次级CIR强度模型及其在逆向风险中的应用

2022-6-2 22:34:36

次级CIR强度模型及其在Rong Way risk CVACheikh Mbaye Fr'ed'eric Vrins中的应用*卢万金融中心（LFIN）和CORE+卢万天主教大学，BelgiumAbstractCredit Valuation Adjustment（CVA）定价模型需要灵活且易于处理。生存概率必须以封闭形式已知（出于校准目的），该模型应能够拟合任何有效的信用违约掉期（CDS）曲线，应导致较大的波动性（与CDS期权一致），并且最终应能够表现出显著的错向风险（WWR）影响。Cox-Ingersoll-Ross模型（CIR）结合了独立的正跳跃和确定性偏移（JCIR++），是一个很好的候选者：方差（以及与曝光的协方差，即WWR）可以随着跳跃而增加，而校准约束是通过偏移来实现的。然而，在实践中，对可选择的模型参数以及由此产生的WWR影响有很大的限制。这是因为出于一致性原因，只允许非负迁移，而JCIR++的向上跳跃需要通过向下移动来补偿。为了限制这个问题，我们考虑了门多萨·阿里加（Mendoza Arriaga）和莱因茨基（Linetsky）最近引入的双边跳跃模型，该模型是由随时间变化的CIR强度建立的。在CVA等多变量设置中，时间改变*《罗马之音》34，B-1348 Louvain la Neuve，比利时。电子邮件：frederic。vrins@uclouvain.be.+运筹学和计量经济学中心。强度部分消除了与暴露过程的潜在相关性，并破坏了SWWR影响。此外，它可以带来前瞻性的影响，从而带来巨大的机遇。本文采用时变CIR过程，避免了上述问题。我们表明，与JCIR++模型相比，结果过程允许引入较大的WWR影响。

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2022-6-2 22:34:39

通过使用自适应控制变量程序，减少了蒙特卡罗框架的计算成本。关键词：违约强度、时变差异、从属关系、信用价值调整（CVA）、错向风险（WWR）。1简介自2008年金融危机以来，监管机构建议金融机构在评估场外交易（OTC）时，特别注意对方信用风险（CCR）。在这种情况下，CCR指的是交易对手在合同到期之前违约的可能性。CCR可以通过建立强有力的担保协议，或通过收取信用价值调整（CVA）来吸收相应的预期损失来进行核算。定价此类调整时的主要挑战之一是考虑风险敞口与交易对手信用质量的潜在依赖性，这一现象通常被称为错误方向风险（WWR）。在这方面，简化模型类中一个流行的框架是考虑由CIR++[3]或JCIR++[5]过程控制的默认强度。本质上，强度被建模为CIR或跳跃扩散CIR（JCIR）动态，以确定性的方式进行移动，以满足给定的CDS期限结构。然而，该模型克服了一个重要的限制：产生的强度过程（包括偏移）需要是积极的。由于易处理性原因，JCIR++模型中的跳跃仅向上，在保持生存概率曲线不变的约束下增加跳跃活动（例如增加隐含的利差波动率）会引入一个越来越负的移位函数。由于出于一致性的原因，负移位应该是规则，这就限制了可以使用的CIR或JCIR参数。这将进一步限制CVA应用中WWR的影响。

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2022-6-2 22:34:42

限制移位函数出现负值的一种方法是允许向上和向下跳跃，而不影响模型的可跟踪性。在本文中，我们考虑了门多萨·阿里加（Mendoza Arriaga）和莱因茨基（Linetsky）[11]的方法，将违约强度建模为CVA背景下随时间变化的CIR。这提出了几个需要解决的问题。首先，时间变化过程将破坏强度和曝光增量之间的潜在相关性。因此，这将导致WWR影响较弱。其次，时间变化方法也可能通过前瞻性效应引入任意地理机会。最终，即使存在一些以半分析方式处理WWR的技术（参见[6]和[14]），通常也必须依赖蒙特卡罗模拟。众所周知，标准蒙特卡罗方法具有计算强度。此外，由于随机时钟，时间变化模型非常耗时，因为仿真是在随机网格中进行的。我们在本文中的贡献是多方面的。首先，我们提出了一种在CVA背景下使用Mendoza Arriaga和Linetsky的时变模型的方法，以避免相关性破坏和套利机会的出现。这是通过以与强度“同步”的方式重建曝光过程，同时保留原始曝光的动态来实现的。其次，我们通过数值实验表明，与JCIR++相比，相应的模型确实能够生成更大的WWR CVA图，而不会面临由负偏移导致的不一致性问题。最后，我们提出了一种基于自适应控制变量的方差缩减技术，以减少计算量。本文的组织结构如下。

