聚类移动函数中值在层次结构鲁棒预测中的应用

2022-6-1 12:02:49

分层功能时间序列的模糊预测中的聚合移动功能中值-预测门户网站用户行为的应用Daniel Kosiorowski、Dominik Mielczarek、Jerzy P.Rydlewski（通讯作者）2018年7月3日波兰克拉科夫波兰理工大学应用数学学院克拉科夫经济大学统计系；摘要本文提出了一种新的非参数、鲁棒的层次函数时间序列预测方法。该方法与Hyndman和Shang的方法在运行偏差、有效性、鲁棒性和计算复杂性方面进行了比较。考虑到分析、模拟和实证研究的结果，我们得出结论，在某些统计标准方面，尤其是在稳健性和计算复杂性方面，我们的建议优于Hyndman和Shang的建议。以某门户网站分为四个子服务的管理为例，说明了该方法的实用性。还进行了涉及FAR（1）过程和维纳过程的分层系统的广泛仿真研究。关键词：函数数据分析、层次时间序列预测、移动函数中值、稳健预测、预测协调、自下而上方法1简介在计量经济学建模领域，我们经常遇到一个动态经济现象系统，其组成部分具有强加的层次结构。作为宏观经济的一个例子，让我们考虑一个国家向产品和服务集团及子集团的出口，以及向其地理区域或行政单位的出口。

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2022-6-1 12:02:52

作为一个微观经济学的例子，让我们以一家销售化妆品的网上商店为例，该商店分为所谓的目标群体，另外还分为地理区域、性别或年龄组。统计和计量经济学文献（见[12、13、14、41]）考虑了在不同层次或节点上获得的预测的协调，并考虑了在不同层次或节点上获得的预测的组合。特别是，通过协调，我们指的是预测值的预期属性，即在某个级别上以节点获得的预测之和等于在上层的相关节点中获得的预测。在较低级别和较高级别获得的预测之间的差异可能是由于不同的测量方法、不同的方法或用于不同层次层次结构的测量精度造成的。值得注意的是，在经济学中，有许多现象可以描述为某些连续变量的函数，例如效用或收益曲线、资本流动、互联网交易[10、18、19、32]，或昼夜的空气污染强度。关于最后一个问题，由于空气污染对人类健康有负面影响，精确的空气污染预测可用于在一定时期内最大化某些当地社区的综合效用，从而实现社会福利的最大化。这是一个事实的结果，即在一定时期内的效用函数是与预测质量相关的成本的函数。在互联网服务管理的背景下，人们可能希望与安全相关的效用最大化具有某种稳健性。

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2022-6-1 12:02:55

在这里，我们的意思是安全系统对“不是快速而是系统性”入侵系统的鲁棒性。这种现象在时间上的演变自然可以用函数时间序列来描述，即按时间索引的函数族。如果时间序列还表现出层次结构（例如，分为子服务的web Portal），则自然会考虑层次功能时间序列（HFTS）[35]。HFTS是一个功能性时间序列，根据相关层级进行分组。预测HFTS意味着为所有级别的所有节点联合准备预测。稳健的HFTS预测方法通常是指一种方法，尽管基础模型受到小干扰或基础数据集受到小污染，但该方法仍能对整个层次结构产生“良好”的预测。污染包括用形状或大小函数异常值替换所考虑的数据集的某一部分（见[34]）。在HFTS价值解释的背景下，有必要区分影响层级体系整体结构的结构变化（作为金融崩溃、特殊政治事件的影响）和“常见”异常值，它们也可以被视为重要信息的“包”，但规模/价值重要性较小。请注意，在获得层次结构每个层次的预测后，通常会出现一个自然的问题–如何正确调整在每个层次上获得的信息，以便获得所有层次的全局重新协调预测？在此背景下，文献中提出了几种HFTS预测方法。自下而上的方法涉及在开始时进行基础预测（在层次结构的最底层以节点为单位）。然后，对获得的预测进行聚合，以获得层次结构上层节点的预测。

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2022-6-1 12:02:58

聚合的一种特殊形式与所考虑的节点或水平的大小比率的历史数据有关。自顶向下方法在层次结构的顶层绘制以节点为单位的序列预测。随后进行分解。上述方法通常是组合的，即在层次结构的某个中间级别对节点进行预测，然后聚合生成层次结构较高级别的预测，而分解生成较低级别的预测。应该强调的是，如果我们独立地在各个层级进行预测，那么较低层级的预测总和通常不会与较高层级的预测相加【12】。请注意，上述所有方法都没有考虑层次结构级别节点之间的依赖结构（例如相关性结构）。在Shang和Hyndman【35】的研究中，作者考虑了在层次结构的所有层次上对节点进行重新协调预测，将Hyndman等人【12】提出的方法扩展到功能时间序列案例。该方法考虑了水平之间的已知依赖结构，并使用根据经验数据计算的预测分散估计。进行对账的基础是应用某种形式的广义最小二乘法，这是一种众所周知的非稳健性方法。

