欧洲和美国期权定价的降阶模型

2022-5-30 21:57:33

随机波动率下欧美期权定价的降阶模型和跳差模型，*, Jari Toivanenb，美国伊利诺伊州香槟市Urbana-Champaign伊利诺伊大学，美国加利福尼亚州斯坦福市B斯坦福德大学，Jyv-askyl-A、Jyv-askyl-A、FinlandAbstractEuropean期权可通过求解随机波动和跳跃扩散模型（如Heston、Merton和Bates模型）下的抛物偏微分方程来定价。美式期权价格可以通过使用相同的算子求解线性互补问题（LCP）得到。有限的差异离散化导致了所谓的全阶模型（FOM）。采用本征正交分解（POD）导出了降阶模型（ROM）。美式期权的早期行使限制是通过对网格点子集的惩罚来实施的。所提供的数值实验表明，在给定的模型参数变化范围内，使用ROM的定价可以更快或更快。关键词：降阶模型，期权定价，欧式期权，美式期权，线性互补问题1。欧洲期权只能在到期时行使，而美国期权可以在到期前的任何时间行使。由于这种额外的灵活性，美国的选择可能更有价值。为了避免套利，价格必须始终至少与最终支付函数相同。看跌期权赋予以指定的执行价格出售标的资产的权利，而看涨期权赋予以执行价格购买资产的权利。布莱克和斯科尔斯（Black and Scholes）的开创性论文【1】采用了具有恒常弹性的几何布朗运动作为基础资产价格的模型。期权的市场价格表明，波动性取决于期权的执行价格和支出。

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2022-5-30 21:57:36

已经开发了几个更通用的资产价格模型*相应的authorEmail地址：mbalajew@illinois.edu（Maciej Balajewicz），toivanen@stanford.edu，jari。toivanen@jyu.fi（Jari Toivanen）2016年12月4日提交给《计算科学杂志》的预印本更符合市场价格。默顿建议在该模型中加入对数正态分布跳跃。Heston[3]将波动率视为均值回复随机过程。贝茨（Bates）[4]将赫斯顿随机波动率模型和默顿跳跃扩散模型l相结合。期权定价有多种方法。蒙特卡罗方法模拟资产价格路径来计算期权价格。这是一种直观且灵活的方法，但当需要高精度时，速度可能会很慢，而且对于美式选项来说，它更复杂且效率更低。相反，在本文中，定价基于部分（-积分）微分方程（P（I）DE）公式。另一种方法是基于数值积分技术。这些公式的一个好处是，对于许多选项，它们可以提供比蒙特卡罗方法更快的高精度价格。这里，欧式期权通过求解P（I）DE来定价，美式期权通过求解同一运营商的LCP来定价。这些算子是具有随机波动性的二维算子，否则是一维算子。模型的潜在积分部分由跳跃产生。离散微分算子最常用的方法是微分法。对于欧式和美式期权，在每个时间步，离散化分别导致线性方程组和L C P。例如，在[5、6、7、8]中，考虑了基于不确定性波动率模型的有效美式期权方法。在[8]中，对得到的LCP采用了惩罚近似法，在[6，7]中采用了算子分裂法。

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2022-5-30 21:57:39

【6】中使用了交替方向隐式（ADI）方法，而【5、7、8】中使用了迭代方法来生成线性系统。例如，在跳跃扩散模型下，PIDE方法导致系统在每个时间步都有一个完整的矩阵，并且[9、10、11、12、13]中考虑了它们对美式期权的有效解决方案。文献[9]中使用了惩罚法和基于FFT的快速方法来计算跳跃积分。文献[11]中提出了一种迭代方法，用于具有完整矩阵的LCP。文献[10]提出了一种隐-显（IMEX）方法来显式处理积分项，文献[13]研究了该方法。[14、15、16、17、18]对上述组合贝茨模型方法的推广进行了开发和研究。不幸的是，这种高精度模拟对于许多实际应用来说仍然过于昂贵，降阶建模（ROM）是一种显著降低计算成本的实用工具[19，20]。大多数现有的romaproach都基于投影。在基于投影的降阶建模中，状态变量在低维子空间中近似。该子空间的基通常由一组高精度解快照的适当正交分解（POD）[21]构成。虽然已经开发了许多方法来有效简化线性计算模型，但到目前为止，已经探索了三种主要策略来有效简化非线性计算模型。第一种基于线性化技术[22，23]。第二种方法基于预计算的概念[24、25、26、27、28]，但仅限于多项式非线性。

