非参数贝叶斯波动率估计

2022-6-6 19:22:12

非参数贝叶斯波动率估计Shota GUGUSHVILI、FRANK VAN DER MEULEN、MORITZ SCHAUER和PETER SPREIJAbstract。给定固定时间间隔内的离散时间观测值，我们研究一种非参数贝叶斯方法来估计随机微分方程的波动系数。我们假设波动率的柱状图类型优先于构成时间间隔一部分的仓位上的分段常数实现。箱子上的值被分配了一个倒格玛马尔可夫链（inverseGamma-Markov chain，IGMC）。通过Gibbs抽样，后验推断很容易实现，因为完整的条件分布是明确可用的，结果是反Gamma分布。我们还详细讨论了该方法的超参数选择。我们的非参数贝叶斯方法在典型的仿真实例中取得了良好的实际效果。最后，我们将其应用于变化点分析中的一个经典数据集：道琼斯工业平均指数的周线整理。1、引言1.1。问题公式。考虑一维随机微分方程（SDE）（1）dXt=b（t，Xt）dt+s（t）dWt，X=X，t∈ [0，T]，其中bis为漂移系数，s为确定性色散系数或波动率，x为确定性初始条件。这里W是标准的布朗运动。假设满足（1）强解存在和唯一性的标准条件（参见，例如，（Karatzas和Shreve，1991）），观测xn={Xt0，n，…，Xtn，n}，其中ti，n=iT/n，i=0，n、使用非参数Bayesianaproach，我们的目标是估计波动率函数。在金融环境中，对波动率的了解至关重要，例如在金融衍生品定价中；参见（比约克，2009）和（穆西埃拉和鲁特科夫斯基，2005）。然而，SDEshave的应用也远远超出了金融领域，例如：。

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2022-6-6 19:22:17

物理学、生物学、生命科学、神经科学和工程学（见（Allen，2007），（Fuchs，2013），（Hindriks，2011）和（Wong和Hajek，1985））。请注意，根据It^o公式，使用aDate：2019.2000年4月1日数学科目分类。一次：62G20，二次：62M05。关键词和短语。差异系数；分散系数；高斯似然；吉布斯取样器；独立逆伽马先验；逆伽玛-马尔可夫链先验；MCMC；吉布斯内的大都市；非参数贝叶斯估计；伪似然；随机微分方程；波动。根据ERC拨款协议320637.2 S.GUGUSHVILI、F.H.VAN DER MEULEN、M.SCHAUER和P.SPREIJsimple对状态变量的转换，也是形式dxt=b（t，Xt）dt+S（t）F（Xt）dWt，X=X，t∈ [0，T]可以简化为形式（1），前提是函数fis已知且足够规则；参见，例如，第186页in（Soulier，1998）。我们统计框架下的一些经典例子是几何布朗运动和奥恩斯坦·努伦贝克过程。还要注意的是，由于我们允许（1）中的漂移为非线性，X的边际分布不一定是高斯分布，因此可能会出现重尾，这在金融建模中很有吸引力。非参数方法可以防止模型误判，是进行初步探索性数据分析的优秀工具，参见，例如（Silverman，1986）。贝叶斯方法的公认优势包括通过贝叶斯可信集在参数估计中自动量化不确定性，以及它基本上是一种基于可能性的方法。在（M¨uller和Mitra，2013）中，有人认为非参数贝叶斯方法对于推理结论中不确定性的诚实表示非常重要。

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2022-6-6 19:22:20

此外，先验知识的使用使我们能够轻松地将可用的外部先验信息合并到估计过程中，而这并不是使用频率分析方法可以直接实现的。例如，这一先验信息可能是波动性的增加或减少趋势。1.2. 文献综述。关于SDE模型中非参数贝叶斯波动率估计的文献很少。我们可以列出理论贡献（Gugushvili和Spreij，2014a），（Gugushvili和Spreij，2016），（Nickl和S¨ohl，2017），以及面向实践的论文（Batz等人，2017feb）。前两篇论文中的模型与当前工作中考虑的模型非常接近，但从方法学角度来看，使用了不同的贝叶斯先验，相应的贝叶斯方法的实用性有限。另一方面，（Nickl和S¨ohl，2017）和（Batz等人，2017年2月）中考虑的模型与我们的模型有很大不同，相应的贝叶斯方法也有很大不同。本文中模型和方法的最接近的先行者是（Gugushvili等人，2017年6月）中研究的模型和方法。在续集中，我们将解释当前的贡献来自于哪些方面，以及当前的改进是什么。我们注意到，目前存在大量关于漂移系数非参数贝叶斯估计的文献，例如，（Gugushvili和Spreij，2014b），（Papaspiliopouloset等人，2012），（Poker等人，2013），（Ruttor等人，2013），（van der Meulen和van Zanten，2013），（van der Meulen等人，2014）和评论文章（van Zanten，2013），但贝叶斯波动率估计需要使用实质上不同的区间。

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2022-6-6 19:22:23

我们还注意到，离散时间随机波动率模型中存在处理参数贝叶斯估计的工作，参见（Jacquier et al.，1994）和（Jacquier et al.，2004），但同样，这些工作与本文研究的问题没有直接关系。1.3. 方法和结果。在SDE模型中，从离散观测值进行贝叶斯分析（Bayesianaproach）推理所面临的主要潜在困难是难以处理的可能性和缺乏后验分布的闭合表达式；例如，见（Elerian et al.，2001），（Fuchs，2013），（Roberts and Stramer，2001）和（van der Meulen and Schauer，2017）。通常，这些困难需要使用数据增强设备（见（Tanner和Wong，1987））和一些复杂形式的马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）采样器（见（Robert and Noparametric BAYESIAN VOLATILITY ESTIMATION 3Casella，2004））。在（Gugushvili et al.，2017年6月）中，通过故意将漂移系数设置为零，并在扩散系数之前使用（共轭）直方图类型，在形成[0，T]分区的箱子上具有分段恒定实现，从而避免了这些困难。具体而言，（平方）波动率先验建模为函数s=PNk=1θkBk，具有独立且相同分布的逆伽马系数θk，先验∏定义为定律s。这里是B，B构成[0，T]分区的容器。利用这个独立反向伽马（IIG）先验，θ，θNare独立，以数据为条件，为反伽马型。因此，这种方法可以快速、简单地理解和实现贝叶斯过程。最近，对其良好的实际性能及其理论验证进行了研究（Gugushvili等人，2017年6月）。

