均值-方差投资组合选择中的模型风险

2022-6-25 05:06:32

该标准以现代投资组合理论为基础，由于其将资产收益建模为高斯随机变量，因此其简单性被广泛应用于金融领域。这种投资组合选择的准确性关键取决于该模型的可靠性，即名义模型。模型风险是指因使用不够精确的模型而产生的风险。模型风险的定量方法是最坏情况方法，由Gilboa和Schmeidler（1989）在决策理论中引入。根据这种方法，可以考虑一类替代模型，并将最坏情况下遇到的损失降至最低。文献区分了估计风险和误认风险（见Kerkhof et al.2010）。总的来说，识别模型错误的脆弱性很有意义，因为模型错误不仅源于参数扰动（估计风险），还源于回报联合分布中的错误（误判风险）。统计分布之间的偏差可以通过Kullback和Leibler（1951）的相对熵来衡量，该相对熵也称为KL散度，由Hansen和Sargent（2008）在模型风险的背景下提出。Cala fiore（2007）研究了KL分歧下最优稳健投资组合的确定问题；考虑到离散设置，他提出了两种数值方案，以在平均方差和平均绝对偏差情况下找到最优投资组合。Glasserman和Xu（2014）在均值-方差情况下的连续设置中研究了该方法；作者确定了名义模型的最坏情况替代模型，并在数值上找到了这些情况下的最优投资组合选择。最近，Penev等人。

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2022-6-25 05:06:35

（2019）详细分析了平均标准偏差案例，表明该案例提供了半解析解。让我们简要总结一下存在模型风险的投资组合选择问题。让X∈ RN表示随机资产收益。与X相关的p.d.f，f（X）对应于标称模型，而p.d.f.～f（X）对应于替代模型。两个模型之间的KL偏差isR（|f，f）：=E[m（X）ln m（X）]（1），其中m（X）：=|f（X）/f（X）是度量值的变化，E[o]表示期望值w.r.t.f（X）。特别是，我们对标称模型周围半径η>0的球Pη内的替代模型感兴趣；i、 e.，其特点是KL散度低于或等于η。设Va（X）表示与X相关的风险度量，该度量取决于集合a上的投资组合权重；经典的最优投资组合问题isinfa∈AE【Va（X）】，（2）而最坏情况下的投资组合选择对应于NFASUPM∈PηE【m（X）Va（X）】。（3）可以证明，它等价于对偶问题（参见Boyd和Vandenberghe 2004）infainfθ>0supmL（θ，a；m（X））（4），其中l（θ，a；m（X））=em（X）Va（X）-θm（X）ln m（X）- η是与（3）中约束最大化问题相关的拉格朗日函数。因此，在最坏情况下的投资组合选择中，必须解决三个嵌套优化问题，其中内部问题是有限维优化。虽然内部优化问题是功能分析中的一个标准问题，可以找到封闭形式的解决方案（参见Lam 2016），但其他两个问题的存在使得优化选择成为一个具有挑战性的运筹学问题。

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2022-6-25 05:06:38

Glasserman和Xu（2014）提出了一种数值方法来解决这个问题。在这项研究中，我们提供了一个解析解，并且从数值的角度证明了这个问题是有挑战性的。本文有三个主要贡献。首先，当资产收益率为高斯分布时，我们用最坏情况法解析求解模型风险优化问题。这一结果适用于比Glasserman和Xu（2014）数值求解的问题范围更广的一类问题。特别是，我们考虑o一种通用的均值-方差选择，而不仅仅是我们施加最坏情况均值等于标称均值的额外约束的情况（参见Glasserman和Xu 2014，第36页）；oθ的所有可能值，允许一个适定问题，并且我们不会将分析限制为“θ>0非常小”（参见Glasserman和Xu 2014，第31页）；i、 e.我们不只考虑小球Pη。其次，我们还提供了在替代模型中施加常数平均值附加约束的特殊情况下的解决方案：这是Glasserman和Xu（2014，参见公式（30），第36页）考虑的优化问题。第三，我们证明了在最小方差情况下和投资组合中所有资产均值相等的对称情况下，最优最坏情况投资组合与最优名义投资组合相同。此外，我们证明了在这些情况下，模型风险和估计风险是一致的：我们证明了在球Pη内的任何替代模型都可以通过参数变化获得。这一结果与Glasserman和Xu（2014，图1，第37页）的数值解不同。本文的其余部分结构如下。在第2节中，我们回顾了问题的表述。第3节，我们在均值-方差框架下给出了模型风险分析解。

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2022-6-25 05:06:41

在第4节中，我们详细研究了Glasserman和Xu（2014）所考虑的均值方差与固定均值的情况。在第5节中，我们重点讨论了备选模型中的最优投资组合与名义模型中的最优投资组合重合的情况，并提供了数值示例。第6节总结本文。2问题公式在本节中，我们回顾模型风险的最坏情况方法。设X表示模型的随机元素，a表示集合a上的参数向量范围；名义模型对应于解决名义测度中的优化问题（2），而替代模型对应于与替代测度相关的相同问题，用KL ball Pη选择，R（|f，f）<η；i、 e.在与标称模型的KL偏差小于正常数η的所有模型中。在最好的情况和最坏的情况下，优化问题变成infainfm公司∈PηE[m（X）Va（X）]最佳情况，infasupm∈PηE【m（X）Va（X）】最坏情况。在投资组合选择中，为了有一个稳健的衡量标准，我们对最坏情况的方法更感兴趣，因此，除非有不同的说明，否则在下文中，我们将重点关注与风险衡量标准的最高可能价值相对应的这种情况；在另一种情况下，经过必要的修改，类似的结果也成立。本节的其余部分组织如下。首先，为了澄清利息情况下使用的符号，我们总结了经典的均值-方差投资组合理论及其主要结果（Markowitz1952，Merton 1972）。

