保险定价的扭曲原则：财产，

2022-6-10 18:17:50

Noname手稿编号（将由编辑插入）保险定价的扭曲原则：属性、识别和稳健性Daniela Escobar·Georg Ch.P flugreceived:2018年2月27日/已接受：dateAbstract扭曲（Denneberg 1990）是保险合同的著名保费计算原则。在本文中，我们研究了失真泛函的灵敏度性质w.r.t.风险厌恶的假设以及损失分布的鲁棒性w.r.t.模糊性。模糊度由瓦瑟斯坦距离来衡量。我们研究了概率模型的距离方差，并确定了一些最坏情况分布。除了直接问题之外，我们还研究了逆问题，即如何根据保费的观测值来识别畸变密度。关键词歧义·扭曲保费·双重代表·保费原则·风险度量·瓦塞尔斯坦距离1简介保险业务的功能是承担客户损失的风险，金额固定，称为保费。保险费必须比预期损失大，否则保险公司就有可能破产。保费与预期之间的差异称为风险保费。有几个原则，从中可以根据损失分布计算保险费。设X为（非负）随机损失变量。传统上，保险费是一个函数，π：{X≥ 0定义日期(Ohm, F、 P）}→ R≥我们是维也纳大学的Daniela EscobarunUniversity。澳大利亚维也纳奥斯卡莫尔根斯坦广场1号统计与运筹学部（ISOR），邮编：1090，邮编：daniela。escobar@univie.ac.atGeorgCh.P Flugisor和国际应用系统分析研究所（IIASA），奥地利拉森堡。电子邮件：georg。p层ug@univie.ac.at2Daniela Escobar，Georg Ch。

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2022-6-10 18:17:53

与仅依赖于损失随机变量分布的泛函（有时称为定律不变性或版本独立性，Young 2014【33】）进行比较。如果X具有分布函数F，我们使用符号π（F）表示相关的保险费，E（F）表示F的期望值。我们也可以分别使用符号π（F）或π（X）。E（F）或E（X），如果更方便。在本文的范围内，对于保费的特定情况，使用了更具体的符号。我们考虑以下基本定价原则：–失真原则（Denneberg 1990[3]）确定性等效原则（v Neumann和Morgenstern 1947【25】）。-歧义原则（Gilboa和Schmeidler 1989【7】）。-之前的组合（例如Luan 2001[15]）。畸变原理。变形原理与应力测试的理念有关。原始分布函数F被修改（扭曲），保费是修改后分布的期望值。如果g：[0，1]→R是一个凹单调递增函数，其性质为g（0）=0，g（1）=1，则扭曲分布fg由fg（x）=1给出-g（1- F（x））。函数g称为畸变函数，h（v）=g（1-v），g是g的导数，是畸变密度。注意，h是[0，1]中的腺苷酸。我们用H（u）='uh（v）dv表示畸变分布。因为假设意味着g（x）≥ x代表0≤ x个≤ 1，前景≤ F，即Fgis一阶随机大于F。畸变溢价是Fgπh（F）=^的期望值∞g（1-F（x））dx≥^∞(1 -F（x））dx=E（x）。通过一个简单的积分变换，可以很容易地看到，溢价可以等效地写为πh（F）=^F-1（v）h（v）dv=^V@Rv（F）h（v）dv，（1）其中V@Rv（F）=F-1（v），分位数函数。注意，这种形式的函数称为L-估计（Huber 2011【11】）。

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能者818

2022-6-10 18:17:56

如果随机变量凹函数的导数是a.e.定义的，即使它不是处处可微的。一阶随机大于Fif F（x）≤ F（x）对于所有x。由于长度3X取负值过多，所有权被抑制，我们通常可以将溢价定义为阿乔奎特积分πh（F）=^-∞g（1-F（x））- 1 dx+^∞g（1-F（x））dx。（2）原则上，任何单调且满足g（u）的畸变函数≥u是畸变函数的有效基础。然而，g的凹度保证了相关畸变密度h的增加，这在保险应用中反映了这样一个事实，即风险分布的分位数越高，搁置风险资本的成本就越高。非减量畸变函数导致非负畸变密度，其结果是πh（F）≤ πh（F）当nver Fis随机大于F时。放松g的单调性假设通常会违反单调性w.r.t.第一随机阶。失真函数示例。广泛使用的畸变函数gresp。相关的畸变密度h是指指数为s的功率畸变。如果0<s<1，则g（s）（v）=vs，h（s）（v）=s（1）-v） s-1.（3）保费称为比例风险变换（Wang 1995[27]），计算公式为πh（s）（F）=^∞1.-F（x）sdx=s^F-1（v）（1）-v） s-1伏。（4）如果s≥ 1，那么我们取g（s）（v）=1-(1 - v） s，h（s）（v）=svs-1.（5）保费为πh（s）（F）=^∞1.-(1 - F（x））sdx=s^F-1（v）vs-1伏。（6）如果我们考虑整数指数，保费有一个特殊的表示。命题1设X（i），i=1，n是随机变量X的独立副本，则具有整数次幂s的功率失真溢价具有πh（s）（X）=E最大{X（1），…，X（s）}.证明设F为X的分布。

