基于贝叶斯模型平均的半参数GARCH算法

nandehutu2022

2075

收藏 2022-06-01

英文标题：
《Semiparametric GARCH via Bayesian model averaging》
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作者：
Wilson Ye Chen, Richard H. Gerlach
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
As the dynamic structure of the financial markets is subject to dramatic changes, a model capable of providing consistently accurate volatility estimates must not make strong assumptions on how prices change over time. Most volatility models impose a particular parametric functional form that relates an observed price change to a volatility forecast (news impact function). We propose a new class of functional coefficient semiparametric volatility models where the news impact function is allowed to be any smooth function, and study its ability to estimate volatilities compared to the well known parametric proposals, in both a simulation study and an empirical study with real financial data. We estimate the news impact function using a Bayesian model averaging approach, implemented via a carefully developed Markov chain Monte Carlo (MCMC) sampling algorithm. Using simulations we show that our flexible semiparametric model is able to learn the shape of the news impact function from the observed data. When applied to real financial time series, our new model suggests that the news impact functions are significantly different in shapes for different asset types, but are similar for the assets of the same type.
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中文摘要：
由于金融市场的动态结构会发生巨大变化，因此，能够提供一致准确的波动性估计的模型不得对价格随时间的变化做出强有力的假设。大多数波动率模型都采用一种特殊的参数函数形式，将观察到的价格变化与波动率预测（新闻影响函数）联系起来。我们提出了一类新的函数系数半参数波动率模型，其中允许新闻影响函数为任何光滑函数，并在模拟研究和真实金融数据的实证研究中，研究了其估计波动率的能力。我们使用贝叶斯模型平均法估计新闻影响函数，该方法通过精心开发的马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）采样算法实现。仿真结果表明，我们的柔性半参数模型能够从观测数据中学习新闻影响函数的形状。当应用于实时金融时间序列时，我们的新模型表明，不同资产类型的新闻影响函数形状显著不同，但相同类型的资产的新闻影响函数相似。
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分类信息：

一级分类：Statistics 统计学
二级分类：Methodology 方法论
分类描述：Design, Surveys, Model Selection, Multiple Testing, Multivariate Methods, Signal and Image Processing, Time Series, Smoothing, Spatial Statistics, Survival Analysis, Nonparametric and Semiparametric Methods
设计，调查，模型选择，多重检验，多元方法，信号和图像处理，时间序列，平滑，空间统计，生存分析，非参数和半参数方法
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一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Risk Management 风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Statistics 统计学
二级分类：Applications 应用程序
分类描述：Biology, Education, Epidemiology, Engineering, Environmental Sciences, Medical, Physical Sciences, Quality Control, Social Sciences
生物学，教育学，流行病学，工程学，环境科学，医学，物理科学，质量控制，社会科学
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Semiparametric_GARCH_via_Bayesian_model_averaging.pdf
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大多数88

2022-6-1 06:49:39

通过贝叶斯模型的半参数GARCH平均Wilson Ye Chen和Richard H.Gerlachs悉尼理工大学数学和物理科学学院澳大利亚研究委员会数学和统计前沿卓越中心悉尼大学商业分析学科8月24日，2017年摘要由于金融市场的动态结构会发生巨大变化，一个能够提供一致准确波动率估计的模型不能对价格如何随时间变化做出强有力的假设。大多数波动率模型都采用一种特殊的参数函数形式，将观察到的价格变化与波动率预测（新闻影响函数）联系起来。我们提出了一类新的函数系数半参数波动率模型，其中允许新闻影响函数为任何光滑函数，并通过模拟研究和实证研究，研究了与众所周知的参数建议相比，该模型估计波动率的能力。我们使用贝叶斯模型平均法估计新闻影响函数，该方法通过精心开发的马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）采样算法实现。通过仿真，我们表明我们的柔性半参数模型能够从观测数据中学习新闻影响函数的形状。当应用于真实金融时间序列时，我们的新模型表明，不同资产类型的新影响函数在形状上存在显著差异，但对于相同类型的资产，新影响函数的形状相似。关键词：波动率、新闻影响函数、马尔可夫链蒙特卡罗、函数效率、回归样条、重尾1介绍自Engle（1982）和Bollerslev（1986）的开创性研究以来，在过去三十年的文献中，GARCH模型的扩展一直在积极发展。

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能者818

2022-6-1 06:49:42

由于GARCH模型新息分布的正态性假设通常不足以描述每日收益的超额峰度，一系列研究集中于具有可变参数新息分布的ARCH模型。例如，学生的t分布（Bollerslev，1987）、广义误差分布（GED）（Nelson，1991）、偏态t分布（Hansen，1994）、正态逆高斯（NIG）分布（Jensen和Lunde，2001）、第二类指数广义贝塔分布（EGB2）（Wang等人，2001）、非对称拉普拉斯分布（Chen等人，2012），以及双侧威布尔分布（Chen和Gerlach，2013）。另一个研究方向是开发灵活的条件波动动力学。例如，EGARCH（Nelson，1991年）、GJR-GARCH（Glosten等人，1993年）、threshold-GARCH（Zakoian，1994年）、NAGARCH（Engle和Ng，1993年）、smooth transition-GARCH（Lubrano，2001年）、具有缓慢变化波动性成分的GARCH模型（Amado和Ter¨asvirta，2013年）、Beta-tGARCH（Harvey和Chakravarty，2009年）以及更一般的分数驱动模型家族（Creal等人，2013年；Harvey，2013年）。如果允许创新分布或条件波动率动态为未知形式并进行非参数估计，则所得模型被称为半参数GARCH模型。为了避免由于误判而导致的效率损失或不一致，一些研究建议使用非参数估计器（如核密度估计器）来估计创新密度。例如，详见Engleand Gonzalez Rivera（1991）、Drost and Klaassen（1997）、Sun and Stengos（2006）和Blaskes et al.（2015）。

