期权定价的路径适度偏差

2022-6-9 18:15:42

选项PRICINGANTOINE JACQUIER和KONSTANTINOS SPILIOPOULOSAbstract的路径中度偏差。我们为金融应用中常用的模型和相关的集成函数提供了路径中等偏差的统一处理。适当的缩放使我们能够将这些结果转换为小时间、大时间和尾部渐近，以进行区分，以及期权价格和实现变量。同时，我们强调了中等偏差率函数与其大偏差对应函数之间的一些直观关系；这些结果对于数值计算非常有用，因为大偏差率函数通常很难计算。1、简介我们为（多尺度）It^o差异的路径中度偏差开发了一个统一的框架，并将其应用于小时间、大时间和尾部渐近的差异和相关的集成函数。最初的动机是对[17]中证明的适度偏差的一种路径延伸，仅在小时间期权定价的背景下。更具体地说，我们考虑（1）dXt=-σ（Yt）dt+σ（Yt）dWt，dYt=f（Yt）dt+g（Yt）dZt，dhW，Zit=ρdt，起点（X，Y）=（X，Y）。对于0<ε，δ≤ 1，重定标过程Xε由（2）Xεt定义：=（Xεt，Yεt）：=δXεδt，Yεδt,是多尺度系统的解（3）dXεt=-εδσ（Yεt）dt+√εσ（Yεt）dWt，dYεt=εδf（Yεt）dt+√εδg（Yεt）dZt，从Xε=（δX，Y）开始，再加上dhW，Zit=ρdt。有人合理地认为，如果δ=1，（3）的小ε渐近对应于（1）的小时间渐近。等效地，如果我们允许ε和δ都趋于零，使得limεδ=γ∈ (0, ∞), 然后，（3）的小（ε，δ）渐近对应于（1）的标度大时间渐近。

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2022-6-9 18:15:46

因此，通过适当选择δ，可以通过（3）的小ε渐近来描述（1）的小时间渐近和大时间渐近。这样的渐近结果可以转化为期权定价的相应估计，这是数学金融中的一个有趣的数量。此外，金融应用中的另一个有趣的数量与适当函数H的formRtH（Xεs，Yεs）ds的积分泛函的渐近性有关。特别是，H（X，Y）=Y对应于所谓的实现方差。本文的重点是通过中等偏差镜头（MD）对这种近似进行量化，我们将分析三种情况。首先，考虑Xt：=limε↓0Xεt（在某种适当的意义上）和正函数h（·），使得limε↓0h（ε）=∞ 带limε↓0√εh（ε）=0，我们对ηεt的大偏差性质感兴趣：=Xεt- Xt公司√εh（ε），或Xε的等效中等偏差性质，以及作为推论的Xε，及其对eX期权价格的后果估计。Xε的中等偏差已在文献日期：2018年12月4日制定。K、 NSF DMS 1550918.2 ANTOINE JACQUIER和KONSTANTINOS Spiliopoulos在δ=1的情况下（1，14），以及在ε，δ↓ 0例【1、14、20、28】；我们在这里分别精确地将这些结果与（1）的小时间和大时间中等偏差结果联系起来，并为期权定价提供精确的结果。在过去十年中，数学金融文献中出现了大量大偏差的应用【8、9、12、13、16、24、31】，但中等偏差只是最近才被【17】引入。然而，[17]只考虑了小时间行为，这不是路径行为，并且基于假设X在任何时候都允许连续密度膨胀，小时间具有特定行为。

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2022-6-9 18:15:49

我们这里的方法允许我们在不需要这样的假设的情况下得出路径结果。其次，我们得到了一些积分泛函的中偏差原理，更精确地说，对于形式rε的量，我们得到了大偏差原理：=√εh（ε）Z·H（Xεs，Yεs）- H（Xεs）ds，对于某些函数H，其中H围绕其关于过程Y的不变分布的平均行为。我们还允许SDE（1）的系数既依赖于（x，y），也允许相对于y的一定增长（即我们不强加全局有界假设）。这构成了本文的主要理论结果，在第4节中介绍，并在第6-7节中得到证明。例如，当nh（x，y）=y时，这对应于实现方差的渐近性，并产生期权的估计值。文献[22]中也建立了相关的中等偏差结果，但H一致有界，这在许多应用中是不够的。我们的证明基于【10】到仓促控制表示的弱收敛方法，这使我们能够考虑潜在SDE模型和H的系数增长。最后，我们展示了如何将路径中等偏差应用于定量金融中使用的模型，并推导出期权价格的渐近性。同时，我们得到了大偏差和中偏差率函数之间有趣的联系。后者实际上表征了围绕其最小值的大偏差率函数的局部曲率。尽管这是直观的预期，但它表明可以使用中等偏差来获得大偏差渐近的近似值，并且在实践中是有用的，因为中等偏差率函数通常以二次方的闭合形式可用，而大偏差率函数通常不显式。

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2022-6-9 18:15:52

最后，我们提到，尽管本文中的结果主要针对X∈ R、实际定理适用于任何有限维，如[1、5、14、28]。我们将自己限制在这种环境中，完全是因为财务动机。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们回顾了文献中的小噪声路径中度偏差结果，并将其与金融模型的小时间中度偏差渐近性联系起来。在第3节中，我们回顾了limεδ=γ的慢-快系统（3）的小噪声中度偏差∈ (0, ∞), 并将其与相应的大偏差估计值联系起来。在第4节中，我们给出了关于积分泛函的中度偏差的主要新理论结果。第5节包含了我们的结果对期权价格渐近性的财务影响，第6-7节收集了综合函数模型偏差的证据，而附录A和B陈述了本文中使用的一些独立利益的结果。2、小噪声扩散的路径中等偏差我们首先考虑小噪声It^o扩散的路径中等偏差，如下【1、14、28】。通过适当的重定标度，我们可以统一和概括数学金融学中关于小时间中等偏差的几个最新结果，尤其是[17]中的结果。然而，在继续之前，让我们回顾一下大偏差原则的定义。定义2.1。

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2022-6-9 18:15:56

设P是波兰空间，P是（P，B（P））上的概率测度，我们称集合（Zε）ε∈P值随机变量的（0,1）具有率函数S的大偏差原理：P→ [0, ∞]和速度1/εif（1）对于每米≥ 0，集Φ（M）={ξ∈ P:S（ξ）≤ M} 是P.（2）的紧致子集 P、 lim-infε↓0εln P（Zε∈ G）≥ - infξ∈GS（ξ）期权定价的路径中等偏差3（3）对于每个闭合F P、 lim supε↓0εln P（Zε∈ F）≤ - infx公司∈FS（ξ）。本文将大量使用的一个事实是，定义2.1意味着对于正则集Γ B（P），即Γ是这样的，闭合cl（Γ）上的S的最大值与内部Γo上的S的最大值相同，我们有thatlimε↓0P（Zε∈ Γ) = - infξ∈cl（Γ）S（ξ）。现在考虑Rd值SDE（4）dXεt=bε（t，Xεt）dt+√εaε（t，Xεt）dWt，Xε=X∈ Rd，其中每个ε∈ （0，1），bε：R+×Rd→ Rd，aε：R+×Rd→ Md×m（实值d×m矩阵的空间）和W是一种标准的多维布朗运动，其值在经过适当过滤的概率空间上确定。我们还将确定一些任意时间范围T>0。