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2022-6-10 18:18:00

整数次幂s的功率失真溢价由（5）中的g（s）和定义πh（s）（F）=^计算得出∞g（s）（1）-F（x））=^∞1.-F（x）sdx。该断言源自随机变量max{X（1），…，X（s）}的分布函数为F（X）s这一事实。4 Daniela Escobar，Georg Ch.P flugfinally，请注意，畸变密度为s≥ 1，但对于0<s<1，则为无界Wang畸变或Wang变换（Wang 2000[26]）g（v）=ΦΦ-1（v）+λ, h（v）=φ（Φ-1(1 -v） +λ）φ（Φ-1(1 -v）），λ>0，其中Φ是标准正态分布，φ是其密度这个AV@R（平均风险值）畸变函数和密度aregα（v）=minv1-α, 1, hα（v）=1-αv≥α、（7）其中0≤ α < 1. 相关保费有不同的名称，如条件尾部预期（CTE），CV@R（条件风险价值）矿石（预期短缺）（Embrechts等人，1997年[4]）。溢价为πhα（F）=^∞最小值1.-F（x）1-α, 1dx=1-α^αF-1（v）dv。（8） –分段恒定畸变密度。保险业也使用了不断增加的畸变函数。例如，大型再保险公司使用以下失真函数。v h（v）v h（v）[0,0.85]0.8443[0.988,0.992）3.6462[0.85,0.947）1.1731[0.992,0.993）4.0572[0.947,0.965）1.4121[0.993,0.996）6.5378[0.965,0.975）1.7335[0.996,0.996）12.7020[0.975,0.988）2.4806[0.996,1]14.9436页。有关h的不同选择以及不同分布族的更多示例，请参见Wang 1996【28】和Furmann and Zitikis 2008【6】。确定性等效。设V是一个凸的严格单调二效用函数。确定性等价保费是V（π）=E（V（X））的解，即通过将保费的非效用与损失的预期非效用相等而获得。保险费如下所示πV（F）=V-1（E（V（X）））=V-1.^VF-1（v）dv.由Jensen不等式πV（F）≥ E（F）。

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2022-6-10 18:18:03

不可用性V的示例是s的电源实用程序V（x）=XS≥ 1或指数效用V（x）=exp（x）。纽曼/摩根斯特恩（Neumann/Morgenstern）提出的效用函数的最初概念是一个单调的U，这样决策者就可以最大化一个利润变量Y的期望E（U（Y））。通过设置v（u）=-U型(-u）。由于与该溢价相关的长度5过长，所有权被抑制，可以只考虑预期值并计算预期的非效用（Borch 1961[2]），获得π（F）=E（V（X））。（9）关于CEQ溢价的推广，请参见Vinel和Krokhmal 2017【24】。歧义原则。设F为一系列分布，其中包含“最可能”损失分布F。模糊保险费为πF（F）=sup{E（G）：G∈ F} 。F称为模糊集。在另一种等效符号中，歧义溢价由πQ（X）=max{EQ（X）：Q给出∈ Q} ，（10）其中Q是一系列包含基线模型P的概率模型。最大化中的函数不需要是期望值，但可以是一般的，参见Wozabal 2012【30】、Wozabal 2014【31】、Gilboa and Schmeidler 1989【7】和我们的第6节。备注1在1989年的开创性论文中，Gilboa和Schmeidler[7]给出了扩展效用函数的公理化方法{EQ（U（Y））：Q∈ Q} ，其中U是一个效用函数，Y是一个利润变量。

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2022-6-10 18:18:06

对于保险案例，U应替换为双效用函数V，Y应替换为损失变量X，从而得出等效表达式max{EQ（V（X））：Q∈ Q} 。到（10）的链接是显而易见的，可以将其视为expecteddisutility（9）和歧义的组合。备注2回顾金融市场中衍生工具的基本定价公式，该公式指出，可以通过最大估计的预期收益来获得价格，其中最大值是在所有概率度量中获得的，这使得基础的贴现价格成为鞅。这可以看作是一个模棱两可的价格。歧义溢价的特点是选择歧义集F。原则上，这个集合可以任意给定，只要它包含F。凸Premium泛函有一个对偶表示，它也是一个模糊泛函的形式。对于畸变泛函，这将在下一节中进行说明。模糊度溢价价格的其他重要示例可以通过概率分布的距离来确定。设D为此类距离，则模糊集由F={G:D（F，G）给出≤ },6 Daniela Escobar，Georg Ch.P flugwith fulligence premiumπD（F）=最大值{E（G）：D（F，G）≤ }.我们打电话模糊半径。这个半径不仅量化了风险溢价，还量化了模型的不确定性，因为实际分布通常不确切，我们只有一个基线模型F。在我们的第6节中，基于Wasserstein距离W D的webase模糊度模型。组合模型。

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2022-6-10 18:18:09

Luan 2001【15】通过定义根据fg和设置πVh（F）=V分布的变量W，引入了扭曲和确定性等价溢价的组合-1（E[V（W）]）=V-1.^VF-1（v）h（v）dv.请注意（Fg）-1（v）=F-1(1 -g级-1(1 -v））。更一般地，还可以对模型添加歧义并设置πV，h（F）=sup五、-1.^VG-1（v）h（v）dv: D（F，G）≤ . （11）请注意，（11）通过设置以下一些参数sh（v）=1，v（v）=v，包含所有以前的定义， = 如果所有参数都是这样设置的，我们将恢复预期。我们还可以考虑预期的无用度溢价（9），并将其与畸变溢价结合起来，即^V（F-1（v））h（v）dv=E[v（W）]。第6节将专门研究扭曲和模糊溢价的组合。至于表示法，我们用lp表示所有随机变量的空间，所有p的p-范数都是有限的≥ 1kXkp=[E（| X | p）]1/p，分别为。kXk公司∞= ess sup（| X |），基本上确界。对于[0，1]上的任何实值函数，都使用相同的符号，如果1/p+1/q=1，p和q是共轭的。标题因篇幅过长而被抑制72失真溢价和概括对失真溢价的表征和再现进行了详尽的研究。在一些最经典的贡献中，我们提到了Yaari 1987年的对偶理论[32]；Wang等人1997年[29]提出的thispremium的公理表征，其中0<s<1的功率失真也以独特的方式表征。下文将概述其他知识介绍和该保费的新概括。回想一下，任何映射X 7→ π（X）是一种风险度量，它是单调的、凸的和全翻译等变量。此外，如果π也是正均质性、单调w.r.t.第一个随机顺序和次加性，则它是一个一致的风险度量（Artzner等人，1999年[1]）。

