高波动性资产障碍期权的有效定价

2022-6-9 17:50:28

电子邮件：kostia@caltech.edu1简介障碍期权是交易最活跃的路径依赖型金融衍生品之一，其收益取决于基础资产在期权合同期限内是否达到或超过预定价格（Hull，2009；Dadachanji，2015）。障碍期权通常被归类为敲入或敲出，这取决于其是否被激活或在基础资产价格超过某一水平时失效（障碍）（Derman和Kani，1996年，1997年；Guardasoni和Sanfelici，2016年）。然后，如果标的资产的价格保持在障碍之上（对于淘汰障碍期权）或为零，则到期时的支付与普通Vanilla欧洲期权的支付相同。障碍期权往往比相应的普通期权更容易到期，也不太可能执行（Jewitt，2015）。据估计，它们约占所有交易的奇异期权交易量的一半（Luenbergerand Luenberger，1999年）。尽管2007-08年信贷紧缩以及随后对路径依赖型工具的需求下降，但当产品的结构和风险可以理解时，障碍期权仍然是一种有用的投资或对冲工具。在金融行业，障碍期权可以出于多种原因进行交易，主要使用外汇、商品和利率作为基础资产。首先，障碍期权比相应的普通期权更准确地代表投资者的信念，因为向下和向外的障碍看涨期权可以达到与普通期权相同的目的，但成本较低，因为有强烈迹象表明基础资产的价格将上涨。

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2022-6-9 17:50:31

其次，障碍期权比普通的普通期权具有更具吸引力的风险回报关系，其优势源于较低的价格，反映了现货价格在其整个生命周期中可能永远无法达到（敲入）或穿过（敲出）障碍的额外风险（关于障碍期权的详细讨论见Derman和Kani，1996年、1997年）。具体而言，高波动性基础资产上的障碍期权可以与廉价的深出资金期权类似的方式使用，作为对冲，在金融动荡中提供保险，考虑到其波动性的依赖性（Carr和Chou，2002）。因此，开发一个能够有效处理高波动性基础资产障碍期权的框架，解决了计算金融中的一个实际问题，据我们所知，过去没有明确研究过这个问题。根据Andersen et al.（2001），道琼斯工业平均指数（DJIA）中30只股票的平均年化波动率约为28%（介于22%和42%之间），而波动率水平在33%和40%之间的股票并不少见。因此，障碍期权的定价是一个具有挑战性的问题，因为需要监控标的资产的价格，并在合同期内的多个离散点将其与障碍进行比较（Kou，2007）。事实上，障碍期权定价为金融业所有领域以及所有资产类别的从业者带来了特殊的挑战。特别是，外汇交易行业在这类产品上始终表现出巨大的创新，并投入了大量资源对其进行研究（Dadachanji，2015）。

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2022-6-9 17:50:34

然而，为离散监控障碍期权定价并不是一项简单的任务，因为本质上我们必须解决正态分布函数的多维积分，其中积分的维数由离散监控点的数量确定（Fusai和Recchioni，2007）。从计算角度来看，某些障碍期权（如向下和向外期权）可以通过标准Black–Scholes–Merton（BSM）（Merton，1973）的论文进行定价。这一想法可以进一步扩展到更复杂的障碍期权，这些障碍期权可以在BSM框架下使用复制的普通期权组合进行定价（CarrandChou，2002）。然而，所有这些方法都得益于BSM模型对许多假设的依赖，而这些假设在现实世界贸易中并未得到满足（Hull，2009）。因此，我们在等价鞅测度（EMM）下获得的期权价格估计往往不准确。虽然有其他具有解析解的障碍选项模型，如跳跃扩散模型（Kou，2002；Kou和Wang，2004），恒定方差弹性（CEV）模型（Boyle和Tian，1999；Davydov和Linetsky，2001），精确分析方法（Fusai et al.，2006），基于希尔伯特变换（Feng和Linetsky，2008），建立在L'evy过程（Jeannin和Pistorius，2010）或基于傅里叶余弦的半分析方法（Lian等人，2017）基础上的拉普拉斯变换方法，所有这些都取决于与BSM定价方程类似的假设。Boyle and Tian（1998）、Zvan et al.（2000）、Zhu and de Hoog（2010）和Golbabai et al.（2014）提出了另一套基于求解偏微分方程（PDE）的障碍期权定价方法。

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2022-6-9 17:50:37

虽然这些方法通常都很强大，但它们取决于能否用偏微分方程精确地建模期权，并且不能在所有情况下使用（其他用于外部衍生品定价的方法包括直线法（Chiarella et al.，2012），其中希腊人也估计了稳健的优化技术（Bandi和Bertsimas，2014），也适用于美国期权，有限-基于差异的方法（Wade et al.，2007），其中提出了处理障碍期权不连续性的Crank-Nicolson平滑策略，以及制度转换模型（Elliott et al.，2014；Ramberchand Pantelous，2016））。因此，蒙特卡罗模拟（MCS）通常用于期权定价（Schoutens和Symens，2003），尤其是障碍期权（Glasserman和Staum，2001）。与其他定价方法相比，MCS的主要优势在于其无模型性和不依赖于近似方程的维数N。后者是一个重要的属性，因为as N→ ∞ (t型→ 0）时，连续监测屏障期权的价格收敛于连续监测屏障期权的价格（Broadie et al.，1997）。另一方面，MCS有一个严重的缺点：它不能有效地估计高波动性资产上的障碍期权的价格。事实上，高波动性使得资产很难保持在壁垒内，这就使得正回报成为罕见的事件（Glasserman等人，1999）。因此，任何标准MCS方法都将不准确且极不稳定（Geman andYor，1996）。这推动了更先进的随机模拟方法的发展，这些方法继承了MCS的稳健性，但更有效地低估了障碍期权价格。

