关于等价凸集的鞅和超鞅

2022-6-10 03:58:39

鞅和超鞅相对于等价测度的对流集Nicholas S.GoncharBogolyubov NAS理论物理研究所，基辅，UkraineEmail：mhonchar@i.uaAbstractIn本文系统地研究了与等价测度凸集相关的鞅和超鞅。引入了相对于等价测度凸集的局部正则超鞅的概念，建立了离散情形下局部正则超鞅的充要条件。给出了所有局部正则超鞅相对于等价测度凸集的描述。引入了等价测度完全集的概念。证明了在某种意义上相对于等价测度完备集的每个有界超鞅都是局部正则的。给出了不完全市场中或有期权公平价格的新定义，并给出了欧式标准期权公平价格的计算公式。所证明的定理是著名的超鞅Doob分解在超鞅相对于等价测度凸集的情形下的推广。关键词随机过程；等价测度凸集；可选Doob分解；局部正则超鞅；鞅；未定权益的公平价格。1、本文介绍了一种研究与等价测度凸集相关的鞅和超鞅的新方法。

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2022-6-10 03:58:42

给出了由一个非负随机值和一个等价测度凸集生成的正则鞅集上的本质上确界是关于该测度集的超鞅的一个新证明。引入了局部正则超鞅的概念，得到了上述定义的超鞅为局部正则超鞅的充要条件。最后一个事实允许我们描述局部正则超鞅。证明了相对于等价测度凸集的非平凡鞅的存在性，一般来说，不保证非负超鞅是局部正则鞅。引入了等价测度完备凸集的一个重要概念。证明了在具有有限元事件集的可测空间上，相对于等价测度完备凸集的任何超鞅都是局部正则的。将等价测度完备凸集的概念推广到任意基本事件空间。证明了非负上鞅和从下至上鞅的优上鞅是局部正则上鞅。引入了未定权益公允价格的定义。给出了未定权益空中价格存在的充分条件。给出了引入的概念与经典概念重合的条件。所有这些概念都用于这种情况，因为等价测度凸集是风险资产和非风险资产演化的一组等价鞅测度。建立了不完全市场中欧式期权标准合同的公平价格公式。等价测度完备凸集的概念允许我们给出非负超鞅的optionaldecomposition的一个新证明。

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2022-6-10 03:58:45

这个证明没有使用无套利论证和可测选择[1]、[2]、[3]、[4]。首先，El Karoui N.andQuenez M.C.[5]提出了扩散过程超鞅的可选分解。之后，Kramkov D.O.和Follmer H.[1]，[2]证明了非负有界超鞅的可选分解。Folmer H.和Kabanov Yu。M、 [3]，[4]证明了任意超鞅的类似结果。最近，Bouchard B.和Nutz M【6】考虑了一类离散模型，并证明了可选分解有效性的必要和充分条件。超鞅的可选分解在不完全市场的风险评估中起着基础性作用[1]、[2]、[5]、[7]、[8]、[9]、[10]。本文所考虑的问题是在数学金融中出现的关于超鞅的可选分解的对应关系的推广，它与不完全金融市场中超边缘策略的构造有关。与上述问题不同，我们对该问题的陈述更为一般：给出了与等价测度凸集相关的超鞅，并且有必要在存在可选分解的情况下找到超鞅和测度集的条件。我们对该问题的陈述的一般性在于，我们不要求所考虑的测度集由随机过程生成，该随机过程是一个局部鞅，正如文献[1，4，5，6]中所做的那样，这对于证明这些文献中的可选分解很重要。2、相对于等价测度凸集的Lo ca l正则超鞅。我们假设在可测空间上{Ohm, F}过滤格式 Fm+1 F，m=0，∞, 给出了F上等价测度M的凸集族。

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2022-6-10 03:58:48

此外，我们假设F={/0，Ohm} σ-代数F=σ(∞Wn=1Fn）是由代数生成的最小σ-代数∞Wn=1Fn。一个随机过程ψ={ψm}∞m=0被认为与过滤{Fm}相关∞m=0如果ψmis是fm可测量的随机值，m=0，∞.定义1。自适应随机过程f={fm}∞m=0被认为是相对于filtrationfm的超鞅，m=0，∞, 如果EP | fm |<∞, m=1，∞, P∈ M、和不等式ep{fm | Fk}≤ fk，0≤ k≤ m、 m=1，∞, P∈ M、（1）有效。此外，对于自适应过程f，我们同时使用表示{fm，fm}∞m=0，表示{fm}∞m=0。定义2。一个超鞅{fm，fm}∞m=0相对于等价测度凸集m是局部正则集如果支持∈MEP | fm |<∞, m=1，∞, 存在一个自适应的非负增长随机过程{gm，Fm}∞m=0，g=0，支持∈MEP | gm |<∞, m=1，∞, 这样{fm+gm，fm}∞m=0是相对于m的每个度量的鞅。下一个基本定理1将在以后非常有用。定理1。设一个超鞅{fm，fm}∞m=0，相对于等价测度m的凸集，应满足∈MEP | fm |<∞, m=1，∞. 它是局部正则过程的充要条件是存在一个适应的非负随机过程{gm，Fm}∞m=0，支持∈MEP | gm |<∞, m=1，∞, 这样的FM-1.- EP{fm | fm-1} =EP{gm | Fm-1} ，m=1，∞, P∈ M、（2）证明。必然性如果{fm，fm}∞m=0是局部正则超鞅，则存在一个鞅{Mm，Fm}∞m=0和一个非递减非负随机过程{gm，Fm}∞m=0，g=0，这样Fm=(R)Mm- gm，m=1，∞. （3）从这里我们得到等式ep{fm-1.- fm | fm-1} ==EP{gm- 克-1 | Fm-1} =EP{gm | Fm-1} ，m=1，∞, P∈ M、（4）我们引入了“gm=gm”的表示- 克-1.≥ 0.很明显，EP'gm≤ 支持∈MEPgm+支持∈MEPgm公司-1< ∞.足够的能力。

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2022-6-10 03:58:51

假设存在一个适应的非负随机过程'g={gm}∞m=0，g=0，EP？gm<∞, m=1，∞, 使等式（2）保持不变。让我们考虑随机过程{Mm，Fm}∞m=0，其中m=f，(R)Mm=fm+m∑i=1？gm，m=1，∞. （5）很明显，EP | Mm |<∞ andEP{毫米-1.-毫米调频-1} =EP{fm-1.- fm公司- \'gm | Fm-1} = 0. （6）证明了定理1。引理1。任意超鞅{fm，fm}∞m=0相对于一系列度量值m，对于这些度量值m，存在等式epfm=f，m=1，∞, P∈ M、是一个鞅，关于这个测度族和过滤Fm，M=1，∞.证据引理1的证明见[11]。3、关于由有限等价测度集生成的等价测度凸集的局部正则超鞅的描述。下面，我们描述了相对于由有限等价测度集生成的等价测度凸集M的局部正则超鞅。为此，我们需要一些辅助语句。引理2。关于可测空间{Ohm, F}基于过滤Fmon，设G是σ-代数F的子σ-代数，设fs，s∈ S、是非负有界随机值的有限族。然后对于MEP{maxs中的每个测度P∈Sfs | G}≥ 最大值∈SEP{fs | G}，P∈ M、（7）证明。我们有不等式Maxs∈Sfs公司≥ 英尺，吨∈ S、（8）因此，EP{maxs∈Sfs | G}≥ EP{ft | G}，t∈ S、 P∈ M、（9）最后一个表示EP{maxs∈Sfs | G}≥ 最大值∈SEP{fs | G}，P∈ M、（10）在下一个引理中，我们给出了与M.引理3中的anothermeasure相关的条件期望的计算公式。关于可测空间{Ohm, F}有过滤fn，设M为等价测度的凸集，ξ为有界随机值。那么下面的公式sep{ξ| Fn}=EPξИPn | Fn, n=1，∞, （11）有效，式中ДPn=dPdPEP公司dPdP | Fn-1，P，P∈ M、（12）证明。引理3的证明是显而易见的。设P。

