让我们x一个整数n∈ N、 我们首先定义τ=T/n，其中T是期权的到期日，然后我们建立一个长度为n步的二叉树τ. 如果我们将（0，0）标记为对应于值S=S的起始节点，那么在i个时间步（i=0，1，…，n）之后，离散过程可能位于对应于值SSi，j=se（2j）的节点（i，j）（j=0，1，…，i）之一-i） σ√τ. （4） 因此，从Si，jat time ih开始，过程可能在时间（i+1）h跳到值Si+1，j+1或值Si+1，j，概率为p和1- p，其中pis定义的asp=erτ- 杜- d（5）和u=eσ√τ=d-1.然后通过应用经典的反向归纳法获得时间0时的欧洲和美国价格。我们现在发展了Chang&Palmer（2007）和Lin&Palmer（2013）中描述的一些论证。我们考虑具有较低门槛的数字看涨期权的情况，其他具有单一门槛的数字期权的情况类似。根据Reimer&Sandmann（1995）的观点，我们可以根据期权价格的二项式系数找到一个封闭形式的公式，然后使用Lin&Palmer（2013）中建议的正态分布近似二项式分布，以便在渐近展开中确定系数。我们首先强调，我们需要以下两种类型的低载波L的数字看涨期权的二项式价格：1。L<K的向下和向内看涨期权；2.L>K的向下和向外看涨期权。在这两种情况下，二项式公式是可管理的，并且允许简单的处理。

然后，通过使用相应的普通数字看涨期权的二项式公式，可以找到L<K的下行和传出数字看涨期权以及L>K的下行和入内数字看涨期权的误差的渐近展开。让我们首先介绍两个量，这两个量在下文中起着关键作用，如Chang&Palmer（2007）和Lin&Palmer（2013）所定义，我们称之为无赖自然对数。数量克尼斯被设定为Kn=1- 2fraclog（s/K）2σ√τ-N（6） 其中，对于每个实数x，x的分数部分定义为frac（x）=x-bxc，其中bxc表示x之前的最大整数。我们观察到Knis是对数刻度中K的位置相对于两个相邻终端股价的度量。事实上，如果我们定义jK整数，那么sn，jK-1=sujK-1dn-jK+1<K≤ Sn，jK=sujKdn-那么jKKn=-1如果logk是节点logsn，jk-1成熟时，如果两个节点之间的对数K为对数Sn，jk，则Kn=0-1和对数Sn，jkat到期日（即，它是到期前第一个时期的节点）和如果logk是节点logsn，则Kn=1。我们现在描述一个类似的量，对应于我们所称的下势垒L自然对数。首先，我们将树结构上的“有效障碍”称为“L”，这通常不同于合同障碍L。让我们假设JL是达到“L”所需的上升次数。我们定义Ln=frac（2lL），其中lL=logLs2σ√τ+n。那么有效势垒＠L可以写成＠L=su＠jLdn-jL，其中jL=jL+（1）- n） ，其中jl=b2llcn=0，如果有效屏障不是终端股价，1，如果有效屏障是终端股价。数量自然对数∈ [0,1]在对数标度中测量L相对于两个相邻股票价格的位置，其中一个是到期时的节点，另一个是到期前第一时间的阳极。

