回溯测试预期短缺：一个简单的配方？

2022-6-1 07:38:42

回溯测试预期短缺：一个简单的配方？a、 bFelix Moldenhauerc，Marcin Piterad该版本：2018年8月13日摘要：我们为监管机构可能使用的预期短缺提出了一个新的回溯测试框架。与其单独查看估计资本储备和变现现金流，还可以将其约束在安全头寸中，这样风险度量就容易得多。利用这一简单的概念，结合预期短缺相对于目标约束水平的单调性，我们引入了一个自然而有效的回溯测试框架。我们的测试统计数据是由最大数量的担保头寸的Worst变现提供的，总计为负值。令人惊讶的是，这一简单的数量可以用来构建一个有效的回溯测试框架，以无条件覆盖风险价值监管轻量化方法的自然扩展中的预期缺口。虽然易于计算，但测试统计学家基于一致风险度量和尺度不变量性能度量之间的潜在对偶性。关键词：风险价值、预期缺口、回溯测试、回溯测试、风险b ias、风险估计、风险保守性、基于内部模型的方法、无条件覆盖测试、交易账簿基本面审查，G281简介风险度量在计算监管资本方面发挥着重要作用，监管资本是确保基础金融机构金融稳定所必需的。因此，监管机构需要确保机构采用的风险估计方法是保守的，并且由此产生的资本储备是稳健的；参见Alexander（2009），McNeil等人（2010），以及其中的参考文献。回测程序是监管机构用来评估风险衡量方法保守性的关键定量工具之一。

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mingdashike22

2022-6-1 07:38:45

因此，对风险估计量的回溯检验及其相关统计特性进行了深入研究，估计技术也在不断改进；s eeDavis（2016）；Cont等人（2010年）；Acerbi&Sz\'ekely（2014）；Ziegel（2016）；Frank（2016）最近的杰出贡献。作者对匿名推荐人提出的宝贵意见和建议表示感谢，这些意见和建议有助于改进论文。我们感谢塞巴斯蒂安·雷（S’ebastien Ray）的激励性讨论和非常有益的评论。第二作者的部分工作得到了波兰国家科学中心2016/23/B/ST1/00479项目的支持。B本文中表达的观点和意见是作者自己的，不一定反映他们当前或过去雇主的观点和意见。cHSBC Global Banking and Markets，London，United K in gd omE mail:felix。moldenhauer@hsbcib.comdInstitute杰吉伦大学数学系，克拉科夫，波兰德。邮件：marcin。pitera@uj.edu.pl，URL：http://www2.im.uj.edu.pl/MarcinPitera/Backtesting预期短缺：一个简单的配方？2目前，关于两个风险度量标准：风险价值（VAR）和预期缺口（ES）存在激烈的争论。最近的监管发展（如FRTB、ICS）以及学术界对可激发性概念的讨论；参见Acerbi&Szekely（2017）及其参考文献。特别是，在基于模型的内部ap方法（IMA）下，巴塞尔资本市场风险要求的更新引起了很多关注，因为VAR在1%的水平被ES在2.5%的水平所取代；参见（BCBS，2016）。

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2022-6-1 07:38:48

使用基于ES异常率的监管TRAffic-light Backtest受到强烈批评，因为这样的框架与基本风险度量哲学不一致：计算分位数违规与VARrisk度量严格相关。此外，还提出了一个更根本的问题，即ES是否有可能进行回溯测试。尤其是，片麻岩（2011）表明ES是不可诱导的；另见Weber（2006）。在这一发现之后，许多其他人将其解释为根本不可能有效地对ES进行回溯测试的证据；参见例如Carver（2013）。另一方面，Acerbi&Sz'ekly（2014）指出，可激发性与模型比较有关，而不是与模型测试有关，因此，在考虑回溯测试时，可激发性的缺失并非关键。此外，Fissler&Ziegel（2016）表明，ES与VAR是可联合激发的，因此E S可以采用可激发性测试技术NIQUE；s eeNolde&Ziegel（2017）。更多详情请参见Carver（2014）；Emmeret al.（2015）；Davis（2016）；Acerbi&Szekely（2017）及其参考文献。最后，应注意的是，回溯测试的定义/概念并不统一，因此“ES的回溯测试（不）可能”等陈述仅是主观表述，而非科学事实。在文献中，已经提出了许多可能的回溯测试框架，其中大多数与可引出性没有直接联系。特别是，Won g（2008）提出了参数鞍点法，Righi&Ceretta（2013）研究了基于拉伸的ES回测，Emmer et al.（2015）使用不同水平的变量近似ES，并使用标准回测工具，Cerbi&Szekly（2014）提出了基于特定归一化的回测。我们参考Acerbi&Szekely（2017）；Nolde&Ziegel（2017）；Fissler等人。

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2022-6-1 07:38:51

（2015）针对基于启发性的各种回溯测试程序，toMcNeil&Frey（2000）；Berkowitz（2001）；Kerkhof&Melenber g（2004）；Costanzino&Curran（2015）；Du&Escanciano（2016）；L¨oser et al.（2018），了解其他替代方法。不幸的是，前面提到的大多数方法需要高级数学框架、某些模型假设、参考估计过程和/或相对较大的样本。缺乏可用于任何IMA模型的透明且直接的回溯测试框架，且其结果在财务背景下是不言自明的，这更令人惊讶，特别是考虑到我们用于VAR回溯测试的例外率程序的简单性和优雅性；见（BCBS，1996）。在本文中，我们试图通过提出一种新的ES回溯测试框架来解决这个问题。我们重点关注无条件覆盖率回溯测试，因为储备资本突破的独立性通常是通过目视检查来评估的。我们没有单独查看估计资本储备和实际财务头寸现金流，而是将其绑定到安全头寸中，因为风险度量要容易得多。这一简单直观的观察结果引出了最近由inPitera&Schmidt（2018）提出的风险偏差概念。利用这个框架，我们提出了一个针对ES的自然回溯测试，重点是有多少担保头寸的最差变现（在给定时期内）仍然为负值。相反，VaR回溯测试计算担保头寸的负变现数量，称为回溯。与当前的监管框架类似，可以根据我们的“产生负数的最差变现的最大数量”，对预期短缺进行回溯测试：一个简单的配方？3保留其正（和负）属性。