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2022-6-10 03:58:54

，Pkbe可测空间上的一类等价测度{Ohm, F}并引入等价测度凸集的表示m m=（Q，Q=k∑i=1αiPi，αi≥ 0，i=1，k，k∑i=1αi=1）。（13）引理4。如果ξ是相对于等价测度集P，…，的可积随机值，Pk，然后是公式化supQ∈MEQ{ξ| Fn}=max1≤我≤kEPi{ξ| Fn}（14）相对于测度P.Proof几乎处处有效。不可数随机变量族的esssup定义见【13】。使用公式eq{ξ| Fn}=k∑i=1αiEP{Дi | Fn}EPi{ξ| Fn}k∑i=1αiEP{Дi | Fn}，Q∈ M、（15）式中，Дi=dPidP，Q=k∑i=1αiPi，我们得到不等式eq{ξ| Fn}≤ 最大值1≤我≤kEPi{ξ| Fn}，Q∈ M、（16）或ess supQ∈MEQ{ξ| Fn}≤ 最大值1≤我≤kEPi{ξ| Fn}。（17）另一方面，EPi{ξ| Fn}≤ ess supQ∈MEQ{ξ| Fn}，i=1，k.（18），因此，max1≤我≤kEPi{ξ| Fn}≤ ess supQ∈MEQ{ξ| Fn}。（19）证明了引理4。引理5。关于可测空间{Ohm, F}如果过滤系数为fn，则ξ为非负有界随机值。如果dPidPl，i，l=1，k是可测量的，且P（dPidPl>0）=1，i，l=1，k，则不等式epl{max1≤我≤kEPi{ξ| Fn}| Fm}≤ 最大值1≤我≤kEPi{ξ| Fm}，l=1，k，n>m，（20）是有效的。证据根据引理3和引理5条件，相对于一个测度相对于另一个测度的密度，wehavemax1≤我≤kEPi{ξ| Fn}=EPl{ξ| Fn}，l=1，k.（21）从等式（21）得到不等式EPl{max1≤我≤kEPi{ξ| Fn}| Fm}≤ 最大值1≤我≤证明了kEPi{ξ| Fm}，l=1，k.（22）引理5。在这一节中，我们假设引理5相对于一个测度相对于另一个测度的密度的条件为真。引理6。关于可测空间{Ohm, F}如果过滤系数为fn，则ξ为非负随机值，相对于等价测度集P，…，可积分，主键。然后不等式eq{max1≤我≤kEPi{ξ| Fn}| Fm}≤ 最大值1≤我≤kEPi{ξ| Fm}，n>m，Q∈ M、（23）有效。证据

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2022-6-10 03:58:57

用引理5不等式求非负有界ξ和公式eq{Φ| Fm}=k∑i=1αiEP{Дi | Fm}EPi{Φ| Fm}k∑i=1αiEP{Дi | Fm}，Q∈ M、（24）其中Φ=max1≤我≤kEPi{ξ| Fn}，νi=dPidP，i=1，k，我们证明了引理6不等式。让我们考虑这种情况，如max1≤我≤kEPiξ<∞. 设ξs，s=1，∞, 是单调收敛于ξ的有界随机值序列。ThenEQ{max1≤我≤kEPi{ξs | Fn}| Fm}≤ 最大值1≤我≤kEQ{ξs | Fm}，l=1，k.（25），由于ξstoξ的单调收敛，as s→ ∞, 在证明引理6的不等式（25）中，我们可以在左右两侧的条件期望下达到极限。引理7。关于可测空间{Ohm, F}在过滤fn的情况下，对于相对于一组等价测度{P，…，Pk}的每个非负可积随机值ξ，不等式eq{ess supplier∈MEP{ξ| Fn}| Fm}≤ ess支持∈MEP{ξ| Fm}，Q∈ M、 n>M，（26）有效。引理7是引理6的结果。引理8。关于可测空间{Ohm, F}对于过滤Fmon，设ξ是关于一组等价测度{P，…，Pk}的非负可积随机值，使得epiξ=M，i=1，k，（27），然后随机过程{Mm=ess支持∈MEP{ξ| Fm}，Fm}∞m=0是相对于等价测度凸集的鞅m证明。由于引理7，一个随机过程{Mm=ess supP∈MEP{ξ| Fm}，Fm}∞m=0是一个超鞅，即EP{Mm | Fm-1} ≤ 毫米-1，m=1，∞, P∈ M、（28）或，EPMm≤ M、从另一侧看，EPs[最大值1≤我≤kEPi{ξ| Fm}]≥ 最大值1≤我≤kEPsEPi{ξ| Fm}≥ M、 s=1，k.（29）上述不等式意味着EPsMm=M，M=1，∞, s=1，k。最后的等式导致等式EPMm=M，M=1，∞, P∈ M、由于引理1的条件是有效的，因此Mmis是相对于测度集M的超鞅以及上述等式证明了引理8。在下一个定理中，我们表示F=σ(∞Wi=1Fi）由代数生成的最小σ-代数∞Wi=1Fi。定理2。

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2022-6-10 03:59:00

让{Ohm, F}是一个可测空间，其上有一个过滤函数，且ξ是关于一组等价测度P，…，的非负可积随机值，主键。超鞅{fm，fm}局部正则性的充要条件∞m=0，其中FM=ess supP∈MEP{ξ| Fm}，m=1，∞, 最大值1≤我≤kEPiξ<∞, （30）是其相对于度量集P的一致可积性，pk和等式的完整性epiξ=f，i=1，k.（31）证明。必要性。设{fm，fm}∞m=0是局部正则超鞅。然后fn=Mn- gn，n=0，∞, g=0，f=EPiMn，i=1，k.（32）从这里我们得到EPign≤ f、 i=1，k。由于fn和gnwe的一致可积性，我们得到了epi（f∞+ g∞) = f、 i=1，k，（33），其中f∞=ξ、 g级∞= 画→∞gn，因为F=σ(∞Wi=1Fi）。但f=最大值1≤我≤kEPiξ=EPiξ。从（33）开始，我们有EPig∞= 最后一个等式为g∞= 0，orEPiξ=EPiξ，i=1，k.（34）效率。如果满足定理2的条件，则{Mm，Fm}∞m=0是一个m artingale，其中“Mm=supP”∈MEP{ξ| Fm}。最后一个意味着{fm，fm}的局部正则性∞m=0。证明了定理2。4、关于等价测度的任意凸集的局部正则超鞅的描述。下面，在本文中，我们假设在可测空间上有一个等价测度M的任意凸集{Ohm, F}和过滤F，则满足以下条件：密度dpdqis为可测量值，P（dPdQ>0）=1，对于所有P，Q∈ M、其中，固定度量值P∈ M、这样一类等效度量是足够广泛的。它包含一类由局部鞅生成的等价鞅测度。引入一个关于满足条件Sepξ=1，P的等价测度凸集M的所有可积非负随机值ξ的集合Ao∈ M、（35）很明显，集合Ais不是空的，因为包含随机值ξ=1。