在特殊情况下Ln=0和Ln=1我们得到，有效势垒L正好位于树的一个节点上（关于这一点的更多详细讨论，请参见Lin&Palmer（2013））。我们现在需要介绍一些符号，如Reimer&Sandmann（1995）所述。我们将πd（n，j，~jL）定义为在时间点t按单位支付的证券在时间点0的价格，如果时间点n的资产价格等于Sn，j=sujdn-jand如果有一对（i，l）和i∈ {0，…，n}和l∈ {0，…i}，这样Si，l=suldi-L≤~L，否则为零，即πd（n，j，~jL）=e-rTE[SnT=Sn，j·我≤NL≤i:Si，l=suldi-L≤~L]=e-rTP（SnT=Sn，j；我≤ NL≤ i:是的≤其中（Snti）i=0,1，。。。，n、 ti=i时对于每1，τ。。。，n、 表示Sih的离散近似值，因此特别是Sntn=SNT是ST的离散近似值。为了计算（7），我们首先需要计算二叉树中到达最终股价Sn的路径Zd（n，j，~jL）的数量，j在接触或穿过有效屏障后L.反射原理（见Feller（1968））产生了数字Zd（n，j，~jL），即每j=0。。。，n等于zd（n，j，~jL）=新泽西州, 如果j≤■jL，njL-J, 如果jL<j≤ 如果j>2，则为2~jL，0。（8） 我们现在可以证明以下命题：命题1二项式价格Cdi-数字（s，K，T，L，n）指的是一个向下和向内的数字看涨期权，其屏障L<K<sis等于toCdi-数字（s、K、T、L、n）=e-rtjlxi=jKnjL- 我pi（1- p） n-i、 （9）证据。

让我们用G（Sn，j）表示节点Sn，j处数字看涨期权的支付，即G（Sn，j）=1，如果Sn，j≥ K、 0，如果Sn，j<K.（10），那么下跌和数字看涨期权在时间0时的价格等于toCdi-数字（s、K、T、L、n）=e-rTE[G（SnT）·我≤NL≤i:Si，l=suldi-L≤~L]=e-rTnXj=0E[G（SnT）SnT=Sn，j我≤NL≤i:Si，l=suldi-L≤~L]=nXj=jKπd（n，j，~jL）=e-rTnXj=jK“新泽西州pj（1）- p） n-林俊杰≤■jL+njL- Jpj（1）- p） n-jjL<j≤2jL#=e-rTjLXj=jK+1njL- Jpj（1）- p） n-j、 （11）最后一个等式来自于这样一个事实：这里我们假设L<K（即jL<jK），因此第一个sum的贡献消失。所以证据是完整的。现在我们推导出了L>K的向下和向外数字看涨期权的价格，我们称之为Cdo-digital（s，K，T，L，n），作为普通数字看涨期权的二项式价格与L>K的下行和内置数字看涨期权的二项式价格之间的差异。让我们从普通数字看涨期权的二项式价格开始，我们用Cdigital（s，K，T，n）表示。如果资产价格等于Sn，j=sujdn，我们用π（n，j）来表示证券在时间0的价格，它在时间T支付一个单位-jandotherwise nothing，即π（n，j）=e-rTE[SnT=Sn，j]=e-rT新泽西州pj（1）- p） n-j、 如前所述，我们用G（Sn，j）表示节点Sn，j处数字看涨期权的支付，参见（10）。

因此，普通数字看涨期权在0时的价格等于（s，K，T，n）=e-rTE[G（SnT）]=e-rTnXj=0E[G（SnT）SnT=Sn，j]=nXj=jKπ（n，j）=e-rT“nXj=jK新泽西州pj（1）- p） n-j#。（12） 现在，从命题1的证明中，我们知道，L>K（即jL>jK）的下行和数字看涨期权的二项式价格可以写成asCdi-数字（s、K、T、L、n）=e-rT“~jLXj=jK新泽西州pj（1）- p） n-j+~jLXj=~jL+1njL- 我pj（1）- p） n-因此我们可以陈述以下结果：命题2，二项价格Cdo-障碍物L>K的向下和向外数字看涨期权的数字（s，K，T，L，n）等于toCdo-数字（s、K、T、L、n）=e-rT“nXi=~jL+1镍pi（1- p） n-我-~jLXi=~jL+1njL- 我pi（1- p） n-我#。证据Cdo的价格-然后，通过将（12）中给出的价格Cdigital（s，K，T，L，n）减去价格Cdii，获得L>K的下行和数字买入期权的数字（s，K，T，L，n）-（13）中给出的数字（s，K，T，L，n）。现在我们给出了显式的序系数√在（3）中定义的CRR二项式误差的渐近展开式中，对于带有障碍L的数字看涨期权的价格，其思想是使用命题1和命题2给出的二项式价格的封闭形式公式，然后使用引理4进行近似。Lin&Palmer（2013）中的第1篇，关于二项分布与正态分布的近似。我们可以陈述以下结果：定理3在n期CRR二项模型中，障碍L<K的欧洲数字看涨期权价格的二项误差ErrCRR（n）为：o对于下行和内部数字看涨期权：ErrCRR（n）=e-rT“（~AKn+~ALn）√n+（~B+~B）(Kn）+B千牛Ln+~B(n#+on 3/2！o对于向下和向外的数字看涨期权：ErrCRR（n）=e-rT“（~CKn+~CLn）√n+（~D+~D）(Kn）+D千牛Ln+~D(n#+on 3/2！。常数列表在附录A中延期。

