订单建模和做市策略

2022-6-10 03:44:28

订单建模与做市策略Xiaofei Lu*1和Fr'ed'eric Abergel+1巴黎大学CentraleSup'elec实验室金融定量研究2018年6月14日摘要做市是算法交易最重要的方面之一，从理论角度对其进行了广泛的研究。然而，所谓的“最优策略”的实际实施，是因为大多数订单模型未能忠实地反映真实市场参与者的行为。本文分为两部分。首先，确定了订单驱动市场的一些重要统计特性，反对使用纯粹的马尔可夫订单模型。然后，基于模拟和回溯测试，设计了市场营销策略，并对其性能进行了比较。我们发现，在限额订单中加入一些简单的非马尔可夫特征可以极大地提高做市策略在现实环境中的表现。关键词：限价指令簿、马尔可夫决策过程、做市1简介大多数现代金融市场都是由指令驱动的市场，其中所有市场参与者都会显示他们希望买卖交易证券的价格以及所需数量。由于其优越的透明度，该模型被股票、期货和期权市场广泛采用。在订单驱动的市场中，所有长期买卖订单都集中在限额订单簿（LOB）中。图1给出了一个LOB示例，以及一些基本定义。

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2022-6-10 03:44:32

LOB中的订单通常根据价格进行优先级排序，然后根据FIFO规则进行时间排序。随着电子市场的兴起和金融市场的放松管制，算法控制策略变得越来越重要。特别是，做市策略（或称流动性提供）是现代市场的核心。由于没有更多的指定做市商，每个市场参与者都可以，有时也必须，向市场提供流动性，而最优做市策略的设计是一个具有重要现实意义的问题。从这篇开创性的论文【Ho和Stoll，1981年】开始，定量金融领域的许多研究人员一直对做市商问题的理论解决方案感兴趣。它已在【Avellanda和Stoikov，2008】中使用随机控制框架正式化，然后扩展了不变性贡献，如【Gu’eant等人，2013】【Cartea and Jaimungal，2013a，Cartea等人，2014，Cartea and Jaimungal，2013b】【Fodra and Pham，2013】【Fodra and Pham，2015】【Guibaud and Pham，2013b】【Guibaud and Pham，2013a】【Bayraktar and Ludkovski，2014】【Gu’eant等人，2012】或【Gueant and Lehalle，2015】。值得注意的是，在这一系列的论文中，限额指令簿并不是这样建模的，由于执行的一些可能性，限额指令被间接考虑在内。在实践中，LOB的价格不连续性和内在排队动态使得这种简化与实际市场相比过于简单，实践者显然会发现*小菲。lu@centralesupelec.fr+弗雷德里克。ab公司ergel@centralesupelec.frP5bP4bP3bP2bP1bP0P1aP2aP3aP4aP5aprices020406080100QuantitiesV5bV4bV3bV2bV1bV1aV2aV3aV4aV5aFigure1：说明性订单示例。图左半部分的蓝色条表示可用的采购订单，价格为P·b，总数量为V·b。

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2022-6-10 03:44:35

这些对应于买方，也称为投标方。投标方的参与者提供了流动性，他们准备以该价格购买一定数量的股票。右边的横条代表卖方，通常称为“卖方”或“卖方”，在这里，参与者愿意以他们准备好的价格出售他们的订单。中间的一行对应于中间价格水平，计算为最佳（最高）出价和最佳（最低）要价之间的平均值。当卖出订单和买入订单至少部分匹配时，交易发生。具有相同价格的限价订单队列称为限价。同一限制中的不同颜色表示优先级不同的订单，较深的条具有较高的执行优先级。订单的这些实际微观结构特性在评估做市策略的可行性方面起着基础性作用。现在有大量关于订单账簿建模的文献，读者可以参考【Abergel et al.，2016】对该主题进行广泛研究，但关于做市策略——或更一般的交易策略，仅限于最近的论文，如【Abergel et al.，2017】实际使用全订单账簿模型解决做市问题。我们在本文中的目的是从建模和策略设计的角度对这一主题的文献做出贡献，因此本文有两个方面：分析和改进了【Huang等人，2015年】提出的排队反应式订单簿模型，然后研究一对买卖订单的最优布局作为做市范式。数据说明：我们使用2016年6月和7月的Eurostoxx 50期货数据进行整体分析，并在11月之前进行回测以进行样本外验证。Eurostoxx 50期货有两个主要优势：1。

