基于延迟因子模型的投资组合优化

2022-6-10 02:01:31

基于延迟因子模型的投资组合优化*孙立贤+张政2022年3月8日摘要我们提出了一个不完全市场中的最优投资组合问题，其中基础资产取决于具有延迟效应的经济因素，此类模型可以描述短期预测以及不同金融市场之间的时滞相互作用。延迟现象可分为积分型和逐点型。通过最大限度地提高电力利用率来确定最佳策略。由于延迟导致非马尔可夫结构，传统的Hamilton-JacobiBellman（HJB）方法不再适用。利用随机极大值原理，我们认为最优策略可以用解耦的二次正倒向随机微分方程（QFBSDEs）的s解来表征。最优性通过Super鞅参数进行验证。建立了QFBSDEs解的存在唯一性。此外，如果市场是完全的，我们还提供了一个基于鞅的d方法来解决我们的投资组合优化问题，并研究了它与所提出的FBSDE方法的联系。最后，分析了可以显式求解相应FBSDE的两种特殊情况。关键词：投资组合优化；延迟因子模型；FBSDEs；鞅方法。1简介由于全球化和透明度，金融市场不能被视为本地系统。观察到市场之间以及不同地区之间的市场之间的相互作用。因此，为了抓住这一特征，我们将因子模型考虑在内，其中基础金融资产的系数取决于另一个被称为因子的随机过程。这些因素可以描述为来自外部金融市场的信息或影响。

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2022-6-10 02:01:34

基于因子模型的最优投资组合问题被广泛讨论。如果f因素仅对基础资产产生影响*国立中央大学数学系，台湾中立，32001sheusj@math.ncu.edu.tw+中央大学统计研究所，台湾中立，32001lihsiensun@ncu.edu.tw.Work科技部资助103-2118-M008-006-MY2中国人民大学统计与大数据研究所zhengzhang@ruc.edu.cnthrough其当前状态值，即影响是马尔可夫的，可以应用动态规划推导相应的Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程，并且可以通过一阶条件获得马尔可夫或反馈最优策略的候选值。该策略的最优性可以通过验证定理来保证。见Bauerle和Rieder（2004）；Berdjane和Pergamenschikov（2013）；卡斯塔·内达·莱娃和她的南德斯·赫恩·安·迪兹（2005）；Delong和Kluppelberg（2008）；Fleming和她的nandez-Her-nandez（2003）；Fleming和Pang（2004）；Fleming和Sheu（1999年，2002年）；Fouque和Hu（2017）；Hata和Sheu（2012a，b）；Hayashi和Sekine（2011）；刘（2007）；Nagai（1996、2003、2014）进行了深入讨论。根据Lo等人（2007）的讨论，在真实金融市场中，历史信息的显著依赖性是可用的；徐和宽（2005）；Lorenzoni等人（2007年）；Dokuchaev（2012），可用于短期预测。影响因素通常不会立即出现，但具有延时特征，s ee Dokuchaev（2015）。具有时滞的随机控制问题在应用中非常重要，在各种情况下都得到了广泛的研究。

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2022-6-10 02:01:37

Oksendal和Sulem（2001）介绍了满足Pontryagin-Bisit-Benssoussan型stoch-astic最大值原理的时滞不稳定变量的最优解；Oksendal等人（2011年）。此外，拉尔森（2002）；Larssen和Risebro（2003）利用动力学编程原理将具有状态延迟的系统简化为一个有限维问题。inGozzi和Marinelli（2006）讨论了同时具有状态时滞和控制时滞的广义随机控制问题；Gozzi等人（2009年）；Gozzi和Masiero（2015）的抽象空间和相应的HJB方法。此外，Chen和Wu（2011）、Chen et al.（2012）和Xu（2013）使用正向和高级反向随机微分方程（FABSDEs）方法研究了上述具有时滞的一般优化问题。特别是，对有限参与者的带时滞的线性二次随机博弈进行了研究。Bensoussan等人（2015年）考虑了具有延迟的线性四元比率平均场Stackelberg博弈。在这篇文章中，我们提出了一个不完全市场中的投资组合优化问题，考虑了具有时滞的因子模型。特别是，基础风险资产的系数既包括点向时间延迟因子，也包括积分时间延迟因子。通过最大化预期电力效用，确定投资组合优化问题的最优策略。由于延迟特性导致了非马尔可夫结构，因此无法再应用动态规划原理和HJB方法。我们利用随机极大值原理和前向和后向微分方程（FBSDE）来描述最优解。通过应用正的super martin gale性质，提供了一个验证定理。参见定理1和定理2。另见Hu等人（2005年）。

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能者818

2022-6-10 02:01:40

讨论了最优策略所驱动的相应FBSDE的存在性和唯一性。由于耦合FBSDE的复杂性，通常无法获得显式解。然而，我们提出了两个可以获得显式解的特殊例子，并讨论了相应的财务影响。此外，如果市场是完整的，我们还提供了一种基于鞅的方法来解决我们的优化问题，并研究了它与建议的FBSDE方法的联系。我们在定理3中对这个关系作了精确的说明。另见Horst et al.（2014）中的相关讨论。据我们所知，这是系统研究带有延迟因子模型的投资组合优化问题的第一个网络。本文的主要内容如下。第2节介绍了基本框架和符号。在第3节中，我们为我们提出的不完全市场中的最优投资组合问题提供了解决方案。第4节说明了在具有时滞的完全市场中，FBSDE方法和m artin gale方法之间的解的比较。第5节研究了具有显式解的两种特殊情况。第6节提供了结论和讨论。技术证明见附录。2延迟因子模型(Ohm, F、（Ft）t≥0，P）是一个过滤的完全概率空间，其中N∈ 定义了N维维纳过程W=（W，···，WN）。

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2022-6-10 02:01:43

设m和n为小于或等于n的两个有限正整数，andr（·，·，·）：Rn×R×Rn→ R，u（·，·，·）：Rn×R×Rn→ Rm，σ（·，·，·）：Rn×R×Rn→ Rm×N，b（·，·）：R×Rn→ Rn，σF（·，·）：R×Rn→ Rn×N，h（·）：Rn→ R是满足以下条件的确定性可测函数：o（A1）R，u，b，σ和σFare全局Lipschitz和二次可微；此外，我们假设它们的一阶和二阶导数是有界和连续的；o（A2）r是非负且有界的；o（A3）（σσ*)-1有界，其中（·）*表示转置操作；o（A4）h在全球范围内是Lipsch-itz和可区分的。无风险资产的价格∈ R+={z；z>0}和R isk y库存S：=（S，···，Sm）*∈ r由以下随机微分方程建模：dS（t）=Str（Y（t），V（t），Z（t））dt，dSi（t）=Si（t）nui（Y（t），V（t），Z（t））dt+PNk=1σik（Y（t），V（t），Z（t））dWk（t）o，dY（t）=b（Y（t））dt+σF（Y（t））dW（t），S=S，Si=Si，i∈ {1，…，m}，Y=Y∈ rN其中ui（·）是u（·）的ITH分量，σik（·）是σ（·）的（i，k）元素。Rn值和Ft适应过程Y（t）被称为因子过程，描述外部市场的信息，V（t）是指数加权平均延迟因子（Hayashi和Sekine，2011；Chang等人，2011），由V（t）=Z定义-δeλsh（Y（t+s））ds，（1）和Z（t）是逐点延迟因子Z（t）=Y（t-δ），（2）和λ、δ是固定的正常数。V的不同形式可以写成dv（t）=h（Y（t））- e-λδh（Z（t））- λV（t）dt，V（0）=V=Z-δeλsh（Y（s））ds。为简单起见，我们将在其余讨论中使用以下符号：u（t）=u（Y（t），V（t），Z（t）），r（t）=r（Y（t），V（t），Z（t）），σ（t）=σ（Y（t），V（t），Z（t）），b（t）=b（Y（t），V（t），Z（t）），σF（t）=σF（Y（t），V（t），Z（t））。金融市场由利率为r（t）和m的银行组成≤ N库存。

