出于类似的原因，一些作者将波动风险的市场价格设定为零。然后，赫斯顿模型的偏微分方程由（5）Vt+σSσVSS+ρvσSVSσ+vσvσ+rSVS+κ（θ）给出-σ） Vσ- rV=0，其中S∈0，Smax选择Smax>0时，σ∈ [σmin，σmax]带0≤ σmin<σmax和t∈ [0，T]当T>0时，在Smax处施加一个近似的人工边界条件。一类Black Schole方程的人工边界上施加近似边界条件所引起的误差在[KN00]中得到了严格的研究。最终条件和边界条件（我们将分别讨论）取决于所选选项。对于欧式幂次看跌期权，我们有最终条件v（S，v，T）=max（K- S、 0）p（6）与功率p∈ N.对于本文提出的高阶有限差分格式，走向S=K处最终条件（6）的低正则性在实践中可能会降低数值收敛阶。为了保持高阶收敛，可以小心地平滑初始条件（参见[KTW70]），或移动数值网格，以避免罢工落在网格点上，如[TR00，DF12a]中所建议的那样。

在第5节中报告的数值实验中，我们使用了后一种方法。我们对[DF12a]中的（5）应用以下变换，^S=lnSK, τ=T-t、 y=σv，u=erτVK，其中^S∈h^Smin，^smaxi，选择^Smin<0且^Smax=lnSmaxK.然后，我们引入一个（非常平滑的）缩放函数^S=^（x），用x围绕^S=0进行缩放∈h~n-1.^Smin, φ-1.^Smaxi、 设置f=-uτ我们从（5）下面的二维椭圆问题中得到，（7）φxf=-vy~nxuxx+~nxuyy- ρvy~nxuxy- κθ -vyv k xuy+hvy k xx+vy- R~nxuOx，其中（x，y）∈ Ohm := [xmin，xmax]×[ymin，ymax]，xmin<xmax和ymin<ymax。3.椭圆问题高阶紧致格式s的推导我们首先定义x方向和y方向的均匀网格，G:={（xi，yj）∈ Ohm | xi=xmin+i(x） ，yi=ymin+j(y） ，0≤ 我≤ N、 0≤ J≤ M}，（8）在哪里x=（xmax）- xmin）/N和y=（ymax）- ymin）/M是每个方向的步长。具有o我们确定了网格G的内点。在这个网格上，我们通过（xi，yj）中连续解u的离散近似来表示∈ G.使用标准c中心差分算子Dcxin x方向和Dcyin y方向，以及标准二阶中心差分算子Dx x方向和Dyn y方向，对于k=x，y，我们有UK=DckUij-(k） UKK+O(（k）,（9） 安杜克=DkUij-(k） UKKK+O(（k）,uxy=DcxDcyUij-(x） uxxxy-(y） uxyyy+O(十）+O(十）(y）+ O(y）+ O(十）Y,（10） 在i=0的网格点（xi，yj，…），N和j=0，M我们称之为高阶方案，如果其一致性误差为O阶(十）对于Y∈ O(x） 。如果我们以二阶精度离散（9）和（10）中出现的更高导数uxxx，uyyy，uxxxy，uyyy，uxxx和uyyy，我们得到一个四阶一致的方案，因为它们都乘以二阶因子。

如果这可以通过使用紧凑的九点计算模板实现，用户界面-1，j+1Ui，j+1Ui+1，j+1Ui-1，瑞，瑞+1，瑞-1，j-1Ui，j-1Ui+1，j-1.,3.1高阶导数的辅助关系我们继续给出（9）和（10）中出现的三阶和四阶导数的辅助关系。高阶导数的表达式可以通过以形式化的方式对偏微分方程（7）进行微分而不引入额外的误差来获得。关于x的微分方程（7），然后求解uxxx=-6аxаxxvyf-2~nxvyfx+~nxxx~nx+（vy）-r） ~nxxvyux+（vy）-r） ~nxvyuxx- xuxyy-6κθ-vyvyаxаxxuy-h4ρПxx+2κθ-vyvy~nxyy- 2ρаxuxxy- 3xxxuyy=：Axxx。（11） 利用该方程，我们可以仅使用九点模板的点，使用中心差算子计算Axxx的离散化，其一致性误差为二阶。对偏微分方程（7）进行两次微分，分别对应于x，然后求解uxxxx，我们得到uxxxx=vy~nxxxx+4（vy-r） [~nxаxxx+аxx]vyаxux+~nxxx~nx+（vy）-r） ~nxxvyuxx+（vy）-r） ~nxvy-~nxx~nxuxxx- 6аxаxxuxyy- ~nxuxxyy-6κ(θ-vy）[2аxx+аxаxxx]vyuy-h4ρ~nxxx+~nxx+12κ(θ-vy）аxаxxvyiuxy-h8ρПxx+2κ（θ）-vy）~nxvyiuxy- 2ρφxuxxxy-3аxаxxx+6аxx乌伊-12uxx+6uxuxxxvyf-12аxаxxvyfx-2~nxvyfxx=：Axxxx- 2ρxuxxxy。（12） 如果使用方程式（11）和中心差分算子，则术语axxxx可以在紧凑模板上以二阶展开。

