一类一般的多重分形过程与股票价格

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收藏 2022-06-01

英文标题：
《A General Class of Multifractional Processes and Stock Price
Informativeness》
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作者：
Qidi Peng and Ran Zhao
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
We introduce a general class of stochastic processes driven by a multifractional Brownian motion (mBm) and study the estimation problems of their pointwise H\\\"older exponents (PHE) based on a new localized generalized quadratic variation approach (LGQV). By comparing our suggested approach with the other two existing benchmark estimation approaches (classic GQV and oscillation approach) through a simulation study, we show that our estimator has better performance in the case where the observed process is some unknown bivariate function of time and mBm. Such multifractional processes, whose PHEs are time-varying, can be used to model stock prices under various market conditions, that are both time-dependent and region-dependent. As an application to finance, an empirical study on modeling cross-listed stocks provides new evidence that the equity path\'s roughness varies via time and the stock price informativeness properties from global stock markets.
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中文摘要：
我们引入了一类由多分数布朗运动（mBm）驱动的随机过程，并基于一种新的局部广义二次变分方法（LGQV）研究了其点态H老指数（PHE）的估计问题。通过将我们提出的方法与其他两种现有的基准估计方法（经典的GQV和振荡方法）进行比较，我们给出了一种新的局部广义二次变分方法（LGQV）通过仿真研究，我们表明，当观测过程是时间和mBm的未知二元函数时，我们的估计器具有更好的性能。这种多分数过程的PHE是时变的，可以用来模拟各种市场条件下的股票价格，这些市场条件既与时间有关，又与地区有关。作为金融学的一个应用，对交叉上市股票建模的实证研究提供了新的证据，表明股票路径的粗糙度随时间和全球股票市场的股价信息特性而变化。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Mathematical Finance 数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Probability 概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Statistics 统计学
二级分类：Applications 应用程序
分类描述：Biology, Education, Epidemiology, Engineering, Environmental Sciences, Medical, Physical Sciences, Quality Control, Social Sciences
生物学，教育学，流行病学，工程学，环境科学，医学，物理科学，质量控制，社会科学
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A_General_Class_of_Multifractional_Processes_and_Stock_Price_Informativeness.pdf
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可人4

2022-6-1 05:58:29

一类一般的多分式过程和股价信息SQIDI Peng，冉昭摘要介绍了一类由多分式布朗运动（mBm）驱动的随机过程，并基于一种新的局部广义二次变分方法（LGQV）研究了其点态H¨older指数（PHE）的估计问题。通过仿真研究，将我们提出的方法与其他两种现有的基准估计方法（经典的GQV方法和振荡方法）进行比较，我们表明，在观测过程是未知的时间和mBm二元函数的情况下，我们的估计方法具有更好的性能。这种PHE是时变的多分式过程可以用来模拟各种市场条件下的股票价格，这些市场条件既与时间有关，又与地区有关。作为金融领域的一个应用，对交叉上市股票建模的实证研究提供了新的证据，表明股票路径的粗糙度随时间和全球股票市场的股票价格信息属性而变化。关键词：多分式过程·点态H¨older指数·LGQV估计·股价信息SMSC（2010）：62F10·62F12·62M861简介作为布朗运动（Bm）和分数布朗运动（fBm，见[30]）的自然延伸，多分式布朗运动（mBm）现已成功应用于金融、网络交易、生物、，地质和信号处理等。与Bm和fBm不同，mBm是一个连续时间高斯过程，其增量过程通常不是平稳的。然而，多重分形过程允许其局部H¨older规律随时间变化的特点使得该过程足够灵活，可以模拟比fBm更大类别的经验数据。在文献中，有几种略微不同的方法来定义mBm（参见[8、33、3、38]）。