让我们首先考虑命题1中给出的下行和数字通话选项的二项式价格，即isCdi-数字（s、K、T、L、n）=e-rtjlxi=jKnjL- 我pi（1- p） n-i、 （14）根据Lin&Palmer（2013）中的方程式（5.1），我们可以写出（14）如下-数字（s、K、T、L、n）=e-rT1- pp！N-2jLjL-jKXi=0镍pn-i（1）- p） i.（15）现在，通过应用Lin&Palmer（2013）中的项（1）的渐近展开式（5.7），可以得到（15）的渐近展开式-pp）n-2)jL和termP)jL的Lin&Palmer（2013）中的渐近扩展（5.3）-jKi=0镍pn-i（1）- p） i.向下和向外数字看涨期权的渐近展开现在很简单。事实上，它可以从downand In期权的渐近展开式和相应的vanilla期权的渐近展开式中推导出来，可以在inChang&Palmer（2007）中找到。注4定理3表明√ErrCRR（n）的渐近扩展是由于障碍物的位置和删除线相对于树节点的位置。为了得到order n的算法，我们需要设置Kn=0和Ln=0。这意味着在对数标度中，走向K必须位于成熟时两个节点之间的中间位置（即，它应该是成熟前最后期的节点），屏障L必须位于树的节点层上。我们现在陈述以下结果：定理5在n期CRR二项模型中，障碍L>K的欧洲数字看涨期权价格的二项误差ErrCRR（n）为：o对于向下和向外的数字看涨期权：Err（n）=e-rT“（~E+~ELn）√n+（~F+~F）Ln+~F(n#+on 3/2！o对于向下和向内数字看涨期权：Err（n）=e-rT“（~G+~GKn+~GLn）√n+（~H+~H）(Kn）+HLn+~H(n#+on 3/2！，附录A中的常数列表已推迟。

通过类似于定理3的证明，我们需要在这里找到Proposition 2中发现的向下和向外的数字通话的二项式价格的符号展开式。为了做到这一点，我们在Lin&Palmer（2013）中应用了（5.7）、（5.11）和（5.15）。然后，通过考虑普通数字通话和下行和下行数字通话的交感展开的差异，得到下行和in case。备注6术语Kndoes没有出现在定理5中down和outoption的展开式中。直观的原因是，在这种情况下，L>K，而且如果股价高于L，因此高于K，则期权仍然有效，因此K的位置没有影响。注7在定理5中发现的L>K的向下、向内、向下和向外数字看涨期权的误差展开中，不可能完全消除阶数的贡献√nby设置Ln=0和Kn=0。事实上，秩序是恒定的√n这是不能为空的。为了得到一个ordernis算法，将L和K设置为Ln=0=然后，Knand显式地计算相乘的常数系数√以便将其减去二项近似价格。定理3和定理5建议我们如何在二叉树格式中设置障碍L和罢工K，以便得到一个N阶算法。第4节给出的数值例子增强了这一理论结果。不幸的是，对数字双障碍期权先前推理的扩展并不简单，因为在这种情况下，不存在可管理的CRR二项式价格封闭式公式。处理这个问题的一种可能性是使用完全不同的方法。Wetried将Gobet（2001）中的理论结果推广到不连续支付，该结果使用偏微分方程技术研究了一般连续支付函数上双障碍期权的CRR二项式近似误差。