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2022-6-10 03:59:03

更有趣的情况是包含一个以上的元素。引理9。关于可测空间{Ohm, F}和过滤fn在此基础上，设M是等价测度的任意凸集。如果非负随机值ξ等于∈MEPξ<∞, 然后{fm=ess supP∈MEP{ξ| Fm}，Fm}∞m=0是相对于等价测度凸集m的asuper鞅。从ess sup的定义[13]开始，对于每个ess sup∈MEP{ξ| Fm}存在一个可数集Dmsuch thaess supP∈MEP{ξ| Fm}=支持∈DmEP{ξ| Fm}，m=0，∞. （36）集合D=∞Sm=0Dmis也是可数的一，且等式supP∈MEP{ξ| Fm}=支持∈DEP{ξ| Fm}（37）为真。真的，sincesupP∈DEP{ξ| Fm}≥ 支持∈DmEP{ξ| Fm}=ess支持∈MEP{ξ| Fm}。（38）从另一侧，ess supP∈MEP{ξ| Fm}≥ 公式{ξ| Fm}，Q∈ M、（39）最后给出的支持∈MEP{ξ| Fm}≥ 支持∈DEP{ξ| Fm}。（40）不等式（38），（40）证明了所需的陈述。因此，对于所有m，我们可以选择公共集D。设D={P，\'Pn，…}。由于引理7，对于每个Q∈Mk，我们有eq{max1≤我≤kE'Pi{ξ| Fn}| Fm}≤ 最大值1≤我≤kE'Pi{ξ'Fm}，n>m，Q∈\'Mk，（41），其中\'Mk={P∈ M、 P=k∑i=1αi'Pi，αi≥ 0，k∑i=1αi=1}。（42）很明显，max1≤我≤kE'Pi{ξ'Fn}倾向于支持∈DEP{ξ| Fn}单调递增，如k→ ∞. 固定Q∈(R)Mk当k趋于不等式（41）中的统一时，我们得到了∈DEP{ξ| Fn}| Fm}≤ 支持∈DEP{ξ| Fm}，n>m，Q∈Mk.（43）最后的不等式意味着，对于集D上构造的属于凸跨度的每个度量Q，{fm=ess supP∈MEP{ξ| Fm}，Fm}∞m=0是相对于集合D生成的等价测度凸集的超鞅。现在，如果测度Q不属于在集合D上构造的凸跨度，那么我们可以将其添加到集合D中，并重复上面的证明。因此，我们证明了{fm=ess supP∈MEP{ξ| Fm}，Fm}∞m=0也是相对于测度Q的超鞅。Zorn引理[14]完成了引理9的证明。定理3。

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2022-6-10 03:59:06

在可测量空间上{Ohm, F}和过滤fn在此基础上，设M是等价测度的任意凸集。对于随机值ξ∈ A、随机过程{EP{ξ| Fm}，Fm}∞m=0，P∈ M、是相对于等价测度凸集的局部正则鞅。设P，Pnbe是M中测度的某个子集。表示等价测度的Mna凸集mn={P∈ M、 P=n∑i=1αiPi，αi≥ 0，i=1，n，n∑i=1αi=1}。（44）由于引理8，{Mm，Fm}∞m=0是相对于m测度集Mn的鞅，其中'Mm=ess supP∈MnEP{ξ| Fm}，ξ∈A、让我们考虑一个任意测度P∈ M和letMPn={P∈ M、 P=n∑i=0αiPi，αi≥ 0，i=0，n，n∑i=0αi=1}。（45）然后{MPm，Fm}∞m=0，其中“MPm=ess supP”∈MPnEP{ξ| Fm}，是相对于测度集MPn的鞅。很明显，嗯≤(R)MPm，m=0，∞. （46）由于EP'Mm=EP'MPm=1，m=0，∞, P∈ Mn，不等式（46）给出“Mm=”MPm。类似地，EP{ξ| Fm}≤(R)MPm。从等式EPEP{ξ| Fm}=EP'MPm=1，我们得到EP{ξ| Fm}='MPm='Mm。由于度量值是任意的，它意味着{EP{ξ| Fm}，Fm}∞m=0是相对于m的所有测度的鞅。根据定理1，它是一个局部正则超鞅，随机过程'gm=0，m=0，∞. 证明了定理3。定理4。在可测量空间上{Ohm, F}和过滤fn在此基础上，设M是等价测度的任意凸集。如果{fm，fm}∞m=0是一个满足条件的自适应随机过程F m≤ fm公司-1，EPξ| fm |<∞, P∈ M M=1，∞,ξ∈ A、（47）然后随机过程{fmEP{ξ| Fm}，Fm}∞m=0，P∈ M、（48）是相对于等价测度凸集的局部正则超鞅。根据定理3，随机过程{EP{ξ| Fm}，Fm}∞m=0是相对于等价测度凸集m的鞅。因此，fm-1EP{ξ| Fm-1} - EP{fmEP{ξ| Fm}| Fm-1} =EP{（fm-1.- fm）EP{ξ| fm}| fm-1} ，m=1，∞.

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mingdashike22

2022-6-10 03:59:09

（49）因此，如果将“gm=（fm-1.- fm）EP{ξ| fm}，m=1，∞, 然后是“gm”≥ 0，它是Fm可测量且EP'gm≤ EPξ（| fm-1 |+| fm |）<∞. 它证明了所需的陈述。推论1。如果fm=α，m=1，∞,α∈ R、 ξ∈ A、然后{αEP{ξ| Fm}，Fm}∞m=0是局部正则鞅。假设ξ=1，则{fm，fm}∞m=0是相对于等价测度m的凸集的局部正则超鞅。表示f适应过程集f={f={fm}∞m=0，P（| fm |<∞) = 1，P∈ M、 fm公司≤ fm公司-1}. （50）每ξ∈ 我们可以引入一组自适应过程slξ={f={fmEP{ξ| Fm}}∞m=0，{fm}∞m=0∈ F、 EPξ| fm |<∞, P∈ M} ，（51）andV=[ξ∈ALξ。（52）推论2。集合K中的每个随机过程，其中K=（m∑i=1Ci'fi，'fi∈ 五、 Ci公司≥ 0，i=1，m，m=1，∞), （53）是相对于可测空间上等价测度M的凸集的局部正则超鞅{Ohm, F}带有过滤功能。证据证据很明显。定理5。在可测量空间上{Ohm, F}和过滤fn在此基础上，设M是等价测度的任意凸集。假设{fm，fm}∞m=0是相对于等价测度m的凸集的非负一致可积超鞅，则它是局部正则超鞅的充要条件属于集K证明。必然性很明显，如果{fm，fm}∞m=0属于K，则是局部正则超鞅。足够的能力。假设{fm，fm}∞m=0是局部正则超鞅。然后存在非负adaptedprocess{gm}∞m=1，EP？gm<∞, m=1，∞, 和一个鞅{Mm}∞m=0，因此fm=Mm-m级∑i=1？gi，m=0，∞. （54）然后Mm≥ 0，m=0，∞, EPMm<∞, P∈ M、自0<EPMm=f<∞ 我们有EPm∑i=1？gi<f。让我们把g∞=林姆→∞m级∑i=1？gi。利用fm的一致可积性，我们可以通过等式ep（fm+m）达到极限∑i=1？gi）=f，P∈ M、（55）作为M→ ∞. 在最后一个等式中传递到极限，如m→ ∞, 我们获得EP（f∞+ g∞) = f、 P∈ M

