多因素CIR模型中的非退火随机波动率

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收藏 2022-05-31

英文标题：
《Unspanned Stochastic Volatility in the Multi-factor CIR Model》
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作者：
Damir Filipovi\\\'c, Martin Larsson, Francesco Statti
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
Empirical evidence suggests that fixed income markets exhibit unspanned stochastic volatility (USV), that is, that one cannot fully hedge volatility risk solely using a portfolio of bonds. While [1] showed that no two-factor Cox-Ingersoll-Ross (CIR) model can exhibit USV, it has been unknown to date whether CIR models with more than two factors can exhibit USV or not. We formally review USV and relate it to bond market incompleteness. We provide necessary and sufficient conditions for a multi-factor CIR model to exhibit USV. We then construct a class of three-factor CIR models that exhibit USV. This answers in the affirmative the above previously open question. We also show that multi-factor CIR models with diagonal drift matrix cannot exhibit USV.
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中文摘要：
经验证据表明，固定收益市场表现出非计划随机波动性（USV），也就是说，仅使用债券组合无法完全对冲波动性风险。虽然[1]表明，没有双因素Cox-Ingersoll-Ross（CIR）模型能够显示USV，但迄今为止，具有两个以上因素的CIR模型是否能够显示USV还不得而知。我们正式审查了USV，并将其与债券市场的不完整性联系起来。我们提供了多因素CIR模型显示USV的充要条件。然后，我们构建了一类显示USV的三因素CIR模型。这肯定地回答了上述先前的未决问题。我们还表明，具有对角漂移矩阵的多因子CIR模型不能显示USV。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Mathematical Finance 数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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Unspanned_Stochastic_Volatility_in_the_Multi-factor_CIR_Model.pdf
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可人4

2022-5-31 11:57:14

多因子CIR模型中的非退火随机波动率*Damir Filipovi+Martin LarssonFrancesco Statti§2018年4月13日即将出版的《数学金融》摘要经验证据表明，固定收益市场表现出非计划随机波动性（USV），也就是说，仅使用债券组合无法充分规避波动性风险。虽然[1]表明没有双因素Cox-Ingersoll-Ross（CIR）模型可以显示US V，但到目前为止，具有两个以上因素的C-IR模型是否可以显示US V还不得而知。我们正式审查了USV，并将其完整地提交给债券市场。我们为多因素CIR模型展示USV提供了必要和充分的条件。然后构建一类三因素CIR模型，展示USV。这回答了上述公开问题。我们还表明，具有对角漂移矩阵的多因子CIR模型不能显示USV。关键词：多因素Cox-Ingersoll-Ross模型、非计划随机波动率、不完全债券市场*我们感谢斯科特·乔斯林、安德斯·特罗尔和两位匿名裁判的评论。根据欧盟第七框架计划（FP/2007-2013）/ERC赠款协议（编号307465-POLYTE），导致这些结果的研究获得了欧洲研究理事会的资助+EPFL和瑞士金融研究所，瑞士洛桑1015。电子邮件：damir。filipovic@ep佛罗里达州。瑞士苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏黎世苏。电子邮件：martin。larsson@math.ethz.ch§EPFL，瑞士洛桑1015号。电子邮件：francesco。sta公司tti@ep佛罗里达州。chJEL分类：C32、G12、G131简介经验证据表明，固定收益市场表现出非退火的波动性（USV），即不能仅使用债券组合完全对冲波动性风险，请参见[1、6、7、5]。

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大多数88

2022-5-31 11:57:17

利率期限结构的基本模型之一是多因素考克斯-英格索尔-罗斯（CIR）模型。虽然[1]表明，没有双因素CIR模型能够显示USV，但迄今为止，具有两个以上因素的CIR模型是否能够显示USV还不得而知。在本文中，我们给出了多因素模型显示USV的必要条件和充分条件。这些条件表明，多因素CIRmodels通常不显示USV。我们证明了d因子CIR模型中USVfactors的数量受到d- 2、对于d=2，这证实了[1]的结论。然后，我们构建了一类显示USV的三因素CIR模型。这回答了具有两个以上因素的CIR模型是否可以显示USV。[1]中首次对USV的短期结构模型进行了系统分析。它们还为推动利率衍生品创新的国家变量提供了实证证据，但不影响债券价格期限结构的创新。然后，他们确定了一类可以展示USV的术语结构模型。类似地，[6]描述了一大类具有USV的期限结构模型。他指出，USV条件意味着对模型参数的前沿限制。这与文献[5]中介绍的线性合理期限结构模型形成对比，该模型通常可以显示USV。[7]中介绍了商品的特殊期限结构模型，该模型展示了USV。我们的论文补充了这篇文献，因为[1、6、7、5]中的USV模型不包含多因子CIR模型。本文的结构如下。在第2节中，我们正式定义了SV，并将其与多因素短期利率模型中的债券市场不完全性联系起来。在第3节中，我们提供了USVin多因素CIR模型的必要和充分条件。

