仿射跳跃扩散：随机稳定性和极限定理

2022-6-11 02:18:07

有效跳跃差异：随机稳定性和极限理论Xiaowei Zhang+Peter W.Glynn*摘要跳跃差异构成了一大类连续时间随机模型，由于其可分析性，在金融和经济学中特别流行。这类过程的参数估计方法需要遍历性，以便建立相关估计量的一致性和渐近正态性。在这篇论文中，我们发展了一个跳跃微分的随机稳定性条件，从而为估计这类过程提供了所需的大样本理论支持。我们通过对跳跃分布施加“强均值回归”条件和温和条件，即对数矩的完整性，来建立此类模型的遍历性。如果跳跃具有正阶的最后时刻，则指数遍历性成立。此外，我们还证明了这类模型的强大数定律和加性f函数的函数中心极限定理。关键词。a ffine跳跃式扩散；遍历性；李亚普诺夫不等式；强大的largenumbers定律；函数中心极限理论（functional central limit theorem1 Introduction a ffine jump Diff-ion，AJD）过程是一类重要的连续时间随机模型，广泛应用于金融和计量经济学。这类模型足以捕捉各种经验属性，如随机波动性和杠杆效应；例如，见Barndor Off-Nielsen和Shephard（2001）。此外，由于其瞬态分布的特征函数为指数形式，因此a ffne结构允许高效计算。然后，可以通过求解广义Riccati类型的普通微分方程（ODE）系统来计算变换；见Du ffee等人（2000年）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 02:18:11

有效计算此类特征函数的能力将导致计算各种期望和概率以及使用“矩量法”校准此类模型的显著易处理性；见S ingleton（2001）、Bates（2006）和Filipovi\'c等人（2013）。+通讯作者。香港城市大学商学院管理科学系，香港。电子邮箱：肖伟。wzhang@cityu.edu.hk*美国斯坦福大学管理科学与工程系，加利福尼亚州94305，AJD过程包括许多重要的特例：Ornstein-Uhlenbeck（OU）过程，也称为Vasicek（1977）中的Vasicek模型；s q uare根扩散过程，也被C ox等人（1985）称为Cox-Ingersoll-Ross（CIR）模型；以及Heston（1993）的Heston随机波动率模型。Du ffe和Kan（1996）、Dai和Singleton（2000）、Du ffe等人（2000）、Barndor fff-Nielsen和Shephard（2001）、Cherid ito等人（2007）和Collin Dufresne等人（2008）对相关扩展进行了讨论。此外，AJD还与a ffne点过程密切相关，这涉及跳跃强度，其对底层AJD过程的状态具有a ffne依赖性。这类点过程包括霍克斯过程（Hawkes 1971），作为一种特殊情况，在金融经济学中被广泛用于捕捉事件到达数据中观察到的自激行为；例如，见Errais et al.（2010）、Ait-Sahalia et al.（2015）和Gao et al.（2018）。如前所述，AJD模型的估计和校准能力对此类模型在金融和经济领域的普及起着关键作用。当然，这类AJD过程的大样本理论支持预测程序依赖于强大数定律（SL LNs）、函数中心极限定理（FCLTs）和相关遍历理论。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 02:18:15

本文的目标是为AJD过程提供此类LLN和FCLT所适用的数学条件的首次全面开发。在第2节陈述了我们的主要结果之后，我们证明了第3节，即在与均值反转和跳跃分布有关的温和条件下，正则AJD是遍历的。然后我们研究了保证指数遍历性的条件。最后，在第4节中，我们为AJDs开发了SLLN和FCLT。就相关文献而言，Lee（2004）等研究了AJD过程的大时间“矩爆炸”及其与隐含波动率渐近的密切联系。Andersen和Piterberg（2007）分析了一类二维随机波动率模型，其中Heston模型是一个特例，以确定给定正序的瞬态时刻变为有限的“爆炸时间”。Glasserman和Kim（2010年）研究了无跳跃的多维函数微分（ADs）的指数矩。它们描述了扩散过程矩母函数的完整性域以及该域在“大时间”限制下的行为。此类矩的非退化极限的存在意味着AD边缘的紧密性，并且与平稳分布的存在密切相关。他们的方法基于确定AD的Riccati方程极限行为的稳定性分析。他们的结果在Jena等人（2012）中进行了扩展，使用了类似的方法。另请参见Keller Ressel（2011），以了解允许交易的二维弹性波动率模型的相关分析。我们的工作与上述论文主要在两个方面有所不同。首先，我们的模型是任意维的一般AJD，因此上述论文中的模型是我们的特例。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

可人4

2022-6-11 02:18:18

特别地，这些论文中的随机稳定性临界条件是我们的特例。例如，在没有跳跃的情况下，我们的稳定性条件降低到inGlasserman和Kim（2010）以及Jen a et al.（2012）；Keller-Ressel（2011）中所谓“方差”过程的稳定性条件是我们的一维特例。其次，他们的工作集中于极限分布的存在，而我们进一步建立了遍历性/指数遍历性结果。关于随机稳定性的更丰富结果源于我们在本文中采用的不同方法。我们的分析依赖于马尔可夫过程的李雅普诺夫准则；例如，参见Meyn和Tweedie（1993年c）。相关的稳定性理论可在Masuda（2004）、Barczy et al.（2014）、Jin et al.（2016）和Jin et al.（2017）中找到，但AJDs在那里研究的都是与状态无关的跳跃强度。2模型公式和主要结果我们将在本文中采用以下符号我们写Rd+：={v∈ Rd:vi≥ 0，i=1，d} 和Rd-:= {v∈ Rd:vi≤ 0，i=1，d} .oA向量v∈ RDI被视为列向量，v表示其转置，| | v | |表示其欧几里德范数。o对于矩阵a，a 0表示A是对称正半定义，A 0表示A是对称正定义。o我们写vI=（vI:i∈ 一）和AIJ=（AIJ:I∈ 一、 j∈ J），其中v∈ Rdis是一个向量∈ Rd×dis a矩阵和I，J {1，…，d}是两个索引集。o我们使用0表示零向量或零矩阵，Id（i）表示除第i个对角线项为1之外的所有零项的矩阵，无论维数如何对于集合K Rd，IK（x）表示与K相关的指示器功能，即IK（x）=1 ifx∈ 否则为K和0。确定一个完全概率空间(Ohm, F，P）配备过滤装置{Ft:t≥ 0}满足通常假设（Protter 2003，第3页）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 02:18:21