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kedemingshi

2022-6-10 03:59:12

（56）考虑一个随机值ξ=f∞+g∞f、那么EPξ=1，P∈ M、从这里我们得到ξ∈ AandMm=fEP{ξ| Fm}，m=0，∞. （57）让我们把“fm=-m级∑i=1？gi。很容易看出，自适应随机过程f={fm，fm}∞m=0属于F。因此，对于超鞅F={fm，fm}∞m=0表示f=\'f+\'f有效，其中\'f={fEP{ξ| Fm}，Fm}∞m=0属于Lξ，ξ=f∞+g∞fand fm=f，m=0，∞. 对于ξ=1的'fw，同样有效。这意味着f属于集合K。证明了定理5。定理6。在可测量空间上{Ohm, F}和过滤fn在此基础上，设M是等价测度的任意凸集。假设超鞅{fm，fm}∞m=0相对于等价测度凸集m满足条件| fm |≤ Cξ，m=1，∞,ξ∈ A、 0<C<∞, （58）那么，它是局部正则的充要条件是它属于集合K证明。这种必要性是显而易见的。足够的能力。假设{fm，fm}∞m=0是局部正则超鞅。然后存在一个非负adaptedrandom进程{gm}∞m=1，EP？gm<∞, m=1，∞, 和一个鞅{Mm}∞m=0，EP | Mm |<∞, m=1，∞, P∈ M、此类厚度=Mm-m级∑i=1？gi，m=0，∞. （59）不等式fm+Cξ≥ 0，m=1，∞, 给出不等式Fm+CEP{ξ| Fm}≥ 0，m=0，∞. （60）从不等式（58）可以看出，超鞅{fm，fm}∞m=0是相对于等价测度m的凸集的一致可积鞅{EP{ξ| Fm}，Fm}∞m=0相对于等价测度的凸集m也是一致可积的。然后Mm+CEP{ξ| Fm}≥ 0，m=0，∞. 因为0<EP[毫米+CEP{ξ| Fm}]=f+C<∞ 我们有EPm∑i=1？gi<f+C。让我们把g∞= 林姆→∞m级∑i=1？gi。利用fmandm的一致可积性∑i=1？GI我们可以通过质量EP（fm+m）中的极限∑i=1？gi）=f，P∈ M、（61）作为M→ ∞. 在最后一个等式中传递到极限，如m→ ∞, 我们获得EP（f∞+ g∞) = f、 P∈ M

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2022-6-10 03:59:15

（62）考虑一个随机值ξ=f∞+Cξ+g∞f+C≥ 0，则EPξ=1，P∈ M、从这里我们得到ξ∈ a对于超鞅f={fm，fm}∞m=0表示形式Fm=fmEP{ξ| Fm}+fmEP{ξ| Fm}+fmEP{ξ| Fm}，m=0，∞, （63）有效，其中fm=-C、 fm=f+C，fm=-m级∑i=1？gi，m=0，∞,ξ= 1. 从上一个表示可以看出，超鞅f={fm，fm}∞m=0属于集合K。证明了定理6。推论3。设fN，N<∞, 是FN可测可积随机值，支持∈MEP | fN |<∞, 让α存在∈ R如此-αMN+fN≤ 0,ω∈ Ohm,其中{Mm，Fm}∞m=0={EP{ξ| Fm}，Fm}∞m=0，ξ∈ A、然后是一个超鞅{fm+(R)fm}∞m=0是与等价测度m的凸集相关的局部正则one，其中fm=αMm，（64）(R)fm=0，m<N，fN-αMN，m≥ N、（65）证明。很明显，fm-1.-“”调频≥ 0，m=0，∞. 因此，超鞅fm+(R)fm=αMm，m<N，fN，m=N，fN-αMN＋αMm，m＞N（66）是相对于等价测度凸集m的局部正则测度。证明了推论3。5、超鞅相对于等价测度完备凸集的可选分解。在这一节中，我们引入了等价测度完备集的概念，并证明了非负上鞅是关于这组测度的局部正则超鞅。为此，我们需要下一个辅助声明。定理7。非负超鞅{fm，fm}局部正则性的充要条件∞m=0相对于等价测度的凸集m，存在Fm可测随机值ξm∈ A、 m=1，∞, 这样的FMFM-1.≤ξm，EP{ξm | Fm-1} =1，P∈ M、 M=1，∞. （67）证明。必要性。在不丧失一般性的情况下，我们假设fm≥ a对于某个实数a>0。真的，如果不是这样，那么我们可以考虑超鞅{fm+a，fm}∞m=0。

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2022-6-10 03:59:19

因此，让{fm，fm}∞m=0be是一个非负局部正则超鞅。然后存在一个非负适应随机过程{gm}∞m=0，g=0，以便支持∈MEPgm<∞,fm公司-1.- EP{fm | fm-1} =EP{gm | Fm-1} ，P∈ M、 M=1，∞. （68）设ξm=fm+gmfm-1，m=1，∞. 然后ξm∈ 从等式（68）我们得到EP{ξm | Fm-1} =1，P∈M、 M=1，∞. 很明显，不等式（67）是有效的。效率。假设定理7的条件是有效的。然后fm≤ fm公司-1+fm-1（ξm- 1). 简介表示gm=- 调频+调频-1ξm.然后gm≥ 0，支持∈MEPgm公司≤ 支持∈MEPfm+支持∈MEPfm公司-1< ∞, m=1，∞. 最后的等式和不等式givefm=f+m∑i=1fi-1（ξi- 1) -m级∑i=1gi，m=1，∞. （69）让我们考虑随机过程{Mm，Fm}∞m=0，其中Mm=f+m∑i=1fi-1（ξi- 1). 然后EP{Mm | Fm-1} =毫米-1，P∈ M、 M=1，∞. 证明了定理7。5.1. 基本事件的有限集合空间。在本小节中，我们假设基本事件空间Ohm 是有限的，即N=|Ohm| < ∞, 给出了超鞅相对于等价测度完备凸集的可选分解的一个新证明。这个证明没有使用[16]中的拓扑参数。设F是集合子集的一个代数Ohm 让Fn Fn+1 F是代数的增集，其中F={/0，Ohm}, FN=F。表示可测空间上等价测度的凸集{Ohm, F}。此外，我们假设该集合包含元素ξ6=1。很明显，每个代数Fn都是由setsAni生成的，i=1，Nn，Ani∩ Anj=/0，i 6=j，Nn<∞,NnSi=1Ani=Ohm, n=1，n。设mn=EP{ξ| Fn}，P∈ M、 n=1，n。然后对于mn，表示mn=Nn∑i=1mniχAni（ω），n=1，n，（70）有效。考虑差值dn（ω）=mn- 明尼苏达州-1、Thendn（ω）=Nn∑j=1dnjχAnj（ω）=∑j∈我-ndnjχAnj（ω）+∑j∈I+ndnjχAnj（ω），（71）∑j∈我-nχAnj（ω）+∑j∈I+nχAnj（ω）=1，（72），其中dnj≤ 0，作为j∈ 我-n、对于j，dnj>0∈ I+n。

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2022-6-10 03:59:22

从等式（71），（72）我们得到了epdn（ω）=∑j∈我-ndnjP（Anj）+∑j∈I+ndnjP（Anj）=0，P∈ M、（73）∑j∈我-nP（Anj）+∑j∈I+nP（Anj）=1，∈ M、（74）表示代数Fn上测度集M的收缩。将度量ρn（P，P）=maxBk引入集合mn∑s=1 | P（Bns）- P（Bns）|，P，P∈ Mn，n=1，n，（75），其中B={Bn，…，Bnk}是Ohm 关于k子集，即Bni∈ Fn，i=1，k，Bni∩ Bnj=/0，i 6=j，kSi=1Bni=Ohm. 公式（75）中的最大值在集合的所有分区上Ohm, 属于σ-代数Fn。定义3。关于可测空间{Ohm, F}，一个等价测度M的凸集，我们称之为完备if，对于every1≤ n≤ N度量（75）中度量集mn的闭包包含度量sni j（A）=0，A 6=Ani，Anj，dnj-dni+dnj，A=Ani，-dni公司-dni+dnj，A=Anj（76），对于每个i∈ 我-nand j∈ 引理10。设一个等价测度M的凸族是一个完整族，该集包含一个元素ξ6=1。然后对于每个非负Fn可测随机值ξn=Nn∑i=1Cniχani存在实数αnsuchthatn∑i=1CniχAnisupP∈MnNn公司∑i=1英寸（Ani）≤ 1+αn（mn- 明尼苏达州-1），n=1，n.（77）证明。在集合“Mn”上，函数φ（P）=Nn∑i=1CniP（Ani）是连续的，其中“mn”是度量ρn（P，P）中集合mn的闭包。由此得出等式supp∈MnNn公司∑i=1CniP（Ani）=供应∈(R)MnNn∑i=1CniP（Ani）（78）有效。表示fni=CnisupP∈MnNn公司∑i=1CniP（Ani），i=1，Nn。ThenNn公司∑i=1fniP（Ani）≤ 1，P∈百万。（79）对于那些∈ 我-对于哪个dni<0，哪些j∈ 对于dnj>0的I+n，不等式（79）如下fnidnj-dni+dnj+-dni公司-dni+dnjfnj≤ 1，dni<0，i∈ 我-, dnj>0，j∈ I+n.（80）从（80）中我们得到不等式fnj≤ 1 +1 - fni公司-dnidnj，dni<0，i∈ 我-n、 dnj>0，j∈ I+n。

