由于计量不变性，我们可以在同一个单位中表达股票和货币价值，这样一个单位的现金就可以交易成一股股票。我们假设封闭环境假设，这意味着在任何时候都有恒定数量的地块；用M表示交易地块（货币和股票）的总数，我们有n+M=n+M=M。在这种情况下，系统的初始配置是资本分配（n，M）；在每个时间步骤i中，系统都会演变为直到时间T的资本分配（ni，mi），从而实现最终分配（n，m）。为了考虑订单对价格动态的影响，有必要计算资本配置空间中所有可能的路径，并将每个路径的影响相加。这种计算是用相干态路径积分（CSPI）实现的，参见[2，16，17]。数字（ni，mi）是整数，在CSPI的上下文中，它们被描述为ni=？ψ1，iψ1，i，mi=？ψ2，iψ2，i，其中{ψj，k}是复数，对应于创建/湮灭操作符。我们通过ψj，kooperators表示一个阶Nivia。购买k股，我们损失了k单位的现金，反之亦然。我们有：Ni=δi[？ψ2，iψ2，i-ψ1，iψ1，i]。其中，符号δi表示前向差商，即δih（i）=h（i+1）- h（一）,具有 等于最小时间范围。变量ψ，ψ的动力学由一个哈密顿量H（t）（ψ，ψ）=H（i）jkψj，i+1ψk，i来描述，它连接ψ（j，k），ito S（i) = 硅。下面的表达式是在[2]中推导出来的：H（i）jk=0γSβie-βre-βutγS-βie-βre▄βut, (4)γ = (1 - tc）/.这里tc是交易的相对成本；是哈密顿动力学中模型的时间步长，|β表示价格变化的幅度。在我们的模拟中，我们假设u=r=r=tc=0和= .

给定哈密顿量，我们计算传播子：h？ψ1，N。。。，ψZ，N | | U（T=N, 0)||ψ1,0, ..., ψZ，0i=N-1Yj=1ZYk=1Zdψk，jd？ψk，j2iπ×exp-N-1Xj=1xk=1ψk，j？ψk，j+N-1Xj=1xk=1ψk，j？ψk，j+1×（5）经验ZXj，k=1H（N- 1） jk？ψi，Nψk，N-1+ . . . + ZXj，k=1H（0）jk'ψi，1ψk，0.第一个方括号内的数量对应于ZXk=1？ψk，0ψk，0+ZXk=1N-1Xj=0（(R)ψk，j+1-ψk，j）ψk，j.（6）在（5）中替换（4）和（6），我们得到：h？ψN？U（T=N, 0）|ψi=e‘ψ1,0ψ1,0+’ψ2,0ψ2,0ZYk=1,2N-1Yi=1dψk，jd？ψk，j2iπ×expN-1Xi=0（(R)ψ1，i+1ψ1，i-ψ1，iψ1，i+(R)ψ2，i+1ψ2，i-ψ2，iψ2，i+S|βiψ1，i+1ψ2，i+S-βi？ψ2，i+1ψ1，i）.（7） 我们引入了流体动力学变量ψk=pMρkeiφkψk=pMρke-iφk，（8），其中ρ∈ [0，1]和φ∈ [0, 2π]. 注意，由于闭合环境假设，M（ρ+ρ）=M，然后ρ=1- ρ.我们在流体动力学变量中写（7）。从？ψ1，i+1ψ1，i开始-ψ1，iψ1，i=[√ρ1，i+1ei（φ1，i+1-φ1，i）-√ρ1，i]√ρ1，i，（9）如果我们假设（φ1，i+1-φ1，i）“1+i（φ1，i+1- φ1，i）则（9）变成：(R)ψ1，i+1ψ1，i-ψ1，iψ1，i=[√ρ1，i+1-√ρ1，i+i√ρ1，i+1（φ1，i+1- φ1，i）]√ρ1，i；回顾前向差异商的定义，我们得到：(R)ψ1，i+1ψ1，i-ψ1，iψ1，i=√ρ1，i（δi√ρ1，i）+i√ρ1，i+1ρ1，i（δiφ1，i）；回顾√ρ1，i（δi√ρ1，i）=δiρ1，i，我们得到ψ1，i+1ψ1，i-ψ1，iψ1，i+(R)ψ2，i+1ψ2，i-ψ2，iψ2，i==i（φ1，i+1- φ1，i）√ρi+1ρi+（φ2，i+1- φ2，i）q（1- ρi+1）（1- ρi）, （10） 其中使用了守恒定律ρ+ρ=1。我们还有βiψ1，i+1ψ2，i+S-βi(R)ψ2，i+1ψ1，i==S▄βiqρi+1（1- ρi）ei（φ1，i+1-φ2，i）+S-βiq（1- ρi+1）ρiei（φ2，i+1-φ1，i）。