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nandehutu2022

2022-5-31 11:57:20

在第4节中，我们构建了一个显示USV的三因素CIRmodel。在第5节中，我们证明了具有对角漂移矩阵的多因子CIR模型不能显示USV。2多因素短期利率模型中的USV通过筛选概率空间(Ohm, F、 Ft，Q），其中Q表示风险中性定价措施。我们认为多因素短期利率模型具有以下含义，参见，例如，【3】。让E Rdbe关于某些d的凸状态空间∈ N、设X是一个E值马尔可夫扩散因子过程，对于某些函数b：E→ Rd和σ：E→ Rd×d，其中W是一维布朗运动。我们始终假设σ（Xt）是可逆的dt dQ-a.e.，对于每t>0，XT的支持都是e。对于某个函数ρ：E，给出了短速率byrt=ρ（Xt）（2）→ R、由于X的马尔可夫性质，时间t的价格≤ 在时间T到期的零息票债券的T由p（T，T）=E给出-RTtrsds | Ft]=F（T- t、 Xt），（3）对于R+×E上的某个函数F，我们假设它是C1,2。我们现在定义了期限结构因素的概念。我们称之为ξ∈ 如果债券价格的期限结构P（t，t），t≥ t、不受沿ξ的扰动影响。所有未退火方向的线性跨度称为术语结构核，表示为U。由U=\\τ给出≥0，x∈埃克尔xF（τ，x）, （4）在哪里·表示转置，另见[5]。设m=d-尺寸U≥ 0和fixa线性映射S:Rd→ Rm使得ker S=U。根据引理A.1，在R+×S（E）上存在一个C1,2-函数F，使得对于所有τ，F（τ，x）=F（τ，Sx）≥ 0，x∈ E、定义zt=SXt，（5）因此，零息票债券价格可以重写为asP（t，t）=F（t- t、 Zt），（6）因此，在任何固定时间t，期限结构P（t，t），t≥ t、是Ztonly的函数。

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何人来此

2022-5-31 11:57:24

请注意，rt=|ρ（Zt）也是Ztonly的函数，其中|ρ（z）=-τИF（τ，z）|τ=0。这激发了以下术语。定义2.1。对于任何线性映射L:Rd，我们参考Ztas术语结构因子，并相应地参考Ut=LXTA未经退火的因子→ 研发部-msuchthe L公司研发部-m=U。接下来，我们证明了未经规划的方向的存在，dim U>0，可能上升到债券市场的不完全性，即并非所有欧洲对期限结构的主张都可以通过单独的债券和货币市场账户交易来复制。鉴于（6），任何此类索赔在一定程度上具有Φ（ZT）形式的支付。由于X的马尔可夫性质，时间t的价格≤ T由∏T=E[E]给出-RTtrsdsΦ（ZT）| Ft]=对于[0，t]×E上的某些函数G，G（t，Xt）。如果G是C1,2，我们说Φ（ZT）是一个正则声明。在这种情况下，It^o的公式yieldsd∏t=rt∏tdt+xG（t，Xt）σ（Xt）dWt。（7）另一方面，从（5）和（6）可以看出，债券和货币市场中任何自我融资交易策略的价值过程V的计算公式为DVT=rtVtdt+θtSσ（Xt）dWt，（8），其中θ是Rm值渐进可测过程。因为σ（Xt）是可逆的dt dQ-a.e.和Xtis的支持对于每t>0，我们从（7）和（8）中推断，正则索赔Φ（ZT）可以复制，当且仅当xG（t，x）∈ SRmfor所有t∈ [0，T]，x∈ E、将其与引理A.1结合，我们得到以下结果。引理2.2。当且仅当ifE[e]时，可以复制常规索赔Φ（ZT-RTtrsdsΦ（ZT）| Ft]=G（t，ZT），对于[0，t]×S（E）上的某些C1,2-函数G。如果Z本身是一个马尔可夫过程，这一点尤其成立。这使用了ThatTP（t，t）| t=t=rt，在温和的假设下，对于r的瞬时连续性和{τ的一致可积性成立-1（经验值(-Rt+τtrsds）-1） |τ∈ （0，ε）}表示所有T≥ 0和一些ε>0可能取决于t。

