随机波动率模型下的欧式期权定价

2022-6-10 06:35:51

参数不确定性下随机波动率模型下的欧式期权定价Samuel N.Cohenand Martin Tegn\'er1,2，*塞缪尔。cohen@maths.ox.ac.uk，martin。tegner@eng.ox.ac.ukAbstractWe考虑参数不确定性下的随机波动率模型，并研究模型衍生的欧式期权价格是如何受到影响的。我们让定价参数在特定区域内随时间动态演化，并将问题形式化为控制问题，其中控制作用于参数以最大化/最小化期权价值。通过后向随机微分方程的对偶表示，我们得到了Heston模型的显式方程，并研究了其中的几个数值解。在一项实证研究中，我们将您的结果应用于标准普尔500指数的市场数据，该指数的模型估计为历史资产价格。我们发现，保守模型价格涵盖了一组欧洲看涨期权考虑市场价格的98%。关键词：期权定价，随机波动率，模型不确定性。1引言在本文中，我们考虑了当基础资产在考虑参数不确定性的情况下遵循随机波动率模型时的欧式期权定价问题，特别是这如何转移到衍生期权价格的保守边界。随机波动率模型的特点是资产价格的瞬时方差，即波动率，随时间随机演变。这是Black和Scholes（1973）半恒定波动率模型的自然推广，其中包括Hull和White（1987）、Stein和Stein（1991）、Heston（1993）、Bates（1996）和Heston（1997）提出的模型。

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2022-6-10 06:35:53

从经验资产回报行为的角度来看，支持这种普遍化的证据可以追溯到Black（1976），而Stein（1989）则强调了恒定波动率模型和期权价格数学研究所（牛津大学）的预测不匹配。牛津大学工程科学系和哥本哈根大学数学科学系。*通讯作者。从市场上观察。随机波动率是一种很有吸引力的选择，从文献中可以找到许多对其有利的研究。作为一个参数模型，立即意味着在将随机波动率模型用于定价或对冲市场工具之前，必须对其进行数据拟合。为此，至少有两种方法是常规的：要么根据历史资产价格进行估计，要么通过匹配模型衍生价格对市场期权价格进行校准（或者二者的组合，参见ait-Sahalia和Kimmel（2007））。无论使用哪种方法，都会面临参数不确定性，因为任何一种方法的点估计都会有误差。基于观察到的资产价格时间序列的估计器具有固有方差（并且可能存在偏差），而校准问题可能是不适定的。通过数值优化获得的最小值可能是局部的，并且多个参数设置可能会为市场匹配提供相同的模型。由于点估计的误差可以通过推断的置信区间来量化，因此资产价格的统计估计自然会产生参数不确定性的概念。因此，置信区间定义了一个不确定性集，该不确定性集包含给定置信水平下模型参数的真实值。

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2022-6-10 06:35:57

在这种情况下，推断的不确定性和估计的参数将与真实世界的概率度量相关联，而不是用于无套利定价的风险中性度量。另一方面，期权价格的校准将给出一组与风险中性度量相关的参数。然而，在这种情况下，没有明显的方法可以减少参数的不确定度集，从而量化校准产生的误差。问题仍然是参数不确定性如何影响随机波动率模型输出的期权价格。在统计估计的情况下，需要建立统计度量和风险中性定价度量下的参数之间的关系。在财务方面，这是由风险的市场价格来调节的，并且通常以这样一种方式，即模型保持形式不变。然后，不确定性可能传播到用于期权定价的风险中性参数。我们考虑漂移和跳跃参数中的不确定性，以解释参数不确定性代表了仓促波动率模型的不完整性：存在一个由不确定性集中风险中性参数值范围给出的等价定价度量空间（我们在第3节的介绍性讨论中对此进行了详细阐述）。我们立即从最佳/最坏情况的角度研究模型定价，并从参数不确定性中得出保守的定价界限。有两种方法是公平的：要么在不确定性集约束的参数上优化定价函数，要么将参数视为控制过程的动态组件，以优化期权价值。因此，前者是后者的特例，控制过程仅限于取常数值。

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2022-6-10 06:36:00

我们将该问题形式化为一个控制问题，由于所有定价度量都是等价的，这可以看作是度量的变化问题。根据Quenez（1997）的结果，期权价格的最优值函数可以表示为向后随机微分方程。这一假设的一个支持案例是罗杰斯（2001）指出的事实：虽然利用几年的数据可以在合理的置信度范围内估计可用性，但漂移估计需要更长时间段的数据。参数不确定性的假设，或更普遍的模型不确定性，作为一种固有的模型特征，肯定不是新的，其在金融中的重要性早就被Derman（1996）承认了。从概念上讲，模型不确定性借鉴了凯恩斯（1921）和奈特（1921）关于未知与已知未知的区分原则。根据Bann¨or和Scherer（2014）的概述，模型不确定性未知指的是金融市场上有一整套模型可用，但每个模型的可能性未知的情况。因此，参数不确定性是模型族可能参数化的特殊情况。此外，如果概率度量归因于模型（参数）族，则已知未知的概率度量处于模型（参数）风险的情况下。当涉及期权定价时，贝叶斯方法提供了一种有效的推断参数和模型风险的方法，并通过模型平均将其考虑在内，参见Jacquier和Jarrow（2000）、Bunnin et al.（2002）、Gupta et al.（2010）和Tegn'er和Roberts（2017）的非参数局部波动率方法。考虑到模型不确定性的情况，在El Karoui和Quenez（1995）、Avellanda等人的工作中率先采用了最坏情况下的方法。