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2022-6-9 17:50:41

已经提出了一系列加快收敛速度的随机模拟技术，如恒定单障碍期权的MCS近似修正（Beaglehole et al.，1997），基于大偏差理论的模拟方法（Baldi et al.，1999），以及最近的顺序MCS方法（Shevchenko和Del Moral，2017）。本研究的主要结果总结如下。首先，我们开发了一种新的障碍期权定价随机模拟方法，该方法基于子集模拟（SUFIDM）方法，这是一种基于马尔康链蒙特卡罗（MCMC）的算法，最初引入Au和Beck（2001），用于处理复杂的工程系统，后来由Zuev et al.（2015）扩展到复杂网络（有关更多详细信息，读者请参阅Au和Wang，2014）。与naiveMCS方法相比，MCMC通过从目标分布中取样，为我们提供了一种更有效的方法来模拟感兴趣的数量，并已广泛用于金融统计建模（参见Eraker，2001；Philipov和Glickman，2006；Gerlach等人，2011；Stroud和Johannes，2014，以及其他MCMC的金融相关应用）。在这里，我们应用并进一步扩展了这一思想来计算障碍期权的执行概率和价格。其次，我们计算了高波动率下的双障碍期权的公平价格，以及在标的资产起始价格附近设置的障碍。在我们的框架中，“失败”概率对应于到期时执行障碍期权的概率（即，标的资产保持在障碍内的价格）。

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nandehutu2022

2022-6-9 17:50:44

在一个简单的MCS设置中，这种设置会导致资产价格轨迹跨越障碍，从而导致障碍期权在到期前失效，概率极大。第三，我们通过测量变异系数（CV）和均方误差（MSE）表明，拟议的基于子项的算法是此类衍生品定价的有效技术。特别是，SubSim估计器的CV为O（| log pE | d/2），其中pE是执行概率，d≤ 3是一个常数。将其与CV为O（p-1/2E），对于非常小的pE值，我们可以很容易地看到，与SUFIDM估计值相比，后者以更快的速度增长。此外，创建的SubSim估计器的均方误差为O（| log pE|-k） –其中k≤ 3是一个常数–，随pE增加而减小。最后，我们将我们的结果与多层蒙特卡罗（MLMC）（Giles，2008b，a）方法进行了比较，结果表明，对于非常小的期权生存概率值，在观测到的CV中，SubSim估计优于MLMC估计。因此，我们的方法可以被视为价格路径依赖型期权的替代方法，该方法还补充了基础资产特殊情况下的MLMC。本文首先介绍了障碍期权定价问题，并对补贴方法进行了修改，以适应它。在第3节中，我们展示了子基金如何专门用于估计执行概率和到期时的期权支付。第4节随后介绍了主要定理及其证明。

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2022-6-9 17:50:47

这确立了MSE的极限行为和广泛应用程序的计算复杂性。最后，给出了数值结果，并与标准MCS和mlmc方法进行了比较，为理论分析提供了支持，最后给出了一些结论。2补贴障碍期权定价2.1几何布朗运动（GBM）期权定价的出发点是对标的资产的价格进行建模。鉴于本文的重点更多地是该方法的模拟和统计方面，而较少关注基础价格过程的建模，我们使用标准GBM，而不是更复杂的跳跃过程或具有随机波动性的模型，后者通常用于奇异衍生品的定价（见Kou，2002；Kouand Wang，2004；Chiarella et al.，2012等）。假设Stfollowsthe随机微分方程（SDE）dSt=Stu（t）dt+Stσ（t）dWt，（1）风险中性过程，其中u（t）是漂移，σ（t）是波动，wt是公共概率空间上定义的标准布朗运动(Ohm, F、 P）。（1）的离散化解可以写成如下Sn=Sn-1expun-σnt+σn√tZn公司, （2）其中Z，锌~ N（0，1）是i.i.d.标准正态随机变量。2.2障碍期权补贴我们首先考虑如何将补贴专门用于障碍期权定价，以及为什么它对高波动性资产的期权特别有效。

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2022-6-9 17:50:50

估计障碍期权价格P的目标，由以下风险中性度量Q下的贴现指数给出：P=E“h（SN）NYn=1I[Ln，Un]（SN）#，（3）其中h（SN）是合同到期时的支付（t=t），h（SN）=max{SN-K、 0}，K是履约价格，I[A，B]（x）代表指标函数：I[A，B]（x）=1如果A≤ x个≤ B、其中A和B分别为上下势垒，否则为零。为了使用SubSim方法，我们需要将问题引入（3）中，以适合用作该方法输入的形式。假设所研究动态系统的时间演化（例如资产价格的演化）由以下离散模型建模：Sn=F（Sn-1，Un），n=1，N、（4）其中sni是标的资产在时间tn时的价格，S=（S，…，SN）是标的资产的范围，Unis是时间tn时的随机输入，F是控制S演化的某个函数（即我们的案例中的GBM（1））。Letg（S）是绩效函数–与利息数量S相关的函数–（例如，资产价格的最大值g（S）=maxn=1，。。。，NSn）。我们说，如果g（S）超过临界阈值α：E={U=（U，…，UN）：g（S（U）），则会发生目标事件E≥ α} 注册护士。（5） SubSim背后的核心思想是将罕见事件分解为一系列“不太罕见”的事件，这些事件更容易计算概率。这个想法是通过考虑从整个输入空间RN开始到目标罕见事件RN=E结束的嵌套子集集合来实现的 E . . . 埃尔≡ E、（6）中间事件EIC可以通过简单地重复放宽（5）中临界阈值α的值来定义，Ei={U=（U，…，UN）：g（S（U））≥ αi}，α<α<…<αL≡ α.