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2022-6-10 03:44:38

这是一种非常大的指数工具，平均价差非常接近1个指数，并且极为罕见的多重限额交易（低于0.5%）；期货合约的欧元价值很高，所以人们会从合约数量而不是名义上考虑。这实际上简化了单位的选择。这两个观察结果使我们能够仅遵循第一个（最佳）出价和询价限制，并将重点放在我们感兴趣的问题上，即设计一个模型，其中订单簿的状态以及导致订单进入当前状态的订单类型是相关的。这种方法与纯粹的马尔可夫案例不同，它基于经验观察，并将提供更现实和有用的建模框架。在不同的数学环境中，类似的推理是基于霍克斯过程的订单簿模型的根源，如【Lu和Abergel，2017】【Abergel和Jedidi，2015】中的研究。论文组织如下：第2节介绍了丰富队列反应模型的基本原理和校准，该模型改进了初始模型的性能【Huang等人，2015年】。第3节讨论了此增强模型背景下的最优做市策略，在模拟框架和使用真实数据的回溯测试引擎中对其进行了研究。2挑战队列反应模型本节介绍了经验发现，为【Huang等人，2015年】队列反应模型的两项改进奠定了基础。第一个涉及订单规模的分布，而第二个，可能是更原始的，解决了导致订单簿不同状态的事件性质的差异。这些改进将被纳入受队列反应模型启发但在很大程度上扩展的两个订单模型中。

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2022-6-10 03:44:41

在第3节中，这些模型将用于模拟和回溯测试框架，以研究最优做市政策。2.1队列反应模型在Huang等人【Huang等人，2015年】中，作者提出了一个有趣的马尔可夫极限订单图书模型。限额订单簿（简称LOB）被视为2K- 买卖限制的维数向量-i： i=1，K] 和[Qi:i=1，…，K]，所设极限为i-距离参考价格前0.5个刻度。通过qi表示相应数量，2K-尺寸过程X（t）=（q-K（t），q-1（t），q（t），qK（t）），值为Ohm = N2Kis建模为连续时间马尔可夫链，最小生成元Qo的形式为：Qq，q+ei=fi（q），Qq，q-ei=gi（q），Qq，q-ei=-Xq公司∈Ohm,p6=qQq，p，Qq，q-否则，ei=0。作者研究了函数g的几种选择：在第一种也是最简单的选择中，队列被认为是独立的。第二种方法引入了一些单方面的依赖关系，而第三种方法则强调了LOB的买卖双方之间的相互作用。在此模型中可以再现限额订单簿的一些重要统计特征，例如订单的平均形状。然而，当我们试图在EUROSTOXX50future数据集上校准队列反应模型时，我们观察到了新的现象，这导致我们从两个方向丰富了模型。2.2单位订单规模的限制按照类似于【Huang等人，2015】的程序，对限额订单、取消订单和市场订单的条件强度进行校准，并在图2中给出。请注意，当相应的队列长度较小时，所有订单类型的强度都较高。

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mingdashike22

2022-6-10 03:44:44

对于每个队列（bid和SK），限额指令是流动性建设性事件，其他两个是流动性破坏性事件。显然，队列大小有三种不同的状态：o当队列大小小于（大约）70时，λLis略高于λC+λmw。o当队列大小介于70和300之间时，它们就具有可比性当队列大小大于300时，λl减小，而λC+λMstays稳定。0 200 400队列长度0246810订单流量强度λLλCλMλC+λM图2：队列反应模型订单强度特别重要的条件是当队列大小较大时，λL<λC+λM，这一事实保证了系统是遍历的。另一个有趣的特征是，当排队规模增大时，市场订单的强度急剧降低，这一事实可以重新表述为当排队规模较小时的交易集中度。从实际角度来看，小队通常表示方向性共识，因此流动性消费者竞相获得流动性，然后才不得不下限价订单，并以相同的价格等待执行。0 100 200 300 400 500队列长度10203040506070平均订单规模'mL'mC'mm图3：队列反应模型平均订单规模在【Huang et al.，2015】和许多其他相关工作中，订单规模被假定为恒定的。然而，从实证分析中可以清楚地看出，订单规模具有显著的统计特性，这些信息与LOB动态相关，例如参见【Abergel et al.，2016】【Muni Toke，2015】【Rambaldi et al.，2017】。图3显示了以队列状态为条件的平均订单大小。

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2022-6-10 03:44:48

限制和取消订单的规模在不同的队列规模中似乎相当稳定（非常小的队列除外），而市场订单的平均规模显然随着队列规模的增加而增加。10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000.000.010.020.030.040.050.06频率取消，Q∈ [290300）10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000.000.010.020.030.040.050.06限额订单，Q∈ [290300）订单规模图4：限制订单和取消订单规模直方图M10 60 110 160 210 260 300订单规模0.0000.0050.0100.0150.0200.0250.0300.035频率图5：Q∈ [290299）为了进一步分析订单大小的分布，订单大小的直方图与队列长度的间隔为[2900299）如图4和图5所示。x轴上10个期货的仓位用于生成柱状图。第一个仓位限价单和取消的经验分布非常相似，可以用几何分布建模。相反，市场订单的大小存在一些有趣的模式：分布看起来像几何分布和取消的混合但对于小规模，Dirac函数为{[50，59]、[100，109]、[150，159]、···················································。

