我们将这些选项标记为（I）-（IV），并在表2中给出一些额外的结果。关于这些结果的解释说明如下所示首先，我们发现，对于几乎所有考虑过的看涨期权价格（157个看涨期权中的154个），市场出价/报价都在模型界限内，尤其是在查找最新的两个选项（III）-（IV）时，所有价格都在模型界限内，见表2。下限始终涵盖投标报价，且边界的价格区间围绕期权（III）-（IV）的中间市场价格相当对称对于选项（I），其价格接近上限（偶尔高于上限），选项（II）的价格也一样。该期权的货币性随着时间的推移而大幅增加（见图3的右窗格），而标准普尔500指数期权的上限与欧洲看涨期权的距离：（I）（II）（III）（IV）期限2004年9月12日至12月24日12月31日至12月13日23日13月12日30日至14日12月22日14月29日至8月15日31到期14月12日20日12月15日19日12月16日17日12月15日15日价差：价格5.6%3.4%5.6%7.1%价差：价差14.9%12.4%13.9%12.8英寸界限88.2%98.1%100%100%Optim：价差7.8 6.1 7.2 6.6区间11.8%0%76.9%72.2%表2：标准普尔500指数看涨期权模型价格的最优控制价值过程（定价界限）和公式最优价格区间的关键参数。价差-最高价格比率给出了市场价差的平均大小，作为每个期权平均中端市场价格的百分比。同样，价差界限比率将价格界限的范围与市场价差的范围进行比较。内边界图给出了落在模型边界内的市场报价的比例。根据最优价格公式的区间计算相应的图表。图5：通过优化Heston的看涨期权定价公式获得的最低和最高价格（红色虚线）。

黑色实线显示标准普尔500指数期权的市场报价。报价正在缩水。一种可能的解释是，该模型无法捕捉市场价格/隐含波动率的斜率和偏斜，尤其是因为这些参数是根据历史指数价格而不是期权价格估计的。为了调查这一点，我们查看了期权（II）第一个和最后一个日期的市场价格和一系列罢工的模型边界，图6中以隐含波动率绘制图6的左窗格显示了从开始日期开始的价格，显示了市场价格的大幅倾斜波动曲线，而赫斯顿优化公式中的价格产生了更大的波动，斜率更小。这表明，图6：左图：2012年12月31日记录的标准普尔500指数看涨期权在不同打击下的中端市场隐含波动性较高。相应的模型边界（虚线）和公式最优价格（红色虚线），都是隐含波动率。ATM期权（II）的波动性以星形标记。

右图：2013年12月23日（期权（II）考虑期的最后日期）记录的中期市场价格、模型边界和公式最优的隐含波动率。偏态水平需要满足市场波动率的曲率（粗略峰值、更强的负相关性以增加斜率和更高的“vol of vol”水平以增加偏态），以及更高的波动性水平才能使ATM公式价格与市场相适应（更高的平均回复水平和更低的回复速度）另一方面，相应的定价边界足够宽，可以在两个日期进行全面罢工，即使上限接近市场波动率，但在期权深入资金的较后日期，参见图6的右窗格。与公式最优价格的情况一样，我们注意到，界限不显示任何与市场波动相一致的曲率，这可能是因为负相关性水平较低，并且体积与体积。回到所有期权（I）-（IV）的价格，我们总共有98%的市场报价在定价界限内，而公式最优价格涵盖了40%的报价。

特别是，期权（II）的市场报价在整个期间都超出了最优预测公式，期权（I）的报价仅占其报价的11.8%。一般来说，价格上限太低，配方奶粉价格覆盖范围太小：优化价格的（平均）范围为~ 市场价差的7倍（见表2），因此与模型界限范围相比几乎减半(~ 13倍的市场利差）。基于统计推断的赫斯顿公式优化不足以覆盖所考虑数据的市场报价：价格区间太紧，货币期权通常超出模型预测，这表明没有捕捉到波动微笑。这可能是意料之中的，因为参数估计特别符合基础指数差异参数，而不是我们试图定价的实际期权。此外，我们使用一组恒定的参数来预测整个三年期间的期权价格，而在实践中，通常会定期更新估计值。因此，我们面临着赫斯顿模型的一项挑战性任务：在长期内为一组动态的市场期权定价，同时在将模型估计为数据时仅从基础资产中获取信息。作为回报，我们允许漂移参数在其95%的密度范围内变化，以表示市场模型的不完整性，毕竟，这提供了一个优化的价格范围，在一定程度上涵盖了期权报价。只有当我们推广该模型时，我们才能获得足够宽的保守定价界限，以涵盖大多数价格，即使一些深层次的货币期权仍然不在范围之内。

我们假设95%置信区间作为不完全性的代表，但允许对跨越风险中性度量空间的参数的不确定性有更一般的看法：它们不仅在置信区间内不确定，而且参数也随时间动态变化。最后，前一种方法对应于一个参数过程为常数的最优控制值过程，我们只需考虑这些参数的变化，以便以一种理想的方式涵盖期权的市场定价。4带跳跃的随机波动率模型为了完成本文，我们将在最后一节将我们的建模框架推广到带跳跃的马尔可夫随机波动率模型下的多资产设置。我们的目的是简要介绍不确定性定价如何转化为一般模型，我们有意避免深入细节和技术性消费。4.1一般马尔可夫模型我们考虑过滤概率空间上的金融市场模型(Ohm, F、 {Ft}t≥0，P），包括货币账户B，支付确定利率r的无风险利率，以及代表d风险资产价格过程的Rd值随机过程S=（S，…，Sd）>。此外，我们还有非负随机过程，V取Rd中的值，表示瞬时方差。通常，这两个维度是相等的，因此每个资产价格都被单个波动率所区分，我们也认为这里的情况是d=d。假设状态变量的m=2d列向量X=（S；V）的统计P-动力学形式为dxt=uP（Xt）dt+σ（Xt）dWt+ZZh（ξ，Xt-)§u（dξ，dt），其中up（·）是统计测度下的m维漂移函数，σ（·）是m×m值扩散矩阵，W是Rm值维纳过程。