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2022-6-10 18:18:12

畸变溢价充分体现了所有这些属性，因此由Fenchel Moreau RockefellarTheorem设计，具有双重代表性。定理1（见P flug 2006[19]）畸变溢价与畸变密度h的对偶表示由πh（X）=sup{E（X·Z）：Z=h（U）给出，其中U均匀分布在[0，1]}。注意，定理1中所有可容许的Z都是[0,1]上的密度，因为h≥ 0和E（h（U））=1。不同的是，如果X定义为(Ohm, F、 P）和letQ是(Ohm, F）这样密度dqdphas分布函数H，畸变分布，然后πH（X）=sup{EQ（X）：Q∈ Q} 。因此，每个失真溢价都可以看作是以Q为模糊集的模糊溢价。让我们更详细地了解AV@R保险费在这种情况下，对偶表示专门用于πhα（X）=sup{E（X·Z）：0≤ Z≤1.-α; E（Z）=1}。从前面的表示中，我们可以看到AV@R-畸变强度hα是所有畸变密度凸集的极值。这一事实意味着任何失真溢价都可以表示为混合物ofAV@R年代，这种表述被称为Kusuoka表述（Kusuoka2001【14】，Jouini等人，2006【12】）。一致风险的Kusuoka表示形式为π（F）=supK∈K^AV@Rα（F）dK（α），其中K是[0,1]中概率测度的集合。特别是，对于畸变溢价，我们有以下结果（P flug/R–omisch 2007[18]）。如果π（X+c）=π（X）+c，对于c，π具有平移等变性∈ R、如果π（X+Y），则溢价π称为次可加的≤ π（X）+π（Y）。次可加性和正齐性意味着凸性。8 Daniela Escobar，Georg Ch。

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2022-6-10 18:18:15

P flu定理2任何畸变溢价都可以写成πh（F）=^AV@Rα（X）dK（α）。混合物分布K由h如何表示为AV@R-畸变密度，即h（v）=^v1-αdK（α）。纯洁的AV@R通过设置K（α）=Δβ，β处的Diracmeasure，β包含在此类中。此外，对AV@R对于K（α）=α，获得’s，并定义为^AV@Rα（F）dα=^F-1（v）[-日志（1- v） ]dv，如果存在积分。备注3 Greselin和Zitikis 2018【10】研究了畸变溢价的其他一些推广，其中他们考虑了一类泛函(AV@Rα（X），AV@R（十））dα，其中ν（·，·）是一个可积函数，表明基尼指数和邦费罗指数都属于这一类。这些推广导致了不平等度量，而不是风险度量。作为畸变溢价的相关推广，可以考虑r（X）=^ν(AV@Rα（X））k（α）dα，（12）对于[0,1]上的一些凸单调Lipschitz函数ν和一些非负函数k。很明显，R（X）是凸的和单调的，但在一般情况下既不是正齐次的，也不是平移等变的，除非ν是它们的同一性（参见附录中的证明）。据我们所知，形式（12）的函数不用于保险部门。关于这一点和其他一些概括，请参见Goovaerts et al.2004【8】和Furman and Zitikis2008【6】的论文。3溢价的连续性w.r.t.瓦瑟斯坦距离在本节中，我们研究了畸变溢价相对于基础分布的敏感性特性。本节中的一些结果与thosein Pichler 2013【21】、P flug and Pichler 2014【17】和Kiesel et al.2016【13】有关。Furman等人研究了可变性度量连续性的类似结果。2017 [5].

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2022-6-10 18:18:18

首先，我们回顾一下瓦瑟斯坦距离的概念。标题因长度过长而被抑制9定义1 Let(Ohm, d）是度量空间，P，~P是度量空间上的两个Borel概率测度。然后是r阶的Wasserstein距离≥ 1定义为asW Dr，d（P，~P）=infX~PY公司~PE（d（X，Y）r）！1/r。这里的最大值是对（X，Y）的所有联合分布，因此边际分布分别为P。P，即X~ P，Y~P。对于实线上的两个分布F和G，赋予metricd（x，y）=x-y |。该定义专门针对（见Vallender 1974【23】）W D1，d（F，G）=^∞-∞|F（x）-G（x）| dx=^| F-1（v）-G-1（v）| dv。因此，Wasserstein距离是分布函数之间的（绝对）面积，也是逆分布之间的（绝对）面积。通过类似的论证，可以证明r阶的瓦瑟斯坦距离≥ 1，实线上的dmetric为w Drr，d（F，G）=^| F-1（v）-G-1（v）| rdv=kF-1.- G-1krr。（13）现在我们研究泛函F 7的连续性性质→ πh（F）。命题2（有界畸变密度的连续性）假设Fand G是实线上的两个分布，h是畸变密度函数。如果分布同时具有有限的一阶矩且h有界，则|πh（F）-πh（G）|≤ ||h类||∞· WD1，d（F，G）。证明见Pichler 2010【20】。备注4如果g在0处具有有限的右侧导数，并且如果g具有有限的Lipschitz常数L，则确保h的有界性，因为khk∞≤ 五十、命题2可以简单地概括如下。命题3（q<∞)设F和G为实线上的两个分布，h为畸变密度函数。如果F，G有明确的p-力矩和h∈ Lq，然后|πh（F）-πh（G）|≤ ||h | | q·WDp，d（F，G），其中p和q是共轭的。10 Daniela Escobar，Georg Ch。