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2022-6-2 22:34:45

在第2节中，我们回顾了信贷风险文献中一些简化形式的强度模型的理论，如差别强度模型及其扩展。在第三部分中，我们介绍了次级模型，并结合风险敞口过程的重构，避免了时间变化可能带来的套利机会。第四部分回顾了差异模型和新从属模型简化形式设置中CVA计算的基本概念。在第5节中，我们介绍了数值实验，包括根据WWR效应和控制变量技术对DiffusionModels和time change model进行比较。最后一节包含一些结论和观点。2差异违约强度模型在定义次级模型之前，我们回顾了信用风险建模文献中使用强度方法对一些现有模型的定义。在本研究中，我们考虑了众所周知的平方根扩散违约强度模型及其扩展的移位版本SSRD【3】和SSRJD【5】。2.1扩散强度市场模型我们考虑固定时间范围T>0和概率空间(Ohm, FT，F，Q），其中F=（FT）0≤t型≤这是向量W=（WB，WV，W）生成的过滤⊥). 在此设置中，QRE表示风险中性概率度量，W的组成部分是风险驱动因素。特别是，WB控制无风险利率r的动态，从而控制银行账户的动态：dBt=rtBtdt，B=1。在Q下，所有可交易资产的价格除以B是两个现金流日期之间的F鞅。第二个布朗运动wvd驱动组合价格过程的动力学dvt=b（Vt）dt+σ（Vt）dWVt，V>0。（1）我们假设系数b，σ足够规则，以确保存在该SDE的唯一强解。最后，我们将交易对手的违约时间τ建模为随机时间。

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2022-6-2 22:34:48

定义为递增随机过程∧t：=Rtλsds，（λs）s的首次通过时间≥0≥ 0，高于单位平均指数随机势垒E：τ：=inf{t≥ 0：∧t≥ E} 。（2）在此设置中，默认强度λ由与WV相关的布朗运动驱动，Wλ：=ρWV+p1- ρW⊥, W⊥⊥ WV，ρ∈ [-1，1]，但阈值E与F无关。在这种简化形式设置中，完整过滤G=（Gt）0≤t型≤通过D=（Dt）0逐步增大F获得≤t型≤T、默认指标的自然过滤T=1{τ≤t} ：Gt=英尺∨Dt其中Dt：=σ（Du，0≤ u≤ t）。因此，τ是D-和G-停止时间，但不是F-停止时间。然而，一般来说，τ和V彼此相关（通过WV）。根据D的Doob-Meyer分解，其G强度由λGt=（1）给出- Dt）λt【10】。在F下，强度仅为λ。由于随机时间τ是通过Cox过程构造的，因此表明每个F-局部鞅也是G-局部鞅的H-假设在F和G之间成立，F G（来自【2】和【10】提案5.9.1.1和备注7.5.1.2）。该模型隐含的生存时间t的生存概率由p（t，t）：=Q（τ>t | Gt）=1{τ>t}E[ST | Ft]ST=1{τ>t}Gt（t）Gt（t）（3）给出，其中Gt（t）：=Q（τ>t | Ft）被称为filtrationf中的风险中性生存概率，生存过程ST：=Gt（t）=Q（τ>t | Ft）是Az'ema上鞅[8]了解更多详细信息）。通常G（T）参数化为PM（0，T）=e-RTh（s）ds，其中h>0是在时间0时盛行的危险率曲线。我们使用符号E表示Q下的预期。为了避免套利机会，需要将模型曲线校准到市场曲线，即。

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大多数88

2022-6-2 22:34:51

对于所有t>0的情况，确保P（0，t）=G（t）=PM（0，t）。注意，在上述设置中，生存过程采用简单的形式St=e-与这类模型相关的Az'ema超鞅有一个特殊的Doob-Meyer分解：它是递减的，意味着鞅部分消失了。存在鞅部分为非零的其他类型的缺省模型，参见例[9]。2.2 CIR++和JCIR++强度模型定义强度过程λ的一种简便方法是设置λt=k（Xt），其中k是一个给定的正函数，在（0，∞) X遵循Cox-Ingersoll-Ross（CIR）SDEdXt=κ（β- Xt）dt+ηpXtdWλt，X=X>0。（4）通过这样做，强度过程成为（一个函数）均值回复平方根过程X，具有均值回复速度κ、长期均值β和波动率η，通常为满足Feller约束2κβ>η。为了描述默认强度过程中出现的正跳跃，我们考虑定义为dxt=κ（β）的跳跃扩散CIR模型（JCIR- Xt）dt+ηpXtdWλt+dJt，X=X（5），其中jt：=NtXi=1Yi，t≥ 0，（6）NTI是一个强度ω>0且Y，Y。平均值为1/α，α>0的同分布指数随机变量序列，与泊松过程Nt和W无关。通常的选择是考虑k（x）=x，在这种情况下，强度由方程式（4）和（5）中分别定义的CIR或JCIR动力学驱动。在SDE（4）中添加Wλ的非负跳跃sindependent会增加强度过程的波动性。这两种选择属于一类有效模型：时间t生存概率曲线采用简单的形式pcir（t，t）=1{τ>t}A（t，t）e-B（t，t）Xt（7）和pjcir（t，t）=1{τ>t}A（t，t）e-\'B（t，t）Xt（8），用于某些确定性函数A、B、\'A和\'B（有关更多详细信息，请参阅[4]）。