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2022-6-6 19:22:26

如图所示，在精确的正则性条件下，漂移的误判是渐近的，因为样本量n→ ∞, Harmlessfo对波动系数的一致性估计。尽管该方法在（Gugushvili等人，2017年6月）中具有良好的实用性能，但也存在一些与之相关的限制。因此，该方法限制了适应波动系数局部结构的可能性，如果波动率在时间间隔[0，T]上的曲率变化很大，这可能会成为一个问题。一种可能的方法是，为构成[0，T]分区的箱子数量配备一个优先级，并根据优先级选择箱子的端点。然而，这将迫使人们超越中的共轭贝叶斯设置（Gugushvili et al.，2017jun），而实际中的后验推理将需要使用可逆跳跃MCMC算法（见（Green，1995））。即使在具有直方图类型先验的非齐次泊松过程的强度函数估计的极其简单的设置中，这也是非常具有挑战性的，如中所观察到的（Yang和Kuo，2001）。主要困难包括在不同维度的模型之间设计移动，从而产生混合良好的MCMC算法，以及评估马尔可夫链的收敛性（见（Fearnhead，2006），第204页）。因此，例如，（Green，1995）和（Green，2003）中的推断结论在使用相同的可逆跳跃方法的同一真实数据示例上是不同的，因为第一篇论文中证明了链的运行时间不够长。参见（Gelman et al.，2014），p。

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2022-6-6 19:22:29

546.在音频信号建模不同于我们所考虑的SDE设置的背景下，受（Cemgil和Dikmen，2007）中思想的启发，我们提出了一种替代方法；另见（Cemgil and Dikmen，2008），（Cemgil et al.，2007），（Dikmen and Cemgil，2008），（Dikmen and Cemgil，2010年3月）和（Virtanen et al.，2008）。也就是说，我们将假设序列{θk}形成了一个适当定义的马尔可夫链，而不是使用在[0，T]上具有独立系数θk的分段常数实现的（平方）波动率先验。使用这种方法的一个显而易见的优势是，它通过依赖于不同仓位的波动率函数的事先实现来诱导额外的平滑。试探性地论证，如果有大量N个箱子，那么就有可能接近地模拟波动性的局部结构：在区间[0，T]的那些部分，波动性具有高曲率或受到突然变化的影响，需要大量（窄）箱子来充分捕捉这些特征。然而，用于确定箱子Bk的网格是统一的，如果θ，θN与先验无关，大N可能会导致S.GUGUSHVILI、F.H.VAN DER MEULEN、M.SCHAUER和P.Spreijt在[0，T]区域的波动率估计值出现虚假变化，而这些区域的波动率实际上变化缓慢。正如我们将在续集中看到的那样，使用依赖于先验的θk可以缓解这个问题。在接下来的部分中，我们详细介绍了我们的方法，并通过仿真和真实数据示例研究了其实际性能。具体而言，我们通过吉布斯采样器的简单版本实现了我们的方法，利用了θk的完整条件分布以闭合形式已知的事实（事实上是逆伽马）。与（Gugushvili等人，2017年6月）不同，我们新方法中的后验推理需要使用MCMC。

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2022-6-6 19:22:32

然而，上述新方法的优势决定了这一点，事实上，与（Gugushvili et al.，2017jun）相比，我们新方法的额外计算复杂性适中。我们的新方法中的先验依赖于超参数，我们还将讨论它们在实践中的几种选择方法。1.4. 本文的组织结构。在第2节中，我们详细描述了波动率估计的非参数贝叶斯方法。在第3节中，我们通过大量的仿真示例来研究我们的方法的性能。在第4节中，我们将该方法应用于一个真实的数据示例。第5节总结了我们的发现，并对我们的结果进行了展望。最后，第6节包含了我们程序的一些附加技术细节。1.5. 符号我们用∏表示（平方）波动率函数的先验分布，并写出给定数据Xnas∏（·| Xn）的后验测度。对于形状参数α>0和尺度参数β>0的逆伽马分布，我们使用旋转IG（α，β）。此分布的密度为（2）x 7→βαΓ（α）x-α-1e级-β/x，x>0。对于两个序列{an}，{bn}，符号an bn将用于表示序列渐近的事实（如n→ ∞) 相同的顺序。最后，对于密度f和函数g，符号f∝ g表示f与tog成比例，右侧的比例常数恢复为（Rg）-1，其中积分在定义g（和f）的域上。函数g可以看作是一个非正规化的概率密度。2、非参数贝叶斯方法2.1。概述。我们的起点与中相同（Gugushvili等人，2017年6月）。也就是说，我们故意将漂移系数BB设置为零，从而误判了漂移系数BB（参见（Martin et al.，2018），以获得类似的“故意误判”概念）。