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2022-6-10 02:01:46

在m<N的情况下，我们面临一个不完全市场。对于给定的投资组合π=（π，…πm）*在自我融资条件下，财富过程的动力学Xπ（t）可以写成dxπ（t）=Xπ（t）{r（t）+π（t）*（u（t）- r（t）1）}dt+Xπ（t）π（t）*σ（t）dW（t），X（0）=X，（3），其中1表示m维列向量，其分量均为1。请注意，πi（t）是持有第i项风险资产的财富比例≥ 1，π：=1-Pmi=1πII——持有无风险资产的比例。如果投资组合π是渐进可测且zt |π（t）| dt<∞, a、本文的目标是找到最佳投资组合，以最大化预期的电力利用率supπE[U（Xπ（T））]（4），其中U（X）=γXγ，0<γ<1.3主要结果由于财富过程（3）涉及延迟因素，传统的HJB方法不再适用。我们应用Bimit（1978）中描述的随机最大值原理（参见Peng（1993）和Horst et al.（2014））来解决优化问题（4）。按照Horst et al.（2014）的想法，通过将It^o公式应用于▄Xπ（t）=U（Xπ（t）），wegetd▄Xπ（t）=xU（U-1（￠Xπ（t）））U-1（￠Xπ（t））r（t）+π（t）*（u（t）- r（t）1）dt公司+xxU（U-1（￠Xπ（t）））（U-1（~Xπ（t）））π（t）*σ（t）σ（t）*π（t）dt+xU（U-1（￠Xπ（t）））U-1（▄Xπ（t））π（t）σ（t）dW（t），=γ▄X（t）r（t）+π（t）*（u（t）- r（t）1）-(1 - γ） π（t）*σ（t）σ（t）*π（t）dt+π（t）*σ（t）dW（t）,~Xπ（0）=U（X）。（5）哈密顿量由h（π，x，p，q）=γx给出r+π*(u - r1）-(1 - γ)π*σσ*πp+π*σq, （6）这是π的严格凹函数。这里我们省略了H对y，v，z的依赖关系。回想一下，r，u，σ是y，v，z的函数。

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2022-6-10 02:01:49

因此，最优投资组合^π满足一阶条件：πH（^π，^x，p，q）=0，这导致最优策略的候选者^π（t）=1- γ（σ（t）σ（t）*)-1.（u（t）- r（t）1）+σ（t）q（t）p（t）, （7）其中{p（t），q（t）}t≥0是DP（t）=-xH（π（t），~Xπ（t），p（t），q（t））dt+q（t）*dW（t）。在（7）中，我们隐式假设p（t）6=0 f或所有t。将（7）代入（5）并使用旋转θ（·）：=σ（·）*(σ(·)σ*(·))-1(u(·) - r（·）1），（8）我们得到了以下正倒向随机微分方程（FBSDE）：dX^π（t）=γ1- γИX^π（t）(1 - γ） r（t）+θ（t）*θ（t）-q（t）p（t）*σ（t）*（σ（t）σ（t）*)-1σ（t）q（t）p（t）dt+γ1- γИX^π（t）θ（t）*+q（t）p（t）*σ（t）*（σ（t）σ（t）*)-1σ（t）dW（t），（9）dp（t）=-γ1 - γ(1 - γ） r（t）+θ（t）*θ（t）-q（t）p（t）*σ（t）*（σ（t）σ（t）*)-1σ（t）q（t）p（t）p（t）+θ（t）*q（t）+q（t）p（t）*σ（t）*（σ（t）σ（t）*)-1σ（t）q（t）dt+q（t）*dW（t）（10），边界条件▄X^π（0）=U（X），p（t）=1。我们想证明FBSDEs（9-10）有一个唯一的解，它由三个过程{X^π（t），p（t），q（t）}0表示≤t型≤T、应该注意的是，FBSDEs（9-10）是一个解耦系统，从这个意义上讲，后向方程（10）的系数不涉及前向过程X^π（T）。此外，对于给定的（p（t），q（t）），正向方程（9）的系数是全局Lipschitzin X^π（t），然后根据标准SDE理论，如果反向随机微分方程（BSDE）（10）唯一可解，则（9）允许唯一解。因此，为了确定FBSDE（9-10）解的唯一存在性，有必要证明BSDE（10）具有唯一解。我们引入了新变量^p（t）=log p（t），以及^q（t）=q（t）p（t），其中我们隐式假设p（t）>0表示所有t。

