数ψ0（k） R0（k+1）+R0（k+1）ψ（k+1）- ψ0（k）ψ（k+1） R0（k+1）-mXi，j=1ψ（k+1）ijlogψ（k+1）ijψ0（k）ij.（3.8）对于ψ（k+1）ij，由于dreis凸（如上所示），-关于ψ（k+1）ij的dreis凹。观察到，除了熵项dre外，其他项相对于ψ（k+1）ij是线性的，它们明显是凹的。因此，我们得出结论，（3.7）和（3.8）中分别定义的Z0（1）（ψ（k+1））和Z0（2）（ψ（k+1）），是关于投资组合矩阵ψ（k+1）ij的凹函数。用约束ψ（k+1）使Z0（1）（ψ（k+1））最大化∈ P（k+1）（因此pmi，j=1ψ（k+1）ij=1），我们使用拉格朗日方法。为此，我们考虑以下辅助函数Z0（1）（ψ（k+1），λ）=Z0（1）（ψ（k+1））+λmXi，j=1ψ（k+1）ij- 1.式中λ∈ R是拉格朗日乘数。

根据（2.12）和（3.7），我们得到z0（1）（ψ（k+1），λ）=γmXi，j=1ψ（k+1）ij\'\'r（k+1）ij+r（k+1）ij-mXi，j=1ψ（k+1）ijlogψ（k+1）ijψ0（k）ij+ λmXi，j=1ψ（k+1）ij- 1..（3.9）对变量ψ（k+1）ij和λ求Z0（1）（ψ（k+1），λ）的导数，然后通过设置ψ（k+1）ijZ0（1）（ψ（k+1），λ）=λZ0（1）（ψ（k+1），λ）=0，则得到γ\'\'r（k+1）ij+r（k+1）ij- logψ（k+1）ij+logψ0（k）ij- 1 + λ = 0.这进一步意味着ψ（k+1）ij=expγ\'\'r（k+1）ij+r（k+1）ij+ 对数ψ0（k）ij- 1 + λ=ψ0（k）ijexpγ\'\'r（k+1）ij+r（k+1）ije1级-λ.（3.10）考虑到pmi，j=1ψ（k+1）ij=1，我们从（3.10）得到mxl，v=1ψ0（k）lvexpγ(R)r（k+1）lv+r（k+1）lve1级-λ= 1.因此，如下所示e1-λ=mXl，v=1ψ0（k）lvexpγ(R)r（k+1）lv+r（k+1）lv.将其代入（3.10）会导致ψ（k+1）ij=ψ0（k）ijep（γ（\'r（k+1）ij+r（k+1）ij））Pmv，l=1ψ0（k）vlexp（γ（\'r（k+1）vl+r（k+1）vl））。（3.11）（3.11）是第（k+1）个交易日交易成本投资增量（IITC for Abbreviation）的更新规则。模拟（3.11）的推导过程，可以得出以下结论：Z0（2）（ψ（k+1））在ψ（k+1）ij=ψ0（k）ijep时达到最大值γ（(R)r（k+1）ij+r（k+1）ij）ψ0（k）R0（k+1）Pmv，l=1ψ0（k）vlexpγ（(R)r（k+1）vl+r（k+1）vl）ψ0（k）R0（k+1）. （3.12）在我们的案例中，（3.12）是交易日k+1的交易成本投资指数增量（简称EIITC）的更新规则。可以清楚地看到，在（3.11）和（3.12）中，有两个参数γ和R0（k+1）需要为投资组合矩阵ψ（k+1）选择。关于变量γ，不同的值会产生不同的策略。我们想详细解释一下参数γ的含义。