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nandehutu2022

2022-5-31 11:57:28

特别是，这在CIR模型中适用。非计划随机波动率（USV）的概念现在通过以下定义变得更加精确。定义2.3。如果债券市场不完整，在存在无法复制的常规债权Φ（ZT）的意义上，d-因子s短期利率模型（1）–（2）将显示其USV。备注2.4。S的不同选择导致了与Rm的线性双射相关的期限结构因子zt。因此，USV的定义并不取决于S的具体选择。经验证据表明，固定收益市场表现出USV，这也是期限结构模型的一个可取特征。然而，事实证明，多因素短期利率模型一般不会表现出USV。实际上，如果m=d，那么Z是X的线性双射变换。在这种情况下，没有未退火的方向，更不用说USV了。即使m<d，也有未经退火的方向，但不一定是USV。要了解这一点，让rt=Zt，其中X=（Z，U）是一个具有独立组件的双变量t e CIR过程（见下一节）。特别是Z是一个马尔可夫过程，因此在引理2.2中，该模型不显示USV。这与假设一致，即U是一个不相关的因素，对期限结构没有任何影响。3多因素CIR模型和USVAn多因素短期利率模型的一个重要示例（1）–（2）是考克斯-英格索尔-罗斯（CIR）模型，详情参见示例[4]。d因子CIR模型由E=Rd+-值平方根扩散因子过程X组成，动力学形式为DXT=（b+βXt）dt+diag（σqX1t，…，σdqXdt）dWt，（9）对于某些b∈ Rd+，β∈ Rd×Dw，带非负o向对角线，βij≥ 0表示i 6=j，σi>0。这里是X1t，XDT删除Xt的组件。短期利率为byrt=ρ某些参数ρ的Xt（10）∈ Rd+\\{0}。

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nandehutu2022

2022-5-31 11:57:31

在时间t到期的零息票债券在时间t的价格由（3）决定，其指数函数形式为f（τ，x）=e-A（τ）-B（τ）x、 R值和Rd值函数A（τ）和B（τ）求解Riccati方程τA（τ）=bB（τ），A（0）=0，τB（τ）=H（B（τ）），B（0）=0，（11），其中我们定义了mapH:Rd→ Rd，H（v）=-σo vov+βv+ρ，其中o 表示分量乘法（Hadamard乘积）和σ=（σ，…，σd）. 术语结构核（4）为comesu=\\τ≥0ker B（τ）.设m=d- 尺寸U和S：Rd→ Rmbe一个线性映射，上面的kers=U。下面的结果给出了CIR模型中USV的等效条件。定理3.1。d-因子CI R模型（9）–（10）在且仅在ifH（S）的情况下，排除了USVRm）6 SRm。（12）证明。对于任何u∈ Rd，设φ（τ，u）和ψ（τ，u）为以下Riccati微分方程组的解：τφ（τ，u）=bψ（τ，u），φ（0，u）=0，τψ（τ，u）=H（ψ（τ，u）），ψ（0，u）=u，因此A（τ）=-φ（τ，0）和B（τ）=-ψ（τ，0）。那么，对于任何x∈ Rd，v∈ Rm和t≥ 0，因此左侧是有限的，我们有e-RtrsdsevZt公司= Ex公司e-Rtrsdse五）Xt公司= eφ（t，Sv） +ψ（t，S五）x、（13）可以选择（6）中的函数▄F（τ，z）=exp(-A（τ）- B（τ）Qz）当eQ=S时（SS)-1： Rm→ Rdso，B（τ）QS=B（τ）.其中，在最后一个等式中，我们应用X的a ffne性质；参见例[2]。这特别表明Φ（Zt）=evZT是一种常见的索赔。对于任何v∈ Rm，有一个开放的间隔I R包含零个（13）对所有t都有效∈ 一、如果CIR模型（9）–（10）未显示USV，则（13）中的最后一个数量仅通过z=Sx的值取决于x。