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2022-6-10 02:01:52

相应的新FBSDE满足{X^π（t），p（t），q（t）}0≤t型≤Tbecomesd▄X^π（t）=γ1- γИX^π（t）(1 - γ） r（t）+θ*θ -^q（t）*σ（t）*（σ（t）σ（t）*)-1σ（t）^q（t）dt+γ1- γИX^π（t）θ（t）*+ ^q（t）*σ（t）*（σ（t）σ（t）*)-1σ（t）dW（t）（11）d^p（t）=- γr（t）-γ1 - γθ（t）*θ（t）-γ1 - γ^q（t）*σ（t）*（σ（t）σ（t）*)-1σ（t）^q（t）-γ1 - γθ（t）*^q（t）-^q（t）*^q（t）dt+^q*（t） dW（t）=- γr（t）-γ1 - γθ（t）*θ（t）-^q（t）*In×n+γ1- γσ（t）*（σ（t）σ（t）*)-1σ（t）^q（t）-γ1 - γθ（t）*^q（t）dt+^q（t）*dW（t）（12），边界条件^p（t）=0，其中In×nis为单位矩阵。注意，反向动力学在^q（t）中是二次的。研究二次FBSDEs（11-12）的解需要以下空间：L（[0，T]×Ohm; Rd）={X：[0，T]×Ohm → RDI可逐步测量，kXkL（[0，T]×Ohm)< ∞},L∞(Ohm; Rd）={ξ：Ohm → Rd，英尺- 可测量，kξk∞< ∞},S∞（[0，T]×Ohm; Rd）={φ：[0，T]×Ohm → Rd，continuo us，adapted，kφkT，∞< ∞},BM OT（Q）={N：[0，T]×Ohm → R、 R值Q-鞅，kN kBMOT（Q）<∞} ,这里，[[0，T]]是停止时间的集合，取[0，T]，kXkL（[0，T]×中的值Ohm)=中兴通讯[| X（t）|]dt，kξk∞= ess sup公司Ohm|ξ（ω）|，kφkT，∞= ess sup[0，T]×Ohm|φ（t，ω）|，对于概率测度Q(Ohm, F），关于Q的有界平均振荡（BMO）形式由knkbmot（Q）=ess sup[[0，T]]EQ（hNiτ，T | Fτ）定义，其中hNiτ，是Q-鞅n（·）从τ到T的二次变化，并且在所有可能的停止时间0上取s的上峰≤ τ ≤ T我们的第一个结果表明，二次FBSDEs（11-12）允许唯一解。定理1。假设（A1-A4）。设ξ：=ZTγr（t）+θ（t）*θ（t）dt。如果kξk∞< ∞, 然后存在唯一的解决方案（▄X，^p，^q）∈ L（[0，T]×Ohm; R） ×S∞（[0，T]×Ohm; Rd）×BMOT（P）到二次FBSDE（11-12）。即鞅zt^q（s）*dW（s），0≤ t型≤ T、在BM OT（P）中。定义π（t）=1- γ（σ（t）σ（t）*)-1（（u（t））- r（t）1）+σ（t）^q（t））。

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2022-6-10 02:01:55

（13）那么▄X（t）=▄X^π（t）由▄X（t）=▄X exp给出Rt公司γr（s）+（γ1-γ)(1-2γ1-γ） |θ（s）|-(γ1-γ） θ（s）*^q（s）-γ(1-γ） ^q（s）*σ（s）*（σ（s）σ（s）*)-1σ（s）^q（s））ds+γ1-γRtθ（s）+σ（s）*（σ（s）σ（s）*)-1σ（s）^q（s）*dW（s）.此外，我们有▄X^π（t）p（t），0≤ t型≤ T（14）是鞅。特别地，使用X^π（t）=（γ∧X（t））γ，我们得到了[U（X^π（t））]=γXγexp（p（0））。证据我们应用Tevzadze（2008）中开发的方法（另见Touzi（2012））证明了解的唯一存在性（￠X，^p，^q）∈ L（[0，T]×Ohm ; R） ×S∞（[0，T]×Ohm ; Rd）×BMOT（P）。附录A给出了技术证明。我们接下来证明^X^π（t）p（t）是鞅。It^o公式在▄X^π（t）p（t）中的应用得到：d▄X▄π（t）p（t）=p（t）d▄X▄π（t）+X▄π（t）dp（t）+d▄X▄π（t）dp（t）=γ1- γp（t）~X^π（t）θ（t）*+ ^q（t）*σ（t）*（σ（t）σ（t）*)-1σ（t）dW（t）+X^π（t）p（t）q（t）*dW（t），（15）意味着∧X^π（t）p（t）是局部鞅。此外，根据事实p（t）=exp（p（t））和已建立的结果E[RT | X^π（t）| dt]<∞ 和k^pkT，∞< ∞, 我们可以得到ZT | X^π（t）p（t）| dt≤ kpkT，∞·EZT | X^π（t）| dt= exp（k^pkT，∞)·EZT | X^π（t）| dt< ∞ .因此，我们可以得出这样的结论：X^π（t）p（t）是鞅。本文的第二个主要结果是以下验证定理，确保（13）定义的^π是我们提出的投资组合问题（4）的最优策略。定理2。假设二次FBSDE（11-12）有一个解（^X，^p，^q），这样^X（t）p（t）是一个鞅，其中p（t）=exp（^p（t）），那么（13）中定义的^π是原始问题（4）的最优投资组合，相应的最大效用由γXγexp（^p（0）给出。证据方程（11-12）有解（￠X，p，q）意味着方程（9-10）有解（￠X，p，q），其中p（t）=exp（￠p（t）），q（t）=p（t）q（t）。since▄X▄π（t）p（t）是一个鞅，则ne[▄X▄π（t）p（t）]=▄X▄π（0）p（0）。定义π（t）。

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2022-6-10 02:01:58

我们可以用Ito\'s公式来表示（γОX（t））1/γ=X^π（t），d（γОX（t））1/γ=γ（γ）1/γ（~X（t））γ-1dX（t）+1-γ2γ（γ）1/γ（~X（t））γ-2(γ1-γ）（￠X（t））|θ（t）+σ（t）*（σ（t）σ（t）*)-1σ（t）^q（t）| dt，在对方程进行模拟后，我们得到了（γОX（t））1/γ=（γОX（t））1/γ{（r（t）+π（t）*（u（t）- r（t）1）dt+^π（t）*σ（t）dW（t）}。这里，^π（t）由（13）给出。对于任意策略π，通过将It^o公式应用于▄Xπ（t）p（t），我们可以得到d▄Xπ（t）p（t）=p（t）d▄Xπ（t）+▄Xπ（t）dp（t）+d▄Xπ（t）dp（t）=-γ1 - γИXπ（t）p（t）(1 - γ） π（t）*σ（t）+θ（t）*+q（t）p（t）*σ（t）*（σ（t）σ（t）*)-1σ（t）dt+~Xπ（t）p（t）γπ（t）*σ（t）-q（t）p（t）dW（t）≤~Xπ（t）p（t）γπ（t）*σ（t）-q（t）p（t）dW（t）。（16）通过使用∧Xπ（t）p（t）>0表示0≤ t型≤ T，~X（T）p（T）是非负上鞅。我们可以归纳为[~Xπ（T）p（T）]≤ ~xp（0）=E[~X^π（T）p（T）]。由于p（T）=1且▄Xπ（T）=U（Xπ（T）），▄X（T）=U（Xπ（T）），▄X=U（X）=γXγ，我们得到了[U（Xπ（T））]≤ E[U（X^π（T））]=γXγp（0）=γXγexp（p（0）），这意味着^π的最优性。注意，最优投资组合策略可以写成^π=1- γ(σσ*)-1(u - r1）+1- γ(σσ*)-1σ^q，（17），其中第一项与夏普比率（σσ）成比例*)(u -r1）独立于财富X^π（t），等于原始默顿问题的解，第二项是通过求解BSDE（12）。4完整的市场分析在第3节中，我们使用BSDE ap方法开发了优化问题（4）的解决方案。应该注意的是，我们的一般结果是成立的，并不要求市场是完整的。在本节中，我们发展了另一种不同的鞅方法来解决完全市场假设下的原始问题（4）。这一结果为FBSDE和鞅方法之间的联系提供了一个全面的研究，类似于Horst等人的讨论。