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2022-6-10 18:18:22

通过P和q的H¨older不等式证明，我们得到|πH（F）-πh（G）|=^h（v）·F-1（v）-G-1（v）dv≤^| h（v）| qdv1/季度·^F-1（v）-G-1（v）pdv公司1/p≤ ||h | | q·WDp，d（F，G）。示例1假设F和G是两个具有有限一阶矩的分布对于AV@R畸变溢价| | hα||∞=1.-α、因此|πhα（F）-πhα（G）|≤1.-α·WD1，d（F，G）。-对于s的功率失真≥ 1，| | h（s）||∞= s、因此|πh（s）（F）-πh（s）（G）|≤ s·W D1，d（F，G）。0<s<1的功率失真没有界限。下一个结果是针对这个特殊情况的。命题4（0<s<1的功率失真的连续性）设F和G为分布函数，h（s）为失真密度定义（3）。如果F和G有明确的p-p>砂h的力矩∈ Lq，然后|πh（s）（F）-πh（s）（G）|≤sqp1+q（s- 1） ·WDp，d（F，G），其中p和q是共轭物。证明我们首先注意到p>简化了q<1-砂层t=1+q（s- 1) > 0.^h（s）（v）qdv1/季度=^sq·（1- v） q·（s）-1） dv1/季度=^sq·（1- v） t型-1dv1/q=平方√t型·^t（1-v） t型-1dv1/q=平方√t、命题3证明了这一说法。下一个结果是命题4的直接结果。标题因过长而被抑制11推论1（失真密度的连续性由功率失真密度控制，0<s<1）设F和G为分布函数，h为失真密度。如果h等于h（v）≤ c·h（s）（v），适用于所有v∈ [0，1]，c>0和0<s<1，F和G有明确的p-p>s的力矩，然后是h∈ Lqand |πh（F）-πh（G）|≤c·sqp1+q（s- 1） ·WDp，d（F，G），其中p和q是共轭物。推论2（收敛）如果F，fn表示所有n≥ 1具有有限的统一边界p-力矩，h∈ LQ和W Dp，d（Fn，F）→ 0作为n→ ∞, 然后|πh（F）-πh（Fn）|----→n→∞0，其中p和q是共轭的。注5：当分布序列为i.i.d.样本大小为n，（x，…，xn）fromX时，推论2成立~ F

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能者818

2022-6-10 18:18:25

如果F有明确的p-力矩，然后W Dp，d（bFn，F）----→n→∞0，因此πh（bFn）-πh（F）----→n→∞这个结果通过应用[17]中的引理4.1得出。最后请注意，对于连续性，Wasserstein距离Rc的阶数与F的有限矩数一致。3.1部分保险任何保险合同都不能保证完全赔偿，但其赔付只是全部损失的一部分。此类合同包括比例保险、免赔额和上限保险。一般来说，如果总损失为X，则存在一个（单调的）支付函数T，使得支付函数为T（X）。一个非常灵活的形式是超额损失保险（XL保险），它具有支付函数T（X）=如果x，则为0≤ ax-a如果a≤ x个≤ ee公司-a如果x≥ e、（14）用ftt表示T（X）的分布，如果F是X的分布。部分覆盖的畸变保费为πh（FT）。我们研究了fta和GT之间的关系，以及πh（FT）和πh（GT）之间的关系，这是在一个稍微更一般的设置中，即对于h¨older连续T。回想一下，如果T（x），T与常数Hβ是H¨oldercontinuous的-T（y）|≤ Hβ·| x-y |β，对于某些β≤ 1、定理3（原始概率和图像概率之间的距离，由T表示）设P和Q为两个概率测度，并考虑其图像12 Daniela Escobar，Georg Ch.P flugprobabilities，在T下分别由pta和QT表示。

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2022-6-10 18:18:28

如果T是aβ-H–oldercontinuous mapping，thennw Drβ，d（PT，QT）≤ Hβ·WDβr，d（P，Q），rβ=rβ≥ 1和r≥ 1，其中Hβ是β-H–older常数。证明X和Y的联合分布使得w Dr，d（X，Y）=E1/r（| X- Y | r），然后是新Drβrβ，d（PT，QT）≤ E（| T（X）- T（Y）| rβ）≤ Hrββ·E（| X- Y | r）=Hrβ·WDrr，d（P，Q）。在两侧取rβ根完成了证明。对于XL保险，H¨older常数是一个Lipschitz常数（β=1），其值为1。根据前面的定理，我们可以得出结论，如果两个概率相近，则具有第3项特征的映射T的图像概率在瓦瑟斯坦距离上也相近。定理3隔离了文献[17]中定理3.31中也使用的论点。请注意，Wasserstein距离的基础距离是各个空间的度量。推论3设F，G分别是由概率P和Q定义的两个分布，FT，GT分别是由T定义的图像分布。如果是aβ-H¨具有常数Hβ，H的older连续映射∈ Lq、分配FT、GT和有限p-力矩，则对于所有r=p·β（r≥ 1），具有支付函数T的扭曲溢价满足|πh（FT）-πh（GT）|≤ ||h | | q·W Dp，d（PT，QT）≤ ||h | | q·hβ·W Dβr，D（P，q）。（15）现在，我们继续研究畸变premiumw的灵敏度特性。r、 t.畸变密度。4特优w.r.t的连续性。畸变密度先前，我们研究了映射F 7→ πh（F）表示固定h。在本节中，我们考虑并展示映射h 7的性质→ πh（F）表示固定F。不同的灵敏度特性w.r.t.失真参数在Gourieroux和Liu 2006中进行了研究[9]。命题5（畸变溢价的连续性w.r.t.畸变密度h）设F为一个分布，并考虑两个不同的畸变密度h，h。

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2022-6-10 18:18:31

如果F有明确的p-力矩和h，h∈ Lq，然后|πh（F）-πh（F）|≤ ||F-1 | | p·| | h- h | | q，其中p和q是共轭的。这里的选项p=1，q=∞ 和p=∞,包括q=1。标题因过长而被抑制13证明使用H¨older不等式，结果是直接的。我们可以得出这样的结论，如果手兔收盘，那么溢价也会收盘。然而，h总是可以通过以下命题来识别。命题6如果πh（F）=所有分布函数F的πh（F）（值∞ 不排除），则h（v）=h（v）a.s.证明让Fabe分布取概率为a的值0和概率为1的值1- a、对于一些a∈ （0，1），则其逆f-1是间隔的指示器功能[a，1]。因此，πh（Fa）=^[a，1]（v）h（v）dv=^ah（v）dv=πh（Fa）=^ah（v）dv。因此，畸变分布相等，因此h=halmost said。备注6注意，如果溢价重合的分布族包含所有伯努利变量，则前面的命题是正确的。也可以比较[29]中的定理2。备注7另一个具有该族溢价以独特方式确定畸变特性的族是[0，1]上形式为Fγ（u）=uγ的功率分布族，更一般的形式为Fγ，β（u）=β-γuγ在[0，β]上。该族的畸变溢价为^βv1/γh（v）dv，由于β=limγ，因此得到了h和β的唯一性→∞βv1/γh（v）dv，以及梅林变换的反演公式（见Zwillinger 2002[34]）。5通过观察估计失真密度保险公司计算保费的方式通常不会向客户透露。请注意，风险溢价不仅出现在保险业务中，参见inNguyen等人2012年的《保险费价格与资产定价的联系》[16]。风险溢价出现在其他领域，如电力期货市场。