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2022-6-10 03:44:50

对于本小节的其余部分，我们表示q，q∈ N*表示[10（q）的箱子- 1），10q）和[10（Q-1），10Q）。受这些观察结果的启发，可以提出一个简单的订单规模模型：o限制订单规模遵循几何定律pL（q；q），参数pL（q）取决于队列规模；o取消大小遵循截断几何定律，参数pC（q；q）pC（q；q）=P[q | q]=pC（1- pC）q-11- (1 - pC）Q{Q≤Q} ；o市场订单大小遵循几何定律和狄拉克函数的混合SPM（q；q）=P[q | q]=θpM（1- pM）q-11- (1 - pM）Q{Q≤Q} +bQ-1cXk=1θk{q=5k+1}+θ∞{q=q，Q6=5n+1}，其中参数{pM，θ，θk，θ∞} 依赖于Q。简单估计极限订单大小的参数。对于取消订单和市场订单，可以使用最大似然法。市场订单对数可能性为log（L）=Xqi6=5n+1，qi6=Qlogθ+（qi- 1）日志（1- pM）+日志pM- 日志（1- (1 - pM）Q）+bQ-1cXk=1Xqi=5k+1log（θ（1- pM）qi-1pM+θk（1- (1 - pM）Q））- 日志（1- (1 - pM）Q）+{Q6=5n+1}Xqi=Qlog（θ（1- pM）qi-1pM+θ∞(1 - (1 - pM）Q））- 日志（1- (1 - pM）Q）。校准结果如表1和表2所示。正如预期的那样，限制订单和取消的几何分布参数彼此非常接近，并且在不同的队列长度上保持稳定。市场订单的几何分布参数随队列长度略有减小。

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2022-6-10 03:44:54

Dirac参数θkar在不同队列长度上非常稳定。表1：校准的限制顺序和取消大小参数SQ 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 PL0.6421 0.6415 0.6458 0.6410 0.6443 0.6430 0.6418 0.6439 0.6404 0.6387pC0.6578 0.6591 0.6600 0 0.6623 0.6598 0.6611 0.6557 0.6554 0.6538 0.6496然后，增强的LOB模型由强度取决于队列大小的复合泊松过程驱动。2.3限额取消令的作用马尔可夫LOB模型通过构建假设过去对未来没有影响，除了现在。尽管如此，一些深入的实证研究已经证实，过去事件的性质实际上影响了LOB的顺序，因此也影响了LOB的未来状态，例如[Abergel et al.，2016][Lu and Abergel，2017]。表2：校准市场订单大小参数SQ pMθθθθ*θ*21 0.3486 0.8357 0.0185 0.0338 0.0081 0.1038-22 0.3557 0.8311 0.0198 0.0338 0.0094 0.0215 0.0844 23 0.3383 0.8517 0.0148 0.0366 0.0084 0.0188 0.0697 24 0.3327 0.8475 0.0108 0.0373 0.0099 0.0192 0.0753 25 0.3333 0.8310 0.0234 0.0379 0.0084 0.0214 0.0779 26 0.3292 0.8391 0.0203 0.0408 0.0115 0.0167 0.0716 27 0.3250 0 0.8374 0.01880.0369 0.0114 0.0220 0.0116 0.061928 0.3134 0.8351 0.0191 0.0452 0.0086 0.0201 0.0164 0.055429 0.3090 0 0.8262 0.0192 0.0476 0.0086 0.0181 0.0135 0.066830 0.3050 0 0 0.8426 0.0205 0.0402 0.0096 0.0188 0.0103 0.0580*对于Q 6=5k+1的情况，θbQ-1c+1代表θ∞在本节中，重点放在最后一个事件的性质上，该事件完全消除了一个限额的流动性，以及LOB的后续演变。完全耗尽限额的指令称为限额解除指令。此类订单只能是取消订单或市场订单。

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2022-6-10 03:44:57

流动性移除过程用Y（t）=（qr（t）或（t））表示，其中qr表示订单规模和或∈ {OM，OC}表示其类型-omo表示市场订单，OC表示取消。那么，Y（t）是一个跳跃时间为τr={τri}{i=1,2，…}的c ` adl ` ag过程。以对称方式，创建新限制的顺序将被称为限制建立顺序。此类订单只能是限价订单，但由于限价为空，因此可以将其放置在出价方或询价方。流动性建立顺序过程用Z（t）=（qe（t），Oe（t））表示，其中Oe∈ {F，R}：F表示“follow”，因此P（τei）6=P（τri-), R表示“还原”）。同样，Z（t）是一个c`adl`agprocess，其跳跃时间为τe={τei}{i=1,2，…}。2.3.1 OeTable 3的特征：Oeconditional probabilitiesOrF R P[Oe=F |或]OM7554 1409 84.3%OC1043 2823 27.0%。表3列出了每日平均事件数及其条件概率。第一个重要的观察结果是，如果由OM触发，价格往往会朝着相同的方向移动，而在由OC触发的价格变化的情况下，均值回归的可能性更大。