（11） 利用（7）中的方程（10）和（11），我们得到了传播子的公式：h？ψN？U（T=N, 0）|ψi=eMYk=1,2N-1Yi=1Zdρk，iρk，iπZ2πdφk，i×exp明尼苏达州-1Xi=0i{（φ1，i+1- φ1，i）√ρ1，i+1ρ1，i+（φ2，i+1- φ2，i）√ρ2，i+1ρ2，i}++Sβi√ρ1，i+1ρ2，iei（φ1，i+1-φ2，i）+S-βi√ρ2，i+1ρ1，iei（φ2，i+1-φ1，i）.前一传播子依赖于组合空间中的所有可能路径；为了获得条件概率，我们需要使用（3）将其与价格动力学联系起来。

我们可以写出Nias:Ni=δi[(R)ψ2，iψ2，i-ψ1，iψ1，i]=δi[ρ- ρ] =2δiρi，（12），使方程（3）变成-βAg（S）=N-1Xi=0-12σ对数（Si+1）-对数（Si）-2α[（ρi+1-ρi）]α=M/λ。我们现在考虑上面的传播子和股票价格作用（3），得到了新的传播子，它同时考虑了投资组合分配空间中的传播子和股票价格。h？ψN？U（T=N, 0）|ψi=eMYk=1,2N-1Yi=1ZdρiρiπZ2πdφk，iZ∞-∞d对数（Si）×exp[-βAg（S）+S]。使用：-βAg（S）=N-1Xi=0-12σ对数（Si+1）- 对数（Si）- 2α[（ρi+1- ρi）]S=MN-1Xi=0我（φ1，i+1-φ1，i）√ρi+1ρi+（φ2，i+1-φ2，i）q（1- ρi+1）（1- ρi）++S▄βiqρi+1（1- ρi）ei（φ1，i+1-φ2，i）+S-βiq（1- ρi+1）ρiei（φ2，i+1-φ1，i）.我们注意到，在之前的公式中，初始和最终时间的相干态没有被积分。根据量子力学形式，条件概率由p（S（T），（n，m）| S（0），（n，m））==ZYi，k2πid'ψi，kdψi，ke给出-ψi，kψi，khn，m | |ψ1，kihψN | U（T=N, 0）|ψih |ψ2，k | n，mi，其中：hn，m |=h0 |ψn1，nψm2，Nn！m|n、 mi=’ψn1,0’’ψm2,0 | 0i通过[2]中解释的一些计算，我们得到了公式p（S（T），（n，m）| S（0），（n，m））=n！m！S（T）-β（n-m） S（0）～β（n-m） （13）×Zd′ψdψh′ψN | U（T=N, 0）|ψi？ψn1,0？ψm2,0ψn1，Nψm2，Ne-2M，其中：Zd？ψdψ=Yk=1,2Yi=0，NZ2πid？ψk，idψk，i.之前的积分用相干态变量表示，这意味着为了计算它，我们需要将整个表达式转换为流体动力学变量；请注意，与量子力学一样，积分的结果是一个复数，而概率是它的模PG。s、 136、166和277-281方形。我们保留了Ilinski的符号，以简化与histheory的比较。前面的公式允许我们在给定初始价格S（0）和投资组合分配（n，m）的情况下，计算最终价格S（T）与最终投资组合分配（n，m）的概率密度函数。