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何人来此

2022-6-1 06:49:45

在继续研究后一类半参数GARCH模型之前，让我们先介绍一些符号，这是本文的重点。考虑一个由{yt:t表示的离散时间实值随机过程∈ Z} （下文使用缩写符号{yt}），使yt=σtt、在哪里{t} 是带E的i.i.d.序列(t） =0和Var(t） =1。通过构造，{yt}是一个鞅微分序列。因此，σ是yt的条件方差；i、 e.，Var（yt | Ft-1） =σt，其中ft-1=σ（{ys:s≤ t型-1} ）表示包含过程过去观测的最小σ-代数，并表示t处的可用信息- 1、假设σ是一个函数的值，该函数可能包含许多过去的观测值，σt=h（yt-1，yt-2.ad inf），其中h（·）被称为波动率函数。GARCH模型的大多数扩展，包括具有非参数估计密度的扩展，都对波动率函数h（·）的形式做出了特定的参数假设，该函数在条件波动率过程的建模中起着关键作用。为了不需要在各种备选参数建议中进行选择，一些研究集中于挥发性函数的非参数推广。Pagan和Schwert（1990）以及Masry和Tjostheim（1995）等研究假设h（·）是一些J<∞,σt=h（yt-s年初至今-sJ），（1）使用滞后{s，…，sJ}先验选择，并使用aJ维平滑器非参数估计h（·）。例如，请注意（1）可以用yt=h（yt）的形式写入-s年初至今-sJ）+ut，其中ut=σt(t型-1）而{ut}是一个鞅差序列，这表明可以使用核回归方法，通过对滞后观测值yt进行回归来估计h（·）-s年初至今-sJ。

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可人4

2022-6-1 06:49:48

在实践中，（1）中的模型只能对一个小JA进行估计，它支持所谓的“维度诅咒”；h（·）的一致非参数估计的最优收敛速度随着维数的增加而迅速下降；例如，见Stone（1980）和Hansen（2008）。由于从许多经验数据集估计的条件方差过程是高度持久的，因此（1）中的模型通常需要较大的j值才能充分捕获经验观测到的高度持久性。为了提高可达到的最佳收敛速度，哈夫纳（1998）、卡罗尔（2002）、杨（2002）和王（2012）等研究集中于σt=JXi=1ψi（θ）m（yt）形式的加法模型-i），（2）对于某些J<∞, 其中，系数函数{ψ（θ），…，ψJ（θ）}假定已知参数向量θ，光滑但未知的单变量函数m（·）是非参数估计的。Gourieroux和Monfort（1992）、Engleand Ng（1993）、Linton和Mammen（2005）等研究认为，J=∞ 在（2）中。他们的模型包括作为特例的流行GARCH（1，1）模型，而（2）是半参数ARCH（J）模型。注意，在（2）中，如果我们让J=∞, θ=β，ψi（β）=βi-1，带β∈ （0，1），那么（2）中的波动率函数可以写成σt=βσt的形式-1+米（yt-1). （2）中的函数m（·）在文献中通常被称为“新影响函数”，因为它根据观察yt中包含的新信息更新条件波动率-1.

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大多数88

2022-6-1 06:49:51

B¨uhlmann和McNeil（2002）以及Audrinoand B¨uhlmann（2009）研究了另一种建模波动率函数h（·）的替代策略，其中h（·）被假定为光滑但未知的双变量函数σt=h（yt-1，σt-1），并使用双变量平滑方法进行非参数估计。本文提出了一种新的半参数GARCH模型，其中未观测条件方差{σt}序列遵循函数系数自回归（FAR）过程。我们使用二次回归样条对系数函数进行建模，其中节点的数量和位置都是使用贝叶斯模型平均（BMA）方法选择的。BMA中的一个关键步骤是计算随机变量对模型参数联合后验分布和节点位置的期望。为此，我们开发了一种自适应马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）算法来模拟这种联合后验分布。与（2）中的加性模型类似，该方法只需要估计未知的单变量函数，然而，与（2）不同，我们的模型嵌套了GARCH（1，1）模型。与具有全局带宽的核回归方法相比，具有策略性放置节点的回归样条线具有局部自适应的优势（Smithand Kohn，1996），因此可以适应不同区域的平滑度。论文的其余部分结构如下。第2节介绍了我们的半参数GARCH模型，展示了如何将各种参数模型编写为建议模型的特例，并定义了样条函数系数。第3节描述了贝叶斯环境中的模型，并解释了如何使用MCMC采样算法估计标量参数和函数系数。

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kedemingshi

2022-6-1 06:49:53

第4节介绍了一项仿真研究，将所提出的模型的性能与流行的参数备选方案进行了比较。第5节通过将其应用于十个真实金融时间序列来演示所提出的模型，并基于平均DIC进行了模型比较研究，这是通常的单一模型DIC的一个轻微概括。2拟议模型2.1函数系数半参数GARCH继续使用第1节中介绍的符号，让{rt:t∈ Z} 表示一个重值离散随机过程，Ft=σ（{rs:s≤ t} ）表示{rt}的自然过滤。我们提出的函数系数半参数GARCH（以下由SP-GARCH表示）模型定义如下。rt=u+yt，yt=σtt、 σt=ω+g(t型-1） σt-1、（3）其中{t} 是i.i.d.创新序列(t） =0和Var(t） =1。因此，u和σ分别是rt的条件平均值和条件方差；i、 e.，e（rt | Ft-1） =u和Var（rt | Ft-1） =σt。在（3）中，我们假设RTI的条件平均值随时间保持不变。常数平均假设在经验应用中是合理的，例如{rt}是金融资产日收益序列的模型（Taylor，2011）。创新的分布TCA可以从范围广泛的具有有限方差的参数族中选择，如第1节所述，也可以非参数建模。在本文中，我们采用参数方法，并假设t型~ Fsdt，ν，对于ν>2，其中Fsdt，ν表示具有ν自由度的标准Student-t分布。（如果由z=x[（ν）给出，则随机变量zfollows Fsdt，ν-2） /ν]1/2，其中x遵循自由度为ν的Student-t分布。