跳跃部分由|u驱动，这是Blackwell空间Z上的一个补偿泊松随机测度，确定性补偿器up（dξ，dt）=ν（dξ）dt，h（·）是一个状态相关函数，在Rm中取值，控制X的跳跃大小。因为我们使用的是Rm维状态过程，所以我们取Z=Rm。我们假设{Ft}t≥0由W和||u共同生成，并增加以满足通常条件。假设函数up、σ、h的定义使得SDE允许在固定的确定时间T内（例如线性增长和局部Lipschitz连续）有唯一的解，并且V是非负的。此外，我们假设充分的可积性条件，使得市场模型不允许套利：存在一个等价的鞅测度Q，在此鞅测度下，S和V followsdSt=rStdt+σS（St，Vt）dWt+ZRdh（ξ，St-, Vt）~u（dξ，dt）dVt=uV（Vt，Γ）dt+σV（Vt）dwt，其中σS（·）和σV（·），均以Rd×m为单位，是σ的第一行和最后一行。d值函数uV（·，Γ）是参数Γ方差的Q漂移，而ΓW是Q下的m维维纳过程。为方便起见，我们假设跳跃只会影响资产价格；Z=Rd，h（·）是一个Rd值函数，而补偿器测量值up（dξ，dt）=ν（γ，dξ）dt取决于Q参数γ（我们对uphere使用相同的符号，即使补偿器在p和Q下可能不同）。此外，我们假设连续方差具有漂移和扩散函数，仅依赖于方差的状态。虽然将非零股息（以及跳跃和方差的S依赖系数）概括为非零股息应该很简单，但风险资产不被假定为携带股息支付。

作为under，我们假设Q下的所有系数都表现良好，以便存在适当的解决方案。市场模型（S，B）没有套利，但不完整，因为它比交易风险资产（d）有更多的随机源（2×d），并且由于资产价格呈现跳跃（即风险中性度量Q不是唯一的）。对于马尔可夫定价规则dt=D（t，St，Vt），t∈ [0，T]，D：[0，T]×Rd×Rd→ R、 D∈ C1,2，对于具有终端支付（ST）的欧式期权，我们有一个对应于（3）的定价方程，如下所示：Dt+LD- rD=0D（T，s，v）=g（s），其中L是在q下生成（s；v）的（与时间无关）微分算子。对于函数f（s，v）∈ C运算符定义为lf（s，v）=uQ（s，v）>xf（s，v）+trσ> （s、v）xxf（s，v）σ（s，v）+Zξ∈研发部f（s+h（ξ，s，v），v）- f（s，v）- h（ξ，s，v）>xf（s、v）ν（dξ）由于跳跃是由泊松随机测度生成的，因此S的跳跃将由St=Zz∈Rdh（z，St-, Vt）~u（dz，{t}）=h（zt，St-, Vt）1{St6=0}其中zt∈ RDI是集合中的一个（唯一）点，其中u（{zt}）=1。哪里x，xxx和x=（s，v）分别是梯度和Hessian算子，tr[·]是矩阵轨迹。根据Feynman-Kac表示公式，这相当于风险中性估值公式D（t，s，v）=等式e-r（T-t） g（ST）（St，Vt）=（s，v）.4.2参数不确定性下的定价在我们的模型中，我们引入了表示参数不确定性的受控度量qu。因此，使用{ut}t≥0是一个Ft可预测的控制过程，在紧凑的不确定性集中取其值U Rk，我们让受控动力学bedt=rtStdt+σS（St，Vt）dWut+ZRdh（ξ，St-, Vt）~uu（dξ，dt）dVt=uV（Vt，ut）dt+σV（Vt）dWut。其中，我们假设资产价格和方差的受控漂移rtStanduV（Vt，ut）=uV（Vt，Γt），在Q和Qu下具有相同的函数形式。

因此，控件具有组件ut=（rt，Γt，γt），其中，Γ是uV的参数，而γ是受控（形式不变）补偿器测量uup（dξ，dt）=ν（γt，dξ）dt与氡-Nikodym密度β（ξ，t，ut）的参数≡ duup/dup相对于up。我们让uQu（St、Vt、ut）≡（rtSt；uV（Vt，ut））表示（S；V）在Qu下的公共漂移（与公共Q漂移类似）。然后通过R1×m值过程α（St，Vt，ut）=σ来确定控制效果-1（St、Vt）uQu（St、Vt、ut）- uQ（St，Vt）-ZRdh（ξ，St-, Vt）（β（ξ，t，ut）- 1） ν（dξ）给出线性驱动函数f（s，v，y，z，θ，u）=-ry+zα（s，v，u）+Rξθ（ξ）（β（ξ，t，u）-1） ν（dξ），其中最后一个参数是函数θ：Rd7→ R、 在模有效积分和Lipschitz条件下，我们得到了固定容许控制的值函数Jt（u）=Eu[e-RTtrudug（ST）| Ft]，t∈ [0，T]，作为线性BSDEdJt（u）=-f（St，Vt，Jt（u），Zt，Θt，ut）dt+ZtdWt+Zξ∈RdΘt（ξ）~u（dξ，dt）JT（u）=g（ST），其中Z是R1×m值，而Θ是在函数θ：Rd7空间中取其值的过程→ R、 结果与赫斯顿模型的情况类似：将It^o的productrule应用于E（∧）J（u），其中∧=-R、 rtdt+α（St，Vt，ut）o~W+R.R（β（ξ，t，ut）- 1） u（dξ，dt），看到E（λ）J（u）是一个鞅，并使用E（λ+R.rtdt）T=dQu/dQ表示E（λ）tJt（u）=E[E（λ）tJt（u）| Ft]的测量变化，以获得重新排列后的值过程的原始表达式。