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能者818

2022-5-31 11:57:34

通过kers的元素扰动x，我们得到ψ（t，S五）∈ （ker S）⊥= SRm，t∈ 一、这意味着H（Sv） =τψ（τ，Sv） |τ=0∈ SRm，因此（12）不成立。相反，如果（12）不成立，则ψ（t，Sv）位于SRmfor allt≥ 0和v∈ 因此，该数量存在，因此等于对于某些|ψ（t，v），为|ψ（t，v）∈ Rm。因此，（1 3）的左侧仅是z=Sx的函数。这表明Z是一个马尔可夫过程，因此CIRmodel（9）–（10）不显示USV。定理3。1产生了一个重要的推论，表明CIR模型需要至少两个期限结构因子才能显示USV。推论3.2。d因子CIR模型（9）–（10）是否显示USV，仅取决于模型参数σ、β和ρ。在mostd可能有- 2个USV因素，因此必须满足期限结构因素的数量≥ 2.证明。第一种说法直接来自定理3.1，以及H和B仅取决于σ、β、a和ρ的事实。对于第二种说法，weargue提出了矛盾，并假设d因子CIR模型在m=1时显示SUSV。Asρ=τB（τ）|τ=0这意味着R=跨度（ρ），因此{B（τ）|τ≥ 0} {sρ| s∈ 一} 对于一些开放间隔I R包含零。Letξ⊥ SR、然后ξH（B（τ））=ξ对于所有τ，τB（τ）=0≥ 0，因此ξ对于所有s，H（sρ）=0∈ 一、因为H（w）是w的解析函数∈ Rd我们得出的结论是ξ对于所有s，H（sρ）=0∈ 因此（12）没有任何作用，这表明USV失效。以下推论说明了一个简单的结果，这证实了[1]的结论。推论3.3。目前还没有一个双因素的CIR模型能够对USV进行检验。[5，第二节]给出了显示USV的术语结构的替代双因素马尔可夫模型的示例。4具有USVWe的三因素CIR模型构建了一个具有USV的三因素CIR模型。

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大多数88

2022-5-31 11:57:37

推论3.3表明维度d=3是第一个可以考虑的非平凡情况。根据推论3.2，我们旨在构建一个m=2期限结构因子的模型。这是我们的主要结果。定理4.1。含σi的三因素CIR模型=√2，i=1，2，3，β=β0β0β0β0β,对于参数β<β<0，β>0，β=8ρβ- β+β- 2β，β=β+β-（β+β），（14）和ρ=（ρ，ρ，ρ+ρ）（15）对于参数ρ>0和ρ=（β- β）（β-β- 2β），（16）显示USV。线性贴图S：R→ 兰德L：R→ R，ker S=U和LR=U由s=1 0 10 1！给出！，L=1 1-1..相应的期限结构和非计划因素为Zt=SXt=（X1t+X3t，X2t+X3t）Ut=LXt=X1t+X2t-X3t。注意S（R+）=R+，因此Z是R+-值，而U≤ Z+Z。注意，在按分量缩放因子后，我们总是可以标准化为σi=√2，i=1，2，3，不丧失一般性。此外，（14）和（15）表示β>0、β<0和ρ>0。因此，相应的CIR模型得到了很好的定义，并且随着β的对角线元素（特征值）为负，均值回复。虽然定理4.1给出了一个显示USV的三因素CIR模型的参数类，有四个自由参数（β、β、β、ρ），但参数约束（14）–（16）是一个刀口。这与文献[5]中介绍的线性合理期限结构模型不同，该模型通常可以显示USV。第4.1条的证明。我们必须证明U=kers和（12）成立。条件U=kers readsB（τ）=B（τ）+B（τ），τ≥ 0，（17），从ρ=τB（τ）|τ=0与（15）一致。

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kedemingshi

2022-5-31 11:57:41

β的假定结构使我们能够将（11）改写为τB（τ）=-B（τ）+βB（τ）+ρ，（18）τB（τ）=-B（τ）+βB（τ）+ρ，（19）τB（τ）=-B（τ）+βB（τ）+βB（τ）+βB（τ）+βB（τ）+ρ+ρ，（20）因此（17）成立的当且仅当τB（τ）+τB（τ）=-（B（τ）+B（τ））+βB（τ）+βB（τ）+β（B（τ）+B（τ））+ρ+ρ，τ≥ 考虑到（18）和（19），这相当于tocB（τ）+cB（τ）- 2B（τ）B（τ）=0，τ≥ 0，（21），其中ci=βi3+β-βii，i=1，2。为了证明（21）成立，我们使用（18）和（19）的解由bi（τ）=2ρi（eθiτ）给出- 1）（θi- βii）（eθiτ-1） +2θi，θi=qβii+4ρi，i=1，2，【5，SectionII】中线性有理平方根（LRSQ）模型中的漂移约束很简单，因此变换过程zt具有自动漂移。参见[4，引理10.12]。β和ρ的形式（14）和（16）意味着θ=θ=θ，为了简化符号，我们写下Bi（τ）=Ni（τ）/Di（τ），其中Ni（τ）=2ρi（eθτ-1），Di（τ）=（θ- βii）（eθτ-1） +2θ。用这个符号，（21）可以等价地写为cN（τ）D（τ）+cN（τ）D（τ）- 2N（τ）N（τ）=0，τ≥ 0，插入Ni（τ）和Di（τ）的表达式时，该值变为- γ+γeθτ+（γ-γ） e2θτ=0，τ≥ 0，（22），其中γ=2cρ（θ+β）+2 cρ（θ+β）+8ρρ，γ=4cρβ+4cρβ+16ρρ。进一步计算表明，如果β+β=2（β+β），则γ=γ=0成立- β),(β-β）（β-β） =（β- β)+ 4(ρ+ ρ).该系统确实满足（14）和（16）中的模型参数β和ρ。我们得出的结论是（22），因此（21）是令人满意的，因此U=ker S。仍需验证（12）是否成立。请注意，SR=K L。另一方面，我们有LH（Sv） =2vv+l（v），对于某些一阶多项式l（v）在v中，某些v的右侧肯定为非零∈ R、显示（12）。备注4.2。