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2022-6-10 18:18:33

未来的合同将确定今天的价格，以便稍后交付能源。从现在到交付期间，存在价格变动的风险。因此，此类合同具有保险性质，定价原则也适用，尽管价格是在交易所市场（如电力期货市场）中找到的。14 Daniela Escobar，Georg Ch.P flug–奇异选项。虽然标准期权是通过复制策略（replicationstrategy）参数定价的，但该参数不适用于其他类型的期权，这些期权具有保险合同的特征。此类合同的定价通常是在场外进行的，但定价原则也没有向交易对手透露信贷衍生品。这些合同还具有保险性质，可以根据保险价格原则进行定价。在本节中，我们假设我们知道M合同的畸变溢价，这些合同都是用相同的畸变密度h定价的。对于每个合同j，我们还有一个样本x（j），x（j）nof大小n从本合同的损失分配中提取，由我方处置。为简单起见，我们假设所有合同的nis都是相同的，但这并不重要。本节的目的是展示如何从保险价格的观察中获得扭曲密度h，这将帮助我们更清楚地了解合同对手的价格形成。请注意，我们的目的不是像Gourieroux和Liu 2006年[9]或Tsukahara 2013年[22]所做的那样，根据经验数据估计扭曲溢价。模拟示例。作为一个例子，我们考虑m种不同的损失分布，均为伽马型。从每个分布中，我们获得一个大小为n的样本。对于每个样本，我们计算AV@R和功率畸变溢价。根据获得的价格和我们的样品，我们的目标是恢复畸变密度h。

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2022-6-10 18:18:37

我们用x（j）[1]，…，表示第j个损失分布中的有序样本，x（j）[n]。畸变溢价，每个样品的畸变密度h=1，m、 isπ（j）=nXi=1x（j）[i]^ini-1nh（v）dv=nXi=1x（j）[一]H在里面- H我-1n. （16）在以下情况下，我们针对以下特定情况开发（16）：AV@R每个样本的功率失真溢价j=1，m。AV@R失真溢价。（7）中定义的hα的价格为π（j）=n（1-α） ·nXi=iax（j）[i]，（17），其中1<iα<n s.t.iα-1n≤ α<iαn。功率失真溢价。由（3）中定义的功率畸变h（s）给出的价格为π（j）=nXi=1x（j）[i]·1.-我-1ns-1.-在里面s, （18）由于篇幅过长15和（5）中定义的h（s）给出的价格加上s，所有权被抑制≥ 1是π（j）=nXi=1x（j）[i]·在里面s-我-1ns. （19）反问题包括根据观测价格估计畸变密度h。回想一下，在我们介绍的常见畸变密度示例中，我们有阶跃函数和连续函数，因此我们将使用阶跃函数和样条函数来估计h。我们对（17）、（18）和（19）中获得的价格进行了估计。5.1使用阶跃函数估计畸变密度畸变密度作为阶跃函数。让我们注意由l个等尺寸步长组成的步长函数，定义为bhl（v）=lXk=1λk·I[l·k-1n，L·kn）（v）=lXk=1λk·I[k-1l，kl）（v），（20），其中L=n/L，λs∈ R表示k=1，l和l表示阶函数空间的维数。我们还施加^bhl（v）dv=lXk=1^klk-1lλkdv=l·lXk=1λk=1，（21）带0≤ λ≤ ··· ≤ λl。通过这种方式，bhlful定义了密度约束以及非递减约束。具有阶跃功能的价格。对于每个样品j=1，m、价格是指bλbπ（j）=nXi=1x（j）[i]·ini-1nbhl（v）dv=lXk=1L·kXi=kx（j）[i]·^ini-1nλkdv=lXk=1λkn·L·kXi=kx（j）[i]，（22）估计。

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2022-6-10 18:18:41

为了估计Bhlw，我们将最小化由畸变函数h获得的价格与由Bhlin（22）获得的价格之间的差异平方。我们将使用（17）、（18）和（19）中计算的给定价格π（j）来测试我们的结果。我们求解，minλmXj=1（^π（j）- π（j））s.t.l·lXi=1λi=10≤ λ≤ ··· ≤ λl.（P）16 Daniela Escobar，Georg Ch.P flug5.2使用三次单调样条构造估计畸变密度。出于我们的目的，我们将定义区间[0，1]上的样条线。任何B样条都是B样条基函数的线性组合。B样条基函数的阶数都是相同的，我们选择在等间距节点tk=k/L，对于k=0，五十、因此，Lsubintervals。此基的函数表示为Bk，带按照递归公式构造。度为0的B样条基函数表示和定义为bk，0（v）=（1 tk≤ v≤ tk+10，否则。作为Bk，B之间的插值得到B，Bk，bare阶的B样条基函数-1和Bk+1，b-1，遵循递归公式bk，b（v）=v- tktk+b- tkBk，b-1（v）+tk+b+1- vtk+b+1- 塔卡+1Bk+1，b-1（v）。在递归中，我们需要定义假结t-k=0，tL+k=1 fork=1，b、在我们的例子中，我们考虑b=2次的样条曲线。如果我们将[0，1]除以L个大小相等的区间，则基有L+2个函数{B-2,2，B-1,2，B0,2，B1,2，基本法-1,2}. （23）请注意，通过平移在第一个b+2=4节上定义的b样条基函数B0,2，可以获得基的所有元素。为了得到递增单调三次样条的基，我们对（23）的函数进行积分，得到一个新的基{S-2，S-1，S，SL公司-1} ，（24）其中Sk（v）='vBk，2（w）dw表示所有k=-2.L-我们对（23）的函数进行缩放，使（24）中的样条曲线是分布函数。