求解方程n（12）得到uxxyy=2ρk xAxxxx-2ρxuxxxx。（13） 为了找到uyyy的方程，我们首先将偏微分方程（7）与y进行一次微分，然后求解uyyy，这导致Touyy=-~nxuxxy-y~nxuxx-2ρаxuxyy-2κ(θ-vy）+vvyuyy+2κvyuy+~nxx~nx+（vy）-r）-2ρvvy~nxuxy+аxx+аxyаxux-vyfy=：Ayyy。（14） 术语Ayyy可以使用中心微分算子以紧凑的方式离散为二阶。对方程（7）进行两次关于y的微分，然后求解uyyyy=-~nxuxxyy-yxuxxy-2v+2κ（θ）-vy）vyuyyy-2ρ~nxuxyyy+4κvyuyy+2аxx+2аxyаxuxy+~nxx~nx+（yv-r）-4ρvyvаxuxyy-vyfyy=：Ayyyy-2ρ~nxuxyyy。（15） 使用方程式（14）和中心差算子，可以在紧凑模板上以二阶离散术语Ayyyy。等式（15）相当于touxyyy=~nx2ρayyy-νx2ρuyyy。（16） 对偏微分方程（7）进行一次关于x的微分，一次关于玩具的微分，然后求解uxxyLeads touxxxy=hаxxxyаx+2аxxyiux+аxyuxx-yuxxx-h6κ（θ）-vy）Фxаxxvy+3аxаxxyiuy+6κаxаxxvyuy- 3аxаxxuyy+~nxxx~nx-4ρ~nxxy+（vy-r） νxxvy+2κνxvy奢华的-2ρИxuxxyy-h2κ（θ）-vy）φxvy+4ρφxx+φxyiuxy- ~nxuxyyy+（vy）-r） ~nxvy-2ρxyuxxy-6аxаxxvyfy-2~nxvyfxy=：Axxxy- ~nxuxyyy。（17） 使用方程式（11）和（14）以及x方向和y方向的中心差分算子，可以在紧凑型模具上按二阶展开AxxYat。

解方程（17）求uxyyyyyyy=Axxxy~nx-~nxuxxxy=：axyyyy-~nxuxxxy。（18） 最后，表达式axyyyy也可以在紧凑的模具上以二阶离散化。3.2离散方案的推导为了推导圆盘-混凝土方案，我们在偏微分方程（7）中使用方程（9）和（10），给出了φxf=a+ε+vy(x） ~nxuxxxx+vy(y） ~nxuyyy+ρvy(x） ~nxuxxxy+ρvy(y） ~nxuxyy+κ（θ）-（vy）( y） ~nx6vuyyy-[vy~nxx+2（vy-r） ~nx](x） uxxx，（19）其中：-vy~nxDxUij+~nxDyUij- ρvy~nxdcxyuij- κθ-vyv k xDcyUij+vy~nxx+vy- R~nxdcxuij与误差项ε∈ O(十）如果Y∈ O(x） 被使用了。方程（19）是我们不同离散化方案推导的基础。Ais仅使用紧凑型模具。我们有四个四阶导数，即uxxx、uyyy、uxxx和uxxyy不等式（19），它们相互作用，但只有三个辅助关系来代替这些高级导数。

这些关系由（12）、（15）和（17）给出，它们是在第3.1节中推导出来的。这导致了离散方案的四种不同版本。对于第1版方案，等式（11）、（14）和（15）在等式（19）中使用，然后（18）使用d，最后应用（13），这给出了φxf=A+vy[2](x） ~nx-(y） ]24~nxAxxxx+vy(y） ~nxayyy+ρvy(y） ~nxAxyyy+κ（θ）-（vy）( y） ~nx6vAyyy-[vy~nxx+2（vy-r） ~nx](x） Axxx+vy[(y）-(x） ~nx]24~nxuxxxx+ε。（20） 对于第2版方案，等式（19）中使用等式（11）、（14）和（12），然后（17）使用d，最后（16）应用，这将给出φxf=A+vy(x） ~nxAxxxx+vy~nx[2(y）-(x） ~nx]Ayyyy+ρvy(x） νxAxxxy+κ（θ）-（vy）( y） ~nx6vAyyy-[vy~nxx+2（vy-r） ~nx](x） Axxx+vy~nx[(x） ~nx-(y） [uyyy+ε。（21）对于第3版方案，方程式（11）、（14）、（12）和（15）在方程式（19）中使用，然后应用方程式（18），这将给出φxf=A+vy(x） ~nxAxxxx+vy(y） ~nxayyy+ρvy(y） ~nxAxyyy+κ（θ）-（vy）( y） ~nx6vAyyy-[vy~nxx+2（vy-r） ~nx](x） Axxx+ρvy[(x） ~nx-(y） [uxxy+ε。（22）对于第4版方案，方程式（11）、（14）、（12）和（15）在方程式（19）中使用，然后应用方程式（17），这将给出φxf=A+vy(x） ~nxAxxxx+vy(y） ~nxayyy+ρvy(x） νxAxxxy+κ（θ）-（vy）( y） ~nx6vAyyy-[vy~nxx+2（vy-r） ~nx](x） Axxx+ρvyаx[(y）-(x） ~nx]uxyyy+ε。（23）备注1等式（20）-（23）表明，当ρ=0，v=0，或(y）≡ (x） νx.约束(y）≡ (x） 然而，φx意味着函数φ是线性函数，不符合缩放函数的条件。特别是，选择（x）=x将产生[DF12a]中讨论的方案（在统一网格上），因此我们将重点关注一个非线性的Zoom。在方程（20）至（23）中，我们观察到所有这些方案都具有二阶形式的一般一致性误差。但另一方面，每个版本只有一个剩余的二阶项，它与uxxx、uyyy、uxxxy或uxyyy相乘。