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kedemingshi

2022-6-1 12:03:01

他们使用相关的bootstrapmethod评估预测的不确定性，该方法适用于依赖时间的观测。在进行了几次模拟和实证研究之后，我们旨在提出一种概念上简单的替代方法，该方法对函数化者具有鲁棒性，并且计算量不像函数化者那么大。我们使用聚合移动功能中位数–移动功能中位数的功能中位数，以获得所有考虑层次的重新协调预测。我们的预测方法似乎是稳健的toshape以及震级异常值，并且在计算上易于处理。本文的主要目的是提出一种有效、稳健且易于计算的HFTS预测方法。我们还成功地将该方案应用于实际数据，即监控分为四个子服务的Internet服务。本文的其余部分组织如下：第2节介绍了我们在考虑中使用的一些理论概念和结果。第3节介绍了我们的建议。第4节显示了我们提案的一些特性。第5节介绍了一项模拟研究，其中我们的方法已应用于由一阶函数自回归过程（FAR（1））和维纳过程组成的人工层次系统。第6节介绍了我们的方法在分析门户网站用户行为方面的应用，因为我们希望在实际观测数据上测试我们的预测方法。最后，我们以第7节给出的一些结论来结束本文。该方法的实现以及所考虑的数据集可在免费R包DepthProc中找到【17】。2理论框架在对前一节中提出的问题进行描述之后，将一些经济现象视为函数是有利的。

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2022-6-1 12:03:04

最近开发了功能数据分析（FDA）方法（有关详细信息，请参见[3、8、10、32、35]）。根据前面提到的研究，我们确实将随机曲线视为[0，T]上的实值函数，其中已知。随机曲线是空间L（[0，T]）的元素，这是一个具有内积hx，yi=Rx（T）y（T）dt的可分离Hilbert空间，并配有Borelσ-代数[3]。函数时间序列是函数随机变量的时间索引序列。在实证研究中，我们经常在不同的“水平”上观察功能序列的轨迹，例如，单个家庭、城镇和地区的昼夜电力需求，或者一个城镇、一个州和一组州的空气污染。这些数据对所研究的现象施加了自然的层次结构。2.1功能深度功能深度概念【28，29】在我们的考虑中至关重要，因为我们使用该概念来定义相关的功能中值。为了确定曲线x相对于函数样本XN的修正带深度（MBD，见[25]），我们需要在域中引入一个集合度量，该集合度量函数相对于考虑样本的中心性。我们考虑一个N个函数的例子XN={x，…，XN}。让我们定义A（x；xi，xi）={t∈ [0，T]：minr=i，ixr≤ x（t）≤ maxr=i，ixr}。注意，出于计算原因，我们只考虑带被两个函数xind xi限制的情况；然而，洛佩斯·平塔多（López Pintado）和罗莫（Romo）[25]定义了更多限制曲线的BD。当x在相应的频带内时，MBD测量“时间”的比例，即MBD（x | XN）=N（N- 1） X1≤i<i≤Nλ（A（x；xi，xi））λ（[0，T]），（2.1），其中λ（·）表示勒贝格度量。

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2022-6-1 12:03:07

MBD感官中最深的曲线在形状上可能与样本中的大多数曲线不同，但在空间上接近平均值。曲线x相对于函数样本x的广义带深（GBD，见[24]）在以下意义上会降低曲线位于中心的频率。GBD（x | XN）=N（N- 1） X1≤i<i≤NCI（x；xi，xi）λ（[0，T]），（2.2），其中CI（x；xi，xi）=maxtS{λ（tS）：minr=i，ixr≤ x（t）≤ maxr=i，ixr，t型∈tS}，其中tS [0，T]是一个紧区间。因此，CI（x；xi，xi）是最长的连续间隔，其中x属于函数xind xi限制的频带。请注意，以下不等式始终为真：GBD（x | XN）≤ MBD（x | XN）。从前面的公式可以推断，GBD能够区分形状不同的函数，而MBD能够区分大小不同的函数。还值得注意的是，靠近样本中心且形状不差的函数具有较大的HGBD和MBD值，而接近样本中心但形状差的函数与MBD值相比具有较小的GBD值。大GBD值与commonshape的函数有关。样本中的曲线形状越不规则，则lessMBD越合适，而GBD越合适。我们建议您对所分析的功能类型进行预分析，以确定哪个功能深度最相关。对给定曲线w.r.t函数样本获得的各种函数深度进行比较，也可以提供基本信息。然后，可以构造深度的嵌套区域，即consideri。e、 GBD（x | XN）≥ α. 关于所考虑的功能深度的功能中值是最核心的观察结果。