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大多数88

2022-6-2 22:34:55

只要位移是确定的，以时间依赖的方式移动processX不会影响上述关系，但在校准能力方面提供了充分的灵活性。因此，通常考虑λt=Xt+ψ（t），其中X是CIR或JCIR过程，ψ的选择应确保模型和市场生存概率曲线在开始时重合：P（0，t）=PM（0，t）。根据Xfeatures是否跳转，相应的模型称为CIR++和JCIR++。增加这种变化的主要优点是，我们可以精确地确定风险率的任何期限结构，并推导出债券和欧洲期权的分析公式。特别是，CIR++和JCIR++模型仍然有效，我们只需要通过Ae替换a-在CIR模型中，Rtψ（s）dS，在JCIR模型中，类似地，对于“A”。任何时间t的位移ψ由（对于CIR和JCIR模型）ψ（t）=-ddtlnPM（0，t）P（0，t）。这种方法的缺点是，我们只能通过对模型参数的限制来保证强度的正性，例如ψ≥ 实际上，X可以取非常接近于零的值，因此条件λ≥ 0 Q-a.s.相当于表示ψ≥ 然而，一般来说，ψ必须修正函数P，使其由于移位而粘在目标函数PM（0，）上。给定一组X的模型参数，一般来说，没有什么可以阻止ψ变为负值。但是如果它取负值，那么得到的模型就不是Cox类型，H假设也不再成立。这个问题在实践中非常重要。事实上，CIR模型具有较低的波动率与CDS曲线，增加波动率只会打破Feller条件。使用JCIR可以在不打破Feller约束的情况下增加波动性。

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2022-6-2 22:34:58

然而，JCIR模型的一种形式要求跳跃独立于扩散部分，因此正性仅适用于向上跳跃。这当然会增加λ的平均值，进而降低PJCIR（这种偏移会迅速变为负值，导致负强度，这与Cox模型不一致）。反过来，设定给定的目标曲线PM（0，.）在非负偏移情况下，仅对跳跃规模/利率施加限制，从而对可实现的波动率施加限制。然而，不能无限制地增加J的活性。通过这样做，校准约束P（0，t）=PM（0，t）确实会向下驱动隐含的移位函数ψ。由于ψ不能取负值，因此在保持模型一致性的同时，可以使用的跳跃率和/或大小有很强的限制。在下一节中，我们将提出一种不受上述问题影响的替代模型。3时间变化强度模型如前所述，JCIR跳跃迅速向下推动ψ的事实是由于跳跃仅为正。如果跳跃可以向两个方向移动，则不会出现这种情况。然而，仅仅在JCIR++中使用对称跳跃是不够的：如果J独立于Wλ，这将破坏X的正性。一种可能性在于将λ建模为标准强度过程（如X）的时变版本。在这方面，我们通过将CIR过程Xtin（4）与跳跃过程θt:=t+Jt（9）进行排序来定义时变CIR（TC-CIR）模型，其中Jis是一个与（6）中定义的W无关的复合毒物过程，但与aPoisson过程tin而不是Nt。也就是说，我们定义了一个新的过程XθXθt=Xθt，其中θ是上面定义的随机时钟。

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能者818

2022-6-2 22:35:01

如果随机时钟特征跳跃，则结果时间变化过程仍然是正的，并且在两个方向上都有跳跃。θ可能是漂移a>0（即θt=at+Jt）的从属项，但我们在这里关注的是情况a=1。这将提供一种增加λ波动性的方法，避免时间变化模型的隐含偏移随着跳跃活动的增加而过快变为负值。由于Xθ不再是一个函数，我们需要应用门多萨·阿里加（Mendoza Arriaga）和莱因茨基（Linetsky）[11]开发的程序来获得生存概率的闭合公式。这种方法是通过Bochner意义上的从属关系来改变CIR违约强度的时间变化。基于考克斯模型，它可以通过相关半群的特征函数展开进行分析处理，从而得出可违约零息票债券的封闭式定价。3.1时变市场模型考虑了相应的时变概率空间(Ohm, FθT，Fθ，Q），FθT=Fθ，Fθ=（FθT）T≥为了引入时变违约市场，我们考虑（2）中定义的违约时间，以确定时变模型的相应强度。让我们用Dθt定义D的相应指标过程：=1{τ≤θt}，t≥ 为了引入时间变化过滤，我们首先需要定义一个逆从属过程（Lt:=inf{s≥ 0：θs>t}，t≥ 0). 设L=（Lt）t≥0为其完成的自然过滤，H=（Ht）t≥0 Ht=Gt的放大过滤∨ Lt.然后，我们确定时间变化过滤Hθ=（Hθt）t≥0乘以Hθt=Hθt。

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2022-6-2 22:35:05

因此，时变双变量过程（Xθt，Dθt）t≥0是Hθ适应的，c\'adl\'ag，是Hθ半鞅（详见[11]）。在此设置中，根据Dθ的Doob-Meyer分解，我们的时变强度为λHθt=（1）给出的（见[11]中的定理3.3（iii））- Dθt）λθt，λθt=kθ（Xθt），kθ（X）=k（X）+Z（0，∞)1.- A（0，s）e-B（0，s）xν（ds），其中我们设置k（x）=x（如CIR强度模型中），ν（ds）=ωαe-αsds和A、B与（7）中的相同。因此，如果kθ是从R+到R+的函数，X是强度过程，则λθ定义了一个新的强度过程，并可用于使用上述Cox框架定义新的默认时间：τθ：=inft型≥ 0:Ztλθsds≥ E我们有{τθ≤ t}≡ {τ ≤ θt}Q-a.s.，其中dθt=1{τθ≤t} 。在此设置中，新的生存时间t生存概率生存到时间t isPθ（t，t）：=Qτθ>T | HθT= 1{τθ>t}E[Sθt | Fθt]Sθt=1{τθ>t}Gθt（t）Gθt（t）（10），其中Sθt=Q（τθ>t | Fθt）=E-Rtλθsds是时间变化模型中的Az'ema上鞅，Gθt（t）=Q（τθ>t | Fθt）是风险中性生存概率。在一般的多变量设置中，特别是在CVA应用的特定情况下，时间变化方法存在一个问题。实际上，λθ是一种强度，通常可以与其他过程（例如V和B）相关。如果我们把这些布朗运动联系起来，就会出现两个问题。首先，由于时间的变化，强度λθ和（V，B）之间的相关性被部分破坏。事实上，vt和bt取决于WVand WBon[0，t]，而强度λθ取决于Wλon[0，θt]和θt≥ t、因此，这种方法会随着θ跳跃的强度或大小的增加，对过程λ和（B，V）之间的依赖性产生负面影响。另一个可能更重要的问题与套利机会有关。t处λθ的知识包含Wλ到θt的信息。如果ρ6=0，这将对V产生前瞻性影响。