此外，定义紧凑不确定性setH±（s、v、y、z、θ）上的逐点优化驱动函数=ess supu∈U±f（s、v、y、z、θ、U）,通过比较定理，我们得到了最优控制值过程（上/下定价边界）{D±t}t∈[0，T]={| ess sup{ut}±Jt（u）}T∈[0，T]是BSDEsdD±T=-H±（St，Vt，D±t，Zt，Θt）dt+ZtdWt+Zξ∈RdΘt（ξ）~u（dξ，dt）d±t=g（ST）。这里也是这样，这是因为我们在y、z和θ中有一个线性驱动器，以及BSDE的比较定理。为了简洁起见，我们省略了该证明，其遵循的方式与前一个案例中赫斯顿模型的方式相同（详情请参见Cohen andElliott（2015），第21章）。同样，由于我们在马尔可夫环境下工作，我们可以用确定性函数Dt=D（t，St，Vt）来编写解决方案，对于最优控制也是如此：存在一个函数u*（t、s、v）使反馈控制u*t=u*（t，St，Vt）是所有容许控制中的最优控制。最后，与Heston模型一样，我们通过半线性Feynman-Kac公式得出D（t，s，v）满足半线性偏微分方程Dt+tr[σ>xxDσ]+ess inf（r，Γ，γ）∈U-rD+（uQu）>xD+Zξ(D-h>xD）ν（γ，dξ）= 0终端条件D（T，s，v）=g（s），其中D是速记法forD（t，s+h（ξ，s，v），v）- D（t、s、v）。尽管存在许多此类PIDEO的数值方法，但可以选择模拟BSDE解决方案（例如，见Bouchardand Elie（2008）），尤其是当问题的维数较高时。5结论模型不确定性（此处以参数不确定性表示）是Knight（1921）正式提出的公认概念，其重要性至少自Derman（1996）以来就已在金融领域进行了研究。

本文的重点是研究如何将参数不确定性纳入随机波动率模型，以及它如何影响欧式期权的衍生价格。所考虑的不确定性相当普遍：利率和波动率漂移参数允许在统计估计推断出的预先描述的不确定性区域内随时间变化（常数参数为特例）。然后，从最坏情况的角度研究了对定价的影响，期权价格的边界可以嵌入到控制问题中，控制扮演着不确定参数的角色。以赫斯顿模型为例，研究了控制问题——BSDE对偶，并以马尔可夫线性BSDE的形式导出了定价边界（最优值过程）的显式方程。该BSDE的解决方案考虑了一个带有多个建议修改的数值方案，并在类似于动态参数设置的已知结果设置中对方案进行了评估。基于偏差/方差（和计算）考虑，我们提出了一个模式，用于对应用于真实市场数据的方法进行实证研究。研究标普500指数上欧洲看涨期权的一组买入/卖出市场报价及其相应的模型价格界限，发现即使模型（和不确定性集）是根据标普500指数的历史价格估计的，98%的市场期权价格在模型规定的界限内。相反~ 当使用恒定参数时，40%的市场报价在最大/最小模型价格区间内。在动态和常量参数设置中，可以看出模型隐含波动率没有遵循市场隐含波动率的曲率。

对这一观察结果的自然解释是，影响隐含波动率曲线斜率和斜度的差异参数是根据资产价格数据而非期权价格数据估计的。因此，一个有趣的经验续集将是研究当参数从市场期权价格校准时，模型价格边界的形状和覆盖范围如何变化。我们将此留作进一步调查。最后，我们注意到，带有定价边界的保守方法没有考虑关于不确定性的先验信念和偏好。然而，当使用UTI代替trueparameters ut时，L（ut，ut）是分配损失的函数，我们可以将信念与形式为JT（u）=Eu的值函数结合起来eRTtrsdsG+ZTtL（美国、美国）ds英尺这将导致类似的线性BSDE。损失可能基于估计参数的（近似）正态性或与经济价值相关的一些数量，例如对冲误差。在这两种情况下，损失的价值必须与期权支付的价值相关，这是一项复杂的任务，我们将此方法留给进一步研究。致谢感谢两位匿名推荐人对本文提出的详细而有益的建议。特格纳感谢沃伦堡基金会和牛津大学数量金融研究所的支持。科恩非常感谢牛津Nie金融大数据实验室和牛津曼量化金融研究所的支持。通过解解耦前向随机微分方程（2）-（12），给出了最佳控制值过程（或固定反馈控制的值过程，即确定性函数u的ut=u（t，St，Vt））的数值方法。