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2022-6-10 03:59:25

（81）因为不等式（81）对每个1都有效- fni公司-dni，当dni<0时，由于这类元素的集合是有限的，那么如果todenoteαn=min{i，dni<0}1- fni公司-dni，（82）那么我们有FNJ≤ 1+αndnj，dnj>0，j∈ I+n.（83）根据αnw的定义，我们得到了不等式fni≤ 1+αndni，dni<0，i∈ 我-n、（84）如果某些i的dni=0∈ 我-n、那么在这种情况下，fni≤ 所有这些不等式都给出了fni≤ 1+αndni，i∈ 我-n∪ I+n.（85）乘上χani不等式（85）并对所有I求和∈ 我-n∪ 我们得到了所需的不等式。证明了引理10。定理8。假设引理10的条件是有效的。则每个非负超鞅{fm，fm}Nm=0相对于等价测度M的凸集，满足条件sfnfn-1.≤ Cn<∞, n=1，n，（86）是局部正则的，其中Cn，n=1，n是常数。证据考虑随机值ξn=fnfn-1、由于引理10ξnsupP∈MEPξn≤ 1+αn（mn- 明尼苏达州-1） =ξn，n=1，n.（87）很明显，EP{ξn | Fn-1} =1，P∈ M、 n=1，n.自supP∈MEPξn≤ 1，然后fnfn-1.≤ξn，n=1，n.（88）定理7和不等式（88）证明了定理8。定理9。关于基本事件的有限空间{Ohm, F}如果集包含ξ6=1，则相对于等价测度M的完备凸集的每个超鞅{fm，fm}Nm=0都是局部正则的。证据很明显，每个超鞅{fm，fm}Nm=0是有界的。因此，存在一个常数C>0，使得3c>fm+C>C，ω∈ Ohm, m=0，N。由此可知，超鞅{fm+C，fm}Nm=0是非负的，并且满足条件fn+Cfn-1+C≤ 3，n=1，n.（89）这意味着满足定理8的条件。证明了定理9。定理10。L et M是可测空间上等价测度的完备凸集{Ohm, F}上面有一个过滤器。

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2022-6-10 03:59:28

假设ξ∈ A、 ξ6=1，mn=EP{ξ| Fn}是相对于测度集M的鞅。设Mabe是相对于任何测度P绝对连续的所有鞅测度集∈ M、然后包含'M Mais有效，其中M是度量ρN（P，P）中度量值M集合的闭包，定义见（75）。证据让序列Ps∈ M对测度P是收敛的∈\'M，然后是D∈ Fn公司-1ZDmndPs=ZDmn-1dPs，s=1，∞. （90）功能RDMNDP，RDmn-集合上的1dP？M表示所有D∈ Fn公司-1是相对于由公式（75）定义的指标ρN（P，P）的连续值。达到等式（90）的极限，如s→ ∞, 我们得到ZDMNDP=ZDmn-1dP，n=1，n，D∈ Fn公司-1.（91）最后一个表示P∈ 妈妈。证明了定理10。5.2. 可数的基本事件集。在这一小节中，我们将前一小节的结果推广到基本事件的可数空间。设F是初等事件可数集子集的σ-代数Ohm 让Fn Fn+1 F是σ-代数的一个增集，其中F={/0，Ohm}. 表示可测空间上的一组等价测度{Ohm, F}。此外，我们假设该集合包含元素ξ6=1。假设σ-代数fn由集合Ani生成，i=1，∞, Ani公司∩ Anj=/0，i 6=j，∞Si=1Ani=Ohm, n=1，∞.引入鞅mn=EP{ξ| Fn}，P∈ M、 n=1，∞. 那么对于mn代表mn=∞∑i=1mniχAni（ω），n=1，∞, （92）有效。考虑差值dn（ω）=mn- 明尼苏达州-1、Thendn（ω）=∞∑j=1dnjχAnj（ω）=∑j∈我-dnjχAnj（ω）+∑j∈I+dnjχAnj（ω），（93）∑j∈我-χAnj（ω）+∑j∈I+χAnj（ω）=1，（94），其中dnj≤ 0，作为j∈ 我-n、和dnj>0，j∈ I+n.从等式（93），（94）中得到epdn（ω）=∑j∈我-ndnjP（Anj）+∑j∈I+ndnjP（Anj）=0，P∈ M、（95）∑j∈我-nP（Anj）+∑j∈I+nP（Anj）=1，P∈ M、（96）表示σ-代数Fn上测度集M的收缩。

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nandehutu2022

2022-6-10 03:59:31

将度量ρn（P，P）=supBk引入集合mn∑s=1 | P（Bns）- P（Bns）|，P，P∈ Mn，n=1，∞, （97）其中B={Bn，…，Bnk}是Ohm 关于k子集，即Bni∈ Fn，i=1，k，Bni∩ Bnj=/0，i 6=j，kSi=1Bni=Ohm. 公式（97）中的supremum覆盖了集合的所有分区Ohm, 属于σ-代数Fn。定义4。关于可测空间{Ohm, F}如果对其进行过滤，则等价测度M的凸集称为完备集，如果每1个≤ n<∞ 度量（97）中度量集mn的闭包包含度量sni j（A）=0，A 6=Ani，Anj，dnj-dni+dnj，A=Ani，-dni公司-dni+dnj，A=Anj（98），对于每个i∈ 我-nand j∈ 引理11。设测度族M是完备的，且该集包含元素ξ6=1。然后对于每个非负有界Fn可测的随机值ξn=∞∑i=1Cniχani存在一个实数αnsuch∞∑i=1CniχAnisupP∈明尼苏达州∞∑i=1英寸（Ani）≤ 1+αn（mn- 明尼苏达州-1），n=1，∞. （99）证据。在集合“Mn”上，函数式Д（P）=∞∑i=1CniP（Ani）是相对于度量ρn（P，P）的连续值，其中“mn”是该度量中集合mn的闭包。由此得出等式supp∈明尼苏达州∞∑i=1CniP（Ani）=供应∈\'\'Mn∞∑i=1CniP（Ani）（100）有效。表示fni=CnisupP∈明尼苏达州∞∑i=1 NIP（Ani），i=1，∞. 然后∞∑i=1fniP（Ani）≤ 1，P∈百万。（101）最后的不等式可以写成∑我∈我-fniP（Ani）+∑我∈I+fniP（Ani）≤ 1，P∈百万。（102）对于那些∈ 我-对于哪个dni<0，哪些j∈ 对于dnj>0的I+而言，不等式（102）如下fnidnj-dni+dnj+-dni公司-dni+dnjfnj≤ 1，dni<0，dnj>0，i∈ 我-n、 j∈ I+n.（103）从（103）中我们得到不等式fnj≤ 1 +1 - fni公司-dnidnj，dni<0，dnj>0，i∈ 我-n、 j∈ I+n.（104）两种情况是可能的：a）对于所有I∈ 我-n、 fni公司≤ 1.b）存在i∈ 我-确保fni>1。