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2022-6-6 19:22:36

在“完整”渐近条件下的理论证明，时间范围保持不变，观察时间ti，n=iT/n，i=1，n、将区间[0，T]填充为n→ ∞, （Gugushvili et al.，2017jun）中提供了详细信息，我们参考了这些信息（此处的论点最终依赖于Girsanov定理）。在计量经济学文献中关于高频金融数据的非贝叶斯设置中也遇到了类似的想法，例如（Mykland，2012）。设置Yi，n=Xti，n- Xti公司-1，n。假设b=0，我们观察到的伪可能性是可处理的，事实上是高斯的，（3）Ln（s）=nYi=1q2πRti，nti-1，ns（u）duψYi、nqRti、nti-1，ns（u）du,非参数贝叶斯波动率估计5，其中ψ（u）=exp(-u/2）。任何可测波动率函数集的后验概率可通过Bayes定理计算为∏（S | Xn）=RSLn（S）∏（ds）RLn（S）∏（ds）。这里的分母是归一化常数，即定义先验∏的整个空间上的积分，它确保了后验概率是一个概率测度（即积分为1）。2.2. 施工前。我们之前的∏构造类似于（Gugushvili et al.，2017年6月），其重要区别如下所示。固定一个小于n的整数。然后n=mN+r，0≤ r<m，其中N=bnmc。现在定义为Bk=[tm（k-1），n，tmk，n），k=1，N- 1，且BN=[tm（N-1），n，T]。因此，第一个N- 1个料仓的长度为mT/n，而最后一个料仓的长度为mT/n- tm（N-1），n=n-1（r+m）T<n-12公吨。参数N（相当于m）是先验的超参数。我们将s建模为bins Bk上的分段常数，thuss=PNk=1ξkBk。现在可以通过将aprior分配给系数ξk’s来确定波动率s的先验∏。让θk=ξk。

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可人4

2022-6-6 19:22:39

由于料仓Bk不相交，（4）s=NXk=1ξkBk=NXk=1θkBk。由于可能性仅通过s的平方s取决于s，因此必须将先验分配给s的系数θk。这是我们基本上偏离的点（Gugushvili等人，2017年6月）。而在（Gugushvili et al.，2017jun）中，假设{θk}是逆伽马随机变量的i.i.d.序列，这里我们假设{θk}形成马尔可夫链。这将被称为反向伽马马尔可夫链（IGMC）（见（Cemgil和Dikmen，2007）），定义如下。引入辅助变量ζk，k=2，N、并使用时间顺序θ，ζ，θ，…，确定阿马尔科夫链，ζk，θk，ζN，θN。该链的传递分布定义如下：fix超参数α、αζ和α，以及set（5）θ~ IG（α，α），ζk+1 |θk~ IG（αζ，αζθ-1k），θk+1 |ζk+1~ IG（α，αζ-1k+1）。链的名称反映了这样一个事实，即这些分布是反伽马分布。备注1。在选择θ的初始分布时，我们对IGMC的定义与中的定义不同（Cemgil和Dikmen，2007），这对于在t=0附近的波动性估计中避免可能的“边缘效应”很重要。参数α决定了反伽马马尔可夫链的初始分布。出租α→ 0（对应于模糊的优先级）“释放”时间原点处的链。备注2。正如（Cemgil和Dikmen，2007）中所观察到的，有多种方法可以定义反伽马-马尔可夫链。需要记住的一点是，产生的后验值应该是可计算的，θk上的先验值应该能够产生具有正相关结构的实现，因为这引入了相邻箱中θk之间的平滑。后一种性质不可能通过反伽马马尔可夫链的任意构造来实现，例如：。

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2022-6-6 19:22:42

自然结构θk |θk-1.~ IG（α，θk-1/α). 另一张是S.GUGUSHVILI、F.H.VAN DER MEULEN、M.SCHAUER和P.SPREIJ100 200 300 400 10-410-21001021041061081010α = 40.0, αζ= 20.0100 200 300 40010-410-21001021041061081010α = 30.0, αζ= 30.0100 200 300 40010-410-21001021041061061081010α=20.0，αζ=40.0图1。马尔可夫链{θk}的实现，α=40，αζ=20（左面板）和α=30，αζ=30（中面板）和α=20，αζ=40（右面板）。在所有情况下，θ固定为500。另一方面，可以通过设置θk |θk实现θk之间的正相关-1.~ IG（α，（αθk-1)-1），但这会导致难以处理的后验计算。在本研究中，使用潜在变量ζk对IGMC的定义优先考虑了这两个要点。更多讨论请参见（Cemgil和Dikmen，2007）。备注3。将漂移系数Bt设置为零有效地导致假设过程X具有独立的（高斯）增量。实际上，由于实际应用中的偏差通常为非零，因此过程的增量是相关的，因此所有观测值都包含一些关于每个时间点t的波动率值的间接信息∈ [0，T]。另一方面，假设在syields上的IGMC优先于系数{θk}的后验依赖性，这将有助于用较小的样本量n进行推断。有关说明，请参见第4节。2.3. 吉布斯取样器。可通过采用（5）的直接计算验证θk和ζk的完整条件分布为反伽马、θk |ζk、ζk+1~ IG公司α+αζ，αζk+αζk+1, k=2，N- 1,(6)θ|ζ~ IG公司α+ αζ, α+αζζ,（7） θN |ζN~ IG公司α、 αζN,（8） ζk |θk，θk-1.~ IG公司αζ+α，αζθk-1+αθk, k=2，N、（9）详见第6节。