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2022-6-10 03:45:00

换言之，OMI比OC信息更丰富，是价格变动的主要驱动力。人们可能想知道，这种依赖结构是否可以简化为仅在劳动力状态下的依赖结构，也就是说，Oe |或X的条件分布是否可以用Oe | X来解释。图6给出了Or的Oe |（qF，qS）的经验分布∈ {OM，OC}，其中qf=q-1和qS=qatτei-, qF=qand qS=q-2对于相应的投标方，在限额确定事件到来之前，招标方声明。虽然队列大小在限额确定事件到来之前可能会有所不同，但图6显示，它们的影响可以忽略不计，结论是OES高度依赖于或更少依赖于（qF、qS）。在分析中加入尺寸qr（τri）似乎也是相关的。在图7中，上面板显示了Oe | Or，qr的条件分布作为qr的函数，而下面板显示了qr的累积分布函数。对于OMA和OC，Oe=F的概率随订单大小而增加。然而值得注意的是，对于OM，当nqr时，这种概率几乎达到1≥ 30，这是一个相当重要的事实，因为超过20%的市场订单位于（30+∞).对于OC而言，情况完全不同：不仅Oe=F的概率保持在接近0.5的水平，而且规模大于20的取消订单的比例非常小，当qr>50时，P[Oe=F |或=OC，qr]的减少在统计上并不显著。对这一现象的解释是直接的：不仅市场订单比取消订单更具信息性，而且，市场订单越大，越有可能表明市场将遵循方向性价格变动。

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2022-6-10 03:45:05

规模大于30且消耗了全部流动性的市场买入（卖出）订单之后，几乎总是会有新的流动性供应商按照之前的交易价格发出买入（卖出）限制订单。QF02004006008001000QS02040060080010000.000.110.220.330.440.560.670.780.891.00P【Oe=F | OM】P【Oe=F | OC】0.20.30.40.50.60.70.80.9图6：条件分布Oew。r、 t不同或的第一个限制队列大小。2.3.2流动性规模建立秩序稳定4总结了（Or、Oe、qr）事件的平均数量，以及对应于每类事件的平均数量Qe。如第2.3.1节所述，很少有大额取消导致空头限额，大多数大额订单是系统性导致后续事件的市场订单。此外，我们可以清楚地看到，qeandqr之间的关系在（或，Oe）的所有值中都是单调递增的。由于其他类别中的大订单数量较少，我们将专注于ain深度分析的（OM，F）。图8说明了qefor（Or，Oe）=（OM，F）的qefor变化。

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能者818

2022-6-10 03:45:08

这两个量之间存在明确的单调递增关系，新限值为0.51.0P【Oe=F |或，qr∈ （q，q+10）]OMOC0 10 20 30 40 50q0.60.81.0P[qr<q |或]图7：条件分布Oew。r、 QRT表示不同或。表4:QE每天事件的qr#条件分布或Oe和间隔平均qesize（或，Oe）（0，10）[10，20）[20，∞) (0, 10) [10, 20) [20, ∞)（OM，F）3623 1128 2802 7.46，10.18 27.93（OM，R）1153 180 75 6.69，6.75 27.98（OC，F）906 112 23 7.22，7.45 9.08（OC，R）2552 243 26 5.60，7.71 7.99甚至在旧限额被一个非常大的市场订单消耗后不久就达到了超过100的规模。很明显，我们之前提倡的限制订单规模的几何分布无法代表这种现象。图9显示了通过分类qr获得的QE的一些经验条件分布。当QR很小时，分布接近几何分布。然而，随着qr的增加，密度呈现肥尾巴和离散峰值，并且不再适合使用几何分布-可以考虑使用经验分布来模拟qe | qr。2.3.3事件间持续时间的表征进一步，我们现在分析到达时间间对数的经验分布(τ）如图10所示。当触发事件为OC时τ非常相似，无论oe是什么，订单的大小是什么。当触发事件为OMA且价格恢复时，当qr<20时，τ分布非常相似。相反τ|（OM，F）与其他的非常不同，并且对于qr的不同间隔也是不同的。首先，正如预期的那样，除了非常小的qr外τ>1ms接近0。此外，在200us左右有一个尖峰。这种集中的一个可能原因是对大型交易的反应。

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2022-6-10 03:45:11

尽管流动性提供者试图在大宗交易后立即下达限额订单，但他们受到市场往返延迟和自身0 100 200 300 400 500QR05010150200QE的限制。图8：qr的平均QE。实线表示平均值，虚线表示估计值的95%置信区间。0 100 2000.00.10.2[0, 20)0 100 2000.00.10.2[20, 50)0 100 2000.00.10.2[50, 100)0 100 2000.00.10.2[100, 250)0 100 2000.00.10.2[250, 500)0 100 2000.00.10.2[500, ∞)图9:QEIN不同时间间隔的直方图。系统。由于200us代表典型的市场往返延迟，因此高密度集中在这一水平上。但可能有少数做市商对外部信息做出反应，这些信息与大宗交易一样，但来得晚，导致密度低于。而上述部分仅仅来自一些做市商的更高延迟。1us 1 ms 1s0.00.51.01.52.0200us（OM，F）[0，10][10，20][20，∞)1us 1 ms 1s0.00.20.40.60.8（OM，R）[0，10][10，20][20，∞)1us 1 ms 1s0.00.20.40.60.8（OC，F）[0，10][10，20][20，∞)1us 1 ms 1s0.00.20.40.60.8（OC，R）[0，10][10，20][20，∞)图10：对数（τr- τe）关于Or、oE和qrin不同区间的分布。2.4丰富队列反应模型作为本实证研究的结论，可以看出，为了获得市场的真实表现，必须使用订单簿的动态，而不仅仅是其状态。为了增强队列反应式模型，有必要添加订单大小的依赖关系，更重要的是，还需要添加订单性质的依赖关系，这将使书籍进入当前状态。