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何人来此

2022-6-1 05:58:32

在本文中，我们定义了一个mBm{X（t）}t∈[0,1]通过所谓的可协调表示（见[8,3]）：时间指数t∈ [0，1]，X（t）=ZReitξ- 1 |ξ| H（t）+1/2dfW（ξ），（1.1），其中：- H被称为{X（t）}t的逐点H¨older指数（PHE∈[0,1]. 再次证明，对于一个连续的无处可微过程{Y（t）}t，其局部正则性可以用PHE来衡量。ρY的pE是一个离散过程，定义为：对于每个t，ρY（t）=supα ∈ [0，1]：lim supε→0 | Y（t+) - Y（t）| |ε|α=0.对于mBm{X（t）}t，它由零一定律（见例[3]）表明，它的PHE H几乎肯定是确定性的。- 复数随机测度dfW由实值布朗测度dW的傅立叶变换定义。更精确地说，对于所有属于R上平方可积函数类的f（即f∈L（R）），我们有Zrbf（t）dfW（t）=ZRf（t）dW（t），其中bf表示f的傅里叶变换：bf（ξ）=ZRe-iξtf（t）dt，对于所有ξ∈ R、近年来，多分馏过程，尤其是mBm开始流行，并被广泛应用于经验市场条件下的金融建模。例如，2007年至2009年发生的上一次系统性金融危机强烈质疑了效率市场和非效率市场之间的经典二分法的合理性。人们认为，真实金融市场是一个复杂的系统，因此Bm和fBm过于简化，无法解释它。与fBm不同，mBm的灵活性足以克服这一不便，主要是因为其PHE可以随时间变化。Bianchi等人【14】的实证研究表明，现实世界的股票价格可以基于mBm建模。随后，Bianchi等人通过估计股价动态的PHE发现，PHE的波动率约为1/2（唯一的值与无风险一致），存在显著偏差。2012年，Bertrand等人。

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kedemingshi

2022-6-1 05:58:34

[9] 介绍mBm的Parse建模，并将其应用于纳斯达克时间序列。最近，Bianchi等人【11】提出了一种新的方法来量化市场在任何固定时间t的有效性。他们的动态方法基于对道琼斯工业平均指数（DJIA）、Dax指数（GDAXI）和日经225指数（N225）三大股指对数变化的时变PHE的估计，可以检测市场本身有效的时期，一旦确定了约束区间。注意，由于mBm增量过程的非平稳性，估计mBm的PHE比估计fBm更困难。当建模单个股票价格（例如特定实体的股票价格）而不是平均股票指数时，这个问题变得更具挑战性，因为前者不一定是无套利的，其对应的PHE可能是时间依赖的，并且可能取0到1之间的任意值。到目前为止，还没有一个令人满意的模型能够用多分式过程来拟合单个股票的价格过程。在本文中，我们旨在提供合适的模型来描述这些单独的股票价格。我们的主要贡献包括以下几点。1、我们引入了一类一般的多分式过程，可以用来描述股票市场上个人股票收益的行为。提出的模型基于以下假设：股票收益率是时间t和时间t的mBm的未知函数（见第2节）。2、在上述假设下，我们开发了一种新的有效方法来估计上述模型的PHE。我们的方法得出的估计值是一致的（见第3节）。3.

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能者818

2022-6-1 05:58:37

在第5节中，通过模拟研究，我们比较了三种估计方法（我们新的局部广义二次变分方法（LGQV）、经典的GQV方法和振荡方法）在不同函数Φ上的性能。4、在实证研究（第6节）中，我们应用一般多重分形过程对个股进行建模，并使用LGQV方法估计交叉上市股票的PHE。然后，我们确定驱动单个股票收益率PHE的市场因素。PHEs的估计表明，个别股票价格的PHEs是随时间变化的低估市场条件，其行为因不同的市场区域而异。这个有趣的结果使我们能够检查主要的个人股票的PHE驱动因素。请注意，提供了第5节和第6节中使用的Matlab代码。我们在第7节中总结了本文，并在第8节中提供了主要结果的证明。补充图、表格和其他详细的技术证明见附录（第9节）。2多分馏过程的一般类别在介绍我们感兴趣的一般多分馏模型之前，我们简要回顾了多分馏过程的PHE估计。在多分馏过程建模问题中，存在一个障碍：基本上没有直接观察到PHE。有效地估计价格的问题出现了。到目前为止，文献中存在许多估计策略。我们参考【17、18、10、5、26、39】及其参考文献。Coeurjolly[17，18]使用LGQV方法，从mBm的观测离散样本路径开始，估计mBm的PHE（另见[16]）。Bertrand等人。