假设一个随机过程X=（X（t）：t≥ 0）状态sp ace X 满足以下随机微分方程（SDE）dX（t）=u（X（t））dt+σ（X（t））dW（t）+ZRdzN（dt，dz），X（0）=X∈ 十、（1）式中，W=（W（t）：t≥ 0）是d维维纳过程，N（dt，dz）是[0]上的随机计数测度，∞) ×Rdwith compensator measure∧（X（t-）dtν（dz）；m以上，u：Rd7→ Rd，σ：Rd7→ Rd×d和∧：Rd7→ R是可测函数，ν是Rd上的Borel测度。在续集中，我们将为初始分布η写Px（·）=P（···| X（0）=X）和Pη（·）=RXP（·| X（0）=X）η（dx）；Ex和Eη表示相应的期望算子。如果漂移u（X），扩散矩阵σ（X）σ（X），我们称X为AJD, 跳跃强度∧（x）在x中均为，即u（x）=b+βx，b∈ Rd，β∈ Rd×dσ（x）σ（x）= a+dXi=1xiαi，a∈ Rd×d，αi∈ Rd×d，i=1，d∧（x）=λ+κx、 λ∈ R、 κ∈ Rd.（2）本文的主要动机是AJDs的统计校准。应用于AJDs的大多数校准程序都基于以下一些估计方程。设Ξ表示未知参数的集合。为简单起见，我们假设进程X在时间纪元{k]进行了离散采样 : k=0，1，n} 对一些人来说 > 为了估计Ξ，一个明智的选择一个可处理函数h（x，y；Ξ），其中E[h（x（0），x(); Ξ）]=0，然后求解方程nnxk=1h（X（（k- 1)), X（k);^Ξn）=0，以计算估计值^n。在h的维数大于Ξ的维数的情况下，可以使用广义矩法（Hansen 1982）。h的典型选择包括X（k）条件分布的边缘特征函数) 给定X（（k- 1))如Sin-gleton（2001）所述，或对于某些具有足够平滑度的可处理函数g的g（x），其中Ais是Hansen和Scheinkman（1995）在（10）中定义的运算符。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

2022-6-11 02:18:24

另请参见Duffee和Glynn（2004），以了解h的选择，h也利用了运算符a，但在X的采样时间是确定性时间的随机倍。为了建立^Ξn的相合性和渐近正态性，标准是假定函数h的正harris递归以及某些矩条件；例如，见Hansen（1982）。作为定理1和定理2的一部分，我们给出的SLLN和FCLT为建立估计量的这些渐近性质提供了大量样本理论支持。我们请感兴趣的读者参阅Ait-Sahalia（2007），以广泛调查一般跳跃差异的各种统计校准方法以及统计有效性的相关假设。2.1主要假设以下三个假设在本文中是通用的。假设1。设X=Rm+×Rd-m、对于每个x∈ 十、 SDE（1）具有系数（2），存在唯一的X值强解。假设2。设I={1，…，m}和J={m+1，…，d}对于某些0≤ m级≤ d、（i）a 0，aII=0（ii）αi 0和αi，II=αi，II·Id（i）表示i∈ 我αi=0表示i∈ J（iii）b∈ Rm+×Rd-m；（iv）βIJ=0且βii具有非负的对角元素；（v） λ∈ R+，κI∈ Rm+和κJ=0；（vi）ν是X上的概率分布。假设3。aJ J公司对于i=1，…，0和2bi>αi，ii>0，m、在本文中，我们主要研究具有正则状态空间（假设1）和容许参数（假设2）的AJDs。在跳跃的情况下（即λ=0和κ=0），Filipovi'c和Mayerhofer（2009）证明了具有系数（2）的S DE（1）强解的存在性和唯一性。他们首先证明弱解的存在性，然后证明解的路径唯一性，最后应用山田-渡边定理（Karatzas和Shreve 1991，推论5.3.23）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 02:18:27

Dawson和Li（2006）采用了同样的方法，从一个或两个维度证明了AJDs的情况。显然，在假设2下，扩散矩阵和跳跃强度都与xJ无关，即σ（x）σ（x）= a+Pmi=1xiαi，跳跃强度∧（x）=λ+Pmi=1xiκi。在金融应用中，前m个分量（x，…，Xm）通常用于建模波动过程，它们被称为波动因子，而另一个分量（d- m）组件被称为从属因子。我们在这里研究的AJD跳跃具有有限的活动性，这是假设ν为概率分布而非σ-有限度量的结果。然而，这一限制主要是为了数学上的简单性；对于不确定活动，也可以证明主要结果，但需要进行更深入的分析。人们可能会认识到，具有有限活动跳跃的第（1）款正是杜菲等人（2000）提出的模型，该模型涵盖了大量的金融和经济应用。对于一维AJD，如CIR模型，假设3中的条件2bi>αi，ii>0称为Feller条件，它保证过程保持正。另一方面，正如Meyn和Tweedie（1993b，c）所详述的，为了将亚普诺夫准则应用于连续时间马尔可夫过程，通常需要不可约性。例如，如果Meyn和Tweedie（1993b）中的某些骨架链是不可约的，则正Harris-Recurrenceis-sh-own等价于遍历性。假设3体现了这一目的（命题1）。具体来说，它被用来证明X允许正跃迁密度。请注意，菲利波维奇等人（2013）证实了AJD存在过渡密度，但他们的证明要求i=1时bi>αi，ii>0。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 02:18:30

，m，w，这比我们的假设更重要3.2.2主要结果在给出本文的主要结果之前，让我们回顾一下关于马尔可夫过程随机稳定性的几个概念。定义1。状态空间为X的马尔可夫过程X称为Harris递归过程，如果X上存在一个非平凡的σ-有限测度，使得r∞IK（X（t））dt=∞, Px-a.s.，适用于所有x∈ X和任意可测集K，其中ν（K）>0。定义2。Harris递归马尔可夫过程X称为正Harris递归，如果它加入了有限不变测度π，那么它可以归一化为概率测度，称为X的静态分布，测度π必须是唯一的。定义3。对于状态空间为X的马尔可夫过程X，集合K 如果存在M<∞ 苏克那个ExR∞IK（X（t））dt≤ M代表所有x∈ 十、此外，如果X是具有均匀瞬变集的X的可数覆盖，则称X为瞬变。定义4。对于任何可测量函数f:X 7→ [1, ∞) 以及X上的任何有符号测量值，用| |Д| | f定义的f-标准值：=sup | h|≤f |Д（h）|，其中Д（h）：=RXh（x）Д（dx）。Wh en f≡ 1，| |···········································。还需要以下概念来说明AJDs的随机稳定性条件。定义5。如果一个方阵的所有特征值都有负实部，则称其为稳定矩阵。以下符号将有助于在续集中进行演示。设Z表示分布为ν的Rd valuedrandom变量。对于q>0，设置fq（x）：=1+| | x | | q。对于任何可测量的函数f：x 7→ [1, ∞) 和h:X 7→ R、设置| | h | | f：=supx∈X{| h（X）|/f（X）}。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

