重新审视新凯恩斯主义模型的确定性

2022-6-2 18:07:32

重新审视新凯恩斯主义模型的确定性萨尔贝托·博伊克斯和阿德里·塞古拉·莫雷拉萨布拉特。本文的目的是阐明新凯恩斯主义模型中由于多种货币政策规则的组合而产生的确定性问题；在这些模型中，我们通过理论分析得到的结果，提供了保证均衡存在和唯一的条件。特别是，我们表明，在新的凯恩斯背景下，利率设置中的类泰勒规则并不是实现理性预期均衡的唯一途径。为此，我们使用的关键技术工具是所谓的布丹-傅立叶定理，我们将在论文中对其进行回顾。理性预期均衡（REE）的不确定性给货币政策的实施带来了复杂性。这与波动性增加有关，因为不确定将实现哪个均衡。因此，经济中的代理人有可能在均衡中产生次优结果。这意味着，现有的政策制度不仅应符合最优均衡，还应考虑其唯一性。新凯恩斯主义（NK）模型产生的主要问题之一是所谓的多重均衡之谜。这捕获了由于特定的政策组合可能出现不期望的均衡的id ea。科克伦（Cochrane）[Coc11]认为，已经有很多尝试来解决这个问题。然而，实际上，他们似乎都认为，如果出现意外的均衡，政府将有权炸毁经济。对于最近提出的困境，学者们仍在讨论新的替代解决方案。

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何人来此

2022-6-2 18:07:35

在Bianchi和Nicol\'o【BN17】中，作者使用了一种方法，该方法包括用辅助外生方程对原始模型进行增强，以提供爆炸根的数量。我们的论文针对同样的问题，采取了不同的方向。我们假装从分析和数值上探索在平衡状态下保证唯一性和存在性的条件。因此，我们工作的主要目的是阐明确定性问题。我们将比较计算结果（模拟结果）和理论分析结果；然而，我们要解决的问题是，我们不会基于计算模拟产生结果，我们的路径始终是，一方面，展示从理论分析中获得的陈述，另一方面，通过数值模拟来说明这些陈述。NK框架中的关注焦点集中在Taylor在[Tay93]中提出的内生利率规则的确定性条件上。通常发现，确定性取决于政策响应参数的大小，或者更具体地说，取决于所遵循的泰勒原则（见[Woo01]和[BM02]）。为了保证确定性，文献还强调了历史反馈在货币规则中的重要性，发现纯粹的前瞻性政策支持均衡的非唯一性[SW05]。我们的结果显示JEL分类：E12；关键词和短语。Budan–Fourier定理；预期稳定性；货币政策规则；新凯恩斯模型；理性预期。A、 F.B.得到以色列科学基金会（批准号844/14）和西班牙经济部（Ministerio d e Economo'A yCompetitividad MTM2016-7881-P.A.S.M.）的支持。

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2022-6-2 18:07:38

由巴塞罗那GSE Severo Ochoa博士跟踪奖学金资助。利率设定中的泰勒规则并不是实现NK设定中REE确定性的唯一方法。我们工作的重要性源于这样一个事实，即我们提出了计算结果的推广（用于求特征多项式的根），以澄清线性方程组实根的存在性和潜在唯一性。为此，我们使用文中所述的所谓的Budan-Fourier定理（见定理2.2）；注意，该结果已在一些早期工作中用于相同目的，以解决确定性问题（例如，[BM，命题1的证明]）。本文的结构如下：在回顾了第2节中的Budan–Fourier定理和我们在第3节中引入的一些确定性术语以缩短和简化我们的几个结果陈述之后，在第4节中，我们研究了一个规范的新凯恩斯主义（NK）模型，并推导出当货币供应遵循外生路径时均衡确定性的条件。在第5节中，我们考虑了货币当局对产出、通货膨胀和利率偏差滞后值的反应模型。在第6节中，我们探讨了代理不完全了解未来政策的amodel的稳定性条件。最后，在第7节中，我们探讨了我们的方法在处理更复杂模型方面的潜在局限性；即使在这种情况下，我们也说明了Budan–Fourier定理仍然是提供必要确定性条件的有用工具，这些条件在实践中很容易检查，因为它们只需要多项式求值。我们还想在这里提到，在本文中，我们对解决确定性问题感兴趣的线性理性预期模型是什么；事实上，我们所有的模型都可以转换为Γy（t）=Γy（t- 1） +ψz（t），（t=1。

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2022-6-2 18:07:41

，T），其中z（T）是一个外生进化的、可能连续相关的随机扰动，而Γ是一个可逆矩阵。这符合[BK80]中研究的框架，其中确定性问题归结为计算Γ的特征值-1Γ位于复合单元磁盘的内部或外部。值得注意的是，在[Sim02]和[LS03]中，作者处理的模型比这里考虑的模型更为一般，尤其是它们允许Γ是奇异的；然而，在这两项工作中，他们还需要计算某些矩阵的一些特征向量，而且众所周知，如果想在实践中这样做（例如数值），那么通常必须同时计算特征值和特征向量，例如使用经典幂法【Hou75，第7章】。因此，我们希望本文中介绍的方法将有助于处理更复杂的模型。我们的所有结果都将通过使用Matlab（Mat15）进行的数值例子加以说明。2、布达-傅立叶理论由于布达-傅立叶理论在本文中的重要性，我们现在的目标是为了方便读者，参考[Akr82，定理1]和其中给出的参考文献了解更多细节（另见[Bar89，第173页]）。首先，我们定义了符号变化的概念。定义2.1。我们说，在实数c，c，c，…的有限或有限序列中，两个非零数Cp和cq（p<q）之间存在符号变化。如果以下情况成立。（i）如果q=p+1，则Cp和Cq具有op posite符号。（ii）如果q≥ p+2，th en cp+1，cq公司-1均为零，且Cp和Cq有op-posite符号。记住这个术语，布达-傅立叶理论可以用以下方式表达。定理2.2（Budan–Four ier）。