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2022-6-1 07:38:54

我们认为，拟议的框架简单、不言自明，而且效率很高。此外，我们还证明了我们的检验统计量是利用相干风险度量和尺度不变性能度量之间的对偶关系得到的性能度量；参见等式（4.2）。我们还表明，在VAR框架中，当考虑异常率统计时，类似的关系是真实的。这就解释了VAR和dexception rate测试之间的紧密联系，并为我们选择测试统计提供了数学依据。应该注意的是，给定一个实现了安全位置的示例，我们的测试统计数据几乎可以在任何编程语言中轻松实现。例如，在R软件中，假设我们得到了安全位置样本向量y，则可以在一行代码中计算出最差实现的最大数量，这些实现加起来就是负的总数：sum（cumsum（sort（y））<0。本说明组织如下：在第2节中，我们提供了我们框架的背景。第3节专门描述了标准监管风险值回测。特别是，我们展示了与我们的fr模型的联系，讨论了VAR模型中偏差的概念，并解释了为什么可以将检验统计量解释为可接受性指数。第4节包含了本文的主要贡献，即对ES回溯测试框架的描述，而在第4节中，我们研究了所提出的测试统计量的分布。接下来，在第6节中，我们提供了一个小型的实证研究，以展示拟议的框架在市场和模拟数据上的表现。特别是，我们分析了ES回溯检验的实证结果如何与经典监管VAR回溯检验的结果相一致。

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2022-6-1 07:38:57

我们在第7.2节序言中得出结论。在这一节中，我们概述了风险无偏的概念，并介绍了相关的符号；有关严格的数学框架和正式定义，请参阅toPitera&Schmidt（2018）。设ρ为基于分布的风险度量（例如VAR或ES）。我们假设我们有一个内部模型（IM），用于计算资本储备，以防止金融投资组合未来价值的波动。例如，这可能是指历史模拟、高斯或蒙特卡罗风险估计模型；见Alexander（2009）。为了透明度，我们假设持有期为1天，并使用损益表表示与未来投资组合损益相关的随机变量。我们使用ρ来表示ρ（P&L）的估计值，该值是使用历史数据结合IM方法计算得出的，即ρ确定P&L的估计资本准备金。我们可以将这些值绑定到一个随机变量中：=P&L+ρ，我们称之为安全头寸，而不是单独计算P&L的（理论）风险，然后将其与eIM估计值进行比较。特别是，如果Y为正，则意味着估计的资本储备足够高，足以弥补（发生的）损失。给定风险度量ρ，我们有兴趣度量担保头寸Y的风险。如果Y的风险等于零，即如果ρ（Y）=0，（2.1），则可以认为估计资本公积是足够的。事实上，如果我们知道损益的理论风险，那么我们可以简单地设置ρ=ρ（损益），并使用现金可加性属性得到ρ（Y）=ρ（损益+ρ（损益））=ρ（损益）- ρ（损益）=0。回溯测试预期短缺：一个简单的配方？4遗憾的是，数量ρ（损益）通常未知，需要估计，例如使用历史数据。

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2022-6-1 07:39:00

因此，^ρ成为依赖于估计过程的随机变量，等式（2.1）更难获得；详见Pitera&Schmidt（2018）。虽然从金融机构的角度来看，找到Y风险为零的ρ可能是最佳选择，但监管机构更关心的是位置Y是否可以接受，即ρ（Y）≤ 0。（2.2）换句话说，我们对模型的保守性感兴趣，而不是检查IM风险估计器^ρ的整体性能：如果ρ（Y）<0，那么估计器^ρ高估了损益的风险。在这种情况下，监管机构不太可能拒绝该方法，因为由此产生的资本公积高于投资组合/头寸风险的要求。现在让我们介绍一下将在以下部分中使用的基本符号。我们使用∈ N说明回溯测试中使用的天数，即回溯测试窗口的长度。对于i=1，n我们用第一天的损益表表示，我们用ρito表示相应的资本公积，该资本公积是使用IM方法（VAR或ES）结合截至第一天的可用数据估计的- 1、接下来，我们u seyi：=P&Li+ρi（2.3）表示第i天实现的安全头寸，y：=（y，…，yn）表示后验窗期间实现的向量。作为损益变现和估计资本公积的总和，担保头寸继承了两者的统计特性。众所周知，由于波动模式的变化，金融市场的回报很难预测；参见Mandelbrot（1963）。