mingdashike22

2022-6-11 02:18:33

设D[0，1]表示右连续函数x的空间：[0，1]7→ 具有左极限的R，赋以Skorokhod拓扑。除了A ffne结构之外，AJDs相对于其他j ump Diffusion模型的一个显著特征是其跳跃强度依赖于状态。这一特性赋予AJDs更大的财务建模灵活性，但也给分析过程动态带来了技术困难。事实上，当我们在第3节中建立李雅普诺夫不等式时，需要根据跳跃强度是否依赖于状态进行不同的理论处理。因此，我们在两个独立的定理中给出了我们的主要结果。定理1仅涵盖具有状态无关跳跃强度（κ=0）的AJD，而定理2允许具有状态相关JUMP强度。定理1。如果假设1-3成立，κ=0，β是一个稳定的矩阵，E log（1+| | Z |）<∞, 那么：（i）X是正的Harris回归和limt→∞||Px（X（t）∈ ·) - π（·）| |=0，x∈ 十、（3）其中π是X的平稳分布。此外，如果E | | Z | p<∞ 对于某些p>0，则：（ii）对于每个q∈ （0，p），存在正的有限常数Cq和ρqsuch | | Px（X（t）∈ ·) - π（·）| | fq≤ cqfq（x）e-ρqt，t≥ 0，x∈ 十、（4）（iii）对于任何可测量函数h:X 7→ R带| | h | | fp<∞,二甲苯限制→∞tZth（X（s））ds=π（h）= 1，x∈ 十、（5）andPxlimn→∞nnXi=1h（X（i)) = π（h）！=1，x∈ 十、（6）（iv）对于任何可测函数h:X 7→ R带| | hq | | fp<∞ 对于某些q>2的情况，存在非负的有限常数σ和γ，例如n1/2nZn·h（X（s））ds- π（h）=> σhW（·），（7）和n1/2nn个·Xi=1h（X（i)) - π（h）=> γhW（·），（8）as n→ ∞ 对于所有x，Px在D[0，1]中较弱∈ 十、其中W是一维维纳过程。定理2。如果假设1-3成立，β+E（Z）κ是稳定矩阵，且E | | Z | |<∞, 然后：（i）X是哈里斯回归正，（3）成立。此外，如果E | | Z | | p<∞ 对于一些p≥ 1.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 02:18:36

然后：（ii）对于每个q∈ [1，p]，存在（4）成立的正有限常数Cq和ρqsuch。（iii）对于任何可测量函数h:X 7→ R带| | h | | fp<∞, （5）和（6）保持。（iv）对于任何可测量函数h:X 7→ R带| | hq | | fp<∞ 对于某些q>2的情况，存在非负的有限常数σhandγhs，如（7）和（8）保持为n→ ∞ 对于所有x，Px在D[0，1]中较弱∈ 十、我们注意到，如果X具有平稳分布π且收敛（3）成立，则称其为遍历，而如果| | Px（X（t））成立，则称其为f指数遍历∈ ·) - π（·）| | f≤ c（x）e-ρt，t≥ 0，x∈ 十、对于某些函数f:X 7→ [1, ∞), c:X 7→ R+和一些正有限常数ρ。显然，在定理1（ii）或定理2（ii）的假设下，X是指数遍历的。建立AJDs阳性Harris复发的关键条件是β+E（Z）κ是一个稳定的矩阵。如果我们按照惯例∞ = 0，当κ=0时，该条件表示β是一个稳定的矩阵，而与E | | Z | |的完整性无关。β是稳定矩阵的条件在文献中有典型的假设，包括Sato和Yamazato（1984）、Glasserman和Kim（2010）以及Jena等人（2012），以便该过程是均值回复且具有平稳分布。然而，这三篇文章中的第一篇研究的是一种特殊的列维驱动的SDE，而另外两篇研究广告，因此其中非e篇文章与AJD一样允许状态相关的跳跃强度。可以看出，β+E（Z）κ的稳定性意味着β；参见Zhang等人（2015）的引理3。因此，我们的条件更强，我们称之为强均值回归条件。注意，E（Z）是平均跳跃大小，当AJD值较大时，κ在很大程度上决定了跳跃强度的大小。在某种程度上，E（Z）κ捕捉跳跃的影响。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 02:18:39

因此，通过施加β+E（Z）κ的稳定性, 我们基本上假设平均反转是过程动力学中的一个主导因素，比跳跃更重要。另一方面，这种情况在技术上是温和的。事实上，我们在第3.3节中表明，如果需要AJD的哈里斯复发率为正，则通常不能解除AJD。3随机稳定性在这一节中，我们应用李亚普诺夫思想来解决X的随机稳定性。这种方法的关键步骤是明智地构造合适的李亚普诺夫函数；参见Meyn和Tweedie（1993c）对这种方法的广泛处理。然而，我们没有直接使用那里的结果，因为他们的理论使用了一个域的定义，坚持有趣的诱导鞅，而我们使用的是局部鞅。考虑一个二次微分函数g:X 7→ R、根据It^o公式，g（X（t））=g（X（0））+Ztg（X（s-）u（X（s-）+dXi，j=1g（X（s-）xixj（σ（X（s-）σ（X（s-）)ij公司ds+Ztg（X（s-）σ（X（s-）d W（s）+ZtZX（g（X（s-）+z）- g（X（s-））N（ds，dz）。（9）通过在二次可微适当可积函数G上定义算子G、L和A，通过G（x）：=g（x）·（b+βx）+dXi，j=1g（x）xixjai，j+dXk=1αk，ijxk！，L g（x）：=（λ+κx） ZX（g（x+z）- g（x））ν（dz），A g（x）：=g g（x）+L g（x），（10）我们可以重写（9）asg（x（t））=g（x（0））+ZtA g（x（s-）ds+s（t）+s（t），s（t）：=Ztg（X（s-）σ（X（s-）d W（s），s（t）：=ZtZX（g（X（s-）+z）- g（X（s-）~N（ds，dz），（11），其中~N（ds，dz）=N（ds，dz）-∧（X（s-）dsν（dz）是N（ds，dz）的补偿随机测度。我们引入了一些符号，以便于构造所需的李雅普诺夫不等式。首先，对于d×d矩阵H 0，定义| | v | | H：=√v高压。那么，| |·| | | | | | | | | | | | | | | | | | | |||≤ ||v | | H≤\'\'δ| | v | |，v∈ Rd，（12）其中（δi:i=1，…，d）是H的特征值，\'δ=min{δi:i=1，…，d}和\'δ=max{δi:i=1，…，d}。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