一般来说，无论是正向还是反向SDE，都没有太多的希望找到闭合形式的解，并且通常必须考虑数值方法。出于我们的目的，我们考虑Bouchard和Touzi（2004）的SimulationTechnology。A、 1 Bouchard和Touzi对时间网格π的模拟方案：0=t<···<tn=t，Bouchard和Touzi（2004）提出了一种方法来生成具有前向分量X和后向分量Y的解耦方程解的离散时间近似（Xπ，Yπ）。在模式的第一部分中，使用标准Euler-Maruyama近似在时间网格π上模拟正向分量Xπ，以生成N条Xπ路径（参见Kloeden和Platen（1992））。然后，分量Yπ由反向感应πtn=g（Xπtn）Zπti生成-1=iEhYπtiWti公司Xπti-1iYπti-1=EhYπti+f（Xπti-1，Yπti-1，Zπti-1)我Xπti-1i（27）其中我≡ ti公司- ti公司-1和Wti公司≡ Wti公司- Wti公司-1是从Xπ生成的ithtime和Wiener增量。（27）中的最后一个方程式是通过应用E[·| Fti获得的-1] 以下是BSDEYπti的简单离散化- Yπti-1= -f（Xπti-1，Yπti-1，Zπti-1)i+Zπti-1.Wti（28），并利用X的马尔可夫性质以及Yt和Zt都是XT的决定函数这一事实∈ [0，T]。Z的第二个方程通过（28）乘以接受有条件的期望。对于反向归纳法（27），必须计算条件期望并使方案可操作，这是通过近似值^E[·| Xπti来实现的-1] 回归函数E[·| Xπti-1] 基于模拟训练数据。也就是说，数据{Yπ（j）ti，W（j）ti，Xπ（j）ti-1}1≤j≤Nis用于（27）中的第一次回归，其中Xπ（j）是Xπ的jths模拟路径，andYπ（j）是前一时间步归纳的相应值。

对于第二次回归，{Yπ（j）ti，Z（j）ti-1，Xπ（j）ti-1}1≤j≤相应地使用Nis。作为非参数回归估计的一个例子，建议使用Nadaraya Watson加权平均作为核估计。为此，我们方便地使用k近邻核：对于Xπti-1和一般ξ∈ Fti，每个都有模拟结果{Xπ（j）ti-1，ξ（j）}1≤j≤N、 我们近似E[ξ| Xπti-1=Xπ（j）ti-1] ，j=1，N、 带^EhξXπ（j）ti-1i=PNl=1ξ（l）||Xπ（l）ti-1.- Xπ（j）ti-1|| ≤ d（j）kk+1（29），其中d（j）kis是Xπ（j）ti之间的距离-1及其kthnearest邻居，1（·）是指示函数。回归（29）和（27）产生了一种隐式模拟方法，作为方案的最后一步，建议截断Zπti-1和Yπti-1如果有合适的（可能是t和Xπti-E[Yπti的1依赖）界Wti | Xπti-1] ，E[Yπti | Xπti-1] 和Yti-1、k-最近邻估计量（29）以常数近似局部邻域中的回归函数。因此，它的偏差很低，但方差很大，并且不受边界维度诅咒的影响。对于另一种回归估计，我们考虑MARS方法（多元自适应回归棘），该方法以自适应方式使用分段线性基函数来近似回归函数。模型具有线性形式^EhξXπti-1i=β+MXm=1βmhm（Xπti-1） （30）其中，每个基函数hm（X）由成对分段线性样条线的集合构造Esc=n（Xk- η)+, (η - Xk）+：η∈ {Xk，π（j）ti-1} Nj=1，k=1，2o。因此，节点η位于X观测值集中的任何值处（上标tk表示X的分量）。

基函数hm（X）也可以是C中函数的ad倍积，其中d表示所选的模型顺序。通过将当前HM与C中的新函数相乘，依次建立模型（30）：对C中的所有对进行测试，只将产生最大剩余误差减少的项添加到（30）中。这里，所有系数β，β。用最小二乘法对每一步进行估计。然后，继续建立模型，直到出现规定的最大项数M。最后，使用删除程序（再次基于最小误差增加）对模型进行“修剪”，其中通过交叉验证估计最佳项数（详情见Hastie et al.（2005））。A、 2修改后的模拟方案作为Bouchard-Touzi方法的第一次修改，我们通过替换（27）中的第二次回归来考虑隐式方案的显式版本：Yπtn=g（Xπtn）Zπti-1=iEhYπtiWti公司Xπti-1iYπti-1=EhYπti+f（Xπti-1，Yπti，Zπti-1)我Xπti-1i。（31）这来自于在正确的时间点Yti而不是Yti对BSDE进行离散化-1由于Y是一个连续的过程，随着时间网格变得更紧，在正确的时间点使用该值的效果正在消失。Gobet（2006）使用了离散化，其好处是可以明确计算Yπti-1在每次迭代的第二个回归步骤中。我们正在使用Milbrow的R软件包“earth”。源自T.Hastie和R.Tibshirani的《mda:mars》。