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2022-6-10 18:18:44

注意，由于（24）的构造，没有（24）的线性组合为我们提供一个常量函数。因此，我们的基需要一个元素，比如SL（v）=c，因此{S-2，S-1，S，SL公司-1，SL}，（25）是l=l+3个元素的最终基数，其中l表示其尺寸。作为一个例子，我们说明了L=5时得到的基数。从b0开始，2定义为t=0，t=1/5，t=2/5，t=3/5，精确为0,2（v）=·v[t，t）+（v（t- v） +（t- v）（五）- t））1[t，t）+（t- v） [t，t）我们用B0,2的分布表示，并通过平移S得到其余的单调三次样条。图1所示，维数l=8的三次单调样条的基表示为{S-2，S-1，S，S、 S}，（26），其中Sk（v）=S（v- k=-2.4和S（v）=c。由于长度过长，标题被抑制17图。1：三次递增单调基函数。（26）定义为一个增函数和正函数的样条曲线的正标量的任何线性组合。样条曲线的畸变密度。Letbhl（v）表示单调递增密度，定义为（25）bhl（v）=LXk中l=l+3条样条线的线性组合=-2λk·Sk（v），（27），其中λk≥ 0表示所有k=-2.五十、请注意，通过将标量设置为benon负值，bhlis将增加。然而，bhl必须在[0，1]上积分为1，因此^bhl（v）dv=LXk=-2λk·^Sk（v）dv=LXk=-2λk·nXi=1Aik=LXk公司=-2λk·ak=1，其中ik=^ini-1nSk（v）dv，ak=nXi=1Aik。（28）带样条曲线的价格。对于每个样品j=1，m、 bhlarebπ（j）=nXi=1x（j）[i]·ini的价格-1nbhl（v）dv=nXi=1x（j）[i]·LXk=-2λkAik！。（29）估算。给定按（17）、（18）或（19）计算的价格π（j），以及按（29）计算的每个样本j=1的价格，m、我们求解最小λmXj=1（^π（j）- π（j））s.t.LXk=-2λk·ak=1λk≥ 0，k=-2.五十、（P）18 Daniela Escobar，Georg Ch。

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2022-6-10 18:18:47

（28）中定义了P flu。通过求解（P）和（P）得到的估计如下所示。AV@R失真溢价。我们考虑α=0.9，0.95时hα的特殊情况。我们使用两个不同的阶跃函数（分别对应于l=8、10阶跃）和两个维度为l=8、13的不同样条线基函数来估计每种情况下的畸变密度。步骤功能。l=8，10的估计阶跃畸变BHLF通过求解（P）获得，如下所示。图2：α=0.9、0.95的真实失真密度hα以及l=8步和l=10步的各自阶跃函数估值器。样条曲线。l=8，13的估计样条曲线畸变BHLF通过求解（P）获得，如下所示。图3：α=0.9、0.95的真实畸变密度hα以及l=8和l=13样条基维数的各自样条估计量。功率失真溢价。对于这种情况，我们考虑s=0.8，3时的h（s）。我们使用与之前相同的步骤数和样条函数数来求解（P）和（P）。步骤功能。l=8，10的估计阶跃畸变BHLF通过求解（P）获得，如下所示。标题因过长而被抑制19图。4： s=0.8，3时的真实畸变密度h（s）及其相应的估计阶跃畸变（l=8，10阶）。样条曲线。l=8，13的估计样条曲线畸变BHLF通过求解（P）获得，如下所示。无花果

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2022-6-10 18:18:50

5： s=0.8，3的真实畸变密度h（s）及其相应的估计样条曲线畸变，l=8，13样条曲线基尺寸。下表显示了所有情况下优化问题的最优值。AV@Rα=0.9α=0.95步骤l=8 7.3248 107.1562步骤l=10 0 58.4835样条曲线l=8 0.0322 13.0785样条曲线l=13 0.0154 0.0502功率s=0.8 s=3步骤l=8 0.0012 1.1466e-04步骤l=10 0 5.1772e-05样条曲线l=8 3.6976e-04 0样条曲线l=13 1.3251e-04 0表1：问题（P）和（P）的最佳值theAV@R-失真和功率失真。20 Daniela Escobar，Georg Ch.P flug6歧义在本节中，我们将失真溢价与歧义原则相结合。这种方法允许我们将模型不确定性纳入到Premium中。回想一下，通过将失真密度设置为h=1，我们将仅使用模糊性原则进行定价。如第1节所述，距离可用于定义歧义集。这里，闭合的Wasserstein球将用作歧义集。这些集合将以F为中心，这是一个初始分布，我们称之为基线模型。定义2（Wasserstein-ballswith d下的稳健失真溢价）设F为基线损失分布，h为失真密度。订单r价格扭曲≥ 1是πh、 r，d（F）=sup{πh（G）：G∈ Br，d（F，)}, （P-r）式中，Br，d（F，) = {G:W Dr，d（G，F）≤ }. 我们称之为最坏情况分布，并用F表示*如果F*∈ Br，d（F，) 就是πh、 r，d（F）=πh（F*).备注8注意，对于r≤ rW Dr，d≤ W Dr，d，（30）因此Br，d Br，d。如果我们选择r=P，我们可以说更多关于（P-r）的值和解。我们从有界畸变密度开始，即。

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2022-6-10 18:18:55

对于p=1和q=∞.命题7（R的最坏情况分布特征≥ p=1）让基线分布F有其第一时刻的定义。（i）如果h是无界的，则r=1的（P-r）是无界的。（ii）如果h以supvh（v）=khk为界∞, 那么（P-r）对于所有r都有界≥ 1、如果r=1，（P-r）的最佳值为πh、 1，d（F）=πh（F）+ · khk公司∞.我们解释附加术语 · khk公司∞作为歧义溢价。对于最坏情况分布，如果h（v）=khk∞对于v≥ 1.- η和0<η≤ 1，则最高值为atF*η（x）=F（x）x<F-1(1 -η),1 -ηF-1(1 -η) ≤ x<F-1(1 -η) + /η、 F（x-/η） x个≥ F-1(1 -η) + /η.– 否则，无法获得上确界，但可以用序列F来近似*1/n（x），n∈ N、标题因长度过长而被抑制21Proof（i）鉴于h是递增且无边界的，递增序列kN=h（1-1/n），即limn→∞Kn=∞. 适用于所有n∈ 我们确定了分配，以便-1n（v）=F-1（v）+ · n 1[1-1/n，1]。B1、d（F、，) πh（Gn）=πh（F）+ · n^1-1/nh（v）dv≥ πh（F）+ 千牛。因此，（P-r）对于r=1是无界的。（ii）由于B1，d，证明（P-r）对于r=1有界是足够的 Br、D适用于所有r≥ 1（见备注8）。r=1的任何可容许G都可以写成G-1（v）=F-1（v）+G-1（v），其中G-1（v）dv≤ . 由于F有其第一阶矩定义，因此以下上界是有限的：πh（G）=πh（F）+^G-1（v）h（v）dv≤ πh（F）+ · khk公司∞.