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2022-6-6 19:22:46

接下来，马尔可夫链{θk}的有效转移核由（Cemgil和Dikmen，2007）中的公式（4）给出，是逆伽马分布的比例混合；然而，它的准确表达对我们的目的没有直接关系。如（Cemgil和Dikmen，2007）第700页所述，根据参数值α，αζ，链{θk}可能呈现增加或减少的趋势。我们通过在图1中绘制{θk}实现α和αζ的不同值来说明这一点。在波动性估计的背景下，如果可以获得关于波动性趋势的先验信息，则该特征具有吸引力。（Cemgil和Dikmen，2007）中的推断是使用平均场变分Bayes方法进行的，参见（Blei等人，2017）。在此，我们描述了一种基于吉布斯抽样的全非参数贝叶斯波动率估计方法（参见，例如，（Gelfand Smith，1990）和（Geman and Geman，1984）），参见（Cemgil等人，2007）。算法在值ζ、…、处初始化，ζN，例如，由优先规范（5）生成。为了推导θk的全部条件的更新公式，definezk=kmXi=（k-1） m+1Yi，n，k=1，N- 1，ZN=nXi=（N-1） m+1Yi，n。使用此符号，来自（3）满足度（10）Ln（θ）的可能性∝ θ-（m+r）/2Nexp-nZN2TθNN-1Yk=1θ-米/平方公里-nZk2Tθk.使用这个公式和方程（6），并回顾反伽玛密度（2）的形式，可以看到θk，k=2，…，的更新分布，N- 1，isIGα+αζ+m，αζk+αζζk+1+nZk2T,而对于θ和θNareIGα+αζ+m，α+αζζ+nZ2T, IG公司α+m+r，αζN+nZN2T,分别地接下来，将使用公式（9）更新潜变量ζk。

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大多数88

2022-6-6 19:22:49

除了通过θk’s的先前值之外，ζk’s的更新步骤不直接涉及数据Xn。最后，对θk’s和ζk’s重复这两个吉布斯步骤很多次（直到链可以被评估为合理收敛），这会给出θk’s的后验样本。使用后验推断可以按照通常的方式进行，例如，通过计算θk的样本后验平均值以及样本分位数，分别通过平方波动率s的边际贝叶斯可信带提供点估计和不确定性量化。后验样本平方根的类似计算可用于获得波动率函数s本身的点估计和可信带。2.4. 超参数选择。我们首先假设箱子的数量N以某种方式被控制，我们只需要处理超参数α、αζ和α，它们控制马尔可夫链的先验属性。在（Cemgil和Dikmen，2007）中，引入了IGMC先验知识，但未讨论超参数选择指南。在（Cemgil和Dikmen，2008）中，超参数是通过在那里研究的特定问题（音频去噪和单声道音频源分离）中手动调整的。另一个可行的解决方案是尝试超参数α、αζ和α的几种不同组合，如果只是为了验证不同结论对超参数变化的敏感性。Dikmen和8 S.GUGUSHVILI、F.H.VAN DER MEULEN、M.SCHAUER和P.SPREIJCemgil（2010年3月）讨论了一些进一步的超参数优化方法。在（Cemgil和Dikmen，2008）中，建议通过最大似然法优化超参数；实际实现依赖于EM算法（见（Dempster et al.，1977）），一些其他细节见（Dikmen和Cemgil，2008）。

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2022-6-6 19:22:52

换句话说，proposalin（Dikmen和Cemgil，2008）相当于使用经验Bayes方法（参见，例如，（Efron，2010），（Robbins，1956）和（Robbins，1964））。后者的使用非常广泛，通常会产生良好的实际效果，但理论上对该方法的理解仍然不够充分，除了白噪声模型之类的玩具模型（但是，参见（Donnet et al.，2018）和（Petrone et al.，2014）了解其他上下文中的一些结果）。在实际方面，在我们的例子中，给定序列{ζk}和{θk}的维数相当高，即2N- 1如果N较大，且闭合形式下的边际可能性不可用，则该方法预计将是计算密集型的。因此，先验地，没有理由不尝试通过为超参数配备先验来代替完全贝叶斯方法，而这实际上是我们目前工作中的默认方法。然而，相应的全条件分布结果是非标准的，这就需要在吉布斯采样器中使用Metropolis-Hastings步骤（参见，例如，（Hastings，1970），（Metropolis et al.，1953）和（Tierney，1994））。我们在第6节中提供了必要的详细信息。最后，我们简要讨论了超参数N的选择。如（Gugushvili et al.，2017jun）所述，在实践中，建议使用（Gugushvili et al.，2017jun）中的理论结果（建议 nλ/（2λ+1），如果真实波动率函数为λ-H¨older平滑），则同时尝试n的几个值。不同的N均提供未知波动率的信息，但分辨率不同；更多讨论见（Gugushvili等人，2017年6月）第5节。

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2022-6-6 19:22:55

正如我们将在第3节的模拟示例中看到的那样，对于N的选择，使用IGMC先验的推断结论非常可靠。这是因为通过超参数α和αζ，IGMC先验有一个额外的层来控制应用的平滑度；当α和αζ配备先验知识（如上所述）时，实际上可以从数据中学习它们。3、本节中的合成数据示例计算是用编程语言Julia完成的，请参见（Bezanson et al.，2017）。为了测试我们的估计方法的实际性能，我们使用了一个具有挑战性的例子，使用了来自（Donoho和Johnstone，1995）的blocks函数。作为第二个例子，我们考虑了Cox-Ross-Ingersoll模型的情况。以下各小节给出了准确的详细信息。我们在区间[0，1]上有800 001个等距点的网格上使用Euler格式，以获得（1）不同漂移系数和色散系数组合的解。然后对这些样本进行二次抽样，以获得每个示例中的4000个观察值。超参数α设置为0.1，而对于其他两个超参数，我们假设α=αζ，并在之前使用了一个diff-use-IG（0.3，0.3），以下特别提到的情况除外。使用第2节中的吉布斯采样器进行推断，使用Metropolis-Hastings步骤更新超参数α。后者使用了一个独立的高斯随机游走方案，并进行了缩放，以确保约50%的接受率；见第6节。Gibbs取样器运行了200000次迭代，我们使用了1000个样本的老化。在每个示例中，weNONPARAMETRIC贝叶斯波动率估计90.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-5051015X0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.001020030S3图2。