(2011).作为一个附加步骤，为了获得具有定点程序的隐式方法，我们可以使用（31）来获得第一个候选▄Yπti-1并用少量▄Yπti的隐式迭代来补充后向诱导中的每一步-1=EhYπti+f（Xπti-1，~Yπti-1，Zπti-1)我Xπti-1i，（32）并保持Yπti-1=~Yπti-1是我们下一步倒退的最终价值-见Gobet等人（2005）。其次，为了提高方案的稳定性，我们考虑对（31）进行修改，基于以下向后分量πti的递归-1=Yπti+f（Xπti-1，Yπti，Zπti-1)我- Zπti-1.Wti=Yπti+1+f（Xπti-1，Yπti，Zπti-1)i+f（Xπti，Yπti+1，Zπti）i+1- Zπti-1.Wti公司- ZπtiWti+1=Yπtn+nXk=if（Xπtk-1，Yπtk，Zπtk-1)k- Zπtk-1.我们可以写出显式的后向归纳（31）asYπtn=g（Xπtn）Zπti-1=iE“Yπtn+nXk=i+1f（Xπtk-1，Yπtk，Zπtk-1)kWti公司Xπti-1#Yπti-1=E“Yπtn+nXk=if（Xπtk-1，Yπtk，Zπtk-1)kXπti-1#.（33）Bender和Denk（2007）提出了这一想法，Gobet和Turkedjiev（2016）对此进行了进一步探讨。好处是，由于近似条件预期而产生的误差不会以相同的速率累积。与前面的修改一样，我们可以用少量的迭代来补充（33）~Yπti-1=E“Yπtn+nXk=if（Xπtk-1，~Yπtk-1，Zπtk-1)kXπti-1#（34）对于隐式方法。对于另一种模拟方案，回想一下，对于马尔可夫前向后向方程，yt和zt都可以写成当前前向状态（t，Xt）的函数。因此，我们使用（31）的回归估计来写πti-1=^EhYπti+f（Xπti-1，Yπti，Zπti-1)我Xπti-1i≡ ^yi-1（Xπti-1） （35）也就是说，生成Yt=y（t，Xt）的函数y（t，x）用^y（·）近似。

此外，如果我们在（35）的驱动程序中使用Zπtiin（来自上一时间步的Zπtif）来获得^yi-1（·），我们得到以下模式：πtn=g（Xπtn），Zπtn=xg（Xπtn）σ（Xπtn），Yπti-1=^EhYπti+f（Xπti-1，Yπti，Zπti）我Xπti-1i==> ^yi-1（·），Zπti-1= x^yi-1（Xπti-1） σ（Xπti-1） ，（36）因为生成Zt的函数由Zt=xy（t，Xt）σ（Xt），见脚注8。特别是，如果我们采用MARS回归，则^y（·）将是分段线性样本及其乘积的总和，直至达到规定程度。因此，偏导数(s^y（·），v^y（·））很容易通过解析计算得到。此外，可以用Yπti迭代（36）的最后两个计算-1，Zπti-1用于方案的隐式版本。对于第二种类型的修正，我们可以包括回归函数的其他预测因子。例如，让CHe（t，x）表示根据Heston模型计算的具有终端支付（XT）的期权的定价函数。由于定价界y位于价格CHe（t，Xt）附近，我们可以将其作为回归估计πti的预测值-1=^EhYπti+f（Xπti-1，Yπti，Zπti-1)我Xπti-1，CHe（ti-1，Xπti-1） i.（37）最后，我们提到了Alanko和Avellanda（2013）Zπti提出的标准方案（27）中第一次回归的修正-1=iEh公司Yπti- E[Yπti | Xπti-1]Wti公司Xπti-1i（38），目的是减少回归估计的方差。动机如下：对于某些连续函数Y（t，X），由于Yπti=Y（ti，Xπti），我们有zπti-1=E[y（ti-1+ i、 Xπti-1+ Xπti）Wti公司/i | Xπti-1] 估计量ThereOfNxj=1y（ti-1+ i、 Xπti-1+ Xπ（j）ti）√iz（j）i（39），其中z（j）是独立的标准正态随机变量。像Xπ（j）ti=漂移×i+差异×√iz（j），我们得到估计值（39）的方差约为yy（ti-1，Xπti-1） /（Ni） 对于小型因此，它爆炸了我→ 0

作为回报，如果我们使用nnxj=1y（ti，Xπti）- y（ti-1，Xπti-1） +金融机构-1.我√iz（j）i（40）其中fi-1.≡ f（Xπti-1，Yπti-1，Zπti-1） 和y（ti-1，Xπti-1) -金融机构-1.i=E[Yπti | Xπti-1] 从（27）可以看出，（38）的估计量（40）将具有近似方差2yx（ti-1，Xπti-1） /不适用+ifi公司-1/N，不依赖于ias这归零。在本节结束时，我们将演示以下示例中基于（31）和（33）的模拟方案。示例1。对于正向过程，我们用参数（r，κ，θ，σ，ρ）=（0，5.07，0.0457，0.48，-0.767），初始值（Sπ，Vπ）=（100，θ），在n=25个点和终端时间T=1的等距时间网格上。对于后向过程，我们考虑平凡的驱动因素f（Xt，Yt，Zt）=0，即dYt=ZtdWt，以及终端条件Yt=ST。因此，Y是鞅，我们有Yt=EQ[ST | Ft]=ST图7：左图：用示例1的零驱动因素模拟了五条Yπ（实线）的路径。采用显式格式（29）-（31），k=5个最近邻。前向分量Xπ=（Sπ，Vπ）是根据Heston的模型模拟的，虚线显示了Sπ对应的路径。右图：使用k=5显式方案（31）（黑色交叉）、基于递归的方案（33）（k=5（红色交叉）和k=100（蓝色交叉）重复50次，Yπ的N样本平均值（按递增顺序）。因为对于零利率，S也是Q鞅。由于驱动因素中没有Z的依赖性，反向归纳简化为回归Yπti-1=^E[Yπti | Xπti-1] 重复i=n，1和起始值Yπtn=Sπtn。