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2022-6-10 02:02:01

(2014).如果市场是完整的，则σ（t）-1存在，则（9-10）变为▄X^π（t）=γ1- γИX^π（t）{（（1- γ） r（t）+θ（t）|-|^q（t）|）dt+（θ（t）+^q（t））*dW（t），（18）和dp（t）=p（t）-γr（t）-γ2(1 - γ） |θ（t）|-γ2(1 - γ） |^q（t）|-γ1 - γθ（t）*^q（t））dt+^q（t）*dW（t）.（19）另一方面，可以通过鞅方法获得投资组合问题（3）和（4）的最优策略，这是对偶技术和鞅表示定理的应用。参考Karatzas和Shreve（1998）中的第3章，我们回顾了附录B中的鞅方法。基于U（x）=γxγ且0<γ<1，最优投资组合由^π（t）=（σ（t）给出*)-1.θ（t）+ψ（t）M（t）-1.（20）其中M（t）是由M（t）=E定义的鞅H（T）（Z（x）H（T））γ-1.英尺（21）h（t）=exp-Ztθ（s）*dW（s）-Zt |θ（s）| ds-Ztr（s）dsθ（t）=σ（t）-1（u（t）- r（t）1），（22）和Z（x）是唯一的溶液，使得ehh（t）（Z（x）H（t））γ-1i=x。因此，通过设置φ=EhH（T）-γ1-γi，我们可以得到z（x）γ-1=xφ（23），m（t）=xφEH（T）-γ1-γ英尺.此外，ψ（·）是一个平方可积过程，来自鞅表示定理：M（t）=x+Ztψ（s）*dW（s）。（24）我们现在研究BSDE（p（t），^q（t））和鞅M（t）之间的关系。此外，我们保证EP（t）=φ1-γeRt-γr（s）-γ2(1-γ） |θ（s）|-γ1-γθ（s）*^q（s）-2(1-γ） |^q（s）|ds+Rt^q（s）*带^q（t）=（1）的dW（s）- γ） ψ（t）M（t）-1.- 通过验证终端条件p（t）=1，γθ（t）为（10）的解。定理3。定义M（t）如（21），^π（t）如（20），和^q（t）=-γθ（t）+（1- γ） ψ（t）M（t）-1（25）使（13）保持不变。ThenM（t）=H（t）X^π（t）。（26）定义X^π（t）=γ（X^π（t））γ。然后（18）保持不变。通过（19）定义p（t）。那么我们有p（t）=p（0）H（t）γM（t）1-γ. （27）特别地，我们有p（T）=p（0）Z（x）-如果我们选择p（0）=Z（x），则1=1。证据我们只需要证明（27）。

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2022-6-10 02:02:04

通过（19），我们得到dp（t）=p（t）(-γr（t）-γ2(1 - γ） |θ（t）|-γ2(1 - γ)| - γθ（t）+（1- γ） ψ（t）M（t）-1|-γ1 - γθ（t）*(| - γθ（t）+（1- γ） ψ（t）M（t）-1） dt公司+(-γθ（t）+（1- γ） ψ（t）M（t）-1)*dW（t）.这里我们使用（25）。Thenp（t）=p（0）expZt公司(-γθ（s）+（1- γ） ψ（s）M（s）-1)*dW（s）-Z |- γθ（s）+（1- γ） ψ（s）M（s）-1 | dt+Zt(-γr（s）-γ2(1 - γ） |θ（s）|-γ2(1 - γ)| - γθ（s）+（1- γ） ψ（s）M（s）-1|-γ1 - γθ（s）*(| - γθ（s）+（1- γ） ψ（s）M（s）-1） ds公司.简化后，我们得到p（t）=p（0）expZt公司(-γθ（s）+（1- γ） ψ（s）M（s）-1)*dW（s）-γZt |θ（s）| ds-(1 - γ） Zt |ψ（s）M（s）-1|= p（0）H（t）γM（t）1-γ. （28）这里我们使用dm（t）=M（t）（ψ（t）M（t）-1)*dW（t），可唯一求解以获得M（t）的表达式，M（t）=M（0）exp（Zt（ψ（s）M（s）-1)*dW（s）-Zt |ψ（s）M（s）-1 | ds）。从（21）中，我们得到m（T）=H（T）（Z（x）H（T））-1.-γ=（Z（x））-1.-γH（T）-γ1-γ. （29）因此，将（28）和（29）放在一起，我们最终得到p（T）=p（0）Z（x）-如果取p（0）=Z（x），那么p（T）=1。这就完成了证明。虽然我们不能直接求解二次FBSDE（11-12），但可以应用基于回归的算法等数值模式。例如，见Bender和Zhang（2008）。在第5节讨论的某些特定情况下，可以明确地获得FBSDE（11-12）的解。5两种特殊情况本节专门分析两种特殊情况，其中可以明确获得二次FBSDE（11-12）和相应的最优策略（13）。5.1有限延迟时间在这种情况下，我们考虑δ=∞ in（1），即V（t）=Z-∞eλsh（Y（t+s））ds，动力学和s中没有点延迟因子Z（t）。为简单起见，weassume N=m=N=1被视为完全市场。注意，给定系数n=1的尺寸，使得σ*F（In×n+γ1-γσ*(σσ*)-1σ）σf是一个一维过程，不完全m市场（m<N）的情况也可以用相同的参数来解。

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2022-6-10 02:02:08

因此，W（t）是一维布朗运动，andr（t）=r（Y（t），V（t）），u（t）=u（Y（t），V（t）），σ（t）=σ（Y（t），V（t）），b（t）=b（Y（t），V（t）），σF（t）=σF（Y（t），V（t））和θ（Y（t），V（t））=σ（Y（t），V（t））-1（u（Y（t），V（t））- r（Y（t），V（t））1）。方程V的微分形式可以写成dv（t）=（h（Y（t））- λV（t））dt。对于BSDE的解（^p，^q）和最优策略^π，我们有以下结果。提案1。BSDE的解（^p，^q）由^p（t）=η（t，Y（t），V（t）），^q（t）=σF（Y（t），V（t））给出ny（t，y（t），V（t）），（30），其中η（t，y，V）=（1- γ）日志Et，y，v经验值ZTtγ1- γr（△Y（s），V（s））+γ（1- γ） θ（￠Y（s），V（s））ds,（31）具有相应的动态=b（￠Y（s），V（s））+γ1- γθ（Y（s），V（s））σF（Y（s））ds+σF（~Y（s），V（s））dW（s），s≥ t、 Y（t）=Y，dV（s）=（h（Y（s））- λV（s））ds，s≥ t、 V（t）=V。具有有限延迟时间的优化问题的最优策略由^π（t，y，V）=u（y，V）给出- r（y，v）（1- γ） σ（y，v）+σF（y，v）yη（t，y，v）（1- γ） σ（y，v）。（32）证明。我们做了一个ansatz，写为^p（t）=η（t，Y（t），V（t））。（33）将It^o公式应用于^p（t），我们得到d^p（t）=tη（t，Y（t），V（t））+b（Y（t），V（t））yη（t，y（t），V（t））+σF（y（t），V（t））y yη（t，y（t），V（t））dt+（h（Y（t））- λV（t））vη（t，Y（t），v（t））dt+σF（Y（t））yη（t，y（t），V（t））dW（t）。（34）然后比较BSDE（12）编写的asd^p（t）=- γr（Y（t），V（t））-γ1 - γθ（Y（t），V（t））-1.- γ^q（t）-γ1 - γθ（Y（t），V（t））^q（t）dt+^q（t）dW（t）（35）确定^q（t）=σF（y，v）yη（t，y（t），V（t））。（36）我们还得到了η（t，y，v）的方程，如下所示：tη（t，y，v）+σF（y，v）y yη（t，y，v）+b（y，v）+γ1- γθ（y，v）σF（y，v）yη（t，y，v）+（h（y）- λv）vη（t，y，v）+1- γσF（y，v）(yη（t，y，v））+γr（y，v）+γ1- γθ（y，v）=0，（37），终端条件η（T，y，v）=0。设？η=eη1-γ.