可人4

2022-6-11 02:18:42

然后，我们可以确定以下诱导矩阵规范（见Horn和Johnson（2012，第340页））。对于矩阵a∈ Rd×d，d e fine | | | | A | | |：=支持||Av | | | | v | |：0 6=v∈ 研发部和| | | A | | | H：=sup||Av | | H | | v | H:0 6=v∈ 研发部.3.1每个患者的哈里斯复发率和遍历性均为阳性 > 0，设X:= （X（n) : n=0，1，…）表示-X的框架。命题1。假设1-3，X对于任何 > 0，其中ν是X上的lebesgue度量值。P位置1的证明依赖于以下结果，这本身就很重要。它将跳跃扩散过程的不可约性归结为相关扩散过程的不可约性。引理1。假设X满足SDE（1）。设▄X=（▄X（t）：t≥ 0）满足度dX（t）=u（X（t））dt+σ（X（t））dW（t），~X（0）=X∈ 十、（13）其中W是d维维纳过程i n（1）。如果▄X（resp.，X）是Д-不可约的，那么X（对应X）是Д-不可约的。证据考虑一个可测量的K X，并让τ表示X的第一个ju mp时间。然后Px（X（t）=X（t））=1表示t<τ*. 因此，对于任何大于0的t，Px（X（t）∈ K、 τ*> t） =排气I（￠X（t）∈ K、 τ*> t） | X（s），0≤ s≤ t型在这里，我们不限制其系数u、σ、∧遵循表（2）。=参展商（X（t）∈ K） Pτ*> t | X（s），0≤ s≤ t型i=附件（￠X（t）∈ K） e类-Rt∧（￠X（s））dsi。因此，Px（X（t）∈ K、 τ*> t） =0当且仅当Px（≈X（t）∈ K） =0表示任何t>0。那么就可以很清楚地看到▄X的ν-不可约性（resp.，▄X）表示X的（分别为X）。命题1的证明。证明中的关键是通过菲利波维奇（Filipovi\'c）和梅尔霍夫（Mayerhofer）（2009）中使用的线性变换将AJD转换为一种规范表示，其中矩阵涉及特殊形式的数据。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 02:18:45

具体而言，请注意，如果X满足系数（2）的SDE（1），则对于任何非奇异矩阵A∈ Rd×d，线性变换Y=AX满意度dy（t）=（Ab+AβA-1Y（t））dt+AσA.-1年（吨）dW（t）+ZRdAzN（dt，dz），Y（0）=Ax，（14），其中N（dt，dz）具有补偿器测量∧（A-1Y（t-）dtν（dz）。因此，d裂谷、d扩散矩阵和SDE（14）的强度为Ab+AβA-1y，AσA.-1年σA.-1年A., 和λ+κA.-因此，（1）的强解的存在性和唯一性相对于非奇异线性变换是可变的。由于所有i=1，…，αi，ii>0，m、根据Filipovi\'c和Mayerhofer（2009）的引理7.1，存在非奇异矩阵a∈ Rd×D映射Rm+×Rd-mto自身，并将变换后的扩散矩阵呈现为以下方块对角线形式σA.-1年σA.-1年A.=diag（α1,11y，…，αm，mmym）00 h+Pmi=1yiηi！对于一些（d-m） ×（d-m）矩阵h 0和ηi 0，i=1，m、特别是，A的形式为=ImD Id-m！，对于一些（d-m） ×m矩阵D，其中i和Id-mare身份矩阵。此外，很容易验证Ab，AβA-1和κA.-1在lieuof b、β和κ中满足假设2和假设3。因此，我们可以假设（1）的扩散矩阵的形式为σ（x）σ（x），而不失一般性=diag（α1,11x，…，αm，mmxm）00 aJ J+Pmi=1xiαi，J J！。（15）因此，XI（t）满足XI（t）=（bI+βIIXI（t））dt+diag(√α1,11x，√αm，mmxm）dWI（t），~XI（0）=XI∈ Rm+。假设2bi>αi，ii，i=1，m、我们可以直接验证Duffee和Kan（1996）第388页的Theorem条件，得出0∈ Rm+在有限时间内无法实现，即对于所有t>0且i=1，…，Xi（t）>0，m、如果▄Xi（0）>0，i=1，m、现在我们考虑一个双射变换▄Y：=f（▄X），其中f:X 7→ X定义如下：fi（X）=2√XI对于i=1。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-6-11 02:18:48

，m和fi（x）=xi，对于x=m+1，d、然后，fi（x）xj公司=x个-1/2i，如果i=j，i=1，m、 1，如果i=j，i=m+1，d、 0，否则，以及fi（x）xk公司xl码=(-x个-3/2i，如果i=k=l，i=1，m、 0，否则。由此得出，根据It^o的公式，dfi（￠X（t））=ζi（￠X（t））dt+fi（￠X（t））σ（≈X（t））dW（t），对于i=1，d、式中ζi（x）=fi（x）xiui（x）+fi（x）xi（σ（x）σ（x）)二。注意，我们在xi处显示了th>0，i=1，m代表x∈ 十、所以函数ζ（X）对于所有X都是很好的定义∈ 十、让f-1指定f的逆映射，即f-1i（y）=yi，对于i=1，m和F-1i（y）=yi，对于i=m+1，d、那么，d▄Y（t）=ζ（f-1（▄Y（t）））dt+f（f-1（￠Y（t）））σ（f-1（￠Y（t）））dW（t），（16），其中f： =(金融机构xj）1≤i、 j≤dis f的雅可比矩阵。简单的计算表明，（16）的扩散矩阵为f（f-1（y））σ（f-1（y））σ（f-1（y））f（f-1（y））=diag（α1,11…，αm，mm）00 aJ J+Pmi=1yiαi，J J！。因此，根据假设αi，ii>0，i=1，m和aJ J 0，则（16）的扩散矩阵为一致椭圆。众所周知，这种分化过程承认正概率密度；例如，参见Davies（1989）的定理3.3.4。由于映射f是双射的，我们得出结论，X也允许正的跃迁密度，所以X是Д-不可约的。这就完成了引理1的证明。提案2。在假设1和2下，X是一个随机连续的a ffne过程。证据对于T>0和任何纯虚向量u∈ iRd，定义M（t）：=eφ（t-t、 u）+ψ（t）-t、 u）X（t），其中φ：R+×iRd7→ C和ψ（t，u）：R+×iRd7→ Cd是与t不同的函数。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