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2022-6-10 06:36:03

（1995）、Lyons（1995）和Avellaneda以及第（1996）段。我们的控制理论方法与Avellaneda等人的方法类似。但与他们的非特定波动率相比，我们将自己置于参数化波动率模型的“模型内”设置中，其中参数是受控的，而不是波动率本身。因此，我们考虑了一种情况，即波动性模型的不确定性家族对金融市场进行了更详细的描述。可以说，这意味着更现实的保守价格。由于我们还建议如何推断参数的不确定性集，我们的方法应该对倾向于仓促波动的从业者特别有吸引力。概述Heston（1993）提出的模型将是我们研究的工作模型，我们在第2节中介绍了欧洲期权的风险中性定价以及受控价值过程的BSDE表示。我们展示了如何导出生成最优控制价值过程的BSDE的最优驱动因素，这为我们提供了参数不确定性下期权的定价边界。为了获得定价边界的实际值，我们必须求助于控制最优值的BSD的数值解。在附录A中，我们详细介绍了一些用于此目的的模拟方案，并在受控环境中演示了这些方法，以便能够比较和评估它们的性能。在第3节中，我们使用一个建议的数值方案，以实际市场数据为例来说明我们的方法。

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2022-6-10 06:36:06

对于标准普尔500指数上欧洲看涨期权的一组市场报价，我们研究了（数值计算的）模型界限实际覆盖观察到的市场价格的程度。我们还将结果与相应的常数参数最优价格进行了比较。最后，我们在第4节中处理了带跳跃的马尔可夫随机波动率模型的一般多资产情况。第5节结束。2赫斯顿随机波动率模型为了设定场景，我们考虑一个金融市场，由一个无风险货币账户和一个固定时间段内的风险资产组成[0，T]。我们假设无摩擦市场的标准假设：允许卖空，资产可以任意持有，没有交易成本，借贷以相同的利率进行。资产价格将被建模为过滤概率空间上的自适应随机过程，其概念将在下一节中正式化。2.1欧式期权定价(Ohm, F、 {Ft}t≥0，P）是一个过滤概率空间，其中{Ft}t≥0是由两个独立的维纳过程Wand W生成的自然滤波，经过扩充以满足P-完备性和右连续性的通常条件。我们假设资产价格和方差V遵循Heston（1993）的模型，实际动态（在客观概率测度P下）由dst=u（Vt）Stdt+pVtSt（ρdWt+p1）给出- ρdWt），dVt=κ（θ- Vt）dt+σpVtdWt，对于非负常数κ、θ、σ和瞬时相关性ρ∈ (-1, 1). 因此，varianceprocess遵循一个平方根过程，并且它的边界小于零。如果Feller的条件满足，2κθ≥ σ、无法达到边界。此外，相对收益率u被视为方差的确定函数。

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2022-6-10 06:36:09

除了风险资产外，市场还包含一个无风险的货币账户，其价值过程表示为B。货币账户支付恒定的回报率r，这意味着Bobeyong the determinative dynamics dBt=rBtdt。与魔杖器皿相关的风险流程的市场价格（γ，γ）假定为u（V）- r√五=ργ+p1- ργ（1）正如赫斯顿所建议的，我们让γ≡ λ√V表示某个常数λ。然后我们得到了-（γ，γ）o（W，W）由(-γoW）=exp-Z、 λpVsdWs-Z、 γSDW-Z、（λVs+（γs））ds如果我们定义了固定确定性时间T的测量值Q，则dqdp=E(-γoW）我们有Q等价于P（假设随机指数是鞅，即e[e(-γoW）t]=1表示所有t∈ [0，T]，Novikov和Kazamaki的条件也将其称为CIR过程，因为Cox等人（1985）将其用作短期利率模型。平方根过程可以追溯到Feller（1951年）。Heston根据Breeden（1979）的模型提出了这一选择，假设均衡消费过程也遵循平方根过程；然后，风险溢价与方差成比例。撇开总体风险偏好不谈，其结果是定价方程（3）方便地支持赫斯顿的定价公式。我们用o表示d维过程的随机积分：HoM=Pdi=1R。HitdMitforH，M取Rd中的值是有效的。Wong和Heyde（2006）在参数方面明确表达了这一点）。此外，根据Girsanov定理，{Wt}t∈[0，T]和{Wt}T∈[0，T]定义为Q下的独立维纳过程。

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2022-6-10 06:36:12

根据方程式（1），这给出了模型DST=rStdt+pVtSt（ρdWt+p1）的Q动力学- ρd￠Wt），dVt=（κθ- [κ+σλ]Vt）dt+σpVtdWt，（2）对于t∈ [0，T]我们注意到，方差动态在测量变化下是形式不变的：V在Q下也遵循一个平方根过程，具有“风险中性”参数κ、￠θ、σ，其中￠κ=κ+σλ和￠θ=κθκ+σλ。我们还看到贴现资产价格B-1S将是Q-鞅（即Q是一个等价的鞅测度），因此金融市场模型（B，S）是无套利的。然而，由于（γ，γ）可以任意选择，只要（1）满足，模型就不完整。这意味着λ可以由单个外部给定的资产（具有依赖于波动性的价格）来确定，以完成市场，γ由等式（1）唯一确定。任何其他未定权益都将被唯一定价。对于到期日为T且支付金额为g（ST）的欧式期权，我们得到了定价规则Dt=D（T，ST，Vt）的C1,2函数（T，s，v），T∈ [0，T]，对于满足以下偏微分方程的选项Dt+rsDs+{κθ- v（κ+σλ）}Dv+svDs+ρσvsDvs+σvDv=rD，（3），终端条件D（T，s，v）=g（s）。请注意，花括号中的表达式可以等效地写为▄κ（▄θ-v）参数的风险中性规范。等效地，由Feynman–Kac，这意味着我们有通常的风险中性定价公式（t，s，v）=EQe-r（T-t） g（ST）（St，Vt）=（s，v）其中（S，V）遵循Q-动力学，初始时间t的初始值（St，Vt）=（S，V）∈ [0，T]。如果我们让λv=σλ和λ（t，St，Vt）=λvvt他在阐述中使用的波动性风险价格，那么定价方程（3）与赫斯顿的原始论文中的相同。该方程通过考虑价格的傅里叶变换进行求解，并通过逆变换得到“半封闭”定价公式。