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2022-6-25 05:06:44

然后，按照Glasserman和Xu（2014）的注释，我们总结了在相当普遍的情况下最坏情况模型风险法的主要结果。2.1经典投资组合理论在本研究中，名义模型以n种风险证券为特征，这些证券被建模为资产回报向量X∈ RN分布为多元正态X~ N（u，∑），带∑∈ Rn×具有严格正对角元素的正有限矩阵。设a为portfolioweights的向量，在集合a中定义：={a:aT1=1}，其中1是所有1的RN中的向量。在均值-方差框架中，考虑风险的二次度量；i、 e.方差（乘以γ，一个积极的风险规避参数）与投资组合预期回报之间的差异（X）：=γaT（X- u）（X- u）Ta- aTX，γ>0。（5）风险度量值isE[Va（X）]=γaT∑a- 在u。问题在于最小化所有投资组合a的风险度量值，权重为1。使用拉格朗日乘子，均值-方差投资组合选择问题可以写成∑a处的最小γ- u+α时1.- 在o（6），其中α是乘数。继Merton（1972）之后，我们引入了符号a：=1T∑-1uB：=uT∑-1uC：=1T∑-11 D：=BC- A.（7）很容易证明B，C>0和D≥ 0（参见Merton 1972）。最优均值-方差投资组合（见Merton 1972，等式（9），p.1854）isa？nom=Aγ∑-1uA+1.-AγΣ-1C。（8）有最优投资组合a吗？nomis最优前沿中两个投资组合的线性组合？：=Σ-1u/A和A？：=Σ-11/C，其中后者是最小方差的投资组合。这一重要结果也被称为两个共同基金定理。2.2最坏情况下的模型风险我们简要回顾了用于构建备选模型的模型风险公式。

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2022-6-25 05:06:47

特别是，我们关注最坏情况下的投资组合选择（3）；i、 e.考虑KL ball Pη内风险度量的最大值的值。该最坏情况问题等效于对偶问题（4），其中Va（X）定义在（5）中；在θ<0的最佳情况下，经过必要的修改，同样的结果也适用。评论Glasserman和Xu（2014）考虑了附加约束u=E[m（X）X]的特殊情况；在他们的情况下，等效于考虑风险vgxa（X）：=γaT（X），而不是（5- u）（X- u）Ta- u时，γ>0。（9）在第4节中，我们表明，即使在这种特殊情况下，在均值-方差框架中得到的所有结果都成立。因此，我们必须考虑（4）中的三个嵌套优化问题。内部优化问题是功能分析中的标准问题。对于给定θ>0和给定a∈ A、（4）ism中变量m（X）的内部最大化问题的解？θ、 a（X）=exp（θVa（X））E[exp（θVa（X））]。（10）这一结果在文献中是已知的（参见Glasserman和Xu 2014，Hansen和Sargent2008）。有关完整的证明，感兴趣的读者可以参考Lam（2016，提案3.1）。不幸的是，其他两种优化方法更具挑战性，在相关文献中找不到封闭形式的解决方案。在讨论a和θ中的两个优化细节之前，有趣的是观察在内部最大化问题的最优解R（θ，a）上计算的熵的一些性质：=R（f m？θ，a，f）（11），其中R（|f，f）在（1）中定义。它们在下面的引理中陈述。任何（θ，a）s.t.m的引理1？θ、（10）中的a（X）定义良好，对于任何投资组合a，R（θ，a）是θ>0的单调递增函数（θ<0时单调递减）。证据

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2022-6-25 05:06:50

见附录A让我们强调一下，前面的引理显示了一个一般性质，它不依赖于X的分布和风险Va（X）的度量。如引言中所述，在本文中，我们将X分布为一个多元正态X~ N（u，∑）和一般平均方差框架（即，采用（5）中定义的风险度量）。现在，我们推导出一个必要且有效的条件，在该条件下，度量值（10）的变化得到了很好的定义，并且我们在任何投资组合a的替代模型中发现了X的分布∈ A、引理2 Let X~ N（u，∑），测量值m的变化？θ、（10）中的a（X）当且仅当θ∈ [0，θmax（a）），其中θ<θmax（a）：=γaT∑a.（12），此外，对于任何a∈ A、在替代模型中，f（X）对应于m？θ、 a（X），X作为多元正态r.v.分布，即X~ N（|u，|∑），其中|u=u- θИ∑a ∑=Σ-1.- θγa aT-1.（13）证明。首先，我们证明m？θ、（10）中的a（X）定义良好。让我们观察到，测量值（10）发生明确变化的一个必要且有效的条件是E[exp（θVa（X））]是有限的。我们考虑X~ N（u，∑）和Va（X）如（5）所示，因此我们得到[exp（θVa（X））]=ZdXp（2π）ndet（∑）exp-θaTX-（十）- u）T ∑-1（X- u),其中∑-1:= Σ-1.- θγa是一个对称矩阵。当且仅当矩阵∑时，积分是有限的-1是积极的定义。为了证明这一事实，我们分两步进行：首先，我们计算∑的行列式-然后我们在特征值的符号上陈述一个性质。为了计算行列式，我们使用矩阵行列式引理（参见Harville 1997，定理18.1.1，第416页），该引理表示Σ-1.- θγaaT=1.- θγ在∑adet公司Σ-1.. （14）因此，∑的行列式-当且仅当条件（12）成立时，1为正。如果det ∑-1正，则∑-1也是可逆的；我们将∑定义为其逆项。