可人4

2022-6-11 02:18:51

应用It^o公式la，M（t）=M（0）+ZtM（s-）ψ（t- s、 u）σ（X（s））dW（s）+ZtM（s-）ZXeψ（T-s、 u）z- 1.N（ds，dz）+ZtM（s-）[-tφ（t- s、 u）- tψ（t- s、 u）X（s）+ψ（T- s、 u）u（X（s-）]ds+ZtM（s-）ψ（T- s、 u）σ（X（s-）σ（X（s-）ψ（T- s、 u）ds=M（0）+ZtM（s-）ψ（T- s、 u）σ（X（s））dW（s）+ZtM（s-）ZXeψ（T-s、 u）z- 1.N（ds，dz）+ZtM（s-）-tφ（t- s、 u）+ψ（T）-s、 u）b+ψ（T- s、 u）aψ（T- s、 u）ds+ZtM（s-）- tψ（t- s、 u）X（s-+ψ（T- s、 u）βX（s-）+dXi=1ψ（s，u）αiψ（s，u）Xi（s-）ds+ZtM（s-）（λ+κX（s-）ZXeψ（T-s、 u）z- 1.ν（dz）ds。因此，如果φ和ψ满足以下广义Riccati方程tφ（t，u）=ψ（t，u）b+ψ（t，u）aψ（t，u）+λZXeψ（t，u）z-1.ν（dz），tψi（t，u）=ψ（t，u）βi+dXi=1ψ（t，u）αiψ（t，u）+κiZXeψ（t，u）z-1.ν（dz），i=1，d、 φ（0，u）=0，ψ（0，u）=u，其中β是β的第i列，然后M（t）=M（0）+ZtM（s-）ψ（t- s、 u）σ（X（s））dW（s）+ZtM（s-）ZXeψ（T-s、 u）z- 1.~N（ds，dz）。（17）根据Duffe et al.（2003）的命题6.1和命题6.4，在假设2下，前面的广义Riccati方程具有唯一解（φ（·，u），ψ（·，u））：R+7→C-×Cm-×iRd-mfor所有u∈ 厘米-×iRd-m、其中Cm-= {z∈ Cm | Re（z）∈ Rm-}. 因此，φ（t，u）+ψ（t，u）x个∈ C-, x个∈ 十、（18）根据假设1。此外，Du ffe et al.（2003）的命题7.4断言，对于所有t，s，th在φ（t+s，u）=φ（t，u）+φ（s，ψ（t，u））ψ（t+s，u）=ψ（t，ψ（s，u））（19）处∈ R+和u∈ 厘米-×iRd-m、根据（17）和（18），（m（t）：0≤ t型≤ T）是局部m artin大风，带有| m（T）|≤ 1表示所有t，因此是鞅。SoEx[欧盟X（T）]=Ex[M（T）]=Ex[M（0）]=eφ（T，u）+ψ（T，u）x、（20）即特征函数Ex[euX（t）]是X中的指数。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 02:18:54

此外，通过（19）和（20）ChapmanKolmogorov方程px（X（t+s））很容易验证y∈ ·) =ZXPx（X（t）∈ dy）Py（X（s）∈ ·),这意味着X是一个时间齐次马尔可夫过程，因此是（20）的一个有效过程。最后，Ex[欧盟X（t）]在t中由（20）明显连续，表明X是随机连续的。定理1（i）的证明。我们首先证明了X是哈里斯回归的。Meyn和Tweedie（1993a）的定理1.1断言，如果（i）X是Borel-right过程（Getoor 1975，p.55），并且（ii）X存在一个小集K，那么Px（τK<∞) = 1代表所有x∈ 十、 Wher eτK=inf{t≥ 0:X（t）∈ K} 。对于条件（i），我们注意到，根据Keller-Ressel et al.（2011）的定理5.1、Du ffe et al.（2003）的命题8.2和命题2，X是一个Feller过程。X的Feller性质平凡地暗示X是一个Borel-right过程。对于条件（ii），fix为任意 > 0并注意X是Feller链，因为X是Feller进程。根据Meyn和Tweedie（1992）的定理3.4，X的Feller性质命题1立即暗示所有紧集对于X都是小的, 因此，对于X.I，在后半部分中，我们将证明存在一个紧集K，使得Px（τK<∞) = 1代表所有x∈ 十、为此，我们首先建立以下g李雅普诺夫不等式A g（X）≤ -c+cIK（x），x∈ 十、（21）对于一些紧集K和一些正有限常数c，其中对于一些d×d矩阵H，g（X）=log（1+| | X | | H）由于β是一个稳定的矩阵，因此存在一个d×d矩阵H 0，其中- （Hβ+βH） 0;见Berman和Plemmons（1994年，定理2.3（G），第134页）。计算g（x）的梯度和Hessian很简单，如下所示g（x）=2Hx1+| | x | |手g（x）=2（1+| | x | H）H- 4HxxH（1+| | x | H）。因此，G G（x）=1+| | x | Hx个H（b+βx）+dXi，j=1aij+dXk=1αk，ijxk！H-2HxxH1+| | x | | H！ij公司. （22）我们注意到，对于任何i，j=1。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 02:18:57

，d，|（HxxH） ij |=|（Hx）i（Hx）j |≤ ||Hx公司||≤ |||H | | | | | x||≤δ-1 | | | | | | | | | H | | | x | | H，其中最后一个不等式来自（12）。因此，|（HxxH） ij | 1+| | x | | H=O（1），（23）as | | x | | H→ ∞ . 因此，我们可以重写（22）asG g（x）=2xHβx+O（| | x | H）1+| | x | H=2xHβx | | x | | H（1+| | x | H）+o（1），as | | x | H→ ∞ . 此外，根据（12）和以下事实：-（Hβ+βH） 0,-2倍Hβx=-x个（Hβ+βH） x个≥\'γ| | x||≥γδ-1 | | x | | H，其中γ>0是-（Hβ+βH）。因此，lim sup | | x | | H→∞G G（x）=lim sup | | x | | H→∞2倍Hβx | | x | | H（1+| | | x | H）≤ -γδ-1.（24）另一方面，很容易看出1+（| | x | | H+| z | H）≤ 2（1+| | x | H）（1+| | z | H）对于所有x，z∈ 因此，log1+| | x+z | H1+| | x | H！≤ 对数1+（| | x | H+| z | H）1+| x | H！≤ 对数（2（1+| | z | H））。（25）很容易看出log（2（1+| | z | H））在X上是可积的，因为E log（1+| | z | H）<∞ 当且仅当ifE日志（1+| | Z |）<∞ 根据（12）。然后，我们将（25）的左侧移动到右侧，并应用Fatou引理获得lim sup | | x | | H→∞ZXlog1+| | x+z | | H1+| | x | H！ν（dz）≤ZXlim sup | | x | | H→∞log1+| | x+z | | H1+| | x | H！ν（dz）=0。k=0时，lim sup | | x | | H→∞L g（x）=lim sup | | x | | H→∞λZXlog1+（| x | H+| z | H）1+| x | H！ν（dz）≤ 0。（26）然后，我们从（24）和（26）得出结论，存在k>0，其中g（x）=g（x）+L g（x）≤ -γδ-1，对于所有x∈ 当| | X | | H>k时，很容易通过设置k={X来检查不等式（21）是否成立∈ X：| | X | | H≤ k} ，c=\'γ\'？δ-1/2，且c=最大值{1，supx∈K（A，g（x）+c）}。我们现在准备显示Px（τK<∞) = 1代表所有x∈ 十、定义Tn=inf{t≥ 0：| X（t）|>n}。它由（11）和（21）得出，即g（X（t∧ Tn））≤ g（X（0））+Zt∧田纳西州[-c+cIK（X（s-）]ds+s（t∧ Tn）+S（t∧ Tn），n≥ 1.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 02:19:00