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2022-6-6 19:22:58

过程X的样本路径来自（11）（左面板）和相应的波动率函数s（右面板）。绘制从系数ξk的中心后间期获得的95%边缘可信带=√θk.3.1。块功能。作为我们的第一个例子，我们考虑了波动率函数由来自（Donoho和Johnstone，1995）的blocks函数给出的情况。对于正性的垂直偏移，定义如下：（11）s（t）=10+3.655606×Xj=1hjK（t- tj），t∈ [0，1]，其中K（t）=（1+sgn（t））/2，{tj}=（0.1，0.13，0.15，0.23，0.25，0.4，0.44，0.65，0.76，0.78，0.81），{hj}=（4，-5, 3, -4, 5, -4.2, 2.1, 4.3, -3.1, 2.1, -4.2).该函数是非参数回归中一个具有挑战性的基准示例：它通常非常平滑，但在空间上不均匀，并且具有突变的特征（参见（Wasserman，2006）中的第9章）。与非参数回归不同，我们设置中的噪声（维纳过程）应被视为乘法，与s成比例，而不是加法，这与s取较大值的事实相结合，使推理问题更加复杂。我们这里的主要目标是比较基于IGMC先验的方法与基于IIG先验的方法的性能（Gugushvili等人，2017年6月）。为了完成设计规范，我们的漂移系数被选为相当强的线性漂移B（x）=-10倍+20倍。在图2中，我们绘制了块函数（11）和此模拟运行中使用的进程X的相应实现。图3的左侧和右侧面板对比了在N=160和α=αζ=20与N=320和α=αζ=40的情况下使用GMC之前获得的结果。这些曲线图表明，增加N会影响未平滑的先前实现，这可以通过增加αζ、α的值来平衡，而αζ、α具有相反的平滑效果。

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2022-6-6 19:23:01

因此，事实上，两个情节看起来非常相似。图4的左上和右上面板给出了使用IIG基于先验的方法获得的估计结果（Gugushvili等人，2017年6月）。箱数再次为N=160和N=320，在这两种情况下，我们对（平方）波动率函数的系数使用了不同的独立IG（0.1，0.1）先验值10 S.GUGUSHVILI、F.H.VAN DER MEULEN、M.SCHAUER和P.SPREIJ0.0.2 0.4 0.6 0.8 1.0020406080S3边际95%cred。频带0.0 0.2 0.4 0.6 0.8020406080S3边际95%cred。带状图3。使用N=160，α=αζ=20（左图）和N=320，α=αζ=40（右图），来自（11）的波动率函数s，具有IGMC先验的95%边缘可信带；在这两种情况下，α=0.1。（详见（Gugushvili等人，2017年6月）。这些结果必须与之前使用IGMC获得的结果进行对比，绘制在图4的左下和右下面板中，其中我们假设α=0.1和α=αζ~ IG（0.3，0.3）。

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大多数88

2022-6-6 19:23:04

图4得出了以下结论：o尽管IGMC和IIG方法都在全球范围内恢复了波动率函数的形状，但IIG方法会导致推断结论中更大的不确定性，这反映在更广泛的边际置信区间中。在N=320的情况下，这种影响尤其明显，其中IIG先前的带宽几乎无法进行推断基于IGMC prior的频带看起来比IIG prior的频带更“规则”。o将结果与图3进行比较，我们看到了将超参数α、αζ与先验值相匹配的好处：图3中的可信带不能充分捕捉函数s在点t=0.2之前和之后的两个倾角，因为s完全落在可信带之外。因此，图3中使用了不正确的平滑量基于IIG先验的方法对箱子编号的选择很敏感：使用N=160个箱子比较图4的左上面板和使用N=320个箱子的右上面板，其中可信范围更宽。另一方面，基于IGMC先验的方法会自动重新平衡其使用的平滑量和不同数量的箱子N，这要感谢hyperprior在参数α、αζ上的作用；事实上，图4中底部的两个图看起来很相似。3.2. CIR模型。如前几节所述，我们的核心估计程序假设波动率函数是确定性的。然而，在本小节中，为了测试我们的方法的适用性限制和未来扩展的可能性，我们将其应用于波动率函数是随机的情况。

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2022-6-6 19:23:07

年（Mykland，2012年）的研究为这种方法提供了支持，但我们将重点放在实际方面，并将相应的理论研究推迟到另一个场合。非参数贝叶斯波动率估计110.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0020406080S3边际95%可信区间。频带0.0 0.2 0.4 0.6 0.8020406080S3边际95%cred。频带0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0020406080S3边际95%cred。频带0.0 0.2 0.4 0.6 0.8020406080S3边际95%cred。带状图4。使用N=160（左上面板）和N=320个料仓（右上面板），具有IIG之前IG（0.1，0.1）的叠加95%边缘可信带的波动率函数s。使用N=160（左下面板）和N=320个仓位（右下面板），来自（11）的波动率函数与GMC之前的95%边际可信区间叠加；在这两种情况下，α=0.1和α=αζ~IG（0.3，0.3）。具体而言，我们考虑了Cox-Ross-Ingersoll（CIR）模型或平方根过程，（12）dXt=（η- ηXt）dt+ηpXtdWt，X=X>0，t∈ [0，T]。这里η、η、η>0是模型的参数。这一分化过程于（Feller，1951a）和（Feller，1951b）引入，并作为短期利率模型在金融领域广受欢迎，见（Cox et al.，1985）。条件2η>η确保了X的严格正性和遍历性。来自（1）的波动率函数现在对应于随机过程t7的实现→ η√Xt，其中X解CIR方程（12）。我们取任意参数值（13）η=6，η=3，η=2，x=1。图5的左面板绘制了X的样本路径，而相应的波动率在同一图的右面板中给出。在图6中，我们使用N=160和N=320bin以及超参数规格α=0.1和α=αζ显示了使用IGMC先验获得的估计结果~ IG（0.3，0.3）。