更准确地说，（i）γ代表被动策略；（ii）较小的γ意味着对投资组合矩阵ψ（k+1）的预测更准确，因此投资者倾向于持有现有的投资组合矩阵（即ψ（k）），以避免递减；（iii）γ越大，表示投资组合矩阵ψ（k+1）的预测越强，因此投资者倾向于改变现有的投资组合矩阵（即ψ（k）），以获得更多收益。关于R0（k+1），它是对k+1日收益的预测。显然，高质量的预测是投资者做出投资决策的有力工具。在结束本节之前，让我们做一些评论。备注3.1数量Z（1）F（ψ（k+1），R0（k+1））表示基金在k+1日的增量。另一方面，可以应用（2.27）中定义的投资组合矩阵ψ0（k）和ψ（k+1）的距离来测量递减函数。备注3.2显然，在现实的金融市场中，投资者宁愿放弃不可盈利的交易，而是增加可盈利的交易，以避免减少。因此，可以获得更新规则（3.11）和（3.12）。4回报预测投资组合的回报预测在优化外汇市场的投资组合方面起着至关重要的作用。受【1】的启发，在本文中，我们将建立一种算法来保留和/或注入可配置的货币对，并移除不可配置的货币对，这将被称为交叉汇率算法。就外汇市场的机制而言，回报矩阵中的一些条目消失了，见方程式（2.3）-（2.6）。更准确地说，对于任何（i，j）∈ 每当r（k）ij6=0时，∧×ij，(R)r（k）ij=0，而对于r（k）ij=0，r（k）ij6=0，并且r（k）ii=0。因此，有m（m-1） 返回矩阵中的非零组件。

众所周知，在外汇市场中，最佳的可配置货币对意味着回报矩阵中的回报值达到最大。在续集中，让R（k）为不同货币的回报矩阵。设α：=最大{r（k）ij，r（k）ij，i，j∈ Λ}. 现在，我们将R（k）的O（R（k））阶定义如下R（k）=1，只有一对（i，j）∈ λ×λ，使得r（k）ij=α2，只有一对（i，j）∈ ∧×∧，使得r（k）ij=α0，其他。（4.1）事实上，我们的订单是基于买卖外汇的交易行为。更准确地说，如果顺序为1，投资者将卖出收益矩阵中唯一一个最大分量的外汇，该最大分量出现在R（k）的上三角部分（即max{R（k）ij}>max{R（k）ij}）；而如果顺序为2，投资者将仅根据出现在R（k）下三角部分的回报矩阵的一个最大分量购买外币（即max{R（k）ij}<max{R（k）ij}）。订单0表示投资者没有任何行动。我们称返回序列{R（k）}{1≤k≤N}是严格不等的ifO（R（k））6=0，k∈ ∧。definerev（R（k））=（R（k））T，其中（R（k））T表示R（k）的转置。如果O（R（k））6=O（R（k-1） ）对于一些k∈ ∧，则k称为交叉位置。对于E，F∈ ∧E<F，集'D（E，F）：={R（k），k∈ {E，E+1，····，F}}。（4.2）注意'D（E，F）是从E天到F天所涉及货币的所有回报矩阵的集合。Letche，F：=]{k:O（R（k））6=O（R（k-1） ），k∈ {E，E+1，·····，F}，计算从E天到F天的交叉位置数，其中]{…}表示集合{…}的基数。此外，上述CE、Fde被命名为与D段（E、F）相关的交叉数。

LetWE，F：=CE，FE- F+1，（4.3），即E日至F日期间交叉头寸所占的比例。我们称之为We，F段D（E，F）的交叉率。让我≥ 1为固定整数。然后，我们按照以下方式将投资期划分为具有相同长度L的不同部分。取E=（n- 1） L+1和F=nL在（4.2）中，一个有'D（（n- 1） L+1，nL）={R（k），k∈ {（n）- 1） L+1，（n- 1） L，···，nL}}。在下面的内容中，我们将用Dn（（L）和Wn（L）代替D（（n-1） L+1，nL）和W（n-1） L+1，nL，表示法简洁。也就是说，Dn（（L）=D（（n- 1） L+1，nL）和Wn（L）=W（n-1） L+1，nL。我们看到Wn（L）∈ {0，L，L，…，L-1L，1} [0，1]，因此可以Ohm = [0，1]作为一个具有Borelσ-代数B（[0，1]）和一致概率测度P的概率空间。那么Wn（L）只不过是Borel概率空间（[0，1]，B（[0，1]），P）上的一个（离散）随机变量。4.1交叉率逼近let A：=[0，]）和B：=[，1]。We definepab（n）：=P（Wn（L）∈ A、 Wn+1（L）∈ B） 。可以类似地定义PAA（n）、PBA（n）和PBB（n）。在这里和后半部分中，我们假设Wn（L）是静止的（即Wn（L）不随参数n的移动而改变），因此PAB（n）（分别PAA（n）、PBA（n）和PBB（n））与n无关。因此，我们可以写PAB（分别PAA、PBA和PBB）而不是PAB（n）（分别PAA（n、PBA（n）和PBB（n））。观察1=P（Wn+1（L））∈ [0，1]，Wn（L）∈ [0，1]）=P（Wn+1（L）∈ A、 Wn（L）∈ [0，1]）+P（Wn+1（L）∈ B、 Wn（L）∈ [0，1]）=P（Wn+1（L）∈ A、 Wn（L）∈ A） +P（Wn+1（L）∈ A、 Wn（L）∈ B） +P（Wn+1（L）∈ B、 Wn（L）∈ A） +P（Wn+1（L）∈ B、 Wn（L）∈ B） 。因此，一个明显的hasPAA+PAB+PBA+PBB=1。接下来，我们按照以下三个步骤预测回报矩阵R（k+1）∈\'Dn+1（L）。步骤1：预测Wn+1（L），用Wn+1（L）表示。