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2022-6-10 03:45:15

因此，我们必须偏离马尔可夫框架，但只是稍微偏离一点，并且为了更真实的建模。然后，我们提出了两个LOB模型，可以将其视为队列反应模型的扩展，但在价格转换方面与之不同：o模型一：当任一限额为空时，关闭价差的下一个限额订单仅取决于空限额是在买入方还是卖出方。订单的大小和重复时间是独立的模型二：新限额指令（Oe、qe）不仅取决于已清除限额的一侧，还取决于最后一次删除事件（Or、qr）的功能。事件的到达时间由τe=τr+τ，其中τ取决于（或，qr）。这些模型中的每一个都与单元大小模型进行了比较，单元大小模型与模型I具有相同的转换规则，我们称之为模型0。对不同的模型进行蒙特卡罗模拟，并将结果与实际数据进行对比。例如，图11显示了各种模型以及数据中以1S频率采样的最佳极限量的分布。模型0产生的LOB非常集中在建设性破坏性平衡极限大小（约300）周围，较小队列的密度较低，而长队列几乎没有密度。在模型Ialready中添加大小分布可以改进模型，使全局形状更接近真实数据。模型II改善了均衡队列大小周围的过高密度，并为队列大小分布生成了更真实、更胖的尾部。0 200 400 600 800 10000.000.010.020.030.04真实数据模型0模型IModel II图11：最佳买卖数量分布。3真实市场中的做市在本节中，我们讨论了在订单驱动的金融市场中确定最佳做市（或：流动性提供）政策的问题。

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2022-6-10 03:45:18

我们的目标是尽可能地模仿电子做市商的情况，因此必须设计一个包含我们刚才展示的各种经验属性的现实订单模型。一旦建立了模型，就使用随机控制来推导最优策略。最优策略的特征对于确定模型是否合理非常有用，因为它在真实市场环境中的表现可以通过回溯测试或直接实验来衡量。在市场上亏损的“最佳”策略将是不良建模的迹象！基于【Hult和Kiessling，2010年】（相关方法和结果另见【Abergel et al.，2017】【B¨auerle和Rieder，2011年】）中的工作，在与第2.4节中引入的标记为0和II的模型相对应的各种假设下，对最优做市策略进行了数值和实证研究。为了便于阅读，附录A回顾了理论框架和主要结果，而本节专门介绍和讨论了结果。与随机控制中的通常情况一样，利息数量是每种状态下的价值函数，即一对买卖订单的预期未来利润和损失（P&L）：如果价值严格大于0，风险中性市场制造商（MM）将下订单，否则将退出市场。

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2022-6-10 03:45:21

因此，根据价值函数确定相关的最优策略。在对有无库存控制的最优做市策略进行基于模拟的研究和分析后，将根据实际市场条件对每个模型的最优策略进行回溯测试。请注意，出于技术原因，最大队列大小设置为500份合约，买卖价差应始终为1个刻度-事实上，对于流动的大型刻度工具，价差大于1个刻度时几乎不会发生交易，因此这一假设成立。3.1最优做市策略本节专门比较模型0和模型II的最优策略。模型I的结果与模型0仅略有不同，此处将不介绍。LOB的状态由四个（xB、xA、yB、yA）来描述，表示批次数量中的最佳出价和任务数量，以及MM订单在队列中的位置。做市的关键问题是进入订单簿的时间。最初，MM将他的订单放在队列的末尾，这样xb=yBxA=yA。3.1.1模型0的价值函数和优化策略我们在图12中说明了价值作为初始状态的函数。x轴和y轴分别为图中的买卖队列长度。一旦状态值已知，最佳策略就是TaighForward：如果值为正，则最佳操作是保留在订单簿中，而如果值为0，则最佳操作是取消订单。0 100 200 300 400 5000100200300400500询问队列长度值函数0.50.60.70.80.90 100 200 400 5000100300400500决策ScancelKeepBID队列长度图12：模型0中的初始状态值One清楚地观察到这些值大多为正值。当订单簿高度不平衡时，订单值较低。