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2022-6-6 19:23:11

从该图中得出的结论是，我们的贝叶斯方法以一种相当令人满意的方式捕获了已实现波动率的总体形状。12 S.GUGUSHVILI、F.H.VAN DER MEULEN、M.SCHAUER和P.SPREIJ0.0.2 0.4 0.6 0.8 1.00123456X0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00123456s（ω）图5。过程X的样本路径来自（12）（leftpanel）和相应的实现波动率函数s（ω）（rightpanel）。参数值在（13）中给出。0.0.2 0.4 0.6 0.8 1.00123456s边际95%可信区间。带0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00123456s边缘95%cred。带状图6。使用N=160（左面板）和N=320个料仓（右面板），来自（12）的波动率函数s与IGMC先验的95%边际可信带叠加；在这两种情况下，α=0.1和α=αζ~ IG（0.3，0.3）。4、道琼斯工业平均指数在本节中，我们对时间序列变化点检测中的经典数据集进行了重新分析；例如，参见（Chen和Gupta，2012），（Diaz，1982），（Hsu，1977），（Hsu，1979）和（Iacus，2008）。具体而言，我们考虑1971年7月2日至1974年8月2日期间道琼斯工业平均指数的周收盘价。总的来说，有162个观测值可用，它们构成了一个相对较小的样本，因此推理问题相当重要。数据可作为sde包（见（Iacus，2016））中的数据集DWJ在R中访问（见（R Core Team，2017））。请参见图7的左面板以获取可视化效果。在（Iacus，2008）的weeklydata Xti中，i=1，n、转换为返回Yti=（Xti-Xti公司-1） /Xti-1，并执行了（De Gregorio和Iacus，2008）的最小二乘变化点估计程序。在R中复制相应的计算机代码导致1973年3月16日的变化点估计。

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能者818

2022-6-6 19:23:14

作者推测，这一变化点与水门事件有关。与（Iacus，2008）类似，（Chen和Gupta，2012），（Diaz，1982）和（Hsu，1979）中的参数变化点分析给出了1973年3月第三周的变化点。然而，如（Iacus，2008）所述，对时间序列Yti图的检查（见图7，右面板）表明，另一个变化点可能是非参数贝叶斯波动率估计131972 1973 19747508008509501001050YX1972 1973 1974-0.10-0.050.000.050.10YY图7。1971年7月2日至1974年8月2日期间道琼斯每周工业平均指数收盘（左图）和相应的回报率（右图）。出现在数据中。然后在1973年3月16日之后放弃观察，仅使用时间序列的初始段分析数据是否存在变化点，作者发现1971年12月17日出现了另一个变化点，他认为这与理查德·尼克松总统政府暂停美元兑换黄金有关。从上面的讨论中可以清楚地看到，波动率的非参数建模可以为该数据集提供更多的见解。我们首先非正式地研究了由维纳过程驱动的SDE是否适合现有数据。许多此类模型，例如几何布朗运动（geometric Brownianmotion），这是一种资产价格随时间演化的经典模型（也称为萨缪尔森（Samuelson）或布莱克-斯科尔斯（Black-Scholes）模型），依赖于资产价格回报遵循正态分布的旧原则。虽然这一假设在高频金融数据（每日或日间数据；参见，例如（Carret al.，2002），（Eberlein and Keller，1995）和（K¨uchler et al.，1999））中得到了实证验证，但对于时间间隔较广的数据（例如，我们的案例中的每周数据），其违反情况并不严重。

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2022-6-6 19:23:17

事实上，我们在R中对超过1973年3月16日变化点的回报进行的Shapiro-Wilk检验并没有拒绝正态性的零假设（p值0.4）。另一方面，相同数据的分位数-分位数（QQ）图可能显示出某种程度的正态性偏差，见图8，其中我们还对数据进行了核密度估计（通过R中的densityin命令获得，带宽通过交叉验证自动确定）。在图9中，我们根据Yti过去1973年3月16日变化点的返回绘制了样本自相关函数和偏自相关函数。这些并没有提供决定性的证据来反对Yti的独立性假设。容格盒测试（该测试通过命令盒测试在R中实现）也没有，当应用10个滞后时，该测试的p值为0.057（p值当然很小，但不是压倒性的小）。总结我们的发现，我们只发现了一个轻微的证据，证明道琼斯工业平均指数每周收盘的回报率（1973年3月16日至1974年8月2日期间，但在DWJ数据集涵盖的其他子时期也可以得出类似的结论）近似独立，并遵循正态分布。因此，没有强烈的先验理由相信几何布朗运动在14 S.GUGUSHVILI、F.H.VAN DER MEULEN、M.SCHAUER和P.Spreij图8中是完全不合适的模型。1973年3月16日至1974年8月2日期间道琼斯工业平均指数每周收盘收益QQ图（左图）和同一数据的核密度估计（右图）。图9：。