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2022-6-10 06:36:15

然而，在实践中，必须通过数值积分方法计算逆变换。2.2参数不确定性下的保守定价Heston模型（以及任何其他随机波动率模型）基本上是基础金融市场的模型，即使它主要用于期权定价。定价指标通常被认为是为了方便而固定的，例如通过期权价格的模型到市场校准，与客观指标的联系对于分析并不重要；因此不一定明确。虽然我们也在处理期权定价，但在定价度量继承了objectivemeasure的不确定性的情况下，我们采取了稍微相反的方法。在这里，我们通过对目标参数的统计估计来推断定价参数的不确定性，因此度量之间的关系将起到不可或缺的作用。另一方面，如果直接从pricingparameters的校准方法中推导出不确定度，则无需在测量值之间建立明确的联系。我们将同时处理这两种情况，为此，我们假设暂时给出一个定价度量Q，以便能够用另一个受不确定性影响的定价度量替换它。为此，我们在模型中引入了参数不确定性，通过修改我们的参考测量值，以控制参数过程。也就是说，我们将风险中性度量Q替换为一个等价度量qu，在该度量qu下，受控动态st=ru（ut）Stdt+pVtSt（ρdWu1t+p1- ρdWu2t），dVt=κu（ut）（θu（ut）- Vt）dt+σpVtdWu1t，（4）对于t∈ [0，T]。控制过程{ut}t≥0是一个Ft可预测的过程，它在压缩集U中取值 R、我们称之为参数不确定性集。

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2022-6-10 06:36:18

我们为容许控制过程的空间（即，可预测过程取U中的值，具有充分可积性）写U，在Qu下，我们得到wu1和wu2是独立的维纳过程，稍后将对此进行解释。控制过程匆忙地实现了它的路径，而我们只是事先不知道哪个{ut}t≥0∈ U将主导（4）：不确定性相当于这个选择。此外，我们表示控件的组件{ut}t≥0={rt，κt，θt}t≥0和（4）的受控漂移功能，所有f:U→ R+，定义为ru（ut）=rt，κu（ut）=κt+σλ，θu（ut）=κtθtκt+σλ。（5）请注意，受控漂移的这一规定依赖于以下前提，即Qparameters r、κ、θ通过用ru、κu、θu替换而受到参数不确定性的影响。不确定性反过来又被认为是从客观P参数的统计估计中推断出来的，表示为（rt、κt、θr）∈ U其中U是统计不确定性集，并通过mapU 3 ut7传输到定价参数→ （ru（ut）、κu（ut）、θu（ut））∈ Uλ由（5）给出。这里，Uλ是由相同映射所产生的受控参数的不确定性集。因此，与Q相关的参数λ起着促进不确定性转移的工具作用，它确定了不确定性价格参数所在的集合Uλ。在实践中，我们强制设置λ=0，以获得价格参数的不确定性正是估计的实际参数的不确定性，即Uλ≡ U、然而，请注意，这并不意味着P≡ Q noru=r，cf。

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2022-6-10 06:36:21

方程式（1）。类似地，当采用校准方法直接给出定价参数和关联的不确定性集时，标识符RU（ut）=rt，κu（ut）=κt，θu（ut）=θt（6）将有助于用控制（rt，κt，θt）替换r，|κ，|θ∈ U、现在，表示受限于风险中性不确定性集U内的不确定定价参数。利用（S，V）的受控动态表示受参数不确定性影响的模型，我们继续定义欧式期权价格的上下限。也就是说，对于在时间T由平方可积FT可测随机变量G给出的具有终值Payo ff的S上写的期权，我们将根据控制问题d给出的受控定价措施（即在参数不确定性下）从估值中获取最保守的价格-t=ess inf{ut}∈UEuhe公司-RTtrsdsGFTI和D+t=ess sup{ut}∈UEuhe公司-RTtrsdsGt的Fti（7）∈ [0，T]，其中Eu（·| F）表示Qu下的条件期望。因此，在某种意义上，当不确定性参数在不确定性集中以最优方式随机演化时，我们考虑出售期权多头/空头头寸的超级复制成本。为了找到与上一节等式（3）相对应的定价PDE，我们接下来考虑G=G（ST）给出的一些非负函数G的支付。由于问题的马尔可夫结构，我们得出最优价值过程将是当前资产价格和所述方差的函数-t=D-（t，St，Vt），D+t=D+（t，St，Vt），对于某些连续函数，D±：[0，t]×R+×R+→ R、正如我们稍后将看到的，这些函数将满足欧式期权标准定价方程的半线性版本。