所有其他项均以四阶精度离散。我们称之为本质上的高阶光盘重定时。为了通过忽略剩余的二阶项来衡量我们得到的四个离散方案的整体潜力，更好地理解这些项的行为至关重要。为此，我们直接在方程（7）中使用x和y方向上的（二阶）中心微分算子计算数值解，并通过数值微分（近似）获得剩余二阶项中出现的高导数Uxxx、uyyyy、Uxxy和Uxyyyy。图1不带O的剩余项((x） 第1版（左上角）、第2版（右上角）、第3版（左下角）和第4版（右下角）的系数图1显示了方程式（20）-（23）中出现的二阶剩余项，没有((x） ）系数，其中ρ=-0.1，ζ=2.5，p=1，和Smin=49.6694。这些余项的值决定了我们能否达到四阶一致性，至少在给定的最小步长之前是这样。因此，剩余项的低值是有利的。我们观察到，所有图都有一个共同点，即余项的最高值出现在边界X=0附近。在图1左上角的图中，我们看到了版本1的余项。这个术语的绝对值是目前为止最高的。这个余项的l-范数是8.8×10-1.这表明对该格式的数值研究可能不会导致四阶一致性误差。在右上角的图中，我们有版本2的余项，同样没有O((x） ）因素。最高绝对值仅为4×10左右-3，与版本1的剩余项相比，它非常低。

该图的l-范数为3.1×10-这表明版本2在数值研究中比版本1产生四阶一致性错误的几率要高得多。左下方的图显示了版本3的剩余期限。此图的值高于版本2，但低于版本1。l-范数为6。6 × 10-3它仍然有机会产生良好的一致性错误。右下角的图显示了版本4的剩余期限。该图的绝对值非常低，仅为5×10左右-3.该余项的l-范数为3.1×10-4.这表明我们很有可能在版本4中生成具有四阶精度的方案。在特殊情况下，则φ（x）=x和x=我们有(y）≡ (x） 和所有四个版本产生完全相同的HOC方案，f=A+vyhaxxx+vyhayyy+ρvyhaxxy+κ（θ-vy）h6vAyyy-vy- RhAxxx+ε，如本例所示，e Axxxy=axyyyy。[DF12a]中讨论了这种没有缩放的特殊方案。备注2本节中方案的推导可以修改，以适应其他随机波动率模型，如GARCH扩散模型（3）或3/2模型（4）。使用这些模型，偏微分方程（1）的结构保持不变，只需相应修改导数的系数。同样，必须修改（11）-（18）中导数的系数。用修改后的表达式中的这些系数代替计算误差，可以得到如上所述的等效近似值。根据图1中的结果，我们的结论是，相对论2和相对论4似乎是获得小误差的最佳选择。版本3的剩余项仍然具有较低的值，而版本1似乎只能生成二阶方案。

我们对四个版本的格式进行的数值实验表明，实际上版本3在精度和稳定性方面取得了最好的结果。因此，在本文的剩余部分中，我们将重点讨论这个特殊的方案。抛物问题的4个高阶紧致格式我们现在考虑f=-uτ，我们用Ui，j（τ）表示其解u（xi，yj，τ）在时间τ的半离散近似。4.1半离散模式在本节中，我们定义了形式为（24）X^z的s emi离散模式∈G[Mz（^z）τUi，j（τ）+Kz（^z）Ui，j（τ）]=0，每个点z的时间τ∈oG、 在哪里oG表示网格G的内点。我们使用x=对于定义为f G的部分h>0，y=h，如（8）所示。