由于计量变量，我们可以选择S（0）=1。这是我们在所有模拟中所做的选择。4数值积分数值模拟要求计算高维积分的近似值。我们在此简要描述了数值积分的策略。我们首先注意到，积分（13）涉及每个时间步的四个变量：ρi、φ1、i、φ2、i和Si。前三个变量描述订单动态；我们将这些变量的空间表示为流体动力学空间。最后一个变量是股票价格。该算法首先在流体动力学空间中选择与特定交易模式相对应的特定配置，然后使用Metropolis-Hastings算法（一种马尔可夫链蒙特卡罗方法）和potentialexp对相关股票价格变量进行采样-N-1Xi=02σ对数（Si+1）- 对数（Si）- 2α[（ρi+1- ρi）].然后使用采样值计算积分（13）。有关Metropolis-Hastings算法的详细信息，请参见[18]。我们重申引入了以下假设：ou=r=r=0，otc=0o￠β=2.5，oM=2n=2m=2n=2m=100。第一个假设没有限制性，使结果更加透明。第二个原因在于忽略了交易成本，但我们指出，这些成本可以很容易地引入到模型中。我们选择▄β=2.5，如【2】所示，观察到▄β的不同值不会改变模型的定性行为。事实上，哈密顿量在变换si下是不变的→ S▄β-1i，σ→ σ~β-1/2这种不变性可以用来消除▄β。最终假设被选为计算复杂性和准确性之间的折衷方案；在M值较高的情况下进行的模拟显示了类似的结果。模型的动力学是扰动几何布朗运动，扰动与参数α成正比。

布朗运动的参数与上面讨论的模拟相同。模拟结果以对数比例显示在图2和图3中。结果表明，该扰动仅图2：α=0.461（绿色）的扰动模型的正态分布（红色）和PDF。为了显示扰动的影响，我们只进行了一次模拟。图3：在这种情况下，所有三个模拟（α=0.266（黄色）、α=0.333（蓝色）和α=0.461（绿色）一起显示，以突出扰动强度和α之间的关系。导致方差σ增加。这可以在图4中观察到，其中显示了无订单模型的PDF，α=0.266，σ=0.00648（红色连续线），以及方差为1.156σ的正态分布（带方框的蓝色线）。模拟概率密度函数的平均值、方差和峰度的数值计算表明，前面的值如图4所示：红线为正态分布，而带方框的蓝线是之前模型模拟的结果，α=0.266。等于σ=0.0074908=0.00648的几何布朗运动对应的值* 1.156，在0.001%范围内。Ilinski在[2]中也证实了这种与财务数据不匹配的情况，他写道“这一策略远远不是最优的”。5广义modelIlinski提出了第二种扰动V=-2α[（ρi+1- ρi）]k- α（ρi+1- ρi） 对数（Si）n/M- 在k=1的情况下，他用鞍点法和其他近似方法计算S（T）的概率分布。[2，第148页，图6.15]中显示的概率分布在中部非常准确，但在深尾中表现不佳。