到目前为止，有几种方法可以通过Wi（L），i=1，…，预测交叉率（缩写为MPCR）Wn+1（L）。。。，n代表n∈ N、 有关更多详细信息，请参阅[1，11]。在本文中，我们对以下两种策略感兴趣：对于PAA+PBB>，MPCR1：Wn+1（L）=W（L），n∈ Nand，对于PAB+PBA>，MPCR2：Wn+1（L）=（cA，如果Wn（L）∈ BcB，如果Wn（L）∈ A、 其中cA∈ A和cB∈ B是一些常数。步骤2：预测R（k+1）的顺序∈\'Dn+1（L），用O（R（k+1））表示。有两种方法可以用来预测R（k+1）的阶数，我们将它们列在下面：O（R（k+1））=（O（Rev（R（k）），如果Wn+1（L）∈ [，1]O（R（k）），如果Wn+1（L）∈ [0，]和MPO2:O（R（k+1））=（O（R（k-1） ），如果Wn+1（L）∈ [，1]O（R（k）），如果Wn+1（L）∈ [0,].步骤3：预测R（k+1），用R0（k+1）表示。关于MPO1，R0（k+1）=（Rev（R（k）），如果Wn+1（L）∈ [，1]R（k），如果Wn+1（L）∈ [0，]和，对于MPO2，R0（k+1）=（R（k-1） ，如果Wn+1（L）∈ [，1]R（k）如果Wn+1（L）∈ [0,] .通过MPCRand MPO获得R（k+1）的预测R0（k+1）的上述三个步骤称为交叉率方法，其表示为CR（MPCR，MPO，R0（k+1））。4.2调整交叉率法在上一小节中，我们只考虑返回序列{R（k）}1的情况≤k≤NIS严格不相等。在本小节中，我们将继续研究允许返回序列不必严格不相等的设置。为了应对这种设置，我们需要调整前面介绍的交叉率方法。

对于E，F∈ ∧E<F，setCE，F：=]{k:O（Rl（k））6=O（R（k））和O（R（k））6=0，E 6 k 6 F}，其中l（k）：=max{l:l<k，O（Rl）6=0}。根据CE的定义，F，Rl（k）是最接近R（k）的返回矩阵，其中o（R（k））6=0，其顺序不同于R（k）。定义（4.2）中引入的交叉率WE，Fof'D（E，F），byWE，F=CE，FnE，F，（4.4），其中ne，F：=]{k:O（R（k））6=, E 6 k 6 F}。在（4.4）中，选择E=（n- 1） L+1，F=nL，我们有w（n-1） L+1，nL=C（n-1） L+1，nLn（n-1） L+1，nL。在续集中，为了便于记法，我们将编写WL而不是W（n-1） L+1，nL。按照严格不等框架的CR（MPCR，MPO，R0（k+1））程序，我们采用以下步骤来预测回报矩阵R（k+1）。步骤1：预测Wn+1（L），用Wn+1（L）表示。有两种方法：MPCR1：Wn+1（L）=W（L），n∈ N、 （4.5）和MPCR2:Wn+1（L）=（cA，如果Wn（L））∈ B、 cB，如果Wn（L）∈ A、 （4.6）其中cA∈ A和cB∈ B是一些常数。步骤2：预测R（k+1）的顺序，用O（R（k+1））表示。更精确地说，如果Wn+1（l），则MPO1:O（R（k+1））=（O（Rev（R（l（k+1）））∈ [，1]O（R（k+1）），如果Wn+1（L）∈ [0，]和MPO2:O（R（k+1））=（O（（R（l（k+1）；）））），如果Wn+1（l）∈ [，1]O（Rl（k+1）），如果Wn+1（L）∈ [0,] .步骤3：预测R（k+1），用R0（k+1）表示。对于MPO1，R0（k+1）=（Rev（R（l（k+1）），如果Wn+1（l）∈ [，1]Rl（k+1），如果Wn+1（L）∈ [0，]对于MPO2，如果Wn+1（l），则R0（k+1）=（R（l（l（k+1））∈ [，1]R（l（k+1）），如果Wn+1（l）∈ [0,].备注4.1有其他备选方案来确定回报矩阵R（k）的顺序。假设外汇市场上有三种货币。确定以下计数度量πk=]n（i，j）∈ ∧×∧：`r*ij公司∈hmaxv公司∈∧{r（k）lv}- ε、 最大值，v∈∧{r（k）lv}ior r r*ij公司∈hmaxl，v∈∧{r（k）lv}- ε、 最大值，v∈∧{r（k）lv}io，（4.7），其中∧：={1，2，3}，ε>0是一个常数。很容易看出πk∈ {1, 2, 3}.