我们发现Kz（^z）和mz（^z）是在z附近的紧凑模板上定义了九个值的运算符∈oG.在z点使用（22）中的中央差分算子∈oG导致^Ki+1，j±1=^x（vy-r） 24小时-vyаxаxx16h+（vy-r） ~nx24h+vy洎xx48h-vy~nx24h-vy~nx24hνxκ（θ）- vy）24小时κПx（θ）-vy）24V±κ（θ）- vy）（vy）-r） ~nx24vy±κ（θ）- vy）~nxx48v（vy）-r） ~nx24y±v~nx±xκ（θ）- vy）（vy）-r） 24伏κ (θ- vy）аxаxx16v+ρvyаxx12h±vаxx-vy~nx6h+ρ±аxаxx（vy）-r） ±vy~nxx（vy）-r） νxx±vyаxxx48аx±-r） 12小时±~nx（vy-r） 12h±vyаxx8hаx±аxκvyаxаxx24小时-νxκ（θ）- vy）6hvvyаxx16аxvy k x4h±v k x24yvyаxаxxxi，（25）^Ki-1，j±1=-^Ki+1，j±1-vy~nx12h-vy~nx12hνxκ（θ）- vy）12vhνxκ（θ）- vy）12vh- ρvy~nx3h+ρ±~nx（vy）-r） 6h±vyаxx4hаx±vyаx（vy-r） 6hvyаxаxx12h,（26）^Ki±1，j=vy~nx12hh~nxx（vy）-r）νx（vy）-r） 12小时±（vy-r） ~nx12h±yhv洎xxxxh~nxxv24y-νxκ（θ）- vy）12vy-5vyаx12h±5vyаxx24h+vаx12y~nxhv24y-νx（vy）-r） 6vy+vy~nxxx±~nxh（vy-r） νxxx±vyаxаxx8h+（vy-r） ~nx~nxxvyhаxxаxxx16аx±hκ（θ）-vy）~nxx24vyνxh（vy）-r） νxx6vy±xhκ（θ）-vy）24vy+ρvy~nx3hxxvy 6h~n+ρv k xx4аxh~nxxvhv~nxx8аx+vаx-νx（vy）-r） 6yh（vy）-r） ~nxx6y±~nxκ（θ）- vy）3hv,（27）^Ki，j±1=аxаxx（vy）-r） ±~nxh（vy）-r） κ（θ）- vy）~nxx4vyνxhκ（θ）-vy）~nxxx8v-5vyаx12h+аxv12y-νxκ（θ）-vy）6yv+vyаx12hνxhκ12y±xhκ（θ）-vy）12vy5κПx（θ）-vy）12vh+vyаxаxx+κаx（θ）-vy）12vy+κφx±φxκ（θ）- vy）12vh±~nxh~nxxκ（θ）- vy）8v-vyаxаxxx+ρvyаx3h+ρ±vyаxаxx12hνx（vy）-r） 6h±h~nxκ（θ）- vy）~nxx4vyvyаxx4hаx+vаxаxxνx（vy）-r） 6h（28）和^Ki，j=vy k xаxxx-~nx~nxx（vy）-r）-vyаxаxx-~nxv6y-νxκ（θ）- vy）6vy-κνx+Пxκ（θ）-vy）3yv+5vyаx6h+5vyаx6h-（vy）-r） ~nx~nxx-vyаxxx+vyаx（vy）-r） 3vy-vаx6y+аxκ（θ）- vy）6vy- ρ2vy~nx3h+ρνx（vy）-r） 3y-vаxx2аx-v~nx-vаxаxx,（29）式中，^Ki，jis是Ui的系数，j（τ）。为了可读性，我们将子索引i分别放在φ的导数上，子索引j放在y上。类似地，我们有^Mi+1，j±1=^Mi-1，j1=±ρаx，^Mi，j±1=аx~nxh12y±~nxhκ（θ）-vy）12vy，^Mi±1，j=Фxνxh（vy）-r） 12vy±~nxh~nxx ρ~nxh12yand^Mi，j=2~nx-~nxh~nxx（vy）-r） 2vy-~nxhаxx+аxаxxxh- ρаxаxxh2y，（30）作为τUi，j（τ）。

使用z∈oG我们有kz（^z）=^Kn，nas以及Mz（^z）=^Mn，n（31）表示^z=（xn，yn）和n∈ {i-1，i，i+1}和n∈ {j-1，j，j+1}。因此（24）对应于平面上的线性系统oG.4.2边界条件的处理第一个边界是边界x=xmin，对应于原始问题S=0处的边界。对于这个界限，我们必须将时间T的期权价格折扣到适当的时间。考虑到变换τ=T- t和u=erτV/K这导致所有τ的狄里克莱边界条件u（xmin，y，τ）=u（xmin，y，0）∈ [0，τmax]和所有y∈ [ymin，ymax]。我们讨论的下一个边界是边界x=xmax，它对应于原始问题的S=smaxo处的边界。对于幂p的幂，我们有lims→∞V（S，σ，t）=0，我们在艺术边界Smaxby VS（Smax，σ，t）=0，VSS（Smax，σ，t）=0，VSσ（Smax，σ，t）=0，Vσ（Smax，σ，t）=0以及Vσ（Smax，σ，t）=0。使用（5）中的这些近似值- rV=0。使用τ=T- t和u=erτV/K产生uτ=0，因此对于所有τ，Dirichlet边界条件u（xmax，y，τ）=u（xmax，y，0）∈ [0，τmax]和所有y∈ [ymax，ymax]。（32）要讨论的第三个边界是y=Ymin和x的边界/∈ {xmin，xmax}，对应于σ=σmins的边界/∈ {Smin，Smax}。我们将使用方程（25）到（29）来处理这个边界，就像处理计算域的内部一样。这需要使用ghost points Ui-1.-1、用户界面，-1和Ui+1，-1在点（xi，y）处离散时∈ G fori=1，N- 1.所以我们需要一个四阶精确表达式来表示ghost points Ui，-1fori=0，N.我们使用以下外推公式，-1=4Ui，0- 6Ui，1+4Ui，2- 用户界面，3+O(y）对于i=0，N