如果我们分析由Ilinski模型导出的概率密度函数，我们注意到它的翅膀在log（P（s（T））和log（s（T））之间表现出线性关系。这种行为与股市动态不太一致。在机翼区域，计算的概率密度函数与观测的概率密度函数之间的重叠不是很精确。特别是我们可以看到，PDF中显示的log（P（S（T））和log（S（T））之间的关系是多项式类型；i、 e，log（P（S（T））=αlog（S（T））Γ我们提出了一种不同的扰动：Ilinski作用-βAg（S）=N-1Xi=0-12σ对数（Si+1）- 对数（Si）- 2α[（ρi+1- ρi）],线性取决于差值（ρi+1- ρi）。我们介绍行动-βИAg（S）=N-1Xi=0-12σ对数（Si+1）-对数（Si）-JXk=12αk（ρi+1-ρi）|ρi+1-ρi | k-1.,其中J≥ 1和Γk≥ 1是整数。我们保持J较小，以避免数据过度拟合；结果表明，J=2的扰动提供的结果与我们分析的所有实际数据非常一致。然而，首先我们给出了一个J=1和Γ=3的结果，即JXk=12αk（ρi+1- ρi）|ρi+1- ρi | k-1= 2α(δρ).数值模拟结果如图5所示，图5显示了轻轨行为。图5：红线为正态分布，而蓝线为α=0.461的广义模型。我们将实际数据与我们的模型进行一些比较。实际数据来源于2017年5月1日至2017年7月26日的3个月标准普尔500指数和苹果股票价格表。采样频率为τ=60s；每个数据集包含大约25000个价格。为了获得与指数和股票相关的概率密度函数，我们遵循参考文献【14】中介绍的方法，即我们将一组历史数据视为随机变量的实例。我们首先计算Ibyxi=log（P（ti）/P（ti-1） ）ti- ti公司-1=τ，然后我们用N个箱子构建值xi的直方图。

图6、7、8和9中的直方图显示了计数的数量每个柱状图单元中的C除以单元宽度然后对结果进行归一化，以近似概率密度函数。实际数据的误差条估计为σbins序列号；哪里S是直方图x条的宽度。为了将模拟结果与[2、3、10]中得到的结果进行比较，我们绘制了对数尺度下的概率密度函数。我们绘制了一些模拟的结果，以产生真实数据。在这里，我们没有绘制模拟误差，以便尽可能清晰地保留图片；这些误差已经过估计，误差在1%以内。图中蓝色显示了标准普尔500指数的经验分布；黑色曲线表示使用广义模型的模拟结果。红色曲线代表σ和t相同的正态分布；图6：标准普尔500指数：σ=0.0000280，T=10，α=0.00092，N=60和 对数=0.002。在靠近中央价格的一个非常广泛的区域内，协议相当好；然而，在尾部，该模型低估了概率密度函数的值。这种行为涉及指数和苹果股票的模拟。图7：应用σ=0.0000628，T=10，α=0.0024，N=80和 对数=0.005。这可以解释为模拟中没有大跳跃，log（S（0））=0。i、 例如，与realmarket相比，我们的模型产生的较大价格变化量较小。模拟和真实数据之间的一致性可以通过额外的条件来改善。试探性地，我们观察到，当|Δρ|\'1时，添加更高阶项会产生更强烈的扰动。

对于苹果股票和标准普尔500指数，使用了两种不同类型的扰动：JXk=12αk（ρi+1- ρi）|ρi+1- ρi | k-1=2α（Δρ）+2α（Δρ）适用，JXk=12αk（ρi+1- ρi）|ρi+1- ρi | k-1=2α（Δρ）+2α（Δρ）S和P500。与先前扰动相关的数值模拟给出了以下结果：图8：APPLσ=0.0000628，T=10，α=0.0024，α=0.0015，N=80和 对数=0.005。我们用来量化真实数据和模拟之间的一致性的度量是数值和真实数据之间的重叠幅度图9：S&P500σ=0.000028，T=10，α=0.00092和α=0.0011，N=60和 对数=0.0024。y轴上的数据概率密度函数。例如，如果重叠从y轴上的点1.0一直延伸到点2.5，则我们声称该协议具有一个半数量级。我们选择这个特殊的度量，因为它已经在我们用作基准的参考中使用过。第一次尝试用随机过程再现真实资产的概率密度函数是[3]。作者证明，对于τ=1 min的标准普尔指数，有可能获得几乎三个数量级的一致性。Dupoyet和Fiebig在【10】中使用量子晶格模型获得了更好的结果，该模型再现了NSDAQ指数的概率密度函数，具有大约四个数量级的一致性，τ相同。