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2022-6-9 18:16:00

我们将使用具有独特强解且满足以下假设的形式（4）的差异：假设2.2。（i）当ε趋于零时，系数bε、aε和Dbε分别收敛于一些函数b、a和Db，在R+×Rd的有界子集上一致。（ii）系数bε、b∈ C0,1，aε，a在x中是局部Lipschitz，在ε中是一致的∈ （0，1）和t∈ [0，T]。（iii）存在C>0，因此对于所有t∈ [0，T]和x∈ Rd，最大值Tr公司aεaTε（t，x）, hx，bε（t，x）i, 最大值Tr公司aaT（t，x）, hx，b（t，x）i≤ C1+| x|,根据假设2.2，SDE（4）具有唯一的非爆炸性溶液和supt∈[0，T]| XεT-Xt |当ε趋于零时，概率收敛到零，其中X满足Xt=X+Rtb（s，Xs）ds。设h（·）为（0，1）上的连续函数，发散至原点处的单位，limε↓0√εh（ε）=0。将中度偏差过程ηε路径定义为（5）ηεt：=Xεt- Xt公司√εh（ε），对于所有t≥ 我们对C中{Xε，ε>0}的中偏差原理（MDP）感兴趣[0，T]；研发部, 这意味着在C中建立{ηε，ε>0}的大偏差原理（LDP）[0，T]；研发部. 下面的定理符合[1，5，14，28]的精神，后面的论点与[5，28]中的论点相似。定理2.3。在假设2.2下，族{ηε，ε>0}满足C（[0，T]；Rd）中的LDP（或{Xε，ε>0}满足TDP），速度h（ε）和速率函数（ξ）=inf（ZT | us | ds:u∈ L[0，T]；研发部, ξ=Z·Db（s，Xs）ξs+a（s，Xs）usds）。注意，如果aaT（t，x）在{Xs，s的路径上一致非退化∈ [0，T]}，那么我们可以写（ξ）=ZT公司˙ξs- Db（s，Xs）ξsTaaT（s、Xs）-1.˙ξs- Db（s，Xs）ξsds，ifξ∈ AC（[0，T]，Rd），ξ=0+∞, 否则其中AC（[0，T]，Rd）表示从[0，T]到Rd.2.1的绝对连续函数类。小时间中等偏差。

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2022-6-9 18:16:03

我们现在展示如何使用定理2.3来证明一类满足微分方程（6）dXt=-σ（Xt，Yt）dt+σ（Xt，Yt）dWt，dYt=f（t，Xt，Yt）dt+g（Xt，Yt）dZt，dhW，Zit=ρdt，4 ANTOINE JACQUIER和KONSTANTINOS Spiliopoulos，起点X=（X，y）。由于我们对小时间渐近性感兴趣，我们根据δ=1的（2）重新缩放（6），即我们考虑Xεt：=（Xεt，Yεt）：=（Xεt，Yεt）。这将产生系统dxεt=-εσ（Xεt，Yεt）dt+√εσ（Xεt，Yεt）dWt，dYεt=εf（εt，Xεt，Yεt）dt+√εg（Xεt，Yεt）dZt，起点Xε=（X，Y）。极限过程X：=limε↓0Xε是常数，几乎肯定等于（x，y）。现在定义（5）中的过程ηε，其中√εh（ε）趋于零，而h（ε）随着ε趋于零而趋于一致。在（4）的符号中，我们有（7）bε（t，x，y）=ε-σ（x，y）f（εt，x，y）和aε（t，x，y）=σ（x，y）0ρg（x，y）ρg（x，y）,其中，为方便起见，我们表示ρ：=p1- ρ. 然后，利用定理2.3，我们得到以下结果：命题2.4。如果（7）中的bε和aε满足假设2.2，σ（·），g（·）在（x，y）上不为零，则（xε）ε>0满足速度h（ε）和速率函数（φ，ψ）的路径MDP=2(1 - ρ） ZT公司˙φsσ（x，y）-2ρ˙φs˙ψsσ（x，y）g（x，y）+˙ψsg（x，y）ds，ifφ，ψ∈ AC（[0，T]，R）和（φ，ψ）=（0，0）+∞, 否则证据矩阵aa>（x，y）是可逆的，因为根据假设σ（·），g（·）在（x，y）上是非零的，所以定理2.3适用。我们主要对Xε分量的MDP感兴趣，这是通过收缩原理：推论2.5获得的。在命题2.4的假设下，{Xε，ε>0}满足速度h（ε）和速率函数i（φ）的路径MDP=2σ（x，y）ZT |˙φs | ds，如果φ∈ AC（[0，T]，R）和φ=0+∞, 否则证据

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2022-6-9 18:16:07

根据命题2.4和收缩原理【7，第4.2.1节】，（Xεt，Yεt）的第一个分量的MDP速率函数isI（φ）=inf{S（φ，ψ）：ψ∈ C（[0，T]，R），ψ=0}，可作为变分问题求解。对于固定的绝对连续轨道φ，对于某些常数C，静态路径ψ的欧拉方程为¨ψt=ρg（x，y）σ（x，y）¨φt，或|ψt=ρg（x，y）σ（x，y）˙φt+C。将其插入命题2.4中S（·）的表达式中，并在C上最小化，我们得到最小值在C=0，从而得出证明。备注2.6。设置T=1，并将ε理解为时间，推论2.5立即为我们提供了概率的小时间渐近。当x>0时，最小化问题在[0，1]上产生φt=xt作为最优路径，因此limε↓0h（ε）对数PXε√εh（ε）≥ x个= -x2σ（x，y）。2.2. 示例。期权定价的路径适度偏差52.2.1。局部随机波动率模型。考虑形式（6）的局部随机波动率模型，σ（t，Xt，Yt）=σL（t，Xt）ξ（Yt），并假设当ε趋于零时，局部波动率分量σL（εt，·）一致收敛于σL（·）。这与扩散型模型一致，但不适用于跳跃模型【18】。应用时间重新校准转换t 7→ εt屈服强度dxεt=-εσL（εt，Xεt）ξ（Yεt）dt+√εσL（εt，Xεt）ξ（Yεt）dWt，dYεt=εf（εt，Xεt，Yεt）dt+√εg（Xεt，Yεt）dZt，起点（Xε，Yε）=（X，Y）。很明显，当ε趋于零时，Xε=（Xε，Yε）几乎肯定会收敛到常数过程，等于tox=（X，Y）。选择h（ε）≡ ε-β、带β∈ （0，1/2），然后我们在假设2.2和命题2.4的假设下得到，特别是假设σL（x）ξ（x）6=0，ηε：=εβ-1/2（Xε- x）根据定理2.3，当ε趋于零时，满足LDP，因此xε满足速率函数i（φ）的推论2.5的MDP=σL（x）ξ（y）ZT˙φsds，如果φ∈ AC（[0，T]，R）和φ=0+∞, 否则2.2.2. 斯坦·斯坦。