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大多数88

2022-6-1 07:39:03

虽然资本储备会随着受保护投资组合的风险而变化，但在实践中，它们的调整往往相当缓慢，尤其是在根据历史数据系列进行估计的情况下。不相关但异方差（P&Li）与高度自相关（^ρi）的组合对y意味着什么？我们认为，由于资本储备的调整部分影响了损益波动性的变化，因此，左/亏损尾部产生的担保头寸的统计稳健性增加。由于P&L的随机性导致估计风险资本储备的调整相当缓慢，因此组合头寸在很大程度上保持不相关，因此向量y更接近于满足i.i.d.假设——在我们的回溯测试所要求的意义上。我们分别在第3节和第4节中参考VAR和ES回溯测试对此索赔进行了详细讨论。在以下章节中，我们假设担保头寸向量y相关部分的e i.i.d.行为，隐含地依赖于正确的模型规范来估计资本公积。为了明确说明投资组合和/或波动率聚类风险比例的变化，可以考虑适当的损益向量y归一化方案；详见备注2.1。备注2.1。如果投资组合风险文件发生变化，则（2.3）中给出的担保投资组合头寸的实现值可能无法准确反映当前的风险敞口。为了缓解这种影响，可以将风险值标准化，并考虑修改后的担保头寸样本i：=损益+ρiρi=损益+1。（2.4）简单地说，我们重新调整了已实现损益表的比例，以使估计风险为常数，等于1。虽然（2.3）要求持续波动，但（2.4）中的风险与投资组合波动成正比。这种情况并不对称，我们只低估了风险。

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2022-6-1 07:39:06

基于风险估计总体而非保守性的回溯测试与我们的定义不一致。请注意，法规与保守的概念一致：无违规的VA R模型位于绿色区域。回溯测试预期短缺：一个简单的配方？5–给定^ρi的正确模型规范。这允许对已固化头寸进行时间一致的风险度量；如果不可靠的风险度量是正同质的，并且允许风险的线性转换，那么这种操作是合理的。请注意，该转换已在埃尔比和塞克里（2014）的ES b acktestingcontext中使用。或者，我们可以将y除以总投资组合价值，使其正常化，即考虑回报率而不是损益。然而，这可能是一个问题，因为在实践中，我们通常拥有具有重大风险的零价值投资组合，而这种转换没有考虑到波动率的变化影响。当实际损益与历史风险估计员发生冲突时，拟议的转换对于现实交易部门尤为重要；对于假设性投资组合回测，可以使用标准担保头寸（2.3）。3风险价值回溯测试典型的VaR回溯测试框架测试无条件覆盖，并基于例外率（违约）测试；参见例如Alexander（2009）。对于y对应于由VAR资本支持的有担保头寸样本，异常率回溯检验统计量由tn给出：=nXi=1{yi<0}n，（3.1），其中1a是集合a的指标函数。简单地说，我们计算有担保样本中的异常数（资本中断），并将其除以n得到平均异常率。在（3.1）中，我们将基础VAR模型的正确规格与其产生正确伯努利分布违约数量的属性联系起来。这与强制实施i.i.d相比，限制性要小得多。

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2022-6-1 07:39:09

历史VAR估计中使用的损益向量假设；参见第2节进行讨论。特别要注意的是，在VAR情况下，Remark2.1中提出的归一化方案对TNA的价值没有影响，违约仅由yi符号确定；很容易证明1{eyi<0}=1{yi<0}，这反过来意味着nw相对于归一化方案的不变性。为了评估市场风险资本计算的内部模型的性能，监管机构根据一年中观察到的回溯测试br each的数量确定了三个区域。1%VAR参考风险度量的正确指定模型预计将在n=250（营业）天内产生2或3个违约。围绕预期违规数量构建一个约束带，内部模型（IM）被称为处于：-绿色区域，如果违规数量少于5个：在正确的模型下，预计90%左右的情况会发生，并对应于Tn∈ [0.00，0.02）；-如果违规数量在5到9之间，则为黄色区域：在正确的模型下，预计约有10%的情况下会发生这种情况，并对应于Tn∈ [0.02，0.04）；-红色区域，如果有10个或10个以上的违规行为：在正确的模型下，预计发生的违规行为不到所有案例的0.01%，对应于Tn∈ [0.04, 1.00].注意，为了更好地表达，我们使用了名义违约次数（n·Tn）；有关巴塞尔监管回溯测试的更多详细信息，请参阅（BCBS，1996）。虽然文献中广泛研究了检验统计量tn的一般性质（参见Alexander（2009）），但据我们所知，命题3.1中提出的基于对偶的关系尚未研究。在我们陈述结果之前，让我们重新对预期缺口进行回测：一个简单的配方？6标准经验VAR估值器的定义。

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2022-6-1 07:39:12

对于固定置信水平α∈ （0，1）和样本x=（x，…，xn），其中n∈ N、我们说^V@Rαn（x）：=-x个(nα+1），（3.2）是α级VAR的经验（历史）估计量∈ （0，1），其中x（k）是样本的第k阶统计量，并且z 表示z的（整数）层∈ R、我们现在准备好提出命题3.1；证明见附录A。提案3.1。对于固定位置y=（y，…，yn），由（3.1）给出检验统计量tn。那么，Tn=inf{α∈ (0, 1] :^V@Rαn（y）≤ 0}，（3.3）其中约定inf = 使用1。从命题3.1中，我们可以看出，为了测试IM绩效，可以使用不同置信水平α的经验VAR估值器将监管机构视为EDA∈ （0，1）并检查位置的水平是否可以接受（保守）。注意到VAR系列相对于目标信心水平是单调的，我们可以找到我们接受头寸的最低水平。该数字用于量化该职位的绩效。Trans-light绩效阈值0.02和0.04说明了潜在的模型错误、偏差、模型风险等。换句话说，如果我们（略微）提高风险水平，监管机构希望确保模型的保守性；参见备注4.3 inPitera&Schmidt（2018）。事实上，表述（3.3）表明，TN可以被视为一种性能度量或可接受性指数；seeCherny&Madan（2009）。这个m ap系列旨在评估财务状况的表现。由于回溯测试统计数据旨在衡量安全头寸的表现，因此这种表示非常自然。利用Cherny&Madan（2009）的对偶定理，我们可以看到测试函数t可以被视为是VAR映射族的对偶映射（即历史估计量（^V@Rαn）α∈（0,1）），因此是回溯测试函数的自然候选。