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大多数88

2022-5-30 21:57:43

第三种策略依赖于超约化的概念，即通过基于约化计算域的可伸缩数值技术来逼近非线性约化模型（ROM）下的约化算子【29、30、31、32、3、3、34、35、36】。在治理方程包括约束方程的情况下，构建满足先验约束的基础是非常有益的【37】。例如，在非负性约束的情况下，可以通过非负矩阵分解（NNMF）构造非负基[38]。在[39]中，期权定价采用了这种方法。[40，41]中开发了用于定价欧洲期权的ROM。在[37，42]中，只有最近才应用ROM为美式期权定价。与期权定价相关的一个常见问题是校准模型参数，使其与期权的市场价格相对应。这是一个典型的最小二乘型优化问题。校准成本较高，因为它需要为大量参数不同的选项定价。文献[43、44、45]研究了使用ROM降低计算成本的方法。目前工作的主要贡献是开发了一种廉价且准确的超还原方法，用于美式期权的早期行使约束。我们提出的方法基于这样一个事实，即准确的价格预测不一定需要拉格朗日乘数的准确近似值。这在减少结构接触问题的实践中得到了观察【38】。我们在本文中总结的数值实验表明，使用二进制矩阵作为拉格朗日乘子形式的基础，对于所考虑的所有生殖和预测模拟都非常好。

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2022-5-30 21:57:46

与以前基于NNMF的方法相比，这种方法更简单、更快，且精度相当【39】。本文的组织结构如下。第2节概述了本工作中考虑的全阶模型。第3节列出了拟议的新ROM appr oachis。在第4节中，提出的方法应用于几个问题。最后，在第5节中，给出了结论，并总结了未来工作的前景。2、全订单模型默顿[2]提出了s≥ 基础资产的0，遵循托卡斯蒂克微分方程D=（g- uξ）sdt+σssdws+s dJ，（1）其中t是时间，g是设定价格的增长率，σ是其波动率，wsis是维纳过程，J是复合泊松过程，跳跃强度ua和对数正态跳跃分布p（y）=yδ√2πexp-（对数y- γ） 2δ. （2）相对预期跳变为ξ=expγ+δ-1、通过将跳跃强度u设置为零，获得Black-Scholes模型。在Merton模型下，欧式期权的价格u（s，τ）可以通过求解一维PIDE得到uτ=σssus+（r-uξ）sus-（r+u）u+uZ∞u（sy，τ）p（y）dy=：LMu，（3）其中τ=T- t为到期时间，t为到期时间，r为利率。贝茨提出了价格s及其瞬时方差v≥ 0遵循随机微分方程SDS=（g- *ξ）sdt+√vsdws+s dJdv=κ（θ-v） dt+σv√vdwv，（4）其中θ是v的平均水平，κ是平均回复率，σ相对于√v、而wvis是一个维纳过程。维纳过程Ws和Wv具有相关性ρ。在贝茨模型下，通过求解二维PIDE可以得到欧式期权的价格u（s，v，τuτ=vsus+ρσvvsusv+σvvuv+（r- uξ）sus+κ（θ- 五）uv- （r+u）u+uZ∞u（sy，v，τ）p（y）dy=：LBu，（5）通过将跳跃强度u设置为零获得Heston模型。在下文中，考虑了看跌期权。