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能者818

2022-6-10 03:45:24

当两个限制队列都较短时，会出现最低值。但是，最小值仍高于0.5。结果可以解释为：当队列长度较短时，队列变空的概率会在其他限制指令出现在MM指令之后之前增加；当其订单在订单簿的一侧执行，而不是在另一侧执行时，MM将不得不通过市场订单以亏损的方式平仓。当队列较长时，MM的两个订单在价格变化之前执行的概率较高，因此该值接近1。然而，这样的结果很难反映现实。从实践经验来看，我们知道，简单的做市策略在实际市场中是不可靠或不可靠的。使用模型0校准的valuefunctions至少为0.5个刻度，这表明我们应该遵循一种天真的策略，总是在买卖双方下订单。这种不切实际的行为源于模型0具有非常稳定的限制，因此MM的买卖订单往往在任何一个限制被清除之前都被执行。3.1.2模型II的值函数和最优策略图13显示了取决于初始状态的值（左）和决策（右）。当状态值为0时，状态是不可配置的，因此MM取消双方的订单并等待进一步的转换，否则，他会留在帐簿中等待其订单得到执行。显然，结果与之前获得的结果非常不同：在大多数初始状态下，最佳策略是取消。事实上，当MM的两个订单都执行之前发生价格变化，并且大量市场订单的存在增加了这种风险时，MM就会受到惩罚。

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2022-6-10 03:45:28

最可避免的情况是两个队列平衡且相对较长，因此他的订单可以在订单簿再次失衡和价格变化之前获得优先权。0 100 200 300 400 5000100200300400500Ask队列长度值函数0.0000.0010.0020.0030.0040.0050 100 200 300 400 5000100300400500DecisionScanceKeepBID队列长度图13：丰富队列反应模型中的初始状态值不同的出价和出价位置的相对值也非常重要。图14显示了状态x=（200300）的示例。正如所料，随着theMM的订单越来越接近队列的顶端，这些州变得更有价值。此外，这些值是不对称的：值（200、300、50、10）大于值（200、300、10、50），因为队列越长，优先级越有价值。0 50 100 150 200050100150200250300询问订单位置值函数0.000.050.100.150.200.250.300.350.400 50 100 150 200050100150200250300DecisionScanCelekeepBID订单位置图14：订单簿状态为x=（200300）时的状态值和决策，以进一步说明不同状态的值和策略的差异，现在，我们将队列中的位置固定为yB=300和yA=200。图15是根据队列长度的值函数和最优决策的曲线图。正如所料，当队列较长且存在不对称时，优先级变得更有价值。例如，在这种情况下，无论出价队列长度如何，当询问队列长度小于等于220时，MM都不应留在订单簿中。图16显示了针对小队列大小的MM优先级的值函数。

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mingdashike22

2022-6-10 03:45:31

当队列长度变小时，与限额订单相比，市场订单的比例300 350 400 450 500 200 250 300 350 400 450 500询问队列长度值函数0.000.020.040.060.080.100.120.14300 350 400 450 500 200 300 350 400 500 300 350 400 450决策ScancelKeepbid队列长度图15：当做市商的订单优先级（yB，yA）=（300，200）增加且价格变动风险变得较高的。因此，当订单簿处于状态（50100）时，MM呆在市场上就变得无趣了，除非他在两个队列的顶端。0 50 100050100150200Ask order positionx=（100200）0.000.020.040.060.080.100.120.140 50050100x=（50100）0.0000.0010.0020.0030.0040.0050.0060.0070.008Bid order POSITION图16：短队列的状态值当执行一个订单时，策略变成“买一批”或“卖一批”问题。图17和图18描述了MM的ask订单执行后的最佳一批购买策略。实际上，询问队列长度xA=140作为一个阈值，超过该阈值，做市商应始终留在出价队列中，并希望作为限制订单执行。否则，如果询价队列太短（或者竞价队列太长），价格往往会上涨，MM可能会更好地使用市场买入来结算库存。3.1.3放松库存限制先前定义的做市策略允许库存最多为1，这在实践中是一个严重的限制。放松这一限制，当前一个订单被执行，且执行后的状态值大于0时，无论库存如何，都可以决定继续提交限价或限价订单。

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mingdashike22

2022-6-10 03:45:34

这一新策略违反了最初的限制，但提供了一些有用的信息，说明通过利差来实现的利润是否会抵消库存风险。这种新策略将被称为“局部最优策略”。As0 100 200 300 400 5000100200300400500订单位置预期购买价格等待进一步转换DecisionSWaitmarket orderBid queue Length图18：购买一个单元策略当xA=140之前看到时，模型0的值函数对于所有状态都是正的，这意味着MMS应该遵循一种幼稚的策略，无论LOB的状态如何，都会持续提交订单。这种幼稚的策略将被用作基准。在模型II的假设下，使用蒙特卡罗模拟比较了局部最优策略和朴素策略的性能。对于局部最优策略，模拟时间为一小时的市场活动，而对于朴素策略，模拟时间仅为10分钟，因为朴素策略的营业额要高得多。最终库存应在模拟结束时使用市场订单结算。表5总结了这两种策略的日均损益、绝对库存和营业额（以合同数量衡量），并给出了它们之间的平均值标准差。连续战略的损益远好于单纯战略。