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2022-6-9 18:16:09

考虑Stein-Stein[33]随机波动率模型：（8）dXt=-Ytdt+YtdWt，X=X，dYt=（a+bYt）dt+cdZt，Y=Y，d hW，Zit=ρdt。时间刻度为t 7→ εt，系统（8）读数Sdxεt=-ε（Yεt）dt+√εYεtdWt，Xε=X，dYεt=（a+Xεt）εdt+√εcdZt，Yε=Y，d hW，Zit=ρdt。很明显，当ε趋于零时，Xε=（Xε，Yε）几乎肯定会收敛到等于X=（X，Y）的常数过程。选择h（ε）≡ ε-β、带β∈ （0，1/2），我们得到ηε：=εβ-1/2（Xε- x）根据定理2.3，满足度a LDPasε趋于零，因此xε满足率函数i（φ）的推论2.5中的MDP=2yZTφsds，如果φ∈ AC（[0，T]，R）和φ=0+∞, 否则2.2.3. 赫斯顿。考虑赫斯顿随机波动率模型：（9）dXt=-Ytdt+pYtdWt，X=X，dYt=κ（θ- Yt）dt+ξ√YtdZt，Y=Y，d hW，Zit=ρdt，应用时间重缩放t 7→ εt，系统（9）变为dxεt=-εYεtdt+√εpYεtdWt，Xε=X，dYεt=κ（θ- Yεt）εdt+√εξpYεtdZt，Yε=Y，d hW，Zit=ρdt。很明显，当ε趋于零时，Xε=（Xε，Yε）几乎肯定会收敛到常数过程X=（X，Y）。再次选择h（ε）≡ ε-β、带β∈ （0，1/2），我们得到ηε：=εβ-1/2（Xε- x）满足度a LDPasε趋于零，xε满足率函数i（φ）的推论2.5的MDP=2yZTφsds，如果φ∈ AC（[0，T]，R）和φ=0+∞, 否则6 ANTOINE JACQUIER和KONSTANTINOS Spiliopoulos以及备注2.6，这对应于[17，定理6.2]中Heston模型的中度偏差状态，β=1/2- β.3、大时间中等偏差前一节考虑了随机It^o微分的小噪声扰动，这使他能够通过缩放完美地对系统的解进行小时间分析。我们在此研究（3）形式的适当多尺度差分，并展示其行为如何产生解的大时间渐近性。

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2022-6-9 18:16:14

考虑（10）dXt=-σ（Yt）dt+σ（Yt）dWt，dYt=f（Yt）dt+g（Yt）dZt，dhW，Zit=ρdt，起点X=（X，y）。对于0<ε，δ<1，一般重标度（2）产生（11）dXεt=-εδσ（Yεt）dt+√εσ（Yεt）dWt，dYεt=εδf（Yεt）dt+√εδg（Yεt）dZt，dhW，Zit=ρdt，如果δ=ε，那么（Xεt，Yεt）=（εXt/ε，Yt/ε），但更一般的时空变换（2）允许我们考虑εδ的情况→ γ ∈ [0, ∞). 对于0<ε，δ 1这在【20】的设置中，如果我们允许εδ的可能性，则更相关→ γ ∈ (0, ∞) 相关系数ρ6=0，即[28]的设置。为此，让我们做出以下长期假设：假设3.1。（i）函数σ（·）∈ Cα（R）对于某些α>0且存在常数0<K<∞, 0≤ qσ<1，使得|σ（y）|≤ K（1+| y | qσ）。（ii）函数f（·）是局部有界的，我们可以写出f（y）=-κy+τ（y），其中τ（·）是一个具有Lipschitz常数Lτ<κ的globallyLipschitz函数。此外，lim | y|↑∞f（y）y | y |=-κ.（iii）函数g要么是一致连续的，从上到下有界，要么是形式g（y）=ξyqgf或qg∈ [1/2，1），ξ为非零常数。在后一种情况下，我们还假设f（y）=κ（θ- y）。（iv）常数qσ和qg满足qσ+qg≤ 1、假设3.2。SDE（10）具有独特的强大解决方案。让LY表示时间/空间重定标之前Y过程的最小生成元，即LYh=fh+gh，（12），并让u（·）为LY对应的不变度量，在假设3.1下存在且唯一。带LIMε↓0εδ=: γ ∈ (0, ∞),设λ（y）：=-γσ（y）和λ：=ZRλ（y）u（dy）。然后，当ε趋于零时，Xε以概率收敛到X，这是一个经典结果，其中xt：=X+λt。最后，我们引入函数Φ，求解泊松方程（13）LYΦ（y）=-γ（λ（y）- λ) =σ（y）- σ, 其中zyΦ（y）u（dy）=0，其中σ：=RRσ（y）u（dy）。

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2022-6-9 18:16:17

在有界和非退化g的情况下，假设3.1意味着[29]中的定理1和2成立，提供了Φ的存在性和适当的光滑性，以及期权定价7增长的多项式路径中等偏差（In | y |）。在g仅与指数qg H¨older连续的情况下∈ [1/2，1）并且只能在零处变为零，引理A.2也持有相同的结论。为了说明定理3.3，我们需要知道δ、ε和1/h（ε）消失的相对速率。特别是，（14）ζ：=limε↓0ε/δ - γ√εh（ε）规定了ε/δ收敛和h（ε）趋于一致的相对速率。为了保持MDP，我们要求ζ是有限的。在特殊情况下，εδ=γ，然后ζ=0。以下观点成立：定理3.3（文献[28]中的定理2.1）。在假设3.1和3.2下，来自（11）的序列{Xε，ε>0}满足速度h（ε）和速率函数i（φ）=inf（ZT | us | ds:u的MDP∈ L（[0，T]；R），φ=Z·α+q1/2usds），其中α=-ζZRσ（y）u（dy）和q=ZRhσ（y）+Φ（y）g（y）+2ρσ（y）g（y）Φ（y）iu（dy），其中有限常数ζ在（14）中定义，Φ是泊松方程（13）的解。关于定理3.3如何与[28]中的定理2.1进行比较的一些评论是一致的。备注3.4。定理3.3对应于[28]中区域2的设置，在快速运动位移的特殊情况下，Yε在Y中最多线性增长，即在[28]的符号中r=1。此外，我们想指出的是，与当前假设3.1相比，在系数增长的条件稍强的情况下，证明了[28]中的定理2.1。这有两个原因。首先，在[28]中，考虑了一般的多维情况。相反，在本文中，我们考虑一维情况，这意味着我们可以获得关于泊松方程（13）解增长的更精确信息，参见引理A.2。