（27）注意到| X（t-）|≤ n有界于t∈ [0，Tn），（Si（t∧ Tn）：t≥ 0）是鞅，i=1，2。然后根据可选抽样定理（参见，例如，Karatzas和Shreve（1991，p.19））Ex[g（X（t∧ τK∧ Tn））]≤ g（x）- cEx（t∧ τK∧ Tn），x∈ X\\K，n≥ 因此，cEx（t∧ τK∧ Tn）≤ g（x），x∈ X\\K，n≥ 1，自g（x）起≥ 0表示所有x∈ X.注意X是非爆炸性的，所以→ ∞ 作为n→ ∞ Px-a.s.适用于allx∈ 十、因此，通过发送→ ∞ 然后s结束t→ ∞, 我们从m-on-otoneconvergence定理得出结论，cEx（τK）≤ g（x）表示x∈ 因此，Px（τK<∞) = 1代表所有x∈ 十、因此，根据Meyn和Tweedie（1993a）的定理1.1，X是Harris递归的。Meyn和Tweedie（1993a）的定理1.2指出，给定Harris递推，如果s upx，X是正Harris递推∈KEx（τK()) < ∞. 我们现在表明事实确实如此。对于任何 > 0，设τK():= + Θo τKbe之后K上的第一次击中时间, 其中Θ是轮班操作员；见夏普（1988年，第8页）。然后，Ex（τK() - ) =ZXPx（X() ∈ dy）Ey（τK）≤ZXc公司-1g（y）Px（X() ∈ dy）=c-1Exg（X()),（28）对于所有x∈ 十、此外，从（27）可知，exg（X( ∧ Tn））≤ g（x）+（c- c） Ex公司( ∧ Tn），x∈ 十、 n个≥ 然后，利用Fatou引理和单调收敛定理，Exg（X()) ≤ lim信息→∞Exg（X( ∧ Tn））≤ g（x）+（c- c）, x个∈ 十、（29）组合（28）和（29）得到thatEx（τK()) ≤ c-1（g（x）+d），x∈ 十、因此，supx∈KEx（τK()) < ∞, 这意味着，根据Meyn和Tweedie（1993a）的定理1.2，X是正Harris递归的。最后，Meyn和Tweedie（1993b）的定理6.1断言，如果X是Д-不可约的，这在命题1中是正确的，那么一个正Harris递归过程是遍历的，即（3）成立。定理2（i）的证明。在证明定理1（i）之后，有必要证明李雅普诺夫不等式（21）在定理2（i）的假设下成立。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 02:19:03

事实上，我们证明了以下strongerresultA g（x）≤ -cg（x）+cIK（x），x∈ 十、（30）对于一些紧集K和一些正有限常数c，其中对于一些d×d矩阵H，g（X）=（1+| | X | H）p/2 0和一些常数p≥ 1、自E | | Z | |<∞, 存在p≥ 1其中E | | Z | | p<∞. 自β+E（Z）κ是稳定的，存在一个矩阵H 0，以便- [H（β+E（Z）κ) + （β+E（Z）κ)H] 0。（31）计算g（·）的梯度和Hessian很简单，如下所示g（x）=pg（x）1+| | x | HHx和g（x）=pg（x）1+| | x | H“H+（p- 2） Hxx公司H1+| | x | | H#。然后从（23）得出，作为| | x | | H→ ∞ ,G G（x）=pg（x）1+| | x | Hx个H（b+βx）+dXi，j=1（ai，j+dXk=1αk，ijxk）H+（p- 2） Hxx公司H1+| | x | | H！i、 j= pg（x）xHβx | | x | | H+o（1）！。（32）为了分析L g（x）的渐近行为，我们应用中值定理，即g（x+z）- g（x）=g（ξ）z=p（1+| |ξ| H）p/2-1ξHz，其中ξ=x+uz，对于某些u∈ (0, 1). 注意| |ξ| | H介于| | x | | Hand | x+z | | Handξ之间Hzκx之间的XLIEHzκx和（x+z）Hzκx、然后是κx（g（x+z）- g（x））g（x）=p·（1+| |ξ| H）p/2-1（1+| | x | H）p/2·ξHzκx个~ p·xHzκx | | x | | H（33）为| | x | | H→ ∞ 对于所有z∈ Rd.此外，| g（x+z）- g（x）|=p（1+| |ξ| H）p/2-1 | zHξ|≤ p（1+| |ξ| H）p/2-1 | | z | | | | Hξ||≤ p'δ-1（1+| |ξ| H）p/2-1 | | z | | H | | | | | | H | | |ξ| H≤ p'δ-1（1+| |ξ| H）p/2-1/2 | | z | | H | | H | | | | H，（34），其中第二个不等式在（12）的s之后。所以κx（g（x+z）- g（x））g（x）≤|κ| | x | p'δ-1（1+| |ξ| H）p/2-1/2 | | z | | H | | | | H（1+| | x | H）p/2≤ p'δ-2 | | | | | | | | H | | |κ| H | | z | | H（1+| |ξ| H）p/2-1/2（1+| | x | | H）p/2-1/2，其中第二个不等式在（12）的s之后。注意1+| |ξ| H=1+| | x+uz | H≤ 2（1+| | x | H）（1+| | uz | H）≤ 2（1+| | x | H）（1+| | z | H），soZXκx（g（x+z）- g（x））g（x）ν（dz）≤ 2p/2-1/2p？δ-2 | | | | | | | | H | | |κ| | HZX（1+| | z | | H）p/2ν（dz）<∞.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-6-11 02:19:06