当使用（30）中的等式时，相同的程序用于矩阵MH的重影点。我们讨论的最后一个边界是边界y=ymax和x处的边界/∈ {xmin，xmax}，对应于σ=σmaxs的边界/∈ {Smin，Smax}的未翻译问题。我们将该边界视为Ymin处的边界，并使用方程（25）至（29）。然后，当在点（xi，yM）处离散时，该方案使用∈ G表示i=1，N- 1、鬼点界面-1，M+1，Ui，M+1和Ui+1，M+1，对于i=1，N- 1.这意味着我们必须为重影点Ui，M+1，i=0，N.我们再次使用外推法，Ui，M+1=4Ui，M来近似这些重影点的值- 6Ui，M-1+4Ui，M-2.- Ui，M-3+O(y）对于i=0，N同样，在使用（30）中的方程时，同样的程序e用于矩阵MH的重影点。4.3时间离散化根据前面章节的结果，我们得到了形式为（33）P^z的半离散系统∈G[Mz（^z）τUi，j（τ）+Kz（^z）Ui，j（τ）]=g（z）对于网格g的每个点z，其定义见（8）和x=y=h，对于某些情况，使用h>0。函数g（z）在xmin和xmax的边界处只有非零值。我们使用表格的时间网格τ,τ,3τ, τ, 2 τ, 3τ, . . .,第一次的步长有步长τ和以下公式τ . 对于这前四个时间步，我们使用隐式Euler格式，得到p^z∈GMz（^z）+τKz（^z）Un+1i，j=P^z∈GMz（^z）Uni，j+对于每个网格点z，n=0,1,2,3的τg（z）∈ G.[Ran84]在处理非光滑初始条件时建议使用这种方法。在下面的时间步中，我们使用Crank-Nicolson typetime离散化，领先于toP^z∈GMz（^z）+τKz（^z）Un+1i，j=P^z∈GMz（^z）-τKz（^z）Un+1i，j+(τ） 带n的g（z）≥ 4在网格G的每个点z上。

我们观察到，由于Mx（^x）和Kx（^x）具有此属性，因此在紧凑计算模板上只有非零值。对于Crank-Nicols on时间离散化，对于φ（x）=x和ρ=0，该紧致格式在时间上具有二阶一致性，在空间上具有四阶一致性，否则在空间上具有本质上的高阶紧致性。5数值实验在本节中，我们使用（25）-（30）给出了紧凑s模式的数值实验结果，其边界条件在第4.2节中推导。如果没有另外说明，我们将使用以下默认模型参数κ=1.1，θ=0。15，v=0.1，r=ln（1.05），K=100，T=0.25。如第2节所述，转换后的欧洲（电力）的初始条件为givenbyu（x，y，0）=Kp-1最大值1.- e~n（x），0p、 （34）初始条件的不可微分点为xK=~n-1（0）。5.1缩放函数的选择在我们的数值实验中，我们使用缩放函数^S=^（x）=sinh（cx+c（1）- x） [TGB08]中提出的ζ，（35），其中c=asinh（ζ^Smin），c=asinh（ζ^Smax）和ζ>0。因此，初始条件的不可微分点为atxK=~n-1（0）=asinh（0）- 复写的副本- c=-asinh（ζ^Smin）asinh（ζ^Smax）- asinh（ζ^Smin）。使用cand的定义，可以将其重新排列为^Smin=sinhxKxK-1自（ζ^Smax）ζ.（36）因此，可以通过选择xKin合理界限以及选择Smax来设置^sminca，对于给定ζ，Smax给出了^Smax。选择XKC非常有帮助，因为如果非微分点在网格上，数值收敛阶在实践中可能会降低到2。因此，我们选择网格，使点xKin位于网格上两个连续gr id点的中间。

例如，在[TR00]中，已经提出了移动网格的程序。在报道的数值实验中，我们选择了最小值=Ke^Smin，Smax=2K，σmin=0.05，σmax=0.25。图2显示了参数ζ对放大方程（35）的影响，同时考虑了两种变换，^S=ln（S/K）和x=ν-1（^S）。与方程式（36）相比，xK的不同值（取决于ζ）的选择方式应确保S=0附近的值不会太明显。我们观察到，对于ζ>0的较小值，空间较小。那么ζ呢→ 0缩放功能正在接近线性变换^（x）=（^Smax）-^Smin）x+带x的^Smin∈ [0, 1]. ζ的值越大，我们就越关注围绕精确价格K的感兴趣领域。目的是为ζ找到一个“最佳”值，以便在实际计算中使用。ζ越大，K附近的误差越小，但另一方面，当缩放更大时，域的其他部分的误差会增加，因为K周围区域中网格点的数量增加会自动导致其他区域中网格点的数量减少，反之亦然。在areaaround K中的错误和err或域的其他部分之间必须有一个平衡。为了达到这一平衡，并因此获得ζ的go od值，应考虑收敛的总体顺序。我们预计数值收敛或阶数会随着ζ的增加而增加，然后在达到一定的“最佳”缩放强度后再次降低。0.2 0.4 0.6 0.8 1050100150200xSζ=2.5（xK=231.5/320）ζ=5（xK=223.5/320）ζ=7.5（xK=215.5/320）ζ=10（xK=211.5/320）图2 K=100.5.2数值收敛的不同缩放示例我们现在研究离散化为h的数值误差→ 抛物线网格比为0τ/h，使用ζ和ρ的不同值。