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kedemingshi

2022-5-30 21:57:49

到期时的价格由支付函数g（s）=max{K给出- s、 0}。当方程在时间上向后求解时，这分别导致一维和二维模型的初始条件u（s，0）=g（s）和u（s，v，0）=g（s）（6）。为了计算近似解，有限域被截断为ats=Smax和v=vmax，其中Smax和vmax非常大，因此截断引起的误差可以忽略不计。欧式看跌期权的价格u满足Dirichlet边界条件su=Ke-s=0时的rτ和s=smax时的u=0。（7）对于非负利率r≥ 0时，美式看跌期权的价格u满足Dirichlet边界条件su=K（s=0）和u=0（s=smax）。（8）在随机波动率模型下，Neumann边界条件uv=0处于v=v最大值。（5）中的二阶导数在边界v=0时消失。文献[4-6]表明，这种退化形式定义了v=0时的适当基本条件。由于提前行使的可能性，美式期权的价格u符合LCPuτ- Lu=λ，u≥ g、 λ≥ 0，λ（u- g） =0，（9），其中运算符L是取决于模型的lm或lbnding，λ是alagrange乘数；例如，参见[47]。为了便于数值求解，将欧式期权的P（I）DE和美式期权的THLCP重新表示为w，满足s=0时齐次Dirichlet边界条件w=0。此外，选择了美国选项，以满足≥ 0而不是更复杂的约束u≥ g、对于欧洲选项，选择w=u- e-rτg，而对于美式期权，选择bew=u- g、对于欧洲选项，选择w=u- e-rτg导致P（I）DEwτ- Lw=e-rτ（L+r）g.（10）对于美式期权，选择w=u- g通向LCPwτ- Lw=λ+Lg，w≥ 0，λ≥ 0，λw=0。

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kedemingshi

2022-5-30 21:57:54

（11）对于美式期权，通过选择大范围乘数λ=-εmax{-w、 0}w.（12）这导致非线性P（I）DEwτ- Lw+εmax{-w、 0}w=Lg。（13）对于有限差分离散化，网格由si定义，i=0，1，2，Ns，用于间隔[0，smax]。使用中心有限差分对s的空间偏导数进行离散ws（si）≈si公司-1个+sih公司-si公司si公司-1wi-1个+si公司si公司-1.-si公司-1.si公司wi公司+si公司-1.siwi+1i（14）和ws（si）≈si公司-1个+sih公司si公司-1wi-1.-si公司-1个+si公司wi公司+siwi+1i，（15）其中si=si+1-是的。类似地，对于区间[0，vmax]，网格定义为vj，j=0，1，2，内华达州。关于v的空间偏导数通过上述中心有限差进行离散化。九点差异模板ws通过利用两个方向的中心元素差异获得的vis。虽然这种近似可能不稳定，具有高相关性ρ，但对于第4节中给出的数值实验来说是稳定的。在边界v=0时，使用单侧有限差近似值wv、这些积分可以用二阶精确的求积公式来分解。这里，线性插值用于网格点之间的w be和精确积分；详见【11】。在默顿模型下，积分的离散化导致完整矩阵，而在贝茨模型下，则导致完整对角块。在没有跳跃的模型下，时间离散化通过使用隐式Euler方法进行第一时间步，然后使用二阶精度BDF2方法进行。在跳跃模型下，积分被显式处理。在第一个时间步中使用显式Euler方法，在接下来的时间步中使用基于前两个时间步的线性外推。这种IMEX-BDF2方法如【13】所述。

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2022-5-30 21:57:58

通过对积分的显式处理，不必求解具有稠密矩阵的系统。此时（k+1）τ、矢量wk+1中包含的网格点值可通过求解系统获得我+τD周+1=工作时间：-工作时间：-1.+ τJ工作时间：-工作时间：-1.+τf（16）表示欧式期权和我+τD+εdiag最大值-周+1，0周+1=工作时间：-工作时间：-1.+ τJ工作时间：-工作时间：-1.+τf（17）对于美式期权，其中矩阵J a和D分别对应于跳跃和其余部分的项。向量f包含e的网格点值-rτ（L+r）g和Lg。运算符diag（·）给出了一个对角矩阵，其中的对角项由ar gument向量定义。最大值按组件计算。系统（16）和（17）可以更简洁地表示为sawk+1=rk+1（18）和A+εdiag最大值-周+1，0wk+1=rk+1（19），适当定义A和rk+1。（12）中拉格朗日乘子λ的离散对应项读取λk+1=-εdiag最大值-周+1，0周+1。（20） 3。降阶ModelsLet U∈ RN×nbe是w和n的基础<< N这些基础是通过将POD应用于解决方案的快照集合来构建的。解决方案快照或简单的快照定义为状态向量wk，计算为（17）的某个参数实例的解。解决方案矩阵定义为amatrix，其列为单个快照。为了构造U，下面的优化问题是solvedminimizeU∈RN×n，V∈Rn×KkX- UVkF，（21），其中K是溶液sna照片的数量。因此，基本U由快照矩阵X的前n个左奇异向量和V=∑WT组成，其中∑是∑的前n个奇异值的对角矩阵，W是其前n个右奇异向量的矩阵。对于欧洲选项，简化解w=Uwris由UTAUWK+1r=UTrk+1管理。