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2022-6-6 19:23:20

1973年3月16日至1974年8月2日期间道琼斯每周工业平均指数收盘收益的样本自相关函数（左面板）和偏自相关函数。设置：它可以用作第一个近似值。为了说明波动率的时间变化性（如变化点分析所示），我们在模型中加入了一个时间相关的波动率函数，对于额外的建模灵活性，我们还允许状态相关的漂移。设置Zt=log（Xt/X），我们的模型由（14）dZt=b（t，Zt）dt+s（t）dWt，Z=0驱动。另一种方法是直接（即不进行任何初步转换）使用方程式（1）对道琼斯数据建模。我们从模型（14）开始考虑这两种可能性。我们在θ上使用了与极限α相对应的模糊先验知识→ 0，而对于其他两个超参数，我们假设α=αζ~ IG（0.3，0.3）。Metropolis-Hastings步骤中独立高斯随机游走方案中的标度是以这样的方式选择的，以便产生约50%的接受率。吉布斯非参数贝叶斯波动率估计151972 1973 1974-0.010.000.010.02·10-2Y边缘90%信用。band1972 1973 1974-0.010.000.010.02·10-2Y边缘90%信用。带状图10。道琼斯工业平均指数对数数据波动率函数的边际90%可信区间。左侧面板对应N=13个箱子，而右侧面板对应N=26个箱子。取样器运行了200000次迭代，前1000个样品作为老化样品丢弃。我们给出了使用N=13和N=26个箱子获得的估算结果，见图10。虽然本例中的样本量n非常小，但数据信息丰富，即使有不同的先验知识，也能得出非平凡的推断结论。

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可人4

2022-6-6 19:23:24

图10中的两个曲线在性质上相似，并表明：o1971年底波动性下降，这可被视为与1971年12月的变化点相对应（Iacus，2008）。与这位作者不同的是，我们并不直接将其与暂停美元兑换黄金联系在一起（这发生在1971年8月，而不是1971年12月）在随后的一段时间内，波动性逐渐增加，一直持续到1973年底。不仅仅是水门事件（以及1973年3月的一个转折点，如Iacus，2008），还有其他经济原因，如1973年的石油危机和1973-1974年的股市崩盘从1974年初开始的波动性下降，与立即下降的时期相比。总的来说，在这项工作中，我们的目标不是确定波动率区域变化的原因，而是提供我们的推断结果，这些结果可能随后用于计量经济学分析。现在，我们使用模型（1）对数据进行贝叶斯分析。优先级设置与前一个案例相同，结果如图11所示。图10和图11中推断的波动率函数的总体形状相同，因此适用类似的结论。最后，我们强调，我们的非参数贝叶斯方法和变化点估计的范围不同：虽然我们的方法旨在估计整个波动率函数，但变化点估计（顾名思义）专注于识别观测时间序列方差中的变化点，这是波动率的一个特殊特征。为此，假设（真实）波动率函数是分段常数，另一方面，这不是我们的方法所需的假设。这两种技术都很有用，每种技术都可以提供可能很难从另一种技术获得的见解。16秒。

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2022-6-6 19:23:27

GUGUSHVILI、F.H.VAN DER MEULEN、M.SCHAUER和P.SPREIJ1972 1973 197405101520M边缘90%cred。band1972 1973 197405101520M边缘90%信用。带状图11。道琼斯工业平均指数波动率函数的90%可信区间。左侧面板对应N=13个箱子，而右侧面板对应N=26个箱子。结论从离散时间观测值对SDE进行贝叶斯推断是一项困难的任务，因为可能性很难解决，而且后验值在封闭形式下不可用。因此，后验推断通常需要使用复杂的MCMC采样器。设计算法，使马尔可夫链能够很好地混合并有效地探索后表面，这是一个非常重要的问题。受音频信号处理文献和我们早期工作（Gugushvili等人，2017年6月）的启发，本文介绍了一种新的非参数贝叶斯方法来估计SDE的波动系数。我们的方法易于理解，通过Gibbssampling实现简单，在实践中表现良好。因此，我们希望我们的工作将有助于SDE中非参数Bayesianaproach推断的进一步传播和普及，特别是考虑到金融应用。在这方面，请参见（Gugushvili et al.，2018may），它以本论文为基础，处理市场微观结构噪声下的贝叶斯波动率估计。我们的工作也可以被视为对（Godsill et al.，2007）一些最初在音频和音乐处理背景下发展起来的想法“也将用于其他科学和工程领域，如金融或生物医学数据分析”的部分预期。最后，我们不试图提供理论，即。

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2022-6-6 19:23:30

本文对我们的新方法进行了无症状频率分析（例如，参见最近的专著（Ghosal和van der Vaart，2017），特别是在SDE环境下进行的此类分析（Gugushvili等人，2017年6月），但将此作为未来研究的主题。参数更新公式在本节中，我们提供了第2节中吉布斯取样器更新公式推导的更多详细信息。起点是利用（5）中的马尔科夫性质，并使用标准的贝叶斯表示法，将{ζk}和{θk}的联合密度写为（15）p（θ）NYk=2p（ζk |θk-1） p（θk |ζk）。非参数贝叶斯波动率估计176.1。完全条件分配。我们首先指出（6）是如何推导出来的。从（5）中为（15）中的各个项插入表达式，并收集依赖于θkonly的单独项，以查看θk的完整条件分布的密度，k=2，N- 1，与θ成正比-α-1ke-α/（θkζk）θ-αζke-αζ/（θkζk+1）。归一化后，该表达式为IG的密度（α+αζ，αζ-1k+αζζ-1k+1）分布，证明了公式（6）。公式（8）直接来自（5）中的最后一个表达式。公式（9）的证明类似于（6）。最后，（7）遵循（5）和Bayes公式。参见附录B.6.6.2（Dikmen和Cemgil，2008）。吉布斯台阶内的大都市。现在我们描述Gibbs采样器中的Metropolis Hastingsstep，用于更新我们算法的超参数，以防后者配备先验知识。为简单起见，假设α=αζ（我们注意到，在（Cemgil和Dikmen，2008）中的实际示例中使用了这样的选择），并假设α配备了先验α~ π. 固定超参数α。