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2022-6-2 18:07:43

设P（x）是一个具有实数系数且阶数为d的多项式，并用P（i）的第i个导数表示；此外，设置Pseq（x）：=（P（x），P′（x），P（2）（x），P（d）（x））。最后，给定实数a<b，用va（分别，vb）表示seq（a）（分别，Pseq（b））的符号变化数。然后，以下内容成立。（i） vb≤ va.（ii）r≤ 弗吉尼亚州- vb，其中r表示位于区间（a，b）的方程P（x）=0的实根数。（iii）va- vb- r要么是零，要么是偶数。3、确定性三小题为了简化和缩短我们在本文中得到的关于几个模型确定性的陈述，我们现在的目标是在确定性问题上引入一个更清晰的符号；对半代数集感兴趣的读者可参考[BCR98，第2章]和参考文献中的附加信息。定义3.1。让n≥ 1是整数，让我们 Rnbe是R上的半代数s集（即Rnbe的子集，满足多项式方程和不等式与实系数的布尔组合）。实际上，S将是我们模型参数所在的空间。（i）我们说，我们的模型是无条件确定的，如果，对于任何（x，…，xn）∈ S、我们的模型已确定。（ii）如果存在半代数子集，我们说我们的模型是一般确定的因此，我们的模型是为任何（x，…，xn）确定的∈ S′。此后，我们将s et s称为参数空间，将s′称为确定性区域。4、动态线性系统在本节中，我们表明，对基础经济模型的结构参数的一组非限制性假设对于均衡的唯一性是有效的。我们考虑的情况由Gal'i在[Gal15，3.4.2]中提出，但与理论中的数值方法相比，这里我们还分析显示了我们的结果。

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2022-6-2 18:07:46

在这种特殊的情况下，人们对所谓的时间结构的分析感兴趣：“现金-时间-我完成了”（CWID）。最终，我们将证明，在这种特殊的设置下，外生货币增长规则总是会给我们无条件的确定性。在本文考虑的动态线性系统中，有人想知道矩阵：=1 + ση 0 0-k 1 00-1 1-1.ση η 10 β 00 0 1,（其中k>0，σ>0，η>0和β∈ （0，1）是实数）在单位盘内有两个特征值，其余的特征值在单位盘外，因为根据[BK80]，这相当于对应的动态线性系统有唯一的平稳解；本节的目标是证明这是真的。注意，在这种情况下，我们的参数空间isS={（k，σ，η，β）∈ R： k>0，σ>0，η>0，0<β<1}。我们从下面的技术声明中推断出该模型的无条件确定性。提案4.1。设A是一个3×3矩阵，其实项为其特征多项式P（x）=x- bx+cx- d、其中我们假设b>1，c>0，d∈ (0, 1), 1 - d<b- c、 andbc公司- d>0。然后，以下断言成立。（i） P的所有实根都位于区间（0，b）中。（ii）P在区间（1，b）中至少有一个实根。（iii）如果P有两个复数根，则两者都位于单位圆盘中。在本文中，单位圆盘指的是集合{z∈ C：| z |<1}。（iv）如果P的所有根都是实的，那么P在区间（0，1）中至少有一个实根。（v） P在区间（1，b）中有一个单根。证据首先，给定x∈ [0, +∞) 请注意，P(-x） =-x个- bx公司- cx公司- d<0，因为x≥ 根据我们的假设，0和b>0、c>0和d>0；这表明P在区间中没有根(-∞, 0].

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2022-6-2 18:07:50

此外，给定u≥ 0一个实数，如下所示：p（b+u）=u（b+u）+uc+（bc- d） >0；实际上，P（b+u）>0，因为我们通过假设P（b）=bc知道- d>0，P（b+u）的余项也是非负的。综上所述，我们的计算表明，对于任何x，P（x）<0∈ (-∞, 0]，对于任何x，P（x）>0∈ [b+∞). 这两个事实表明，Pare的所有根都位于区间（0，b），因此第（i）部分成立。现在，读者可以轻松地检查P（1）=1- b+c- 由于我们的假设，d再次<0；这样，由于P（1）<0且P（b）>0，Bolzano定理[BCR98，命题1.2.4]保证了P在区间（1，b）中至少存在一个实根，因此第（ii）部分也是正确的。接下来，我们用λ表示这个根，让λ，λ是P的余根。记住这个符号，λ·λ·λ=d当且仅当λ·λ=d/λ。

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2022-6-2 18:07:54

这个等式表明λ·λ<1是因为d∈ （0，1），λ>1；现在，我们要区分两种情况。一方面，假设λ和λ是复数，那么λ=λ（其中(-) 表示复共轭），因此|λ|=λ·λ=λ·λ<1<==> |λ|<1，这表明λ和λ都位于单位圆盘中，如所述。另一方面，如果λ和λ是实数，则λ∈ （0，1）或λ∈ （0，1），因为λ·λ<1。我们的最终目标是证明P在区间（1，b）中有一个单根，为此，我们计划使用布达-傅立叶定理（见定理2.2）；首先，P的序列及其所有非零导数（又名傅立叶序列）结果为pSeq（x）：=（x- bx+cx- d、 3倍- 2倍+c，6倍- 2b，6）。现在，我们分别在1和b处评估该序列；即Pseq（1）：=（1- b+c- d、 3- 2b+c，6- 2b，6），Pseq（b）：=卑诗省- d、 b+c，4b，6设v（分别，vb）为Pseq（1）（分别，Pseq（b））的符号变化数，请注意vb=0，因为我们通过假设知道P（b）=bc- d>0，b+c>0，4B>0。请记住，Budan–Fourier定理指出，位于开放区间（1，b）中的P的实ro ots的数量小于或等于v- vb=v；我们的最终目标是证明v=1。我们首先需要考虑四种情况，如果3- 2b+c≤ 0和6- 2b级≤ 0，则v=1。其次，如果3- 2b+c≤ 0和6- 2b级≥ 0，然后再次v=1。第三，如果3- 2b+c≥ 0和6- 2b级≥ 0，然后再次v=1。最后，假设得出一个矛盾，即3- 2b+c≥ 0和6- 2b级≤ 0，因此v=3。注意不等式6- 2b级≤ 0等于b≥ 另一方面，不平等3- 2b+c≥ 0相当于c≥ 2b级- 这个不等式意味着，既然b>c，那么b>2b- 3，因此b<3，这是一个矛盾。