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2022-6-2 22:35:08

因此，重要的是使用一个所有过程保持同步的模型，但不改变最初规定的B和V定律。为此，重建新的布朗运动（fWV，fWB）就足够了，以便（B，V）的增量与λθ的增量保持同步。引理3.1.1。设W为布朗运动，tibe为poisson过程Nt的ithjump时间。然后进程fwt：=Nt-1Xi=0Zt-i+1∧tti公司∧tdWθs+（Wθt- WθtNt）（11）是一个Fθ-布朗运动，其行为与在时间网格上采样的W完全相同。证据fw是一个连续的Fθ-局部鞅，fw=0，且每t≥ 0，hfW it=t。根据L'evy的特征化定理，过程（fWt）t≥0是Fθ-布朗运动。因此，V的动态可以等效地描述为：deVt=b（eVt）dt+σ（eVt）dfWV，eV=V。（12）在WB上应用引理3.1.1中相同的程序，时间变化网格上的WB的相应副本为FWB，它将控制无风险利率er的新动态，从而导致DEB=erteBdt，eB=1给出的银行账户数量。评论值得强调的是，保持WVas为暴露过程V（而非WV）的驱动因素不会完全破坏WV，Wλ之间的相关性ρ所产生的WWR影响。原因是，即使λθ和V的微小增量内的瞬时相关性与θ的第一次跳跃是相互独立的，只要ρ6=0，λθ和V之间的相关性对于任何t>0的情况都是非零的。这是因为这些过程依赖于某些时间间隔上布朗运动增量的积分。

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2022-6-2 22:35:11

特别是在时钟的两次跳跃之间，驱动强度过程λθ变化的布朗增量可以独立于在同一时间段上驱动曝光V的布朗增量，但在给定时间间隔上第一次布朗运动的增量可以依赖于另一时间段上的第二次布朗运动。这解释了两个过程λθ和V可以相互依赖，即使它们增量的瞬时相关性因时间变化而消失。相比之下，λθ和vt之间的相关性低于λθ和vt之间的相关性：通过将驱动V的布朗运动的变化与驱动λθ的布朗运动的变化同步，可以最大化可附加的相关性。例如，设W，B为两个瞬时相关ρ的布朗运动，即dhW，Bit=ρdt，将Bδ定义为Bδt=Bt+δ，其中δ>0。区间[s，t]上W和B增量之间的相关性为ρ，而W和Bδ之间的相关性为ρ（t-（s+δ））+/（t- s）其绝对值不大于|ρ|。定理3.1.2。ev-andeB驱动的折扣支付是Q证明下的Hθ-鞅。我们知道，V和B驱动的贴现支付是（Q，F）-鞅，因此，由于H假设，它们是（Q，G）-鞅。通过构造，eV和B与F下的V和B具有相同的Fθ动力学（见引理3.1.1）。因此，ev-andeB驱动的折扣支付函数是（Q，Fθ）-鞅。因为τθ是用协过程建模的，所以浸入是成立的，当Fθ随τθ逐渐增大时，它们仍然是鞅。这表明它们是（Q，Gθ）-鞅，因此是（Q，Hθ）-鞅（sinceLθt=t）。如前所述，改变强度的时间会带来前瞻性影响，从而带来套利机会。

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2022-6-2 22:35:16

事实上，当ρ6=0时，按无风险利率贴现的非股息支付资产的价格不会是由（WV，Wλθ）生成的自然过滤中Q下的鞅。这在附录中证明的下一个引理中正式化。引理3.1.3。假设V是关于FWV的鞅，FWV是WV的自然滤波。它也是关于FWV的鞅∨FWλ。我们注意到Wλθ是Wλ的时间变化。例如，假设对于一些∈ [0，t]，我们有s<θs<t。那么，x可能不是FWV∨ FWλθ-鞅。3.2时变CIR++强度模型要定义时变CIR（TC-CIR++）模型，我们需要TC-CIR模型生存概率的闭合形式。为此，我们只需要计算时间变化过程θ的空间变换，就可以应用[11]中提出的思想。L'evy从属函数的拉普拉斯变换：我们的时变跳跃过程θ是aL'evy从属函数，使用L'evy-Khintchine公式可以很容易地找到其拉普拉斯变换[1]。对于任何u∈ R、 θreadsE[e]的拉普拉斯变换-uθt）=E[E-u（t+Jt）]=e-utE[电子]-uJt]。从指数公式出发，给出了复合泊松过程的L′evy-Khintchine公式表示[e]-uJt]=e-tД（u），其中，Д是由Д（u）=ZR{0}（1）给出的L'evy指数- e-us）ωαe-αsds1{s>0}=Z（0，∞)ωα(1 - e-美国）e-αsds。是这样的-uθt]=e-tφ（u），φ（u）=uu+α+ωu+α.已知φ，时变生存概率采用闭合形式pθ（t，t）=1{τθ>t}∞Xn=1e-φ（λn）（T-t） fn（0）Дn（Xθt），其中λn，fn和Дnar在【11】中给出。通过将时变强度过程定义为λθt=kθ（Xθt）+ψθ（t），并确定ψθ，从而得出TC-CIR++模型，使得Pθ（0，t）=Gθ（t）=PM（0，t）。因此ψθ（t）=-ddtlnPM（0，t）Pθ（0，t）。4简化形式设置中的CVA简化形式方法依赖于过滤的变化。