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2022-6-9 17:50:53

（7）为了使SubSim直接适用，我们需要为基础资产价格轨迹和到期预期收益指定合适的函数。让E RNbe是一组向量Z=（Z，…，ZN），导致正收益。换言之，E代表我们问题的目标事件，并由所有向量Z组成，这些向量Z导致资产价格轨迹保持在壁垒内，最终高于执行价格。这如图1所示。设π为payoff函数，π（Z）=序号- K、如果Z∈ E、 0，如果Z/∈ E、（8）如果资产价格轨迹保持在壁垒范围内，并最终高于执行价格或为零，则等于普通看涨期权的支付。[图1关于此处。]至于绩效函数，在期权定价的情况下，该数量表示资产价格轨迹S=（S，…，SN）与正收益之间的距离，或等效地，Z=（Z，…，Z）与E之间的距离。我们将其定义如下：g（S）=NXn=1gn（SN），（9）其中术语gn（SN）表示资产价格SNI与壁垒Ln，未达成协议的K，gn（SN）之间的距离=联合国- 序号，如果序号>Un，序号- Ln，如果Sn<Ln，则为0，否则为。对于n=1，N- 1、gN（SN）=联合国- 序号，如果序号>UN，序号- K、如果Sn<K，则为0，否则为。（10）对于n=1，…，GN之间的差异，N- 1和Gn源于这样一个事实，即在到期日tN=T时，下限的作用由履约价格k发挥。性能函数g如图2所示。就g而言，根据式（10）中性能函数g（S）的定义，正支付事件E可以写为：E={Z=（Z。

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2022-6-9 17:50:57

，ZN）：g（S（Z））≥ 0}，（11）其中α现在被零取代，而定义的绩效函数将估算正支付概率的问题纳入Au和Beck（2001）制定的一般补贴框架中。[图2关于此处。]然后，结合方程式（8）和（10），期权价格（在我们的情况下是到期时合同的预期收益）可以改写为：P=E[π（Z）]=E[π（Z）| Z∈ E] P（Z∈ E） +E[π（Z）| Z/∈ E] P（Z/∈ E） =E[π（Z）| Z∈ E] P（Z∈ E） =E[序号- K | Z∈ E] P（E）=P（E）（E[SN | Z∈ E]- K）。（12）现在，问题归结为估计执行概率pE=P（E）和到期时的预期收益，由公式（12）的乘积中的第二项给出。3通过子公司执行合同和支付期权的概率我们从计算pEto开始，注意给定顺序（6），罕见事件的小概率PEO可以写成条件概率的乘积：pE=P（EL）=P（EL | EL-1） P（EL-1） =P（EL | EL-1） P（EL-1 |标高-2） P（EL-2) = . . . =LYi=1P（Ei | Ei-1).（13）通过适当地选择中间阈值αi（在下面描述的子项的实际实现中，αi是根据fly自适应地选择的），我们可以使所有条件概率P（Ei | Ei-1）足够大，并通过类似MC的模拟方法有效估计主题。事实上，（13）右侧的第一个因子P（E | E）=P（E），可以通过MCS直接估计：P（E）≈mmXi=1IEU（一）, U（1），U（米）~ 傅。

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2022-6-9 17:51:00

（14）估算剩余因子P（Ei | Ei-1）对于i≥ 2更困难，因为这需要从条件分布fU（u | Ei）中采样-1) ∝ fU（u）IEi-1（u），这是一项非常重要的任务，尤其是在更高级别，其中Ei-1这是一个罕见的事件。在SUFIDM中，这是通过使用所谓的改进Metropolis算法（MMA）（Au和Beck，2001；Zuev和Katafygiotis，2011）实现的，该算法属于一大类MCMC算法（Liu，2001；Robert和Casella，2004），用于从复杂概率分布进行采样。MMA算法是对原始Metropolis算法（Metropolis et al.，1953）的组件化修改，该算法特别适合高维采样，而原始算法的性能较差（Katafygiotis和Zuev，2008）。从fU（u | Ei）处取样-1），MMA生成一个平稳分布为fU（u | Ei）的马尔可夫链-1). MMA和原始Metropolis算法之间的关键区别在于如何生成马尔可夫链的“候选”状态（附录a中介绍了用于采样的MMA算法）。然后，使用详细的平衡方程，可以显示（详见Au和Beck，2001），如果U（j）是按照目标分布分布的，那么U（j）~ fU（u | Ei-1），那么U（j+1）和fU（U | Ei）也是-1）因此，实际上是由MMA生成的马尔可夫链的平稳分布。现在，为了估计执行PET的小概率，该方法首先生成m个MCS样本U（1），U（米）~ fu并计算相应的系统轨迹（1），S（m）通过（4）和性能值g（i）U=g（S（i））。在不丧失一般性的情况下，我们可以假设g（1）U≥ g（2）U≥ . . . ≥ g（m）U.（15）实际上，为了实现这种排序，我们可以简单地对样本进行相应的重新编号。由于E是一个罕见的事件，所有U（i）/∈ E的概率很大。