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2022-6-10 06:36:24

然而，在我们得出最优控制值过程（及其生成函数）的更精确表达式之前，我们要后退一步：我们将首先考虑固定控制的值过程及其与向后随机微分方程的联系。按照Cohenand Elliott（2015）中概述的Quenez（1997）的方法，我们将最优控制值过程视为密切相关的BSDE的解决方案。为了通过BSDES的双重公式来确定定价边界，我们首先考虑Girsanov的theoremdW1ut=dWt的以下表示- α（t，St，Vt）dt，dW2ut=dWt- α（t，St，Vt）dt。（8）在这里，我们可以更明确地使用符号，例如（rt，|κt，|θt）∈U表示校准得出的定价不确定度。为简洁起见，我们避免这种概念上的区别。这借鉴了{Qu:u∈ U} 是一个不完全市场模型的等价鞅测度集，使得期权的最保守风险中性价格等于相同的空头头寸的超级复制成本：∏t（G）=infφ{Vt（φ）：Vt（φ）≥ G、 a.s.}是超复制G的（最便宜）可容许策略φ的贴现投资组合值，然后∏t（G）=ess supu∈UEu[| G | Ft]，达到最高值。例如，参见Cont和Tankov（2004），第10.2节。对于其核α=（α，α）>，直接代数则表明α（St，Vt，ut）=σ√及物动词κu（ut）θu（ut）- ~κ~θ - （κu（ut）- ^1κ）Vt-ρ（κu（ut）θu（ut）-~κ~θ-（κu（ut）-κ）Vt）+σ（rt-r）√1.-ρ（9）将分别与Wu和▄W相关的动力学（4）和（2）联系在一起。

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2022-6-10 06:36:27

形式上，如果过程的随机指数α（S，V，u）>o（~W，~W）定义了测量变化Q→ Quon FT，dQudQ=EZ、 α（St，Vt，ut）dWt+Z。α（St，Vt，ut）dWtT、（假设E（α>o~W）是鞅），则（8）中定义的w1u和W2ude是Quby-Girsanov定理下的两个独立的维纳过程。接下来，我们定义线性驱动函数f：（0，∞) ×(0, ∞) ×R×R1×2×U→ R asf（s，v，y，z，u）=%（s，v，u）y+zα（s，v，u）（10），其中%（s，v，u）≡ -r、即控制的（负）第一部分，代表无风险利率。利用（9）-（10）定义的驱动因素，我们得到了Qu下期望值的以下表示：对于给定的固定控制过程u={ut}t≥0∈ U、 jt（U）=Euhe给出的控制值过程-RTtrsdsg（ST）Fti，t∈ [0，T]是线性马尔可夫倒向随机微分方程djt（u）=-f（St，Vt，Jt（u），Zt，ut）dt+ZtdWt，Jt（u）=g（St），（11）其中Z=（Z，Z）>-J（u）的鞅表示部分-是一个取R1×2值的过程（是BSDE解的一部分）。要了解这一点，请考虑求解（11）的过程j（u），并将E（Γ）设为Γ=Z的随机指数。-rtdt+Z.α（St，Vt，ut）>dWt。将它的乘积规则应用于E（Γ）J（u），得到d（E（Γ）tJt（u））=E（Γ）tZt+Jt（u）α（St、Vt、ut）>因此，由于E（Γ）J（u）是Q下的鞅，我们有jt（u）=E（Γ）tEQ[E（Γ）Tg（ST）| Ft]=eRtrsdsE（α>oW）tEQhe-RTrsdsE（α>W）Tg（ST）Fti=Euhe-RTtrsdsg（ST）Ftias E（α>W）是测量变化Q的密度→ Qu.BSDE（11）控制在不确定性集合U中演变的固定参数控制过程影响下的价值过程。

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kedemingshi

2022-6-10 06:36:30

为了获得最低（最高）值情景，应在U中的所有容许控制上最小化（最大化）值过程，如下文所述，这是通过对tou进行逐点优化来实现的∈ 值处理的驱动程序函数的U。因此，我们确定了以下针对参数不确定性setH优化的驱动因素-（s、v、y、z）=ess infu∈Uf（s，v，y，z，u）和H+（s，v，y，z）=ess supu∈Uf（s，v，y，z，u），其中我们注意到，由于u是紧致的，因此可以同时达到内界和上界。根据BSDE的比较原则，我们得出以下主要结果：下/上最优控制值过程-t=ess infu∈UJt（u）和D+t=ess supu∈UJt（u）代表t∈ [0，T]，具有cadlag修改，这些修改是BSDEsdD±T=-H±（St，Vt，D±t，Zt）dt+ZtdWt，D±t=g（St）。（12）具体而言，这些过程等于（t，St，Vt）的确定性函数，即对于某些连续函数D±：[0，t]×R+×R，D±t=D±（t，St，Vt+→ R、在H的上确界范围内，我们进一步发现存在最优控制{u±*t} t型∈[0，T]∈ U是反馈控制。这意味着进程SU±*t=u±*（t，St，Vt），t∈ [0，T]是某些确定性函数的所有可预测控制中的最佳控制su±*: [0，T]×R+×R+→ U、最后，通过半线性Feynman-Kac公式（假设存在解），我们得到了D-（t，s，v）满足以下半线性抛物线偏微分方程Dt+svDs+ρσvsDvs+σvDv（13）+ess inf（r，κ，θ）∈U-rD+rsDs+κu（κ）（θu（θ）-五）Dv= 0，终端值为D-（T，s，v）=g（s）。