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2022-5-30 21:58:01

（22）该ROM具有formArwk+1r=rk+1r，（23）其中Ar=UTAU是预先计算的，而右侧rk+1r=UTr可以有效地在线计算，操作数取决于n。因此，形成和解决问题（23）的在线计算成本与缩减基的大小n成比例，而不取决于FOM的大小n。对于美式期权，简化解w=Uwris由UTAU+εUTdiag最大值-Uwk+1r，0U周+1r=UTrk+1。（24）产品UTdiag最大值-Uwk+1r，0U是（24）中唯一不能预先计算的产品。由于评估该产品的成本与全订单模型的大小成比例，等式（24）不提供主要的计算节省。为了节省计算量，传统方法包括第二层近似，有时称为“超约化”。最流行的炒作还原方法之一是Discr e te经验插值法（DEIM）[31]。我们将传统的DEIM算法作为创新的起点。设Uλ∈ RN×nλ是最大值的基础-Uwk+1r，0, thusUλhr≈ 最大值-Uwk+1r，0, （25）其中HRI为有效向量。可通过从超定s系统Uλhr中选择m个唯一行来确定向量hr≈最大值-Uwk+1r，0. 具体而言，包含二进制矩阵P∈ {0，1}N×Nλ满足PTP=Inλ。假设PTU是非奇异的，则系数向量hr可以从ptmax中唯一确定-Uwk+1r，0= （PTUλ）hr（26）和最终近似ismax-Uwk+1r，0≈ Uλhr=Uλ（PTUλ）-1个最大值-Uwk+1r，0（27）=eUλmax-Cwk+1r，0, （28）其中euλ=Uλ（PTUλ）-1，C=PTU。因此，产品UTdiag最大值-Uwk+1r，0式（24）中的U由UTdiag近似eUλ最大值-Cwk+1r，0U与它的访问器不同，它可以高效地在线计算。

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2022-5-30 21:58:06

尤其是RutdiageUλ最大值-Cwk+1r，0U=nλXi=1Kimax-Cwk+1ri、 0个, （29）式中Ki=UTdiagheUλi：，iU andheUλi：，i指Uλ的第i列。矩阵Ki可以一次性计算，而最大-Cwk+1ri、 0个从C开始，可以高效地在线计算∈ Rnλ×ndoes不与全阶模型的s iz EO成比例。尽管这种直接的DEIM实现成功地降低了ROM的计算复杂性，但由于DEIM不强制执行非负性，这种方法无法产生准确的价格预测。即使基Uλ先验地构造为非负的，例如使用NNMF，也不能保证非负性，因为Uλ=Uλ（PTUλ）-1不保证为非负。一种可能的补救方法是使用DEIM的非负变化，称为NNDEIM【48】。另一个remedy涉及构造非负基s的一个单贪婪过程[37]。在这项工作中，我们介绍了一种不需要计算拉格朗日乘子的非负基的替代方法。我们提出的方法基于这样一个事实，即精确的冰预测不一定需要拉格朗日乘数的精确近似。特别是，要求Uλhr≈ ma x-Uwk+1r，0可能不必要。这在减少结构接触问题的实践中得到了观察【38】。本文中总结的数值实验表明，使用二元矩阵P作为拉格朗日乘子的基础，对于所有考虑的复制和预测模拟都表现得非常好。通过这种近似，简化了降阶模型。特别是，当Uλ=P，eUλ=P时，因此，乘积utdiag最大值-Uwk+1r，0式（24）中的U由相对简单的乘积CTdiag近似最大值-Cwk+1r，0C