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2022-6-9 17:51:03

然而，排序（15）意味着，在性能函数所诱导的度量中，U（1）是与E最接近的样本，U（2）是第二接近的样本，等等。让我们定义第一个中间值resholdα为▄mthand（▄m+1）thsystem轨迹的性能值之间的平均值，其中▄m=βm和β∈ （0，1）：α=g（βm）U+g（βm+1）U，0<β<1。（16）将α设置为该值有两个重要的推论：（1）由（14）给出的p（E）的MCS估计正好是β，（2）样本U（1），U（βm）是根据条件分布fU（U | E）分布的i.i.d.随机向量。在下一步中，SUFFIM通过MMA从最接近E样本U（1）的▄m开始生成▄m=βm马尔可夫链，U（βm）作为“种子”：U（i）=V（i，1）MMA-→ V（i，2）MMA-→ . . .甲基丙烯酸甲酯-→ V（i，l）。（17）因为通过构造，所有种子都处于静止状态，U（i）~ fU（u | E），i=1，~m，所有马尔可夫链状态V（i，j）也是如此~ fU（u | E），j=1，l、每条链的长度为l=1/β，这使得总状态数ml=m。为了简化符号，让我们用简单的V（1）来表示样本V（i，j），V（m）。接下来，第二个中间阈值α类似定义如下：α=g（βm）V+g（βm+1）V，（18），其中g（1）V≥ g（2）V≥ . . . ≥ g（m）表示对应于样本V（1），…，的有序性能值，V（m）。同样，通过构造，P（E | E）≈ β和V（1），V（βm）~fU（u | E）。SubSim方法（如图3所示）通过将马尔可夫链指向罕见事件E，直到到达并进行有效采样，以此方式进行。具体地说，当样本数Meplesin E（先验值为0）时，它停止≤ 我≤ m、是我≥ βm。除（13）右侧的最后一个因子外，其余所有因子都用β和P（E | EL）近似-1) ≈ mE/m。这将导致以下估计：pE≈ ^pSubSimE=βL-1mEm，（19），其中L是（13）中达到E所需的子集数。

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2022-6-9 17:51:06

SubSim使用的样本总数为THNM=m |{z}MCS+m（1- β）（L）-1） |{z}MMA。（20） [图3关于此处。]第一个因素，即正支付概率=P（E），可以通过SUBSFIM，P（E）轻松估计≈ ^pSubSimE。（21）此外，可以使用SUFID在最后一级生成的样本估计（12）中对终端资产价格的条件预期。即letZ（1），Z（m）是SUFIDM在其顶部之前生成的最后一批MMA样品，Z（1），Z（米）~ N（z | EL-1），EL-1. 埃尔≡ E、（22）其中N（z | A）∝ N（z）IA（z）表示A上的标准多元正态分布。通过构造（这是子项停止标准），这些样本中至少有▄m=βm在E.LetZ（1），Z（米*)~ N（Z | E），βm≤ m级*< m、（23）表示这些样品。然后，条件期望可以估计如下：E[SN | Z∈ E]≈bEQSubSim=m*m级*Xi=1SN（Z（i）），（24），其中SN（Z（i））=SN（Z（i），Z（i）N）是从（2）中获得的资产价格的最终价值。（24）中的表达式本质上给出了风险中性度量下标的资产的预期终端价格，作为所有生成的资产价格路径的平均值。结合（21）和（24），我们得到了期权价格的子项估计：P≈bPSubSim=^pSubSimE（bEQSubSim- K）。（25）如上所述，SUFIDM产生了执行概率pE的估计器，其规模类似于pE对数的幂（Au和Beck，2001）：δ^pSubSimE=s（1+γ）（1- β） Mβ（| lnβ|）d | ln pE | d∝ |ln pE | d/2，（26），其中γ是一个常数，取决于马尔可夫链状态的相关性和2≤ d≤ 3、将（26）与标准MCS方法的CV进行比较（Liu，2001；Robert和Casella，2004）δ^pMCE=qVar^pMCEE^pMCE=r1级- pEMpE公司∝ p-1/2E（27）揭示了MCS的一个严重缺陷：它不能有效估计罕见事件的小概率。实际上，作为pE→ 0，然后是δ^pMCE≈ 1/√MpE。