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能者818

2022-6-1 05:58:40

[10] 使用非参数估计方法-增量比（IR）统计方法研究与[17，18]中相同的估计问题。Bardet和Surgailis[5]后来将该IR估计器改进为所谓的伪增量比方法，并将其用于估计比mBm更一般的多分数高斯过程（其增量为fBm的倍数）。还有其他方法可以估计fBm的PHE，可以扩展到估计mBm的PHE。例如，在混沌理论和时间序列分析中，statisticalself-a函数是过程路径粗糙度的另一种度量。由于该指数与自相似过程（如fBm）的PHE密切相关，Peng等人[34，35]开发的垂直弯曲分析（DFA）方法可用于估计fBm的PHE。然后，可以通过随时间分段应用DFA来近似mBm的时变PHE。然而，统计自性并不等同于过程的PHE，因为它并不共享Hausdorff维度的所有属性【34，35】，而当相应的过程自相似时，Hausdorff维度等同于PHE。文献表明，基于小波的方法在估计PHE方面实际上比DFA更精确。Muzy等人【32】通过小波分解获得了湍流数据和布朗信号的表示。Bardet等人[4]已经应用小波系数方法来估计长记忆过程的PHE（例如，PHE大于1/2的fBm），其中导出了估值器的一些收敛速度。Wendt等人【42】开发了基于小波先导的多重分形分析，用于估计2D函数（图像）。受到上述作品的启发，Jinetal。

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nandehutu2022

2022-6-1 05:58:43

【26】提供了一种基于小波的多分式过程时变Phe估值器，当观测值是mBm的倍数的某个未知函数的小波系数时，具有明确的收敛速度，即观测过程的形式为Φ（θ（t）X（t）），Φ和θ为未知C函数。在[5]和[26]中，构造了具有收敛率的PHE估计量，并讨论了选择输入参数的策略。注意，在我们的论文中，我们还考虑了一个比[26]中的模型更一般的模型，因为它允许Φ是t和x的函数，即我们假设观测信号是时间t和mBm x的未知函数：Φ（t，x（t））。我们应用基于LGQV的方法来估计Φ（t，X（t））的PHE，当没有观察到其离散路径时。与Jin等人[26]类似，构造了一个收敛速度很快的估计量，并讨论了适当的参数选择。在[39，40]中，讨论了可用于估计具有连续路径的所有过程的PHE的振荡估计方法。我们的方法的主要优点是：（1）模型简单且通用，足以用于金融应用。（2）与振荡估计方法相比，LGQV方法具有更高的精度，它允许我们从大范围的值中选择输入参数。我们将提供LGQV估计值的精确收敛率，这将进一步帮助从业者确定最佳输入参数值。（3）增量比方法的一个缺点是，它无法估计整个时间间隔内的PHE【0，1】。图2是一个示例，显示了{H（t）}t路径的一部分∈[0,1]通过增量比率法估算。然而，基于LGQV方法的算法可以从t=0到t=1逐点估计H。