尽管[10]比[3]有了可观的改善，但它解决了与Ilinski相同的问题，即它低估了市场大幅调整的可能性。我们的模型对苹果股票和标准普尔指数概率密度函数的拟合程度几乎达到了四个数量级，尤其是与上述其他模型相比，它提供了一个良好的分布或深尾区域的分布。6表格和统计分析我们提供了模拟的统计特性与参数值之间的定量关系。给出了两个表，其中α和α的值不同；在第一行中，我们将与广义模型的σ和T相同的GBM相关的参数写入。从表中可以推断出扰动强度与αk值之间的直接关系。两个模型之间的最大差异可以在表的最后几行中看到，其中α’0，即α产生的扰动更强。参数的估计值由经典公式k th矩（X）=Z（X）获得- u）kf（x）dx，其中f代表变量x的概率密度函数，u是其平均值。通过计算概率密度函数的5倍，估计方差、峰度和其他矩的误差，然后对每个结果的参数进行评估。

写入的值是根据先前结果计算的平均值和标准偏差。α1,2方差峰度6阶矩8阶矩GBM 3.93 e-8 3.00 9.19 e-22 2.53 e-28α=2.6 e-3α=1.1 e-32.0720 e-7±1.34 e-96.4628±0.0177.6536 e-19±3.13 e-212.9050 e-24±1.65 e-26α=1.3 e-3α=1.1 e-39.0440 e-08±2.33 e-106.2574±0.0388.8153 e-20±6.13 e-222.5805 e-25±5.33 e-27α=6.5 e-4α=1.1 e-35.5517 e-08±5.89 e-105.0646±0.0651.4685 e-20±7.80 e-243.1448 e-26±2.88 e-28α=3.25 e-4α=1.1 e-34.5458 e-08±7.40 e-104.3413±0.0155.3952 e-21±5.73 e-238.6426 e-27±8.38 e-29α=1.65 e-4α=1.1 e-34.2556 e-08±4.41 e-103.7724±0.0733.4505 e-21±3.44 e-234.1386 e-27±4.03 e-29α1,2方差峭度6矩8矩GBM 3.93 e-8 3.00 9.19 e-22 2.53 e-28α=2.6 e-3α=01.9595 e-07±7.17 e-105.8585±0.0185.5543 e-19±1.79 e-211.9428 e-24±5.05 e-27α=1.3e-3α=08.5264 e-08±1.13 e-104.2395±0.0102.3935 e-20±1.53 e-223.0881 e-26±2.48 e-28α=6.5 e-4α=05.0286 e-08±4.02 e-103.2557±0.00472.4980 e-21±1.70 e-231.1181 e-27±3.30 e-29α=3.25 e-4α=04.4560 e-08±2.40 e-103.1126±0.00961.4168 e-21±1.69 e-234.4932 e-28±6.54 e-30α=1.65 e-4α=03.9401 e-08±1.32 e-103.0249±0.0129.2073 e-22±3.33 e-252.6648 e-28±5.50 e-30它是还需要注意的是，αk值与σ成正比。在第一个广义模型模拟中，α/σ\'10-1/10-3=10，这与实际数据情况α/σ’10相等-3/10-5= 10.