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2022-5-30 21:58:09

因此，theROM的最终形式如下Ar+εCTdiag最大值-Cwk+1r，0Cwk+1r=rk+1r，（30），其中Ar=UTAU，rr=UTr。方程（30）中的所有组件都与降阶模型的大小成比例。最后，为了构造选择矩阵P，使用了用于选择插值指数的标准DEIM alg算法【31】。然而，在我们的prop-osedapproach中，DEIM算法被应用于m⊙U：，i，对于i=1，2，n、其中m∈ {0，1}N×1是一个二进制掩码向量。ma skvector m的非ze ro元素对应于快照中至少发生过一次早期锻炼的元素，即元素j，使得Uj，i≤ 0表示任何i。二进制ma sk向量确保与近似的非线性函数一致，即max-Uwk+1r，0.4、数值实验本文所考虑的所有数值示例均为欧洲看跌期权和美国看跌期权定价，执行价格K=100，到期日T=0.5。只有在货币方面才考虑期权，也就是说，在s=Kis时寻求的u的价值。在随机波动率模型下，u值以瞬时方差v=θ计算。全阶模型采用二次重新定义的空间网格进行离散化，类似于[49]中FDNU方法采用的网格。s网格由si=h定义iαNs- 1.iαNs- 1.+ 1iK，i=0，1，nα=。对于随机波动率模型，方差网格由vj定义=jNv公司vmax，其中vmax=1。统一时间步长由下式给出τ=NτT。在实验中，空间和时间步数被选择为Ns=128、Nv=64和Nτ=32。在这种选择和所采用的参数范围内，绝对离散误差约为10-2或更少。对于美式期权，迭代将惩罚参数ε减少为五个值10-1、10-2、10-3、10-4和10-5.

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2022-5-30 21:58:12

这是美式选项运行时间更长的主要原因。快照矩阵X由所有向量wk、k=1、2、…、，Nτ，在所有训练跑中。对于这些训练运行，每个模型参数在其极值处以及它们之间的中点处进行采样。因此，对于两个、五个和八个mo de l参数，分别有3=9、3=243和3=6561次训练。在预测ROM模拟中，每个参数都有两个值，即训练中使用的值之间的中点值。因此，对于两个、五个和八个模型参数，分别有2=4、3=32和=256个预测运行。选择n和nλ的两个约化基givenby的大小相同。测量误差是降阶模型和全阶模型给出的价格之间的绝对差异。图1-4所示的所有误差都是为预测模拟计算的。也就是说，对于参数未包含在用于生成ROM的训练模拟中的模拟。4.1。Black–Scholes模型Black–Scholes模型的模型参数在以下范围内变化：（r，σs）∈ [0.0 25，0.035]×[0.35，0.45]。（31）欧洲和美国期权的价格大致在[8.91、11.94]和[9.06、12.04]之间变化。图1显示了这些期权价格的最大和平均误差随着减少的基数n=nλ的增长而减少。4.2。

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2022-5-30 21:58:16

Merton模型Merton模型的模型参数在以下范围内变化：（r，σs，u，δ，γ）∈ [0.025，0.035]×[0.35，0.45]×[0.15，0.25]×[0.3，0.5]×[-0.7，-0.3]。（32）2 4 6 8 10 12 16 10-410-310-210-1100101n，nλ价格误差，绝对值（价格ROM- 价格HDM）欧洲最大误差欧洲平均误差美国最大误差美国平均误差图1：在Black-Scholes模型下，关于缩减基数sizen=nλ的误差，欧洲和美国期权的价格大致在[9.50，13.97]和[9.65，14.08]之间变化。图2显示了这些期权价格的最大和平均误差随着减少的基数n=nλ的增长而减少。4.3。Heston模型Heston模型的模型参数在以下范围内变化：（r，κ，θ，σv，ρ）∈ [0.02 5，0.035]×[3，5]×[0.35，0.45]×[0.35，0.45]×[-0.75，-0.25]。（33）欧洲和美国期权的价格大致在[8.72、11.88]和[8.87、11.98]之间变化。图3显示了这些期权价格的最大和平均误差随着减少的基数n=nλ的增长而减少。4.4。贝茨模型贝茨模型的模型参数在以下范围内变化：（r，κ，θ，σv，ρ，u，δ，γ）∈ [0.02 5，0.035]×[3，5]×[0.35，0.45]×[0.35，0.45]×[-0.75，-0.25]×[0.15，0.25]×[0.3，0.5]×[-0.7，-0.3]。（34）欧洲和美国期权的价格大致在[9.38、13.95]和[9.53、14.07]之间变化。