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nandehutu2022

2022-6-10 03:59:34

首先，让我们考虑一下情况a）。因为不等式（104）对每个1都有效- fni公司-dni，因为dni<0，和fni≤ 1，我∈ 我-n、那么如果表示αn=inf{i，dni<0}1- fni公司-dni，（105）我们有0≤αn<∞ 和FNJ≤ 1+αndnj，dnj>0，j∈ I+n.（106）根据αnw的定义，我们得到不等式fni≤ 1+αndni，dni<0，i∈ 我-n、（107）现在，如果某些i的dni=0∈ 我-n、那么在这种情况下，fni≤ 所有这些不等式都给出了fni≤ 1+αndni，i∈ 我-n∪ I+n.（108）考虑案例b）。从不等式（104）中，我们得到fnj≤ 1.-1.- FNIDNINJ，dni<0，dnj>0，i∈ 我-n、 j∈ I+n.（109）最后给出的不等式1- fnidni公司≤ 最小{j，dnj>0}dnj<∞, dni<0，i∈ 我-n、（110）让我们定义αn=sup{i，dni<0}1- fnidni<∞. 然后从（109）我们得到fnj≤ 1.-αndnj，dnj>0，j∈ I+n.（111）从αn的定义来看，我们有fni≤ 1.-αndni，dni<0，i∈ 我-n、（112）不等式（111），（112）给出fnj≤ 1.-αndnj，j∈ 我-n∪ I+n.（113）在χani上相乘不等式（108）和在χAnjand上的不等式（113）在所有I，j上求和∈ 我-n∪ 我+我得到了所需的不等式。证明了引理11。定理11。假设引理11的条件是有效的。然后每个非负超鞅{fm，fm}∞m=0相对于等价测度m的凸集，满足条件SFMFM-1.≤ 厘米<∞, m=1，∞, （114）是局部正则的，其中Cmare常数。证据根据条件（114），可以得出以下结论：∈MEPfm<∞. 考虑随机值ξn=fnfn-1、由于引理ξnsupP∈MEPξn≤ 1+αn（mn- 明尼苏达州-1） =ξn.（115）很明显，EP{ξn | Fn-1} =1，P∈ M、 n=1，∞. 自supP以来∈MEPξn≤ 1，然后fnfn-1.≤ξn，n=1，∞. （116）定理7和不等式（116）证明了定理11.5.3。

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2022-6-10 03:59:37

基本事件的圆形空间。在这一小节中，我们考虑了一个任意的基本事件空间，并证明了非负超鞅的可选分解。设F是初等事件集子集的σ-代数Ohm 让Fn Fn+1 F是σ-代数的增量集，其中F={/0，Ohm}. 表示可测空间上的一组等价测度{Ohm, F}。假设σ-代数Fn，n=1，∞, F相对于任何测度P都是完备的∈ M、此外，我们假设该集合包含元素ξ6=1。设mn=EP{ξ| Fn}，P∈ M、 n=1，∞.考虑差值dn（ω）=mn-明尼苏达州-我们假设每个ω∈ Ohm 属于σ-代数Fn，n=1，∞,P（{ω}）=0，ω∈ Ohm, P∈ M、对于随机值dn（ω），不存在超过P（Ans）>0的实数dnssuch的可数集，其中Ans={ω∈ Ohm, dn（ω）=dns}。很明显，Ani∩ Anj=/0，i6=j.假设P(Ohm \\∞Si=1Ani）>0。介绍前两个子集I-n={ω∈ Ohm, dn（ω）≤ 0}，I+n={ω∈ Ohm, 集合{ω]的dn（ω）>0}∈ Ohm, |dn（ω）|<∞}.表示mnσ-代数Fn上测度集M的收缩。将度量ρn（P，P）=supBk引入集合mn∑s=1 | P（Bns）- P（Bns）|，P，P∈ Mn，n=1，∞, （117）其中B={Bn，…，Bnk}是Ohm 关于k子集，即Bni∈ Fn，i=1，k，Bni∩ Bnj=/0，i 6=j，kSi=1Bni=Ohm. 公式（117）中的supremum覆盖了集合的所有分区Ohm, 属于σ-代数Fn。定义5。关于可测空间{Ohm, F}如果每1，我们称之为完备的等价测度M的凸集≤ n<∞ 度量集mn的度量（117）中的闭包包含m度量spnω，ω（A）=0,ω,ω∈ Ohm \\ A、 dn（ω）-dn（ω）+dn（ω），ω∈ A、 A∩ {ω} = /0,-dn（ω）-dn（ω）+dn（ω），ω∈ Ohm \\ A、(Ohm \\ （A）∩ {ω} =ω为0（118）∈ 我-nandω∈ I+n引理12。

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nandehutu2022

2022-6-10 03:59:40

设一个等价测度M的凸族是一个完整族，该集包含一个元素ξ6=1。对于每个非负有界Fn可测随机值ξn，存在一个实数αnsuch，ξnsupP∈MEPξn≤ 1+αn（mn- 明尼苏达州-1），n=1，∞. （119）证明。在集合“Mn”上，函数φ（P）=ROhmξndP是相对于度量ρn（P，P）的连续值，其中“mn”是该度量中集合mn的闭包。由此得出等式supp∈MnZ公司OhmξndP=支持∈(R)MnZOhmξndP（120）有效。表示fn（ω）=ξn（ω）supP∈MnEPξn（ω）。ThenEPfn（ω）≤ 1，P∈百万。（121）最后的不等式可以写在formZI中-fn（ω）dP+ZI+fn（ω）dP≤ 1，P∈百万。（122）度量（118）的不等式（122）如下fn（ω）dn（ω）-dn（ω）+dn（ω）+-dn（ω）-dn（ω）+dn（ω）fn（ω）≤ 1,ω∈ 我-n、 ω∈ I+n.（123）从（123）我们得到不等式fn（ω）≤ 1 +1 - fn（ω）-dn（ω）dn（ω），（124）dn（ω）<0，dn（ω）>0，ω∈ 我-n、 ω∈ I+n.（125）两种情况是可能的：a）对于所有ω∈ 我-n、 fn（ω）≤ 1.b）存在ω∈ 我-确保fn（ω）>1。首先，让我们考虑一下情况a）。因为不等式（124）对每个1都有效- fn（ω）-dn（ω），如dn（ω）<0和fn（ω）≤ 1,ω∈ 我-n、那么如果表示αn=inf{ω，dn（ω）<0}1- fn（ω）-dn（ω），（126）我们有0≤αn<∞ andfn（ω）≤ 1+αndn（ω），dn（ω）>0，ω∈ I+n.（127）根据αnw的定义，我们得到不等式fn（ω）≤ 1+αndn（ω），dn（ω）<0，ω∈ 我-n、（128）现在，对于某些ω，如果dn（ω）=0∈ 我-n、那么在这种情况下fn（ω）≤ 所有这些不等式都给出fn（ω）≤ 1+αndn（ω），ω∈ 我-n∪ I+n.（129）考虑案例b）。从不等式（124）中，我们得到fn（ω）≤ 1.-1.- fn（ω）dn（ω）dn（ω），（130）dn（ω）<0，dn（ω）>0，ω∈ 我-n、 ω∈ I+n.（131）最后给出的不等式1- fn（ω）dn（ω）≤ inf{ω，dn（ω）>0}dn（ω）<∞, dn（ω）<0，ω∈ 我-n、（132）让我们定义αn=sup{ω，dn（ω）<0}1- fn（ω）dn（ω）<∞. 然后从（130）得到fn（ω）≤ 1.-αndn（ω），dn（ω）>0，ω∈ I+n.（133）来自αnwe havefn（ω）的定义≤ 1.-αndn（ω），dn（ω）<0，ω∈ 我-n