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2022-6-10 18:18:59

（31）分配F*命题中给出的η（x）具有逆（F*η)-1（v）=F-1（v）+η[1-η,1].因此，F*η在B1，d（F，) 和πh（F*η) =^F-1（v）+η[1-η,1]h（v）dv=πh（F）+η^1-ηh（v）dv。如果h（v）=khk∞对于v≥ 1.- η、然后是F*η达到（31）中的上限。否则，F*1/n从下方移动到最大值，因为（F*1/n）-1（v）=F-1（v）+ · n1[1-1/n，1]和πh（F*1/n）=πh（F）+ · n^1-1/nh（v）dv↑ πh（F）+ · khk公司∞.备注9解决方案F*命题7中的η不是唯一的。任何分布▄Fη，使得▄F-1η（v）=F-1（v）+η·k（v）1[1-η、 1]，η·k（v）1[1-η、 1]密度[0，1]达到最大值。作为示例，我们说明了AV@R保险费22 Daniela Escobar，Georg Ch.P flugfig。6：最坏情况分布F*α=0.9的hα的η是通过将F从xα，a长度/η、其中xα=F-1（α）和η=1- α.如果h是无界的，我们可以如下描述（P-r）的解。命题8（R的最坏情况分布特征≥ p>1）让基线分布F有明确的p-时刻。如果h∈ Lq，则（P-r）对r有界≥ p、如果r=p，（p-r）的最佳值为πh、 p，d（F）=πh（F）+ · KHKQ。在这种情况下，术语 · khkqqis被解释为歧义溢价。此外，最坏情况分布F*对于r=P，of（P-r）等于f*-1（v）=F-1（v）+ ·h（v）| | h | | q证明我们证明（p-r）对于r=p有界，并且通过备注8我们对于所有r都有界≥ p

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2022-6-10 18:19:03

注意，对于所有可容许的G，如果r=p，我们有^G-1（v）h（v）dv≤^F-1（v）h（v）dv+^| G-1.- F-1 | h（v）dv≤ πh（F）+^| G-1.- F-1 | pdv1/p | | h | | q≤ πh（F）+ · ||h | | q.F*是可容许的，因为它位于Bp，d（F，)W Dp，d（F，F*) =^p·h（v）| | h | | qqdv公司1/p=,和F*达到上界πh（F*) -πh（F）=^ ·h（v）| | h | | qq/ph（v）dv= ·^h（v）q | | h | | q-1qdv= · ||h | | q。在h上的某些条件下，我们还可以在h不在Lq的情况下，证明r>P>1的（P-r）的无界性，其中q是P的共轭，F的有限矩。标题因篇幅过长而被抑制23提案9（r>p>1的无界性）让基线分布F具有有限的p-时刻，让h/∈ Lq，对于p，q共轭和r>1的r，s共轭。如果存在s<s，则h（v）sdv=∞ 和h∈ Lt，对于所有t<s，则（P-r）对于所有r>P是无界的。证明定义ψη（v）=h（v）s-1[1-η,1]. 自ψη起∈ r>1时的LR（注意r（s- 1） <s），存在0<η<1，使得^ψη（v）rdv=^1-ηh（v）r（s-1） dv<.因此，分布Gη使得G-1η（v）=F-1+ψη（v）在Br，d（F，).其溢价为无界πh（Gη）=πh（F）+ψη（v）h（v）dv=πh（F）+^1-ηh（v）s>∞.备注10如果不考虑指标dwe，而考虑dp（x，y）=xp- yp |作为瓦塞尔斯坦距离的一个基本度量，我们可以定义模糊性原则πh、 1，dp（F）=sup{πh（G）：G∈ B1，dp（F，)}, （P-dp），其中Br，dp（F，) = {G:W Dr，dp（G，F）≤ }. 很容易看出，如果F搭扣-球的矩约束使得所有容许分布也具有p-因此，对于命题3，如果h∈ Lq，则（P-dp）有界。此外，关于此Wasserstein距离的连续性意味着我们在第3.7节结论中的连续性结果在介绍了一般溢价原则后，我们提出了畸变溢价的推广。

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能者818

2022-6-10 18:19:06

此外，我们还详细研究了失真溢价的三种函数关系——溢价函数F 7→ πh（F），即π的性质有一个前提原则，即直接函数h 7→ πh（F），即对畸变密度的依赖性，逆函数πh（F）7→ h、平滑特性对于鲁棒性方面很重要，但众所周知，非常平滑的直接函数会使逆问题变得困难。然而，我们证明了反问题是可识别的，我们给出了一个简单的二次优化问题来根据经验数据进行估计。我们在模拟研究中成功地说明了这一点，实际数据的应用有待进一步研究。我们还将Wasserstein balls的模糊前提确定为模糊集，在某些情况下，模糊集提供了最坏情况分布的特定公式。事实证明，多义性的额外前提24 Daniela Escobar，Georg Ch.P flug取决于畸变函数h，并以乘法方式取决于多义性半径, 但并不是关于损失分布本身。Thusit对于所有合同都是一样的，可以单独计算。最后，通过使用不同的距离作为Wassersteinball的基本度量，因此，对于模糊集，我们可以找到robustpremium总是有界的界限。参考文献1。Artzner，P.和Delbaen，F.和Eber，J.M.和Heath，D.，《一致性风险度量，数学金融》，9，3203–228，威利在线图书馆，（1999）2。Borch，K.，《应用于保险理论的效用概念》，ASTIN Bulletin:TheJournal of The IAA，1，5245–255，剑桥大学出版社（1961）3。Denneberg，D.，《保费计算：为什么标准偏差应该被绝对偏差取代》，ASTIN公告，20，2，181190，（1990）4。