我们希望获得订单的分配√n可以明确地写为依赖于两个不同的来源：障碍物的位置和不连续点相对于树节点的位置。目前，我们能够在这个更复杂的情况下给出CRR二项近似误差的上界，但我们将其交给未来的工作。4数值结果定理3和定理5关于CRR二项式近似误差的渐近展开式，表明如果在对数空间中下势垒L正好位于树的一个节点上（即。Ln=0），走向K在成熟时位于两个节点之间（即。Kn=0）。为此，我们在这里采用了Apolloni等人（2013）（BIL）中介绍的二项式插值格，用于对具有单一障碍的数字期权进行定价。BIL程序是一种有效的算法，用于我们现在快速回顾的双屏障看涨期权和看跌期权的定价。其目的是确定时间步长这两个节点的成熟度在树的下半部分。那么，如果τ=t是具有n个步骤的CRR树的标准时间步，需要设置t=H- l2kσ（16） 其中k=&h- l2σ√τ’（17）和H=对数H和l=对数l。我们在这里回忆起dxe，对于每个x∈ R、 表示不小于X的最小整数。然后是时间步（16）中定义的t必须取一些特定值，以匹配L和H，这意味着t/∈ N

为了达到“接近”时间0，需要再增加两步长度t，以获得有效时间t<0和时间t>0（见图1），从而将程序的时间步数设置为n=bTTc+2。图1：双屏障选项的二项式插值晶格网格。由于我们不知道初始价格是否是晶格的一个点（通常不是），所以（0，s）处的近似期权价格由涉及价格的时间和空间上的合适插值提供，这些插值由标准反向归纳法计算，时间为tand t。准确地说，我们在tandt中选择下面的两个点和上面的两个点。sis处的价格通过图1中用空圆圈表示的价格空间中的一个格兰奇四点插值获得，此类价格通过在时间上用平方表示的节点处的价格线性插值获得。有关更多详细信息，请参阅Appalloniet al.（2013）。然后，我们可以很容易地使BIL算法适应具有单个屏障的数字选项的情况。事实上，我们只需要修改（17）中定义的k的选择和时间步长在（16）中定义，屏障L是树的一个节点（特别是我们将其设置为成熟时的节点），走向K位于成熟时两个节点之间（即，它是倒数第二个周期的节点）。我们设置k=log，然后将整数k定义为以下k=&k- l2σ√τ\'+，（18）使时间步长t现在由t=~k- l2σk！。（19） 这个调整程序的时间步数，我们称之为“调整后的BIL”，设置为n=bTtc+2。

事实上，时间0的价格是通过反导，并在时间和空间上进行插值得到的，包括时间t=0和时间t=2的一些特定价格至于BIL算法。备注8使用（18）中的k选项，使时间步长在（19）中定义了t，我们能够在对数空间中构造一个网格，其中屏障L是成熟期的节点，走向K是倒数第二期的节点。但是我们要强调的是，在调整后的BIL算法中，仅仅在L和K之间建立一个二元网格是不够的，但是我们需要将它扩展到K之上，这很简单。这与BIL算法在定价双障碍期权时所做的工作存在结构性差异：在这种情况下，我们只需要在障碍和H之间设置网格。我们现在给出一些数值结果，以便比较使用标准CRR算法获得的单障碍数字期权和使用调整后的BIL算法获得的单障碍数字期权的价格。我们特别研究了两种情况下的向下和向外数字看涨期权：第一，当L<K时（第4.1节）；其次，当NL>K时（第4.2节）。down和in case提供了类似的结果，所以我们省略了它。4.1 L<KWe的向下和向外数字看涨期权考虑一个向下和向外数字看涨期权，其下限L=60，strikeK=100，初始股票价值等于s=150。其他参数为：r=0.1、σ=0.25和T=1。在图2中，我们绘制了通过使用CRR二项式近似获得的欧洲价格和使用Black和Scholes公式计算的真实价格，即CBSdo-数字（s，K，T，L，r，σ）=e-rT“Φ（d）- Φ（d）sL！1.-2rσ#，（20），其中附录A中定义了D，Φ（·）是标准正态分布函数。