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2022-6-1 06:49:56

因此e（z）=0，Var（z）=1。）典型的假设是t遵循重尾分布的动机是，对于许多金融资产而言，使用估计波动率模型标准化的日收益分布是尾随且近似对称的（Taylor，2011）。（3）中提出的模型承认了以下解释：不可观测的条件方差序列{σt}遵循一个具有函数系数（·）的自回归过程。可以看出，函数g（·）的作用与（2）中的新闻影响函数m（·）的作用相似，因为它决定了σt-1根据创新的价值进行更新t型-1，可以认为是新闻。注意，g（·）的参数是滞后的dinnovationt型-1，与滞后中心观测yt相反-1、我们认为这是新模型相对于以前半参数方案的一个优势。例如，从建模者的角度来看它要么是完全已知的，要么至少是第三时刻已知的（通过构造），并且通常不依赖于时间，人们可以利用这种先验知识，通过在g（·）上施加某种结构来改进估计量的统计特性。此外，由于在不同的数据集中，g（·）的估计值可以在经验应用中直接进行比较。注意，g(t）是一个i.i.d.随机变量。假设g(t）被一个常数γ代替，且过程{σt}的初始值σ>0，因此{σt}成为完全确定性过程。对于γ∈ （0，1），我们可以看到γ控制σTapproach其下界ω/（1）的速率- γ）作为t→ ∞. 自g起(t）是一个随机变量(t） ]控制{σt}的平均衰减率，并被称为条件方差过程的持续性。

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2022-6-1 06:49:59

（3）中定义的过程{rt}是一个静止的ifE[g(t） ]∈ （4）如果{rt}是协方差平稳的，则其无条件方差由var（rt）=E（σt）=ω1给出-E[克](t）】。（5） GARCH（1，1）模型及其许多流行的参数扩展可以写成（3）中新SP-GARCH模型的特例，具有系数函数g（·）的特殊形式。例如，表1列出了一阶GARCH、GJR-GARCH、NAGARCH和Beta-t-GARCH模型作为（3）的特例写入时的系数函数形式，其中β、α、α、c和ν是参数，通常在R的子集中取其值，而I(-∞,0)() 取值1，如果 < 否则为0和0。图1显示了间隔中这些函数的对应图[-4，4]以及它们的形状如何随参数的不同值而变化。请注意，除GARCH模型外，所有模型都允许负创新对相同规模的正创新的条件方差作出不同的贡献。对于GJR-GARCH和Beta-t-GARCH模型，g（·）的不对称性是通过在零的每一侧不同地缩放偶数函数来创建的。对于负变元，标度因子为α+α，对于正变元，标度因子为α。此外，Nagarch模型是唯一允许g（·）的最小值出现在0以外的模型。对于Beta-t-GARCH模型，g（·）的形状与创新分布直接相关，创新分布假设为Fsdt，ν。Beta-t-GARCH模型可以被视为核心驱动模型家族的一个特定成员，Creal等人（2013）将其称为广义自回归得分（GAS）模型，Harvey（2013）将其称为动态条件得分（DCS）模型。在分数驱动的脆弱性模型中，g（·）是RTC相对于σt的条件分布的变换梯度函数（即分数）。

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mingdashike22

2022-6-1 06:50:02

当自由度参数较小时，Student-t分布的梯度函数会增强极端观测对条件方差的影响。请注意，u→ asν→ ∞. 因此，当新息分布为高斯分布时，Beta-t-GARCHmodel简化为GJR-GARCH。很容易证明，每个参数模型的平稳性条件和无条件变化与（4）和（5）中的新模型一致。GARCH g公司() = β + α.GJR-GARCH g公司() = β+[α+αI(-∞,0)()].NAGARCH g公司() = β + α( - c）。Beta-t-GARCH g() = β+[α+αI(-∞,0)()]u、 u=（ν+1）/(ν - 2 + ).表1（3）中g（·）的特定函数形式示例。图1:g（·）的曲线图[-4，4]用于各种参数GARCH模型。2.2样条系数函数在本文中，我们假设（3）中的系数函数g（·）是未知但光滑的单变量函数，从而推广了各种参数建议。我们用多项式回归样条非参数建模（·）。p的第p次多项式样条∈ N={0，N}，是一个分段构造的函数，其中每个分段都是一个pth级多项式函数。在域中，碎片连接在一起的点集称为结。值得一提的是，我们考虑一种所谓的回归样条线方法，其中节点数量明显少于观测数量，并且节点位置是建模任务的一部分。例如，一个简单的策略是将节点等间距放置或放置在特定的采样分位数处。

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kedemingshi

2022-6-1 06:50:05

这与平滑样条线方法不同（例如，参见Wahba（1990）），如果节点是观测本身，则明确增加粗糙度惩罚，以减少有效自由度。具体而言，我们模型中的系数函数由g给出() =pXi=0bii+KXi=1βi( - ki）p+，（6）其中p∈ Nis样条曲线的阶数，K∈ Nis节点数，{k，…，kK}是满足k<···<kK的节点序列，并且( - ki）p+被称为pth阶幂函数，定义如下( - ki）p+=( - ki）pI【ki，∞)(),与I[ki，∞)() 取值1，如果 ≥ K，否则为0。在（6）中，pth阶样条表示为函数的线性组合, . . . , p( - k） p+，( - kK）p+，（7）式中，b，血压，β，βkar是R中的系数。可以证明，（7）中的函数集是带节点k，…，的p次样条线空间的基础，kK（例如，见DeBoor（1978）和Ruppert et al.（2003））。此外，（7）中函数的任何线性组合都有p-1连续导数。由（7）给出的特定基础称为截断幂基。在本文中，我们将注意力集中在p=2和G的二次样条曲线上() = b+b + b+KXi=1βi( - ki）+。（8）可以表明，当p=2时，几个众所周知的参数模型可以用样条曲线系数精确表示。例如，根据表1中的定义，一阶GARCH对应于b=0和K=0的情况；GJRGARCH对应于b=β，b=0，b=α+α，β=-α、 K=1，K=0；NAGARCH对应于b=β+αc，b=-2αc，b=α，K=0。假设它既标准化又对称。