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nandehutu2022

2022-6-9 17:51:10

这意味着，达到可接受精度水平所需的样本数量M与pE成反比，因此非常大，M∝ 1/pE 因此，对于概率很小的罕见事件，pE 1，SUFID的CV显著低于MCS的CV，δ^pSubSimE δ^pMCE. 这一特性保证了SUBCIM对小概率的风险事件产生更准确（平均）的估计。如果资产价格S具有高波动性，则离散资产价格轨迹，SN将具有很大的可变性，很有可能会跨越障碍并过期，或者最终在罢工之后结束。这意味着拥有积极的影响力将是一件罕见的事情。这表明——我们通过第5节的模拟证实了这一点——与基于MC的方法相比，SubSim在估计高波动性资产上的障碍期权价格方面应该更加有效。4复杂性定理复杂性定理通过检查其极限行为，将执行概率Pe与均方误差（MSE）以及t=0时期权价格P的子项估计量^P的计算复杂性/成本联系起来。Theorem未对基础SDE或所用解决方案的功能做出任何假设。定理1。给定数据集的解的泛函的SubSim估计量^P具有（i）一个由cδ| log pE从上方限定的MSE|-k、（ii）计算成本上界为cδ-2 | log pE | r，其中c，care常量，δ是^P的CV，pE是正支付到期的概率，r是依赖于中间执行概率之间相关性的参数。证据

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2022-6-9 17:51:13

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2022-6-9 17:51:16

因此，MSE的第一项为O（1/m），而第二项为O（1/m），这使得anMSE的上限为1/m，对于m的大值，它支配着O（1/m）项。在（28）中，我们还注意到δ是O（| log pE | rL-1米-1）从中我们得到m=O（| log pE | rL-1δ-2). 设置L=log pE/logβ=O（| log pE |）和fixingδ，样本数m变为O（| log pE | k），其中k=r- 1.≤ 3是一个新常量。因此，我们最终得到一个从上方以MSE为界的MSE，E[（P-^P）]≤ c | log pE | k。（34）（i）中的结果非常重要，因为它表明，通过降低合同执行的概率（即产生更罕见的事件），会导致较小的风险，同时，相应的CV会增长（另见表1中的结果）。此外，在（ii）中，我们证明了SUFIDM的计算复杂性与目标CVδ的平方和执行概率pE的自然对数成反比。一方面，随着目标CV变小（即，我们需要更精确的输出），成本会随着方法使用更多子集以及随后使用更多样本而增加。另一方面，随着执行概率的降低，其对数的绝对值增加，导致计算成本更高，因为执行概率越低，对^P的估计要求越高。图4显示了模拟运行（重复100次）的结果，以根据子项理论和实验输出，比较MSE和计算复杂性相对于峰值的比例。[图4关于此处。]5模拟研究5.1障碍期权我们的数值实验侧重于双淘汰障碍看涨期权的定价，但很容易将所提出的方法推广到其他类型的载体期权。假设在相等间隔时间0=T<T<。

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2022-6-9 17:51:19

<tN=T，带频率t=t/N，如果资产达到U上限或L下限，则该选项过期。让我们用Sn=Stn表示相应的资产价格，用un=u（tn）表示漂移，用σn=σ（tn）表示波动率。利息数量是合同开始时的障碍期权价格（t=0），由（3）给出，只有当资产价格轨迹保持在两个障碍内时，该价格才取非零值。为了便于说明，图5显示了导致期权到期和积极有效的几种资产轨迹。[图5关于此处。]5.2 SubSim与标准MCS的模拟结果在我们的第一次数值实验中，我们考虑了一个双敲出障碍物选项，起始价格（现货）S=100，罢工K=100，以及恒定的上下障碍物L=90和U=110。如果在期权有效期内（[0，T]）资产价格轨迹跨越上下限障碍，则双重淘汰期权将失效。在任何其他情况下，支付到期日计算为普通欧洲看涨期权（即P=（ST-K） +，其中Sti是终端资产价格）。该选项在时间段[0，T]内以等距时间0=T<T<…<tN=1，带频率t=t/N，其中N=250（一个财政年度的大致交易日数）。我们进一步假设基础资产的漂移为常数u=0.1。

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2022-6-9 17:51:23

为了观察高波动性的影响，我们将σ的值改变为趋势不同的值，其对数间隔在σmin=0.2和σmax=0.4之间。利息数量，合同开始时的公平期权价格（t=0）由P=P exp给出-ZTr（t）dt, （35）式中，P是（3）给出的时间段结束时的期权价值，估计值为（25），e-RTr（t）dt是到期日的贴现因子tN=t tot=0，r（t）是利率，在本例中假设利率为常数，r=0.1。首先，我们使用SUFIDM（每个子集m=50000个样本）来估计期末PEO产生正收益的可能性，即pE≈ ^pSubSimE和期权价格，P≈BPSUFFISM=BPSUFFISME-rT.（36）表1给出了从SUFIDM算法的100次独立运行中计算出的估计值的平均值及其CV。正如预期的那样，随着资产波动率σ的增加，产生正收益的事件变得越来越少（例如，如果σ=0.4，则pE≈ 2 × 10-7）因此，这种选择变得更加便宜。图6中的右图显示了SubSim使用的样本M的平均总数（基于100次运行）与波动率σ。所获得的趋势再次被预期：随着σ的增加，概率Pe变小，因此，（19）中的子集合数量L增加，从而导致样本总数（20）增加。[关于此处的表1。]接下来，我们使用MCS来估计PEAN和P。为了确保两种方法的公平比较，对于σ的每个值，MCS使用的样本总数与SUFIDM中相同。执行概率^pmcsean和期权价格bpmcs=bPMCSe的蒙特卡罗估计的平均值-rT及其CV如表1所示。^pmcseandbpmcss的平均值与^psubsimeandbpsubime的平均值大致相同，这证实了subim估计值几乎没有偏差。