在该问题中，设R（k）为k日的货币1、货币2和货币3的返回矩阵，该矩阵采用以下形式=0'r（k）'r（k）0 0 00 r（k）, （4.8）式中，\'r（k）6=0，\'r（k）6=0和r（k）6=0。接下来，我们将R（k）的顺序定义为OR（k）=（1，2），\'r（k）=max{\'r（k），\'r（k），r（k）}，（1，3），\'r（k）=max{\'r（k），\'r（k），r（k）}，（3，2），\'r（k）=max{\'r（k），\'r（k），r（k）}，（1，2）∪ （1，3），\'r（k）=\'r（k）=max{\'r（k），\'r（k），r（k）}，（1，3）∪ （3，2），\'r（k）=r（k）=max{\'r（k），\'r（k），r（k）}，（3，2）∪ （1，2），\'r（k）=\'r（k）=max{\'r（k），\'r（k），r（k）}，, \'r（k）=\'r（k）=\'r（k）=最大{\'r（k），\'r（k），r（k）}。（4.9）然而，上述顺序并不能很好地显示交叉费率法的有效性。根据聚类思想，对于前三种情况（即πk=1），我们可以将对（1，2），1，3）和（3，2）视为相同。同样，对于情况4-6（即πk=2），我们考虑对（1，2）∪ (1, 3),(1, 3) ∪ （3，2）和（3，2）∪ （1，2）相同。因此，我们修改了O（R（k））的顺序，用O（R（k））重新定义R（k）的O（R（k））=1，πk=1,2，πk=2,0，πk=3。（4.10）尽管顺序（4.10）适用于交叉率法的前两个步骤，但无法预测第三个步骤中R（k）的值，因为我们无法明确写出R（k）的倒数。5主要结果5.1交叉率模式集θn（CR）：=]{O（R（k））：O（R（k））=O（R（k）），R（k）∈\'Dn（L））}L.（5.1）（5.1）右侧的分子从（n）天开始计算交易日内预测顺序与R（k）的真实顺序相同的总数-1） L+1至nL日。在（5.1）中，θnis称为片段序列Dn（L）的CR（MPCR，MPO，R0（K+1））的成功率。