当k=回归估计器（29）的5个最近邻时，图7的左窗格显示了五条反向过程Yπ的模拟路径，以及显式方案（31）和相应的Sπ路径，可以看出，各分量之间的关系非常密切。从初始时间值来看，Yπ的N样本的平均值为98.532，与真值Y=EQ[ST]=S=100相比，而Yπtn=Sπtn的样本的平均值为99.998。如果我们重复模拟50次，并计算每次重复的Yπ平均值，我们将在图7的右窗格中获得结果。基于（31）的第一个显式方案产生的样本平均值非常接近真实值，如果我们用Yπ递归方案（33）重复模拟，我们会得到类似的结果。为了进行比较，我们还包括了k=100近邻的递归方案。最后，请注意，该示例对应于g（x）=x和效应α（St，Vt，ut）=（0，0）>，因此≡ Q、 因此，当驱动程序（10）的%=0时，我们得到的valueprocess Jt（u）=Eu[g（ST）| Ft]=EQ[ST | Ft]是（11）的解。A、 3欧式期权的模拟结果为了数值计算欧式期权的定价界限，我们考虑了表5中给出的参数设置和表3中给出的一组具有行权到期结构的看涨期权。认购价格根据赫斯顿模型的所谓半封闭价格公式计算，即通过价格的逆傅立叶变换进行数值积分（参见Gatherel（2011））。

然后通过数值优化，从Black-Scholes公式中获得相应的隐含波动率。欧洲看涨期权价格冲销/到期75 100 1254m 26.0044（0.2823）4.8239（0.2106）0.0070（0.1518）1y 29.4915（0.2482）10.9174（0.2124）1.8403（0.1832）10y 57.4959（0.2220）46.4060（0.2174）37.1943（0.2138）表3：欧洲看涨期权的价格和隐含波动率（括号内），由赫斯顿模型的半封闭定价公式计算，参数见表5。在考虑从最优控制价值过程中获得的定价边界之前，我们先看看通过最小化/最大化Heston的定价公式CHe（·）在（18）中的椭圆约束表示的参数不确定性集U上实现的价格，置信度为95%。isC±He=min（r，κ，θ）∈U±CHe（S，V；τ，K，Θ）（41）式中，Θ是模型参数的向量，包括（r，κ，θ），而K是走向，τ是成熟时间。基于表5，利用参数和椭圆确定性区域对（41）进行数值优化，我们得到了表4中的结果。

我们将使用这些作为即将进行的模拟研究的参考点。优化的赫斯顿定价函数罢工/到期75 100 1254m[25.9316，26.2591][4.5758，5.0572][0.0040，0.0124]（0.0520，0.3651）（0.1980，0.2225）（0.1441，0.1610）1年[28.6578，30.4061][9.9716，11.8229][1.3840，2.4824]（0.0303，0.3060）（0.1872，0.2364）（0.1659，0.2053）10年[54.5102，62.3675][40.2004，51.9955][30.7291，43.0811]（0.0195，0.3190）（0.1085，0.2925）（0.1444，0.2754）表4：价格和欧洲看涨期权的隐含波动率，通过赫斯顿定价公式在参数不确定性区域约束的参数（r，κ，θ）上的数值最小化/最大化计算。远期成分模拟远期成分X=（S，V）SDE（2）的远期成分X=（S，V）控制资产价格和方差，在前向-后向方程模拟方案的第一阶段进行模拟。我们采用标准的Euler-Maruyama方案计算对数价格，并使用隐式MilsteinModel参数Svrκθσρ100 0.0457 0.05 5.070 0.0457 0.4800-0.767rκβr 2.5e-05 0 0κ0 0 0.25 0β0 1e-04表5：用于欧洲期权价格边界数值计算的参数设置和协方差矩阵。生成variancelog Sπti=log Sπti的方案-1+u -Vπti-1.i+qVπti-1(ρWti+p1- ρWti）Vπti=Vπti-1+ κθi+σpVπti-1.Wti+σ((Wti）- i） 1+℃κ我在这里Wti，由具有方差的零均值正态分布生成的自变量i、 如果参数满足4κθ>σ，则该离散化模式生成正方差路径，并且我们不必像标准Euler-Maruyama模式那样进行任何截断，参见Andersen et al.（2010）或Alfonsi（2016）。

我们在一个等距的时间网格上模拟N=100000条路径，N=25节。通过反向模拟优化的赫斯顿公式作为反向成分Y的第一个模拟示例，我们考虑了一年到期的见票即付的最优价格公式（价格见表4）。因此，我们根据所考虑的看涨期权价格优化（41）的结果参数，用等式（10）的非优化驱动因子f（Xt，Yt，Zt，ut）模拟后向分量，其中ut为常数。这使我们能够在知道数值计算的真实值的情况下，评估模拟方案的准确性。模拟（41）的优化价格而不是看涨期权的空控制普通价格（见表3）的原因是，优化价格模拟依赖于Z相关驱动因素，而Q价格在（10）中的影响为零，因此模拟方案的Z回归步骤对于普通价格失效（参见示例1）。首先，我们考虑上一节中模拟方案的以下四种变化：1。k=5最近邻回归（29）2的显式格式（31）。23次MARS回归（30）的显式格式。k=5近邻回归的显式递归格式（33）。二次MARS回归的显式递归格式。图8：货币赎回时一年最优价格公式的数值计算（表4）。左图：100次重复模拟中最小价格Yπ的N样本平均值（按递增顺序）。我们使用n=25个时间点的等距时间网格，并在每次模拟中生成n=100000条Yπ路径。右图：对应的最大化价格。