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大多数88

2022-6-2 18:07:57

在此之前，第四种情况不可能出现。综上所述，我们最终检查了v=1，这意味着根据Budan–Fourier定理，区间（1，b）中最多有1个实根，并且由于我们已经检查了该区间中P至少有一个实根，我们最终可以得出结论，P在区间（1，b）中有一个根，这正是我们最终想要显示的。现在，在命题4.1的基础上，我们准备证明本节的主要结果，记住我们在一开始介绍的符号。定理4.2。以下断言成立。（i）一个有一个=ση1+σηη1+ση1+σηkση1+σηkη1+ση+βk1+σηkση1+σηkη1+ση+βk1+ση1（ii）A的eig值正是多项式P（x）=x的根- bx+cx- d、其中b=ση+k（1+η）1+ση+1+β，c=（1+β）ση1+ση+kη1+ση+β，d=βση1+ση。（iii）我们的模型是无条件确定的。证据首先，第（i）部分只是一个矩阵求逆的问题，然后是矩阵的乘法，这两个步骤都留给感兴趣的读者。其次，很容易检查P（x）是A的特征多项式，因此第（ii）部分也成立。为了证明该模型的无条件确定性，我们只需要检查命题4.1的假设是否成立；事实上，很明显，b>1，c>0和d∈ (0, 1). 另一方面，请注意P（1）=1- b+c- d=-k1+ση再次<0，因为k，σ和η是严格正的；最后，也有p（b）=bc- d=ση+k（1+η）1+ση+1+β（1+β）ση1+ση+kη1+ση+β-βση1 + ση> 0.综上所述，我们检查了我们是否在命题4.1的假设下，因此该命题意味着我们的模型是无条件确定的，这正是我们最终想要展示的。备注4.3。

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2022-6-2 18:08:00

我们想指出，命题4.1不包括Bullard和Mitra在[BM02，命题3和附录C]中分析的模型，因为在他们的模型中，d<0。最后，Routh–Hurwitz准则[Mei95，定理1.1]，用于证明Gabaix研究的其中一个模型的稳定性（参见[Gab17，命题5.3]和[Gab16，命题9.7]），仅在我们的情况下暗示P的所有特征值都有正实部，因此它对我们的目的没有用处。在下文中（见第5节和第6节），我们分析了这些模型。在这一节的结尾，我们展示了一些数值例子来说明定理4.2；正如wealready在本手稿的介绍中所指出的那样，本文中所有示例中的unjus ti fied计算都是用Matlab完成的【Mat15】。请记住，我们在其余部分中的路径和含义，一方面是提供从理论分析中获得的结果，另一方面是通过数字示例来说明这些结果。示例4.4。首先，我们按照以下方式校准参数：β=0.99，σ=0.5，η=1.2和k=0.3。在这种情况下=0.3750 0.7500 0.62500.1125 1.2150 0.18750.1125 1.2150 1.1875,其特征多项式为x- 2.7775倍+1.9612倍- 0.3712（请记住，定理4.2保证区间（1，2.7775）中存在唯一特征值），其e值分别为0.3107、0.6620和1.8048。因此，在这种情况下，（1，2.7775）中包含的A的唯一特征值为1.8048。其次，现在我们按照Woodford[Woo99]校准参数；实际上，在这种情况下，wepickβ=0.99，σ=0.157，η=1.2，k=0.024。

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可人4

2022-6-2 18:08:02

在这种情况下=0.1585 1.0098 0.84150.0038 1.0142 0.02020.0038 1.0142 1.0202,其特征多项式为x- 2.1930x+1.3297x- 0.1569（请记住，定理4.2保证区间（1，2.1930）中存在唯一特征值），其e值分别为0.1547、0.8634和1.1749。因此，在这种情况下，（1，2.1930）中包含的A的唯一特征值为1.1749。最后，我们按照Clarida、Gal'i和Gertler[CGG00]校准了我们的参数；实际上，在这种情况下，我们选择β=0.99、σ=1、η=1.2和k=0.3。在这种情况下=0.5455 0.5455 0.45450.1636 1.1536 0.13640.1636 1.1536 1.1364,其特征多项式为x- 2.8355x+2.2391x- 0.5400（请记住，定理4.2保证区间（1，2.8355）中存在唯一特征值），其e值分别为0.5455、0.5784和1.7116。因此，在这种情况下，（1，2.8355）中包含的A的唯一特征值为1.7116.5。一些数据滞后的规则现在，我们想探索一个更现实的模型版本。在下文中，假设决策者对过去记录的特定政策的变化作出反应。为了探索这一事实，我们的下一个目标将是恢复和扩展[BM02，提案3和附录C]；在此之前，我们想回顾一下以下初等线性代数技术。引理5.1。设A是一个具有实数项的可逆矩阵。那么，A在单位圆盘外有唯一的特征值，当且仅当A-1在单位圆盘内具有唯一的特征值。讨论5.2。对于某些非惯性滞后数据规则【BM02，第1118–1119页】，与唯一性相关的矩阵如下：B=Дx+kДπ0-β|π0β|xkσ（ψx+k|π）νx+（k+β|σ）Пπ-σ,其中k>0，σ>0，β∈ （0，1），Дx≥ 0, φπ≥ 0，且其中一个是严格正的。