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能者818

2022-6-1 06:50:09

使用（8）中的定义和t、我们可以导出SP-GARCH条件方差过程的持续性，如下所示。E[克](t） ]=Z∞-∞g级(t） f级(t） dt=b+b+KXi=1βici，（9），其中f（·）是新息分布的密度函数，ci由ci=Z给出∞ki公司(t型- ki）f(t） dt、（10）如果f（·）是标准正态分布的密度函数，则ciin（10）的积分可以以闭合形式获得。ci=-√2πexp-ki公司k+（1+ki）erfcki公司√, （11）式中，erfc（x）=1- erf（x）表示互补误差函数。如果根据我们在第2.1节中的假设，f（·）代替了Fsdt，ν的密度函数，则该表达式相当复杂，并且该表达式的计算受到数值计算的限制。在这种情况下，作为一种实用的替代方法，可以使用数值积分算法（如单变量自适应求积）以高精度近似CIC的值。图2显示了c、…、，C使用fsdt的自适应求积计算，ν与ν∈ {2.2，3，8}，并使用（11）中的闭式表达式表示标准正态分布，其中对应的结k，kare处于QuantileLevel 0.1，Fsdt的0.9，8。

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何人来此

2022-6-1 06:50:11

可以看出，即使在ν=8时，{ci}区域的值也已经非常接近标准正态分布的分析计算值，这表明，对于t分布，当ν为中等或较大（例如，ν≥ 8).图2{ci}的值使用标准化t和ν的自适应求积计算∈ {2.2，3，8}，并对标准正态进行分析计算。3贝叶斯推断3.1贝叶斯模型平均值我们在第3节中的目标是估计（3）中定义的SP GARCHmodel的自由度ν、平均值u、常量参数ω和系数函数g（·），其中g（·）被建模为一个二次回归样条线，带有（8）中定义的节点序列{k，…，kK}。节点序列的选择在回归样条估计函数中很重要，因为它对估计施加了一定的结构。理想情况下，我们希望有少量位置良好的节点，这样我们就有了一个可以解释数据中重要细节的分类模型。我们采用贝叶斯变量选择方法，模型平均自然发生，在此过程中，我们考虑了两种类型的不确定性：节点序列{k，…，kK}中的不确定性和特定节点序列条件下的参数值中的不确定性。有关贝叶斯模型选择和模型平均的详细处理，请参见Raftery和Zheng（2003），Clyde和George（2004），以及其中的参考文献。假设有M∈ N个候选模型，按τ索引∈ {1，…，M}。Letθτ∈ Θτ表示与τth模型相关的参数向量，其中集合Θτ定义参数空间，并设r=（r。

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kedemingshi

2022-6-1 06:50:14

，rT）表示观察向量。进一步假设我们对估计一个量φ感兴趣，这样对于某些函数η（·），条件alon r，φ=η（θτ，τ）。例如，φ可以是条件波动率的一天提前预测值，或g的值(t）特定值为t、在模型不确定性的假设下，φ的后验平均值可以作为aBayesian点估计，该点估计是通过对所有候选模型进行平均得到的；^φBayes=E（φ| r）=MXτ=1ZΘτη（θτ，τ）p（θτ，τ| r）dθτ=MXτ=1ZΘτη（θτ，τ）p（θτ|τ，r）dθτp（τ| r）=MXτ=1E（φ|τ，r）p（τ| r）。（12）而对于一些问题，可以获得条件期望（φ|τ，r）和后验模型概率p（τ| r）的闭合形式表达式（例如，见Smith和Kohn（1996）），对于许多实际模型，它们在分析上很难处理，必须使用近似方法。即使在Smith和Kohn（1996）的案例中，由于候选模型数量众多，所以（12）中的总和也无法计算。我们开发了一种自适应MCMC算法，以模拟空间[τ]上定义的联合后验分布p（θτ，τ| r∈{1，…，M}τ×{τ}。如果{（θ[i]τ，τ[i]）：i∈ {1，…，N}}表示由MCMCS采样算法生成的p（θτ，τ| r）中的样本，然后可以计算出^φBayescan的近似值为^φMCMC=NNXi=1η（θ[i]τ，τ[i]）。（13）从（13）中可以看出，通过MCMC采样器的单次运行，可以在没有额外影响的情况下实现模型平均。（6）中的基础表示法的一个优点是，候选模型可以表示为嵌套在超级模型中的子模型（或受限模型）。如果我们将具有大量节点（即，大K）的amodel视为超级模型，那么具有特定节点序列的候选模型可以视为具有一组节点系数{βi}限制为零的子模型，对于某些i∈ {1，…，K}。

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可人4

2022-6-1 06:50:17

在贝叶斯方法中，节点选择可以通过允许每个节点系数β为零的正先验概率来实现。3.2关节后验在本节中，我们定义了模型参数和结序列的关节后验分布。我们采用了一种范例，其中有大量的潜在节点，并将其中的一个子集分配给一个候选模型。设θ=（ν，u，ω，b，b，b，β，…，βK）表示全模型的参数向量，K=（K，…，kK）表示势结的向量。每个候选模型由二元向量m=（m，…，mK）索引，使得mi=（0，如果βi=0，如果βi6=0。给定数据对（θ，m）的关节后验分布与似然度乘以关节前验成比例；p（θ，m | r）∝ p（r |θ，m）p（θ，m）。（14）根据（3）和（8）中的模型定义，可能性由p（r |θ，m）=p（r |θ）=I（θ）TYt=1p（rt | Ft）给出-1，θ），（15），其中每个观测RTI的条件分布是一个具有ν自由度的Student-t分布，其平均值为u，方差为σt，如果θ∈ 否则为零。在（15）中应该明确，r和m独立于θ；向量θ编码生成r所需的所有信息，作为嵌套模型设置的结果。我们假设F=σ(), 并将初始条件方差σ设置为r实现的样本方差。我们使用指示函数iΘ（·）来限制参数空间，当θ/∈ Θ. 严格的参数空间Θ定义为Θ=θ :2 < ν ≤ 200，ω>0,0<b+b+PKi=1βici<1，σt>0，对于t∈ {1，…，T+1}, （16）所以当θ∈ Θ，过程{rt}是协方差平稳的，具有由（5）给出的明确无条件方差，并且过程{σt}对于t是正的∈ {1, . . .