图中显示了基于k=5最近邻估计量（红色标记）和2度MARS估计量（黑色标记）的四个显式方案的结果。虚线表示根据（优化后的）赫斯顿公式计算的真实买入价格，而蓝星表示根据N条模拟路径xπ=（sπ，Vπ）计算的蒙特卡罗价格。对于每个方案1-4，我们重复100次模拟公式最优价格，并计算样本偏差和均方根误差。结果如表6所示，而图8显示了所有重复模拟的价格。反向模拟优化Heston priceScheme Ave.E（^π）偏差：E（^π）-πRMSE:pE[（^π）- π） ]显式knn 11.6552-0.1677 0.1783显式MARS 11.7378-0.0851 0.0987递归knn 11.7968-0.0261 0.0608递归MARS 11.8164-0.0065 0.0534正向MC 11.8041-0.0188 0.0508显式knn 9.9960 0.0244 0.0511显式MARS 10.4993 0.5277 0.5292递归knn 10.0351 0.0635 0.0766递归MARS 10.0004 0.0288 0.0509正向MC 9.9719 0.0003 0.033 80表6：模拟在N=100000和N=25的情况下，一年到期的货币买入期权的公式优化价格（表4中的真实值）。样本-从每次模拟的100次重复中计算出的平均值、偏差和均方根误差。从表6中我们可以看到，显式递归MARS方案在低偏差和低RMSE方面表现最好，尽管简单的显式knn方案在较低的价格下表现良好。

将反向模拟与直接从正向模拟计算出的蒙特卡罗价格进行比较，我们在价格较高的情况下具有接近相同的性能。由于后向模拟步数依赖于前向模拟步数，因此我们不能期望在精度上有任何超过前向模拟步数的改进。后向模拟优化赫斯顿价格II方案E（^π）E（^π）- πpE[（^π）- π） ]向前MC 11.8094-0.0135 0.0411Rec。MARS，var.减少11.8169-0.0060 0.0433Rec。火星，两个隐式11.8196-0.0033 0.0468Rec。火星，变红&两个imp.11.8164-0.0065 0.0433Rec。MARS，呼叫预测器11.8166-0.0063 0.0435Rec。火星，Z功能11.6868-0.1361 0.1489Rec。火星，Z-fun。&三个imp.11.6794-0.1435 0.1558向前MC 9.9719 0.0003 0.0380Rec。MARS，var.减少10.0075 0.0359 0.0501 EC。火星，两个隐式10.0027 0.0311 0.0495Rec。火星，变红&两个imp.10.0094 0.0378 0.0515Rec。MARS，呼叫预测器10.0082 0.0366 0.0507Rec。火星，Z功能10.1096 0.1380 0.1502Rec。火星，Z-fun。&三项影响10.1661 0.1945 0.2034表7：N=100000和N=25时，一年到期的见票即付期权（表4中的真实值）模拟公式优化价格的准确性。样本-从每次模拟的100次重复中计算出的平均值、偏差和均方根误差。接下来，我们继续对模拟方案进行以下修改：5。带方差缩减的显式递归MARS（38）6。显式递归MARS和两个隐式迭代（34）7。5和68的组合。显式递归MARS和调用价格预测（37）。结果记录在表7中，如果我们将这些结果与显式递归MARS方案4的结果进行比较，我们观察到所有这些方案的精度相似。

然而，由于隐式方案6和7都为每个隐式迭代的计算成本添加了N个回归和N个驱动因素评估，因此我们选择方案4或5。通话定价公式的计算依赖于数值积分，我们需要对N=25个时间步长中的每一个进行N=100000次这样的评估，这使得该方案非常计算机密集。因此，我们计算了500个看涨期权价格的子集，并使用多项式回归来预测剩余的看涨期权价格。由于定价公式是S和V的“很好”函数，这种近似值的影响有限。最后，我们考虑了基于MARS导数的两种方案：（9）带Z函数的显式递归MARS（36），（10）带Z函数的显式递归MARS和三次隐式迭代。这两种修改的精度都很低，见表7。A、 4欧式看涨期权的最优控制价值过程在这里，我们根据表5中的参数模拟等式（12）的后向分量，该后向分量控制具有行权到期结构的欧式看涨期权的最优控制定价上限/下限，如表3所示。因此，我们用初始（终端）条件Yπtn=（Sπtn）模拟Y- K） +和优化驱动因素H（Xt，Yt，Zt），根据表5中的协方差矩阵，参数不确定性区域的置信水平为95%。与之前一样，我们使用Euler-Maruyamaimplicit-Milstein格式模拟正向分量Xπ=（Sπ，Vπ），首先，我们使用N=25个点的等距时间网格上的N=100000条路径。注意，对于每个向后的时间步，我们执行3×N回归，以获得（19）中矩阵乘法的Z1π、Z2π、Yπ和N值的一步递归，以获得最佳驱动程序。