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2022-6-2 18:08:05

根据引理5.1，B在单位圆盘内有两个特征值，在单位圆盘外有一个特征值，当且仅当B-1在单元磁盘内有一个特征值，其余两个在外部。正如[BM02，Ap pendix C]所指出的，B的特征多项式-1是P（x）=x- bx+cx+d，其中b=1+β+kβσ>2，c=β-Дxσ，d=Дx+kДπβσ。读者很容易注意到，在这个模型中，我们的参数空间isS={（k，σ，β，Дx，Дπ）∈ R： k>0，σ>0，0<β<1，Дx≥ 0, φπ> 0}∪ {（k，σ，β，Дx，Дπ）∈ R： k>0，σ>0，0<β<1，Дx>0，Дπ≥ 0}.受讨论5.2内容的激励，我们的下一个目标将是证明以下内容：命题5.3。设P（x）=x-bx+cx+d∈ R[x]，其中b>0，d>0。那么，以下断言成立。（i） P正好有一个负实根。（ii）如果b>2，则P在单位磁盘外至少有一个根。（iii）P在(-1，0）当且仅当P(-1) < 0.（iv）如果P（1）<0，则P在（0，1）处正好有一个实根。（v）如果P（1）>0，b>2，那么P在(-∞, 0），其他两个根位于单位磁盘之外。（vi）如果P(-1） <0且P（1）<0，则P在区间中正好有两个实根(-1，1），且剩余实根严格大于1。（vii）（参见[BM02，命题3]）假设b>2。如果P(-1） <0且P（1）>0，则P在(-1，0），其余两个在单元磁盘之外。（viii）假设b>2。如果P(-1） >0且P（1）<0，则P在（0，1）处正好有一个根，并且有两个根的实部绝对值大于1。（ix）假设b>2。如果P(-1） >0且P（1）>0，则P的所有根都位于单位圆盘之外。（x）假设b>2。

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2022-6-2 18:08:08

P在单位磁盘上只有一个根，在IFA之外只有一个根，并且只有在满足以下四个条件中的一个条件时才有一个根。oP(-1） <0和P（1）>0。oP(-1） =0，P′(-1） 6=0且P（1）<0。oP(-1） >0且P（1）<0。oP(-1） >0，P（1）=0，P′（1）6=0。证据首先，P（x）的负实根是Q（x）=P的正实根(-x）=-x个- bx公司- cx+d；设vQ为Q系数的符号变化数。独立于c，可以看到vQ=1，因此笛卡尔的符号规则【BCR98，命题1.2.14】暗示P正好有一个负实数。此后，设λ，λ，λ为P的根。在不丧失一般性的情况下，假设λ<0，soit遵循λ+λ=b- λ> b>2。一方面，如果λ和λ为实，则上述上不等式表明λ>1或λ>1；另一方面，如果λ和λ是复数共轭，那么上述不等式再次表明它们的实部严格大于1。无论如何，这表明P在单位磁盘外至少有一个根。现在，让r是P在(-1, 0); 请注意pseq（x）：=（x- bx+cx+d，3x- 2倍+c，6倍- 2b，6）。现在，我们分别在-1和0；即Pseq(-1) := (-1.- b- c+d，3+2b+c，-6.- 2b，6），Pseq（0）：=（d，c，- 2b，6）让v-1（分别为v）是Pseq的符号变化数(-1）（分别为Pseq（0）），并记住r≤ v-1.- 用巴德-傅立叶定理。此外，还要注意v=2，因为d>0，b>0。其次，有四种情况需要区分；首先，如果-1.- b- c+d<0和3+2b+c<0，然后c>-1.- b+d，因此0>3+2b+c>3+2b- 1.- b+d=2+b+d，因为b和d都是严格正的，所以这种情况不会发生。

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2022-6-2 18:08:11

其次，如果-1.- b- c+d<0，3+2b+c>0，然后v-1=3，因此，将Bolzanojointly与Budan–Fourier相结合，我们可以保证在(-1, 0). 第三，如果-1.-b-c+d>0，3+2b+c<0，然后v-1=2，因此在(-1，0），作者：Budan–Fourier。最后，如果-1.- b- c+d>0和3+2b+c>0，然后一次m或v-1=2，因此在(-1, 0). 综上所述，我们检查了P在(-1，0）当且仅当P(-1） <0，如所述。接下来，我们研究了区间（0，1），假设P（1）<0；注意pseq（0）：=（d，c，- 2b，6），Pseq（1）：=（1- b+c+d，3- 2b+c，6- 2b，6）。这里有三种情况需要考虑，请记住，我们假设1- b+c+d＜0；首先，如果3- 2b+c<0，或6- 2b<0或6- 2b>0，则v=1，所以v- v=2- 1=1，在此之前，Bolzano加上Budan–Fourier确保在（0，1）处存在唯一的实根。其次，如果3- 2b+c>0和6- 2b<0，则v=3，因此v- v=-1，因此这种情况不会发生，因为0≤ v- v、最后，如果3- 2b+c>0和6- 2b>0，然后再次v=1，sov-v=2- 1=1，因此Bolzano加上Budan–Fourier确保在（0，1）处存在一个u nique rearoot。综上所述，如果P（1）<0，我们已经检查了P在（0，1）处正好有一个实根，如所声称的。现在，假设P（1）>0，如上所述，用λ，λ，λ表示P的根。在没有失去一般性的情况下，假设λ<0，在我们已经看到之前，如果λ和λ是复数，那么两者的实部都严格大于1，特别是它们位于单位圆盘之外。此外，我们还证明了，如果λ和λ是实的和正的，那么它们中至少有一个严格大于1，并且假设λ>1，不损失一般性。如果λ=λ，那么我们就完成了，所以在下文中我们假设λ6=λ，因此两者都是P的简单结果。