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2022-6-10 03:59:43

（134）不等式（133），（134）给出fn（ω）≤ 1.-αndn（ω），ω∈ 我-n∪ I+n.（135），自集合I起-n∪ 证明了I+nhas概率1，引理12。定理12。假设等价测度M的凸集是一个完备的凸集，并且Lemm a 12的条件是有效的。然后每个非负超鞅{fm，fm}∞m=0相对于等价测度m的凸集，满足条件SFMFM-1.≤ 厘米<∞, m=1，∞, （136）是局部正则的，其中Cm，m=1，∞, 是常量。证据根据不等式（136），可以得出以下结论：∈MEPfm<∞, m=1，∞. 考虑随机值ξn=fnfn-1、由于引理12ξnsupP∈MEPξn≤ 1+αn（mn- 明尼苏达州-1） =ξn.（137）很明显，EP{ξn | Fn-1} =1，P∈ M、 n=1，∞. 自supP以来∈MEPξn≤ 1，然后fnfn-1.≤ξn，n=1，∞. （138）定理7和不等式（138）证明了定理12。结果1。如果超鞅{fm，fm}∞m=0相对于等价测度的完整凸集m满足条件0≤ fm公司≤ Dm，m=1，∞, 其中Dm<∞ 都是常数，那么它就是局部正则的。证据超鞅{fm+ε，fm}∞m=0，ε>0，为非负且满足条件fm+εfm-1+ε≤Dm+ε=Cm<∞, m=1，∞. （139）从定理11出发，证明了超鞅{fm+ε，fm}的局部正则性的有效性∞因此，对于超鞅{fm，fm}，m=0∞m=0局部规则性也是正确的。6、优超鞅的Lo ca l正则性。在这一部分中，我们给出了相对于完备等价测度集的优化超鞅是局部正则超鞅的初步证明。定理13。关于可测空间{Ohm, F}用过滤函数，设集合M是F上等价测度的完整凸集，集合a包含元素ξ6=1。然后每个有界超鞅{fm，fm}∞m=0相对于等价测度的完备凸集m是局部正则集。证据

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2022-6-10 03:59:46

从定理13的条件来看，存在一个常数0<C<∞ 使| fm |≤ C、 m=1，∞. 考虑超鞅{fm+C，fm}∞m=0。然后0≤ fm+C≤ 2C。由于结果1，对于超鞅{fm+C，fm}∞m=0局部规则性为真。所以，同样的语句对于超鞅{fm，fm}也是有效的∞m=0。证明了定理13。下一个定理被类似地证明为定理13。定理14。关于可测空间{Ohm, F}利用过滤函数，设集合M是F上等价测度的完整凸集，且集合包含元素ξ6=1。然后是一个超鞅{fm，fm}∞m=0相对于满足条件| fm |的等价测度m的完备凸集≤ Cξ，fm+Cξ≤ C、 m=1，∞,ξ∈ A、（140）对于某些常数0<C，C<∞, 是当地的常规产品。数学金融应用。根据推论3，我们可以对未定权益的公允价格fn给出以下定义，该定义与等价度量M的对流集有关。L et fN，N<∞, 是一个FN可测的可积随机值，相对于等价测度M的凸集，使得对于某些0≤α< ∞ 和ξ∈ AP（fN-αEP{ξ| FN}≤ 0) = 1. （141）表示Gα={α∈ [0,α], ξα∈ A、 P（fN-αEP{ξα| FN}≤ 0) = 1}. 我们称f=infα∈Gαα（142）未定权益fn相对于等价测度M凸集的公平价格，如果存在ζ∈ Aanda序列αn∈ [0，α]，ξαn∈ A、满足条件：αn→ f、 ξαn→概率ζ，如n→ ∞, 和此类（fN-αnEP{ξαn | FN}≤ 0）=1，n=1，∞. （143）定理15。设集合Abe相对于每个测度P一致可积∈ M、假设对于非负FN可测可积未定权益FN，N<∞, 相对于每个度量值P∈ M存在α<∞ 和ξ∈ Asuch茅草（fN-αEP{ξ| FN}≤ 0）=1，（144）则存在未定权益Fn的公允价格。对于不平等支持∈MEPfN公司≤ f（145）有效。

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2022-6-10 03:59:49

如果fN≥ 0和一个超鞅{fm=ess supP∈MEP{fN | Fm}，Fm}∞m=0是本地常规值，则f=supP∈MEPfN。证据如果f=α，则证明定理15。假设f<α。然后存在一个序列αn→ f、和ξαn∈ A、 n个→ ∞, 这样P（fN-αnEP{ξαn | FN}≤ 0）=1，P∈ M、（146）由于一致可积性，Awe获得1=limn→∞ZOhmξαndP=ZOhmζdP，P∈ M、（147）再次使用a的一致可积性，并在（146）中达到极限，我们得到p（fN- fEP{ζ| FN}≤ 0）=1，P∈ M、（148）来自不等式fN- fEP{ζ| FN}≤ 0它遵循不等式（145）。如果fN≥ 0和{fm=ess supP∈MEP{fN | Fm}，Fm}Nm=0是局部正则超鞅，thenfm=Mm- gm，m=0，N，g=0，（149），其中鞅{Mm，Fm}Nm=0是非负的，EPMm=supP∈MEPfN。引入一个随机值ξ=MN^f，其中^f=supP∈MEPfN。那么ξ属于集合AandP（fN-^fEP{ξ| FN}≤ 0) = 1. （150）由此得出f=supP∈MEPfN。让我们证明，对于风险资产和非风险资产的某些演化，fis是一个公平的价格。假设风险资产的演化由Sm=fMP{ζ| Fm}，m=0，N定律给出，非风险资产的演化由公式Bm=1，m=0，N给出。如上所述，对于f=infα∈Gαα存在ζ∈ A确保不平等fn- fEP{ζ| FN}≤ 0（151）有效。让我们把Fm=fEP{ζ| Fm}，P∈ M、（152）英尺=0，m<N，fN- fEP{ζ| Fm}，m=N.（153）很明显，Fm-1.-“”调频≥ 0，m=0，N。因此，超鞅fm+(R)fm=fEP{ζ| Fm}，m<N，fN，m=N，（154）是局部正则的。很明显，fm+(R)fm=Mm- gm，m=0，N，（155），其中mm=fEP{ζ| Fm}，m=0，N，（156）gm=0，m=0，N- 1，（157）gN=fEP{ζ| FN}- fN。（158）对于鞅{Mm，Fm}Nm=0，表示形式Mm=f+m∑i=1HiSi，m=0，N，（159）是有效的，其中Hi=1，i=1，N。让我们考虑一下交易策略π={Hm，\'Hm}Nm=0，其中\'H=f，\'Hm=Mm- HmSm，m=1，N，（160）’H=0，’Hm=Hm，m=1，N。

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kedemingshi

2022-6-10 03:59:52

（161）很明显，\'Hm，\'Hmare Fm-1可测量且交易策略π满足自我融资条件(R)嗯+\'HmSm-1= 0. （162）此外，自筹交易策略π对应的资本由公式xπm=\'Hm+\'HmSm=Mm给出。（163）由此，Xπ=f。进一步，XπN=fN+gN≥ fN。（164）最后证明定理15。根据（148）和推论3，定理16如下。定理16。假设集合A仅包含1≤ k<∞ 线性独立元素ξ。ξk.如果存在ξ∈ T和α≥ 0这样P（fN-αEP{ξ| FN}≤ 0）=1，P∈ M、（165）式中t={ξ≥ 0，ξ=k∑i=1αiξi，αi≥ 0，i=1，k，k∑i=1αi=1}，（166）则为未定权益的公允价格fN≥ 存在0，其中fn是相对于每个度量P可测量和可积的∈ M、 N<∞.证据证明是显而易见的，因为集合T相对于M推论4中的每个测度都是一致可积的。关于可测空间{Ohm, F}对于过滤Fmon，设{fm，fm}Nm=0是相对于等价测度M的凸集的非负局部正则超鞅∈ M、则存在未定权益的公平价格fn。证据根据超鞅{fm，fm}Nm=0的局部正则性，我们得到了fm=Mm- gm，m=0，N。因此，P（fN-αξ≤ 0）=1，其中α=EPMN，P∈ M、 ξ=MNEPMN。最后，证明了定理15的条件满足。推论4得到了证明。关于概率空间{Ohm, F，P}，让我们考虑一个风险资产的演化，由{Sm}Nm=0定律给出，其中smi是一个随机值，取R+中的值。假设Fmis是对{Ohm, F，P}和Smis为可测随机值。我们假设无风险资产按照Bm=1，m=1，N的规律演化。表示Me（S）的所有鞅测度集等价于测度P。