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2022-6-1 12:03:10

现在假设我们可以使用N函数，即XN={xi（t），i=1，2，…，N}和t∈ [0，T]。设FD（y | XN）表示函数y（t）相对于样本XN的样本函数深度（在本文中，我们只考虑F D=MBD或F D=GBD）。样本中值w.r.t.所考虑的功能深度可定义为：D（y | XN）=arg maxi=1，。。。，NF D（xi | XN）。如果不止一个函数达到深度最大值，则函数中值定义为放置在此类函数凸包中的函数的平均值【17】。请注意，由于可以考虑不同的功能深度，因此可以获得不同的功能中介。随后，我们使用移动函数中值^xn+1（t）=MEDF D（Wn，k），其中Wn，kis是长度为k的移动窗口，其末端在力矩n中，即Wn，k={xn-k+1。。。，xn}。2.2 HFTS预测的参考方法虽然文献中有几种专门的和更系统的HFTS预测方法，但我们采用Shang和Hyndman的方法作为参考方法，主要是因为其数学优雅、良好的统计特性和全面性。他们的方法源自他们之前的研究（参见，即[35]），其中考虑了完整的层次结构。最近对该方法进行了修改，使用广义指数平滑技术对最分解的函数时间序列进行平滑处理，以获得更稳健的预测值（详情请参见[21]）。Shang和Hyndman的死亡率预测方法使用功能主成分分析，以便在每个层面上进行功能主成分回归，其中主成分得分的时间序列预测是通过有效但非稳健的单变量时间序列预测方法获得的，即Hyndman和Shang[11]方法（另见[15]）。

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2022-6-1 12:03:13

再调和预测是在所考虑的层次结构的每个层次上，对函数时间序列所获得的预测的某种广义最小二乘估计。然后，利用矩阵方程对每个时刻的层次时间序列的结构进行建模，矩阵方程考虑了所有层次的所有时间序列，尤其是来自层次最低层次节点（节点）的最分解序列的向量。因此，该方法具有调节预测的直接内部机制。有关Shang和Hyndman方法的更详细描述，请参见他们的论文【35】。在他们提案的属性中，有一个聚合一致性，即预测满足聚合约束，并且是平均无偏的（见[35]）。尽管如此，我们发现的方法在计算上要求很高，而且相对复杂（稀疏线性最小二乘问题，大矩阵的广义逆）。我们的方法没有后者的缺点。3我们的建议在第一步中，我们计算与最低层次每个节点的GBD、MBD或其他功能深度（FD）相关的移动功能中值，即计算MEDF D（Wn，k）。

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2022-6-1 12:03:16

例如，在我们的互联网服务（门户网站）的经验示例中，我们计算了四个子服务（以下简称SS、SS、SS和SS）中的每一个子服务在n时刻的功能中值，该中值来自长度为k的移动窗口，与功能深度GBD相关，并替换为：^xSSin+1（t）=MEDGBD{xSSin（t），xSSin-1（t）。。。，xSSin公司-k+1（t）}，其中i=1，2，3，4。在第二步中，我们计算层次结构中最低但只有一个层次的相关功能中介的总和，在第一步中的节点的相应时刻计算。我们重复向上移动层次结构的第二步，直到计算层次结构顶层的功能中介的总和。在我们的实证例子中，第二步是最后一步，最后我们得到了n=k。。。，365^xn+1（t）=Xi=1^xSSin+1（t）。（3.1）注意，得到的函数中值和不一定等于相应函数和的函数中值。即使对于构成层次结构的自然数序列，这种等式也不成立。让我们在最底层取两个结x=（0，1，1）和x=（1，0，1），在层次结构的第二层和等效顶层取x+x=（1，1，2）。下面的语句是trueMED{（1，1，2）}=1 6=2=MED{（0，1，1）}+MED{（1，0，1）}。通常，我们得到MED{（x，…，xm）+（y，…，ym）}6=MED{（x，…，xm）}+MED{（y，…，ym）}，（3.2），其中xind-yi是数字。

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2022-6-1 12:03:19

性质（3.2）不是等数集的函数平均数，如果存在函数人，则等式显然成立。因此，在计算上层预测的过程中，以及因此在向上聚合所考虑的层次结构的功能中介的过程中，考虑数据的层次结构。将同一层次上的单个功能观察从一个结转换为另一个结可以很容易地改变结果（见不等式（3.2））。当等级结构相当丰富时，事实就更加明显了。显然，得到的功能中介之和（3.1）并不一定等于所有功能组合的功能中介之和。3.1不确定性评估一般而言，据作者所知，HFTS设置中的不确定性评估仍然是一个悬而未决的问题。据我们所知，对于浓度带的确定问题，没有令人满意的理论解决方案。Aue等人（2015）[2]（见文章第5.2节）在论文中提出了一种确定统一预测带的算法。他们利用整个样本的样本功能主成分（FPC）计算残差。然后计算残差的置信区间。假设残差近似为系统平稳，则确定预测带。认为产生较小预测带的预测方法更好。Shang和Hyndman（2017）[35]采用Aue et al.（2015）[2]的方法计算均匀和逐点预测区间。然而，Aueet等人。