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2022-6-10 18:19:10

Embrechts，P和Kl–uppelberg，C和Mikosch，T，《保险和金融极端事件建模》，施普林格，柏林，海德堡，（1997），5。Furman，E.和Wang，R.和Zitikis，R.，《基尼型风险和可变性度量：基尼缺口、资本配置和重尾风险》，银行与金融杂志，83，70–84，Elsevier，（2017）6。Furman，E.和Zitikis，R.，《加权保费计算原则》，《保险：数学与经济学》，42，1459–465，Elsevier，（2008）7。Gilboa，I.和Schmeidler，D.，《Maxmin期望效用与非唯一先验》，数学经济学杂志，18，2141-153，Elsevier，（1989）8。Goovaerts，M.J.和Kaas，R.和Laeven，R.JA和Tang，Q.，《加性风险度量独立性的共单调图像》，《保险：数学和经济学》，35,3581–594，Elsevier，（2004）9。Gourieroux，C.和Liu，W.，《畸变风险度量的敏感性分析》（2006）10。Greselin，F.和Zitikis，R.，从收入不平等的经典基尼指数到新的Zenga型相对风险度量：建模者视角，计量经济学，6，1，4，多学科数字出版研究所，201811。Huber，P.J.《稳健统计》，国际统计科学百科全书，1248–1251，Springer，（2011）12。Jouini、Ely\'es和Schachermayer、Walter和Touzi、Nizar，《法律不变风险度量具有Fatou属性》，《数理经济学进展》，49–71，Springer（2006）13。Kiesel，R¨udiger and R¨uhlicke，Robin and Stahl，Gerhard and Zheng，Jinsong，TheWasserstein度量和风险管理稳健性，风险，4，3，32，多学科数字出版研究所，（2016）14。Kusuoka，S.，关于法律不变一致风险度量，数理经济学进展，83–95，Springer（2001）15。卢安，C。

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2022-6-10 18:19:13

使用预期效用理论计算保险费，ASTIN公告：IAA杂志，31，1，23–35，剑桥大学出版社（2001）16。Nguyen，H.T.和Pham，U.H.和Tran，H.D.，关于与Choquetintegral风险度量相关的一些索赔，运筹学年鉴，195，1，5–31，Springer，（2012）17。P flug，G.Ch.和Pichler，A.，多级随机优化。，Springer International Publishing，Springer International Publishing Switzerland，第1期，（2014）18页。P flug，G.Ch.和R¨omisch，W.《建模、测量和管理风险》，世界科学（2007）19。P flug，G.Ch.，风险度量的子差异表示，数学规划，108，2-339–354，Springer，（2006）20。Pichler，A.，概率测度的距离和可接受泛函的相应连续性性质，（2010）21。Pichler，A.，版本独立风险度量的自然Banach空间，保险：数学和经济学，53，2405–415，Elsevier（2013）标题因长度过长而被抑制2522。Tsukahara，H.，《扭曲风险度量的估计》，金融计量经济学杂志，12，1213–235，牛津大学出版社，（2013）23。Vallender，S.S.，线上概率分布之间的Wasserstein距离计算，概率理论及其应用，18，4784–786，SIAM（1974）24。Vinel，A.和Krokhmal，P.A.，《确定性等效风险度量》，运筹学年鉴，249，1-2，75–95，Springer，（2017）25。冯·诺依曼，J.，摩根斯特恩，O.，博弈论和经济行为，普林斯顿大学出版社，普林斯顿，新泽西州，美国。，第二（1947）26页。Wang，S.S.《金融和保险风险定价的一类扭曲算子》，《风险与保险杂志》，15–36，JSTOR（2000）27。Wang，S。

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2022-6-10 18:19:16

《按比例风险的保险定价和增加限额费率制定》，《保险数学与经济学》，17，1，43–54，（1995）28。Wang，S.通过转换图层溢价密度计算溢价，ASTIN公告：IAA杂志，71–92，剑桥大学出版社（1996）29。Wang，S.S.和Young，V.R.和Panjer，H.H.，《保险价格的公理化特征》，《保险：数学与经济学》，21，2，173-183，（1997）http://EconPapers.repec.org/RePEc:eee:insuma:v:21:y:1997:i:2:p:173-Wozabal，D.，模糊条件下的优化框架，运营研究年鉴，193，1，21–47，Springer，（2012）31。Wozabal，D.，线性投资组合的稳健凸风险度量：非参数方法，运筹学，62，61302–1315，通知，（2014）32。Yaari，M.E.，《风险下的双重选择理论》，计量经济学：计量经济学学会杂志，95–115，JSTOR（1987）33。Young，V.R.，保费原则。，Wiley StatsRef：《在线统计参考》（2014）34。Zwillinger，D.，CRC标准数学表和公式，查普曼和霍尔/CRC，（2002）附录广义畸变溢价的性质。这里我们考虑广义畸变premiumR（X）=^ν(AV@Rα（X））k（α）dα，（32），其中X∈ 五十、 ν[0,1]上的一个凸单调Lipschitz函数和k一个非负加权函数，满足'（1- α)-1k（α）dα<∞. 很明显，X 7→ R（X）是凸的和单调的，但只有当ν是恒等式的倍数时，R（X）才是正齐次的和/或翻译等变的。要了解这一点，请考虑Y处R的次微分∈ LisZY=^ν（AV@Rα（Y））（1- α)-11lY>F-1Y（α）k（α）dα∈ L∞, （33）其中fy是Y的分布函数。请注意，E（Y·ZY）仅依赖于分布函数FY。经过一些计算，我们发现e（Y·ZY）=^ν（AV@Rα（Y））·AV@Rα（Y）k（α）dα。26 Daniela Escobar，Georg Ch。

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