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2022-6-1 07:39:15

应该注意的是，性能度量通常在参数空间R+上定义，而不是（0，1）。然而，这只是一种非正态化方案，即通过应用（单调）参数失真函数g（x）=1+x，我们可以改变p参数化；详见inBielecki等人（2012）第4.2节。4预期短缺回溯测试在本节中，我们定义了ES的回溯测试框架。选择回溯测试函数背后的动机是由一致风险度量和标度变量可接受性指数背后的双重表示所驱动的。简言之，我们希望维持与命题3.1中所述的关系相似的关系，但对于ES而不是VAR。与之前一样，给定IM方法，我们使用y=（y，…，yn）表示由ES资本支持的担保头寸样本。我们通过设置gn=nXk=1{y（1）+…+y（k）<0}n来定义检验统计量Gn，（4.1），其中y（k）是y的第k阶统计量。简单地说，我们寻找安全头寸的最大WORSTREALIZATION数，其总和为负值，然后我们将结果除以n。这个框架对于E S来说似乎很自然——我们关注最坏情况和（或平均值）的性能，而不是测量异常的总数。回溯测试预期短缺：一个简单的配方？7事实上，在（4.1）中，我们将基础ES模型的正确规格与其产生正确的最坏情况条件和的属性联系在一起，直至其符号。与VAR情况一样，这比在历史ES估计中对损益向量施加整体i.i.d.假设的限制性要小得多；有关讨论，请参见第2节。备注4.1。当我们将y（k）值与不同的k值进行组合（求和）时，我们需要特别注意潜在的波动峰值。

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2022-6-1 07:39:18

对于存在波动性集群的具有高度可变风险的投资组合，建议采用备注2.1中提出的归一化方案，并考虑（4.1）中的y而非y。应该注意的是，这种微妙之处是从VAR到ES迁移而非施工流程的范式变化的结果；s eeCont等人（2010年），其中讨论了ES风险度量的统计复杂性。备注4.2。对（4.1）的不同解释可以通过将担保头寸拆分回其两个定义部分来实现，即损益实现和资本储备估计。很容易注意到，标称值n·gni等于k，当且仅当-kXi=1P&L（i）<kXi=1^ρ（i）和-k+1Xi=1P&L（i）≥k+1Xi=1^ρ（i），其中[·]（i）是与担保头寸y的i阶统计量相对应的指数d。因此，我们可以说，我们正在对担保头寸的最差变现进行求和，直到潜在损失等于其相应的总资本储备。在我们关注（4.1）的统计方面之前，让我们展示一下如何将我们的统计数据嵌入监管框架。根据（BCBS，2016）的指南，我们将参考指标设置为α=2.5%水平的ES（而非α=1%水平的VAR）。为了简单起见，并与VAR框架更为一致，我们参考了和成分的名义数量n·gnin，而不是平均数。2.5%ES参考风险指标的正确指定模型预计将在n=250（营业）天内产生多达6或7个最坏情况担保头寸的负总额。

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2022-6-1 07:39:21

围绕一个内部模型（IM）所处的数字构建一个置信带：-绿色区域，如果y的12个最小值之和为正：在正确的模型下，这预计会发生在大约90%的所有情况下，并对应于Gn∈ [0.00，0.05）；-黄色区域，如果y的12个最小值的su m为负值，但y的25个最小值之和为正值：在正确的模型下，预计在大约10%的情况下会发生这种情况，并对应于Gn∈ [0.05，0.10）；-红色区域，如果y的25个最小值之和为负值：在正确的模型下，预计在所有情况下，th的发生率不到0.01%，对应于Gn∈ [0.10, 1.00].由于监管机构的偏好，提议的阈值水平可能会有所修改；（乘法）监管附加模块的大小可以由具有负和的最坏情况下的最大obs-er变化数来确定；在VAR的情况下，它取决于异常的总数。为了完整性，我们提出了选择阈值水平背后的动机：首先，我们的阈值水平与VAR阈值一致，并具有直接的财务解释。在VAR设置（参考风险水平为1%）中，阈值为2%和4%，注意，对于n=250，阈值（0.05）无法通过GN获得，因为0.05×250=12.5不是整数。为了更好的分析可追溯性，我们将相应的标称阈值设置为12，因为它是最接近（保守）的整数值。回溯测试预期短缺：一个简单的配方？8可能被解释为最大可接受风险水平误认阈值，该阈值是通过将初始置信水平分别乘以2和4获得的；见命题3.1。在这里，我们也这样做。事实上，我们稍后将证明命题3.1的类比是真的，即。

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2022-6-1 07:39:24

Gnis是ES风险度量系列的双重绩效度量；见第4.3节。第二，在正态性假设下，ES风险资本水平与相应的VAR风险资本水平具有可比性的方式选择风险持有。对于表示标准正态变量的X，我们得到ES5%（X）和ES10%（X）分别约等于2.06和1.75。同样，VAR2%（X）和VAR4%（X）分别等于2.05和d 1.75。请注意，监管机构以类似的方式提出了VAR/ES迁移的参考风险水平变化：ES2.5%（X）等于2.34，而VAR1%（X）等于2.33。这允许在VAR和ES框架之间进行平滑过渡（至少在保证头寸分布接近正常的情况下）。第三，我们表明，提出的阈值导致了与VaR后验一致的统计框架。即使在对零分布施加极端规范的情况下，提议的三个阈值也会导致统计置信阈值接近95%和99.99%。因此，阈值可以被认为（几乎）与模型无关；详见第5节。第四，数值模拟表明，所提出的阈值选择导致了与旧VAR框架一致的框架；第5节和第6节将详细解释这一事实。现在，如本节开头所述，我们想证明检验统计量GNI是一个与经验估计量E S族对偶的形式度量。对于固定密度等级α∈ （0，1），样本x=（x，…，xn），其中n∈ N、我们称^ESαN（x）：=-Pni=1xi{xi+^V@Rαn（x）≤0}Pni=1{xi+^V@Rαn（x）≤0}!, （4.2）α级ES的经验（历史）估计量∈ （0，1），其中V@Rαn（·）定义于（3.2）。我们现在准备好提出3.1号提案；证明见附录A。提案4.3。对于固定位置y=（y，…）。