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2022-6-1 12:03:22

（2015）计算了残差的标准差，然后构建了最终置信区间，而Shang和Hyndman（2017）通过替换进行采样，以获得一系列自举预测误差，然后构建了最终置信区间。类似地，Shang（2018）[36]指出，重抽样方法，尤其是自举法，是估计函数估计器相关变异性和构建适当置信区间的唯一实用方法。主成分得分（PCS）通常被认为是原始函数时间序列的替代品，因此PCS模仿了原始FTS的依赖结构。因此，将功能时间序列转换为一维PCS序列族，然后使用Vinod和de Lacalle[40]的Maximumentry bootstrap方法，在其meboot R包中实现[36]。这是对问题的一种很有吸引力的简化，但它肯定会剥夺研究人员在分析的功能时间序列上的大量信息。因此，在[26]（另见[38]）之后，我们建议使用功能箱线图和调整后的功能箱线图，其中箱的大小和α-考虑中部地区。通过这种方式，实现了预测不确定性近似评估函数时间序列的相关引导的思想。与Aue et al.（2015）的方法类似，我们认为产生更窄α的预测方法-中部地区更好。或者，功能性时间序列预测“有效性”的比较可以在这些中心区域作为α函数的扩展速度比较的整个过程中进行（比例曲线，见[26]）。4我们建议的性质4.1单节点预测的无偏性让我们考虑层次结构最底层节点中的i.i.d.函数观测。

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2022-6-1 12:03:25

请注意，不建议考虑预测值的逐点特性。此外，它们始终取决于方程（1）或（2）中的数据驱动间隔A（x；xi，xi）或CI（x；xi，xi），分别在计算MBD或GBD深度时考虑这些间隔。我们通常不知道L[0，T]空间上的真实分布，我们的数据来自于此，因此我们甚至不能直接假设函数平均值确实存在。因此，考虑到通常平均偏差的功能计数器部分，我们认为不合适。然而，如果估计量对于层次结构底层的节点是平均无偏的，那么对于层次结构高层的节点是平均无偏的。点态无偏性可能会忽略曲线的重要特性，似乎是更糟糕的解决方案。相反，我们将注意力集中在媒体无偏见上。在布朗的论文中，一维设置的思想被重新激活了【4】：如果对于固定的参数值，估计分布的中位数在参数值上，则参数的估计是无偏中值的。换言之，这一估计经常高估，而低估了。Pfanzagl【31】考虑了最优中值无偏估计量，Pfanzagl【30】检验了中值无偏估计量的渐近有效性。在所考虑的功能设置中，选择功能深度，然后可以计算该深度引起的中值。请注意，相对于选定功能深度计算的功能中值本质上是一个中值无偏估计器（相对于相同功能深度的中值）。

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大多数88

2022-6-1 12:03:28

与函数平均值的存在相反，由常用深度诱导的函数中值存在于一类广泛的过程中。4.2 ConsistencyMosler和Polyakova【27】指出，他们的Φ-深度（被认为是广义带深度，显然不属于这一类）与数据生成概率模型没有明显的关系，也没有直接可用的一致性或其他渐近结果。幸运的是，Gijbels和Nagy\'sarticle[7]中给出了基于带深度的中值估值器的一致性，作者解决了非积分深度类估值器（我们的估值器不属于他们论文中考虑的类别）与调整带深度的一致性问题，从而有可能保证一致的一致性结果。然而，我们使用López Pintado和Romo的修正带深（MBD）和López Pintado和J"ornsten的广义带深（GBDI）来定义聚合中值估值器。在一些合理的假设下，Nagy等人[28]最近证明了当移动窗口长度变细时，MBD的一致性。粗略地说，一元函数深度x（t）w.r.t可以计算出给定概率对应的边际分布。之后，我们可以计算单变量深度（D）的平均值，作为x的积分深度。精确地，遵循Nagy等人[28]（见其定义2.3，第100页）的p∈ P（C（[0，1]），是可测空间上的概率测度(Ohm, F），对于连续函数x∈ C（[0，1]），函数的积分深度x w.r.t.P，由公式D（x；P，D）=ZD（x（t），Pt）Du（t）定义。为了证明GBD确实属于Nagy et al.的综合功能范畴。

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kedemingshi

2022-6-1 12:03:31

[28]，按照作者的符号，让我们考虑J=2的单变量深度，正如我们在（2）中考虑的那样，只有受两个函数限制的带。也让v∈ R和Q∈ P（R）是实数R上所有概率测度的集合，设独立随机变量V，V~Q、我们用公式dgbd（v；Q）=P定义一个单变量深度v∈ [最小{V，V}，最大{V，V}]·1CI（V；V，V）.为了证明（2）定义的GBD确实属于综合功能深度，我们需要验证属性（D）- （D） ofNagy等人[28]对于实值函数（K=1被替换）DGBD，假设度量Q是绝对连续的。但是，我们将其较弱的条件（DW）替换为下面条件列表中的条件（D）。这些性质是：（D）A ffne不变性：对于任何非零A∈ R、对于任何b，v∈ R和V：D（V；QV）=D（Av+b；QAV+b）。（D）中心极大值：如果V的分布是半空间对称的*∈ R、然后D（v；QV）在v处达到最大值*.（D）沿射线递减：如果在v处达到最大深度D*∈ R、然后每v∈ R和γ∈ [0，1]下列不等式成立d（γv*+ (1 - γ） v；Q）≥ D（v；Q）。（D）在单位消失：lim | v|→∞D（v；Q）=0，其中| v |表示D作为v函数的R.（D）上半连续性上的欧氏范数：对于所有v∈ R和Limδ→∞vδ→ v以下公式保持SLIM supδ→∞D（vδ；Q）≤ D（v；Q）。（D） D作为Q函数的弱连续性：对于所有Qδw-→ Q、如果δ→ ∞以下公式适用于SSUP | | v||∈R | D（v；Qδ）-D（v；Q）|-→ 0，如果δ→ ∞.（D）可测量性：映射D:R×P（R）→ [0，1]：（v；Q）7→ D（v；Q）是Borel可测量的，D（·；Q）6≡ 0表示所有Q∈ P（R）。备注1：属性（D），即a ffne不变性，是微不足道的。引理：如果Q是绝对连续的，则对单变量GBDDepth不满意。证据我们遵循Nagy等人的思路。