（35）根据（33）和（35），支配收敛定理规定κxZX（g（x+z）- g（x））ν（dz）~ pg（x）·ZxHzκx | | x | | Hν（dz）=pg（x）·xH E（Z）κx | | x | | H，和thusL g（x）=（λ+κx） ZX（g（x+z）- g（x））ν（dz）~ pg（x）xH E（Z）κx | | x | | H，（36）as | | x | | H→ ∞ . 组合（32）和（36），A g（x）=g g（x）+L g（x）=pg（x）xH（β+E（Z）κ)x | | x | | H+o（1）！这里，我们使用符号f（x）~ g（x）如果lim | | x | | H→∞f（x）g（x）=1。同于| | x | | H→ ∞ . 根据（31），矩阵H的定义，-x个H（β+E（Z）κ)x=-x个[H（β+E（Z）κ) + （β+E（Z）κ)H] x个≥\'γ| | x||≥γδ-1 | | x | | H，其中γ>0是-[H（β+E（Z）κ) + （β+E（Z）κ)H] 。因此，存在k>0，其中g（x）≤ -p‘γ’δ-1g（x）用于所有x∈ X | | X | | H>k。因此，（30）通过设置k={X保持∈ X：| | X | | H≤ k} ，c=p‘γ‘δ-1/4，且c=最大值{1，supx∈K（A g（x）+cg（x））}。3.2定理1（ii）的指数遍历性。注意，如果E | | Z | | p<∞ 对于某些p>0，则E | | Z | q<∞ 对于所有q∈ （0，p）。我们假设p∈ （0，1），因为p≥ 定理2（ii）涵盖了1，这将在后面得到证明。由于β是稳定的，因此存在一个矩阵H 0，以便-（Hβ+βH） 0.我们证明gq（x）=（1+| | x | H）q/2满足了一些紧集K和一些正常数c，c的不等式（30）。注意gq（x+z）- gq（x）≤ （1+| | x | | H+| | z | H）q/2- （1+| | x | H）q/2=qξq/2-1 | | z | | qH，其中等式来自中值定理和ξ∈ （1+| | x | H，1+| x | H+| z | H）。因为ξ>1和p∈ （0，1），我们有gq（x+z）- gq（x）≤q | | z | | qH。同样，它可以是n thatgq（x）- gq（x+z）≤q | | z | | qH。因此，| gq（x+z）- gq（x）|≤q | | z | | q手ZXgq（x+z）- gq（x）ν（dz）≤ZX | gq（x+z）- gq（x）|ν（dz）≤qE | | Z | | qH<∞,因此，当κ=0时，L gq（x）=λZX（gq（x+z）- gq（x））ν（dz）=O（1），as | | x | | H→ ∞ . 此外，将g（32）应用于gq（x），A gq（x）=g gq（x）+L gq（x）=qgq（x）xHβx | | x | | H+o（1）！，同于| | x | | H→ ∞ .

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 02:19:09

通过定义矩阵H，-x个Hβx=-x个（Hβ+βH） x个≥\'γ| | x||≥γδ-1 | | x | | H，其中γ>0是-（Hβ+βH）。因此，存在k>0，使得g（x）≤ -p‘γ’δ-1g（x）用于所有x∈ X的| | X | | H>k。因此，gq（X）≤ -cgq（x）+cIK（x），x∈ 十、（37）其中K={X∈ X：| | X | | H≤ k} ，c=p‘γ‘δ-1/4，且c=最大值{1，supx∈K（agx）+cg（x））}。我们将It^o公式应用于ectgq（X（t））。特别地，通过（11），ectgq（X（t））=gq（X（0））+Ztecs[cgq（X（s-）+A gq（X（s-）]ds+Ztecsgq（X（s-）σ（X（s））dW（s）+ZtecsZX（gq（X（s-）+z）- gq（X（s-））~N（ds，dz）。显然，上面的两个随机积分都是时间Tn的鞅，其中Tn={t≥0：| X（t）|>n}。它遵循（37）和可选采样定理，即ECTEXGQ（X（t∧ Tn））≤ gq（x）+ExZt∧Tnecs·cIK（X（s））ds≤ gq（x）+cc-1执行∧我们现在应用Fatou引理和单调收敛定理得出结论：ECTEXGQ（X（t））≤ gq（x）+cc-1·lim infn→∞Exet公司∧Tn=gq（x）+cc-1效果。（38）然后，我们可以利用Meyn和Tweedie（1993c）定理6.1证明中使用的论点得出结论，由于（38），存在正的有限常数Dqa和ρqsuch | Px（X（t）∈ ·) - π（·）| | gq+1≤ dq（gq（x）+1）e-ρqt，t≥ 0，x∈ 十、在（12）中，存在正常数，并且d≤fq（x）gq（x）+1≤ D对于所有x∈ 十、因此，| | Px（X（t））∈ ·) - π（·）| | fq≤ cqfq（x）e-ρqt，t≥ 0，x∈ 十、其中cq=dqd/d。定理2（ii）的证明。在定理1（ii）的证明之后，证明（37）在当前假设下成立。请注意，E | | Z | | q<∞ 对于所有q∈ [1，p]E | | Z | | p<∞. 因此，我们可以将Lyapunov不等式（30）应用于gq（x），从而得到（37）。3.3关于强均值回归条件的注记我们建立X的正Harris复发的关键条件是强均值回归条件，即β+e（Z）κ是一个稳定的矩阵。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 02:19:12

事实上，正如下面的例子所示，这种条件一般不能放松。提案3。假设d=1，m=1，假设1–3成立。如果E | Z |<∞ β+E（Z）κ>0，则X是瞬时的。证据证明还依赖于李亚普诺夫不等式；参见Stramer和Tweedie（1994）的定理3.3。具体而言，如果存在有界函数g和闭合集K（如g（x）），则会出现瞬态≥ 0，x∈ X\\K，（39）和supx∈千克（x）<克（x），x∈ X\\K.（40）设g（X）=1- e-x对于某些>0。显然，g对于x是有界的∈ X=R+。然后，A g（x）=（b+βx）g′（x）+（A+αx）g′（x）+（λ+κx）ZR+（g（x+z）- g（x））ν（dz）=e-x（b+βx）-（a+αx）+（λ+κx）ZR+（1- e-z）ν（dz）= e-xβ -α + κ(1 - E E-Z）x+b-a+λ（1- E E-Z）.设h（）为上述括号中x的系数，即h（）：=β-α + κ(1 -E E-Z）。很明显，h（0）=0，h′（0）=β+κE（Z）>0，对于某些>0，产生h（）>0。修正这个，我们看到A g（x）~ e-xh（）x为x→ ∞ . 因此，存在k>0，使得x的g（x）>0∈ X\\K，其中K：=[0，K]，证明（39）。此外，（40）是正确的，因为g（x）在x中增加。“边界”情况，即β+e（Z）κ= 0更为复杂，因为进程的行为可能取决于其他参数。我们将其分析留给未来的研究。4极限定理在本节中，我们证明了形式为rth（X（s））dsorPni=1h（X（i））的X的加性泛函的SLLNs和FCLTs)) 对于一些f函数h，离散时间和连续时间马尔可夫过程的极限定理在过去已经得到了广泛的研究；例如，见Glynn和Meyn（1996年）、Kontoyiannis和Meyn（2003年）、Meyn和Tweedie（2009年，第17章），以及其中的参考文献。特别是，积极的哈里斯复发“几乎”足以维持LLN。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 02:19:15