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kedemingshi

2022-6-10 06:36:34

在对应的D+（t，s，v）方程中，我们用上确界代替下确界。证明：对于结果的第一部分，自H-（s、v、y、z）≤ f（s，v，y，z，u）通过定义，我们得到了BSDE的（唯一）解（g（ST），H-) 满足年初至今≤所有控制装置的Jt（u）∈ U（直到无法区分）。这是BSDE比较定理的结果（Peng（1992），另见El Karoui等人（1997））。此外，当我们假设驱动因子f对J（u）-BSDE充分可积，以允许唯一解（即，它是一个随机Lipschitz驱动因子）时，可积性传递到H，从而Y-BSDE也接受唯一解。根据菲利波夫的隐函数定理（Beneˇs（1970），参见McShane和War field（1967）以及菲利波夫（1959）），对于每一个 > 0存在可预测的控件u∈ 使用f（s，v，y，z，u) ≤ H-（s、v、y、z）+. 自年初至今+（T- t）用驱动程序H求解BSDE-（s、v、y、z）+, 比较定理得出Jt（u）) ≤ 年初至今+（T- t）（直到显示可识别性）并且我们有inclusionYt≤ Jt（u) ≤ 年初至今+（T- t）。出租 → 0我们有Yt=ess infu∈UJt（u）=D-t对于每个t，也就是说y是最优值过程的一个版本。那个D-t之所以可以写成（t，St，Vt）的连续函数，是因为（12）是马尔可夫BSDE。此外，由于我们知道最优控制是可以实现的，菲利波夫定理给出了它是（t，St，Vt，D）的函数-t、 Zt），其中Zt=z（t，St，Vt）-由于马尔可夫BSDE，我们得到的结果是-*t=u-*（t，St，Vt）表示确定性函数。

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2022-6-10 06:36:37

为了获得优化驱动器H±的表达式，我们注意到，值函数的驱动器可以方便地表示为受控漂移与原始参数的偏差；通过重新排列（10）f（St，Vt，Yt，Zt，ut）=（rt- r） Ztp1- ρ√及物动词- Yt！+（κu（ut）- ~κ)-Zt公司√Vtσ+ρZt√Vtσp1- ρ!（14） +（κu（ut）θu（ut）- ИκИθ）Ztσ√及物动词-ρZtσp1- ρ√及物动词！- rYt公司。（15）或者，这可以表示为asf（St，Vt，Yt，Zt，ut）=（rt- r） Ztp1- ρ√及物动词- Yt！+（κt- κ)-Zt公司√Vtσ+ρZt√Vtσp1- ρ!（16） +（κtθt- κθ）Ztσ√及物动词-ρZtσp1- ρ√及物动词！- rYt（17）自κu（ut）- κ=κt- κ和κu（ut）θu（ut）- κ▄θ=κtθt- κθ，这是由于漂移的线性形式（以及P→ Q、关于λ的值）。如果我们让βt≡ κtθ并使用参数化（rt，κt，βt）7→ （rt，κt，θt），因此我们得到驱动力是散度的线性函数ut=（rt- r、 κt- κ、 βt- β).因此，在P参数存在统计不确定性的情况下，通过最小化/最大化线性目标（服从紧凑不确定度集U方程（16）给出的约束），或类似地，（14）在校准推导出的不确定度下与Q参数进行校准时，通过恒等式（6）获得最佳驱动因素H±。鞅表示Z的函数是通过应用其^o引理toDt=D（t，St，Vt）和使用半线性定价PDE（13）显式获得的，该定价PDE（13）给出了SDD（t，St，Vt）=-H（St、Vt、Dt、Zt）Dt+xD（t，St，Vt）σ（St，Vt）dwt其中xf车型≡ (旧金山，vf）和σ（s，v）应理解为（2）的扩散矩阵。因此，通过BSDE解的唯一性，z（t，s，v）≡ xD（t，s，v）σ（s，v）是Z的确定性生成函数。为此，我们考虑由二次公式给出的椭圆不确定性集=u：~u>∑-1u≤ χ对于某些正半有限矩阵∑和正常数χ。

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2022-6-10 06:36:40

特别是，从统计推断，我们得到- α置信椭圆▄u>∑-1r，κ，βИu≤ χ(1 - α）（18）代表u∈ U（对于显著水平α），其中∑r，κ，β是参数的协方差矩阵，χ（1-α）是具有三个自由度的卡方分布的分位数（详见第3.1节）。由于参数的最大似然估计量的大样本正态性，椭圆不确定性集的形式证明为（18）是渐近似然的水平集。这与Wald假设检验下的置信区间给出的不确定性形式相同，近似于Neyman-Pearson引理给出的最优置信集（见Lehmann和Romano（2006））。同于u 7→ f（~u）是线性的，它没有内部平稳点，二次问题-= inf f（▄u）和H+=sup f（▄u），受▄u>的影响∑-1u=χ给出优化的驱动程序。解为（例如通过拉格朗日乘子获得）H±（St，Vt，Zt，Yt）=±qχn>t∑>nt- rYtu±（St，Vt，Zt，Yt）=±rχn>t∑>nt∑nt（19），其中，nt是由nt=“Ztp1”给出的方程（16）参数偏差系数的3×1向量- ρ√及物动词- Yt！，-Zt公司√Vtσ+ρZt√Vtσp1- ρ!,Ztσ√及物动词-ρZtσp1- ρ√Vt！#>。（19）中的最优驱动因素总结了我们的分析，因为我们现在有了描述优先级边界演化的随机微分方程（12）的显式形式。在我们继续用数值方法获得这些方程的近似解之前，需要做几点说明。首先，该方法适用于具有time-T terminal Payoff-Pigi（ST）的期权组合。由于定价边界（7）的非线性，我们还有D+（Pwigi（ST））≤PwiD+（gi（ST））对于权重spwi=1，因此，通过对整个投资组合进行对冲，可以降低单个对冲的超级复制成本。