我们计算由等式（7）给出的变换问题解的近似值，然后将其转换回原始变量。对于相对的l-和l∞-误差图参考溶液在细网格上计算，href=0.003125。对于相对l-错误，我们使用Kuref- UklkUrefkland为l∞-我们使用Kuref的错误- Ukl∞,式中，Urefdenotes表示参考解，U表示近似值。我们预计错误会像O一样香港对于某些k，如果我们将误差的对数与网格点数量的对数进行对比，则该对数图的斜率给出了该模式的数值收敛顺序。由于转化问题的初始条件并非处处光滑，我们观察到，对数图并不总是产生一条直线，例如，对于普通选项。对于平滑的初始条件，err OR的对数曲线图给出了一条几乎为直线的曲线，例如功率卖出期权。下图所示的数值收敛顺序始终计算为误差点线性最小二乘的斜率。为了进行比较，我们还绘制了标准离散化（SD）的结果，这意味着在（7）和（x）中使用了标准中心差异运算符=^Smax-^Smaxx+^Smin。通过这种方式，这里考虑的所有离散化都在同一个空间网格上运行，可以进行有意义的比较。

我们使用τ=0.4h，尽管我们注意到数值收敛阶对抛物线网格比选择的依赖性很小。这与我们在下文第5.3.10110210310节中报告的数值稳定性研究结果一致-810-610-410-x中的网格点数量-方向相对l2误差ζ=2.5（3.87阶）ζ=5（4.29阶）ζ=7.5（4.11阶）ζ=10（3.75阶）SD（2.06阶）图3相对l误差Heston模型ρ=010110210310-510-410-310-210-x中的网格点数量-方向绝对l∞ 误差ζ=2.5（3.73阶）ζ=5（4.20阶）ζ=7.5（3.59阶）ζ=10（3.00阶）SD（1.72阶）图4绝对l∞-误差Heston模型ρ=0图3和图4显示了相对l-和l-的对数图∞-关于Heston-Hull-White模型（ρ=0）中参考解的近似误差，适用于g点数量不同且z oom不同的欧式Putoption。这样就可以观察到变焦的影响。在这种情况下，理论上的一致性顺序是四。从相对l-误差来看，我们观察到数值收敛阶在3.75到4.29之间变化，这与所有缩放的理论阶非常吻合。我们还可以看到，收敛阶上升，直到ζ=5，然后再次下降，所以ζ≈ 5似乎是最好的选择。当使用ζ=10时，始终获得最低的相对l误差。实践中更有用的错误可能是l∞-误差，因为它显示了参考解和近似值之间的最大差异。当查看图4时，我们会看到∞-误差和l误差的行为非常相似。收敛阶从3.00到4不等。20，同样具有ζ的最佳顺序≈ 5.

当使用最小网格时，ζ=5和ζ=10的误差几乎相同，但对于更粗糙的网格，ζ=10的误差显然也是最低的。对于这两种误差图，我们观察到，当观察粗糙网格时，变焦的影响最大，因为随着变焦的增加，误差会显著减小。与标准离散相比，HOC离散具有显著更低的误差值和更高的收敛阶。总体而言，选择ζ≈ 5对于Heston-Hull-White模型（ρ=0），就收敛阶而言，似乎是最佳选择。10110210310-810-610-410-x中的网格点数量-方向相对l2误差ζ=2.5（3.78阶）ζ=5（4.14阶）ζ=7.5（3.86阶）ζ=10（3.40阶）SD（2.06阶）图5相对l误差Heston模型ρ=- 0.110110210310-510-410-310-210-x中的网格点数量-方向绝对l∞ 误差ζ=2.5（3.63阶）ζ=5（4.09阶）ζ=7.5（3.59阶）ζ=10（3.00阶）SD（1.71阶）图6绝对l∞-误差Heston模型ρ=- 0.1在图5和图6中，我们绘制了相对l-和l∞-Heston模型中的欧式看跌期权错误，ρ=-0 .1. 这意味着理论上的一致性顺序只有两个，见等式（22）。我们在图5中观察到，相对l误差在3.40到4.14之间变化。这些值远远高于理论上的一致性顺序。事实上，使用版本3的dis-cretisation方案，我们获得了一个接近使用Heston-Hull-White模型的收敛阶。相对l误差的阶数在ζ=5之前再次上升，然后下降，但在使用ζ=10时，其值最低。l∞-图6中的错误行为类似于l∞-Heston Hull Whitemodel中存在错误。

这里的收敛阶值在3.00到4.09之间变化，ζ=5时的t值最高。使用最细网格时，使用ζ=10和使用ζ=5时的误差差异也非常小。在任意一个误差图中增加缩放的最大影响可以再次在网格周围看到，因为增加缩放会显著降低误差。与Heston-Hull-White模型类似，当选择ζ=5时，收敛或阶结果最好。对于麻烦者，我们可以再次看到，与标准离散相比，本质上高阶紧致离散具有显著更低的误差值和更高的收敛阶。10110210310-710-610-510-410-310-210-1 x中的网格点数量-方向相对l2误差ζ=2.5（3.55阶）ζ=5（3.84阶）ζ=7.5（3.44阶）ζ=10（2.92阶）SD（2.05阶）图7相对l误差Heston模型ρ=- 0.410110210310-510-410-310-210-x中的网格点数量-方向绝对l∞ 误差ζ=2.5（3.42阶）ζ=5（3.86阶）ζ=7.5（3.59阶）ζ=10（2.98阶）SD（1.68阶）图8绝对l∞-误差Heston模型ρ=- 0.4图7和图8显示了相对l-和l∞-Heston模型中的欧式看跌期权错误，ρ=-0.4. 误差的理论一致性顺序又是两个。在图7中，我们可以看到相对l-误差的收敛顺序从2.92到3.84，这明显高于理论顺序。对于较小的ρ值，收敛阶稍有恶化，但仍然比标准偏差的收敛阶好。正如预期的那样，当使用ζ=5时，最佳收敛阶将达到d，它仍然非常接近于4。从图8中，我们发现l∞-误差随着ρ值的降低，c的收敛阶降低。