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2022-6-25 05:06:53

我们已经验证了（12）是获得∑的必要条件-1，因此∑为正定义。我们现在证明了条件θ<θmax（a）也足以使矩阵∑-1积极定义。设λibe为∑的特征值。逆矩阵的特征值∑-1是倒数1/λi。让我们定义1/λ，即∑的特征值-以下不等式成立（参见甘特马赫和克雷1960，定理17，第64-66页）~λ≤λ≤~λ≤λ≤ ··· ≤λn≤λn。因为矩阵∑-1为正定义，1/λi均为正，因此∑-1有n个- 1积极的价值观。也有∑-1a正行列式（参见方程式（14）），我们得出结论，正定义和条件（12）是必要的，并且能够充分定义整个问题。在这种情况下，在完成平方后，我们得到e[exp（θVa（X））]=qdet（∑∧∑∑-1）经验值-θaTu+θaT∑a.其次，我们考虑替代模型中X的密度f（X）。对于任何a∈ A、它是▄f（X）=m？θ、 a（X）f（X），当且仅当m？θ、 a（X）定义明确。在这种情况下，f（X）是具有均值和方差（13）的高斯密度我们注意到，在最佳情况下，θ<0时，没有必要对θ施加任何附加条件；i、 e.替代措施已明确θ ∈ <-: 这是处理最佳案例方法时应考虑的唯一区别。条件（12）确定了θ的所有可能值的域，这些值允许一个适定问题，而不仅仅限于θ的小值和渐近结果，如Glasserman和Xu（2014，p.31）。在本文的其余部分中，我们考虑D定义的asD中的θ和a：=（θ，a）s.t.θaT∑a<γ. （15）我们现在考虑（4）中的两个外部优化问题。首先，让我们定义在测量值（θ，a）的最佳变化中计算的拉格朗日函数：=Lθ、 a；m？θ、 a=θln E[exp（θVa（X））]+ηθ。

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2022-6-25 05:06:56

（16）用（5）中定义的Va（X）替代（4）中测量值的最佳变化（10）。因此，要解决的优化问题变成fainfθ>0L（θ，a）。（17）解决这个问题的标准技术是交换（17）中其他两个最小化问题的顺序。在详细讨论之前，我们在下面的引理中陈述了拉格朗日函数的一些性质。引理3 Let（θ，a）∈ D、在另一种最坏情况下的方法中，L（θ，a）在a中是凸的，并且它在θ中是唯一的最小值，θ是集合（12）的内点；此外，在交替模型中，相对熵（11）变为sr（θ，a）=θSΓ（S；θ，γ）+ln（1- θγS），（18）式中：=aT∑a（19）和Γ（S；θ，γ）：=γ（1- θγS）+θ（1- θγS）。（20）证明。首先，我们证明了替代最坏情况方法（即θ>0）中的拉格朗日函数在a，s.t.（θ，a）中是凸的∈ D、我们可以应用Sherman和Morrison（1950）的公式来得到∧∑=∑+θγ∑aaT∑1- θγ在∑a；（21）然后，我们得到[exp（θVa（X））]=p1- θγaT∑aexp-θaTu+θaT∑a1- θγ在∑a. （22）（16）中的拉格朗日函数becomesL（θ，a）=-2θln1.- θγ在∑a- u+θaT∑a1时- θγ在∑a+ηθ。（23）回顾凸函数之和本身就是一个凸函数（参见Boyd和Vandenberghe 2004，第3.2.1节，第79页），我们重点关注a in（23）中的非线性项。我们定义（θ，S）：=-2θln（1- θγS）+θS1- θγS，其中S在（19）中定义。很容易证明，当θ>0时，L（θ，S）在S中是凸的，并且在S中是递增的，S在a中是凸的。因此，使用凸性的组合规则（参见Boyd和Vandenberghe 2004，第3.2.4节，第84页），我们可以得出结论：L（θ，aT∑a）在a中是凸的，然后拉格朗日函数（23）在a中是凸的。其次，我们证明了R（θ，a）的表达式（18）。从（11）中，我们得到（θ，a）=Em？θ、 a（X）ln m？θ、 a（X）.

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大多数88

2022-6-25 05:06:59

（24）经过一些简化后，我们得到r（θ，a）=γθE[（在X处）]- θE[在▄X处]+lnqdet（∑▄∑）-1) -θ在∧∑a处，其中∧X是具有平均值的高斯r.v-θИ∑a和方差（13）。最后，使用等式（21）并替换（19）和（20），相对熵（18）如下所示。最后，我们证明了对于任意给定的a，拉格朗日函数在θ中有唯一的极小值，称为∧θ，特别是，它在θ中是单调递减函数(-∞,和（∧θ，θmax（a））中的单调递增函数。因为我？θ、 ais对于（4）中的拉格朗日函数来说是最优的，而替代模型f（X）是一个有效的正则函数（一个多项式高斯p.d.f.），我们可以用期望值交换导数（参见Protter and Morrey 2012，Th.4，p.429），我们得到L（θ，a）θ=θEm？θ、 a（X）Va（X）-θm？θ、 a（X）ln m？θ、 a（X）- η=θ（R（θ，a）- η) .观察到相对熵R（θ，a）在θ=0时为零a、 θ>0时单调递增（参见引理1），如果θ→ θmax（a）（直接使用（18）和（20）），结论如下Glasserman和Xu（2014）证明，在某些条件下，可以交换（17）中的两个函数，然后以数值方式解决变量a和θ中的优化问题。我们使用了与Glasserman和Xu（2014）相同的反演，但我们解决了分析问题：正如引言中所述，这是我们的主要理论贡献。为了在替代度量中找到最优投资组合以及相应的最优度量变化，我们回顾了Glasserman和Xu（2014）关于投资组合选择的第2.1条建议。引理4 Let（θ，a）∈ D