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2022-6-10 03:45:37

由于模型II中的逆向选择效应，其损益显著为正，Z分数为2.87，而天真策略的损益则为负。3.2回溯测试最优策略为了更好地评估模型II在再现真实交易环境方面的性能，使用逐笔订单数据回溯测试最优策略。由于构建一个能够真实再现历史数据的backtester是一个非常困难的任务5：连续和朴素的策略Carlo模拟连续朴素的损益1.35（0.47）-7.12（0.71）| Inv | 3.33（0.02）10.47（0.09）营业额19.01（0.06）113.46（0.22），我们在显示结果之前首先介绍了我们的方法。3.2.1回测器回测引擎的目的是尽可能再现交易策略的性能，前提是交易策略真正在市场上交易。它可以产生与通过模拟获得的结果截然不同的结果。首要问题之一是延迟。如图10所示，市场数据清楚地反映了往返延迟。实际上，传入的数据馈送和传出的订单可能有不同的适用性，因为它们不一定共享同一地点（公共广播接收和私人发送）。当一个人对外来信息或来自不共享同一位置的市场的信息作出反应时，这两种延迟必须分别规定。此外，延迟不是恒定的，在密集活动期间通常会更高，因为当订单堆积时，匹配引擎对订单的顺序处理将花费更多的时间。不幸的是，这种可变延迟是不可测量的，因此在我们的回溯测试中，考虑了固定的往返延迟。回溯测试和实际市场条件之间的另一个非常重要的差异来源是isof课程市场影响。

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2022-6-10 03:45:40

市场中的订单被其他交易员看到，并成为影响订单流动的信息来源。例如，一个持续监测的指标是市场（LOB）失衡，这是短期价格变动的线索：做市商发布的出价方订单实际上会降低执行该订单的可能性。然而，与市场订单相比，被动限价订单的市场影响更小，更难建模，我们选择忽略它。与典型队列大小相比，订单大小较小时，这种简化是现实的。就SX5E期货而言，10份合约的批量与第一个限额的平均数量相比非常小，通常约为500份合约。当重播LOB和交易添加MM的订单时，关键问题是在LOB中设置一些优先规则，即这些有效的订单。主要问题是取消。由于无法获得确切的订单流量，因此无法知道哪些订单已完全取消。此外，允许修改订单，但会失去优先权（可以将其视为同时取消订单和重新提交新订单），因此无法区分订单大小的减少和取消。为了简单起见，我们决定随机选择发生取消的位置。由于优先级较低的订单更有可能被取消，因此使用了上限指数定律。的确，有一些方法可以通过在列表中登记限额订单并匹配数量来改进取消订单的识别，但根据我们的实际经验，这种改进是微不足道的。至于交易规则，如果实际MM的订单在队列中的位置在传入市场订单的范围内，则将执行该订单。

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2022-6-10 03:45:43

在这项交易之后，在MM提交另一个订单之前，队列长度设置为与初始LOB数据中观察到的长度相同，就好像我们增加了交易大小以吸收MM的订单一样。一个重要的例外是，当市场订单清除了一个限额时：即使MM的订单位于队列的底部，它也将被视为已执行，这与实际数据中实际清空限额的市场订单的比例非常高有关。与生产结果的比较表明，对于任何给定的策略，这种选择可能影响高达20%的营业额，而且忽略这些执行会导致高估回溯测试性能。综上所述，虽然验证策略的唯一方法可能是在市场上运行它，但回测引擎总是有用的，但在设计它们和解释它们提供的结果时必须非常小心。3.2.2回测做市策略回测“局部最优策略”以及幼稚策略（可能有阈值）。回溯测试在2016年7月至11月中旬期间进行。MM的订单量固定为1批（10份合同）。在局部最优策略的情况下，使用使用市场数据计算的价值函数来确定MM订单应等待执行还是取消。执行其中一个订单时，如果值为正数，则立即提交同一侧的另一个订单，否则，将不会提交新订单，并取消另一侧的现有订单。对于天真策略，只要执行同一侧的上一个订单，就会不断提交买卖订单。

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2022-6-10 03:45:46

设置阈值qmini时，仅当相应队列长于阈值时，订单才会保留在LOB中。研究了250份和400份合同的两个不同阈值。最后，出于实际原因，我们还实现了一个简单的库存控制：每当库存达到一定水平时，在库存低于该水平之前，将不再提交新的限额订单。在这里显示的示例中，最大库存为80，但其他值已经过测试，并且不会改变结论。3.2.3结果回测结果如图19所示。表6总结了不同策略的每日平均损益、营业额和盈利能力。显然，局部最优策略比单纯策略更具可行性。如果没有阈值，天真的策略提供了太多的流动性，营业额远远高于最优策略，因此很难比较损益。