收敛阶在2.98到3.86之间变化，其中ζ=5再次导致最高值，该值仍然接近4，因此高度高于c onsistencyerror阶的理论值。在前面的两个例子中，zoom在相对l-error和l-error上都有最高的优势∞-使用非常粗糙的网格时出错。对于相对l误差和THL∞-错误我们可以再次看到，与标准离散化相比，本质上的高阶紧致格式具有显著更低的错误值和更高的收敛阶。通过图3至图8，我们恢复了第3.2节中给出的数值观察结果，并证实了第3版导致了高阶紧致格式。对于所有讨论的欧式看跌期权，当使用ζ=5时，收敛阶的最佳结果是。该值似乎在K附近的误差和缩放的其他区域之间提供了良好的平衡。尽管该方案仅对Heston-Hull-White模型（ρ=0）具有四阶理论一致性，但应用表明，对于ρ6=0的Heston模型，我们也实现了接近四阶的数值收敛。我们现在考虑的是赫斯顿模型中的欧洲电力看跌期权。纯香草欧式果酱的唯一不同之处在于，最终的条件是转化后的功率p，见（6），转化后的功率p为（34）。

网格以与上面类似的方式移动，避免XKA成为网格点。10110210310-810-710-610-510-410-310-2 x中的网格点数量-方向相对l2误差ζ=7.5（3.85阶）ζ=10（3.99阶）ζ=12.5（4.08阶）ζ=15（4.08阶）SD（2.33阶）图9相对l误差功率选项赫斯顿模型ρ=0，p=210110210310-810-710-610-510-410-310-2 x中的网格点数量-方向误差相对l2误差ζ=7.5（3.22阶）ζ=10（3.30阶）ζ=12.5（3.36阶）ζ=15（3.40阶）SD（2.33阶）图10相对l误差功率选项赫斯顿模型ρ=-0.4，p=2可以清楚地看到，在图9和图10中，表示为ρ=0和ρ=-0.4当p=2时，对数-对数图中的直线比p=1的普通看跌期权中的直线更接近s直线，这可以用转换问题的初始条件更平滑来解释。对于功率p=2的Heston Hull White（ρ=0）功率输出，相对l误差的收敛阶为3.85到4.08，收敛阶为3.22到3。40用于Heston模型中的功率，ρ=-0.4，其中订单随着缩放强度的增加而增加。Heston模型中ρ=0和ρ=-考虑到理论顺序的差异，0.4不是很大。Sowe可以再次看到ρ的收敛顺序=-0.4远远超出了理论上的两个数量级。

我们可以看到ρ=0的HOC格式以及ρ=-0.4在误差值和收敛阶方面显著优于s标准离散化。10110210310-810-710-610-510-410-310-2 x中的网格点数量-方向相对l2误差ζ=7.5（4.04阶）ζ=10（4.05阶）ζ=12.5（4.10阶）ζ=15（4.10阶）SD（2.07阶）图11相对l误差功率选项赫斯顿模型ρ=0，p=310110210310-810-710-610-510-410-310-2 x中的网格点数量-方向相对l2误差ζ=7.5（3.50阶）ζ=10（3.56阶）ζ=12.5（3.63阶）ζ=15（3.69阶）SD（2.08阶）图12相对l误差功率选项赫斯顿模型ρ=-0.4，p=3在图11和图12中，我们可以看到Heston-Hull-White模型（ρ=0）和带有ρ=-当p=3时为0.4。图之间的差异并不像理论一致性误差顺序所显示的那样大。即使在Heston模型中ρ=-0.4该方案的理论一致性误差为二阶，根据缩放强度ζ，其收敛阶为3.50至3.69，而在ρ=0的Heston-HullWhite模型中，理论一致性阶为四阶，数值范围为4.04至4。10.在这两种情况下，标准离散化在收敛顺序和误差值方面都优于标准离散化。5.3数值稳定性研究在均匀网格的特殊情况下，即φ（x）=x，此处开发的方案简化为[DF12a]中给出的高阶紧凑方案，其中证明了ρ=0的无条件（冯·诺依曼）稳定性。[DF12b]中进行的额外稳定性分析表明，对于一般的参数选择，该模式也是无条件稳定的。