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kedemingshi

2022-6-1 06:50:20

，T+1}。注意，（16）中条件方差过程的正性限制依赖于数据，因为σ是θ和r的函数。Hudsonand Gerlach（2008）中使用了这种类型的隐式限制来代替有效条件，这些条件在模型参数中明确可用，但限制性更大。常数{ci}由（10）给出。由于（10）中的密度函数f（·）为Fsdt，ν，因此使用自适应求积对积分进行数值计算。从实现的角度来看，这些常数可以预先在一个有限的网格上计算一系列自由度ν，并存储在一个可查找表中。在评估指标函数I{θ∈Θ}（θ），表查找操作在计算上比运行正交算法要便宜。节理先验可构造为asp（θ，m）=p（θ| m）p（m）。（17）当m已知时，我们定义θasp的条件先验（θ| m）∝ ν-2KYi=1米夫高斯（βi；0，σβ）+（1- mi）δ（βi）, （18）其中fGauss（βi；0，σβ）是高斯密度，平均值为零，方差为σβ，deltafunctionδ（βi）表示βi=0时的点概率质量。以m为条件，假设参数先验独立。（18）中的条件先验表示，当mi=0时，已知βiis先验精确为零。由于每个βi的先验值以零为中心，σβ的值控制非零结系数的收缩水平。我们将σβ视为一个调整参数，其值由用户设置。从（18）中，我们可以看到，ν的先验性质类似于半柯西先验，尺度参数等于1。可以看出，这一先验知识是在ν上的-1、在GARCH模型的背景下，Bauwens和Lubrano（1998）和Chen等人（2012）等研究中使用了类似的ν先验值。对于除ν和β以外的所有参数，βK，（18）中的条件优先级为：。

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mingdashike22

2022-6-1 06:50:23

最后，对模型概率使用fl-prior，p（m）=0.5K∝ 1，（19），使每个模型都具有相等的先验概率。更一般地，可以使用独立的伯努利先验，p（m）=QKi=1[πmii（1- πi）（1-mi）]，具有不同的π值，πKto表示对某些结的优先选择。（17）至（19）中所述接缝的主要特征是，每个节点系数βIIs先验正概率为零。在文献中，βII的这种类型的先验称为尖峰和板先验（Mitchell和Beauchamp，1988；George和McCulloch，1993）。3.3自适应MCMC算法由于（12）中类型的精确贝叶斯估计无法使用闭式表达式，基于我们模型的联合后验分布，我们开发了一种自适应MCMC采样算法，以模拟（14）至（19）中定义的p（θ，m | r），并使用（13）计算近似估计。目的是构造一个平稳分布为p（θ，m | r）的遍历马尔科夫链，然后生成一条样本路径{（θ[i]，m[i]）：i∈ 链的{1，…，N}}}。一般来说，我们的采样算法包括以下步骤：1。设m[1]是长度为K的任意二元向量，i=1.2。生成建议（θ*, m级*) 从联合分布q（θ*, m级*| （a）生成m*自q（m*| m[i]，（b）生成θ*自q（θ*| m级*, m[我]）。3.设（θ[i+1]，m[i+1]）=（θ*, m级*) 概率为u，或（θ[i+1]，m[i+1]）=（θ[i]，m[i]），概率为1- u、 4。将i增加1，并从步骤2重复，直到i=N。在步骤2中，联合提案分发的构造方式与优先分发的构造方式类似；q（θ*, m级*| m[i]=q（θ*| m级*, m[i]）q（m*| m[i]，（20）式中θ*= (ν*, u*, ω*, b*, b*, b*, β*, . . . , β*K）和m*= （m）*, . . . , m级*K）。

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nandehutu2022

2022-6-1 06:50:27

我们可以生成一个实现（θ*, m级*) 从（20）开始，首先生成节点配置m*, 然后生成参数向量θ*以m为条件*, 如步骤2（a）和2（b）所示。在步骤2（a）中，以m【i】为条件，我们生成节点配置m*根据以下伯努利混合料建议密度。q（米*| m[i]=KYj=1hm[i]jfBern（m*j1.- π) + (1 - m[i]j）fBern（m*jπ） i，（21）其中fBern（m*jπ） =πm*j（1）- π)(1-m级*j）。通过使用（21）中的建议密度，结果链{m[i]}是K维二元向量空间中的随机游动，其中参数π控制步长。当π<0.5时，m[i]jand和m[i+1]Jar的实现更可能是相同的，而当π>0.5时，则相反。Letθ*mdenote a（6+PKi=1m*i） -仅包含θ元素的维向量*已知为非零（即θ*m隐含的子模型的参数向量*), 和θ*mdenote a（PKi=1（1- m级*i））-仅包含与m的零元素相对应的节点系数的维向量*. 在步骤2（b）中，当m*已知，我们写出θ的建议密度*asq（θ*| m级*, m[i]=q（θ*| m级*) = q（θ*m | m*)q（θ*-m | m*),其中q（θ*-m | m*) = δ(θ*§m）是表示θ处点质量的多元δ函数*-m=（0，…，0）。注意θ*和m[i]是条件独立的*. Wegenerateθ*M来自多元高斯分布的混合物，每个成分具有不同的尺度，q（θ*m | m*) =NmixXj=1wjfmvn（θ*m；^θm，j^∑m），（22），其中pnmixj=1wj=1，fmvn（θ*m；^θm，j^∑m）是具有平均向量^θ和协方差矩阵j^∑m的多元高斯密度。分量数Nmix，权重向量w=（w，…，wNmix），尺度向量w=（。

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可人4

2022-6-1 06:50:31

，Nmix）是调整参数，可以调整这些参数，以帮助采样算法有效地探索后验分布。必须仔细设置平均向量θ和基本协方差矩阵∑mm，以确保θ的建议密度*min（22）是子模型p（θm | m）的后验概率的一个很好的近似值*, r）∝ p（r |θm，m*)p（θm | m*). （23）我们首先从试点MCMC运行中生成一条样本路径，目标是子模型后验概率（23），这很容易通过对全模型p（θ| m）的条件后验概率施加零限制来获得*, r）。对于本次试运行，我们采用随机游走Metropolis（RMW）核和多元高斯建议分布，其协方差矩阵使用链的实现状态自适应估计到一个比例因子，同时比例因子自适应调整为目标接受率为0.234，如Robertsand Rosenthal（2001）。丢弃初始老化样本后，我们设置^θ和∑mtobe导频链的样本均值和样本协方差矩阵。如果由于适应（Roberts和Rosenthal，2007），该先导链的平稳分布不完全是（23），则仍然可以接受，因为先导链的唯一目的是学习^θ和^∑m的良好参数值，以减少计算成本，我们为每个新访问的节点配置保存^θmand∑mf的值，以便在重新访问相同配置时不需要重新运行RWM采样器。注意，以m为条件*, 提案分布是固定的，抽样算法有效地成为了一个独立的采样器（Tierney，1994），目标是（23）。与重要性抽样方法类似，如果建议密度是目标的良好近似值，且具有更大的尾距，则独立采样器是有效的（Roberts，1996）。