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2022-6-1 07:39:27

，yn）让检验统计量GN由（4.1）给出。那么，Gn=inf{α∈ （0，1）：^ESαn（y）≤ 0}. （4.3）如果公约 = 在VAR情况下，我们寻求使担保头寸可接受的最低置信水平。表示背后的直觉（4.3）与VAR情况类似，此处省略。让我们回顾一下f romCherny&Madan（2009），我们知道GNI是一种性能度量，设计用于量化ES框架下y的性能，并使用一致风险度量和s尺度不变可接受性指数之间的双重表示法获得；详见inBielecki等人（2012）第4.2节。5理论检验统计量分布在本节中，我们想检查ES检验统计量Gn在n=250时的分布情况，以及它与相应的VAR统计量Tn的关系。为了透明，并与监管框架更加一致，我们分别使用标称值n·Gn和n·Tn，而不是Gn和Tn。回溯测试预期短缺：一个简单的配方？9对于选定的先验分布，我们模拟了一个规模为50 000的强蒙特卡罗（MC）样本，其中每个强样本对应250个观察值（投资组合损益）。为了构建相应的VAR 1%和ES 2.5%担保头寸，我们将真实风险值添加到观察值中。然后，对于每次MC运行，我们计算标称统计值。我们采用标准正态分布以及自由度为3、5、10和15的t-student分布。图1给出了获得的标称试验统计量的经验概率质量函数，而表1给出了tra-lightthreshold附近的累积经验分布值。对于VAR，模拟分布对应于伯努利分布，成功概率参数等于0.99。

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2022-6-1 07:39:30

可以看出，对于标称TN，阈值的累积概率分别在0.95和0.99左右振荡。对于名义Gn，累积概率取决于基础分布，但在阈值附近非常稳定。第一个阈值的极限情况的累积概率差异约为0.03，这表明测试统计对于基础分布选择是稳健的。预计，在所有情况下，红色区域阈值都非常接近1。我们还测试了市场数据施加的各种GARCH（1,1）模型规格下GN的分布。结果与图1中给出的结果非常相似，为简洁起见，省略了这些结果；如有要求，可向作者索取。最后，请注意，为了消除可能导致担保样本非i.i.d.行为的波动性集群或风险偏好变化，有人可能想考虑应用Remark2.1.0 2 4 6 8 100 2000 6000 10000 VaR回溯检验统计经验分布VaR违约数MC RunSnromt df=15t df=10t df=5t df=35 10 15 20 250 2000 4000 6000 6000 ES回溯检验统计经验分布MC RunSnromt df=15t df=10t df=5t df=3最小正总和图1：我们给出了经验分布n=250时，标称VAR回测统计量n·Tn（左）和标称ES回测统计量n·Gn（右）的概率质量函数。我们考虑了五种不同的先验分布，并使用真实风险资本储备附加值构建了安全样本。注意，VAR的概率质量函数对应于p=0.99的伯努利概率质量函数。我们可以看到，在极端条件下，即ν=3自由度的eunder t-student分布，ES回溯检验统计量非常稳定。虚线表示提议的光线阈值。

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2022-6-1 07:39:33

这些值是通过50000次蒙特卡罗运行获得的。6实证研究在这项小型实证研究中，我们使用各种真实市场和模拟数据集来评估ES回溯测试框架的性能。特别是，我们讨论了所提议的fr-amework如何允许从VAR-b-acktesting到ES-backtesting的平滑转换。此外，我们参考Acerbi&Sz\'ekely（2014）的“测试2”，检查我们测试框架的性能。回溯测试预期短缺：一个简单的配方？10风险度量变量统计值4 5 9 10 11 12 24 25 t学生ν=3 0.8914 0.9586 0.9998 0.9999 0.8944 0.9205 0.9967 0.9973ν=5 0.8931 0.9588 0.9998 1.0000 0.9074 0.9372 0.9998 0.9999ν=10 0.8909 0.9580 0.9998 1.0000 0.9185 0.9464 1.0000ν=15 0.8930 0.9590 0.9999 1.0000 0.9224 0.9518 1.0000 1.000正常0.8913 0.9585 0.9997 1.0000 0.9292 0.9591 1.0000 1.000表1：表针对各种预先定义的分布中的大样本，给出了VAR和ES的名义回测统计数据的计算（经验）分布值。VAR检验统计量的分布符合伯努利分布，p=0.99，理论th reshold值分别为0.9588和0.9999（分别超过5和10）。可以看出，即使在极端条件下（对于ν=3），ES回溯测试统计数据也是稳定的，并且阈值的累积概率与VAR（对于值12和25）相当。这些值是通过50000次蒙特卡罗运行获得的。为了透明，我们决定对VAR和ES仅使用正态和经验估计。我们之所以选择这两个估计器，是因为它们的规格不同：第一个是参数估计器，它将允许我们调查错误指定方法的行为（例如。