如果我们观察到整个行动，这一点很清楚δlog（S）- 2α(δρ)Γ- 2α(δρ)Γ.在Metropolis-Hastings算法中，为了获得25%的混合比，S函数与σ成正比，而Δρ始终分布在[-1，1]，即δlog（S）\'σ，-2α(δρ)Γ- 2α(δρ)Γ\' ±2α± 2α.为了以适当的方式干扰价格变化，我们需要σ\'±2α±2α，因此σ的数量级变化必须对应于参数α和α的类似变化。7广义模型的解释上述术语αk（Δρ）Γkin使我们能够在模拟PDF和真实PDF之间获得良好的一致性。在本节中，我们将对此类数量进行财务解释。考虑到扰动α（Δρ）Γ，我们观察到oΓ影响跳跃的大小，oα影响跳跃的概率。我们首先考虑。图10显示了单个扰动模型α（Δρ）Γ的结果，其中Γ和固定α的值不同。图10：α（Δρ）Γ=5-蓝色、7-绿色、9-黄色、11-紫色和13-黑色。红色曲线表示σT相同的正态分布。几何布朗运动产生一个中库尔特概率密度函数，用该模型模拟的所有轨迹都有一条连续路径。然而，通过设置较大的方差σ，可以获得初始价格S（0）和最终价格S（T）之间的较大波动。增加σ不会影响轨迹的连续性，因为模型仍然是GBM。价格波动与方差σ直接相关；但连续性不受此参数值的影响。这些事实表明σ可以解释为具有较小排列的订单的频率S=| S（i）- S（i+1）|。σ值越大，单位时间内的订单数量越大，价格波动越大。

既然我们考虑小S变化，保持连续性。这个模型太简单，无法描述真实的市场；特别是在单位时间内可能会发生一些大规模的价格调整。这些事件称为跳跃。在实际金融环境中，当宏观经济情景发生外部变化时，就会出现大规模价格修正；当这种情况发生时，原始价格可能被大大低估或高估。在前一种情况下，宏观经济变化后立即发出的指令将有很大的价差S、 在此框架内，更可能出现大幅价格修正；而黑猩猩则认为PDF的尾部更胖。给定的模型只允许xS跳跃S=| S（T）-S（0）|，价格变动的概率其中y<<x，等于没有跳跃的情况。相反，如果y≥ X在跳跃较少的情况下，概率会高得多。表示翅膀开始展示其存在的价格，我们可以观察到它与Γ成正比。事实上，我们注意到，正态分布和黑线（Γ=13）之间的重叠比蓝线（Γ=5）的重叠更长；此外，所有价格变化yS≥ |S- 相对于几何布朗运动模型，S（0）|更可能发生。

这与我们对Γ的解释是一致的。我们还记得，Γ=1的扰动等于σ增加的几何布朗运动；再次表明Γkis与模型中存在的跳跃大小有关。为了考虑α的影响，我们在图11中显示了扰动α（Δρ）和α不同值的模拟结果。图11：α（Δρ）α=0.00181-绿色，0.00158-黄色，0.00140-蓝色，0.00126-紫色和0.00114-黑色。前面的模拟以及前面的表格表明，分布的峰度和更高偶数矩与α值直接相关。尾部下方的质量量化了存在跳跃时出现的大规模价格变化；这意味着与这种变化相关的概率与跳跃概率直接相关。这显示了跳跃与尾巴形状之间的关系。参考文献[1]K.Ilinski，《金融物理学》，http://lanl.arxiv.org/abs/hep-th/9710148[2] K.Ilinski，《金融物理学：非均衡定价中的规范建模》，Wiley 2001【3】R.N.Mantegna和H.E.Stanley，《经济指数动态中的标度行为》，《致自然的信件》，1995年7月6日，376，46-49【4】B.E.Baaquie，《量子金融路径积分和期权与利率的哈密顿量》，剑桥大学出版社，2004年。[5] B.E.Baaquie，《量子金融中的利率和息票债券》，剑桥大学出版社，2009年。[6] G.Montagna，O.Nicrosini，N.Moreni，《期权定价的路径积分法》，Physica A 310（2002）450-466【7】G.Montagna，M.Morelli，O.Nicrosini，P.Amato，M.Farina Pricingderivatives by path integral and neural networks，Physica A 324189195，（2003）【8】G Bormetti，G Montagna，N Moreni，O Nicrosini，《路径积分法中的奇异期权定价》，量化金融6，1，55-66（2006）[9]J.P.A.Devreese，D.Lemmens，J。

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