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2022-6-2 18:08:15

假设，为了达成一个矛盾，λ∈ (0, 1);由于λ是P的单根，且d P（0）>0，则存在ε∈ （0，1）求λ±ε∈ （0，1），P（λ- ε） >0且P（λ+ε）<0。但这意味着，由于P（1）>0，Bolzano提出了另一个实根（0，1），这与前面的说法相矛盾。这表明，如果P（1）>0，那么P在(-∞, 0），其他两个根位于单位磁盘之外。最后，请注意，其余项目（v）–（ix）是前几项的直接结果，因此证明已完成。作为命题5.3的直接结果，我们得到了[BM02，命题3]的预期推广，即定理5.4。保留Di sc ussion5.2的符号，当且仅当满足以下四个条件中的一个（i）k（Дπ）时，B在unitdisk内有两个eig值- 1） +（Дx- 2σ）（1+β）<0和k（Дπ）- 1） +Дx（1- β) > 0.（ii）k（Дπ）- 1） +（Дx- 2σ）（1+β）=0，βДx6=σ（3+5β）+2k和k（Дπ）- 1） +Дx（1- β) < 0.（iii）k（Дπ）- 1） +（Дx- 2σ）（1+β）>0和k（Дπ）- 1） +Дx（1- β) < 0.（iv）k（Дπ）- 1） +（Дx- 2σ）（1+β）>0，k（Дπ）- 1） +Дx（1- β） =0，且βДx6=σ（β- 1) - 2k。因此，在这种情况下，我们的模型是一般确定的，确定区域isS′={（k，σ，β，Дx，Дπ）∈ S:k（Дπ）- 1） +（Дx- 2σ）（1+β）<0，k（Дπ）- 1） +Дx（1- β) > 0}∪{（k，σ，β，Дx，Дπ）∈ S:k（Дπ）- 1） +（Дx- 2σ）（1+β）=0，βДx6=σ（3+5β）+2k，k（Дπ）- 1） +Дx（1- β) < 0}∪{（k，σ，β，Дx，Дπ）∈ S:k（Дπ）- 1） +（Дx- 2σ）（1+β）>0，k（Дπ）- 1） +Дx（1- β) < 0}∪{（k，σ，β，Дx，Дπ）∈ S:k（Дπ）- 1） +（Дx- 2σ）（1+β）>0，βДx6=σ（β- 1) - 2k，k（Дπ）- 1） +Дx（1- β) = 0}.备注5.5。注意，在定理5.4中，条件k（Дπ-1） +Дx（1-β） >0是伍德福德所称的泰勒原理（见[Woo01]和[Woo03]）；定理5.4特别表明，泰勒原理对于保证确定性既不有效，也不必要。

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2022-6-2 18:08:18

布拉德和米特拉已经指出了这一事实【BM07，提案1、2和11】。在转到下一个模型之前，我们要考虑以下内容：示例5.6。我们已经证明，如果定理5.4中出现的所有条件都不满足，那么我们就不能期望确定性。例如，假设Дx=2.4，Дπ=3.2，σ=1，β=0.99，k=0.3；在这种情况下，B-1=1.3030-一点零一零一一-0.3030 1.0101 02.4 3.2 0,其特征多项式为P（x）=x- 2.3131倍- 1.3899x+3.3939，其特征值为-1.2003、1.2482和2.2653。事实上，这是因为P(-1） >0且P（1）>0（参见命题5.3（ix））。讨论5.7。现在，我们想考虑Woodford【Woo03】和Bullard以及Mitra【BM07，第1183页】研究的惯性滞后数据规则；在该特定模型中，与研究确定性相关的矩阵如下：=1+kσβ-σβσ-kββДxДπДr,其中k>0，σ>0，β∈ （0，1），Дx≥ 0, φπ≥ 0，^1r≥ 0，且至少在Дx、Дπ和Дris之间的e上严格正。在这种情况下，根据【Woo03，附录C，提案C.2】，Bullard和Mitra【BM07，提案1、2和11】给出了必要和充分的条件来确保确定性；在这种情况下，当且仅当B在单位圆盘内有一个特征值时，确定性h成立。已知【BM07，第1198页】B的特征多项式为P（x）=x- bx+cx+d，其中B=1+β+kσβ+Дr>2，c=β+1+β+kσβ^1r- σИx，d=σДx+kДπ- σ-1^1rβ.注意，在这种情况下，我们的参数空间isS={（k，σ，β，Дx，Дπ，Дr）∈ R： k>0，σ>0，0<β<1，Дx≥ 0, φπ≥ 0，Дr>0}，∪ {（k，σ，β，Дx，Дπ，Дr）∈ R： k>0，σ>0，0<β<1，Дx≥ 0，Дπ>0，Дr≥ 0},∪ {（k，σ，β，Дx，Дπ，Дr）∈ R： k>0，σ>0，0<β<1，Дx>0，Дπ≥ 0，^1r≥ 0}.再次，作为命题5.3的直接结果，我们得到以下结果：定理5.8。

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2022-6-2 18:08:21

根据讨论5.7中的符号，如果φr<σ（kИπ+Дx），则B在单位圆盘内有一个单一特征值，当且仅当满足以下条件之一时。（i）kσ（νπ- 1） +（σДx- 2)(1 + β) - νr（2β+kσ+1）<0和k（Дπ）- 1+Дr）+Дx（1- β) > 0.（ii）kσ（Дπ）- 1） +（σДx- 2)(1 + β) - Дr（2β+kσ+1）=0，σβДx6=（3+5β+Дr（1+3β+kσ））和k（Дπ）- 1+Дr）+Дx（1- β) < 0.（iii）kσ（Дπ）- 1） +（σДx- 2)(1 + β) - νr（2β+kσ+1）>0和k（Дπ）- 1+Дr）+Дx（1- β) < 0.（iv）kσ（Дπ）- 1） +（σДx- 2)(1 + β) - νr（2β+kσ+1）>0，k（Дπ）- 1+Дr）+Дx（1- β） =0，且σβДx6=（β- 2kσ- 1+Дr（1+kσ- β)).注意，在这种情况下，一个具有一般确定性inS′={（k，σ，β，Дx，Дπ，Дr）∈ S:kσ（Дπ）- 1） +（σДx- 2)(1 + β) - νr（2β+kσ+1）<0，k（Дπ）- 1+Дr）+Дx（1- β) > 0}∪ {（k，σ，β，Дx，Дπ，Дr）∈ S:kσ（Дπ）- 1） +（σДx- 2)(1 + β) - νr（2β+kσ+1）=0，k（Дπ- 1+Дr）+Дx（1- β） <0，σβДx6=（3+5β+Дr（1+3β+kσ））}∪ {（k，σ，β，Дx，Дπ，Дr）∈ S:kσ（Дπ）- 1） +（σДx- 2)(1 + β) - νr（2β+kσ+1）>0，k（Дπ）- 1+Дr）+Дx（1- β) < 0, }∪ {（k，σ，β，Дx，Дπ，Дr）∈ S:kσ（ηπ）- 1） +（σДx- 2)(1 + β) - νr（2β+kσ+1）>0，k（Дπ）- 1+Дr）+Дx（1- β） =0，σβДx6=（β- 2kσ- 1+Дr（1+kσ- β))}.备注5.9。注意，定理5.4和定理5.8都处理非泛型边界情况；在定理5.8中，伍德福德已经观察到【Woo03，第672页脚注】他的确定性条件是有效的，但不是一般必要的，而我们在结果中提供的条件是完全通用的。最后，请注意，理论5.8中的确定性条件只适用于有界惯性值，而B Ullard和Mitra的条件【BM07，命题2】适用于无界惯性。我们以以下内容结束对该模型的讨论：示例5.10。