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mingdashike22

2022-6-1 06:50:34

我们设置Nmix=3，w=（0.85，0.1，0.05）和=（1，10，100），希望高斯混合提议密度比（23）中的TargetPostal更尾，而我们通过选择^θ和^∑musing引导链来近似目标的位置、比例和方向。在步骤3中，由于（20）是相对于产品间隔6+K×{0，1}K的自然测量的密度，标准Metropolis-Hastings接受概率是u的有效选项（Gruet和Robert，1997；Godsill，2001；Dellaportas等，2002），并由u=min“p（θ*, m级*| r） q（θ[i]，m[i]|θ*, m级*)p（θ[i]，m[i]| r）q（θ*, m级*| θ[i]，m[i]），1#=min“p（θ*, m级*| r） q（θ[i]| m[i]，θ*, m级*)q（m[i]|θ）*, m级*)p（θ[i]，m[i]| r）q（θ*| m级*, θ[i]，m[i]）q（m*| θ[i]，m[i]），1#。图3使用有向无环图（DAG）以图形方式表示步骤2中提案分布构造所隐含的条件独立集。使用DAG，u的表达式可以简化为tou=min“p（θ*, m级*| r） q（θ[i]| m[i]）q（m[i]| m*)p（θ[i]，m[i]| r）q（θ*| m级*)q（米*| m[我]），1#。使用节点配置的建议密度m*, 由（21）给出，Issymmety，接受概率进一步降低，tou=min“p（θ*, m级*| r） q（θ[i]| m[i]）p（θ[i]，m[i]| r）q（θ*| m级*), 1#.m[i]θ[i]m*θ*图3：DAG编码步骤2.4模拟研究中描述的提议生成过程所隐含的条件独立性集。进行模拟研究，以调查提议的SP-GARCH模型和流行参数备选方案的比较性能。考虑的参数模型为一阶GARCH、GJR-GARCH（GJR）和Beta-t-GARCH（Beta-t）。目的是研究SP-GARCH模型是否能够更准确地估计条件波动率{σt:t∈ {1，…，T}}这样σT=[Var（rt | Ft-1） ]1/2对于后跟{rt}的某些进程系列。

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nandehutu2022

2022-6-1 06:50:37

重点是比较条件波动率样本内和样本外估计中估计的系数函数和损失度量的结构特征。（3）和表1给出了比较参数模型的模型定义。每个模型的创新分布为Fsdt，ν。通过截断似然，约束参数以确保{rt}的平稳性和{σt}的正性，类似于（15）。对于每个参数模型，除ν外，大多数参数都使用fl-prior，其中prior与ν成比例-2、从四个数据生成过程（DGP）生成独立的T观测序列，标记为DGP 1、DGP 2、DGP 3和DGP 4。DGP可以（3）的功能系数形式写入，DGP i用于∈ {1，…，4}，给定byrt=σti、 t，σt=0.1+gi(i、 t型-1） σt-1，其中{i、 t}是来自Fsdt的i.i.d.序列，8表示i∈ {1，2}，来自Fsdt，5表示i∈ {3, 4}.系数函数g（·），g（·）规定如下。g级() = 1.1- 0.48( + 0.77)++ 0.58( + 0.473)+;g级() = 0.85 + 0.1;g级() = 0.82 + 0.15[6/(3 + )];g级() = 0.8+[0.1+0.15I(-∞,0)()].函数g（·）是一条二次样条曲线，在-0.77和-0.473处有两个节点。g（·）的动机是构建一个具有结构特征的系数函数，这些结构特征无法被大多数参数化GARCH模型完全捕获，但从实证角度来看，并非完全不现实。例如，g（·）意味着相对较小的负回报对次日条件波动率的影响不同于相同幅度的小正回报率，而一旦回报率超过某个阈值，负回报率的影响停止随其幅度增长。函数g（·）、g（·）和g（·）分别对应于一阶GARCH、Beta-t和GJR模型的系数函数。

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何人来此

2022-6-1 06:50:40

可以检查所有DGP是否满足（4）中的协方差平稳性条件，如下所示：(1，t）]=0.977，E[克(2，t）]=0.95，E[克(3，t）]=0.97，andE[克(4，t）]=0.975。我们从两个DGP中的每一个生成长度为T=4001的Nsim=500个独立序列。使用每个生成序列的前4000个观测值计算条件波动率的后验平均估计值（以及本节中列出的其他感兴趣量）；每个序列的最后一次观察是为了量化样本外性能。为了通过（13）计算SP-GARCH模型的后验均值估计，采用了第3.3节详述的自适应MCMC采样算法。samplingalgorithm运行5.5×10次迭代，其中在计算后验平均值估计时，忽略了前0.5×10次老化迭代。潜在节点k，karechosen作为标准化学生t分布的分位数，具有8个自由度，水平为0.1，分别为0.9；（21）中的步长参数π设置为0.1；（18）中的收缩参数σβ设置为2500。为了计算参数模型的后验平均值估计，我们使用独立采样器和多元高斯混合方案，如（22）所示。将高斯混合的平均向量和基本协方差矩阵设置为sameadaptive RWM采样器生成的导频链的样本平均值和协方差矩阵，如第3.3节中采样算法步骤2（b）中使用的样本平均值和协方差矩阵。独立采样器对于参数GARCH模型在Chen和So（2006）以及Chen et al。