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2022-6-2 22:35:20

在本节中，我们推导了两种情况下的TCVA公式，其中默认强度由平方根差异或时间变化模型给出。CVA试图衡量由于缺少OTC投资组合的剩余付款而导致的预期损失。其数学表达式在基于无套利设置的风险中性定价框架中给出。设R为（1）和（12）分别给出的交易对手和曝光过程V和V的回收率。关于以下CVA表达式的数学证明，我们参考【10】。4.1 CVA公式在扩散模型中，根据H假设，V和B驱动的支付是G鞅。此外，由于v/B是Q-可积和F-可预测的，假设τ>0和确定性恢复率R，时间t CVA表达式readsCVAt=1{τ>t}BtE(1 - R） V+τBτ{τ≤T}燃气轮机= -1{τ>t}BtStE“（1- R） ZTtV+uBudSu英尺#。（13）用数值格式离散积分，时间-0CVA的蒙特卡罗估计变为[CVA:=-(1 - R） mmXi=1nXk=1V+，（i）tkB（i）tkS（i）tk，n=Tδ（14），其中S（i）tk=S（i）tk- S（i）tk-右侧是蒙特卡罗近似的结果，取n个长度δ间隔内离散的m个时间积分的样本平均值。在τ独立于贴现风险敞口（即ρ=0）的特定情况下，独立CVA公式由CVA给出⊥= -(1 - R）中兴通讯V+uBudG（u）。（15）换言之，CVA仅分别取决于预期贴现暴露EhV+UBUI和现行mrisk中性生存概率曲线G（.）。有关更多详细信息，请参阅[6]。然而，一般来说，后面的表述并不成立，CVA取决于风险敞口和信用价值的联合动态。我们无法达到（15）中所述的简单模式，我们必须考虑信贷和风险敞口之间的依赖关系。

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2022-6-2 22:35:25

错误方式风险（WWR）是与此依赖性相关的额外风险。4.2时间变化模型中的CVA公式eV/eB是Q-可积的，Fθ-可预测的，假设τθ>0，并使用定理3.1.2，与之前类似，但使用（eV，eB）而不是（V，B）（在Fθ下具有与F下（V，B）相同的动力学），但使用τθ的强度和Az'ema上鞅Sθ，wehaveCVAt=1{τθ>t}eBtE”（1- R） eV+τeBτ{τθ≤T}Hθt#=1{τθ>t}eBtE“（1- R） eV+τeBτ{τθ≤T}(τθ≤ t）∨ Fθt#=-1{τθ>t}eBtSθtE“（1- R） ZTteV+u芽θuFθt#。（16）因此，可以使用蒙特卡罗模拟的m路径将时变模型中的时间-0 CVA近似为[CVA:=-(1 - R） mmXi=1nXk=1eV+，（i）tkeBtkSθ，（i）tk，n=Tδ。（17）在τθ独立于贴现风险敞口的特定情况下，我们获得了时变模型CVA中的独立CVA公式⊥= -(1 - R）中兴通讯“eV+ueBu#dGθ（u）。（18）观察到，通过构造ψ和ψθ，G（t）=Gθ（t）=PM（0，t）。因此，CVA⊥符合校准约束下的任一模型。这意味着⊥= -(1 - R）中兴通讯V+uBudPM（0，u）=-(1 - R）中兴通讯“eV+ueBu#dPM（0，u）。（19）5数值实验在本节中，我们首先定义双变量过程（Xθ，eV）的模拟程序.使用标准蒙特卡罗模拟计算CVA，并将移位时变模型在WWR方面的性能与CIR++和JCIR++随机强度模型进行比较。为简单起见，假设回收率R和利率R为常数，并将其设置为零（即R=0，B=eB=1），以转移焦点和处理信贷风险依赖关系。5.1（Xθ，eV）的模拟程序让我们用T={0，δ，2δ，…，T}表示时间T网格，Tθ={0，θδ，θ2δ，…，θT}表示时间θT的网格。要定义网格Tθ，我们定义网格Tθi，i=1。