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2022-6-2 18:08:25

当然，我们想指出的是，假设νr<σ（kДπ+Дx）不足以确保确定性。例如，假设β=0.99，k=0.3，σ=1，Дx=4.3，Дπ=1.82，Дr=0.5；在这种情况下，B=1.3030-一点零一零一一-0.3030 1.0101 02.4 3.2 0.5,其特征多项式为P（x）=x- 2.8131倍- 2.1333x+4.3899，其特征值为-1.3204、1.0937和3.0399。事实上，这是因为P(-1） =2.7101>0，P（1）=0.4434>0（参见命题5.3（ix））。6、研究一个行为新凯恩斯主义模型，作为Routh-Hurwitz标准【Mei95，定理1.1】、Gabaix（见【Gab17，命题5.3】和【Gab16，命题9.7】）的结果，得出以下结论：命题6.1（Gabaix）。设P（x）=x- bx+cx- d∈ R[x]，其中b>0，c>0，d>0，p（1）6=0。那么，以下陈述是等价的。（i） P在（0，1）处正好有一个根，其余的根在复杂单元磁盘之外。（ii）序列（e，e，（ee- ee）/e，e）包含两个符号变化，其中e=1-b+c- d、 e=3- b- c+3d，e=3+b+c- 3d和e=1+b+c+d。（iii）e或≤ 0或ee- ee公司≤ 0、让我们简要回顾一下Gabaix研究命题6.1的最初动机是什么；事实上，在泰勒稳定性标准的基础上，包括行为主体[Gab17，命题3.1]，GABAX引入了一个具有向后看条款的行为新凯恩斯主义模型（见[Gab17，命题5.3]和[Gab16，命题9.7]）。

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2022-6-2 18:08:28

在这个扩展模型中，确保确定性的相关矩阵如下：=σφxβf+βf+kσMβfσ（βφπ-αfηρχ-1） Mβfαfσ（（η-1） ρ+1）Mβf-kβfαfηρχ+1βfαf(-ηρ+ρ-1） βf0ηχ1- η.在这种情况下，由于在该模型中有一个单一的预定变量，其余两个是跳跃变量，再次使用[BK80]，当且仅当B的单个实特征值的绝对值小于1，且其余两个是模大于1的复数时，确定性才成立。我们还想指出，在上述矩阵中涉及的所有参数中，φx和φπ都是非负的，M，Mf∈ [0，1]在GABAX研究的模型中代表一定程度的行为主义，正如Cochrane在[Coc16]中所观察到的那样。回到命题6.1，注意表达式ee- 就多项式的系数而言，Ee是二次的；我们的下一个目标是提供一个充分的条件来保证稳定性，该条件仅涉及多项式系数的线性表达式；即：提案6.2。设P（x）=x- bx+cx- d∈ R[x]，其中b>0，c>0，d>0，P（1）6=0。然后，以下断言成立。（i） P的所有实根都包含在区间（0，1+M）中，其中M=max{b，c，d}。（ii）如果P在（0，1）处只有一个实根，则P（1）≥ 0.（iii）如果3- 2b+c≤ 0或b≥ 如果P（1）>0，那么P在（0，1）有一个实根。（iv）如果b- c>0且P（1）>0，则P在（0，1）处有一个实根。证据让x∈ [0, +∞), 注意，P(-x） =-x个- bx公司- cx公司- d<0；这表明P的所有实根都是严格正的。所有th em都小于1+m ax{b，c，d}的事实正是由经典的Cauchy界所决定的[HM97，定理1]；这证明了第（i）部分。现在，假设P（1）<0，得出一个矛盾；记住P（0）=-d<0，我们必须区分两种情况。

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何人来此

2022-6-2 18:08:31

一方面，对于某些x，如果P（x）>0∈ （0，1），thenBolzano定理暗示（0，1）至少有两个实根（Indeed，因为P（0）<0，P（x）>0和P（1）<0），所以我们得到了一个矛盾。另一方面，如果P（x）≤ allx为0∈ 对于某些λ，P（λ）=0∈ （0，1），那么λ必须是二的重数，这又是一个矛盾。最后，请注意，（iii）和（iv）部分已经在命题4.2和5.3的证明过程中显示；因此，证明已完成。讨论6.3。