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2022-6-9 18:16:20

反过来，这些更精确的增长率会导致更宽松的条件。其次，在（10）的设置中，与[28]的一般设置相比，系数只是y的函数，而不是x的函数。这意味着PDE（13）的解也只是y的函数。因此，在[28]中需要考虑的许多项，见附录C，这里基本上为零（因为Φ不依赖于x）。这两种情况意味着我们可以放宽模型系数的增长条件。然后，使用与[28]中完全相同的方法得出定理3.3的证明。此处不重复完整论点，因为其与[28]中的论点相似。示例3.5（赫斯顿模型）。对于赫斯顿模型（9），重新校准（2）产生系统（15）dXεt=-ε2δYεtdt+√εpYεtdWt，Xε=δX，dYεt=κ（θ- Yεt）εδdt+√εδξpYεtdZt，Yε=Y，d hW，Zit=ρdt。在这种情况下，不变度量u具有伽马密度【19，第33.4节】（16）m（y）=（2κ/ξ）2κθ/ξ（2κθ/ξ）y2κθ/ξ-1e级-2κy/ξ，对于y>0。此外，很容易通过【25，第5章，定理2.9】检查假设3.1和假设3.2是否满足，因此定理3.3适用于α=-ζθ和q=ZRy1+|ξΦ（y）|+2ρξΦ（y）u（dy）。泊松方程（13）可显式求解为Φ（y）=-2κ，产生（17）q=θ1 +ξ4κ-ρξκ> 0.8 ANTOINE JACQUIER和KONSTANTINOS Spiliopoulosreck 3.6（大偏差连接）。对于例3.5中的Heston模型，考虑ε=δ，因此γ=1，ζ=α=0。取h（ε）=ε-β与β∈ （0，1/2）表示过程序列的LDP（ηε=εβ-1/2Xε·）ε>0，或者，就原始工艺而言，εβ+1/2X·/ε的LDP。设置t=1，映射ε7→ t型-当t趋于完整时，1产生Xt/tβ+1/2的LDP。

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2022-6-9 18:16:24

因此，定理3.3中的MDP意味着，对于任何x>0:limt↑∞t型-2βlog PXttβ+1/2≥ x个= -inf{I（φ）：φ=0，φ≥ x} 。该最小化问题的Euler-Lagrange方程-q¨φt=0，在边界条件下，得出最佳路径φt=xt。因此，我们获得了↑∞t型-2βlog PXttβ+1/2≥ x个= -x2q，q在（17）中给出。现在，大时间大偏差制度在[13，24]中得到了证明，但有限制↑∞t型-1日志Pt型-1Xt≥ x个= -Λ*（x），和速率函数∧*可用闭合形式∧*（x）：=u*（x） x个- ∧（u*（x）），适用于所有x∈ R、带∧（u）：=κθξκ - ρξu- d（u）和d（u）：=p（κ- ρξu）+ξu（1- u），适用于所有u∈ （u）-, u+，u*（x）：=ξ-2κρ+（κθρ+xξ）bζxξ+2xκθρξ+κθ-1/22ξ(1 - ρ），u±：=ξ-2κρ±bζ2ξ（1- ρ），和bζ：=p4κ+ξ- 4κρξ. 这里再次证明，中等速率函数是大偏差速率函数最小值的二阶泰勒展开。更准确地说，很容易证明∧*在以下位置达到其最小值：-θ/2，对应于当ε趋于零时Xε的极限行为（t=1）。实际上，由于遍历性，我们得到了dXt=-θdt。我们也可以证明xx∧*(-θ/2）=q-1，其中常数q由中等偏差区域（17）给出。因此，中等偏差率函数表征了大偏差率函数在其最小值附近的局部曲率。图1：。比较赫斯顿模型中的MDP速率函数（黑色，实心）和LDP速率函数（蓝色，破折号）。MDP速率函数已移动，以便最小匹配。参数为κ，θ，σ，ρ=2.7609，0.7，-0.6, 0.8.4. 积分泛函的极限行为我们现在考虑将以前的结果推广到扩散过程的泛函，并证明其存在适度偏差。

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2022-6-9 18:16:27

这个问题已经在[22]中得到了解决，但，使用弱收敛路径中等偏差的期权定价技术，我们能够放松他们的一些假设，使结果适用于数学金融中的应用，另请参见备注4.6。我们考虑模型（18）dXεt=-εδσ（Xεt，Yεt）dt+√εσ（Xεt，Yεt）dWt，dYεt=εδf（Xεt，Yεt）dt+√εδg（Xεt，Yεt）dZt，dhW，Zit=ρdt，当系数不依赖于Xε时，其对应于使用一般重标度（2）的原始系统（1）（如在大时间范围内）。对于给定集合A、B、i、j∈ N和α>0由Ci表示，j+αb（A×b），函数空间在x中有i个有界导数，在y中有j个导数，所有偏导数都是关于y的α-H¨older连续的，在x中是一致的。对于任何x∈ R、当 = δ=1（即，在空间/时间重新校准之前）：LYxh（y）=f（x，y）h（y）+g（x，y）h（y），（19），并设ux（dy）为对应于最小生成器LYx的不变度量，该度量由下面的假设4.1保证存在。

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2022-6-9 18:16:31

带（20）limε↓0εδ= γ ∈ (0, ∞),设λ（x，y）：=-γσ（x，y）和λ（x）：=ZRλ（x，y）ux（dy）。经典结果[29]是，当ε趋于零时，Xε以概率收敛于X，其中（21）Xt：=X+Ztλ（Xs）ds。对于适当的函数H（x，y），设H（x）：=RRH（x，y）u（dy）；我们对（22）Rε的LDP感兴趣：=√εh（ε）Z·H（Xεs，Yεs）- H（Xεs）ds。以下假设与更一般配置中的假设3.1相对应，系数完全依赖于x和y。假设4.1。（i） α>0使得f，g∈ C1、α（R）和H∈ C2,1+α（R），或f，g∈ C1,2+α（R）和H∈ C2，α（R）。（ii）存在常数0<K<∞ 和0≤ qσ<1，使得|σ（x，y）|≤ K（1+| y | qσ）。此外，σ在x上局部一致地关于y是Lip*****z连续的。（iii）我们可以写出f（x，y）=-κy+τ（x，y），其中κ>0，τ（x，y）是y中的全局Lipschitz函数，与x一致，Lipschitz常数Lτ<κ，supx∈Rf（x，y）y≤ -κ| y |表示| y |足够大。（iv）函数g要么是一致连续的，从上到下有界，要么是形式g（y）=ξyqgf或qg∈ [1/2，1）和ξ是一个非零常数。在后一种情况下，我们还假设f（x，y）=κ（θ- y）。（v）存在常数0<K<∞ 和qH≥ 0使得| H（x，y）|+|xH（x，y）|+|xH（x，y）|≤ K（1+| y | qH）。假设4.2。SDE（18）具有独特的强大解决方案。让我们进一步考虑u（x，·）是泊松方程（23）的解LYxu（x，y）=H（x，y）- H（x），ZYu（x，y）ux（dy）=0。根据定理A.1和引理A.2，u是一个定义良好的经典解，它最多可以增长多项式yin | y |。接下来，由于紧性问题，我们将在第7.1节的紧性证明中看到，我们需要10 ANTOINE JACQUIER和KONSTANTINOS Spiliopoulos来限制常数qσ，qg，qhts的值，这些值分别决定了系数σ，g和hr的增长。