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能者818

2022-6-1 05:58:46

此外，它可以使用各种编程语言（如Matlab、R和Python等）轻松实现。图1：该图显示了mBm路径的PHE增量比（IR）估计值[5]。蓝线表示真实的PHE，红线表示IR估计的PHE。IR方法的缺点之一是两侧尾部（起点和终点）上估计的PHE损失。在本文中，我们考虑以下模型：∈ [0，1]，Z（t）=Φ（t，X（t）），（2.1），其中- {X（t）}t≥0是（1.1）中定义的mBm。假设其PHE H属于函数类C（[0，1]）（这意味着H在[0，1]上是二阶连续可微的）和[H*, H*] （0，1），其中H*=输入∈[0,1]H（t）和H*= 支持∈[0,1]H（t）。- Φ应该是一个未知的确定性C（R+×R）-函数。我们还假设几乎每个（x，y）的yΦ（x，y）6=0∈ R+×R \\{0}，存在两个常数c，c，例如0<c≤ |yΦ（x，y）|≤ C对于almostevery（x，y）∈ R+×R \\{0}。- 假设Z的离散采样路径：Z（u/2n）：u=0，2n个isobserved for some n∈ N足够大。从（2.1）中，我们看到模型{Z（t）}仅由时间指数和mBm{X（t）}t驱动。这是非常普遍的，因为函数Φ“存在”于一大类函数C（[0，1]），更重要的是，它应该是未知的。{Z（t）}的示例包括mBm、基于mBm的自我调节过程[7]，以及第5.3节中观察离散样本路径Z（t）=Φ（t，X（t））的PHE LGQV估计：Z（0），Z2n个, Z2n个, . . . , Z2n个- 12牛顿, Z（1）,其中n表示一个足够大的整数，我们的目标是提出一种能够估计隐藏mBm{X（t）}t的PHE H（t）的方法∈[0,1]在任意时间t∈ (0, 1). 为此，我们采用了一种局部广义二次方差（LGQV）估计方法。

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何人来此

2022-6-1 05:58:49

在说明我们的主要结果之前，我们需要简要介绍一些符号，这些符号将在本文的其余部分使用通常，a=（a，…，ap）∈ Rp+1是一个任意但固定的序列，具有Q≥ 1消失力矩，即pXk=0klak=0，对于l=0，Q- 1，pxk=0kQak6=0。（3.1）o对于所有整数n≥ p+1和i∈ {0，…，n- p- 1} Z的广义增量，aZi，n和X的值，aXi，n定义如下：，aZi，n：=pXk=0akZi+k，nandaXi，n：=pXk=0akXi+k，n，（3.2），其中Zi+k，nand Xi+k，n注意过程Z和X的值，时间（i+k）/n，即Zi+k，n：=Zi+kn和Xi+k，n：=Xi+kn. （3.3）o对于所有整数n≥ p+1，我们用νn（t）表示定义的指数集，νn（t）=我∈ {0，…，n- p- 1} :在里面- t型≤ v（n）, （3.4）其中v（·）是n的任意函数≥ p+1，取值为（0，1），表示每个整数n≥ p+1，v（n）≥ n-1和limn→∞nv（n）=∞.注意，νn（t）标记了t邻域中的时间t。如[17，18]所述，H（t）的估计仅依赖于Z（t）的观测，因为t与t“相邻”。因此，估计精度将取决于为每个t选择的邻域的大小。理论和实证研究都倾向于表明，邻域的大小不应选择得太大也不应太小，即估计器的收敛速度和偏差之间存在权衡对于所有整数n≥ p+1我们将nt定义为νn（t）中的点数：nt=#νn（t）。（3.5）然后我们快速观察到NT∈[2nv（n）]，[2nv（n）]+1}，（3.6），其中[·]是整数部分函数。下一节将介绍主要结果。在这一节中，我们构造了H（t），t∈ {Z（t）}t的[0，1]∈[0,1]. 回想一下，在统计学理论中，如果θn在概率上收敛于θ，则参数θ的估计量θnof是（弱）一致的，如n→ ∞.