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2022-6-1 07:39:36

如果我们从t-student（而不是normal）中选取一个样本，那么第二个样本是一个非参数估计量，应该与模型无关。我们将估计学习期固定为一年（250次观察）。在标准VAR框架中，回溯测试周期等于1天，滚动窗口长度设置为250。因此，对于单次试运行，我们需要500次后续观察，以将估计资本储备与实现的损益向量进行比较，并执行回溯测试。从第251天开始，我们对每天的估计资本公积和已实现损益求和，以获得已实现的担保头寸价值。为了获得尺寸为250的安全样品，我们将在第500天之前完成这项工作。设x=（x，…，x）表示500个后续实现的1天损益向量的向量。对于i=1，250，第i个回溯测试日VAR估计资本公积等于^V@Rnormi（x）：=-？ui+？σiΦ-1(0.01),^V@Rempi（x）：=^V@R0.01（xi，…，xi+249），其中经验估计量^V@R0.01is在（3.2）中定义，“uiis是第i个回溯测试日的有效平均估计量，σiis是第i个回溯测试日的有效标准偏差估计量，即“ui=Xk=0xi+k，d”σi=vuutXk=0xi+k- ui.类似地，第i次回测d日估计资本公积由^ESnormi（x）给出：=-？ui+？σiφ（Φ-1(0.025))1 - 0.025,^ESempi（x）：=^ES0.025（xi，…，xi+249），其中经验估计量^ES0.025在（4.2）中给出，φ与标准正态分布的密度函数有关，Φ是标准正态分布的分布函数；参见Pitera&SchmidtBacktesting Expected Defension：一个简单的配方？11（2018）了解详情。接下来，我们按照（2.3）中的逻辑，为所有估计资本准备金构建安全头寸向量，即对于i=1。

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2022-6-1 07:39:38

，250我们setyV@Rnormi：=xi+250+^V@Rnormi（x），yESempi：=xi+250+^ESempi（x），yV@Rempi：=xi+250+^V@Rempi（x），Yesnromi：=xi+250+^ESnormi（x）。（6.1）为简单起见，我们比较的不是已实现损益，而是已实现回报率；参见备注2.1。请注意，由于VAR和ES都是正同质的风险度量，因此结果分析会产生一致的输出。此外，如第5节所述，我们考虑的不是Tn和Gn的结果，而是标称值，即异常数（n·Tn）和最大数量的Worst情形，其总和为负值（n·Gn）。为了测试我们的框架，我们进行了两个测试。在第6.1节中，我们研究了ES回溯测试和标准监管VAR回溯测试之间的一致性。使用市场和模拟数据，我们比较了两种回溯测试的结果，并检查其一致性。在第6.2节中，我们将我们的回溯测试与Inarbi&Sz\'ekly（2014）提出的“测试2”进行比较。6.1 VAR和ES回溯测试框架的一致性在本节中，我们对各种数据集执行第3节（历史和正常VAR估值器）和第4节（历史和经验ES估值器）中所述的回溯测试。我们通过计算TN和Gn的标称值，并应用表2中列出的分类sch eme，将结果分为绿色、黄色或红色区域。为了比较VAR和ES回溯测试框架，我们检查了正常估计数和经验估计数的常见分类数。为了完整性，我们还提供了所有考虑样本的tn标称值与gn标称值对应的图。区域VAR ES（颜色）（异常数量）（负和最坏情况）绿色0–4 0–11黄色5–9 12–24红色10+25+表2：单个数据集VAR和ES回测练习的回测阈值。

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2022-6-1 07:39:42

对于VaR，阈值应与样本中发生的异常总数（n·Tn）相对应，即yi<0的天数。对于ES，应以最坏情况下总计为负的总天数（n·Gn）的最大天数来面对该值，即最大m∈ N使得y（1）+…+y（m）<0，其中y（k）是y的第k阶统计量。为了透明度，我们将分析分为两部分：在第6.1.1节中，我们考虑市场数据，而在第6.1.2节中，我们关注模拟数据。6.1.1 Fama&French图书馆数据我们使用数据图书馆Fama&French（2015）的每日报表。我们将2005年1月27日至2015年1月1日期间25个投资组合的账面回报率和经营利润率（2500次观察）。对于每个投资组合，我们将数据分为500个连续日的不相交子集，并获得125个不同的x样本。图2显示了与第一个投资组合相对应的五个不同的时间序列。可以看出，时间序列是非i.i.d.和显示波动率聚类效应，因此回测分类不应太统一。回溯测试预期短缺：一个简单的配方？12换句话说，对于VAR和ForE，我们应该得到许多黄色区域和红色区域分类。-0.03 0.00 0.03系列1-0.10 0.00 0.10系列20 100 200 300 400 500指数-0.06 0.00 0.06系列3-0.10 0.00系列40 100 200 300 400 500索引-0.04 0.02 0.06系列5LoBM。循环拆分时间-系列数据图2：Fama&Fenchdata library的第一个投资组合的5个不同子集的回报率时间序列。我们对所有四个估计员进行125次回溯测试，并对结果进行分类。表3给出了正态估计数和经验估计数的汇总结果。有关更详细的对比图，请参见图3。