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2022-6-25 05:07:02

优化问题（17）相当于infθ>0infa∈AL（θ，a）（25），其中L（θ，a）在（16）中定义；最优投资组合a？（θ）在替代措施中，isa？（θ） =arg infa∈Aθln E[exp（θVa（X））]（26）和测度ism的最坏情况变化？θ（X）=expθVa？（θ）（十）E经验值θVa？（θ）（十）. （27）证明。参见Glasserman和Xu（2014）中的命题2.1，应用于均值-方差案例这个引理是文献中关于最坏情况模型风险的一个重要结果。正如inGlasserman和Xu（2014）所述，我们在本文中采用了相同的方法。我们首先在给定θ>0的情况下找到最佳最坏情况投资组合，然后在KL ball Pη内选择θ的最佳值。很容易证明，在最佳情况下，当θ<0时，引理4的方程也成立。在本文的其余部分中，我们在两种情况下找到了（25）的解析解：第3节中的一般均值方差框架和Glasserman和Xu（2014）考虑的特殊情况，以及替代模型中的均值约束，在第4.3节中分析了本节中最坏情况投资组合选择的解析解，我们解析地解决优化问题（26），并在给定θ>0的情况下，在备选模型中找到最佳组合；i、均值方差框架中的稳健投资组合。然后，我们证明了（25）中的最佳θ位于球Pη的表面。定理5 Let（θ，a）∈ D、在另一种最坏情况下的方法中，最优投资组合a？（θ） isa？（θ） =AΓ（S？（θ）；θ, γ)Σ-1uA+1.-AΓ（S？（θ）；θ, γ)Σ-1C（28）和数量S？（θ）是S=C的唯一解DΓ（S；θ，γ）+1（29）其中（20）中定义了Γ（S；θ，γ）。常数A、C、D已在（7）中定义。证据在另一种最坏情况下的方法中，可以找到最优投资组合解决方案（26）。使用（22）并为约束a引入拉格朗日乘子∈ A（即。

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能者818

2022-6-25 05:07:05

aT1=1），（26）相当于RG infa-2θln1.- θγ在∑a- u+θaT∑a1时- θγaT∑a+α1.- 在.按照与标称模型中相同的方法，我们得到a的方程式（28），其中S在（19）中定义。通过在（19）中替换（28），我们得到了方程（29）来代替最优S。让我们研究（20）中给出的方程（29）的解。S的域为S.t.S必须包含在间隔C中≤ S<θγ，（30），因为i）S=1/C对应于最小方差情况，即使在替代模型中，i）（θ，a）∈ D、即θS<1/γ。首先，让我们将S视为域（30）中等式（29）中1/Γ的函数，该域是抛物线的一个分支（然后单调递增），最小值为（0，1/C）。然后，将1/Γ视为方程（20）中S在S的同一个域中的函数，它等于S=1/C中的正值，并且它在S的域中是可导的，导数总是严格负的，并且在极限S中趋于零→ 1/(θγ). 因此，方程（29）具有唯一的解，如图1所示根据θ，最坏情况下的均值-方差最优投资组合是方程（29）中的（唯一）分析解。让我们观察一下，在均值-方差框架中，最优最坏情况投资组合与最优名义投资组合相似（8）。在最坏情况下，两个互惠基金定理也成立：最优投资组合是图1的线性组合，具有不同的权重：方程（29）（连续黑线）中S的函数图和方程（20）中S的函数图∈ [1/C，1/θγ）（红色虚线点）。两个方程组允许一个唯一的解。名义问题的相同的两个组合a？和a？。备选模型中的解与名义模型中的解具有完全相同的形式，在最坏情况下的方法中，风险规避“参数”增加（θ>0时，Γ>γ）。

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2022-6-25 05:07:08

可以表明，类似的解决方案也适用于风险规避降低的最佳情况（θ<0时，Γ<γ）。让我们注意到，给定最优投资组合a？（θ），我们现在能够找到相应的相对熵，即名义模型和备选模型之间的KL差异，仅取决于参数θ。代入（18）中（29）的唯一解，我们得到R（θ）：=R（θ，a？（θ））=θS？（θ） Γ（S？（θ）；θ、 γ）+ln（1- θγS？(θ)) . （31）我们在本节中得出结论，证明优化问题（25）中的最佳参数θ停留在球Pη的表面上。这一结果至关重要，因为它完全解决了（25），即最坏情况下的平均方差投资组合选择。命题6 Let（θ，a？（θ））∈ D、最佳值θ？对于优化问题（25）中的θ，球的表面Pη，即R（θ？）=η，其中R（θ）在（31）中定义。证据我们首先表明，对于任何给定的投资组合a，解决原始优化问题（4）的最优θ位于球的表面Pη上；然后，我们考虑将这两个问题转换为一个问题（25）。首先，我们考虑（3）中关于给定a的内部最大化问题，这是主要问题。按照Boyd和Vandenberghe（2004，pp.216-225）中的表示法，我们称原始问题p，我们在（4）中用d表示相应的拉格朗日对偶问题，而p？d呢？分别表示原问题和对偶问题的最优值。由于目标函数在m中是凸的，且集合{m:E[m（X）ln m（X）]<η}是非空的，因此Slater定理确保了强对偶成立，即p？=d（参见，例如Boyd and vandenberghe 2004，第5.2.3节，第226页）。