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能者818

2022-6-1 05:58:52

设{Un}n≥1是随机变量的任意序列和{vn}n≥1作为一个非消失实数序列，我们使用符号SUN=Oa。s、（vn）和Un=OP（vn）表示Psupn公司≥1 | Un | | vn |<∞= 1和limη→∞supn公司≥1便士|Un | | vn |>η= 分别为0。备注Un=Oa。s、（vn）导致Un=OP（vn），几乎确定的收敛意味着概率上的收敛。我们下面的第一个主要结果提供了一个特定公式y（t）=σ（t）X（t）的多分数过程广义增量的协方差的精细识别。稍后，我们需要这个结果来估计X（t）：Z（t）=Φ（t，X（t））的更一般函数的PHE。命题4.1设{X（t）}t∈[0,1]是mBm，Y（t）=σ（t）X（t），σ是独立于X的二阶随机过程，二元函数θ（s，t）：=E（σ（s）σ（t））满足θ∈ C（[0，1]）。对于序列a∈Rp+1，假设Q≥ 2，那么每k，k∈ {0，1，…，n- p- 1} ，我们有，（1）如果k 6=k，Cov(aYk，n，aYk，n）=CH（kn）+H（kn），Qn-H（k/n）-H（k/n）θ（k/n，k/n）| k- k | 2Q-H（k/n）-H（k/n）+n-H（k/n）-H（k/n）R（n，k，k，Q），（4.1），其中-C∈ C（[0，1]×R+）是一个确定性函数，其解析表达式在附录（9.10）中给出。-剩余项R（n，k，k，Q）满足x0≤k、 k级≤n | R（n，k，k，Q）|=On-1（对数（n））.（2）的方差aYk，NCA可识别如下：V ar(aYk，n）=C千牛n-2H（k/n）+O（n-2H（k/n）-1 | log n |），（4.2），其中附录（9.19）中描述了系数C（k/n）。我们很快指出，在上述命题中，将σ视为C（[0，1]）类确定性函数没有任何不便。还值得注意的是，命题4.1有其自身的利益，因为它给出了Y（t）=σ（t）X（t）广义增量的协方差结构的精确估计，其剩余项具有明确的收敛速度。

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nandehutu2022

2022-6-1 05:58:55

为了激发上述事实，我们简单地将命题4.1与下面[17]中的引理1进行比较：1。命题4.1将[17]中的引理1从mBm X（t）扩展到随机波动过程Y（t）=σ（t）X（t），这是金融时间序列分析中的一个有用模型。2、与[17]引理1中的（iii）不同，命题4.1通过发现剩余项的明确标识，提供了πaH（k）的明确标识。命题4.1和引理1之间关于H的假设的唯一区别在于我们假设H∈ C（[0，1]），而在[17]中，假设H∈ Cη（[0，1]），带η∈ (0, 1).命题4.1的证明是技术性和长期性的。移至第9节：附录。第二个主要结果涉及在非常一般的条件下，估计一般过程的PHE z（t）=Φ（t，X（t））：定理4.2选取序列a∈ Rp+1及其第一个Q≥ 2个瞬间正在消失。我们在v（n）上列出以下条件。（i） v（n）满意度：limn→∞Xl=0v（n）ln（l-2） H（t）|对数n | 2-l/2=0，对于所有t∈ (0, 1).（ii）v（n）满意度：Xn≥p+1（nv（n））<∞.对于t∈ （0，1），定义n（t）=Xi∈νn（t）aZi，n, （4.3）和BHN，t=1+日志v（2n）v（n）+ 日志Vn（t）V2n（t）, （4.4）其中logis是以2为底的对数。（1）如果v（n）满足条件（i），我们有bhn，t- H（t）=Oa。sXl=0v（n）ln（l-2） H（t）|对数n | 2-l/21/2+v（n）H（t）| log（v（n））| 1/2！+操作v（n）对数n+v（n）-1n-1..（2）如果v（n）满足条件（i）-（ii），则bhn，ta。s----→n→∞H（t），其中。s----→n→∞几乎可以肯定地表示收敛。定理4.2是我们的关键结果。它提供了{Z（t）}在非常一般的情况下的PHE的一致估计。此外，定理4.2（1）阐述了估计量的收敛速度。我们看到，收敛速度仅取决于样本大小n和v（n）。