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2022-6-9 17:51:28

然而，CV的差异很大。即，δ（^pSubSimE）和δ（bPSubSim）分别大大小于δ（^pMCSE）和δ（bPMCS）。波动性越大，这种影响越明显。例如，如果σ=0.4，那么SUFIDM的效率大约是MCS的20倍，即SUFIDM平均生成的估计值是MCS的20倍，其中精度由CV衡量。如第3节末尾所述，这一结果源于这样一个事实，即SubSim比MCS更能有效地估计稀有事件的小概率，如果波动性较大，则具有正回报的事件很少见。为了直观地看到，随着波动性的增加，SubSim的表现如何优于MCS，在图6的左图中，我们绘制了CVδ（^pMCSE）/δ（^pSubSimE）和δ（bPMCS）/δ（bpsubim）与σ的比率。由于SUFIDM和MCS估计的平均值大致相同，CV的比率大致为相应标准误差的比率。从图形上看，SUFIDM在估计执行概率和期权价格方面优于MCS的情况是，对应的δ（^pMCSE）/δ（^pSubSimE）或δ（bPMCS）/δ（bpsubfim）值位于水平线y=1上方（图6中的虚线）。在这个水平上，这两种方法将显示CV测量的相同精度水平，因为δMCSwould等于δSubSim。我们注意到，由于Bothline（对于^Pand^pE）位于y=1水平以上，SubSim在所有检查案例中都优于MCS。[图6关于此处。]在第二次模拟测试中，我们使用不同的水平增加了样本数tom=200000，用于上下势垒。我们考虑更多样本的原因是，不仅要将SUFIDM与MCS进行比较，还要与多级蒙特卡罗进行比较（见第5.3小节），其中m=200000是在原始屏障选项数值实验中考虑的。

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2022-6-9 17:51:31

为了保持公平的比较，我们使用与SUFIDM相同数量的样本进行MCS测试。图7的上图绘制了四个级别的上下载波，SubSim和标准MCS之间的CV与基础资产波动率的比率。值得注意的是，对于波动率值高达0.25的情况，这两种方法具有可比的CV（SUFIDM优于表3中报告的标准MCS，但并不显著），这提供了证据表明，对于低波动率资产，这两种方法产生了非常准确的结果。这一结果并不令人惊讶，因为SubSim是由construction设计的，用于处理执行概率极低的问题。[图7关于此处。]然而，随着波动性的增加，SubSim在所有障碍水平上都优于原始MCS，尤其是在L=90和U=110（接近S的障碍）和σ的情况下≥ 0.40（高波动性资产），SUFFIM的效率是标准MC的50倍；对于较低的σ水平，SubSim仍优于MCS。5.3 SUFIM与MLMC的模拟结果在本节中，我们将SUFIM与多级蒙特卡罗方法（Giles，2008b，a）的性能进行比较，这两种方法都用于定价双淘汰障碍物选项，其中两个固定障碍物设置在四个不同的水平，而所有其他参数与第5.2小节中的相同。最初的多级MCSmethod是为单淘汰障碍期权以及其他奇异衍生品定价而开发的，因此我们为第二障碍添加了一个组件，以便同时容纳双障碍期权（见附录B和C）。资产t=0时的价格为S=100，执行价格为K=100，时间-增量为t=h=t/n，其中n表示屏障选项的离散监测点数量。

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2022-6-9 17:51:34

在MLMC的情况下，n在级别之间变化，因为它是常数M和级别l的函数，其中l=0，1，2，五十、屏障在60到90（下）和110到140（上）之间以10的增量取四个不同的值。扩散方程的漂移等于u=0.10，而波动率（扩散系数）在0.05和0.45之间变化，取在此间隔内线性间隔的九个混凝土值。最后，我们对终端支付进行贴现的无风险利率是已知的，并确定为r=0.10。图7底部的图表绘制了针对资产波动性的四个级别障碍的SubSim和MLMC之间的CV比率。对于t=0时远离资产价格的障碍（即分别由实线和虚线表示的[60，140]和[70，130]），MLMC产生的结果比SubSim更准确。然而，我们注意到，随着资产波动性的增加，子公司的业绩有所改善，接近MLMC的业绩，但没有超过它。当L=90和U=110（虚线/虚线）以及当L=80和U=120（虚线）且标的资产的波动率高于0.25时，SubSim的表现优于SMLMC。在这两种情况下，t=t时非零支付的概率非常小（表1），因此，与标准MCS或MLMC相比，SUFIDM的使用提供了更准确的结果。我们在这里获得的证据进一步支持了第5.2节中的发现，即补贴是对高波动性资产的障碍期权进行定价的有效技术，尤其是当障碍接近基础资产的初始价格时。附录D中的表2和表3分别给出了^P{MCS，M LM C，SubSim}（三种方法中每种方法的t=0时的期权价格）和CV{MCS，M LM C，SubSim}的精确值。