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大多数88

2022-6-25 05:07:10

换句话说，对于给定的a，给定的m？pa（X）是一个初值，而{θ，m？，θ，a（X）}是一个对偶最优，其中，θ是a的函数，我们有p？=d？=infθ>0supmEm（X）Va（X）-θ（m（X）ln m（X）- η)== supminfθ>0Em（X）Va（X）-θ（m（X）ln m（X）- η)== supmE公司m（X）Va（X）-θ（m（X）ln m（X）- η)≥≥ Em？pa（X）Va（X）-θ（m？pa（X）ln m？pa（X）- η)≥≥ E【m？pa（X）Va（X）】=p？。第二行来自Boyd和Vandenberghe（2004，eq.（5.45），第238页）。第三行考虑对偶问题的最优|θ。第四行紧随其后，因为拉格朗日对m的上确界大于或等于其在任何其他m（X）处的值，然后也选择m（X）=m？pa（X）。最后一个不等式是由于第四行的第二项是非负的。因此，既然所有的不平等都是平等的，我们可以得出两个结论。首先，m？pa（X）使拉格朗日函数最大化。这个结果，加上拉格朗日函数在m中的凹度，意味着m？pa（X）=m？θ，a（X）。第二，下列等式成立|θEhm？θ，a（X）ln m？θ，a（X）- ηi=0。（32）由于θ必须保持有限，由于条件（12），我们得到（32）中的期望值必须为满；i、 e.，°θ停留在球的表面Pη上，或等效地R（°θ，a）=ηa s.t.（|θ，a）∈ D、因为i）相对熵R（θ，a）是θ中的单调递增函数（参见引理1），ii）当θ=0时为零，iii）在极限θ内趋于一致→ θmax（a）（参见引理3顶部的末端），那么对于θ存在唯一的（32）解∈ [0，θmax（a）），然后是对偶最优{▄θ，m？▄θ，a（X）}的唯一解。在引理4中，我们已经证明，可以改变（4）中两个引理的顺序，获得相同的解。这就是反向对偶问题（25）。

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2022-6-25 05:07:13

因此，最佳值θ？在球的表面上，倒立的对偶问题也是如此，这就结束了证明命题6中证明的结果允许我们i）避免参数θ的数值优化，ii）将与散度η相对应的最佳θ确定为球Pη表面上的（唯一）正数值。这完全解决了问题（25）。4均值-方差不变在本节中，我们详细分析了Glasserman和Xu（2014）考虑的均值-方差情况，其中他们考虑了一种特殊情况，即即使在替代模型中，均值向量也必须等于标称均值u。这种情况下的问题变成（infa∈A（θ）supm∈PηEhm（X）γaT（X- u）（X- u）Ta- aTX公司是t、 E【m（X）·X】=u，如Glasserman和Xu（2014，第36页）所述，相当于NFA∈A（θ）supm∈PηEm（X）VGXa（X）采用（9）中定义的风险度量VGXa（X）。在本节的剩余部分中，我们证明了前面几节中证明的所有结果都可以在这种特殊情况下复制。首先，考虑到风险度量（9），让我们证明引理2、3和4的基本性质可以适应这种特殊情况。这在接下来的引理7和8中得到了证明。引理7 Let（θ，a）∈ D、度量m的变化？θ、当且仅当条件（12）成立时，（10）中的a（X）定义良好。此外，对于任何∈ A、在替代模型▄f（X）中，对应的tom？θ、 a（X），X作为多元正态r.v.分布，即X~ N（u，∑），其中∑如（13）所示。证据参见引理2的证明，注意E经验值θVGXa（X）获得与均值方差框架中相同的值，指数中有一个线性常数项-θaTu，而不是线性tochastic项-θaTX。因此，证明的第一部分成立，并且很容易证明▄f（X）是高斯r.v的密度。

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可人4

2022-6-25 05:07:16

平均u（我们施加的新约束）和方差∑将LGX（θ，a）定义为（16），使用VGXa（X）代替Va（X），我们可以表明，与引理3和引理4相似的结果也成立。引理8 Let（θ，a）∈ D、 LGX（θ，a）在a中是凸的，并且在集合（12）的内部点θ中有唯一的最小值。在另一种最坏情况下的方法中，相对熵isR（θ，a）=θSΓGX（θ，γ）+ln（1- θγS），（33），其中ΓGX（S；θ，γ）：=γ1- θγS.（34）此外，可以交换优化问题（4）中两个次优的顺序，这相当于infθ>0infa∈ALGX（θ，a）；替代度量中的最优投资组合是solvinga？（θ） =arg infa∈Aθln Eexp（θVGXa（X））. （35）证明。参见引理3和引理4的证明，注意lgx（θ，a）=-2θln（1- θγS）- 在u+ηθ和相对熵下，r（θ，a）=Em？θ（X）θγaT（X- u）（X- u）Ta- ln E公司经验值θγaT（X- u）（X- u）Ta.在进行了与均值-方差类似的计算后，所有以前的结果都成立然后，类似于定理5，我们可以找到给定正θ的问题（35）的闭式解，并证明在这种特殊情况下，最优解也停留在球Pη的表面上。定理9 Let（θ，a）∈ D、在另一种最坏情况下的方法中，最优投资组合是isa？（θ） =AΓGX（θ，γ）∑-1uA+1.-AΓGX（θ，γ）Σ-1C（36），其中ΓGX（θ，γ）=γC+pγC+4θγ（C- θγ）D2（C- θγ），（37），且ΓGX（θ，γ）>0证明。