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可人4

2022-6-10 06:36:43

其次，对于G代表的一般薪酬∈ FT，例如S上的路径相关欧式期权，我们有一个对应于（12）的数值过程方程，终端条件为D±T=G。然而，这个问题不再产生马尔可夫结构，我们没有由确定性函数生成的D±（或Z），附录a中的数值方法也不适用。第三，我们通过替换Q故意施加参数不确定性→ 与替换P形成对比→ Qudirectly（这将产生相同形式的影响α（t，St，Vt），控制测量值变化，但用uin（9）代替r）。原因是，控制BSDE（12）将具有终端条件g（ST），其中ST~ Q、我们有可访问的参数（特别是，我们可以直接观察Q漂移，而不是估计P漂移u）。我们以一条技术性评论结束本节。备注1。到目前为止，我们还没有对过程α（St，Vt，ut）表示任何可积性条件，以保证（i）密度dQu/dQ和（ii）驱动器rf（St，Vt，Yt，Zt，ut）得到很好的定义，即测量变化Q→ QU有资格并证明f（因此H±）产生一个BSDE，该BSDE允许一个唯一的解决方案。为此，Novikov的条件eqhert | |α（St，Vt，ut）| | dti<∞ （20）对于（i）和（ii）都是有效的，从那时起，驱动因素是随机Lipschitzin y和z（注意RTI以U为界），即| f（St，Vt，y，z，ut）- f（St、Vt、y、z、ut）|≤ ||α（St，Vt，ut）| |（| y- y |+| | z- z | |），其中| |α（St，Vt，ut）| |是可预测的，并且（20）成立。对于随机Lipschitzdriver，如果终端条件g（ST）有界，相关BSDE允许唯一解有界（参见。

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2022-6-10 06:36:46

Cohen和Elliott（2015），附录A.9.2）。对于（20）中的Novikov条件，我们注意到指数的被积函数可以写成| |α（St，Vt，ut）| |=a（ut）Vt+b（ut）Vt+c（ut），其中a（ut）=（κt- κ)σ(1 - ρ） b（ut）=σ（rt- r） +（κtθt- κθ）+2ρσ（r- rt）（κtθt- κθ)σ(1 - ρ） c（ut）=-2（σρ（r- rt）+κtθt- κθ）（κt- κ)σ(1 - ρ）对于（20）中的期望，我们有eqherta（ut）VtdteRTb（ut）VtdteRTc（ut）dti≤ krEQheRTa（ut）VtdtiEQheRTb（ut）Vtdti（21），因为eRTc（ut）dt以常数k为界（对于ut∈ U）我们使用了Cauchy-Schwarz不等式。如果我们从（21）右侧的第一个预期开始，我们有一个（ut）≤ “a表示常数”a。作为“a”的积分CIR过程的拉普拉斯变换≤ κ/（2σ），我们最终得到条件|κt- κ| ≤ κp1- ρ√. （22）积分方差E的拉普拉斯变换(-βRTVtdt）]可追溯到Cox等人（1985年），并对-β ≤ κ/（2σ），另见Carr等人（2003）。对于（21）的第二个期望值，我们使用b（ut）≤对于常数b，则为“b”，并且集成逆CIR过程的平面变换对于“b”是有限的≤2~κ~θ - σ√2σ!. （23）重新安排这个条件，我们得到σ（rt- r） +（κtθt- κθ）+2ρσ（r- rt）（κtθt- κθ) ≤1.- ρκθ - σ/2与（22）一起是（20）保持的充分条件。3实证视角在本节中，我们将研究保守定价方法如何将标准普尔500指数的历史价格带入一组真实市场数据。我们进行了一次经验实验，这里我们有以下基本原理作为我们研究的基础。我们让根据指数和方差的历史观察估计的统计参数代表客观测度P下的金融市场模型。因此，根据Heston的模型和估计参数，假设（S，V）随P动态变化。

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2022-6-10 06:36:49

我们认为（B，S）完全是由两个随机来源Wand W驱动的金融市场模型中的交易资产，并且避免假设存在额外的、外部给定的、（依赖于波动性的）资产来完成模型。另一方面，我们排除了模型中的套利机会，并证明了风险中性度量空间的存在：Q存在于一组与P等价的概率度量Q中（不一定唯一），因此，在Q中的任何度量下，贴现资产价格都是鞅。在我们的模型上下文中，这意味着（S，V）在每个Q下都具有相同的微分矩阵∈ Q由P-动力学的扩散矩阵给出。这源于quadraticCarr和Sun（2007）给出了3/2过程的对数价格和积分方差联合变换的表达式。将It^o公式应用于1/V，我们发现逆CIR（κ，θ，σ）过程是一个带参数的3-over-2过程（^κ≡ κθ - σ,^θ ≡ κ/(κθ - σ), ^σ ≡ -σ). 使用他们的转换，提供^κ>-^σ/2，Ehe-λRTVtdti=Γ（γ- α)Γ(γ)^σy（0，1/V）αMα, γ, -^σy（0，1/V）式中（t，x）≡ x（e^κ^θ（T-t）- 1） /（^κθ）=x（eκ（T-t）- 1)/κα ≡ -（1/2+κ/σ）+p（1/2+κ/σ）+2λ/σγ≡ 2（α+1+^κ/σ）=1+2p（1/2+^κ/σ）+2λ/σ，M是反超几何函数。从这里，我们可以看到λ≥ -2^κ + σ√2σ= -2κθ -σ√2σ是转换为良好定义的充分条件。半鞅的变异（连续部分）在完全过滤空间上的等价概率测度下是不变的。此外，根据Girsanov定理，我们发现驱动随机源的规律是不变的：它们在Q中的所有等价度量下都是（独立的）维纳过程。考虑到这一点，我们将（s，V）的扩散矩阵乘以历史数据中的估计扩散参数。