如果θn（CR）>，那么我们说CR（MPCR，MPO，R0（K+1））对段Dn（L）有效。使用两个更新规则IITC（（3.11））或EIITC（（3.12）），以及有效CR（MPCR、MPO、R0（K+1）），我们为整个每日收益序列Dn（L）定义了一个支持策略，如下η（'D（N）、M P CR、M P O、R（K+1））：=]{Dn（L）：CR（M P CR、M P O、R0（K+1））对'Dn（L）}有效{'Dn（L）>。（5.2）在交易日k+1，投资者在Dn（L）中应用有效CR（MPCR、MPO、R0（k+1））的结果，并结合两个更新规则（IITC（（3.11））和EIITC（（3.12）），以更新其投资组合以获得更多收益。引理5.1如果我们持有Wn+1（L）、Wn+1（L），a、b=1、2的CR（MP CRa、M P Ob、R0（k+1））与段序列Dn（L）的有效性∈ [0，）（5.3）或Wn+1（L），Wn+1（L）∈ [, 1]. （5.4）证明。如果Wn+1（L）∈ [0，），那么集合Θ的一半以上的点：={nL+k，k=1，2，········，L}不是交叉位置。下面，我们取nL+k+1∈ 假设nL+k+1不是交叉位置，所以O（R（nL+k+1））=O（R（nL+k））。（5.5）接下来，由于Wn+1（L）∈ 根据MPO1，我们有O（R（nL+k+1））=O（R（nL+k））（5.6）。因此，（5.5）和（5.6）得出O（R（nL+k+1））=O（R（nL+k+1））。（5.7）因此，每当Wn+1（L），Wn+1（L）时，CR（MPCR1，MPO1，R0（k+1））有效∈ [0，）。如果Wn+1（L）∈ [，1]，则集合Θ的一半以上点是交叉位置。在这个问题中，我们取nL+k+1∈ 假设nL+k+1是一个交叉位置，使得O（R（nL+k+1））6=O（R（nL+k））。（5.8）另一方面，如果Wn+1（L）∈ [，1]，因此一个hasO（R（nL+k+1））=O（Rev（R（nL+k）））。（5.9）如果O（R（nL+k））=1，则O（R（nL+k+1））=2乘以（5.9）。此外，从（5.8）可以看出O（R（nL+k+1））=2，因为O（·）只取两个值。因此，（5.7）成立。同样，如果O（R（nL+k））=1，我们可以推断（5.7）为真。

总之，（5.7）适用于任何情况。因此，如果Wn+1（L），Wn+1（L），则CR（MPCR1，MPO1，R0（k+1））有效∈[, 1].下面，我们假设nL+k+1∈ Θ使得（5.8）。如果Wn+1（L）∈ [，1]，在MPO2的光下，一个hasO（R（nL+k+1））=O（R（nL+k-1)). （5.10）如果O（R（nL+k-1） ）=O（R（nL+k）），那么我们可以推导出集合Θ的一半以上的点，这与Wn+1（L）相矛盾∈ [, 1]. 因此，我们到达atO（R（nL+k-1） ）6=O（R（nL+k））（5.11）考虑到（5.8），（5.10）以及（5.11），我们得出O（R（nL+k+1））=O（R（nL+k+1））。（5.12）实际上，如果O（R（nL+k））=1，那么O（R（nL+k+1））=1来自（5.8）和O（R（nL+k-1） ）=2，因为（5.11），这意味着O（R（nL+k+1））=1。以类似的方式，我们可以证明（5.12）是正确的。因此，CR（MPCR1、MPO2、R0（k+1））对Wn+1（L）、Wn+1（L）有效∈ [, 1]. 由于其他情况可以类似地处理，因此我们在此省略相应的细节。通过仔细检查上述引理，我们推断，在Wn+1（L）和Wn+1（L）属于相同区间[0，]或[，1]的情况下，a、b=1、2段Dn（L）的CR（M P CRa、MP Ob、R0（k+1））是有效的。然而，Wn+1（L）和Wn+1（L）的值不必相同。定义5.1序列{n}n≥如果存在一些K>0，例如与n+K1独立于任何n，K，则称为完全相关∈ N和K>K。特别是，通过取K=K，定义5.1表明独立于N+K，但对于N<K<N+K，不需要独立于K。以下引理取自[1]。引理5.2如果序列{n}n>1完全依赖于有界随机变量且En>c，对于某些常数c和任何n∈ N、 thenlimN公司→∞NNXn=1n>c，a.s.（5.13）基于此引理，可以获得IITC和EIITC的稳定性。

Westate下面的定理5.1我们假设{Rn（L）}是完全依赖的交叉率序列，然后我们有以下两个结果（1）ifPAA+PBB≥, （5.14）然后，两个更新规则IITC或EIITC和CR（MP CRa、MP Ob、R0（k+1）），a、b=1、2，当时间范围变为完整时，成为一种可供使用的策略。（2） ifPAB+PBA≥, （5.15）然后，两个更新规则IITC或EIITC和CR（MP CRa、MP Ob、R0（k+1）），a、b=1、2，当时间范围变为完整时，成为一种可供使用的策略。证据我们从案例（1）的证据开始。设n=（1，如果θn（MP CR1，MP O2，R0（k+1））≥0，如果θn（MP CR1，MP O2，R0（k+1））<（5.16），则n=1，2，··。通过定义离散时间随机变量的期望，En≥.注意{Wn+1（L），Wn+1（L）∈ A}∪ {Wn+1（L），Wn+1（L）∈ B} {CR（MP CR1，M P O1，R0（K+1））有效}={n=1}。所以，一个搭扣（{Wn+1（L），Wn+1（L）∈ A}∪ {Wn+1（L），Wn+1（L）∈ B} （）≤ P（n=1）。（5.17）由于P（{Wn+1（L），Wn+1（L）∈ A}∪ {Wn+1（L），Wn+1（L）∈ B} ）=PAA+PBB，再加上假设（5.14），我们从（5.17）中推断出P（n=1）≥ PAA+PBB≥.接下来，应用引理5.2得到thatlimN→∞η（'D（N），M P CR，M P O，R0（k+1））=limn→∞nnXk=1k≥, a、 这就完成了证明。接下来，我们继续完成有关案例（2）的证明。设置n=（1，如果θn（MP CR2，MP O1，R0（k+1））≥0，如果θn（MP CR2，MP O1，R0（k+1））<对于n=1，2，··。很容易看出En≥.