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nandehutu2022

2022-6-9 18:16:33

我们在以下假设中收集这些约束：假设4.3。（i）如果（19）给出的算子lyx通常依赖于（x，y），我们假设max{qσ+qH，qg+qH}<1。（ii）如果（19）中的运算符采用特殊形式h（y）=κ（θ- y） h（y）+ξy2qgh（y），（24）带qg∈ [1/2，1），H（x，y）=H（y）只是y的函数，那么我们假设qσ<1，qg+qH<2，其中常数qg，qH和函数H（·）是limε↓0√εh（ε）qg+qH-11-qg=0。注意，对于假设4.3（ii），如果qH=1，则假设h（ε）=ε-β与β∈ （0，1/2）收益率√εh（ε）qg/（1）-qg）=ε1/2-βqg/（1）-qg），因此假设4.3满足当且仅当qg<1/（2β+1）∈ (1/2, 1).为了说明主要结果，我们需要一个额外的假设，仅出于技术原因。给定泊松方程（23）的解u（·，·）和（20）中定义的常数γ，引入以下内容：Q（x）：=ZRQ（x，y）u（dy）和Q（x，y）：=γ| uy（x，y）g（y）|。（25）假设4.4。集合的Lebesgue测度s∈ 【0，T】：Q（Xs）=0等于零。在这一点上，我们提到，我们之所以选择运算符（24），是因为在这种情况下，我们可以获得有关相应泊松方程（23）的解的行为的更详细信息。引理A.2对此进行了详细讨论。具体而言，在（24）和H（x，y）的特殊情况下≡ H（y），偏微分方程（23）的解增长为| y | qH，其中导数增长为| y | qH-1用于qH≥ 1、另一方面，在一般情况下，只能保证溶液和DE（23）溶液的衍生物都像| y | qH一样增长。然后，我们得到了以下结果，在第6-7节中得到了证明：定理4.5。满足假设4.1、4.2、4.3和4.4。

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2022-6-9 18:16:36

然后，来自（22）的序列{Rε，ε>0}满足LDP（相当于R的MDP·H（Xεs，Yεs）-H（Xεs）ds），速度h（ε）和速率函数i（φ）=inf（ZT | vs | ds:v∈ L（[0，T]；R），φ·=Z·Q1/2（Xs）VSD）。备注4.6。我们指出，使用不同的方法，在[22]中也建立了类似于定理4.5的结果。然而，[22]的结果并不适用于我们的目的，因为他们假设函数g和H都有界（H甚至被假设为以K（1+| y）为界|-（2+η）），对于某些η>0）。在我们的工作中，我们允许系数根据假设4.1和4.3增长。反过来，这使我们可以考虑更广泛的模型类别。我们在下面看到一些示例。5、金融应用：期权价格的渐近行为我们可以对短期渐近使用推论2.5，对长期渐近使用定理3.3，以获得类似于【17】中定理6.2和6.3的看涨期权价格报表。定理4.5用于获得已实现方差的渐近估计。5.1. 尾部估计。我们在这里展示了定理2.3中的一般结果，以及它在Proposition 2.4和推论2.5中的较轻版本，对于一些合适的缩放，如何产生概率的尾部估计。我们应考虑SDE系数的以下形式（6）：假设5.1。存在（a、b、cg、cσ）∈ R、连同νσ∈ （0，1）和νg∈ [0, 1 - νσ]使得f（t，x，y）=a+by，g（x，y）=cgyνg，σ（x，y）=cσyνσ，对于所有的t，x，y。期权定价的路径中等偏差11这些假设可能看起来有限制性，但实际上对于许多金融应用来说是有效的，详情如下。注意，我们排除了平凡情况νσ=0，因为X的SDE与Y无关，可以直接手动处理。提案5.2。在假设2.2和5.1下考虑模型（6）。

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2022-6-9 18:16:39

然后，ζ：=1-νg+νσ2（1-νg），序列（εζX）满足速度h（ε）和速率函数i（φ）下C（[0，T]，R）的中等偏差原则=2σ（y）ZT |˙φs | ds，如果φ∈ AC（[0，T]，R）和φ=0+∞, 否则证据选择α>0。在假设5.1下，模型（6）readsdXt=-cσY2νσtdt+cσYνσtdWt，dYt=（a+bYt）dt+cgYνgtdZt，dhW，Zit=ρdt，起点X=（X，Y）。所有t的重缩放Xδt=（Xδt，Yδt）：=（δXt，δαYt）≥ 0表示系统dxδt=-δ1-2ανσcσ（Yδt）2νσdt+cσδ1-ανσ（Yδt）νσdWt，dYδt=aδα+乘以δtdt+cgδα（1-νg）（Yδt）νgdZt，dhW，Zit=ρdt，起点Xδ=（Xδ，Yδ）=（δX，δαY）。将扩散系数1中的δ幂进行等值- ανσ= α(1 - νg），或α=（1- νg+νσ）-1> 0，因此dxδt=-δ1-2ανσcσ（Yδt）2νσdt+cσδγ（Yδt）νσdWt，dYδt=aδα+乘以δtdt+cgδγ（Yδt）νgdZt，dhW，Zit=ρdt，其中γ：=1- ανσ. 背景√ε：=Δγ最终给出系统dxεt=-ε(1-2ανσ）/（2γ）cσ（Yεt）2νσdt+cσ√ε（Yεt）νσdWt，dYεt=aε2（1-νg）+乘以εtdt+cg√ε（Yεt）νgdZt，dhW，Zit=ρdt，起点Xε=（ε1/（2γ）X，εα/（2γ）Y）。当γ>0和1时，定理2.3适用-2νσα ≥ 0，相当于νg≤ 1.- νσ，命题后面是设置ζ：=1/（2γ）。示例5.3.o在赫斯顿案例（9）中，假设5.1成立，a=κθ，b=-κ、 cσ=1，cg=ξ，νσ=1/2=νg，因此命题5.2适用于ζ=1；o在Stein-Stein案例（8）中，假设5.1适用于a=a，b=b，cσ=1，cg=c，νσ=1，νg=0，因此命题5.2适用于ζ=1。在这两种情况下，对于任何x>x，我们都可以写imε↓0h（ε）对数PXεt√εh（ε）≥ x个= limε↓0h（ε）对数PXt公司≥xh（ε）√ε= -x2σ（y）t。同样，中等偏差制度为速率函数提供了一种封闭形式的表示，与【8、9、23】中提出的因大偏差而产生的更抽象的速率函数相反。12 ANTOINE JACQUIER和KONSTANTINOS SPILIOPOULOS5.2。小时间行为。