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可人4

2022-6-10 02:02:11

因此，（37）可以重写为tη（t，y，v）+σF（y，v）y yη（t，y，v）+b（y，v）+γ1- γθ（y，v）σF（y，v）yη（t，y，v）+（h（y）- λv）vη（t，y，v）+γ1 - γr（y，v）+γ（1- γ） θ（y，v）终端条件为η（t，y，v）=1时，η（t，y，v）=0，（38）。利用（38）和伊藤公式，我们得到了Dert给出的相应动力学γ1-γr（u）+γ（1-γ） θ（u）du▄η（t，▄Y（t），V（t））=eRtγ1-γr（u）+γ（1-γ） θ（u）duσF（￠Y（t），V（t））y▄η（t，▄y（t），V（t））dW（t），其中▄y（s）和V（s）满足▄y（s）=b（￠Y（s），V（s））+γ1- γθ（Y（s），V（t））σF（Y（s），V（t））ds+σF（~Y（s），V（s））dW（s），s≥ t、 Y（t）=Y，dV（s）=（h（Y（s））- λV（s））ds，s≥ t、 V（t）=V。η的候选解写为η（t，y，V）=Et，y，V经验值ZTtγ1- γr（△Y（s），V（s））+γ（1- γ） θ（￠Y（s），V（s））ds.利用所提出的正则性条件（A1-A4）并应用Krylov（1980）中的定理2.9.10，我们得出η（s，y，v）对于t是一阶连续可微的，对于y是secon-dorder连续可微的，对于v是一阶连续可微的。此外，ztterγ1-γr（u）+γ（1-γ） θ（u）duσF（~Y（s），V（s））y▄η（s，▄y（s），V（s））dW（s）（39）是一个鞅，以保证（31）是η的解。最优策略由（32）中定义的^π（t，Y（t），V（t））给出。财务影响基于（32），我们观察到第一项与夏普比率成比例，第二项由σ和σ的比率驱动。因此，在yη>0，风险资产投资在因子波动率σF中增加。

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2022-6-10 02:02:15

例如，在国内股票市场，如果我们将这些因素视为外国股票，外国股票的波动性越大，风险资产中财富的最佳比例就越大。我们现在研究一种特定的有限延时情况，假设σfB为常数B（t）+γ1- γθ（t）σF=αY（t）+αV（t），γr（t）+γ1- γθ（t）=βY（t）+βV（t），h（Y（t））=Y（t）。（40）参数constraintβ<0。我们将η写成η（t，y，v）=ψ（t）y+ψ（t）v+ψ（t）yv+ψ（t），其中，对于i=1，···，4，ψi（t）是由满足φψ（t）=-2αψ（t）-σF1- γψ（t）- 2ψ（t）- 2β，（41）˙ψ（t）=2λψ（t）- 2αψ（t）-σF1- γψ（t）- 2β，（42）˙ψ（t）=(-α+λ）ψ（t）-σF1- γψ（t）ψ（t）- αψ（t）- ψ（t），（43）˙ψ（t）=-σFψ（t），（44），终端条件ψi（t）=0，对于i=1，···，4，通过确定y、v、yv和零阶项的系数。耦合有序微分方程的存在性和唯一性可以基于条件β<0进行验证。与y相对应的Firstorder导数如下所示：yη（t，y，v）=ψ（t）y+ψ（t）v。相应的最优策略由^π（t，y（t），v（t））表示为^π（t，y，v）=u（y，v）- r（y，v）（1- γ） σ（y，v）+σF（ψ（t）y+ψ（t）v）（1- γ） σ（y，v）。（45）在β<0和α>0的情况下，α>0，β<0，ψ（t）和ψ（t）保持在负f或0≤ t型≤ T例如，请参见图1。因此，在y<0和v<0的情况下，投资者打算投资风险资产，而不是无风险资产，因为自对于0，yη（t，y，v）>0≤ t型≤ T导致σFyη（t，y，v）（1- γ） σ（y，v）>0。然而，假设y>0且v>0，持有风险资产的财富比例^π（t，y（t），v（t），Z（t））变得更小，因为yη（t，y，v）<0表示σFyη（t，y，v）（1- γ） σ（y，v）<0.5.2点延迟基于Chang等人。

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2022-6-10 02:02:18

（2011）和Pang和Hussain（2015），我们假设N=1，σfb为常数，b（t）+γ1- γθ（t）σF=αY（t）+αV（t）+αZ（t），γr（t）+γ（1- γ） θ（t）=βY（t）+βV（t）+βZ（t），h（Y（t））=Y（t），（46）0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-2.5-2-1-0.5图1：参数α=1，α=1，β=-2, β= -2，λ=1，σF=1，γ=0.5，终止时间T=1。αi和βifor i=1，···，3满足α+eλΔα=-αβα+ β= 1, α-λeλΔα=-αβα+β=αeλδ。（47）获得如下最优策略。提案2。假设（46），则（^p，^q）的解由^p（t）给出=eT公司-t型- 1.Y（t）+eλΔαV（t）-βαY（t）+σF2（1- γ）（（e2（T-t）- 1) + 21 +βα(1 - eT公司-t）+1 +βα（T- r）），（48）^q（t）=σFeT公司-t型- 1.-βα. （49）优化问题的最优策略为^π（t，Y（t），V（t），Z（t）），由^π（t，Y，V，Z）=u（Y，V，Z）给出- r（y，v，z）（1- γ） σ（y，v，z）+σF（eT-t型- 1.-βα)(1 - γ） σ（y，v，z）。（50）证明。基于假设（46），假设η（t，Y（t），V（t））与Z（t）无关，则^p（t）的th eansatz由^p（t）=η（t，Y（t），V（t）给出。因此，将It^o公式应用于^p（t），我们得到d^p（t）=tη（t，Y（t），V（t））+b（t）yη（t，y（t），V（t））+σFy yη（t，y（t），V（t））dt+（Y（t）-e-λδZ（t）- λV（t））vη（t，Y（t），v（t））dt+σFyη（t，y（t），V（t））dW（t）。（51）识别（51）和（12）意味着^q（t）=σFyη（t，y（t），V（t）），（52）和η满足度tη（t，y，v）+σFy yη（t，y，v）+（αy+αv+αz）yη（t，y，v）+（y- eλδz- λv）vη（t，y，v）+1- γσF(yη（t，y，v））+βy+βv+βz=0，终端条件η（t，y，v）=0。因此tη（t，y，v）+（αyη+vη+β）y+（αyη- λvη+β）v+（αyη- e-λδvη+β）z+1- γσF(yη（t，y，v））+σFy yη（t，y，v）=0，终端条件η（t，y，v）=0。