自{Wn+1（L）起∈ A、 Wn+1（L）∈ B}∪ {Wn+1（L）∈ B、 Wn+1（L）∈ A} {CR（MP CR2，M P O1，R0（K+1））有效}={n=1}，我们有P（{Wn+1（L））∈ A、 Wn+1（L）∈ B}∪ {Wn+1（L）∈ B、 Wn+1（L）∈ A} （）≤ P（n=1）。这，连同P（{Wn+1（L），Rn+1（L）∈ A}∪ {Wn+1（L），Wn+1（L）∈ B} ）=PAB+PBA，和（5.15），引线顶部（n=1）≥ PAB+PBA≥.因此，所需的断言来自引理5.2。MPCR1和MPCR2的选择要点基于上述理论。上述定理的备注5.1显示了可编制投资组合选择的一般情况。在现实世界中，投资者可以在外汇市场上选择PAA+PBB、PAB+PBA、PAA+PBA和PAB+PBB中价值大于的一种货币对。例如，如果投资者通过PAA+PBB=0.78选择五对货币，那么我们有一个可预测的策略，limη→∞π（\'D（N），MP-CR，MP-O，R0（k+1））≥ 0.78，美国。。（5.18）5.2[1]所推动的IITC和EIITC的普遍性，在本节中，我们旨在展示外汇市场中在线投资组合选择（即（3.11）和（3.12））的普遍性。显然，两个更新规则（即IITC和EIITC）对于主动策略和被动策略都是通用的。为简单起见，我们只取一对（i，j）相关货币。在（2.15）的帮助下，货币对（i，j）的投资指数增长率为*N（eij，{R（k）}）=NlogNYk+1eij R（k）=NNXk=1log（eij R（k）），（5.19），其中eij∈ RmRm，其中ijthentry等于1，其他条目等于零。回顾（2.18），交易成本的指数增长率RN（{ψ（k）}，{R（k）}）定义为asRN（{ψ（k）}，{R（k）}）=NNXi=1logψ（k） R（k）+NNXi=1log（1- ck）。

（5.20）以下定理揭示了RN（{ψ（k）}，{R（k）}）和LI之间的间隙*N（eij，{R（k）}）。定理5.2设R（1），····，R（N）是一个返回矩阵的任意序列，其中R（k）ij+R（k）ij≥ r、 其中i，j∈ ∧，k∈ ∧，对于某些常数r∈ （0，1）和maxi，j∈∧（(R)r（k）ij+r（k）ij）=1。考虑线性预测R（k+1）=Pdkl=1ak，lR（k-l+1），其中ak，l≥ 0，l=1，···，dk和PDKL=1ak，l=1，dk≥ 1、设γ>0。然后，对于IITC算法（3.11），RN（{ψ（k）}，{R（k）}）- R*N（{eij}，{R（k）}）≥Nlogψ（1）ijψ（N+1）ij+NNXk=1log（1- ck）+γr- γ.（5.21）o对于EIITC算法（3.12），RN（{ψ（k）}，{R（k）}）- R*N（{eij}，{R（k）}）≥Nlogψ（1）ijψ（N+1）ij+NNXk=1log（1- ck）+γr-γr.（5.22）o对于IITC算法（3.11），ck+1（γ）6ceγ1- c+O（γ），（5.23），其中O（γ）表示存在α，α∈ R使得αγ≤ O（γ）≤ 当γ>0时，αγ非常小。o对于EIITC算法（3.12），ck+1（γ）6ceγ/rγ（1- c） r+O（γ）。（5.24）证明。我们只关注（5.21）的证明，因为（5.22）可以以类似的方式完成。很容易看出logψ（1）ijψ（N+1）ij=NXk=1nlogψ（k）ij- 日志ψ（k+1）ijo、 这与（3.11）一起，得到了thatlogψ（1）ijψ（N+1）ij=NXk=1日志ψ（k）ij- 日志ψ0（k）ijep（γ（\'r（k+1）ij+r（k+1）ij））Pmv，l=1ψ0（k）vlexp（γ（\'r（k+1）vl+r（k+1）vl））.