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2022-6-6 19:23:35

显然，α也可以配备先验知识，但这会进一步减慢我们的估计过程，而我们在第3节和第4节中获得的实际结果已经符合α的要求。使用（5）和（15），可以看到{ζk}，{θk}和α的节理密度与π（α）×θ成正比-α-1×e-αθ-1×NYk=2ααΓ（α）θαk-1ζ-α-1ke-α/（θk）-1ζk）ααΓ（α）ζαkθ-α-1ke-α/（θkζk）.这反过来与q（α）=π（α）×成正比ααΓ(α)2（N-1） ×NYk=2（θk-1θkζk）-α×exp-αNXk=2ζkθk-1+θk!.后一个表达式是α的非规范化全条件密度，可以在吉布斯步长内的大都市中用于更新α。Metropolis-Hastings步骤的其余部分是标准步骤，在我们的实际示例中使用了以下方法：选择一个建议核g（α|α），例如，aGaussian随机游走建议g（α|α）=φσ（α- α），其中φσ是均值为零且方差为σ的正态随机变量的密度。请注意，此规范选择可能导致提出负值α，需要立即拒绝，因为该值无效。然后，为了提高计算效率，不要在Gibbs采样器中移动到另一个步骤，而是不断提出新的值α，直到提出正的值为止。然后以概率A=最小值接受1，q（α）q（α）Φσ（α）Φσ（α）,式中，Φσ（·）是均值为零且方差为σ的正态随机变量的累积分布函数；否则，将保留当前值α。更多细节和推导见（Wilkinson，2012）。最后，在Gibbs采样器中移动更多步骤，即更新ζk和θk，并迭代18 s.GUGUSHVILI、F.H.VAN DER MEULEN、M.SCHAUER和P.SPREIJthe程序。Metropolis Hastings步骤中的接受率可以通过建议密度φσ的比例参数σ进行控制。

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2022-6-6 19:23:38

在Metropolis Hastingsalgorithm（Gelman et al.，1996）中给出了确定最佳接受率的一些实用规则，在（Sherlock et al.，2010）中给出了Metropolis Withibbs算法的一些实用规则。参考Allen，E.2007。It建模^o随机微分方程，《数学建模：理论与应用》，第22卷，多德雷赫特斯普林格。MR2292765Batz，P.、A.Ruttor和M.Opper。2017年2月。随机微分方程的近似Bayes学习，ArXiv电子版，1702.05390。贝赞森、杰夫、艾伦·埃德尔曼、斯特凡·卡尔平斯基和病毒B·沙阿。2017，《Julia：数值计算的新方法》，SIAM Rev。59，1号，65–98。MR3605826Bj¨ork，托马斯。2009，《连续时间套利理论》，第三版，牛津大学出版社。Blei、David M.、Alp Kucukelbir和Jon D.McAuli ffe.2017年。《变分推理：统计学家评论》，J.Amer。《美国统计协会》第112号，第518、859–877号。Carr、Peter、Helyette Geman、Dilip B.Madan和Marc Yor。2002年，《资产回报的具体结构：一项实证调查》，J.Bus。75，编号2，305–332。Cemgil、A.T.和O.Dikmen。2008年，《贝叶斯音频处理伽马链推理与学习》，《声学学报》08，第4055-4060页。Cemgil、A.Taylan和Onur Dikmen。2007。非平稳源建模、独立分量分析和信号分离的共轭伽马-马尔可夫随机场：第七届国际会议，ICA 2007，英国伦敦，2007年9月9日至12日。会议记录，第697-705页。Cemgil、A.Taylan、C'edric F'evotte和Simon J.Godsill。2007。贝叶斯信源分离的变分和随机推理，数字。信号处理。17，第5号，891–913。贝叶斯信源分离特刊。Chen、Jie和Arjun K.Gupta。2012年。参数统计变化点分析，第2版。，纽约州伯克豪斯/斯普林格。

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能者818

2022-6-6 19:23:41

应用于遗传学、医学和金融。MR3025631Cox，John C.，JonathanE.Ingersoll Jr.，和Stephen A.Ross。1985年，《利率期限结构理论》，《计量经济学》第53期，第2期，385-407页。MR785475De Gregorio、Alessandro和Stefano M.Iacus。2008。部分观测到的扩散过程的最小二乘波动率变化点估计，Comm.Statist。理论方法37，编号13-152342–2357。MR2446669Dempster、A.P.、N.M.Laird和D.B.Rubin。通过EM算法获得不完整数据的最大似然，J.Roy。统计Soc。B、大都会。39，1号，1-38。Diaz，Joaquin.1982年。《独立伽马随机变量序列中尺度参数变化的贝叶斯检测》，《计量经济学杂志》第19期，第1期，第23–29页。MR668613Dikmen，O.和A.T.Cemgil。2010年3月。音频源建模的Gamma-Markov随机场，IEEE Trans。音频、语音、语言处理。18，第3号，589–601。Dikmen、Onur和Ali Taylan Cemgil。2008年，《Gammachains中的推理和参数估计》，技术报告CUED/F-INFENG/TR.596，剑桥大学。Donnet、Sophie、Vincent Rivoirard、Judith Rousseau和Catia Scriciolo。2018年，《应用于Dirichlet过程混合物的经验Bayes程序后验浓度率》，Bernoulli 24，no.1231–256。MR3706755Donoho、David L.和Iain M.Johnstone。通过小波收缩适应未知的平滑度，J.Amer。统计学家。协会第90号，第432、1200–1224号。MR1379464Eberlein、Ernst和Ulrich Keller。1995年，《金融中的双曲线分布》，伯努利1号，第3281–299号。埃夫隆，布拉德利。2010年，《大规模推理》，数理统计研究所（IMS）专著，第1卷，剑桥大学出版社，剑桥。用于估计、测试和预测的经验贝叶斯方法。MR2724758Elerian、Ola、Siddhartha Chib和Neil Shephard。2001

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