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2022-6-10 03:45:49

但是，即使阈值为400（以便与最优策略的营业额相匹配），该策略也有下降趋势，并以负损益结束。局部最优策略是唯一一个真正以正损益结束的策略。07-01 07-29 08-27 09-24 10-22 11-20日期-2000-10000PnL（1000欧元）局部最优策略无效策略，qmin=0朴素策略，qmin=250朴素策略，qmin=400图19：使用真实数据对策略进行回溯测试表6：不同策略的平均每日统计数据预测Naiveqmin=0 qmin=250 qmin=400损益（ke）0.54-26.89-3.43-2.13周转率（Me）45.20 3430.42 119.25 35.83可操作性（bp）0.12-0.08-0.29-0.594结论本文讨论了马尔可夫限额订单模型的校准` a la[Huang等人，2015年]，以及它们对做市策略的实用性。首先，我们证明了限价订单和取消订单的大小和到达时间在不同的队列长度上是稳定的，而市场订单的行为完全不同。此外，我们的分析表明，限制建立顺序对限制解除顺序的性质有很强的依赖性。结合这两个特性，我们可以显著增强队列反应模型。其次，该模型用于设计最优做市策略。将最优策略与朴素策略进行比较，首先是在模拟框架中，它的性能明显更好，但也可以在历史回溯测试中，我们也发现它的性能更好。这间接证明了增强队列反应模型可能比大多数马尔可夫LOB模型更接近于描述真实市场。马尔可夫决策过程与最优策略集（Xn）∞n=0是转移矩阵为xp的可数状态空间S上离散时间的马尔可夫链。让A成为一组有限的可能行动。

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2022-6-10 03:45:52

每个动作都可以分为连续动作或终止动作。连续动作集表示为C，终止动作集表示为T∪ T=A C∩T=当选择终止动作时，马尔可夫链终止。并非每个操作都在链的每个状态中可用。让A:S 7→ 2Abe是一个将非空操作集a（s）与每个状态s关联的函数∈ S、 2a是由a的所有子集组成的幂集。状态s中可用的连续动作集表示为C（s）=A（s）∩ C和终止集T（s）=A（s）∩ T、对于每个s，s∈ S和a∈ A（s）选择动作A时，从s到sw的转移概率表示为Pss（A）。每个动作都有关联的值。延拓值表示为vC（s，a），只有当a∈ C（s）。终止值表示为vT（s，a），只有当∈ T（s）。假设vc和vt都是非负且有界的。策略α=（α，α，…）是一个函数序列：αn:Sn+17→ A使得αn（s，…，sn）∈每个n的A（sn）≥ 0和（s，…，sn）∈ 序号+1。从X=s开始并遵循策略α直到终止的预期总值由V（s，α）表示。它可以被解释为从s州开始，采取政策α的战略的预期回报。马尔可夫决策理论的目的是分析最优策略和最优期望值。A政策α*对于所有状态s，称为最优if∈ S和策略α，V（S，α*) ≥ V（s，α）最优期望值V*由V定义*（s） =supαV（s，α），如果是最优策略α*存在，则V*（s） =V（s，α*). 【Hult和Kiessling，2010】证明，如果所有政策在有限时间内以概率1终止，则最优政策α*存在且最优期望值是Bellman方程的唯一解。

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2022-6-10 03:45:55

此外，最优策略α*是固定的，也就是说政策不会随时间而改变。最优值以及相关的平稳最优策略可以通过递归算法1来逼近。算法1最优策略值近似输入。公差TOL、转移矩阵P、状态空间S、连续动作C、终止策略T、连续值vC、终止值vT.Output。最优值Vn和几乎最优策略αn的下界，而d>TOL doPutVn（s）=max（maxa∈C（s）vC（s，a）+Xs∈SPss（a）Vn-1（s），maxa∈T（s）vT（s，a））和d=最大值∈SVn（s）- 越南-1（s），用于s∈ Sn=n+1结束，同时定义α：S 7→ C∪ T作为最大化器tomax（maxa∈C（s）vC（s，a）+Xs∈SPss（a）Vn-1（s），maxa∈T（s）vT（s，a））a.1购买一个单元的保留或取消策略表示xn个转换后的订单状态和x初始状态。代理人想以j<jA（X）的价格购买一个单位。在每次市场过渡之后，如果价格低于预定的止损价格J>jA（X），代理商可以选择保留限价订单或取消限价订单，并在最佳ask级别jA（Xn）提交市场买入订单。如果jAreaches J在代理人的订单执行之前，他会取消投标订单，并在J处下市场订单以完成交易。假设J级始终存在有效的限额指令。表示代理的限额指令的综合位置，以及（Orn，qrn）最后的限额解除指令类型和数量，其中n是从时间0开始的事件指令数。Sn=（Xn，Yn，Orn，qrn）仍然是S中的阿马尔科夫链 N2K×{0，1，2，…}×{OM，OC}×N其中Yn≤ Xjn。S的生成矩阵表示为W=（Wss）。与进程关联的跳转链被命名为S=（Sn）∞n=0。跳跃链在模型中更为重要。在没有歧义的情况下，我们将使用S来表示连续过程和跳链。

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