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2022-6-1 07:39:45

为简洁起见，我们截断了结果：如果超过15个VAR违约，我们将n·TN的输出限制在15个（在这种情况下，模型被明确划分为红色区域）。我们对n·Gn施加一个类似的上界，它等于35。R0 4 21eShity2 9 0G79 10 0G YRV@RhistR01 ESNormal2 38 2G52 6 0G YRV@RnormTable3：表格显示了市场数据的结果，针对VARand和ES进行了125次不同的回溯测试。可以看出，VAR backtesting framework和ES backtestingframework的分类是一致的，即对角线中的值高于对角线以外的数字）。结果表明，VAR和ES回溯测试框架之间具有良好的一致性。正如预期的那样，由于数据是非正态的，在这两种情况下，正态估计量都有更多的黄色和红色区域输出。回溯测试预期短缺：一个简单的配方？1301020300 5 10 15VAR例外最小正均值0481216+VAR BT vs ES BT（历史）01020300 5 10 15VAR例外最小正均值0481216+VAR BT vs ES BT（正常）图3：市场数据的回测结果。对于每个样本x，我们对历史（左）和正常（右）估值器执行VAR回溯测试和ES回溯测试。我们报告了VaR异常的数量（n·Tn）以及总n负和（n·Gn）最大数量的最坏情况结果。热图上显示了125个再熔点。颜色越深，分配给给定簇的样本就越多；请参见右侧的图例。6.1.2模拟数据在本节中，我们重复第6.1.1节中所述的测试，测试来自norm al、skew t-student和GARCH（1,1）模型的模拟数据。对于第6.1.1节中的125个市场时间序列数据和每个参数模型，我们拟合模型参数并模拟适当的随机样本。

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2022-6-1 07:39:48

我们决定为每个基金挑选八个独立的基金，因此我们有1000个基金，而不是125个新基金。我们重复上一节中的所有步骤。为简洁起见，我们不提供表3的类似物，而是将重点放在比较图上。正常数据的结果如图4所示；倾斜t-student的结果如图5所示；图6给出了具有正常创新的GARCH（1,1）的结果；图7.01020300 5 10 15VAR例外最小正均值0255075100+VAR BT vs ES BT（历史）01020300 5 10 15VAR例外最小正均值0255075100+VAR BT vs ES BT（正常）图4：正常模拟数据的回测结果；有关详细信息，请参见图3标题。可以看出，结果令人满意。而对于正常数据，我们得到了类似的表现，对于t-student案例，则存在差异。正如预期的那样，正态估值器表现不佳，因为它无法预测尾部的正确行为。注：由于估计器的构造，该特性在ES回溯测试框架中更适用。此外，请注意，对于GARCH数据，标准i.i.d.假设不满足，两个回溯测试框架都将许多输出划分为黄色或红色区域。

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大多数88

2022-6-1 07:39:51

此外，ES回溯测试更好地捕获了Avy尾行为，这反映在正常估计量情况下更保守的结果中。总体而言，我们的框架给出的结果与标准VAR回溯测试一致。回溯测试预期短缺：一个简单的配方？1401020300 5 10 15VAR异常ES最小正均值0255075100+VAR BT vs ES BT（历史）01020300 5 10 15VAR异常ES最小正均值0255075100+VAR BT vs ES BT（正常）图5：倾斜t-Student模拟数据的回测结果；详见图e 3标题。01020300 5 10 15VAR异常ES最小正均值0255075100+VAR BT vs ES BT（历史）01020300 5 10 15VAR异常ES最小正均值0255075100+VAR BT vs ES BT（正常）图6：具有正常创新的GARCH（1,1）模拟数据的回测结果；有关详细信息，请参见图3标题。01020300 5 10 15VAR例外最小正均值0255075100+VAR BT vs ES BT（历史）01020300 5 10 15VAR例外最小正均值0255075100+VAR BT vs ES BT（正常）图7：GARCH（1,1）模拟数据与倾斜t-student更新的后验结果；有关详细信息，请参见图3标题。回溯测试预期短缺：一个简单的配方？156.2与“测试2”的关系在本节中，我们展示了我们的框架与ES backtesting框架之间的关系，这些框架在埃尔比和塞克里（2014）中被称为“测试2”。为了保持一致性，我们提供了市场数据的结果和之前测试中的模拟正常数据；详情见第6.1.1节和第6.1.2节。对于s im plicity，我们只考虑历史（经验）估计值的结果。结果其他数据集和正常估计值相似，可根据要求提供。在显示结果之前，让我们简要介绍一下Acerbi&Sz\'ekly（2014）中测试2所指的测试统计的结构。

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2022-6-1 07:39:54

如前所述，我们假设α级的VAR和ES都有样本x=（x，…，x）和IM方法∈ (0, 1). 与前一种情况一样，对于i-th回溯测试日（其中i=1，2，…，250），我们估计资本公积^V@Rnormi（x）和^ESnormi（x），使用学习期数据（xi，…，xi+249），并用实现值xi+250对抗估计量。在我们的设置中，Acerbi&Sz'ekly（2014）中等式（6）中给出的检验统计量由z给出：=Xi=1xi+250{Xi+250+^V@Rnormi（x） <0}α^ESnormi（x）！+1.（6.2）在零假设（说明IM是保守的）下，我们得到Z的值是非正的。与风险低估相对应的替代假设反映在检验统计量Z的正值中（注意，我们使用不同的符号约定）。根据作者的建议，我们将值0.7和1.8设置为测试的测试统计阈值，并获得三区分类方案；有关测试框架的详细描述，请参见Acerbi&Sz\'ekely（2014）。在图8和图9中，我们给出了市场和正常数据的检验统计量Z值，以及VARexceptions和ES最坏情况下的正和情景。我们看到，测试2也与VAR框架（左图）一致，因此与我们的测试框架（右图）一致。将图3与图8（或图4与图9）进行比较，可以看到我们的框架给出了更一致的结果（点的分布更小），并且我们的框架更保守（例如。