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能者818

2022-6-2 22:35:28

，n，asTθi：=ni-1[j=1θti-1+jθtini, ni公司=θtiδ, Tθfine：=Tθ[（n[i=1Tθi）模拟网格Tθfine包含Tθ，并且以这样的方式完成（排序后），两个连续点之间的步长不大于选择的时间步长δ，以保持对离散化误差的控制，而与θ的跳跃大小无关。为了模拟Xθ，我们使用Diop方案[7]在Tθfine上模拟（4）中的CIR过程X:’X（i+1）δ=’Xiδ+κ（β-\'\'X+iδ）δ+ηq\'\'X+iδ（Wλ（i+1）δ- Wλiδ），\'X=X，i=0，n- 1、Xθ通过在Tθfine中提取网格Tθ上X的对应值来获得。为了获得EV，我们模拟WVon Tθfine，分别在Tθ和（11）和（12）上提取其对应值。5.2数值结果在本节中，我们比较了上述三种模型在简单前向型高斯曝光和布朗交换桥曝光的WWR影响方面的性能。我们将CIR参数（κ、β、η、x）如[6]中所示进行拟合，并搜索JCIR（直接影响强度）和TC-CIR（影响随机时钟，仅间接影响强度跳跃）的跳跃参数（ω、α），以便ψ≥ 0且WWRimpact为最大值。5.2.1布朗暴露我们将等式（1）中暴露动力学的系数设置为b（Vt）≡ 0，σ（Vt）≡ σ和v=0，这导致vt=σdWVt。此示例说明了3年期远期合约或总回报掉期，不支付股息。在图1中，我们绘制了treeconsidered模型的CVA与相关ρ的函数关系。

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2022-6-2 22:35:31

我们注意到，由于移位约束，JCIR模型的WWR影响略大于CIR模型（由于跳跃），而TC-CIR模型的WWR影响更大。-1-0.5 0.0 0.5 1.00.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008ρCVAρ=0CIRJCIRTC-CIR（a）CIR（0.02，0.161，0.08，0.03），JCIR（0.07，0.08），TC-CIR（0.6，0.512）-1-0.5 0.0 0.5 1.00.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008ρCVAρ=0CIRJCIRTC-CIR（b）CIR（0.072，0.05，0.045，0.04），JCIR（0.07，0.05），TC-CIR（0.4，0.49）图1：CVA图，3Y高斯曝光，σ=8%。危险率为h（t）=5%。5.2.2布朗桥（带漂移）暴露漂移布朗桥通过在（1）b（Vt）中选择获得≡ γ（T-t）-VtT公司-t、 σ（Vt）≡ σ和V=0，因此DVT=γ（T- t）-VtT公司- t型dt+σdwvt，其中γ表示远期曲线所暗示的利率掉期的未来预期金额，σ控制敞口波动性。我们在WWRimpact方面得到了与前一个示例类似的结果。-1-0.5 0.0 0.5 1.00.0020 0.0030 0.0040ρCVAρ=0CIRJCIRTC-CIR（a）CIR（0.02，0.161，0.08，0.03），JCIR（0.07，0.08），TC-CIR（0.6，0.512）-1-0.5 0.0 0.5 1.00.0020 0.0030 0.0040ρCVAρ=0CIRJCIRTC-CIR（b）CIR（0.072，0.05，0.045，0.04），JCIR（0.07，0.05），TC-CIR（0.4，0.49）图2：CVA图，3年掉期风险，（σ，γ）=（8%，0.1%）。危险率为h（t）=5%。5.3自适应控制变量蒙特卡罗估计器应用于TC-CIR++模型的标准蒙特卡罗方法非常耗时。原因是时间步长需要保持相对较小（以限制离散化误差），而模拟范围由θt控制，θt可以比t大得多。为了减少计算量，我们建议采用一种称为自适应控制变量的方差缩减技术。

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能者818

2022-6-2 22:35:34

在本节中，我们简要回顾了控制变量的概念，描述了其自适应实现，然后将其转换到CVA应用程序中。我们的目的是从Y的m i.i.d.观测值中找到E[Y]的估计值。E[Y]的无偏样本均值估计量为^Y：=mPmk=1Yk。控制变量的思想包括通过使用具有已知期望的控制变量Z，找到一个方差比^Y更低的替代无偏估计量Y。考虑随机变量的泛型对（Y，Z），具有i.i.d副本（Yk，Zk），k∈ {1，2，…，m}和定义uk：=Yk- uΞk，Ξk：=Zk- E[Z]。（20） Yu的样本平均估计量kis是E[Y]的一种替代无偏估计量，由^Yu=mmXk=1Yuk=mmXk=1（Yk）给出- Ξk）。对于u=0，其方差等于^Y，但对于u=u，其方差最小*其中u*:=Cov（Y，Ξ）Var（Ξ）=E[Y]E[Ξ]。因为Var（^Yu*) = (1 - Corr（Y，Ξ））Var（^Y），当选择与Y高度相关的控制变量时，这种方法很有趣。然而，在实践中，最佳常数u*需要对其本身进行估计。adaptivecontrol变量对每个索引k使用不同的u值∈ {1，2，…，m}：Vk：=kkXi=1Ξi，Ck：=kkXi=1YiΞi anduk：=CkVk，其中u：=0和uk-1是u的最佳估计量*在步骤k（有关更多详细信息，请参阅[12]）。最后，E[Y]的自适应控制变量估值器由Yu：=mmXk=1Yuk给出-1k=^Y-mmXk=1uk-1Zk+E[Z]mmXk=1uk-1、在我们的CVA应用中，我们感兴趣的是估算CVA，它只不过是Y=-CIR和JCIR模型中的RTV+UDSUI（13）或Y=-RTeV+udSθuin theTC CIR模型（16）。我们取控制变量Z=-RTV+udS⊥uor Z=-RTeV+udSθ，⊥u、分别，其中S⊥（分别为Sθ，⊥) 是与强度λ（resp。