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大多数88

2022-6-10 06:36:52

然后，我们将等效风险中性度量的空间与所有容许控制上的受控度量qu所跨越的空间相等：Q≡ {区：u∈ U} 其中U表示可预测控制过程的空间U={ut}t≥0存在于紧凑不确定性集U中 Rd.特别是，我们从统计估计问题的推断中推断出不确定性集，并确定U由椭圆置信域表示，该置信域由观测到的Fisher信息（其渐近近似于我们估计的抽样协方差）得出。那么，我们要问的问题是，根据相应的模型定价边界，Q中的定价是否涵盖了市场期权价格。由于资产的波动过程本质上是潜在的，因此必须用某种方法来衡量。在下一节中，我们简要介绍了已实现的挥发度测量，它给出了方差过程的常用非参数估计量。然后，我们详细介绍了一些用于模型参数点估计和推断的估计方法。以下是基于标准普尔500指数数据的实证研究。3.1测量方差和统计推断我们使用标准普尔500指数价格的方差，根据高频观察的实际波动率测量值进行估计(~5min）的指数收益（参见Andersenand Benzoni（2009））。因此，如果s=（st，st，…）是一个具有每日价格的时间序列，实际方差度量值计算为rv（[ti-1，ti））=Xk:sk，sk+1∈[技术信息-1，ti]（ysk+1- ysk），其中【ti】-1，ti]是一天的持续时间，sk∈ [技术信息-1，ti]是ysk=log（ssk）的日间时间点-日志（ssk-1）是日志返回。

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2022-6-10 06:36:56

实现的方差近似于综合方差：RV（[ti-1，ti]）P→Rtiti公司-1VSD（对于连续回归过程，一般半鞅的二次方差），时间ti的测量方差取为vTi=ti- ti公司-1RV（[ti-1，ti]）。这样，每日方差的时间序列v=（vt，vt，…）已获得。为方便起见，我们使用了牛津曼研究所实现的图书馆中的预计算方差估计值，如图1所示，以及2000年1月3日至2016年2月29日期间标准普尔500指数的收盘价。接下来，我们考虑从n+1个观测值v=（v，…，vn）的方差估计参数Θ=（κ，θ，σ）。这里，viis被视为Heber、Gerd、Lunde、Shephard和Sheppard（2009）实现的图书馆版本0.2的观察值，http://realized.oxford-man.ox.ac.uk.Figure1：2000年1月3日至2016年2月29日期间，标准普尔500指数的历史收盘价和已实现差异，每日观测4035次。对于进行观测的一组离散时间点（t，…，tn），使用i=ti+1-Title两次连续观测之间的时间间隔长度。一般来说，对于传递度为f（y；x，δ，Θ）的马尔可夫过程，对于Vt+δ| Vt=x的参数Θ可以用似然函数ln（Θ）=n进行推断-1Yi=0f（vi+1；vi，i、（对数）似然函数的最大化参数是最大似然估计量。如果转换密度在闭合形式下未知，或者像平方根过程一样，是一种无法优化的类型（通过分析和数值格式），则可以考虑基于可能性的合适近似的备选方案。

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2022-6-10 06:36:59

这样做的一个直接方法是考虑过程V的时间离散近似Vπ，如Euler-Maruyama格式所示；这里是平方根过程Vπt+δ=Vπt+κ（θ- Vπt）δ+σpVπt（Wt+δ- Wt）（24），将给出近似的高斯对数似然函数ln（Θ）≡ 对数Ln（Θ）=-n-1Xi=0（vi+1- 不及物动词- κ(θ - 六）i） σvii+log（2πσvii）。（25）Prakasa Rao（1983）中考虑了与上述形式相同的函数，用于漂移参数的最小二乘估计。对于具有遍历性的过程，Kessler（1997）将漂移和扩散参数的联合估计与高斯近似的跃迁密度视为（25），并表明在一般条件下，（24）可能会产生Vπt+δ的负结果，因此不适合以其标准形式进行模拟。附录A.3中讨论了备选方案。在这里，我们使用（24）表示近似高斯似然，即欧拉对比度（25），这一点定义得很好。估计量是渐近正态且有效的。他们的方法解决了跃迁密度的均值和方差未知的情况，并使用了近似值。对于平方根过程，显式表达式e[Vt+δ| Vt=v]=θ+（v- θ） e类-κδ≡ u（v，δ），Var（Vt+δ| Vt=v）=vσκ（e-κδ- e-2κδ) + θσ2κ(1 - e-κδ)≡ s（v，δ），代替近似值u（v，δ）≈ v+κ（θ- v） δ和s（v，δ）≈ σvδin（25）给定ln（Θ）=-n-1Xi=0（vi+1- u（vi，i））s（vi，i） +对数（2πs（vi，i））（26）形成一个近似高斯似然函数，该函数具有条件均值和方差的精确表达式。虽然已知当观测间隔时间较大时，Euler对比度（25）有很大的偏差，但（26）等估值器对于δ的任何值都是一致的。