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2022-6-10 02:02:21

我们得到由η（t，y，v）=Q（t）给出的η（t，y，v）的解y+eλΔαv-βαy+ψ（t）（53），其中Q（t）和dψ（t）是满足˙Q（t）=-Q（t）- 1，˙ψ（t）=-σF2（1- γ)Q（t）-βα, （54）终端条件Q（T）=0且ψ（T）=0导致Q（T）=eT给出的解-t型- 1，ψ（t）=σF2（1- γ）（（e2（T-t）- 1) + 21 +βα(1 - eT公司-t）+1 +βα（T- r））。然后我们得到（48-49）的解。这里我们使用条件（47）。这导致了（50）中的^π（t，Y（t），V（t），Z（t））给出的最优投资组合。最后一个结果来自（13）和表达式（50）。金融含义根据点延迟的最优策略（50），如果eT-t型-1.-βα>0仅取决于α和β是逐点延迟项的系数。即，假设t=0，当t>log（1+βα）给出的终止时间t足够大时，在因子波动率变大的情况下，投资者偏好风险资产。显然，βα<0 imp对于所有T>0，yη>0。在这种情况下，风险资产的投资比例在factorvolatilityσF.6中增加。结论在本文中，我们考虑了基于幂效用的延迟因子模型的投资组合优化问题。由于非马尔可夫特征，我们应用随机极大值原理和FBSDE方法来描述最优策略，并证明相应FBSDE的存在性和唯一性。我们进一步提出了一种利用鞅方法求解完全市场优化问题的差分方法，并研究了其与FBSDE方法的联系。此外，还讨论了两个显式可解的情况。

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2022-6-10 02:02:24

本文提出的问题可以扩展到多个方向，包括一般效用分析和保险分析。从财务角度来看，通过最大化指数效用或一般效用来研究投资组合优化问题将是非常有意义的，其中资产由延迟因子模型驱动。此外，利用Espinosa和Touzi（2015）提出的相对性能，一人优化问题可以扩展到具有游戏特征的多人优化问题。从数学角度来看，在（非）马尔可夫结构下，还需要讨论相应的耦合二次FBSDE的存在性和唯一性。在马尔可夫情形下，HJB方程的可解性也值得研究。我们将在今后的工作中努力解决这些问题。定理1二次FBSDE的一个证明是dX^π（t）=γ1-γИX^π（t）n（1- γ） r（t）+θ（t）+q（t）*σ（t）*[σ（t）σ（t）*]-1σ（t）^q（t）odt+γ1-γИX^π（t）nθ（t）*+ ^q（t）*σ（t）*[σ（t）σ（t）*]-1σ（t）odW（t），d^p（t）=- γr（t）-γ1-γ|θ（t）|-^q（t）*（In×n+γ1-γσ（t）*[σ（t）σ（t）*]-1σ（t））^q（t）-γ1-γθ（t）*^q（t）dt+^q（t）*dW（t），^X（0）=U（X），^p（t）=0。定义以下符号SF（t，^q（t））：=γr（t）+γ1- γ|θ（t）|+^q（t）*In×n+γ1- γσ（t）*[σ（t）σ（t）*]-1σ（t）^q（t）+γ1- γθ（t）*^q（t）。然后我们可以将^p（t）的动力学写成如下（d^p（t）=-f（t，^q（t））dt+^q（t）*dW（t），^p（t）=0。（A.1）表示γ=γ1- γ.考虑测得的p概率▄p=ET（▄γθ*· W）dpwheret（￠γθ）*· W）=经验值ZT￠γθ（t）*dW（t）-ZTk￠γθ（t）*kdt公司（A.2）是Dol'eans-Dade指数鞅，W（t）=W（t）-Zt￠γθ（s）*ds，是一个P-brownian运动。

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2022-6-10 02:02:27

那么（A.1）等于（d^p（t）=-f（t，^q（t））dt+^q（t）*d▄W（t），^p（t）=0，（A.3），其中▄f（t，^q（t））=γr（t）+▄γθ（t）+^q（t）*In×n+～γσ（t）*[σ（t）σ（t）*]-1σ（t）^q（t）=γr（t）+γ|θ（t）|+^q（t）*In×n+～γ～σ（t）^q（t）和￠σ（t）：=σ（t）*[σ（t）σ（t）*]-1σ（t）。显示系统（A.1）具有唯一解决方案等同于显示（A.3）具有唯一解决方案。注意，（A.3）相当于以下系统：dp（t）=-（￠f（t，^q（t））-f（t，0））dt+^q（t）*dW（t）=-^q（t）*In×n+～γσ（t）*[σ（t）σ（t）*]-1σ（t）^q（t）dt+^q（t）*d▄W（t），▄p（t）=ξ。（A.4）式中，p（t）=^p（t）+Ztf（s，0）ds，ξ：=Ztf（s，0）ds=Zt（γr（s）+γθ（s）*θ（s））ds。证明了（A.4）对于有界终端条件kξk有唯一解∞< ∞.A、 1局部解第一个结果表明，当kξk∞体积小，系统（A.4）h作为一种独特的解决方案。提案A.1。设β：=4·kIn×n- σk∞. 假设kξk∞<4β，系统（a.4）存在一个唯一解（^p，^q），其范数为k^pk∞+ k^q·W kBMOT（~P）≤2β.证据通过关系（dp（t）=考虑映射（~p，^q）=F（~p，q）-（▄f（t，▄q（t））-f（t，0））dt+^q（t）*d▄W（t），▄p（t）=ξ。（A.5）使用Ito公式|p（t）|，我们可以得到|p（t）|=kξk∞+ 2ZTt▄p（s）（▄f（s，▄q（s））-f（s，0））ds-ZTt |^q（s）| ds- 2ZTt▄p（s）^q（s）*dW（s）。设τ为取值为[0，T]的停止时间。在上述方程的两侧取条件期望E[·| Fτ]，其中E[·| Fτ]表示条件期望w.r.t.概率测度P和过滤Fτ，并使用不等式2ab≤a+4b，我们可以得到|p（t）|+EZTτ|^q（s）| ds | Fτ≤kξk∞+ 2kpk∞·EZTτ|￠f（s，(R)q（s））-f（s，0）| ds | fτ≤kξk∞+kpk∞+ 4.EZTτ|￠f（s，(R)q（s））-f（s，0）| ds | fτ.在这个命题的其余证明中，我们使用符号knkbmot=kN kBMOT（▄P）表示▄P-鞅N。