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2022-5-30 21:58:19

图4显示了2 4 6 8 10 12 14 1610的减少-410-310-210-1100101n，nlambdaPrice错误，abs（价格ROM- priceHDM）欧洲最大误差欧洲平均误差美国最大误差美国平均误差图2：在默顿模型下，与缩小的基准尺寸有关的误差n=nλ表1：用于在线计算的欧洲选项CPU时间（秒）。FOM ROMMODLE unknowns CPU time UNKNOWNENS C PU time speed upBlack–Scholes 127 0.0011 16 0.00064 1.7Merton 127 0.0022 16 0.00084 2.6Heston8255 0.16 40 0.0011 145Bates 8255 0.36 40 0.0015 240最大和平均误差这些期权的价格随缩减基尺寸的增长n=nλ。我们注意到，对于这个模型，基本上相同的误差只能通过对模型参数的极值进行2=256次训练来获得。4.5。计算速度对于所考虑的每个问题，其ROM为在线计算提供的速度因子在表1中针对欧式期权报告，在表2中针对美式期权报告。所有模型均在2.6GHz的aIntel Xeon CPU上在MATLAB中求解，所有CPU时间均通过-singleCompThread start-upoption在单个计算线程上使用tic-toc函数测量。ROM使用相同的方案和时间步长进行时间集成，以解决其相应的FOM；详见第2节。

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2022-5-30 21:58:23

在线速度提升是通过评估FOM的时间积分与ROM的时间积分之间的比率来计算的。5 10 15 20 25 30 35 4010-410-310-210-1100101n，nλ价格误差，绝对值（价格ROM- priceHDM）欧洲最大误差欧洲平均误差美国最大误差美国平均误差图3：在赫斯顿模型下，关于缩小的基准尺寸n=nλ的误差表2：美国选项在线计算的CPU时间（秒）。FOM ROMModel未知CPU时间未知C PU时间加速缺位–Scholes 127 0.026 16 0.025 1.0 Erton127 0.027 16 0.026 1.0Heston 8255 7.9 40 0.034 232状态8255 8.0 40 0.034 2355。结论在跳跃扩散和随机波动模型下，构建了欧式和美式期权定价的减序模型（ROMs）。对于美国期权，它们基于线性互补问题的惩罚公式。有限差分离散化差分算子是使用适当正交分解得到的基进行预测的。使用离散经验插值方法选择惩罚term的网格点。在数值试验中，在给定范围内，模型参数从2个变化到8个。对于一维Black-Scholes和Mertonmodels ab out 16个ROM基向量足以达到0.1%的精度，以供考虑的美式选项使用。对于欧式选项，约8个基向量达到此精度。对于二维Heston和B ates模型，需要40个基向量才能达到与Americanoption相同的精度。对于Europeanoption，稍微少一些的基向量可以达到相同的精度。

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何人来此

2022-5-30 21:58:26

对于这些二维模型，计算速度超过5 10 15 20 25 30 35 40 10-410-310-210-1100101n，nlambdaPrice错误，abs（价格ROM- priceHDM）欧洲最大误差欧洲平均误差美国最大误差美国平均误差图4：在贝茨模型下，当全订单模型（FOM）和ROM具有与美式选项大致相同的0.1%精度水平时，与缩减基础尺寸相关的误差n=nλ200。对于欧洲选项，贝茨模型下的FOM和ROM的解决方案分别需要0.36秒和0.0015秒。对于美式选项，二维模型的FOM和ROM的求解分别需要大约8秒和0.034秒。在一维模型中，速度可以忽略不计。特别是贝茨模式和八个参数变化的结果令人印象深刻。对于一维模型，可能对于大多数应用程序，FOMSA的速度都非常快。对于二维模型，FOM通常在计算上过于庞大，在这种情况下，建议的ROM可以使用这些模型。prop-osed ROM方法的性能与以前基于NNMF的方法非常相似。例如，在使用所提出的方法的赫斯顿模型和之前基于NNMF的方法下，使用40个基向量的最大ROMprice er ror为2.9×10-3和4.2×10-分别为3。而对于Bates-mo-de-l，使用所提出的方法和之前基于NNMF的方法，使用40个基向量的ROM价格误差最大为6.8×10-3和4.0×10-分别为3。这些ROM的一个潜在应用是根据市场数据校准模型参数。使用最小s平方校准公式，EmployingROM可以快速准确地计算不同参数s的期权价格及其灵敏度。参考文献【1】F.Black，M。