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能者818

2022-6-1 06:50:43

(2012).图4为每个模型绘制了效率函数500个后验平均值估计值的蒙特卡罗（MC）平均值，以及95%的MC置信区间。MC平均值和MC置信区间均使用等距网格逐点计算[-4，4]，间距为0.01。对于DGP 1，只有SP GARCHis能够捕获真系数函数的基本特征。有趣的是，GJR和Beta-t模型都试图捕捉到接近零的g（·）的不对称性，其中发现了大多数创新，但遗漏了大型创新的重要特征。对于与GARCH模型相对应的DGP 2，除Beta-t之外的所有模型都能够近似于简单的二次函数。Beta-t模型表现不佳，因为如果新息分布的尾比高斯分布的尾更重，则其系数函数偏离二次函数。相反，当真实模型为Beta-t时，对于DGP 3，二次模型（GARCHand GJR）提供的近似值较差，因为对于小型创新，g（·）的增长速度比二次模型快，但对于大型创新，g（·）的增长速度比二次模型慢得多。SP GARCHis能够很好地近似于g（·），但创新分布的尾部除外，该尾部数据稀疏。最后，当真实模型为GJR时，SP-GARCH可以很好地学习g（·）的形状。

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能者818

2022-6-1 06:50:46

预期的是，近似值会越来越偏向深入创新分布的尾部。图4：每个图包含效率函数500个后验平均值估计值的MC平均值（红色虚线）、逐点95%MC置信带（粉色阴影区域）和真实函数（黑线）。为了比较两个DGP模型之间条件挥发度的后验平均值估计的质量，考虑了Lploss的样本内和样本外版本。对于第i个模拟序列，定义了样本内Lploss，对于p≥ 1，asL（In）p，i=“T- 1吨-1Xt=1 |σi，t- σi，t | p#1/p，其中^σi，是对第i个模拟序列进行tth观察时的波动率的后验平均估计，σi，是相应的真实波动率；对于不同序列的持续观测，确定了样本外Lploss，对于p≥ 1，asL（Out）p=“NsimNsimXi=1σi，T- σi，T | p#1/p。注意，样本外Lploss是按横截面计算的，而不是按时间序列计算的。案例p∈ 本研究考虑了{1，2}：当p=2时，损失测度L（·）p对应于通常的均方根误差（RMSE）；当p=1时，L（·）p对应于通常的平均绝对误差（MAE）。报告了每个HP实现的500个样本内Lploss的MC平均值∈ {1，2}，表2中的每个模型和每个DGP，其中L（in）pdenotes（1/500）Pi=1L（in）p，i。表3是表2的样本外类似物。我们进行了一些观察：（i）将表2与图4进行比较，很明显，条件波动率估计对系数函数的错误描述很敏感。（ii）与参数模型相比，SP-GARCH对此类错误规范具有鲁棒性，因为它可以适应广泛的系数函数。

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kedemingshi

2022-6-1 06:50:50

（iii）对于某些类别的效率函数，产生的效率损失（由于未使用正确的参数模型）非常小。例如，当真正的DGP isGARCH时，SP-GARCH与GJR模型一样有效，因为GJR的自由度仅比GARCH多一点，而SP-GARCH是一个更灵活的模型。（iv）样本外保留了SP-GARCH的相对准确性。这表明精度增益不是由过度拟合引起的。DGP 1 DGP 2 DGP 3 DGP 4’L（In）’L（In）’L（In）’L（In）’L（In）’L（In）’L（In）’L（In）’L（In）GARCH 0.296 0.229 0.035 0.026 0.228 0.124 0.196 0.115GJR 0.292 0.219 0.041 0.030 0.229 0.126 0.063 0.039Beta-t 0.267 0.201 0.087 0.054 0.058 0.044 0.268 0.116SP-GARCH 0.093 0.069 0.040 0.030 0.102 0.066 0.096 0.055表2：估计和真实条件波动率之间500个样本内Lploss值的MC平均值。DGP 1 DGP 2 DGP 3 DGP 4L（Out）L（Out）L（Out）L（Out）L（Out）L（Out）L（Out）L（Out）GARCH 0.308 0.233 0.037 0.026 0.265 0.138 0.171 0.107GJR 0.319 0.227 0.042 0.030 0.266 0.137 0.073 0.042Beta-t 0.266 0.205 0.050 0 0.062 0.043 0.204 0.106SP-GARCH 0.094 0.068 0.041 0.029 0.137 0.069 0.096 0.056表3：估计和真实条件波动率之间的样本外Lploss值。5实证研究作为一项实证研究，SP-GARCH模型适用于五个股票市场指数和五只股票的每日收益。目的是通过分析估计的系数函数，深入了解每个序列的条件可变过程。投资股票市场指数为：标准普尔500指数（美国）、富时100指数（英国）、DAX指数（德国）、日经225指数（日本）和恒生指数（香港）；五只股票分别是：苹果、ARM、英特尔、Nvidia和SanDisk。

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nandehutu2022

2022-6-1 06:50:53

获取每个指数或股票的每日日志回报样本。除ARM和Nvidia外，大多数样本于1996年1月开始采集，其中ARM和Nvidia的样本分别于1998年4月和1999年1月开始采集。所有样本于2015年11月结束。Nvidia的样本量最小，为4236个观测值，FTSEHA的样本量最大，为5176个观测值。对于每个样本，使用第3.3节详述的MCMC采样算法计算系数函数的后验平均值估计和95%可信区间。潜在节点的顺序、采样算法的配置和超参数的值与第4节中用于模拟研究的相同。在图5中，绘制了十个样本中每个样本的系数函数的后验平均值估计值，以及逐点95%可信区间。令人惊讶的是，根据系数函数的结构特征，样本可以很容易地分为两组；股票指数的系数函数与单个股票的系数函数之间似乎存在着明显的区别。对于股票指数，函数似乎是二次函数，通过将minimumsaway从零移动产生不对称；对于单个股票，函数似乎是分段线性的，具有不对称性，这是由负创新和正创新具有不同陡度的斜率造成的。对于英特尔（Intel）和SanDisk等个别股票而言，出现大规模负面创新似乎也存在“门槛效应”。图5：股票指数和个股的系数函数的后验平均估计数（红色实线）和逐点95%可信区间（粉红色阴影区域）。ν和u的后文总结如表4所示。