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2022-6-10 02:02:30

请注意kpk∞+ k^q·W kBMOT≤最大值kpk∞, k^q·W kBMOT≤ess sup[[0，T]]|~p（τ）|+~EZTτ|^q（s）| ds | Fτ≤kξk∞+kpk∞+ 4·ess sup[[0，T]]E[ZTτ| f（s，(R)q（s））-\'f（s，0）| ds | fτ].本质上确界接管τ∈ [[0，T]]，s topping times takingvalue在[0，T]中的集合。我们获得thatk▄pk∞+k^q·W kBMOT≤kξk∞+ 4·ess sup[[0，T]]EZTτ|￠f（s，(R)q（s））-f（s，0）| ds | fτ≤kξk∞+ 4·ess sup[[0，T]]EZTτ|In×n+～γσ（s）·q（s）|ds | Fτ≤kξk∞+ kIn×n+～γИσk∞· k'q·'W kBMOT（定义'σ一致有界）。回想一下定义β=4·kIn×n+～γ～σk∞,因此，我们可以得到thatkpk∞+ k^q·W kBMOT≤ kpk∞+ 2k^q·W kBMO≤ 4kξk∞+ β·k'q'W kBMOT≤ 4kξk∞+ β（k'pk∞+ k'q·'W kBMOT）。我们可以选择R，使得4kξk∞+ βR≤ R、当且仅当kξk∞≤4β. 例如，R=√2β（A.6）满足这个二次不等式。因此，ballBR=n（^p，^q·W）∈ S∞×BMOT，kpk∞+ k^q·W kBMOT≤ Ro，是指F（BR） BR。类似于（\'pj，\'qj·▄B）∈ BR，j=1，2，使用符号δ'p='p- \'p，δ\'q=\'q- \'q.利用伊藤引理，我们可以得到thatkδОpk∞+ kΔ^q·BkBMOT≤4·ess sup[[0，T]]EZTτ|￠f（s，(R)q（s））-f（s，(R)q（s））| ds | fτ=ess sup[[0，T]]EZTτ|(R)q（s）*（In×n+～γσ（s））～q（s）- \'\'q（s）*（In×n+～γ～σ（s））(R)q（s）| ds | Fτ=ess sup[[0，T]]EZTτ|δ′q（s）*（In×n+℃γσ（s））（\'q（s）+\'q（s））| ds | Fτ≤kIn×n+～γ～σk∞· ess sup[[0，T]]~EZTτ|δ′q（s）*|ds | Fτ· ess sup[[0，T]]~EZTτ（| q（s）|+| q（s）|）ds | Fτ≤2kIn×n+～γ～σk∞· ess sup[[0，T]]~EZTτ|δ′q（s）*|ds | Fτ·ess sup[[0，T]]~EZTτ| q（s）| ds | Fτ+ ess sup[[0，T]]~EZTτ| q（s）| ds | Fτ!≤β·kδ'q'W kBMOT·2R=βRkδ'q'W kBMOT≤kδ′q·▄W kBMOT≤kδ′pk∞+ kδ′q·▄W kBMOT,因此，F（·，·）在BR上形成一个收缩映射。在这里，我们使用R givenearlier（A.6）的定义。因此，根据标准结果，F（·，·）有一个唯一的固定点，即（a.5）的解。A、 2全局解我们接下来证明（A.4）对于任何有界kξk都有唯一解∞< ∞ .

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2022-6-10 02:02:33

对于anykξk∞< ∞, 它可以表示为和ξ=KXi=1ξ（j），kξ（j）k∞<4β和K∈ N是一个有限的整数。考虑以下迭代系统，其中j=1，2。。。，K：dp（j）（t）=-f（t，^q（1）（t）+…+^q（j）（t））-f（t，^q（1）（t）+…+^q（j- 1）（t））dt+^q（j）（t）*d▄W（t），▄p（j）（t）=ξ（j），▄p（0）=0，^q（0）=0。（A.7）从阻力A.1中，我们知道了（△p（1），^q（1））的存在，前提是kξ（1）k∞≤4β.接下来我们证明如果kξ（2）k∞≤4β，存在以下QBSDE的溶液（^p（2），^q（2））：（dp（2）（t）=-~f（t，^q（1）（t）+^q（2）（t））-f（t，^q（1）（t））dt+^q（2）（t）*dW（t），0≤ t型≤ T、 ~p（2）（T）=ξ（2）。（A.8）提案A.2。假设kξ（2）k∞<4β，系统（a.8）存在唯一的解决方案（^p（2），^q（2））。证据注意，f（t，^q（1）（t）+^q（2）（t））-~f（t，^q（1）（t））=（^q（2）（t）+^q（1）（t））*（In×n+～γ～σ（t））（^q（2）（t）+^q（1）（t））-^q（1）（t）*（In×n+～γ～σ（t））^q（1）（t）=^q（2）（t）*（In×n+～γ～σ（t））^q（2）（t）+^q（1）（t）*（In×n+～γ～σ（t））^q（2）（t）。然后（A.8）变成（dp（2）（t）=-^q（2）（t）*（In×n+～γ△σ（t））^q（2）（t）dt+^q（2）（t）*ndW（t）-（In×n+～γ～σ（t））^q（1）（t）dto，～p（2）（t）=ξ（2）（A.9）使用Girsan-ov定理和Touzi（2012）第11.1.2节中BMO的性质3，我们可以通过dp（2）确定概率p（2）：=ET（（In×n+～γ～σ）^q（1）·W）d·p，其中ET（·）在（A.2）中定义，Brownian运动在（W）中定义（2）（t）：=dW（t）- （In×n+～γ～σ（t））^q（1）（t）dt使（A.9）变为（dp（2）（t）=-^q（2）（t）*（In×n+～γ△σ（t））^q（2）（t）dt+^q（2）（t）*d▄W（2）（t），▄p（2）（t）=ξ（2）（A.10），其形式与（A.4）相同。使用与命题A.1中相同的论点，我们可以证明在条件kξ（2）k下∞≤4β，系统（A.10）在空间S中有唯一的溶液（~p（2），^q（2））∞（[0，T]×Ohm, Rd）×BMOT（P（2））。类似地，我们可以证明解（▄p（j），^q（j）），j=1，2，3。。，系统存在K（A.7）。