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2022-6-10 03:59:55

我们假设这类鞅测度的集合Me不是空的，并且有效市场是非完全的，例如参见[15]、[17]、[18]、[19]。所以，我们得到了eq{Sm | Fm-1} =Sm-1，m=1，N，Q∈ Me（S）。（167）下一个定理证明了定义6的正确性。定理17。设未定权益FN是关于Me（S）的每个度量的FN可测可积随机值，定理16的条件满足ξi=SiS，i=0，N。然后存在自融资交易策略π资本演化{Xπm}Nm=0，其中是相对于Me（S）的每个度量的鞅，满足条件Xπ=f，XπN≥ fN，其中fis是或有权的公平价格fN。证据根据定理15、16，对于f=infα∈Gαα存在ζ∈ A确保不平等fn- fEP{ζ| FN}≤ 0（168）有效。让我们把Fm=fEP{ζ| Fm}，P∈ Me（S），（169）fm=0，m<N，fN- fEP{ζ| Fm}，m=N.（170）很明显'Fm-1.-“”调频≥ 0，m=0，N。因此，超鞅fm+(R)fm=fEP{ζ| Fm}，m<N，fN，m=N（171）是局部正则的。很明显，fm+(R)fm=Mm- gm，m=0，N，（172），其中mm=fEP{ζ| Fm}，m=0，N，（173）gm=0，m=0，N- 1，（174）gN=fEP{ζ| FN}- fN。（175）根据定理20，对于鞅{Mm}Nm=0，表示形式Mm=f+m∑i=1HiSi，m=0，N，（176）有效。让我们考虑一下交易策略π={Hm，\'Hm}Nm=0，其中\'H=f，\'Hm=Mm- HmSm，m=1，N，（177）’H=0，’Hm=Hm，m=1，N.（178）很明显，’Hm，’Hmare Fm-1-可测量的和交易策略π满足自我融资条件(R)嗯+\'HmSm-1= 0. （179）此外，自筹交易策略π对应的资本由公式xπm=\'Hm+\'HmSm=Mm给出。（180）由此，Xπ=f。此外，XπN=fN+gN。（181）因此XπN≥ fN。

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2022-6-10 03:59:58

证明了定理17。在下一个定理中，我们假设风险和非风险资产的演化产生了不完全市场[15]、[17]、[18]、[19]、[20]，也就是说，鞅测度集包含多个元素。定理18。让风险资产的演化{Sm}Nm=0满足条件P（Dm≤ sm≤ Dm）=1，其中常数Dim满足不等式Dm-1.≥ Dm>0，Dm-1.≤ Dm<∞, m=1，N，并让无风险资产演化为{Bm}Nm=0，Bm=1，m=0，N定律给出的确定性资产演化。支付函数fN=（SN）的标准欧式看涨期权的公平价格- K） +由公式F=（S（1）给出-KDN），K≤ DN，0，K>DN。（182）支付函数为fN=（K）的标准欧式看跌期权的公允价格-SN）+由公式F给出=K- DN，K≥ DN，0，K<DN。（183）证明。在定理18条件中，方程组EPζ=1，ζ≥ 0，溶液ζi=SiS，i=0，N。可以证明α=砂ζN=SNS，因为（SN- K） +十亿-αSNS≤ 0,ω∈ Ohm. （184）让我们证明所需的公式。考虑不等式（SN- K）-αN∑i=0γiSiS≤ 0,γ∈ 五、（185）式中，V={γ={γi}Ni=0，γi≥ 0，N∑i=0γi=1}。或，序号1.-αγNS- K-αN-1.∑i=0γiSiS≤ 0。（186）假设α满足不等式1-αS>0。（187）如果α额外满足等式DN1.-αγNS- K-αN-1.∑i=0γiDiS=0，（188）那么对于所有ω∈ Ohm （186）有效。从（188）中，我们得到αα=S（DN- K）（DNγN+N-1.∑i=0γiDi）。（189）如果DN- K>0，则为infγ∈VS（DN- K）（DNγN+N-1.∑i=0γiDi）=S（DN- K） DN，（190）自DN起≥ 迪。从这里我们得到f=S1.-KDN公司. （191）很明显，α=F满足了不平等（187）。如果DN- K≤ 0，然后是序号- K≤ 从（185）我们可以把α=0。那么，公式（186）对所有ω都有效∈ Ohm.让我们证明标准欧式看跌期权的公式（183）。If序号≤ 很明显，α=K，ζ=1，因为（K- 序号）-α≤ 0,ω∈ Ohm. （192）让我们证明所需的公式。考虑不等式（K- 序号）+-αN∑i=0γiSiS≤ 0,γ∈ 五、

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2022-6-10 04:00:02

（193）或，对于SN≤ K-序号1+αγNS+ K-αN-1.∑i=0γiSiS≤ 0。（194）若α是等式的解-DN1+αγNS+ K-αN-1.∑i=0γiDiS=0，（195）然后对于所有ω∈ Ohm （194）有效。从（195）中，我们得到αα=S（K- DN）N∑i=0γiDi。（196）因此，infγ∈VS（K- DN）N∑i=0γiDi=K- DN，（197）自Di起≤ S、 i=1，N，D=S。从这里我们得到f=K- DN。（198）如果DN- K>0，然后是SN- K>0，从（193）我们可以把α=0。那么，（194）对所有ω都有效∈ Ohm. 证明了定理18。8、一些辅助结果。关于可测空间{Ohm, F}有了过滤fn，让我们考虑一个等价测度M的凸集。假设ξ，ξdis是属于集合a的一组随机值。引入相对于一组测度M{Sin，Fn}的d鞅∞n=0，i=1，d，其中Sin=EP{ξi | Fn}，i=1，d，P∈ M、用Me（S）表示一组等价于测度P的鞅测度∈ M、也就是Q∈ Me（S）ifEQ{Sn | Fn-1} =序号-1，等式| Sn |<∞, Q∈ Me（S），n=1，∞. （199）很明显，M Me（S）和Me（S）是一个凸集。表示来自Me（S）的某个固定度量，并设L（Rd）为概率空间上的一组有限值随机值{Ohm, F，P}，取Rd中的值。设Hbe为一组有限值可预测过程H={Hn}Nn=1，其中Hn={Hin}di=1取RdandHnis Fn中的值-1-可测随机向量。引入一组随机值skn={ξ∈ L（R），ξ=N∑k=1hHk，滑雪，H∈ H} ，N<∞, (200)Sk=Sk- Sk公司-1，hHk，Ski=d∑s=1Hsk（Ssk- Ssk公司-1). （201）引理13。随机值集是有限值随机值集L（R）中与测度P收敛性相关的闭子集∈ M、引理13的证明参见，例如，[17]。考虑a子类={H∈ H、 | | Hn | |<∞, n=1，n}（202），其中| | Hn | |=supω∈Ohmd∑i=1 |欣|。设KNbe为集合KNKNKN={ξ的子集∈ L（R），ξ=N∑k=1hHk，滑雪板，H∈ 五} 。

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