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2022-6-10 06:37:02

原因是它们形成了二次鞅估计函数，参见Bibby和Sorensen（1995）以及Godambe和Heyde（1987）。通过观测信息矩阵o=-ln（Θ）Θ>ΘΘ=^Θ，可通过对数似然函数A估计值的数值微分来计算。^Θ的近似协方差矩阵由∑^Θ=I的逆矩阵给出-1和JTH参数的估计标准误差byp（I-1o）jj。因此，近似值为1- Θ的α置信域由ellipsenΘ：（Θ）给出-^Θ)Σ-1^Θ(Θ -^Θ)>≤ χd（1- α）其中d是行向量Θ和χd（1）的维数- α）是1-d自由度的chi-square分布的α分位数。最后，我们注意到，文献中已知几种用于统计估计赫斯顿模型的其他方法。例如，在访问高频返回数据时，可以咨询Barczy和Pap（2016）或de Chaumaray（2015）。3.2实证研究我们的实证研究基于来自牛津曼恩定量金融研究所和沃顿研究数据服务公司的市场数据。标准普尔500指数的价格使用了牛津大学（OxfordMan）的数据，这两种指数的历史收盘价都是以日频率和高频频率观察的(~ 5min）收益，用于（预先计算的）历史波动率估计。来自沃顿研究公司期权指标数据库的数据用于标普500指数上欧洲看涨期权的价格。

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2022-6-10 06:37:05

这里，我们使用op的历史报价和其他价格tionshttp://realized.oxford-man.ox.ac.uk和https://wrds-web.wharton.upenn.edu/wrds/.Figure2：2000年1月3日至2016年2月29日期间，标准普尔500指数的历史收盘价和实现差异，843周观察。不同的执行价格和到期日，以及基础指数支付的相关股息收益率和与集合中每个期权到期日相对应的无风险利率。在对看涨期权的定价边界进行数值计算之前，我们根据标准普尔500指数的价格和方差，按照以下步骤估计赫斯顿模型的参数：1。首先，我们通过计算一周时间间隔内的已实现方差度量，将方差的观测频率抽取为每周观测，见图2。此操作平滑测量的方差过程，尤其是消除可能导致非稳健参数估计的极端方差峰值（见图1）。我们通过参数化（κ，β，σ）的周方差估计（κ，β，σ）7→模型的（κ，θ，σ）。我们采用基于欧拉条件矩的近似似然法，通过数值微分计算近似协方差矩阵。表1给出了结果（带有标准误差概念协方差矩阵的平方元素）以及每日方差的估计结果。从表1中的结果可以看出，日方差产生了相对较高的平均回归速度估计值，以适应极端观测和两个漂移参数的较大标准误差，这表明平方根过程对于日方差数据来说是一个拟合较差的模型。通过每周方差，我们可以获得更合理的结果和更低的标准误差。3.

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2022-6-10 06:37:09

除了方差过程的估计参数外，我们还可以用精确的条件矩估计（近似）似然。对于日常观测，数值优化不会收敛，而对于每周数据，这会产生与近似矩非常相似的参数估计和标准误差。模型与已实现协变量测度的关系系数。这给出了ρ=-标准普尔500指数的周方差和收盘价为0.274。估计值，每日数据κθσ29.6 0.0315 2.58标准误差κβσκ4.314 0.544 2.37e-06β0.544 0.074 1.79e-06σ2.37e-06 1.79e-06 0.0288估计值，每周数据κθσ4.59 0.0307 0.775标准误差κβσκ1.395 0.621 1 1.91e-06β0.621 0.0269 4.84e-06σ1.91e-06 4.84e-06 0.0189表1：根据标准普尔500指数的历史数据估计的参数和标准误差。左表：基于4035次每日观察的结果。右表：基于原始数据抽取的843周观察结果。所有估计均来自基于欧拉矩的近似似然函数的数值优化和微分。在估计模型参数和标准误差的情况下，我们继续计算欧式期权的定价上限和下限。我们按照以下步骤进行：1。我们考虑2012年8月31日至2015年8月31日三年期的历史市场价格的标准普尔500指数看涨期权。我们在此期间选择与周指数数据一致的日期（即期权和标准普尔500指数收盘价都有报价的日期）。这导致157个日期和244239个期权报价，用于不同的罢工和到期日。对于这段时间内的157个日期中的每一个，我们选择了一个带有删除线价格和到期时间的选项，如图3的右窗格所示。

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2022-6-10 06:37:12

在这里，选择每个时期的“初始”期权时，应具有中等的扣押到期日和尽可能接近实际价格的执行价格。然后，只要有市场报价，我们就保留相同的到期日和执行价格（相同的期权）。这一共给了我们四种选择。我们进一步记录相应到期日的零息票利率和当前分割收益率给出的相关无风险利率。图3的左窗格显示了转换为零股息价格后的最终出价/报价。通过首先计算Black-Scholes隐含波动率（具有有效股息收益率），然后重新计算零股息的Black-Scholes价格，对每个报价进行计算。为了计算看涨期权的定价界限，我们采用附录中描述的数值方法。在这里，我们最初有以下数字考虑：首先，对于表1中的参数估计（基于每周对数数据的二次协变量，给出[log S，σlog V]t=tRt√Vs公司√Vsd[ρW+p1- ρW，W]s=ρ，我们使用其已实现的协变量估计。图3：左图：标普500指数看涨期权的历史市场价格。图中显示了2012年8月至2015年8月31日期间的157个买入/卖出报价（转换为零股息价格）。右图：看涨期权的执行价格和到期时间。数据）我们有√4β=0.751<0.775=σ，这意味着由于产生负面结果，隐式米尔斯泰因方案可能失败（见附录A.3）。为了避免这种情况，我们根据Andersen等人（2010）的建议方法，在模拟中加入了截断步骤。

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