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mingdashike22

2022-6-1 05:58:58

定理4.2的证明见第8.5节模拟研究：参数选择和与基准方法的比较我们进行模拟研究，以比较定理4.2中提供的PHE估计器与其他两种基准方法的性能：所谓的经典GQV（见[6，3]）和振荡法（见[6]）。下面，webrie简要介绍经典的GQV和振荡方法GQV方法用于估计所谓广义mBm【3】和一些多分数信号【6】的PHE，它基于以下结果（见【3】中的定理2.2】：limn→∞1.- γ -日志Vn（t）日志n= H（t），其中γ=-对数v（n）/n。注意，如果H*< 然而，γ<1/2时，存在概率收敛保持的较温和条件。我们还注意到，虽然我们的方法也基于经典的GQV，但它比上述方法更复杂，因为在我们的情况下，应该引入一些常数C来抵消未知因素yΦ（t，X（t））in（8.30）。o振荡法非常通用，它基于以下内容（见[39]和[6]中的编码算法）：H（t）=lim infε→0对数| Z（t+) - Z（t）| log |ε|。上述两种方法在Matlab代码中的实现可在INRIA的FracLab中找到：https://project.inria.fr/fraclab/.在实证研究中，我们使用了codeversion FracLab 2.2。5.1参数选择为了更方便，我们用LGQV（局部广义二次变分法）表示定理4.2中提供的PHE估计。

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能者818

2022-6-1 05:59:01

在这一节中，我们讨论定理4.2中函数参数v（n）的最佳选择。在LGQV和经典GQV中，我们将估计邻域半径v（n）设置为v（n）=n的形式-γ（n），带γ（n）∈ （0，1），这可能取决于n。在LGQV中，为了选择满足定理4.2中条件（ii）的一些v（n），我们考虑以下比条件（ii）略强的条件：v（n）n | log n | 4/3=1，等价地，γ（n）=+log（log（n））log（n）。我们不选择γ的原因≡ 1/2但一个更强的条件是避免系统计算误差，当参数接近极值时，系统计算误差通常会产生很大的影响。作为基准，在[6]中的经典GQV示例中，在整个模拟研究中，邻域半径参数γ被选择为常数0.7。LGQV中半径选择的一个显著特征是γ（n）减小ashttps://project.inria.fr/fraclab/download/overview/.n与经典GQV方法选择的常数γ相比，增加。此外，通过这种选择，LGQV方法的邻域半径v（n）比经典的GQV方法小一次n≥ 380，如图2左侧的图表所示。在振荡法中，需要一个邻域来估计每个点的PHE。默认情况下，我们在方法中将[nα，nβ]设置为α=0.1和β=0.3（请参见[6，39，40]）。我们在estimationneighborhood中提供了关于点数的理论选择，它允许分数点数。在使用GQV和LGQV方法进行实际估计时，我们将邻域中的理论点数取整为最接近的整数值。

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可人4

2022-6-1 05:59:04

对于振荡法，邻域的下界四舍五入到上限整数值，而邻域的上界四舍五入到下限整数值。5.2实验设计在本节中，我们演示了模拟实验，以检查和比较LGQV估计器与常规基准方法（即经典的GQV和γ）的估计精度≡ 0.7和振荡方法，Φ（t，X（t））的各种函数形式。我们选择的PHE是H（t）=0.5+0.3 sin（2πt），对于t=0，1/n，（n）-1） /否，1。我们使用{X（i/n）}i=0，…，的模拟场景来检验估计量的收敛性能，。。。，n、氮含量在100到1000之间。我们利用Wood Chan方法【43】生成mBm的独立场景。因此，可以生成{Φ（t，X（t））}与Φ的各种形式的场景。然后，我们直接从{Φ（t，X（t））}t的这些场景开始估计PHE。然后，我们使用Φ（t，X（t））不同类别的函数形式的场景，将LGQV的估计结果与基准GQVand振荡方法进行比较。均方根误差（RMSE）用于测量和量化PHE估计性能。我们使用100个独立场景从原始H（t）计算每个RMSE。我们提出了Φ的三类函数形式。第一类包含mBm的单变量函数Φ（X（t）），其中Φ是C∞（R）功能。当Φ足够平滑时，当X（t）接近0时，该类别中变换的mBm的行为与mBm本身没有显著差异。因此，我们期望LGQV具有与基准方法相似的估计性能。