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2022-6-9 17:51:37

为了可视化，我们还将这些结果绘制在图8和图9.6中。结论在本文中，我们开发了一种新的随机模拟方法，用于定价障碍期权。该方法基于子集模拟（SUFIDM），这是一种非常有效的算法，用于估计罕见事件的小概率。利用SUFIDM效率的关键观察是，障碍期权价格可以写为期权执行概率和特定条件预期的函数，这两者都可以由SUFIDM有效估计。对于高波动性资产上的贝利尔期权，SubSim尤其有利，因为合同在到期前保持有效的可能性很小。我们首先将提出的SUFIDM方法与标准蒙特卡罗模拟（MCS）进行比较，以表明SUFIDM总是优于MCS，并通过一系列数值示例证实了这一点。此外，我们还表明，标的资产的波动性越高（即期权执行的概率越小），SubSim相对于MCS的优势就越大。接下来，我们将我们提出的方法与Giles（2008b）中介绍的多层蒙特卡罗（MLMC）模拟进行比较。尽管MLMC总体表现优于SUBSFIM，但我们发现SUBSFIM仍然比MLMC更有效，在基础资产波动率较高且门槛设置接近资产起始价格的情况下，MLMC的效率是通过变异系数（CV）来衡量的。因此，我们提出的方法是对MLMC的补充，可以更有效地处理障碍选项设置的特殊情况。参考ST。G、 Andersen、T.Bollerslev、F.X.Diebold和H.Ebens。股票收益率波动率的分布。《金融经济学杂志》，61（1）：43–762001。一、 Au和J.Beck。通过子集模拟估计高维小故障概率。

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2022-6-9 17:51:41

概率工程力学，16:193–2072001。S、 Au K和Wang Y。利用子集模拟进行工程风险评估和设计。John Wiley and Sons，2014年。P、 Baldi、L.Caramellino和M.G.Iovino。一般障碍期权定价：使用大偏差的数值方法。《数学金融》，9（4）：293–3211999年。C、 Bandi和D.Bertsimas。稳健的期权定价。《欧洲运筹学杂志》，239（3）：842–8532014。D、 R.Beaglehole、P.H.Dybvig和G.Zhou。走向极端：纠正奇异期权估值中的模拟偏差。《金融分析师杂志》，53（1）：62–681997年。P、 P.Boyle和Y.Tian。一种明确的差别定价方法。《应用数学金融》，5（1）：17–431998年。P、 P.Boyle和Y.Tian。在CEVprocess下为回溯和障碍选项定价。《金融与定量分析杂志》，34（2）：241–264，1999年。M、 Brodie、P.Glasserman和S.Kou。离散路障选项的连续性校正。《数学金融》，7（4）：325–3491997年。P、卡尔和A.周。对冲复杂障碍期权。2002年，C.Chiarella、B.Kang和G.H.Meyer。随机波动下障碍期权价格的评估。《计算机与数学与应用》，64（6）：2034–20482012。Z、达达桑吉。外汇障碍选项：行业量化的综合指南。Springer，2015年。D、 Davydov和V.Linetsky。CEV过程下的路径依赖期权定价和套期保值。《管理科学》，47（7）：949–9652001。E、 Derman和I.Kani。屏障选项的输入和输出：第1部分。衍生工具季刊，2:55–67，1996年。E、 Derman和I.Kani。屏障选项的输入和输出：第2部分。衍生工具季刊，3:73–80，1997年。R、 J Elliott、T.K.Siu和L.Chan。关于带有regimeswitching的障碍期权定价。计算与应用数学杂志，256:196–2102014。B Eraker。

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2022-6-9 17:51:45

差异模型的Mcmc分析及其在金融中的应用。《商业与经济统计杂志》，19（2）：177–1912001年。五十、冯和V.莱因茨基。L'evy过程模型中离散监控障碍期权和可违约债券的定价：一种快速希尔伯特变换方法。《数学金融》，18（3）：337–3842008。G、 Fusai和M.C.Recchioni。离散载体期权定价的求积方法分析。《经济动力与控制杂志》，31（3）：826-8602007。G、福赛、D.I.亚伯拉罕和C.斯加拉。离散载波选项的精确解析解。《金融与随机》，10（1）：2006年1-26日。H、 Geman和M.Yor。定价和对冲双障碍期权：概率方法。《数学金融》，6（4）：365–3781996年。R H Gerlach、C WS Chen和N YC Chan。金融市场风险价值的贝叶斯时变分位数预测。《商业与经济统计杂志》，29（4）：481–4922011。M、贾尔斯。使用Milstein格式改进了多级蒙特卡罗收敛。斯普林格，2008a。M、 B.贾尔斯。多级蒙特卡罗路径模拟。运筹学，56（3）：607–61720008b。P、格拉斯曼。《金融工程中的蒙特卡罗方法》，第53卷。SpringerScience&Business Media，2013年。P Glasserman和J Staum。屏障选择刺激的一步生存条件。运筹学，49（6）：923–9372001。P Glasserman、P Heidelberger、P Shahabuddin和T Zajic。多级分裂可预防罕见事件概率。运筹学，47（4）：585–6001999。A、 Golbabai、L.V.Ballestra和D.Ahmadian。一种高度精确的有限元方法，用于为离散双障碍期权定价。计算经济学，44（2）：153–1732014。C、 Guardasoni和S.Sanfelici。在股票波动率和跳跃下，障碍期权的快速数值定价。《暹罗应用数学杂志》，76（1），2016年。J、 C.船体。