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2022-6-1 12:03:34

【28】定理A.11调整为所考虑的单变量DGBDdepth。设F是测度Q的连续分布函数∈ R我们有dgbd（v；Q）=Pv∈ [最小{V，V}，最大{V，V}]·1CI（V；V，V）== 1.- P五/∈ [最小{V，V}，最大{V，V}]·1CI（V；V，V）== 1.- Pv≤ 最小{V，V}·1CI（V；V，V）∨ v≥ 最大{V，V}]·1CI（V；V，V）== 1.-F（v）+（1- F（v））.因此，DGBD（v；Q）在F（v）=时达到其最大值，即在Q的中值处。由于这是一维分布，它是围绕中值对称的半空间（见Nagy et al.【28】p.98）。备注2：如果度量Q是绝对连续的，那么按照定理1的证明线，我们得到（D）是满足的。属性（D）和（D）也是满足的（见López Pintado和Romo[25]，定理1）。备注3：由于我们的DGB是Nagy et al\'s DBdepth的受限版本（详情请参见[28]），那么假设Q是绝对连续的，并且遵循他们的定理a.10和a.12，我们分别得到了性质和D。现在，我们利用他们的评论A.14指出，我们基于GBD的估计器是一个强大的通用一致性估计器（（sC）在Nagy等人【28】中），在层次结构的底层。备注4：对于基于MBD的中值估计，在相同的合理条件下，也获得了每个层次的任何节点的一致性性质。这一次，这是Nagy等人第28条（见第121页第a.3小节和第123页备注a.14）中证明的直接结果。备注5：在所考虑的层次结构中，每个非底部节点的随机变量是以下节点的随机变量之和，那么基于函数中值的估计器对于层次结构的任何级别的节点都是一致的。我们对统计推断的进一步兴趣是从函数样本中导出的量。

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大多数88

2022-6-1 12:03:37

有趣的是函数样本深度的最大化子，问题是对于大样本量n，这个最大化子是否接近于函数深度函数的总体版本的最大化子集。我们使用Nagy等人的研究【28】（见第4.2节）获得了应用功能介质关于GBD和MBD的存在性、可测量性和连续性。GBD和MBD深度的样本版本也非常一致（见备注A.14，第123页）。图1：被0%、10%、25%和45%形状异常值污染的数据的函数箱线图。4.3稳健性和“有效性”尽管Shang和Hyndman的方法优雅且在概念上很有吸引力，但事实上，它在很大程度上取决于应用于主成分得分序列（fts R包）的非常有效但非稳健性的一维时间序列方法和负责预测调节的预测非稳健性离散矩阵。虽然人们可以使用一些稳健的替代方案来为其方法的非稳健构建块轻松地对其方法进行稳健化，但我们放松了其数学优雅性，并显著增加了其计算复杂性（即使没有任何修改，其计算复杂性也非常高）。我们的方法对异常值的鲁棒性并不严重依赖于函数异常值的类型，这似乎令人惊讶，正如我们所预期的那样，函数形状异常值、函数振幅异常值和函数异常值在协方差结构方面应该有所不同。我们已经进行了几次模拟，但为了介绍我们的方法，在此我们展示了对100次高斯过程观测进行的一些模拟，平均值等于u（t）=sin（4π·t），协方差函数C（s，t）=α·e(-β| s-t |）=0.2·e(-0.8·| s-t |）。