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能者818

2022-6-1 05:59:07

第一类中的特定函数形式包括：oΦ（t，X（t））=X（t），oΦ（t，X（t））=exp（X（t））。图2：将经典GQV和LGQV方法的估计半径参数γ（n）与左图中不断增加的观测值n进行比较。右图绘制了用于估计的点数，对应于每种方法的观测数n。第二类包含时间和mBm的函数形式，例如Φ（t，X（t））。这种功能类型的mBm是LGQV优于经典GQV方法的地方。值得注意的是，使用这种函数形式Φ（t，X（t））来建模金融时间序列更为合理。请注意，金融衍生品定价中最常用的形式是Φ（t，W（t））（其中W（t）表示Bm），通常使用It^o公式。然后我们的模型Φ（t，X（t））自然地扩展了后者。我们预计LGQVis在这一类别中的RMSE小于两种基准方法。我们在这一类中采用的函数形式包括：oΦ（t，X（t））=sin（t）X（t），oΦ（t，X（t））=sin（t）+X（t）。函数形式的第三类是Φ（σ（t），X（t）），其中σ（t）是独立于{X（t）}t的离散过程（这包括σ（t）是具有连续不可微路径的确定性函数的情况）。我们将考虑σ（t）=g（W（t）），g是光滑函数的情况。这是LGQV和经典GQV都不适用的场景。这类函数形式的PHE估计将是未来研究的兴趣所在。我们在这一类中考虑的函数形式包括：oΦ（W（t），X（t））=W（t）X（t），oΦ（W（t），X（t））=W（t）+X（t），其中{W（t）}是独立于mBm{X（t）}t的布朗运动。我们对样本路径长度n=100，200。

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mingdashike22

2022-6-1 05:59:11

, 1000.对于每个样本路径长度n，我们分别模拟上述每种函数类型的100个独立场景，并使用经典的GQVand振荡方法LGQV估计其PHE。计算每种方法的PHE估计的平均RMSE。文中还对不同阶数（Q=2、3、4、5）的LGQV方法的收敛速度进行了说明和比较。5.3模拟结果在给出模拟结果之前，有必要考虑mBm的最简单函数形式：Φ（t，X（t））=X（t）。理论上和直观上，在这种情况下，经典的GQV方法应该比LGQV具有更好的收敛性能。原因是后一种方法估计Φ的泰勒展开式的一阶和二阶项，这在这种特殊情况下是不必要的。因此，LGQV会减慢估计器的收敛速度。当Φ（t，X（t））=X（t）时，两种方法的性能如表1所示，左上图如附录图8所示（见第9.5节）。在这种特殊情况下，经典的GQV方法在较低的平均RMSE和估计标准偏差方面优于SLGQV就不足为奇了。图3：函数形式为Φ（X（t））=exp（X（t））。上图比较了经典GQV（红色实线）、LGQV（蓝色虚线）和振荡（绿色虚线）方法中的平均RMSE（超过100个模拟），这些方法在每个mBm路径中增加了点数。第二个上图比较了LGQV方法中不同阶差的平均RMSE。从顶部开始的第三个和第四个图在模拟mBm时使用的真实H（t）的基础上，通过各种方法绘制估计的H（t）函数。真PHE isH（t）=0.5+0.3 sin（2πt）。在图3中，我们说明了第一类函数形式Φ（t，X（t））=exp（X（t））的PHE估计的比较结果。

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