我们观察到二项式价格在真实价格附近广泛振荡，这是由于L的位置以及K相对于树节点的位置。很明显，算法的收敛速度是有序的√n、 图2:CRR二项近似值。L=60、K=100、s=150、r=0.1、σ=0.25和T=1的淘汰数字看涨期权。在图3中，我们绘制了使用调整后的BIL算法获得的价格。我们在这里指出，在x轴上，我们报告了与CRR二项式近似值对应的n个时间步数。事实上，我们记得，在调整后的双算法中，我们定义了新的时间步长n，与n不同，但数量级相同。现在没有振荡，收敛是有序的：由L和K引起的振荡消失，收敛是单调的。图3：调整后的二项式插值晶格。以L=60、K=100、s=150、r=0.1、σ=0.25和T=1的数字看涨期权进行淘汰。在表1中，我们报告了使用CRR算法和Adjusted BIL算法获得的价格。在第一列中，我们列出了二项式近似的n个时间步数。使用（20）中给出的Black和Scholes公式计算真实价格。L<K<sn CRR真实调整后BIL100 0.883147 0.878791200 0.879006 0.878732400 0.880340 0.878667 0.878700800.876786 0.8786841600 0.878863 0.8786763200 0.877873 0.878671表1：敲出L=60、K=100、s=150、r=0.1、σ=0.25和T=1.4.2向下和向外数字看涨期权L>KWe现在考虑敲出K=60的向下和向外数字看涨期权，lowerbarrier L=100，初始股价s=150。其他参数为：r=0.1、σ=0.25和T=1。

在图4中，我们绘制了欧洲CRR二项式价格和真实价格，由以下Black和Scholes公式给出-数字（s，K，T，L，r，σ）=e-rT“Φ（d）-sL！1.-2rσΦ（d）#，（21）其中，附录A中定义了d。我们观察到，在这种情况下，振动小于L<K的情况，这是因为走向K的位置对误差扩展没有影响。事实上，当股票价格高于L并因此高于K时，期权仍然有效，因此K相对于树节点的位置没有影响。然后是秩序√nis只因L的位置，如定理5所述，和一个常数项。然而，从数值计算结果来看，常数项的阶数为10-3，所以它真的不会影响错误。但收敛速度仍然很慢，即CRR算法具有顺序性√n、 图4:CRR二项近似值。K=60、L=100、s=150、r=0.1、σ=0.25和T=1的淘汰数字看涨期权。在图5中，我们绘制了使用调整后的BIL算法获得的欧洲价格，以及（21）中给出的Black和Scholes价格。我们观察到这里的收敛是单调的，因为二项式网格的构造使得下边界正好位于一层节点上。那么这个过程就是有序的。图5：调整后的二项式插值晶格。K=60、L=100、s=150、r=0.1、σ=0.25和T=1的淘汰数字看涨期权。在表2中，我们报告了通过CRR算法和调整后的双边算法获得的下限L>K的下行和出局数字呼叫期权的欧洲价格。通常，n表示CRR二项近似的时间步数。

使用（21）中给出的Black和Scholes公式计算真实价格。K<L<sn CRR真实调整BIL100 0.855913 0.844983200 0.846415 0.845304400.849497 0.845484800 0.846188 0.845659 0.8455711600 0.846107 0.8456153200 0.846252 0.845637表2：K=60、L=100、s=150、r=0.1、σ=0.25和T=1的剔除欧洲数字看涨期权价格。注9：调整后的双算法的收敛速度具有有序性的理论证明是Appelloni等人（2013）定理3和定理5中命题1的直接结果。事实上，在调整后的BIL算法中，我们通过在时间tand t对一些选定的CRR价格进行适当的插值，得到（0，s）中的价格，如BIL算法的标准版本（见图1）。但插值规则通过CRR近似选定节点上的连续时间价格来保留犯下的错误。因此，如果这些节点上的CRR二项式近似误差为n阶，那么调整后的BIL算法仍然为n阶。5结论我们给出了与标准CRR树相关的近似误差的显式渐近展开式，用于单障碍数字期权的定价。理论结果建议我们如何设置一个二项式算法，使误差扩展中的最大贡献项，即有序√n（其中n∈ N是算法的时间步数），为空。通过数值例子，我们得到了一个有效的晶格程序。将推理扩展到双屏障数字选项的情况并不简单。我们的想法是使用基于偏微分方程技术的不同方法，从理论上研究CRR二项式近似误差。我们发现了错误的上限，但结果仍然是局部的，所以我们将其应用到未来的工作中。感谢作者感谢L教授。