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kedemingshi

2022-6-1 12:03:39

污染来自高斯过程的外围观测，平均值为uC（t）=sin（2π·t+π/2），协方差函数等于C（s，t）。图2：左侧为受10%形状外围观测污染的数据，右侧为受10%形状外围观测污染的数据的异常值图。MBD中值的稳健性通过以下图表进行目视评估。数据被0%、10%、25%和45%的形状因子所污染。图1显示了被0%、10%、25%和45%形状异常值污染的数据的函数箱线图。图2和图3显示了受10%和45%形状边缘观测以及数据异常图污染的数据。值得注意的是，Arribas Gil andRomo[1]引入的用于检测形状异常值的异常值图，在外部异常值的数量约为45%时效果不佳。然后，outliergram停止检测与形状相关的异常值。包含OutleGram的图形是使用roahdR包（见[38]）绘制的，功能箱线图是使用DepthProc R包（见[17]）绘制的，尽管获得outliergramin DepthProc也很简单。考虑到对于固定α，α的体积-中央区域可被视为一种分散度度量标准【23】，比较功能方框图是比较“有效性”的有效方法（见图9）。功能性时间序列预测“有效性”的比较可以通过α体积的比较来进行-中心区域或这些区域的扩展速度作为α的函数（比例曲线，见图3：左侧受45%形状边缘观测污染的数据，右侧受45%形状边缘观测污染的数据的离群图。[26]）。

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2022-6-1 12:03:42

我们认为，这种从多元情况下获得的完全非参数和无矩的数据分析方法是函数情况下的最佳解决方案，在函数情况下，对数据生成过程进行合理的假设往往是可疑的（在L[0，T]空间中没有勒贝格测度类似物）。4.4计算复杂性为了将我们的提案的计算复杂性与Shang和Hyndman的提案进行比较，我们考虑了与互联网服务（webportal）昼夜监控相关的经验功能时间系列，该系列分为四个子服务（更多详细信息，请参阅第6节）。监测时间为2015年的365天。换句话说，在开始时，我们认为数据集由五个矩阵组成，每个矩阵的维数为365×24。为了比较两种预测方法，我们考虑了基于长度为10的移动窗口的预测。使用Shang和Hyndman方法计算预测的时间为37-38min，而使用拟议的聚合中值方法计算预测的时间约为2-3min。在这两种情况下，我们使用了相同的软件和硬件环境（WIN10、mobile intel I7、16GB RAM）。请注意，Shang和Hyndman的【35】和Hyndman等人【12】指出了他们的方法在稀疏设计矩阵中应用广义最小二乘法的某些不便之处。他们列出了对这些不便的一些理论上有趣的补救措施。我们认为，这些补救措施对于互联网数据流的分析是不够的（详情见【16】）。5在时间相关数据的情况下，我们对FDA程序性能的模拟研究仍然是一个开放的、深入研究的问题[9，33]。

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大多数88

2022-6-1 12:03:45

为了研究我们的提案在设置偏离独立且相同分布的情况下的性能，我们考虑了一个由相对流行的一阶函数自回归过程（FAR（1））组成的层次系统。5.1 FAR（1）过程一阶函数自回归过程，即FAR（1），定义为Xn+1=ψ（Xn）+n+1，其中误差和观测值都是函数，运算符ψ：L(Ohm) → L(Ohm) 是将一个函数转换为另一个函数的线性算子，即ψ（X）（t）=Rk（t，s）X（s）ds，其中k（t，s）是一个二元核。请注意，每个内核都可以重写为（默瑟定理）k（s，t）的形式=+∞Xn=1λnen（t）en（s），（5.1），其中λ是特征值，λ>λ>…>0和{en}+∞n=1是L中的异常基础(Ohm) 空间如果核是连续的，则序列一致收敛。此外，总体特征函数可以通过经验特征函数进行一致估计（见Horváth和Kokoszka（2012）[10]的定理13.2）。常用的条件| | k | |<1确保了FAR（1）方程的平稳解的存在。然而，条件可以被削弱，如Horváth和Kokoszka（2012）[10]的引理13.1，在模拟研究中，我们使用引理的C0条件：存在一个| |ψj | |<1的正整数jsuch。该条件确保FAR（1）方程存在唯一的平稳因果解（见[10]的定理13.1）。此外，H"ormann和Kokoszka[9]表明（参见他们的示例2.1），平均误差为零的FAR（1）过程也是Lp- m级- 可与P逼近≥ 2（创新过程不需要任何平滑特性），这类似于FTSsetup中基于矩的依赖性概念。因此，考虑FAR（1）过程，我们考虑了函数随机变量之间的弱时间依赖性。

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2022-6-1 12:03:48

consideredexample表明，我们对函数数据的建议对某种时间依赖具有鲁棒性，即它适用于从FAR（1）过程生成的函数观测。在模拟框架中，FTS样本观测值之间的时间依赖性强度也可以使用功能数据的Kendall相关系数来考虑（见[39]）。5.2层次结构模拟框架考虑图4所示的层次结构，其中底层的每个进程（在层次结构最底层的每个节点中）是一个遥远的（1）进程，而更高层的进程是他下面一层的进程加上一个错误的总和，例如，H=H+H+H+e，H=H+H+H+e，H=H+H+H+e，和H=H+H+e，以及所有错误，即e，e，e，e，e，e，e，e，e，e是相互独立的标准维纳过程乘以，例如，e=e（t）=W（t），因此误差不会支配FAR（1）过程。模拟研究的目的是在层次结构的各个层次上与我们的提案共同获得预测。综上所述，我们给出了一些关于仿真研究的细节。在模拟中，根据模型Xn+1（t）=ZTk（s，t）Xn（s）ds+n+1（t），其中n=0。。。，N- 1和错误n+1（t）是标准的维纳过程。在[6]之后，我们决定考虑以下形式的核：s的斜面，即k（s，t）=Cs，t的斜面，即k（s，t）=Ct，以及指数核，即k（s，t）=C exp{-|s-t |}。