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2022-5-30 21:58:30

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2022-5-30 21:58:35

Toivanen，《有限活动跳跃差异模型下美式期权定价的有限差异方法比较与调查》，国际计算机杂志。硕士学位。89（9）（2012）1112–1134。内政部：10.1080/00207160.2012.669475。[13] S.Salmi，J.Toivanen，跳差模型下期权定价的IMEX方案，应用。数字。数学84（2014）33–45。内政部：10.1016/j.apnum。2014.05.007。[14] J.Toivanen，《贝茨模型下美式期权定价的成分分割法》，载于《应用和数值部分微分方程》，计算机第15卷。方法应用。Sci。，Springer，纽约，2010年，第213-227页。内政部：10.1007/978-90-481-3239-3 \\\\u 16。[15] L.V.Ballestra，C.Sgarra，《带跳跃的随机波动率模型中美国期权的评估：一种有效的有限元方法》，计算机。数学应用程序。60（6）（2010）1571–1590。内政部：10.1016/j.camwa。2010.06.040。[16] S.Salmi，J.Toivanen，L.von Sydow，《贝茨模型下美式期权定价的迭代方法》，摘自《2013年国际计算科学会议论文集》，Proceedia Computer Science系列第18卷，Elsevier，2013年，第1136-1144页。内政部：10.1016/j.procs。2013.05.279。[17] S.Salmi，J.Toivanen，L.von Sydow，《带跳跃的随机波动率模型下期权定价的IMEX方案》，SIAM J.Sci。计算机。36（5）（2014）B817–B834。内政部：10.1137/130924905。[18] L.von Sydow，J.Toivanen，C.Zhang，《贝茨模型下的自适应有限差分和IMEXtime步进到公共ice期权》，国际计算机杂志。数学92（12）（2015）2515–2529。内政部：10.1080/00207160.2015.1072173。[19] A.Antoulas，《大型动力系统的近似》，第6卷《设计和控制的进步》，工业和应用数学学会（SIAM），宾夕法尼亚州费城，2005年。内政部：10.1137/1.9780898718713。[20] P.Benner，S.Gugercin，K。

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mingdashike22

2022-5-30 21:58:38

Willcox，《参数动力系统基于投影的模型简化方法综述》，SIAM Rev。57（4）（2015）48 3–531。内政部：10.1137/130932715。[21]L.Sirovich，《湍流与不同结构的动力学》。一、相干结构，夸脱。应用程序。数学45 (3) (1987) 561–571.[22]M.Rewie'nski，J.White，基于轨迹分段线性近似的非线性动态系统模型降阶，线性代数应用。415（2）（2006）426–454。内政部：10.1016/j.laa。2003.11.034。【23】C.Gu，J.Roychowdhury，《通过投影到非线性模型上的模型简化，以及模拟电路和生化系统的应用》，载于：2008年IEEE/ACM计算机辅助设计国际会议，IEEE，2008年，第85-92页。内政部：10.1109/ICCAD。2008.4681556。【24】J.Barbiˇc，D.L.James，《St.VenantKirchho fff可变形模型的实时子空间积分》，摘自：ACM图形事务（TOG），第24卷，ACM，2005年，第982-990页。内政部：10.1145/1186822.1073300。【25】M.Balajewicz，E.Dowell，B。Noack，结合Navier-Stokes方程约束的高雷诺数剪切流低维建模，J.流体力学。729（2013）285–308。内政部：10.1017/jfm。2013.278。【26】M.Balajewicz，I.Tezaur，E.Dowell，《用于稳定和增强可压缩Navier-Stokes方程基于投影的简化或der模型的theStiefel流形上的最小子空间旋转》，J.Compute。物理。321（2016）224–241。内政部：10.1016/j.jcp。2016.05.037。【27】M.Balajewicz，E.Dowell，基于投影的稳定性，Navier-Stokes方程的降阶模型，非线性动力学。70（2）（2012）1619–1632。内政部：10.1007/s11071-012-0561-5。【28】L.Cordier、B.Noack、G.Tissot、G.Lehnasch、J.Delville、M.Balajewicz、G.Daviller、R.Niven，《基于模型控制的识别策略》，实验流体54（8）（2 013）1-21。内政部：10.1007/s00348-013-1580-9。[29]D。