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2022-6-2 18:08:34

我们在这里的计划是使用命题6.2部分描述Gabaix模型中存在确定性的集合；事实上，请记住，在他的模型中，确保再确定性的相关矩阵如下：=σφxβf+βf+kσMβfσ（βφπ-αfηρχ-1） Mβfαfσ（（η-1） ρ+1）Mβf-kβfαfηρχ+1βfαf(-ηρ+ρ-1） βf0ηχ1- η.我们可以使用Gabaix【Gab16，第64页】写下的B的特征多项式的表达式，以及在1【Gab16，第66页】处计算的该多项式的值，检查以下事实。首先，命题6.2的第（ii）部分表明确定性区域必须包含在边上：={（k，σ，α，αf，β，βf，M，Mf，η，ρ，χ，φx，φπ）∈ R：（1）- βf- αχ(1 - ρ))(1 - M+σφx）+kσ（φπ- 1) ≥ 0}.其次，命题6.2的第（iv）部分表明，确定性区域必须包含不等式给出的子集σ（（βf- 1) + β(η - 1) - ηαfρχ）Mβf-kσMβfφπ+(η - 1）（kσ+1+β+M- Mβf）+η（αfχ（ρ（M- 1) - M）- 1） +M+βf+kσMβf>0。最后，命题6.2的第（iii）部分表明，一方面，确定性区域必须包含由不等式给出的e的子集σMφx+（1- η） Mβf+ηαfρχM+M+βf+kσMβf≥ 3，另一方面，由不等式给出的σ（（βf- 1) + β(η - 1) - ηαfρχ）Mβf-kσMβfφπ+(η - 1）（kσ+1+β+M- Mβf）+η（αfχ（ρ（M- 1) - M）- 1） +M+βf+kσMβf+σMφx+（1- η） Mβf+ηαfρχM+M+βf+kσMβf≥ 3、可以很容易地检查命题6.1和命题6.2是否可用于获得必要和有效（分别为有效）条件，以保证Bullard和Mitra在【BM07，第1185页】中研究的模型的确定性；在这里，我们只写下命题6.2在其特定模型中给出的充分的不确定性条件（参见[BM07，命题3和4]）。定理6.4。

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可人4

2022-6-2 18:08:37

矩阵1- Дxσ1.- β-1kσ（Дπ）- 1) β-1σ(φπ- 1） σИr-kβ-1(1 - Дxσ）β-1(1 - Дxσ）0Дx（1+β-1kσ）- β-1kДπβ-1(φπ- Дxσ）Дr,（其中k>0，σ>0，β>0，Дx≥ 0, φπ≥ 0，^1r≥ 0，并且如果Дx<σ，则在（0，1）处正好有一个特征值-1, φπ≤ 1,(1 - νxσ）（β（1）- β) - Дr（1+（1+Дr）（β+kσ））+β（β+Дr（β+1）+kσ（1- Дπ））<0，此外，以下不等式中至少有一个成立：(1 - Дxσ）（β（2- 3β) - Дr（1+（1+Дr）（β+kσ））+β（2β（1+Дr）+2kσ（1- φπ)) ≥ 0,(1 - Дxσ）（1- 3β）+β（1+Дr）+kσ（1- φπ) ≥ 0,(1 - Дxσ）（β- ^1r- （1+Дr）（β+kσ））+β（β（1+Дr）+kσ（1- φπ)) > 0.在这种情况下，我们的参数空间isS={（k，σ，β，Дx，Дπ，Дr）∈ R： k>0，σ>0，0<β<1，Дx≥ 0, φπ≥ 0，Дr>0}，∪ {（k，σ，β，Дx，Дπ，Дr）∈ R： k>0，σ>0，0<β<1，Дx≥ 0，Дπ>0，Дr≥ 0},∪ {（k，σ，β，Дx，Дπ，Дr）∈ R： k>0，σ>0，0<β<1，Дx>0，Дπ≥ 0，^1r≥ 0}，且泛型确定性在以下子集中成立：S′={（k，σ，β，Дx，Дπ，Дr）∈ S：σДx<1，Дπ≤ 1,(1 - Дxσ）（β（1- β) - Дr（1+（1+Дr）（β+kσ））+β（β+Дr（β+1）+kσ（1- φπ)) < 0,(1 - Дxσ）（β（2- 3β) - Дr（1+（1+Дr）（β+kσ））+β（2β（1+Дr）+2kσ（1- φπ)) ≥ 0},∪ {（k，σ，β，Дx，Дπ，Дr）∈ S：σДx<1，Дπ≤ 1,(1 - Дxσ）（β（1- β) - Дr（1+（1+Дr）（β+kσ））+β（β+Дr（β+1）+kσ（1- φπ)) < 0,(1 - Дxσ）（1- 3β）+β（1+Дr）+kσ（1- φπ) ≥ 0}∪ {（k，σ，β，Дx，Дπ，Дr）∈ S：σДx<1，Дπ≤ 1,(1 - Дxσ）（β（1- β) - Дr（1+（1+Дr）（β+kσ））+β（β+Дr（β+1）+kσ（1- φπ)) < 0,(1 - Дxσ）（β- ^1r- （1+Дr）（β+kσ））+β（β（1+Дr）+kσ（1- φπ)) > 0}.我们还想用下面的例子来说明这个模型：示例6.5。假设β=0.99，k=0.3，σ=1，Дx=4.3，Дπ=1.82，Дr=0.5；在这种情况下，-0.2277-0.2510-0.1515-0.3030 1.0101 0-1.5308 0.7591 -0.1515,其特征多项式为P（x）=x- 0.6309倍- 0.6566x+0.1530，其特征值为-0.6758、0.2057和1.1010。

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2022-6-2 18:08:40

事实上，这是因为P(-1) = -0.8212<0且P（1）=-0.1344<0（参见命题5.3（vi））。请注意，在本例中，0.6309<2。我们想用以下内容来结束本节：示例6.6。我们想挑出假设P（1）≥ 0是确保确定性的必要条件（但不是有效条件）。例如，假设φx=1，φπ=2，α=0.5，ρ=0.35，β=0.99，η=0.05，χ=0.3，m=0.85，σ=0.2，k=0.053。在这种情况下，B=1.4244 0.2323 1.1488-0.0535 1.0177 -0.33710 0.0150 0.9500,其特征多项式为P（x）=x- 3.3920倍+3.7870倍- 1.3952，其特征值分别为1.3861、1.0030+0.0240i和1.0030- 0.0240i。实际上，这是因为P（1）=-2.2650e- 04 < 0.注意，即使在这种情况下，也有b- c<0.7。潜在限制到目前为止，在本文中，使用Budan–Fourier定理来解决确定性问题仅限于必须处理的特征方程为三阶的模型，因此需要问的一个自然问题是，是否有可能使用此结果来处理特征方程阶数较高的模型；本节的目标是简要解释这样做的潜在局限性。