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2022-6-1 12:03:51

然而，为了明确模拟研究演示，我们只展示了使用最复杂指数核执行的模拟。规格化常数C的选择应确保| |ψ| |=| | k | |=0.5或| |ψ|=| k |=0.8。在HFTS模拟研究中，我们使用了以下软硬件环境：I7 6700、Ubuntu 16.04 LTS、128 GB RAM。我们使用一个免费的R包far（请参见[5]）从far（1）过程中为所考虑的层次结构的底层节点生成样本。我们使用模拟。远的带有参数d.rho的维纳命令，它是Karhunen Loéve基中算子ψ的近似值，被截断为三个特征函数。我们为层次结构底层的18个节点中的每个节点生成了100个FAR（1）样本。我们计算了一个移动函数medianw。r、 t.MBD和GBD，对于层次结构底部的每个节点，窗口长度分别为3、5和10个观测值。之后，添加了层次结构底层三个对应节点的函数样本和相应的误差EI，从而得到了六个扰动样本，即XHin（t），其中1=1，2，6，对于层次结构中最低但只有一级的节点（见图4）。同时，对节点H、…、，hh已计算，例如，His^XHn+1（t）=MEDF D{XHn（t），…，XHn的预测-k+1（t）}++MEDF D{XHn（t），…，XHn-k+1（t）}+MEDF D{XHn（t），…，XHn-k+1（t）}，其中F D表示选择的功能深度，GBD或MBD，k是移动窗口的长度，即。

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2022-6-1 12:03:55

k=3、5、10。添加了来自节点Hi，i=1，2，3的函数样本和相应的误差，以及来自节点Hi，i=4，5，6的函数样本和相应的误差E，并获得了层次结构顶层节点的两个扰动样本，即XHn（t）和XHn（t）。同时，计算了两个预测，例如，His^XHn+1（t）=MEDF D{XHn（t），…，XHn的预测-k+1（t）}++MEDF D{XHn（t），…，XHn-k+1（t）}+MEDF D{XHn（t），…，XHn-k+1（t）}。最后，来自节点的两个函数样本手动添加了错误eh，我们获得了层次结构顶层节点的扰动样本，即XHn（t）。层次结构顶层节点的预测由公式^XHn+1（t）=MEDF D{XHn（t），…，XHn给出-k+1（t）}++MEDF D{XHn（t），…，XHn-k+1（t）}。通过这种方式，我们获得了所考虑的层次结构中的每个节点的功能层次结构和预测。我们把整个实验重复了三十次。注意，由于FAR（1）过程生成的函数的形状，使用GBD和MBD获得的函数中介非常相似。因此，考虑MBD诱导的功能性介质就足够了。另请注意，在经济学中，在尽可能长的不间断子区间内监控某些属性的持续性尤其重要。

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2022-6-1 12:03:57

这就是为什么从优点的角度来看，有必要区分GBD和MBD，因为在使用GBD时，我们将注意力集中在功能领域的某个部分。对于层次结构的四个层次（见表1-3），使用平均绝对预测误差（MAFE，见[35]）对预测质量进行了评估，并对所考虑的层次结构的27个节点中的每个节点进行了功能箱线图（见图5-8）。函数箱线图和α体积-尤其是中部地区，已被用来评估预测因子的“有效性”。我们比较了使用我们的方法、移动函数平均法、污染数据集和清洁数据集获得的预测（例如，请参见图5和图6以获取顶层比较）。在受污染数据的情况下，我们用5%、10%和40%的外围函数替换层次结构底层节点中FAR（1）样本中的部分观测值。污染数据由以下过程生成：fs（t）=60W（t）sin（2πt）+√2W（t）cos（2πt），其中W（t）和W（t）是标准维纳过程。污染既涉及形状异常值，也涉及震级异常值，这些异常值是由过程fs（t）产生的。ArribasGil和Romo[1]的离群图已用于验证被替换函数是否为实际形状的离群值，Tarabelloni[38]的调整函数箱线图已用于验证被替换函数是否为实际的函数幅值离群值。使用二项式分布将外围函数随机放置在层次结构底层节点的观测值中，其中参数p（成功概率）是外围函数的一部分。