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2022-6-9 17:51:49

期权、期货和其他衍生品。皮尔逊，美国，2009年。M、 Jeannin和M.Pistorius。由一类L'evy过程驱动的计算价格和Greeksof障碍期权的转换方法。《定量金融》，10（6）：629–6442010。G、杰维特。外汇衍生品交易商学校。John Wiley&Sons，2015年。五十、 S.Katafygiotis和K.M.Zuev。几何洞察解决高维可靠性问题的挑战。概率工程力学，23:208–2182008。S、 G.寇。期权定价的跳差模型。《管理科学》，48（8）：1086–11012002年。S、 G.寇。离散屏障和回望选项。运营研究与管理科学手册，15:343–3732007。S、 G.Kou和H.Wang。双指数跳差模型下的期权定价。《管理科学》，50（9）：1178–11922004。G、 Lian，S-P.Zhu，R.J.Elliott和Z.Cui。时间相关L'evy过程下离散载体期权的半分析估值。《银行与金融杂志》，75:167–1832017。J、 S.Liu。科学计算中的蒙特卡罗策略。Springer Verlag，纽约，2001年。D、 Luenberger和R.Luenberger。定价和对冲障碍期权。斯坦福大学投资实践，EES-OR，1999年。R、 C.默顿。理性期权定价理论。《贝尔经济与管理科学杂志》，4（1）：141–1831973年。N、 Metropolis、A.W.Rosenbluth、M.N.Rosenbluth、A.H.Teller和E.Teller。由快速计算机进行的状态方程计算。《化学物理杂志》，21:1087–10921953。一个菲利波夫和一个格里克曼。通过wishart过程的多元随机波动性。《商业与经济统计杂志》，24（3）：313–3282006。N、兰贝里奇和A.A.潘特洛斯。区域切换跳变扩散过程下优先级的高阶有限元格式。计算与应用数学杂志，300:83–962016。C、 P。

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2022-6-9 17:51:53

罗伯特和G.卡塞拉。蒙特卡罗统计方法。Springer Verlag，纽约，2004年。W、 Schoutens和S.Symens。具有随机波动率的列维市场中奇异期权的蒙特卡罗模拟定价。《国际理论和应用金融杂志》，6（8）：839–8642003。P、 V.舍甫琴科和P.德尔·莫拉利。使用顺序蒙特卡罗对障碍期权进行估值。《计算金融杂志》，20（4）：107–135，2017年。J R Stroud和M S Johannes。24小时高频波动率的贝叶斯建模和预测。《美国统计协会杂志》，109（508）：1368–13842014。B、 A.Wade、A.Q.M.Khaliq、M.Yousuf、J.Vigo Aguiar和R.Deininger。关于Crank的光滑-Nicolson方案和pricingbarrier方案的高阶方案。计算与应用数学杂志，204（1）：144–1582007。Z、朱和F.De Hoog。复杂障碍结构期权定价的完全耦合解算法。《衍生品杂志》，18（1）：2010年9月至17日。K、 M.Zuev和L.S.Katafygiotis。具有延迟拒绝的改进Metropolis-Hastings算法。概率工程力学，26:405–4122011。K、 M.Zuev、S.Wu和J.L.Beck。一般网络可靠性问题及其子集仿真的有效解决方法。概率工程力学，40:25–352015。R、 Zvan、K.R.Vetzal和P.A.Forsyth。障碍期权定价的Pde方法。《经济动力与控制杂志》，24（11-12）：1563-15902000。附录A MMA从目标分布FZT取样到从目标分布fz（z | Ei）取样-1），MMA生成具有平稳分布fz（z | Ei）的马尔可夫链-1). 也就是说，如果我们让Z（j）∈ 工程安装-1为当前状态，则生成下一个状态Z（j+1），如下所示：1。生成候选状态Υ=（Υ，…，ΥN）：（a）对于每个k=1。

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2022-6-9 17:51:57

，N，生成ψk~ q（ψ| U（j）k），其中q是对称的，q（ψ| U）=q（U |ψ），单变量建议分布，例如，以U（j）k为k分量的高斯分布。（b）计算接受概率：ak=min（1，fk（ψk）fk（U（j）k）），（37），其中fk是Uk的边际PDF，fU（U）=QNk=1fk（Uk），U，不被认为是独立的。（c）设置Υk=ψk，概率为ak，U（j）k，概率为1- ak。(38)2. 接受或拒绝候选国：U（j+1）=Υ，如果Υ∈ 工程安装-1，U（j），ifΥ/∈ 工程安装-1.（39）B障碍期权的生存概率障碍期权的定价是一个首次通过时间问题，我们对基础资产的价格轨迹首次跨越预先规定的障碍感兴趣。现在，假设U>沙L<分别是上下屏障，则可以通过其离散形式来近似（3）中屏障选项的存活指示函数-1Yi=0I{μMi≤U∧ ^mi≥五十} （40）式中，^Miand^mi分别为（2）in[0，nh]的最大值和最小值，T=nh或h=T/n是离散网格上的时间步长大小。方程（40）的值为1，当且仅当每次都满足^Miand^mi的条件，即离散问题的步骤，否则乘积（40）变为零，期权到期无价值。遵循Glasserman（2013）（特别参见第6.4节和示例2.2.3）的规定，我们通过公式化以下问题来采样S的最小值和最大值：M（t）=max0≤u≤tS（u）（41），其中^Mh（n）=max{S（0），S（h），S（2h），…，S（nh）}（42）S在[0，nh]上近似的最大值，m（t）=min0≤u≤tS（u）（43），其中^mh（n）=min{S（0），S（h），S（2h）。

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