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2022-6-2 18:08:43

我们将在以下内容中加以说明。事实上，我们考虑了Bhattarai、Lee和Park在【BLP14】中研究的模型之一；在这种模型中，参数空间isS={（β，η，γ，ρR，k，Д，φY，φπ）∈ R： β∈ (0, 1), η ∈ [0，1），ρR∈ [0, 1), γ ∈ [0，1]，k>0，Д>0，φY>0，φπ>0}，我们必须看看多项式P（x）=ax- ax+ax- ax+ax- a、式中，a=β+1+β（η+γ+ρR）+（1- η） k级φ +1 - η+ (1 - ρR）φYk-1β,a=1+（β+1）（η+γ+ρR）+β（ηγ+ηρR+γρR）+（1- η)(1 - ρR）kφπ+ρR1- ρRφ +1 - η+ （1+βγ）φYk-1+1 - ρRη1 - η,a=（η+γ+ρR）+（β+1）（ηγ+ηρR+γρR）+βηγρR+（1- η)(1 - ρR）kφπ+ρR1- ρRφ +1 - η+ φYγk-1.,a=ηγ+ρR（η+γ+ηγ+βηγ），a=ηγρR。自P(-x）≤ 0表示任意x∈ [0, +∞), P的所有实根都必须是严格正的；此外，由于P的阶数是奇数，Bolzano定理保证P至少有一个实根。另一方面，由于在这种情况下确定性成立，当且仅当P h正好是单位圆盘内的三个根时，其中至少有一个必须是实的，并且包含在（0,1）处（事实上，否则P在单位圆盘内应该有0、2或4个根）；正如在[BLP14]中所观察到的，求和u p，确定性的一个必要条件是p（1）>0。因此，在这种情况下，确定性区域必须包含在内部（β，η，γ，ρR，k，Д，φY，φπ）∈ S：φπ+（1- γ)(1 - β） k（Д+1）φY>1.我们的下一个目标是研究Budan-Fourier定理如何为确定性提供其他必要条件；实际上，让vbe表示seq（1）=（a）的符号变化数- a+a- a+a- a、 5a级- 4a+3a- 2a+a，2（10a- 6a+3a- a），6（10a- 4a+a），24（5a- a），120a）。此外，由于可以很容易地检查v=5，Budan–Fourier定理告诉我们，P在（0,1）处的实根数r小于或等于5- v、还有那5个- v- r是0、2或4。

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2022-6-2 18:08:46

在这种情况下，由于确定性成立，当且仅当单位圆内正好有三个根时，因此r只能是一个或三个，这意味着5- vmust bezero，1或3，相当于说vcan只能是0、2或4。综上所述，这表明确定性区域必须包含内部人：=（β，η，γ，ρR，k，Д，φY，φπ）∈ S：φπ+（1- γ)(1 - β） k（Д+1）φY>1，v=0∪（β，η，γ，ρR，k，Д，φY，φπ）∈ S：φπ+（1- γ)(1 - β） k（Д+1）φY>1，v=2∪（β，η，γ，ρR，k，Д，φY，φπ）∈ S：φπ+（1- γ)(1 - β） k（Д+1）φY>1，v=4.读者会很容易注意到，虽然在【BLP14，第222页的命题】中通过对Rouch\'e定理的更强版本【Llo79，Theorem2】获得的必要和有效条件需要对超越函数进行求值，但我们通过Budan–Fourier给出的必要条件只涉及多项式求值。结论通过Budan–Fourier定理[Akr82，定理1]，我们以一种完整的分析方式证明了由新凯恩斯模型产生的若干线性方程组的实根的存在性和唯一性；事实上，我们已经这样做了，首先，对于货币供应遵循外生路径的模型而言【Gal15，3.4.2】，其次是当货币当局对标注的产出值作出反应时（参见【BM02，命题3和附录C】和【BM07，命题1、2和11】），最后是当代理人不完全理解未来政策时（参见【Gab17，命题5.3】和【Gab16，命题9.7】）。

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2022-6-2 18:08:50

我们还指出了我们的方法在跟踪特征方程高度复杂的模型时的潜在局限性。读者可能会问，为什么我们只使用Budan–Fourier定理来估计给定区间内多项式的实根数；这是因为本文研究的模型涉及四到十三个参数，从我们的角度来看，这并不明显，既不能在我们感兴趣的整个区间内计算多项式，也不能对它们进行太多的操作。这使得我们无法使用其他技术，如Sturm序列[BCR98，推论1.2.10]，来解决这个复杂的问题；当然，获得完全必要且充分的确定性条件通常不仅需要查看真正的根，还需要查看复杂的根。这就解释了为什么在最近的著作中（如[Lub07]、[Gab17]、[BLP14]）处理确定性问题的作者使用了更多sop组织化的工具，如劳斯-胡维茨标准[Mei95，定理1.1]、舒尔-科恩标准（见[Mar66，p age 198，Th.（43,1）]或[LaS86，page27，5.3]）或Rouch\'e定理【Llo79，定理2】。我们希望记住，我们的动机来自于使货币政策行为复杂化的理论预期均衡的不确定性问题，以及新凯恩斯主义模型产生的多重均衡难题；我们希望本文中使用的技术不仅可以帮助解决这些问题，还可以帮助解决与本文所考虑的模型不同的其他问题。致谢作者希望k Davide Debortoli、Jordi Gal、Thomas Lubik、Lluc Puig和Jes‘us Fern’andez Villaverde就本文内容提供有用且富有成效的建议和反馈。参考文献【Akr82】A.Akritas。对Budan和Fourier的一对定理的反思。数学

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