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大多数88

2022-6-25 05:07:19

与均值-方差情况一样，可以在交替度量解（35）中找到最优投资组合，即：在1=1θln E时经验值θγaT（X- u）（X- u）Ta- 在u+ηθ处，为约束引入拉格朗日乘数aT1=1，相当于infa-2θln1.- θγ在∑a- u+ηθ时- λ（aT1- 1) .按照与标称模型中相同的方法，我们得到方程（29）（34）中定义的ΓGX（S；θ，γ），而不是（20）中定义的Γ（S；θ，γ）。与均值-方差情况一样，S的域为（30）。此外，在这种特殊情况下，方程（29）和（34）表示二阶系统，可以用闭合形式求解。我们得到了变量ΓGXΓGX（θ，γ）=γC±pγC+4θγ（C）中二阶方程的以下解- θγ）D2（C- θγ).从（30）中观察到C>θγ，从（34）中观察到ΓGX（S；θ，γ）>0，我们可以推断，在最坏情况下，带负号的ΓGX（θ，γ）的解是不可接受的，因此（37）是ΓGX（θ，γ）的唯一解，从而得出证明与均值-方差的情况一样，让我们注意到，给定最优投资组合（36），我们可以从（33）中得到相应的相对熵，该熵仅取决于参数θ；i、 e.，R（θ）=ΓGX（θ，γ）γ- 1.- lnΓGX（θ，γ）γ. （38）在这种特殊情况下，也可以复制命题6。命题10 Let（θ，a？（θ））∈ D、最佳值θ？对于最坏情况下的θ，投资组合选择是正确的，即R（θ？）=η、 R（θ）在（38）中。证据

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2022-6-25 05:07:22

证明遵循命题6的相同步骤，使用这个特例的拉格朗日和熵我们在本节结束时指出，该框架中的风险度量值SimplyBecomes[m？θ（X）VGXa？（θ）（X）]=γa？（θ） T∑a？(θ) - 一（θ） Tu=2 CΓGX（θ，γ）-DΓGX（θ，γ）-AC（39）在第二个等式中，我们使用了（21）和最优投资组合a？（θ）在（36）中。在实践中，获得结果图形表示的有效方法是首先通过参数θ确定替代模型（例如，在范围h0，^θi内），然后获得θ值的相对性（38）。下一节中的数值示例以这种方式进行，同时获得相对熵（38）和风险度量的相关值（39）。5备选模型和名义模型中最优投资组合的相等性和数值例子在本节中，我们分析了名义模型和备选模型中最优投资组合相等的情况。我们证明，这种等式仅在两种相关情况下成立：不确定性仅限于协方差矩阵的最小方差问题和所有资产均具有相同均值的对称情况，即u=u1。最小方差案例是均值-方差投资组合选择的一个有趣的子类别，即Glasserman和Xu（2014）中考虑的均值-方差与固定均值投资组合选择，它是一种纯粹基于风险的投资组合构建方法。这对应于在（5）中选择非常大的风险对抗参数γ，或在（9）中选择相当大的风险对抗参数γ。在这种情况下，风险的度量值isVa（X）：=aT（X- u）（X- u）Ta。在最小方差情况下，我们可以证明一个有趣的分析结果，即最坏情况下的最优投资组合与nominalmodel中的最优投资组合完全相同。

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2022-6-25 05:07:25

此外，我们可以将前面部分中获得的所有结果应用于这种情况。首先，我们可以将引理7和命题10应用于最小方差的情况，得出以下结论：i）在替代模型中，X作为多元正态r.v.分布，与标称模型具有相同的平均值u，且方差∑与（13）相同，当且仅当相同条件（12）（γ=1）成立时；ii）与最优最坏情况和名义投资组合相关的相对熵R（θ）与前一节中的表达式（38）相同，γ=1，最优θ位于球的表面Pη上。然后，我们可以证明备选模型中的最优投资组合（即稳健投资组合）与名义模型中的最优投资组合相同，如下一个命题所示。命题11 Let（θ，a）∈ D、在最小方差情况下，优化问题（26）等价于a？（θ） =arg infa∈AaT∑a，（40）因此，备选模型f（X）中的最优投资组合与名义模型f（X）中的最优投资组合相同，即a？（θ） =a？。证据通过求解优化问题（26），找到了最优投资组合。经过一些计算和使用（14），我们得到了e[exp（θVa（X））]=qdet（∑∧∑∑）-1)=√1.- θaT∑a。因此，最坏情况问题（26）等价于经典问题。然后，解决方案与标称模型相同，并且是唯一的让我们强调一下，在最小方差框架中有两个主要性质：不仅测度的指数变化保持在多元正态分布族中，而且稳健投资组合等于名义模型中的最优投资组合。

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2022-6-25 05:07:28

这两个特性导致在最小方差框架下，最坏情况下的方法对应于高斯分布参数的变化：在这种情况下，模型风险可以简单地解释为估计风险。在本节的剩余部分，我们回到均值-方差框架，并将注意力集中在对称情况下u=u1=uu...u.我们首先证明了名义模型和替代模型中最优投资组合相等的必要和充分条件的一般结果：在这种情况下，模型风险等同于无激励风险。然后，我们给出了一些数值例子。在一般均值-方差框架下（以及在特殊情况下），可以证明以下命题，即保证名义模型和替代模型中最优投资组合的相等性。命题12 Let（θ，a）∈ D和γ是有限的风险规避。当且仅当u=u1且u∈ R、证明。根据方程式（8）和（28），我们有一个？（θ） =a？笔名<=>Σ-1u -AC∑-1.γ-Γ（S，θ，γ）= 0，其中A和C已在（7）中定义，0是Rn中的零向量。只有当i）C∑时，方程才有解-1u=A∑-11或ii）Γ（S，θ，γ）-1= γ-1.<=> θ = 0. 虽然对于有限γ>0，条件ii）无法在替代模型中完全满足，但条件i）证明了这一命题：它对应于u=A/C时，在1的同一方向上有u有趣的是，可以强调命题12即使在平均方差情况下也成立，Glasserman和Xu（2014）考虑了对平均向量的约束。为了展示一些数值例子，让我们考虑一下，如Glasserman和Xu（2014）所述，均值方差具有固定均值和完全对称方差的情况，即∑=σ1 ρ . . . ρρ 1 . . . ρ............ρ ρ . . .