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2022-6-1 12:04:01

最后，我们使用聚合的medianmethod来获得层次结构中所有节点的预测。我们的方法的稳健性已通过与清洁样品相比，污染样品的FES和功能箱线图的变化进行了评估。从表1-3可以得出结论，我们的方法允许在函数观测值之间相关性较弱的情况下，对形状和震级异常值进行相对稳健的预测。进行广泛的模拟研究涉及对我们的方法和移动函数平均值方法所考虑的层次结构的27个节点中的每个节点的FunctionalBoxPlot进行比较（顶层比较见图5和图6）。同样，从表1-3可以得出结论，我们的方法对于相同分布的函数数据是相对稳健的。图5中有预测误差的函数箱线图示例，这些函数是真实值和预测值之间的差异，预测值是使用移动窗口长度为10的聚合函数中值方法得出的，对于FAR（1）HFT的顶层，无异常值（左）和10%形状异常值（右）。图6中有预测误差的函数箱线图示例，这些函数在真实值和使用移动窗口长度为10的移动函数门方法获得的预测值之间存在差异，对于最顶层的距离（1）HFT，没有异常值（左）和10%形状异常值（右）。FAR情况下HFTS模拟研究结果的简要总结（1）：1。MAFE随层次结构的级别而增加。对于任何级别的两种方法，MAFE都会随着污染量的增加而增加。3、在干净数据的情况下，移动窗口越长，聚合函数中值法和移动平均法的isMAFE越小。4.

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2022-6-1 12:04:03

与移动函数平均值预测相比，移动窗口越长，聚合中值预测的MAFE越差（见表1）。在数据受到污染的情况下，聚合函数中值优于movingfunctional mean方法。然而，在清洁数据的情况下，情况并不明朗，移动平均法往往优于我们的方法。可以观察到，虽然功能箱线图的中心区域随着功能域的扩展而扩展，但聚合的FunctionalMedia接近于零功能（见图5和图6），这表明存在中间无偏性。6、我们的程序似乎是稳健的，即即使是10%的外围功能也不会显著扭曲功能方框图中心区域的功能中值和体积，这在功能方框图上是可以识别的（见图5和图6）。我们考虑了图4所示的层次结构，其中底层的每个流程（在层次结构最低层的每个节点中）都是标准的维纳流程乘以10，而更高层的流程是底层的多个流程加上一个错误，正如上面针对FAR（1）的情况所述。换言之，与上述情况的唯一区别是，我们在层次结构的最底层考虑每个节点中的10×W（t）过程，而不是FAR（1）过程。

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2022-6-1 12:04:06

表1：移动函数平均值和聚合中值方法的MAFE的稳健性，其中FAR（1）样本未被异常值污染。移动平均聚合mediank窗口长度3 5 10 3 5 10底层0.69 0.68 0.65 0.67 0.69 0.70层2 1.29 0.96 0.77 1.47 1.01 0.90层3 3 3.88 1.77 1.31 4 1.41 1.68 1.50顶层11.65 2.43 1.85 8.83 2.43 2.02表2：移动函数平均值和聚合中值方法的MAFE，其中FAR（1）样本被10%的异常值所污染，这些异常值是形状和大小异常值。异常值由fs（t）过程生成。移动平均聚合mediank窗口长度3 5 10 3 5 10底部级别2.41 2.29 2.12 1.70 1.69 1.71级别2 5.80 5.41 5.04 4,61 4,59 4,59级别3 12.01 11.55 11.06 10.74 11.33 10.72顶部级别17.53 17.92 29.54 17.94 17.47 17.41表3：移动函数平均值和聚合中值方法的MAFE，其中FAR（1）样本被40%的异常值所污染，这些异常值是形状和大小异常值。

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2022-6-1 12:04:09

异常值由fs（t）过程生成。移动平均聚合mediank窗口长度3 5 10 3 5 10底部级别5.65 5.25 4.84 4.51 4.10 4.11级别2 11.00 10.31 9.83 9.87 9.13 9.17级别3 20.24 19.28 18.72 19.15 17.99 18.08顶部级别27.82 27.91 28.43 28.13 26.63 26.88\'&$%HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH-20-10010200 20 40 60级100%95%50%5%0%-60-300300 20 40 60水平100%95%50%5%0%图5：无异常值（左）和有10%形状异常值（右）的顶层离散度（1）HFT预测误差的函数箱线图。已应用聚合函数中值法，窗口长度k=10，DepthProc R包。-10010200 20 40 60级100%95%50%5%0%-60-300300 20 40 60level100%95%50%5%0%图6：无异常值（左）和有10%形状异常值（右）的顶层离差（1）HFT预测误差的函数箱线图。已采用移动平均法，窗长k=10，DepthProrc软件包。表4：移动函数平均值和聚合中值法的MAFE，其中维纳过程样本不受异常值污染。移动平均聚合mediank窗口长度3 5 10 3 5 10底部水平0.72 0.68 0.65 0.74 0.69 0.70水平2 1.95 0.96 0.77 2.21 1.01 0.90水平3 5.86 1.77 1.31 6 3 1.68 1.50顶部水平11.72 2.43 1.85 13.27 2.43 2.02方法根据污染样品的MAFE变化与清洁样品进行了比较（见表4-6）。在图7中，有预测误差的函数箱线图示例，这些函数是真实值和预测值之间的差异，预测值是使用移动窗口长度为10的聚合函数中值方法得出的，对于维纳HFT的顶层，无异常值（左）和10%形状异常值（右）。

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