（5.25）由于（2.26），我们得到ψ（k）ij=ψ（k）ij（ψ（k） R（k））(R)R（k）ij+R（k）ij。将其代入（5.25）得到thatlogψ（1）ijψ（N+1）ij=NXk=1日志ψ（k）ij（ψ（k） R（k））(R)R（k）ij+R（k）ij- 日志ψ0（k）ijep（γ（\'r（k+1）ij+r（k+1）ij））Pmv，l=1ψ0（k）vlexp（γ（\'r（k+1）vl+r（k+1）vl））=NXk=1日志ψ（k）ij+ 日志ψ（k） R（k））- 日志\'\'r（k）ij+r（k）ij- 日志ψ（k）ij- γ（\'r（k+1）ij+r（k+1）ij）+对数mXv，l=1ψ0（k）vlexp（γ（(R)r（k+1）vl+r（k+1）vl））=NXk=1日志ψ（k） R（k））- 日志\'\'r（k）ij+r（k）ij- γ（\'r（k+1）ij+r（k+1）ij）+对数mXv，l=1ψ0（k）vlexp（γ（(R)r（k+1）vl+r（k+1）vl））.（5.26）另一方面，通过考虑（5.19）和（5.20），它可以从（5.26）得到thatRN（{ψ（k）}，{R（k）}）- R*N（{eij}，{R（k）}）=NNXk=1nlogψ（k） R（k）+ 日志（1- ck）- 日志eij公司 R（k）o=Nlogψ（1）ijψ（N+1）ij+NNXk=1log（1- ck）+NNXk=1γ（(R)r（k+1）ij+r（k+1）ij）- 日志mXv，l=1ψ0（k）vlexp（γ（(R)r（k+1）vl+r（k+1）vl））.（5.27）注意，\'r（k+1）ij+r（k+1）ij）=dkXl=1ak，l（\'r（k-l+1）ij+r（k-l+1）ij）这与maxi，j（\'r（k）ij+r（k）ij）=1和\'r（k）ij+r（k）ij≥ r、 leads tor公司≤ \'\'r（k+1）ij+r（k+1）ij）≤ 1.（5.28）因此，我们得出结论NNXk=1γ（(R)r（k+1）ij+r（k+1）ij）≥ γr（5.29）和thatlogmXv，l=1ψ0（k）vlexp（γ（(R)r（k+1）vl+r（k+1）vl））≤ 日志mXv，l=1ψ0（k）vlexp（γ）= γ、 （5.30）其中，在上一次显示中，我们使用了factPmv，l=1ψ0（k）vl=1。将（5.29）和（5.30）插回（5.27）意味着rn（{ψ（k）}，{R（k）}）- R*N（{eij}，{R（k）}）≥Nlogψ（1）ijψ（N+1）ij+NNXk=1log（1- ck）+γr- γ.（5.31）因此期望的断言（5.21）紧随其后。在续集中，我们只处理（5.23），因为（5.24）可以以并行方式处理。