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kedemingshi

2022-5-31 11:57:44

为了了解未

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kedemingshi

2022-5-31 11:57:48

，bm线性独立。证据Letζ∈ Rmbe，使得对于所有τ，f（τ）=Pmi=1ζiBi（τ）=0∈ [0，∞).通过解析延拓，对于所有τ，f（τ）=0∈ C类\\∪mi=1Si。另一方面，f（τ）在τ处有一个极点∈ Siif且仅当ζi6=0时。因此ζ=0。综合以上，我们得出了我们的主要结果。定理5.2。具有diagon alβ的CIR模型不能显示USV。证据设{1，…，d}=I∪ ··· ∪嵌入分区，使所有i的Bi=bk∈ Ik，k=1，m、我们声称u={ξ| Pi∈对于所有k=1，…，Ikξi=0，m} 。确实，ξ∈ U如果且仅当ifPmk=1（Pi∈Ikξi）Bk=0，因此引理5.1使该主张成立。因此，线性映射S:Rd→ 如果i，则Ski=1给出Rmwith kers=U∈否则为I和0。相应的期限结构系数Zt=SXtaregiven乘以Zkt=Pi∈IkXitand形成一个m维马尔可夫过程。事实上，这源于X的独立性，Xdand，因为σi=σj=√对于所有i，j，βi=βj∈ Ik，见【2，推论10.4】。根据引理2.2，模型因此不显示USV。A辅助LemmaLemma A.1。设f是E和S上的C-函数：Rd→ Rmbe a满秩线性映射，f或som e 0≤ m级≤ d、以下是等效的：（i）f（x）∈ SRMA适用于所有x∈ E（ii）ker S 克尔f（x）对于所有x∈ E（iii）S（E）上存在一个C函数▄f，使得对于allx，f（x）=▄f（Sx）∈ E、无论哪种情况，对于任何z=Sx∈ S（E）我们有▄f（z）=f（x+Q（z- z））适用于所有z∈ rm使x+Q（z- z）∈ E、当Q=S时（SS)-1.证明。（一）<=>（二）琐碎。（三）=>（i）：来自标识f（x）=Sf（Sx）。（二）=>（iii）：我们首先声明，对于所有x，y，f（x）=f（y）∈ E使得sx=Sy。实际上，通过E的凸性，我们得到x（λ）=λx+（1-λ） y型∈ 对于所有λ∈ [0，1]，因此dλf（x（λ））=（x-y）f（x（λ））=0，因为x- y∈ 这证明了这一说法。因此，对于任何z∈ S（E），我们可以定义任意x的f（z）=f（x）∈ E，Sx=z。

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mingdashike22

2022-5-31 11:57:51

引理的最后一个陈述如下，因为S（x+Q（z- z））=z，这也表明▄fis Con S（E）。参考文献[1]Pierre Collin Dufresne和Robert S Goldstein。债券是否跨越了预期收益市场？非计划随机波动率的理论和证据。《金融杂志》，57（4）：168 5–17302002。[2] D.Du ffe、D.Filipovi\'c和W.Schachermayer。财务流程和应用。安。应用程序。概率。，13（3）：984–10532003年。[3] Darrell D u ffe和Rui Kan。利率的收益率模型。《数学金融》，6（4）：379–4061996。[4] Damir Filipovi\'c.期限结构模型。斯普林格金融公司。柏林SpringServerLag，2009年。研究生课程。[5] 达米尔·菲利波维奇、马丁·拉尔森和安德斯·特罗尔。线性rationalterm结构模型。《金融杂志》，72（2）：655–7042017。[6] 斯科特·乔·斯林。非计划随机波动率模型能解释债券波动率的横截面吗？《管理科学》，即将出版。[7] 安德斯·特罗尔和爱德华多·施瓦茨。非计划随机波动与商品衍生品定价。《金融研究回顾》，22（11）：4423–44612009。

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