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2022-6-9 18:16:42

以下定理是基于渐近行为（为简单起见，假设x=0）（26）P（Xt）对[17，定理6.3]和[12，推论2.1和定理2.2]的重新表述≥ kt）~ 经验值-kt2σ（0，y）t,当t趋于零时，根据命题2.4和推论2.5，kt：=k√th（t）>0。这种行为实际上直接源于我们上面的主要结果；在模型（6）中，第一部分的路径适度偏差原则（推论2.5）概括了（路径且假设较弱）来自【17】的结果，并直接得出（26）。更准确地说，根据提议的标度（Xεt，Yεt）：=（Xεt，Yεt），推论2.5和备注2.6意味着，当t趋于零时，当k>X=0时，limε↓0h（ε）对数PXε√εh（ε）≥ k= -k2σ（0，y），这反过来意味着（26），将t识别为ε，并设置kt：=kh（t）√t、为了说明主要结果，我们需要以下假设：假设5.4。对于任何p≥ 1存在t*p> 0，以便EepXt公司对所有人来说都是有限的∈ [0，t*p] 。备注5.5。该定理中的矩假设在与期权定价的大偏差和中偏差相关的数学金融文献中是经典的。可以在【17，定理6.3】和更一般的框架【15，假设（A2）】中找到。从本质上讲，这一假设确保了股票价格的某些可积性得到保证（否则可能无法确定买入价格），而这并不是由大偏差和中等偏差结果自动得出的。我们让读者参考[15，引理4.7]，了解一些易于检查的条件。定理5.6。根据假设5.4和命题2.4的假设，认购价格满足↓0h（t）日志E提取- ekt公司+= -k2σ（0，y），对于所有k>0。证据在此，我们对[17，定理6.3]的证明进行了一些小的修改。

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2022-6-9 18:16:46

在小成熟度情况下，极限过程limε↓0Xε等于x=0，因此推论2.5和备注2.6意味着，当ε趋于零，并且将t识别为ε时，limt↓0h（t）log PXt公司√th（t）≥ k= -k2σ（0，y）。对于任何δ>0，则存在t*> 0，这样对于所有t∈ （0，t*], 出租kt：=k√th（t），exp-kt2σ（0，y）t（1- cδ）≤ P（Xt≥ kt）≤ 经验值-kt2σ（0，y）t（1+cδ）,其中常数c=2σ（0，y）不重要。让kt：=kt（1+cδ），买入价读数为提取- ekt公司+≥ 呃提取- ekt公司+Xt公司≥kti公司≥ 呃提取- ekt公司+Xt公司≥kti≥ekt- ekt公司+PXt公司≥~kt.关于第一学期，我们可以写ekt- ekt公司+= cδkt+O千吨级.第二项根据中度偏差原则处理，kt替换为▄kt:limt↓0h（t）log PXt公司≥~kt≥ -k（1+cδ）2σ（0，y），因此↓0h（t）日志E提取- ekt公司+≥ -k（1+cδ）2σ（0，y）。让δ趋于零会产生所需的下限。关于上限，fix p≥ 1注意，根据假设5.4，E（epXt）对于所有t∈ [0，t*p] 。Doob不等式[25，定理3.8]，impliesPXt公司*p≥ k≤ e-pkEhexpXpt公司*pi、期权定价的路径中等偏差13，其中Xt：=sup0≤u≤tXu，以便Xt*palso有有限的p阶矩和hexpXpt公司*pi=pZ∞e（p-1） kP公司Xt公司*p≥ kdk是有限的。通过支配收敛，并且由于过程X具有连续路径，则E（epXt）收敛到epXas，因为t趋于零。最后，对于任何p，q∈ [1, ∞) 这样p-1+q-1=1，H¨older不等式屈服提取- ekt公司+= 呃提取- ekt公司+{Xt≥kt}i≤ Ehn公司提取- ekt公司+opipP（Xt≥ kt）q≤ EepXt公司pP（Xt≥ kt）q。因为第一项收敛于E前任, 然后我们获得了LIM支持↓0h（t）日志E提取- ekt公司+≤qlim支持↓0h（t）log P（Xt≥ kt）=-k2σ（0，y）。让p趋向于完整，因此q为1，得到定理的下界。5.3. 大时间行为。按照【13，24】中开发的方法，我们可以将中等偏差结果转化为期权价格的大时间渐近行为。

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nandehutu2022

2022-6-9 18:16:49

为了说明结果，让J表示定理3.3中给出的速率函数I到最后一点的（凸）收缩，即J（x）：=inf{I（φ）：φ（0）=0，φ（1）=x}。进一步介绍共享度量Q（A）：=EP外部{A}对于anyA∈ 在证明本节的主要结果之前，让我们陈述并证明一个有用的引理。引理5.7。在Q下，（10）中定义的过程X满足（27）dXt=σ（Yt）dt+σ（Yt）dWQt，X=X，dYt=fQ（Yt）dt+g（Yt）dZQt，Y=Y，dhWQ，ZQit=ρdt，其中fQ（·）：=f（·）+ρg（·）σ（·）。假设3.1和3.2满足（27）。通过重定标度（2），序列（Xε）ε>0满足速度为h（ε）的Q下的MDP和λQ=-λ、 λQ（·）=-λ（·），其中不变度量uQis是（27）中Y的度量。证据从（10）中，我们可以写出等式（A）=EP经验值-Ztσ（Yu）du+ρZtσ（Yu）dZu+ρZtσ（Yu）dZ>u{A},其中，我们将布朗运动W分解为W=ρZ+’ρZ>。Girsanov定理意味着两个过程ZQand zqd定义为zqt：=Zt- ρZtσ（Yu）du和ZQt：=Z>t- ρZtσ（Yu）du是Q下两个独立的标准布朗运动，我们可以将（10）改写为（27），fQ（·）：=f（·）+ρg（·）σ（·），WQ：=ρZQ+ρZQ。然后，在系数假设下，引理直接来自定理3.3。注意X in（27）漂移中的flippped符号。因此，我们可以将jqa定义为Q下Xε的速率函数iqq的收缩（到最后一点）。定理3.3中的最小化函数φ是线性的，形式为φt=αt，所以（28）J（X）=xt2qa和JQ（X）=xT2qQ，对于任何X∈ R、提案5.8。Letβ∈ (0, 1/2). 当t趋于一致时，我们观察到以下渐近行为：t1/2+βlog EP外部β+1/2- 提取+≈x个- tβ-1/2J（x），x，如果x<0，如果x≥ 0，极限↑∞t2β对数EP提取- 外部β+1/2+=-JQ（x），0，如果x>0，如果x≤ 0.14 ANTOINE JACQUIER和KONSTANTINOS SPILIOPOULOSProof。我们遵循【24，定理13】中开发的方法，并做了一些修改。