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能者818

2022-6-1 06:50:56

对于每个参数样本组合，我们报告后验平均值（mean）和95%可信区间（Lower，Upper）。可以观察到，单个股票的创新分布比股票指数的创新分布具有更大的尾部，如ν的估计所示。u的估计值表明，dailyreturn过程的长期（无条件）平均值都是正的，但幅度很小，苹果的最大预期日回报率约为0.1%。νuMean Lower Upper Mean Lower UpperS&P 500 8.935 7.109 11.363 0.029 0.006 0.052FTSE 11.189 8.546 14.958 0.010-0.012 0.032DAX 11.498 8 8 8.688 15.576 0.052 0.022 0.081日经指数11.138 8.504 14.782 0.013-0.021 0.046恒生指数7.304 5.980 9.045 0.034 0.003 0.065苹果5.023 4 4 5.735 1 0.118 0.062 0.173臂4.666 4.089 5.338 0.061-0.006 0.126Intel 6.861 5.840 8.095 0.049 0.002 0.096Nvidia 4.930 4.3185.648 0.043-0.027 0.114SanDisk 4.191 3.732 4.709 0.049-0.022 0.120表4：股票指数和个股的ν和u的后验汇总。人们可能有兴趣估计回报过程的长期（无条件）波动性，作为长期每日风险的定量度量；σ=Var（rt）1/2。对于SP-GARCH模型，这可以使用（5）和（9）来完成。在图6中，通过在无条件波动率和无条件均值的乘积空间中绘制每个样本来生成散点图；{σ} × {u}. 该图有助于比较样本的长期每日风险回报率，这可能与投资组合中的资产相对应。

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kedemingshi

2022-6-1 06:50:59

从图中可以看出，与其他样本相比，DAX和Apple都表现出良好的风险回报特征<1 2 3 4 6 7 9700.020.040.060.080.10.12标准普尔500指数日经行Sengapplearmingtelnvidiasandisk图6：散点图，显示股票指数和个股无条件预期回报的后验平均数与相应无条件波动率的后验平均数。当抽样算法应用于实际数据时，为了说明构建的马尔可夫链的混合特性，当后验分布取决于苹果数据时，丢弃初始老化迭代后，在图7的面板（a）和（b）中，根据迭代计数减去5.5×10绘制维度b和β中链的实现值。看起来链条在两个维度上都稳定下来，可以快速混合。在面板（b）中，令人欣慰的是，该算法似乎能够有效地在多个模式之间切换，包括精确为零的点质量。面板（c）中的散点图显示了β带联合边缘后验分布的复杂景观。图7：马尔可夫链的迹线图和散点图，显示了苹果β带的边缘后验分布和联合边缘后验分布的实现。还可以检查二元向量的马尔可夫链的混合特性，即模型空间中的马尔可夫链。可视化此类链的样本路径（ortrace）的一种方法是，首先将K维二元向量m【i】的每个实现映射到标量τ【i】，对于i∈ {1，…，N}，这样映射是一对一的，然后用τ[i]与i作图，对于i∈ {1，…，N}。通过将每个二进制向量视为K位二进制数，很容易找到这样的映射。

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nandehutu2022

2022-6-1 06:51:03

映射的标量是二进制数的十进制等价物。为了说明这一想法，该映射用于为标准普尔500和苹果公司生成图8中的跟踪图。对于这两个示例，链似乎在模型空间中快速混合。图8：模型空间中马尔可夫链的迹线图，显示了标准普尔500指数和苹果指数τ=n（m）的边缘后验分布样本，其中n：{0，1}K→n将二进制向量转换为非负十进制整数。SP-GARCH模型复杂性的一个简单度量是为回归样条线选择的节点数，由km=KXi=1mi给出。利用马尔可夫链的已实现二元向量，可以很容易地计算Km的边际后验概率。表5中报告了Km的每个样本的后验概率≤ 3、对于股票指数，最受青睐的模型是无节点模型；对于单个股票，更复杂的模型是首选的，因为大多数后验概率都在Km=2上。Km0 1 2 3S&P 500 0.991 0.009 0.000 0.000FTSE 0.987 0.013 0.000 0.000DAX 0.935 0.064 0.001 0.000日经0.762 0.236 0.002 0.000恒生0.957 0.042 0.001苹果0.000 0.009 0.976 0.015 ARM 0.000 0.313 0.672 0.015英特尔0.000 0.004 0.982 0.014Nvidia 0.000 0.135 0.851 0.014SanDisk 0.000 0.018 0.965 0.017表5：通过非零数量测量的模型复杂性的边际后验概率结系数。由于联合后验分布的多模态，图5中所示的估计系数函数的结构特征可能不是唯一的，并且我们的MCMC采样器没有有效地探索所有模式。

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mingdashike22

2022-6-1 06:51:06

这种可能性可能导致我们关于系数函数形状的结论无效。例如，可能存在一个参数化GARCH模型，该模型与SP-GARCH模型一样能很好地拟合数据，但对系数函数的估计在结构上有所不同。防止这种可能性的一种方法是，使用模型充分性度量将SP-GARCH与参数模型进行比较。我们需要确保在SP-GARCH下对系数函数的推断不同时，SP-GARCH能够更充分地描述数据。我们根据Spiegelhalter et al.（2002）的偏差信息准则（DIC）进行了模型比较研究，该准则可被视为Akaike信息准则（AIC）（Akaike，1973）的贝叶斯推广。theDIC的成功应用包括Berg et al.（2004）和Chan and Grant（2016）用于比较随机波动率模型，以及Ardia（2009）用于比较马尔可夫转换GARCH模型。在计算DIC时，可以同时获得模型fit和模型复杂性的度量。DIC最小的模型实现了最佳的IT复杂性权衡效果。通常，由于其高度复杂性，像SP-GARCH这样的柔性半参数模型在DIC下不会表现良好。然而，当更复杂的模型不能显著提高可能性（即模型t）时，拟议的BMA方法将导致后部肿块集中在更简单的模型上。因此，研究SP-GARCH在考虑到fit和复杂性的情况下如何与参数模型进行比较是一件有趣的事情。一些研究调查了潜在变量模型的DIC的定义和计算（Celeux等人，2006；Li等人，2013；Ardia，2009；Chan和Grant，2016），但尚未在BMA的背景下检查DIC。

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