除（2.28）外，由（2.16）可知，CK+1（γ）=Tk+1Fk≤c1类- cd（ψ（k+1），ψ（k））=c1- cmXij=1 |ψ（k+1）ij- ψ0（k）ij |。这与（3.11）一起意味着CK+1（γ）≤c1类- cmXij=1ψ0（k）ijep（γ（\'r（k+1）ij+r（k+1）ij））Pmv，l=1ψ0（k）vlexp（γ（\'r（k+1）vl+r（k+1）vl））- ψ0（k）ij=c1类- cmXij=1ψ0（k）ijexp（γ（\'r（k+1）ij+r（k+1）ij））Pmv，l=1ψ0（k）vlexp（γ（\'r（k+1）vl+r（k+1）vl））- 1.=c1类- cmXij=1ψ0（k）ijexp（γ（(R)r（k+1）ij+r（k+1）ij））-Pmv，l=1ψ0（k）vlexp（γ（\'r（k+1）vl+r（k+1）vl））Pmv，l=1ψ0（k）vlexp（γ（\'r（k+1）vl+r（k+1）vl））=c1类- cmXij=1ψ0（k）ijPmv，l=1ψ0（k）vlexp（γ（(R)r（k+1）ij+r（k+1）ij））-Pmv，l=1ψ0（k）vlexp（γ（\'r（k+1）vl+r（k+1）vl））Pmv，l=1ψ0（k）vlexp（γ（\'r（k+1）vl+r（k+1）vl））,其中，在最后一步中，我们使用了dpmv，l=1ψ0（k）vl=1。因此，我们从（5.28）和Pmv中推断，l=1ψ0（k）vl=1 thatck+1（γ）≤c1类- cmXij=1ψ0（k）ijmXv，l=1ψ0（k）vlexp（γ（(R)r（k+1）ij+r（k+1）ij））- exp（γ（\'r（k+1）vl+r（k+1）vl））Pmv，l=1ψ0（k）vlexp（γ（\'r（k+1）vl+r（k+1）vl））≤总工程师-γr1- cmXij=1ψ0（k）ijmXv，l=1ψ0（k）vlexp（γ（(R)r（k+1）ij+r（k+1）ij））- exp（γ（(R)r（k+1）vl+r（k+1）vl））≤总工程师-γr1- cmXij=1ψ0（k）ijmXv，l=1ψ0（k）vl（eγ- eγr）=ce-γr1- c（eγ- eγr）=ceγ（1-r） 1个- c（1- e-γ(1-r） ）。（5.32）通过泰勒展开，单相-γ(1-r） =1- γ(1 - r） +O（γ）。将其放入（5.32）中会得到所需的断言（5.23）。单一交易行为组合中的最优货币将根据ITC或EIITC更新规则确定，如下策略所示。更准确地说，让我们按照以下方式提供集合{1，…，N}的分区：对于某个整数l∈ （1，N），Γi=（{i（i-1） l+1。。。，i（i+1）l}，i=1，2。。。，荷兰- 1，{nl（nl-1） l+1。。。，N}，i=nl，（5.33），其中nl：=h√1+8牛/升-1当[x]时，x>0，为最大或等于x的最小整数。

很容易看出，对于每个Γi，i<nl，其长度等于il。在续集中，我们打算表明，从长期投资的角度来看，按IITC或EIITC算法递减的基金的指数增长率大于单一最佳货币实现的指数增长率。设{R（i）}1≤我≤Nand{ψ（i）}1≤我≤Nbe分别是收益矩阵和投资组合矩阵的序列。假设ψ（i（i-1） l/2+l），i=1。。。，n、 由一个小常数ε>0限定，且λ（·）：i 7→ λ（i）在它到达单位时变为零。根据集合{1，···，N}的划分，很容易看出nxk=1log（1- ck）=对数（1- c） +日志（1- c） +···+日志（1- cl）+日志（1- cl+1）+日志（1- c） +···+日志（1- c3l）+···+对数（1- c（nl-1） （荷兰）-2） +1）+日志（1- c） +···+日志（1- cnl（nl-1） l）+日志（1- cnl（nl-1） l+1）+···+对数（1- cN）=nl-1Xi=1ilXk=1log（1- c（i（i-1） l）/2+k）+LnlXk=1log（1- c（nl（nl-1） l）/2+k）。（5.34）因此，我们从（5.21）和（5.34）中推断出→∞RN（{ψ（k）}，{R（k）}）- R*N（{eij}，{R（k）}）≥ lim信息→∞NnlXi=1对数ε+ilγ（i）r- ilγ（i）+nl-1Xi=1ilXk=1log（1- c（i（i-1） l）/2+k）+LnlXk=1log（1- c（nl（nl-1） l）/2+k）= 0，（5.35），其中在最后一个过程中，我们还使用了定理5.2和limn→∞nlN=limN→∞LnlN=0。从（5.35）中，我们可以得出以下推论，即推论5.2从长期投资的角度来看，根据IITC或EIITC算法，具有交易成本的基金的指数增长率比单一最佳货币实现的指数增长率最优。备注5.2在γ=0的情况下，投资者不会采取任何行动，或者预测的可信度要低得多。在此基础上，投资者实施买入并持有的被动策略。