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nandehutu2022

2022-6-9 18:16:53

对于所有t≥ 1和ε>0，不等式extβ+1/21.- e-ε{Xt/tβ+1/2<x-ε}≤外部β+1/2- 提取+≤ extβ+1/2{Xt/tβ+1/2<x}保持。取期望值、对数并除以t2β，我们得到xtβ-1/2+对数（1- e-ε） t2β+对数PXttβ+1/2<x- εt2β≤t2β对数E外部β+1/2- 提取+≤xtβ-1/2+对数PXttβ+1/2<xt2β。根据定理3.3中的中等偏差原则，并使用（28），我们可以编写↑∞t型-2βlog PXttβ+1/2<x= - infz<xJ（z）=-J（x），如果x<0,0，如果x≥ 0，因此，当t趋于完整时，命题中看跌期权价格的渐近行为成立。对于exp（X）上的看涨期权价格，我们可以使用不等式，对于t≥ 1和ε>0，外部1.- e-ε{Xt/tβ+1/2>x+ε}≤提取- 外部β+1/2+≤ eXt{Xt/tβ+1/2>x}。将期望值置于P之下，这将成为1.- e-εEP公司eXt{Xt/tβ+1/2>x+ε}≤ EP公司提取- 外部β+1/2+≤ EP公司eXt{Xt/tβ+1/2>x},使用共享度量Q，这转化为1.- e-εQXttβ+1/2>x+ε≤ EP公司提取- 外部β+1/2+≤ QXttβ+1/2>x.使用引理5.7和（28），命题随后来自计算极限↑∞t型-2βQXttβ+1/2>x= - infz>xJQ（z）=-JQ（x），如果x>0,0，如果x≤ 05.4. 已实现方差的渐近性。我们现在展示定理4.5如何应用于赫斯顿模型（9）中的实现变量。重缩放（2）产生与LargetTime情况相同的扰动系统（15）。同样，不变度量u（·）具有（16）中给出的伽马密度。带H（x，y）≡ y、我们有qσ=qg=1/2和qH=1，因此假设4.3成立，定理4.5给出了过程（29）Rε的路径大偏差=√εh（ε）Z·Yεsds- θ.在这种情况下，泊松方程（23）满足uy（y）=-κ、因此Q（x）≡ξθκ，得出速率函数（30）I（φ）=γκξθZT˙φsds，ifφ∈ AC（[0，T]，R）和φ=0+∞, 否则为简单起见，γ=1，即。

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2022-6-9 18:16:56

ε=δ，那么我们可以写，对于任何t≥ 0，Rεt=√εh（ε）中兴εsds- θ=√εh（ε）ZtYεsds- θε=√εh（ε）Zt/εYuds- θε=√εh（ε）Vt/ε- θε，其中表示θε：=θ√εh（ε）和Vt：=RtYudu表示在[0，t]期间实现的方差。因此，序列Rε的大偏差意味着，取t=1，应用收缩原理，对于任何固定的x>0，limε↓0h（ε）对数P√εh（ε）V1/ε- θε≥ x个= -infnI（φ）：φ≥ xo，或，以h（ε）=ε为例-β代表β∈ （0，1/2），并重命名ε7→ t型-1，限制↑∞t型-2βlog P及物动词≥ xtβ+1/2+θt= -infnI（φ）：φ≥ xo。期权定价的路径中等偏差15这里，这个最小值可以从（30）以封闭形式计算。对应的Euler-Lagrangeequation产生了线性最优路径φt=xt，对于任何x>0，因此jv（x）：=infnI（φ）：φ≥ xo=κx2ξθ=x2Q。注意，由于（9）中X的漂移和扩散不依赖于X本身，因此Q在这里是常数。在Heston案例（9）中，我们可以将此大时间MDP与相应的大时间LDP进行比较，以获得实现变量。事实上，从[4，命题6.3.4.1]中，已实现变量的矩母函数为所有u，使得右侧为有限，λ（u，t）：=log EeuVt公司=2κθξlog2γ（u）exp（κ+γ（u））tγ（u）eγ（u）t+1+ κeγ（u）t- 1.!+2uyeγ（u）t- 1.γ（u）eγ（u）t+1+ κeγ（u）t- 1.,式中γ（u）：=pκ- 2ξu。直接计算得出∧∞（u）：=限制↑∞∧（u，t）t=κθξ（κ- γ（u）），对于所有u<κ2ξ。因此，我们可以使用G¨artner-Ellis定理的部分版本【7，第2.3节】来证明序列（t-1Vt）t>0满足大偏差原则，因为t趋于一致，速率函数∧*定义为∧的F-Legendre变换∞.

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2022-6-9 18:16:59

更精确地说，对于任何x>0，λ*（x） =supu<κ2σnux- Λ∞（u） o=κ（x- θ） 2ξx和xx∧*（x） | x=θ=κξθ=Q-我们再次观察到，中等偏差率函数表征了大偏差率函数在其最小值附近的局部曲率。在大偏差和中等偏差情况下，我们可以将这种行为转化为对已实现方差的期权的渐近性：命题5.9。Letβ∈ (0, 1/2). 当t趋于完整时，对于所有x>0的情况，我们有限制↑∞T日志E提取- eVt公司+= x个-Λ*（x）和限制↑∞t2β对数EP外部β+1/2- eVt公司-θt+-xtβ-1/2= -JV（x）。备注5.10。请注意，再次将β=1/2正式设置为第二个极限，这是由中等偏差引起的，简化后得到，limt↑∞T日志Ee（x+θ）t- eVt公司+= x+θ- JV（x），再次如备注3.6所示，表明中等偏差率函数正好代表最大偏差的曲线，最小偏差为1。证据我们从第一个极限开始，它属于大偏差范围。模仿命题5.8的证明≥ 1和ε>0，我们可以写出不等式1.- e-ε{Vt/t<x-ε}≤提取- eVt公司+≤ 外部{Vt/t<x}。取期望值、对数和除以t并取极限，我们得到x+limt↑∞tlog PVtt<x- ε≤ 限制↑∞T日志E提取- eVt公司+≤ x+极限↑∞tlog PVtt<x.上述序列（Vt/t）t>0的大偏差，因为t趋于完整，从而得出结论。我们现在证明另一个极限，它是由适度偏差引起的。现在，模仿命题5.8的证明≥ 1和ε>0，我们可以写下下β+1/21.- e-ε{eVt/tβ+1/2<x-ε}≤外部β+1/2- eeVt公司+≤ extβ+1/2{eVt/tβ+1/2<x}，其中eVt：=Vt-θt，取期望值，对数，除以t2β，命题从xtβ开始-1/2+t2β对数PeVttβ+1/2<x- ε!≤t2β对数E外部β+1/2- eeVt公司+≤xtβ-1/2+t2βlog PeVttβ+1/2<x！。16 ANTOINE JACQUIER和KONSTANTINOS SPILIOPOULOS6。