Caramellino和A.Zanette教授的有用评论和宝贵帮助，以及K.Palmer教授参与讨论。附录AWe在此报告定理3和定理5中出现的常数列表：d=logsK+（r+σ）Tσ√T、 d=d- σ√T，d=logLsK+（r+σ）Tσ√T、 d=d- σ√T，d=logsL+（r+σ）Tσ√T、 d=d- σ√T，d=logLs+（r+σ）Tσ√T、 d=d- σ√T，α=r-σ2σ, ^α = α +σ,β =σ- 4σr+12r48σ，β=-β -σr，^gi=2T（^αdi1+^β√T）+2^α√T-di1！(1 - di1），i=1,2,3,4gi=2T（^αdi2+^β√T）+2^α√T-di2！(1 - di2），i=1,2,3,4G=s√2πe-d（^g）- g） ，g=s√2πsL！-1.-判定元件-d（^g）- g） ，g=s√2πe-d（^g）-KLg），G=s√2πe-d（^g）-KLg），A=4√th（d，d），A=4√th（d，d）+2x√2πe-d1-吉隆坡！，A=4√T（h）(-D-d）- h(-D-d） )-2秒√2πe-d1-吉隆坡！，嗨（x，y）=sL！-2rσDr+σ2σ！iΦ（x）-sKe-rTLr-σ2σ!我Φ（y）！，对于i=0，1，2，B=G- G+Ih（d，d），B=B- G、 B=G- G+Ih（d，d），B=B- G、 B=G+G- G+Ih(-D-d）- Ih(-D-d） ，B=B- G、 I=4β+ασ！logsL！T、 C=2s√2πsL！-1.-2rσe-dσ√T，C=s√2πe-dd-KLd！，C=s√2πe-dd-KLd！，C=（C）- C） ，D=s√2πe-dσ√T-C、 D=C，D=D+D，E=8th（D，D）+C，E=8th（D，D）+（3C+C），E=8th（h(-D-d）- h(-D-d） )- C+（3C+C），~A=sL！1.-2rσe-D√2π，~A=-2A- 4α√TΦ（d）sL！1.-2rσ，~B=sL！1.-2rσ“ge-D√2π- IΦ（d）#，B=sL！1.-2rσ-DE-D√2π，~B=sL！1.-2rσe-D√2π[2d- 4α√T]，~B=sL！1.-2rσ“e-D√2π(-2d+8α√T）+8αTΦ（d）#，c=e-D√2π，c=-判定元件-D√2π，~c=d+dd+2d- 4d+（2）- dd- d）√T6σr+T d2σr，c=~ce-D√2π，~C=C-~A，~C=-~A，~D=c-~B，~D=c-~B，~D=-~B，~D=-~B，~E=-氖-D√2π+sL！1.-2rσe-D√2π，~E=E-D√2π+sL！1.-2rσe-D√2π+ 4α√Φ（d）！，~F=e-D√2πg-Dn+sL！1.-2rσe-D√2πdN- g！+Φ（d）IsL！1.-2rσ，F=e-D√2πdn+sL！1.-2rσe-D√2π钕- 4.nα√T~F=-判定元件-D√2π+sL！1.-2rσe-D√2πd- 4α√T-sL！1.-2rσΦ（d）8αT，~G=-~E，~G=c，~G=-~E，~H=c-~F，~H=c，~H=-~F，~H=-■F.ReferencesAPPOLLONI，E.，GAUDENZI，M.，ZANETTE，A.（2013）阶跃双势垒期权的二项式插值晶格方法。提交。

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