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2022-6-25 05:07:31

1.,ρ>-1/（n）- 1). 这种情况展示了一般n的完整详细分析解的优势，并允许在一个有趣的示例中理解在替代模型中的最优解的数值确定中可能发生的情况。方差-协方差矩阵∑的特征值为（参见附录A中的引理13）：λ=σ（1+（n- 1） ρ）重数为1，特征向量权重为常数，λ=σ（1- ρ）多重数为n- 1.（41）同样，逆矩阵∑-1，可计算n、作为第一个数值示例，让我们考虑Glassermand Xu（2014）在其数值示例中考虑的对称情况u=u1。在这种情况下，名义模型和备选模型中的最优投资组合是等权投资组合a？=1/n。我们还有一个明确的图2：对称情况下风险度量值与相对熵。我们认为γ=1，n=10资产，ui=0.1，∑ii=0.3i=1，10，ρ=0.25。左图以名义（红线虚线）和备选模型（黑线）显示了与最优投资组合相对应的风险度量值。考虑最大相对熵η∈ [0，0.25]正如Glassermand Xu（2014，图1，第37页）所述，我们计算η的每个固定值，θ？的相应正值和负值？使用（38），我们可以得到风险度量值（39）。特别是负θ？值对应于最佳情况备选模型（虚线），而正θ？数值对应于最坏情况下的方法（连续线）。右图显示了名义模型中的风险度量值，仅随相关参数ρ变化∈ [0.05，0.45]（绿星）和方差参数σ与k的乘法参数k∈ [0.72，1.32]（蓝十字）如Glasserman和Xu（2014）所述。

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能者818

2022-6-25 05:07:34

我们注意到，从两个参数（黑圈）得到的风险度量值与在备选模型（黑线）中得到的值相同。在这种情况下，模型风险简化为估计风险。备选模型a？中最优投资组合条件（12）的表达式？。使用（41），它变为θ<θmax（a？）=nσ（1+（n- 1） ρ）=nλ。我们考虑的数值示例与Glasserman和Xu（2014，第3637页）中的数值示例完全相同，γ=1，n=10资产，ui=0.1，∑ii=σ=0.3i=1，10和ρ=0.25，我们要求他们考虑具有固定平均值的平均方差的特殊情况。我们将最优投资组合的风险度量值绘制为最大允许相对熵η的函数（参见Glasserman和Xu 2014中的图1，第37页）。图2中的左图显示了一组最大相对熵值η∈ [0，0.25]，最坏情况下（连续黑线）和最佳情况下（点-黑线）备选模型中的风险度量值。如前所述，在这种情况下，由于命题12，名义模型和备选模型中的最优投资组合是一致的。这与Glasserman和Xu（2014年，图1，第37页）的结果不同，在这两个结果中，这两个最佳投资组合并不一致。这种不相干可能是由于数值算法的缓慢收敛造成的。下面我们回到这一点。此外，Glasserman和Xu（2014）声称，“模型误差并不对应于参数中的直接误差”（参见第37页）。

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2022-6-25 05:07:37

为了说明这一想法，因为在均值-方差-固定均值框架中，替代模型与标称模型不同，只是方差矩阵不同。这些作者研究了通过改变两个参数获得的风险度量值：公共相关参数ρ和乘以方差的参数k。图3：梯度下降算法在二维二次函数的最小化。其他一阶优化算法也有类似的结果。我们注意到，算法在达到流体维度的正确最优值方面进展缓慢。在更多维度上，这种行为被放大，算法无法以合理的精度达到最优。方差矩阵∑中的参数σ。特别是，他们让相关参数在ρ=0.05和ρ=0.45之间变化，参数k在k=0.72和k=1.32之间变化。Glasserman和Xu（2014，图1，p.37）分别给出了通过改变k和ρ获得的结果，该结果与图2右侧面板中的蓝色十字和绿色星星一致。新的结果是，参数ρ和k的扰动在与之前相同的范围内，修改了风险度量的值，达到了替代度量中获得的值（参见图2中的黑圈）；i、在这个框架中，模型误差可以完全解释为估计误差。此外，因为在这种情况下我们有一个完整的解析解，我们可以理解为什么数值方法会很慢。解决优化问题（40）相当于选择抛物面的最小值。一阶算法在特征值较高的方向上下降较快，而在特征值较低的方向上下降较慢。