对于该模式的隐式版本，我们迭代两（或三）次，将2×N回归和2×N矩阵乘法添加到每个时间步。作为一个演示示例，我们再次考虑为期一年的at the money calloption，并对以下模拟方案进行100次重复：1。22阶显式递归MARS。具有方差缩减3的2阶显式递归MARS。2阶显式递归MARS，Z由MARS导数4计算得出。向方案编号15添加了两个隐式定点迭代。向方案编号26添加了两个隐式定点迭代。2阶显式递归MARS，具有调用价格预测和方差减少。结果定价界限如图9所示，为清楚起见，我们仅绘制了方案1、2和3的结果。从图9中，我们可以看到，如果我们将方差缩减添加到显式递归MARSW中，我们将获得略高（较低）的下（上）边界价格和略低的方差。此外，如果我们考虑这些方案的两步隐式版本，那么对于上界和下界，1和4几乎完全重合，2和5也几乎完全重合（仅为清楚起见，图9中排除了这些方案）。如果我们添加看涨期权价格预测值，那么相同的情况是：2和6对于上下两个基金都是一致的。与公式优化价格的情况一样，Z函数方案产生了一个高下界（类似于公式最小价格）和一个类似于其他方案的上界。

这两个边界也有很高的方差，因此，我们从此省略Z函数方案。基于一年期ATM呼叫的先前结果，我们选择使用方差减少的明确递归MARS作为定价边界的工作方案图9：在n=25个时间点上，n=100000条路径的货币呼叫一年期定价边界的数值计算。左图：从100次重复模拟中计算出的买入价格下限的N样本平均Yπ（按递增顺序）。右图：相应的上限。虚线表示根据优化的赫斯顿公式计算的赎回价格。具有方差缩减的递归MARS阶2，n=25罢工/到期75 100 1254m【25.7771，26.2877】【4.5005,5.1597】【0.0016,0.0175】（0.0585,0.3714）（0.1942,0.2277）（0.1335,0.1672）1年【28.5910,30.5482】【9.7418,12.1603】【1.2374,2.6306】（0.0329,0.3138）（0.1811,0.2454）（0.1600,0.2101）10年【52.7314,64.9297】【40.529】99,54.2037][30.7684,45.1219]（0.0319,0.3645）（0.1176,0.3214）（0.1448,0.2970）表8：欧洲看涨期权和相应的Black-Scholes暗示了灵活性。根据N=10万的反向过程数值模拟方案计算，在N=25个点的等距时间网格上，按照赫斯顿模型，正向过程的模拟路径为N=10万。计算。表3所考虑的看涨期权的模拟结果如表8所示，如果我们将其与表4的公式最优价格进行比较，我们通常会看到最优控制价值过程的定价区间更宽。这就是我们应该期待的：公式最优价格对应于一个受控的价值过程，在期权的整个生命周期中，参数保持不变，而在前一种情况下，参数允许以最优的方式变化。

图10给出了这一点的说明，其中显示了货币看涨期权的最优控制一年的参数是如何变化的。之前的定价界限是在N=25个点的常规时间网格上，从N=100000路径的模拟中获得的。当N被选为基于模拟的回归估计器的低误差增益的高数值时，离散化图10：最优控制u*t=（r*t、 κ*t、 β*t） 从优化驱动器H输出-一年期ATM看涨期权。绘制N=100000条模拟路径的中值和分位数。虚线显示了从优化的赫斯顿公式中选择的相应常数参数。时间步长 = T/n相对较大（对于一年期期权，n=25对应于两周大小的时间步，而对于实际蒙特卡罗定价，通常使用每日或甚至更晚的时间步）。因此，我们重复表8的计算，最后的时间步长为n=100。与表8相比，表9中给出的结果显示了所有罢工/到期的较宽定价界限，并且两个步长之间的差异随着到期而增大。对此的一个自然解释是，n的数量越大，我们优化驱动器H±的时间步也越多，这应该会导致值过程Yπ优化到更高的程度。

这种影响对于长期期权来说是显而易见的，而对于四个月期期权来说则不太明显（隐含波动率下降到10-2） 这也表明，模拟误差不受后期离散化的特别影响。具有方差缩减的递归MARS阶2，n=100罢工/到期75 100 1254m[25.7349，26.3130][4.4748，5.1885][0.0005054，0.02127]（0.05824，0.3767）（0.1929，0.2292）（0.1225，0.1710）1年[28.3640，30.6353][9.6158，12.2530][1.1033，2.6726]（0.0330，0.3184）（0.1777，0.2478）（0.1543，0.2115）10年[48.5895，67.3999][36.9068，57.1310][27.4504，48.1860]（0.0217，0.4076）（0.0199，0.3598）（0.1053，0.3298）表9：欧洲看涨期权和相应的Black-Scholes隐含了期权价值。根据N=100个点的等距时间网格上Heston模型后向过程N=100000条模拟路径的反向过程数值模拟方案计算。参考Sahalia，Y.和Kimmel，R.（2007）。随机波动率模型的最大似然估计。《金融经济学杂志》，83（2）：413–452。Alanko，S.和Avellanda，M.（2013年）。减少SDES数值解的方差。Comptes Rendus Mathematique，351（3）：135–138。Alfonsi，A.（2016）。差异和相关过程：模拟、理论和应用。斯普林格。Andersen，L.B.、Jckel，P.和Kahl，C.（2010）。平方根过程的模拟。John Wiley and Sons，Ltd.Andersen，T.和Benzoni，L.（2009）。已实现的波动性。《金融时报系列手册》，第555-575页。Avellaneda，M.、Levy，A.和Par\'as，A.（1995年）。在波动不确定的市场中对衍生证券进行定价和对冲。应用数学金融，2（2）：73–88。Avellaneda，M.和Paras，A.（1996年）。衍生证券投资组合的波动风险管理：拉格朗日不确定波动模型。

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