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2022-6-2 22:35:37

λθ）用W模拟⊥而不是Wλ。鉴于上述发展，这种选择很有吸引力，因为Z与Y相关（通过曝光过程以及W⊥生存过程的组成部分），而Z的期望是已知的封闭形式，对应于CVA⊥在（19）中给出。在自适应过程中，MPAIR（Yk，Zk）由相应场景上的积分（Y，Z）给出。它们是Y和Z的i.i.d.副本（直至积分计算产生的离散化误差），或者，如果存储V和S的轨迹，则足以存储V（或S）的轨迹，因此在CVA计算中，将第i次曝光的采样路径与π（i）6=i生存过程的采样路径相结合。模拟方案）。最后，我们针对CIR和JCIR模型的自适应CVA估计器得出]CVA=[CVA-CVA公司⊥mmXk=1uk-1+mmXk=1nXj=1uk-1V+，（k）tjS（k）tj（21）分别与（14）和（17）中的[CVAgiven]进行比较。如果将（V，S）替换为（eV，Sθ），则TC-CIR估计器采用类似的形式。在图3中，我们比较了标准蒙特卡罗（MC）和自适应控制变量（CV）得出的95%CVA计算水平的置信区间。我们将此技术应用于三个考虑的模型（CIR、JCIR和TC-CIR）通过使用图1（a）中相同的参数集和高斯曝光。

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2022-6-2 22:35:40

当使用相同的高斯曝光曲线，但参数如图1（b）所示时，附录中详细说明了类似结果。0e+00 2e+04 4e+04 6e+04 8e+04 1e+050.0060.0065 0.0070 0.0075CIR，ρ=0.8mCVAMC CV（a）CIR（0.02，0.161，0.08，0.03）0e+00 2e+04 4e+04 6e+04 8e+04 1e+050.0052 0.0056 0.0060 0 0.0064CIR，ρ=0.4mCVAMC CV（b）CIR（0.02，0.161，0.08，0.08 03）0e+00 2e+04 4e+04 6e+04 8e+04 1e+050.0060 0.0065 0.0070 0.0075JCIR，ρ=0.8mCVAMC CV（c）CIR（0.02，0.161，0.08，0.03），JCIR（0.07，0.08）0e+00 2e+04 4e+04 6e+04 8e+04 1e+050.0055 0.0060 0.0065JCIR，ρ=0.4mCVAMC CV（d）CIR（0.02，0.161，0.08，0.03），JCIR（0.07，0.08）0 5000 10000 20000 250000.006 0.007 0.008 0.009TC-CIR，ρ=0.8mCVAMC CV（e）CIR（0.02，0.161，0.08，0.03），TC-CIR（0.6，0.512）0 5000 10000 15000 20000 250000.0045 0.0055 0.0065 0.0075TC-CIR，ρ=0.4mCVAMC CV（f）CIR（0.02，0.161，0.08，0.03），TC-CIR（0.6，0.512）图3：控制变量CVA图，3Y高斯曝光，σ=8%。h（t）=5%。我们清楚地观察到，所采用的方差缩减技术允许显著减少标准蒙特卡罗的计算量，作为WWR存在时CVA计算的解决方案。由于Y和选择的控制Z随着|ρ|的减小而更加相关，因此我们观察到，当|ρ|减小时，方差再次减小，并且在这种情况下自适应估计器的收敛速度更快。6结论在简化形式的强度模型中，CIR++过程等模型受到了较多关注。后者包括以确定性方式移位的时间齐次均值回复平方根差，以满足给定的概率项结构。为了增加可达到的波动率，可以在CIR++动力学中添加跳跃。

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2022-6-2 22:35:43

如果跳跃是独立的和积极的，那么就可以得到所谓的JCIR++模型，它仍然是一个函数。然而，问题是，当跳跃活动增加时，模型隐含的生存概率曲线会减少，因为它们是单侧的。模型曲线与市场曲线的校准通过移位函数实现，后者在跳跃活动增加时减少。因此，为了避免面临“负强度”，可以使用的跳跃活动受到限制。例如，这种特殊性限制了CDS、CDS期权或错误方式风险CVA的风险价值的可实现值。另一种允许两侧跳跃的强度模型是Mendoza Arriaga&Linetsky的时变思想。由于跳跃既可以是正的，也可以是负的，因此与JCIR++相比，当增加跳跃的活动时，模型隐含生存概率曲线的下降速度预计要慢一些。因此，预计面临负移位函数（即“负强度”）的问题不会那么严重，因此可能会产生更大的“波动性影响”。这促使我们将上述模型用于CVA目的。然而，在多变量框架中使用时变强度方法需要特殊的预防措施。在没有具体调整的情况下，时间变化技术部分破坏了强度和暴露之间的潜在相关性，从而对可达到的WWR效果产生负面影响。更重要的是，它具有前瞻性影响，可以创造套利机会。在本文中，我们展示了如何通过以“同步”方式重建曝光动力学，以一致和有效的方式使用时变模型，从而避免上述问题。