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2022-6-1 07:39:58

有更多的数据集具有VAR黄色区域分类和“测试2”绿色区域分类），但结果实际上非常相似。应该注意的是，测试2框架需要对VAR和ESmethodologies使用IM方法（以获得测试统计数据Z），而我们的框架只需要ES输入（以获得安全的样本y）。-101230 5 10 15VAR例外测试2统计值0481216+VAR BT vs ES测试2 BT（历史）-101230 10 20 30 ES最小正均值检验2统计值0481216+ES BT vs ES Test2 BT（历史）图8：市场数据的后验结果。对于每个样本x，我们执行Acerbi&Sz'ekely（2014）提供的VAR回溯测试、ES回溯测试和d“测试2”。我们将结果进行比较，以查看我们的框架与“测试2”之间的一致性。回溯测试预期短缺：一个简单的配方？16-101230 5 10 15VAR例外测试2统计值0255075100+VAR BT vs ES测试2 BT（历史）-101230 10 20 30ES最小阳性均值测试2统计值0255075100+ES BT vs ES Test2 BT（历史）图9：正常数据的回测结果。对于每个样本x，我们执行Acerbi&Sz'ekely（2014）提供的VAR回溯测试、ES回溯测试和d“测试2”。我们将结果进行比较，以查看我们的框架与“测试2”之间的一致性。7结论性意见在这篇简短的说明中，我们引入了一个新的预期缺口回溯测试框架，该框架基于一致风险度量和规模不变绩效度量之间的双重性。我们的回溯测试框架提案的威力在于其简单、优雅和清晰的财务解释。与VAR框架中的违约数量计算不同，我们关注的是担保头寸的最大WOR变现数量，其总和为负值。

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2022-6-1 07:40:01

我们已经证明，我们的框架与当前的监管框架保持一致，为正确指定的模型提供了一致的分类方案。此外，与许多其他提议的方法相反，我们的框架是独立于模型的，我们不需要考虑联合(V@R，ES）估计，无需引入标准（参考、基准）估计程序进行对比回溯测试，而不是基于启发性的回溯测试。虽然我们的框架也存在同样是调节器y VARmodel所特有的缺点，但我们相信它可以被调节器使用，并且它的简单性将使任何潜在的操作都易于检测。此外，它的透明度和清晰的财务解释使得该模型非常容易描述和在任何编程环境中实现。在R软件中，使用y表示第二个位置样本向量，可以使用简单的基函数在一行代码中计算GN的值：mean（cumsum（sort（y））<0；为了计算tn，我们可以使用代码：mean（y<0）。回溯测试预期短缺：一个简单的配方？17A等式证明（3.3）。让我们确定∈ N和y=（yi）ni=1。使用（3.2）并假设y（n）≥ 0we获取INF{α∈ (0, 1) :^V@Rαn（y）≤ 0}=inf{α∈ (0, 1) : -y型(nα+1)≤ 0}=ninf{k∈ （0，n）：y(k+1)≥ 0}=ninf{k∈ {0，1，…，n- 1} ：y（k+1）≥ 0}=nnXk=1{y（k）<0}=nXi=1{yi<0}n。在另一个hand上，如果y（n）<0，则使用约定inf = 1我们总结证据。平等证明（4.1）。让我们确定∈ N和y=（yi）ni=1。使用（4.2）并假设Pni=1yn≥0我们获取INF{α∈ （0，1）：^ESαn（y）≤ 0}=inf（α∈ (0, 1) : -Pni=1yi{yi+^V@Rαn（y）≤0}Pni=1{yi+^V@Rαn（x）≤0}!≤ 0）=inf（α∈ （0,1）：nXi=1yi{yi+^V@Rαn（y）≤0}≥ 0）=ninf（k∈ （0，n）：nXi=1yi{yi-y型(k+1)≤0}≥ 0）=ninf（k∈ {0，1，…，n- 1} ：nXi=1y（i）{y（i）-y（k+1）≤0}≥ 0）=ninf（k∈ {0, 1, . . .

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2022-6-1 07:40:04

n- 1} ：k+1Xi=1y（i）≥ 0）=nnXk=1{y（1）+…+y（k）<0}。另一方面，ifPni=1yn>0，然后使用约定inf = 1我们总结证据。参考Acerbi，C.和Sz\'ekely，B.（2014），“BACK测试预期短缺”，风险（2014年12月）。Acerbi，C.和Szekely，B.（20-17），“可回溯测试统计数据的一般属性”，预印本。Alexander，C.（2009），《市场风险分析，风险价值模型》，第4卷，John Wiley&Sons。BCBS-巴塞尔银行监管委员会（1996年），“反向测试”与市场风险资本要求的内部ls模式方法结合使用的监管框架，技术报告，国际清算银行。BCBS-Ba sel银行监管委员会（2016年），《市场风险最低资本要求》，技术报告，国际清算银行。回溯测试预期短缺：一个简单的配方？18 Berkowitz，J.（2001），“测试密度预测，及其在风险管理中的应用”，《商业与经济统计杂志》19（4），465–474。Bielecki，T.R.，Cialenco，I.&Zhang，Z.（2012），“动态一致可接受性指数及其在金融中的应用”，数学金融24（3），411–441。Carver，L.（2013），“顶级量化人士表示，有争议的var替代品无法进行回测”，风险（2013年3月20日）。Carver，L.（2014），“回测预计短缺：任务可能吗？”，风险（2014年10月）。Cherny，A.S.和Madan，D.B.（20 09），“绩效评估的新措施”，《金融研究评论》22（7），2571–2606。Cont，R.、Deguest，R.&Scandolo，G.（2010），“风险度量过程的稳健性和敏感性分析”，定量金融10（6），593–606。Costanzino，N.&Curran，M.（2015），“应用于预期短缺的一般光谱风险度量的回溯测试”，风险模型验证杂志9（1），21–31。戴维斯，M。

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