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可人4

2022-6-25 05:07:40

例如，图3显示了在二维二次函数最小化中使用的梯度下降数值算法的演变：该算法在最大可变性方向上快速，但在最小可变性方向上变化缓慢；i、 e.，在矩阵∑的特征向量方向上，对应于最小特征值。在我们的例子中，对于兴趣区间中的每个η，我们必须解决一个优化问题。每个优化都有两个主要特征，如（41）所示：i）最大特征值几乎是其他特征值的n倍，ii）有n个- 1最小特征值。因此，数值算法在最小可变性的方向上变得缓慢，并且可能在达到正确的最优值之前停止，特别是当n非常大时。这可能是分析解决方案有用的原因之一。最后，作为第二个数值例子，我们考虑一个非对称情况。参数与前面的数值示例相同，但平均ui=0.1·（1+xi），i=1，10，从标准正态随机分布中提取。获得的边界如图4所示。在这种情况下，稳健投资组合，即最坏情况备选模型A中的最优投资组合？(θ?) （36）θ在哪里？是通过命题10获得的，与名义模型a中的最优投资组合不同吗？nom，正如我们在提案12中所证明的那样。图4中获得的结果与Glasserman和Xu（2014，图1，第37页）中的结果相似，两个图仅对垂直轴上的风险度量值有所不同，这取决于所选的u值。在图4中，我们可以观察到选择稳健投资组合的后果。一方面，对于稳健的投资组合，名义模型中的风险度量值更大（绿色虚线图4：风险度量值vs。

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2022-6-25 05:07:43

非对称情况下的相对熵。我们认为ui=0.1·（1+xi），i=1，10，其中xidn来自标准正态分布，而其他参数与图2相同。如图2所示，我们考虑了相对熵η∈ [0, 0.25]. 虚线显示了最优名义投资组合a？的名义模型中风险度量值？标称值（8）；黑线是最佳名义投资组合的最坏情况法（连续线）和最佳情况法（虚线）备选模型中的风险度量值？笔名；绿色虚线显示了robustportfolio a？名义模型中的风险度量值？(θ?) (36); 蓝色虚线显示了稳健投资组合备选模型中风险度量的价值。线）w.r.t.最优名义投资组合（红色虚线），后者明显不依赖于相对熵；另一方面，对于稳健投资组合（蓝色虚线）w.r.t.而言，备选最坏情况模型中的风险度量值（在（13）中的方差∑）明显较低，而稳健投资组合（蓝色虚线）w.r.t.则为最优名义投资组合（连续黑线）的值。6结论我们研究了均值-方差选择问题中模型风险对最优投资组合的影响。通过最坏情况法测量模型风险，将相对熵作为名义模型和备选模型之间差异的度量；特别是，我们考虑了半径为η的KL ball Pη内的所有备选模型。

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2022-6-25 05:07:46

当使用多元正态分布对资产收益进行建模时，Glassermanand Xu（2014）在均值-方差情况下对小Pη的该问题进行了数值求解，并对均值进行了额外约束，选择了与标称模型中的均值相等的值。在本文中，我们在一般均值-方差框架下解析地解决了一般KL-ball Pη的alternativemodel中的最优投资组合问题。我们已经证明，最坏情况下的最优投资组合是唯一的，由方程（28）给出，其中最优θ？方程R（θ？）的唯一正解=η，R（θ）在（31）中给出。我们还解决了Glasserman和Xu（2014）中考虑的特殊情况，在这种情况下，他们引入了替代平均值约束（参见解决方案（36）和熵（38））。最后，我们详细分析了模型风险和估计风险重合的情况，并给出了两个数值例子。特别是，其中一个例子实际上是Glasserman和Xu（2014，图1，第37页）的同一个示例，但无法再现其数值解。这一事实表明，在模型风险的最坏情况下，所提供的分析解决方案具有相关性，因为在某些情况下，从数值角度来看，解决所需优化（参见问题（4））可能是一个具有挑战性的运筹学问题。致谢作者感谢欧洲投资银行（EIB）研讨会的所有与会者、苏黎世ETH第19届定量金融研讨会的与会者以及多伦多大学2019年IAM金融数学与工程会议的与会者。

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能者818

2022-6-25 05:07:49

我们特别感谢Michele Azzone、Giuseppe Bonavolont\'a、Mohamed Boukerroui、SzabolcsGaal、Juraj Hlinicky、Aykut Ozsoy、Oleg Reichman、Sergio Scandizzo、Claudio Tebaldi、PierreTychon提出的有用意见。作者承认EIB研究所知识计划下的EIB财务支持。本文件中的发现、解释和结论完全是作者的，不应以任何方式归因于EIB。任何错误都是作者的错误。参考Boyd，S.和Vandenberghe，L.，2004年。凸优化，剑桥大学出版社。Cala fiore，G.C.，2007年。模糊风险度量和最优稳健投资组合，《暹罗优化杂志》，18（3），853–877。Gantmacher，F.R.和Krein，M.G.，1960年。Oszillationsmatrizen，oszillationskerne and kleineschwingungen mechanischer systeme，第5卷，Akademie Verlag。Gilboa，I.和Schmeidler，D.，1989年。具有非唯一先验的Maxmin期望效用，《数学经济学杂志》，18（2），141–153。Glasserman，P.和Xu，X.，2014年。稳健的风险度量和模型风险，定量金融，14（1），29–58。Hansen，L.P.和Sargent，T.J.，2008年。《鲁棒性》，普林斯顿大学出版社。Harville，D.A.，1997年。《统计学家视角下的矩阵代数》，第1卷，斯普林格出版社。Kerkhof，J.、Melenberg，B.和Schumacher，H.，2010年。《模型风险和资本储备》，银行与金融杂志，34（1），267–279。Kullback，S.和Leibler，R.A.，1951年。关于信息和效率，《数学统计年鉴》，22（1），79-86。Lam，H.，2016年。随机系统的鲁棒灵敏度分析，运营数学研究，41（4），1248–1275。Li，D.和Ng，W.L.，2000年。最优动态投资组合选择：多期均值方差公式，数学金融，10（3），387–406。Markowitz，H.，1952年。投资组合选择，金融杂志，7（1），77–91。默顿，R.C.，1972年。

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