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大多数88

2022-5-30 21:58:41

Ryckelynck，《先验超约简方法：自适应方法》，计算机杂志。物理。202（1）（2005）346–366。内政部：10.1016/j.jcp。2004.07.015。【30】S.S.An，T.Kim，D.L.James，《优化容积以有效整合子空间变形》，摘自：《ACM Graphics交易》（TOG），第27卷，ACM，2008年，第165页。内政部：10.1145/1409060.1409118。【31】S.Chaturantabut，D.C.Sorensen，《通过离散经验插值进行非线性模型简化》，暹罗科学杂志。计算机。32（5）（2010）2737–2764。内政部：10.1137/090766498。[32]K.Carlberg，C.Bou Mosleh，C.Farhat，通过最小二乘Petrov-Galerkin投影和压缩张量近似有效地减少了n-线性模型，Int.J.Numer。冰毒。工程86（2）（201 1）155–181。内政部：10.1002/nme。3050。[33]D.Amsallem，C.Farhat，《基于投影的降阶模型的稳定性》，国际数字杂志。冰毒。工程91（4）（2012）358–377。内政部：10.1002/nme。C.Farhat，P.Avery，T.Chapman，J。Cortial，《具有有限旋转和基于能量的网格采样和加权以提高计算效率的非线性有限元动力学模型的降维》，Int.J.Numer。冰毒。发动机。9 8（9）（2014）625–662。内政部：10.1002/nme。4668。[35]D.Amsallem，M.J.Zahr，Y.Choi，C.Farhat，《使用超降阶模型的设计优化》，结构。多磁盘。O、 51（4）（2014）919–940。doi:10.1007/s00158-014-1183-y【36】C.Farhat，T.Chapman，P.Avery，《非线性有限元动力模型超简化的节能采样和加权方法的结构保持、稳定性和精度特性》，Int.J.Numer。冰毒。发动机。1 02（5）（2015）1077–1110。内政部：10.1002/nme。4820。[37]O.Burkovska，B.Ha asdonk，J.Salomon，B.Wohlmuth，Black-Scholes和Heston模型期权定价的简化基本方法，暹罗J.金融数学。6（1）（2015）685–712。内政部：10.1137/140981216。【38】M.Balajewicz，D.Amsalle M，C。

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2022-5-30 21:58:45

Farhat，《接触问题基于投影的模型r教育》，国际期刊，Numer。冰毒。工程106（8）（2016）644–663。内政部：10.1002/nme。5135.[39]M.Balajewicz，J.Toiva ne n，《随机波动和跳跃扩散模型下美国期权定价的d阶简化模型》，摘自：《2016年国际计算科学会议论文集》，Procedia Computer Science Series第80卷，Elsev ier，2016年，第734–743页。内政部：10.1016/j.procs。2016.05.360。【40】R.Cont，N.Lantos，O.Pironeau，《期权定价的缩减基础》，SIAMJ。金融数学。2（1）（2011）287–316。内政部：10.1137/10079851X。[41]E.W.Sachs，M.Schu，《降阶模型的先验误差估计》，ESAIM Math。模型数字。肛门。47（2）（2013）449–469。内政部：10.1051/m2an/2012039。【42】B.Haasdonk，J.Salomon，B.Wohlmuth，《美式期权模拟的简化基方法》，载于《数值数学与高级应用》，2011年，海德堡斯普林格出版社，2013年，第821-829页。【43】O.Pironneau，《简化基础上的选项校准》，J.Comput。应用程序。数学232（1）（2009）139–147。内政部：10.1016/j.cam。2008.10.070。[44]E.W.Sachs，M.Schu，《PIDE约束优化中的降阶模型》，控制Cyberne t.39（3）（2010）66 1–675。[45]E.W.Sachs，M.Schneider，M.Schu，《PIDE约束优化中的自适应信赖域POD方法》，载于：PDE约束优化趋势，Internat第165卷。序列号。数字。数学Birkhauser/Springer，Cham，2014年，第327-342页。内政部：10.1007/978-3-319-05083-6\\U 20。[46]E.Ekstrom，J.Tysk，《随机波动率模型中的Black-Scholes方程》，J.Math。肛门。应用程序。368（2）（2010）498–507。内政部：10.1016/j.jmaa。2010.04.014。【47】K.Ito，J.Toivanen，《随机波动下美式期权定价的拉格朗日乘数法与优化差异模板》，SIAM J.Sci。计算机。31（4）（2009）2646–2664。内政部：10.1137/07070574X。【48】D。

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