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2022-6-10 02:02:37

最后，我们可以看到▄p（t）=▄p（1）（t）+▄p（2）（t）+····+▄p（K）（t）和▄q（t）=▄q（1）（t）+▄q（2）（t）+···+▄q（K）（t）求解（A.4）。A、 3全球大学我们考虑QBSDE（A.1）。我们首先发现| f（t，^q（t））|≤γr（t）+γ|θ（t）|+k^q（t）k·kIn×n+～γσk+k～γθ（t）k·k^q（t）k≤γr（t）+γ|θ（t）|+k▄γθ（t）k+k^q（t）k·（kIn×n+▄γ▄σk+1）≤K+M·K^q（t）K其中：=γr（·）+γ|θ（·）|∞+k▄γθ（·）k∞,M：=（kIn×n+～γ～σk∞+ 1) .引理A.1。Letξ∈ L∞(Ohm, R）。假设（^p，^q）是一个解，使得^p有界。也就是说，^p∈ S∞（[0，T]×Ohm; Rd）。那么^q·W在BMOT（P）中。证据设^p为（a.1）的解，且存在常数C>0，使得^p（t）|≤ 所有t的C a.s。将τ表示为停止时间，使0≤ τ ≤ T设λ为固定实数（稍后选择）。应用伊藤引理求exp（λ^p（T））- exp（λ^p（τ）），使用边界条件^p（T）=0，我们得到λZTτeλ^p（s）| q（s）| ds- λZTτeλ^p（s）f（s，^q（s））ds+λZTτeλ^p（s）^q（s）*dWs=exp（λ^p（T））- exp（λ^p（τ））≤ 1.If^q*· W是平方可积鞅，在上述不等式中取条件期望，得到λEZTτeλ^p（s）| q（s）| dsFτ≤1+λ·EZTτeλ^p（s）f（s，^q（s））dsFτ≤1+λK·EZTτeλ^p（s）dsFτ+ λM·EZTτeλ^p（s）| q（s）| dsFτ这意味着λ- λMEZTτeλ^p（s）| q（s）| dsFτ≤ 1+λK·EZTτeλ^p（s）dsFτ.取λ=4M，我们可以得到4M·EZTτeλ^p（s）| q（s）| dsFτ≤ 1+λKT·e4MC，对于任何停止时间τ。自^p≥ -C、然后我们可以得到k^q·W kBMOT（P）≤（1+λKT·e4MC）e4MC4M。最后，我们可以得出结论，（A.1）的解属于S∞（[0，T]×Ohm; Rd）和^q·W∈BMOT（P）。定理A.1。存在（A.1）的唯一解，使得^p∈ S∞（[0，T]×Ohm; Rd）和^q·W∈ BMOT（P）。证据假设（^p，^q）和（^p，^q）是（A.1）的两个解。

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2022-6-10 02:02:40

设δp=~p- ^pandδq=^q- ^q.我们有δp（t）=δp（0）-Zt[f（s，^q（s））- f（s，^q（s））]ds+Ztδq（s）*dW（s）。允许jf（s）≡ jf（s，^q（s），^q（s））：=f（s，^q（s）。。。，^qj-1（s），^qj（s），^qj+1（s）。。。，^qn（s））- f（s，^q（s）。。。，^qj-1（s），^qj（s），^qj+1（s）。。。，^qn（s））^qj（s）- ^qj（s），用于j∈ {1，…n}其中^qjand^qjare是^p和^p.Let的jthcomponentf（s）=(f（s）。。。，nf（s））*.Thusf（s，^q（s））- f（s，^q（s））=f（s）*δq（s）。那么我们有δp（s）=-f（s）*δq（s）ds+δq（s）dW（s），δp（T）=0。引理4.1，f·W∈ BM OT（P）然后根据Touzi（2012）第11.1.2节中BMO的属性3和Girsanov定理，我们确定了一个新的概率dq=ET(f·W）dP，其中E（·）在（A.2）中定义。然后我们得到δp（s）是一个Q-鞅，它产生δp（s）=EQ[δp（T）|Fs]=0，s∈ [0，T]。B鞅方法在完全市场的情况下，我们考虑由πE[U（Xπ（T））]写成的投资组合优化问题，其中U（·）被定义为效用函数。也就是说，U（x）是递增的，凹的，和U′(∞) = 上述问题可以重写为：假设πE[U（Xπ（T））]=supξ∈C（x）E[U（ξ）]，其中h（t）=exp-Ztθ（s）*dW（s）-Zt |θ（s）| ds-Ztr（s）ds用符号θ（t）=σ（t）-1（u（t）- r（t）1）。式中，C（x）={ξ∈ F（T）：E[H（T）ξ]≤ x} 由预算控制培训给出。因此，我们有SUPξ∈C（x）E[U（ξ）]+z（x- E[H（T）ξ]）= xz+supξ∈C（x）E[U（ξ）- zH（T）ξ]。（B.1）方程式（B.1）在^ξ=I（zH（T））处达到最大值，其中I（·）表示为U′（·）的倒数。我们进一步假设以下条件∧（z）=e[H（T）I（zH（T））]<∞对于所有z>0。使用∧（z）在z上严格递减，且∧（0）=∞ 和∧(∞) = 0，存在唯一的z=z（x），使得∧（z（x））=x。我们现在定义（t）=E[H（t）I（z（x）H（t））| Ft]，其中fti是通过使用鞅表示m（t）=x+Ztψ（s）与概率测度P和ψ（s）的过滤*dW（s）。

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能者818

2022-6-10 02:02:43

（B.2）此外，将g It^o公式应用于H（t）X^π（t）给出H（t）X^π（t）=X+ZtH（s）X^π（s）（s）*σ（s）- θ（s）*)选择dW（s），（B.3）和^π（t），使得M（t）=H（t）X^π（t）。通过识别（B.2）和（B.3），我们得到^π（t）=（σ（t）*)-1.θ（t）+ψ（t）M（t）-1..参考文献n。鲍尔和U·里德。马尔可夫调制股票价格和利率的投资组合优化。IEEE自动控制交易，49:442–4472004。C、 Bender和J.Zhang。耦合FBSDE的时间离散化和马尔可夫迭代。《应用概率年鉴》，18（1）：143–1772008。A、 Bensoussan、M.H.M.Chau和S.C.P.Yam。平均场stackelberg游戏：延迟指令的聚合。《暹罗控制与优化杂志》，53（4）：2237–22662015。B、 Berdjane和S.Pergamenschikov。随机系数市场的最优消费和投资。《金融与随机》，17:419–4462013。Jean-Michel铋。最优随机控制中对偶的一种介绍性方法。《暹罗评论》，20（1）：62-781978年。R、 Carmona、J.-P.Fouque、M.Mousafa和L.-H.Sun。系统性风险与时滞随机博弈。arXiv:1607.0637320016。N、卡斯塔·内达·莱瓦和D·她·南德斯·她·南德斯。具有随机系数的不完全市场中的最优消费投资问题。《暹罗控制与优化杂志》，44（4）：1322–13442005。M、 -H.Chang、T.Pang和Y.Yang。具有有限记忆的随机投资组合优化模型。《运营数学研究》，36（4）：604–6192011。五十、陈和Z.Wu。具有时滞的s阶线性控制系统的二次问题。第30届中国控制会议论文集，中国烟台，2011年。五十、陈志武、余德忠。时滞随机线性二次型控制问题及其应用。《应用数学杂志》，2012年。五十、德隆和C.克鲁佩尔伯格。

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