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2022-6-2 22:35:46

通过提出一种基于自适应控制变量的方差缩减技术，解决了时变技术固有的计算问题。最后，数值模拟表明，在给定项结构的校准约束下，与CIR++和JCIR++模型相比，时间变化模型可以产生更大的WWR效应。从风险管理和定价角度来看，分析该模型产生更高CDS利差波动性的能力是另一个重要问题，这有待于未来的工作。7致谢谢赫·姆巴耶的研究由比利时国家银行通过FSRgrant资助。我们要感谢M.Jeanblanc在处理跳跃和时变过程时对浸入特性的讨论。我们也非常感谢G.Pag\'es对自适应控制变量方法的讨论。最后，我们感谢LauraBallotta激发了对这项工作的前一版本的讨论。本文所表达的观点是作者的观点，并不一定反映比利时国家银行的观点。8附录在本节中，我们使用图1（b）的参数集给出推论3.1.3和方差缩减图的证明。证据设Vt=Vse-σ（t-s） +σ（WVt-WVs）。显然，因为V适应FWV，EhVt | FWV∨ FWλsi=EhVt | FWVsi=Vse-σ（t-s） Eheσ（WVt-WVs）i=vs然而，θs>s之后的WVafter增量与fwvs和FWλθs均无关：=FWλθs。

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大多数88

2022-6-2 22:35:50

因此，EVt | FWVs∨ FWλθs= Vse公司-σ（t-s） Eheσ（WVt-WVs）| FWλθsi=Vse-σ（t-s） eσ（t-θs）Eheσ（WVθs-WVs）| FWλθsi=Vse-σ（θs-s） Eheσ（WVθs-WVs）| FWλθs在ρ6=0的续集中，Eheσρ[（Wλθs-Wλs）-√1.-ρ（W⊥θs-W⊥s） ]| FWλθsi=eσρ（Wλθs-Wλs）Ee-σ√1.-ρρ（W⊥θs-W⊥s） | FWλθs观察W⊥θs- W⊥sis不独立于FWλθsas该信息集给出了Wλθs的值- Wλs：Wλθs- Wλs=ρWVθs- WVs公司+p1级- ρW⊥θs- W⊥s计算上述条件期望值以评估动量生成函数（MGF）Д-σ√1.-ρρ与正态变量W关联⊥θs-W⊥我们知道它与另一个自变量的加权和的值。更明确地说，我们正在寻找X=p1的MGF- ρ√θs- sz使得X+Y=Wλθs-Wλswith Y=ρ√θs- sZ，Z，ZID标准正常。

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2022-6-2 22:35:53

可以证明（见eg【13】），给定X+ωZ=c，X=ωZ~ N（|u，|σ）和|σ=ω-2+ ω-2.-1和|u=c|σ/ω。使用ω、ω和c=Wλθs的值- Wλs，Д（t）=e（1-ρ）（Wλθs-Wλs）t+ρ（1）-ρ）（θs-s） t最终，EVt | FWVs∨ FWλθs= Vse公司-σ（θs-s） eσρ（Wλθs-Wλs）e（1-ρ）（Wλθs-Wλs）-σ√1.-ρρ×eρ（1-ρ）（θs-s）-σ√1.-ρρ√= Vseσρh1-(1-ρ） i（Wλθs-Wλs）+σ[（1-ρ)-1] （θs-s） 6=Vs.0e+00 2e+04 4e+04 6e+04 8e+04 1e+050.0054 0.0058 0.0062 0.0066CIR，ρ=0.8mCVA（a）CIR（0.072，0.05，0.045，0.04）0e+00 2e+04 4e+04 6e+04 8e+04 1e+050.0050 0.0054 0.0058 0.0062CIR，ρ=0.4mCVAMC CV（b）CIR（0.072，0.05，0.042 5，0.04）0e+00 2e+04 4e+04 6e+04 8e+04 1e+050.0055 0.0060 0.0065JCIR，ρ=0.8mCVAMC CV（c）CIR（0.072，0.05，0.045，0.04），JCIR（0.07，0.05）0e+00 2e+04 4e+04 6e+04 8e+04 1e+050.0050 0.0054 0.0058 0.0062JCIR，ρ=0.4mCVAMC CV（d）CIR（0.072，0.05，0.045，0.04）），JCIR（0.07，0.05）0 5000 10000 20000 250000.006 0.007 0.008 0.009TC-CIR，ρ=0.8mCVA JCIRMC CV（e）CIR（0.072，0.05，0.045，0.04），TC-CIR（0.4，0.49）0 5000 10000 15000 20000 250000.0045 0.0055 0.0065 0.0075TC-CIR，ρ=0.4mCVAMC CV（f）CIR（0.072，0.05，0.045，0.04），TC-CIR（0.4，0.49）图4：控制变量CVA图，3Y高斯暴露，σ=8%。h（t）=5%。参考文献【1】D.Applebaum。《列维过程与随机微积分》，第二版。剑桥大学出版社，2009年。[2] T.Bielecki、M.Jeanblanc和M.Rutkowski。信用风险建模。技术报告，大阪大学金融与保险研究中心，大阪（日本），2011年。[3] D.Brigo和A.Alfonsi。利用SSRD随机强度和利率模型对信用违约掉期进行校准和期权定价。《金融与随机》，第九卷（1），9:29-42，2005年。[4] D.Brigo和F.Mercurio。利率模型：微笑、通货膨胀和信贷的理论与实践。第二版，施普林格·维拉格，海德堡，2006年。[5] D.Brigo和E.Naoufel。

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