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2022-6-9 18:17:02

定理4.5证明的控制表示在本节中，我们将定理4.5与某些随机控制表示和拉普拉斯原理联系起来。我们首先将It^o公式应用于（23）的解u。重新排列项，我们得到rεt=Δε3/2h（ε）（u（Xεt，Yεt）- u（x，y））-Δεh（ε）Zt（guy）（Xεs，Yεs）dZs-Δεh（ε）Zt（σux）（Xεs，Yεs）dWs-ρδ√εh（ε）Zt（σguxy）（Xεs，Yεs）ds+δ√εh（ε）Ztσux（Xεs，Yεs）ds-δ√εh（ε）Ztσuxx（Xεs，Yεs）ds。通过该表达式，我们将Rεt与（18）一起视为三元组（Rεt，Xεt，Yεt）。根据【10，第1.2节】，Rε的大偏差原理（速度为h（ε））等价于拉普拉斯原理，拉普拉斯原理表明，对于任何有界连续函数G映射C（【0，T】；R）到R，（31）limε↓0-h（ε）对数E经验值-h（ε）G（Rε）= infφ∈C（[0，T]；R）nI（φ）+G（φ）o，其中I（·）称为作用泛函。我们证明（31），然后证明定理4.5恒等式I（φ）。（31）的证明基于【3】中开发的适当随机控制表示。设A是Ft的空间，渐进可测的二维过程v=（v，v），使得ERT | v（s）| ds是有限的。从[3，定理3.1]，我们可以写出随机控制表示-h（ε）对数E经验值-h（ε）G（Rε）= infuε∈AE“ZT | uε（s）| ds+G（Rε，uε）#（32），其中受控过程（Rε，uεt，Xε，uεt，Yε，uεt）满足系统Rε，uεt=Δε3/2h（ε）u（Xε，uεt，Yε，uεt）- u（x，y）-Δεh（ε）Zt（guy）（Xε，uεs，Yε，uεs）dZs-ΔερZt（guy）（Xε，uεs，Yε，uεs）uε（s）ds-ΔερZt（guy）（Xε，uεs，Yε，uεs）uε（s）ds-ΔερZt（σux）（Xε，uεs，Yε，uεs）uε（s）ds- ρδ√εh（ε）Zt（σguxy）（Xε，uεs，Yε，uεs）ds+δ√εh（ε）Ztσux（Xε，uεs，Yε，uεs）ds（33）-δ√εh（ε）Ztσuxx（Xε，uεs，Yε，uεs）ds-Δεh（ε）Zt（σux）（Xε，uεs，Yε，uεs）dWs，dXε，uεt=-εδσ（Xε，uεt，Yε，uεt）dt+√εh（ε）σ（Xε，uεt，Yε，uεt）uε（t）dt+√εσ（Xε，uεt，Yε，uεt）dWt，dYε，uεt=εδf（Xε，uεt，Yε，uεt）dt+√εh（ε）δg（Xε，uεt，Yε，uεt）[ρuε（t）+ρuε（t）]dt+√εδg（Xε，uεt，Yε，uεt）dZt，带dhW，Zit=ρdt。

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2022-6-9 18:17:05

有了这个控制表示，我们继续分析（32）右侧的极限，因为ε趋于零。与[28]类似，我们定义了函数θ：R7→ R乘以θ（x，y，z，z）：=-γ-1g（x，y）uy（x，y）（ρz+ρz）。（34）设Z=R定义控制空间，Y定义Y的状态空间。我们的假设保证θ在x上有界，a ffne在z上有界，zgrowing在y上最多为多项式。下一步是引入一个适当的占用度量族，其作用是挑出极限中发生的正确平均值。出于这个原因，让0< = (ε) ↓ 0是一个参数，其作用是利用时间刻度分隔。设A，A，B，Γ分别是Z，Z，Y，[0，T]的Borel集。然后，确定职业测量值Pε，乘以（35）Pε，（A×A×B×Γ）：=ZΓ“Zt公司+tA（uε（s））11A（uε（s））11B（Yε，uεs）ds#dt，如果s>T，则假设uεi（s）=0。对于波兰空间S，设P（S）为S上的概率测度空间。接下来，我们回顾了中等偏差情况下可行对的定义。期权定价的路径适度偏差17定义6.1（定义4.1 in【28】）。设θ（x，y，z，z）：R×y×z×z→ R是一个在y中以线性方式增长大气的函数。对于每个x∈ R、设Lx为二阶椭圆偏微分算子，用D（Lx）表示其定义域。

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2022-6-9 18:17:15

A对（ψ，P）∈ C（[0，T]；R）×P（Z×Z×Y×[0，T]）被称为关于（θ，Lx）的可行对，我们写（ψ，P）∈ V（θ，Lx），如果函数ψ是绝对连续的；o测度P在zz×Z×Y×[0，T]的意义下是可积的|z |+| z |+| y|P（dzdzdy ds）<∞;o 对于所有t∈ [0，T]（X在（21）中定义），（36）ψT=ZZ×Z×Y×[0，T]θ（Xs，Y，Z，Z）P（dzdzdy ds）；o对于所有t∈ [0，T]和每F∈ D（Lx），（37）ZtZZ×Z×YLXsF（y）P（dzdzdy ds）=0；o对于所有t∈ [0，T]，（38）P（Z×Z×Y×[0，T]）=T。最后一项等同于说明P的最后一个边缘是勒贝格测度，或者P可以分解为P（dzdzdy dt）=Pt（dzdzdy）dt。然后我们将建立以下结果：定理6.2。在假设4.1、4.2、4.3和4.4下，（22）中的过程族{Rε，ε>0}满足大偏差原则，作用函数（39）I（φ）=inf（φ，P）∈V（θ，Lx）（ZZ×Z×Y×[0，T]|z |+| z|P（dzdzdy ds）），约定空集上的最小值是有限的。如证明过程中所示，定理4.5直接源自定理6.2.7。定理4.5的证明在本节中，我们提供定理4.5的证明。如第6节所述，定理4.5的证明等同于定理6.2中拉普拉斯原理的证明。在第7.1和7.2小节中，我们证明了对（Rε、uε、Pε、，) 分别地在第7.3小节中，我们最终建立了拉普拉斯原理和定理4.5的表示公式。这些结果的证明利用了[28]的结果。下面我们给出了主要论点，强调了不同之处，并在适当的时候给出了[28]的确切指针。7.1. 对{（Rε，uε，Pε，), ε > 0}. 在本节中，我们将证明以下命题：命题7.1。

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2022-6-9 18:17:19

在假设4.1、4.2和4.3下，对于满足支持ε>0ZT | uε（t）| dt<N的控制族{uε，ε>0}，对于某些N<∞, 以下观点：（i）族{（Rε，uε，Pε，), ε>0}在C（[0，T]；R）×P（Z×Z×Y×[0，T]）上是紧的；（ii）有立根时：=n（z，z，y）∈ Z×Z×R：| Z |>M，| Z |>M，| y |>Mo，族{Pε，, ε>0}在limm意义下是一致可积的↑∞supε>0Ex，y“Z（Z，Z，y））∈BM×[0，T][z |+| z |+| y |]Pε，（dzdzdy dt）#=0.18 ANTOINE JACQUIER和KONSTANTINOS Spiliopoulos命题7.1的证明。{Pε）的紧密性，, ε, > 关于P（Z×Z×Y×[0，T]），职业测度族的一致可积性是[28，第5.1.1节]的主题，这里不再重复。证明{Rε，uε，ε>0}在C（[0，T]；R）上的紧性。我们利用[2，定理8.7]的特征证明了它，如果我们确定ε>0，那么对于每个η>0，（i）存在N<∞ 使（40）Psup0≤t型≤TRε，uεt> N≤ η、对于每个ε∈ (0, ε);（ii）每M<∞,（41）limα↓0supε∈（0，ε）Psup | t-t |<α，0≤t<t≤TRε，uεt- Rε，uεt≥ η、支持∈[0，T]Rε，uεt≤ M！=基本上，这两种陈述都遵循控制表示法（33）以及定理A.1和引理A.2得出的泊松方程解增长的结果，并使用引理B.5处理（33）右侧的每个项。为了完整起见，我们证明第一个陈述（40）。第二条语句（41）后面同样使用通用引理B.5。

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