对于预先发送的非n均匀g rid模式，类似的冯·诺依曼分析（分析或数值分析）似乎遥不可及，因为放大因子的表达式非常强大，由两位数变量中的高阶多项式组成。为了验证通用参数格式的稳定性，我们进行了额外的数值稳定性测试。我们注意到，在我们的数值实验中，我们观察到了一种稳定的行为。我们计算了抛物线网格比c=τ/h表示网格宽度h。绘制平面内相关的相对l-范数误差，应允许我们根据c或高单元雷诺数（大h）发生的振荡来检测稳定性限制。[DF12a，DFJ03]中也使用了这种数值稳定性研究方法。我们仅在Heston模型中展示了欧洲Put选项的结果，因为功率在初始条件下会发生变化，并给出类似的结果。对于我们的稳定性图，我们使用c=k/10，k=1，10，以及x方向上网格点的降序序列，从六个网格点开始（从x开始）∈ [0,1]它跟在h后面≤ 0.2），并将每个步骤的点数加倍（h减半）。使用缩放参数ζ=5。h( t） /h2 0.01 0.02 0.03 0.04 0.050.20.40.60.8102468x 10-4图13ρ=0h时相对l误差的稳定性图( t） /h2 0.01 0.02 0.03 0.04 0.050.20.40.60.8102468x 10-4图14ρ=-0.4图13和14显示了Heston Hull White模型（ρ=0）和Heston模型（ρ=0）的稳定性图-0.4. 我们观察到，抛物线网格比c对相对l误差的影响很小，相对误差不超过8×10-4作为两个稳定性图的值。

我们可以推断，c上似乎没有一个稳定的条件。随着h值的增加，也会导致更高的单元雷诺数，误差会逐渐增大，数值解不会出现振荡。ρ=-0.1看起来类似（此处未显示），也不表示任何条件c或h。6结论我们提出了新的高阶比较差分方案，用于非均匀网格上的随机波动下的期权定价。所得到的方案是四阶精度的空间和二阶精度的时间相关性消失方案。在我们的数值收敛性研究中，我们还获得了期权定价中典型的非零相关性和非光滑性的高阶数值收敛性。在所有的数值实验中，一个比较标准的二阶离散化显著优于二阶离散化。我们已经进行了数值稳定性研究，这似乎表明该方案是无条件稳定的。在我们的数值实验中，我们观察到所有参数的选择都是稳定的。考虑将该方案扩展到美国n期权定价问题是很有意思的，因为早期行使期权是可能的。在这种情况下，我们必须解决一个自由边界问题。它可以写成一个线性互补问题，可以用这里给出的格式离散化。为了保持高阶收敛性，需要将高阶离散化与自由边界的高阶分辨率结合起来。

这个扩展超出了本文的范围，我们将其留给未来的研究。版本2和版本4的系数在本节中，我们给出版本2和版本4的半离散方案的系数。我们不包括版本1的系数，因为该版本在数值研究中总是导致二阶数值收敛误差。A.1第2版的系数当用中心差分算子在x方向和y方向离散方程（21）时，我们得到第2版方案的以下系数-1，j±1=vyаxаxx12h±yаxκ12h±аxκθr12vy-vy~nx12h-vy~nxx24小时±y k xκ+аxr12h±аxxκаxθ24v-vy k x24h±k xr24y~nxr12yyаxxκаxκПxθ12hvνxκθ24vνxκr12v+ρνx（vy）-r） ~nxx±vyаxаxxxv k x12yvyаxx±vаx24yνxκ±vy~nx4h±vy x（vy-r） 6h±vyаxаxx12h+аxκ（θ- vy）6hvi+ρh-vy~nx6hvаxаxx-vy k x k xx12hi，^Ki+1，j±1=-^Ki-1，j±1±y~nxκ6h-vy~nx6hκ~nxθ6hv±ρ~nx（vy-r） 3h±ρvy k x k xx6h-ρvy~nx3h，^Ki，j±1=-vyхx2h±yхxκ3hκПxθ3hv+v k x6yy k xhаxxκy k xhκаxx-νxκθ4vy-νxκθ6vy-vyаxаxxxh~nxκ6yhаxκаxxθr4vy-~nx~nxxr-v k x12y-yüxκ6vνxhκ12v+vyаxаxx+vyаxаxx±- hаxκаxxxθ8v+vyаx6h+аxκρvаxаxx±hаxκ（θ）- vy）~nxx4vyνx（vy）-r） 3hvyаxаxx6h+ ρvy~nx3h，^Ki±1，j=h k xxv12yhаxаxxxrhаxv12y±vyаx6h±vyаxаxx6h+аxr±hаxxr+vyаxxx-v k x12y±hаxxvаx24yhvyаxаxx-vyаx±hаxκаxxθ24vy+vyаxаxx±hvyаxxxxhvyаxx+vаx6y-~nxаxxr+κаxh k xκ±vyаxx6h±аxhv24yhаxκаxx±hаxаxxr-6vyκxvyθ~nxh~nxxr6vy-κПxθ12vy±hvy k xаxxx~nxr3hhvyаxxаxxx16аx-vyаx3h+ρhvyаx3hvyаxаxx6hi+ρvаx+vаxаxxhаxxvаxhv~nxxh~nx（vy）-r） ~nxx6y-νx（vy）-r） 6y±~nxκ（θ）- vy）3hv和^Ki，j=-κ~nx+vy~nx~nxxx-vyаxаxx-~nxκ+v k x6y-v k x6y-vyаxxx+2vyаx3h+vyаxh-2аxκθ3v+аxаxxr+аxаxxr+аxκθ2vy+yаxκ3v-~nxr-vyаxаxx-vyаxаxx-κПxθ2vy-vаx3y+аxκθ3vy+vyаx+vy xr3vy+ρ[-vаxаxx-v~nx-vаxаxx+аx（vy-r） 3y]- ρ2vy~nx3h，其中^Ki，jis是Ui的系数，j（τ）。