另一方面，FCLTS的条件通常包括指数遍历性，或类似于（30）形式的李雅普诺夫不等式。然而，离散时间马尔可夫过程的现有FCLT不适用于skeletonchain X因为它们通常需要建立一个“离散时间”版本的形式为Ex[g（X）的Lyapunovinequality())] ≤ cg（x）对于某些常数c<1，某些函数g≥ 1个，所有这些都是一个紧凑的集合。考虑到跃迁度量X（X() ∈ ·) 不明确知道。我们建立（8）的方法是首先考虑X（0）遵循平稳分布的场景。然后，我们将FCLT应用于平稳序列，即Ethier和Kurtz（1986，p.351）的定理3.1，其条件可以作为指数遍历性的一致性进行验证（4）。为了将FCLT推广到任意初始状态，我们遵循一个类似于Glynn和Meyn（1996）中使用的论点。渐近方差σhin（7）和γhin（8）可以用泊松方程的解来表示；例如，见Glynn和Meyn（1996）。但它通常没有SDE（1）的参数（a，α…，αd，b，β，λ，κ，ν）的闭合形式。然而，当h是（向量值）单位函数时，我们确实能够通过分析推导出出现在相应FCLT中的渐近平均值和共有协方差矩阵（见推论1），这要归功于易于处理的a ffne结构。4.1强大数定律定理1（iii）和定理2（iii）的证明。在定理1（iii）或定理2（iii）的假设下，我们在第3.1节中建立了X的正Harris递推和Godicity。Soπ（| h |）<∞ 对于任何可测量的函数h:X 7→ R带| | h | | fp<∞.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

mingdashike22

2022-6-11 02:19:19

SLLN（5）则遵循S igman（1990）的定理2。对于骨骼链X, 注意，X的平稳分布π对于X必然是不变量的. 此外，X是ν-命题1不可约的，所以X哈里斯复发阳性。因此，SLLN（6）遵循Meyn和Tweedie（2009，第427页）的定理17.1.7。4.2定理1（iv）和定理2（iv）的泛函中心极限定理。固定q>2和任意可测函数h:X 7→ R带| | hq | | fp<∞.我们已在第3.2节中表明，存在矩阵H 0，一个紧集K和正单位常数c，c如a g（x）≤ -所有x的cg（x）+cIK（x）∈ 十、当g（X）=（1+| | X | H）p/2时。由于（12），| | h | | fp<∞ 当且仅当| | h | | g<∞. 此外，我们在第3.1节中已经表明，k是X的一个小集。然后，根据Glynn和Meyn（1996）的定理4.4，（7）立即成立为n→ ∞ 对于所有x，Px在D[0，1]中较弱∈ 十、我们现在证明（8）在D[0，1]中弱地保持Pπ，其中π是X的平稳分布。这可以通过对{h（X（n））应用平稳序列的FCLT来实现) : n=0，1，…}，如果X（0），则为平均零平稳序列~ π、式中，h（x）：=h（x）- π（h）。具体地说，让fk和fk表示由（X（n）生成的σ-代数) : n≤ k）和（X（n) :n≥ k），分别为。Let^1（l）：=supΓ∈Fk+lEπ| P（Γ| Fk）- P（Γ）|表示Fk和Fk+与L-范数相关的混合度量（Ethier和Kurtz 1986，P.346）。然后，根据Ethier和Kur tz（1986年，第351页）的定理3.1和备注3.2（b），可以验证对于某些>0，Eπh\'\'h（X（n))2+i<∞ 和∞Xl=0[Д（l）]/（2+）<∞. （41）设=q- 2 > 0. 那么，Eπh\'\'h（X（n))2+i=π（(R)hq）≤\'总部fpπ（fp）<∞,验证（41）中的第一个条件。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 02:19:22

要验证第二个y，请注意，根据马尔可夫性质，对于任何Γ∈ Fk+l存在一个函数wΓ，其中wΓ（·）|≤ 1假设P[Γ| Fk+l]=w（X（（k+l）)).如果X（0）~ π、然后对于任何Γ∈ Fk+l，| P（Γ| Fk）- P（Γ）|=| E[wΓ（X）（k+l）))|Fk]- E[wΓ（X）（k+l）))]|=ZXwΓ（y）PX（k)（X（l) ∈ dy）-ZXZXwΓ（y）Px（X（（k+l））) ∈ dy）π（dx）≤PX（k)（X（l) ∈ ·) - π(·),其中| |···············································≤ 1.I如下所示：Д（l）≤ EπPX（k)（X（l) ∈ ·) - π(·)≤ cpe公司-ρplEπ[f（X（k))] = cpπ（fp）e-ρpl,因为定理1（ii）和定理2（ii），第二个等式成立。这一点立即令人感到困惑∞l=0[Д（l）]/（2+）<∞. 因此，我们得出结论，（8）在D[0，1]中弱地保持Pπ。现在我们证明（8）确实作为n成立→ ∞ 对于所有x，Px在D[0，1]中较弱∈ 十、为此，我们首先展示了PX画→∞sup0≤t型≤1 | Yn（t）- Yn，l（t）|=0= 1，x∈ 十、（42）对于任何正整数l，其中Yn（t）：=n-1/2便士nt公司i=1英寸（X（i)) 和Yn，l（t）：=n-1/2便士nt公司+li=l+1英寸（X（i)).请注意，对于所有足够大的n，sup0≤t型≤1 | Yn（t）- Yn，l（t）|=nnXi=1英寸（X（i)) -n+lXi=l+1？h（X（i))=nlXi=1英寸（X（i)) -n+lXi=n+1英寸（X（i))≤nlXi=1英寸（X（i)) +nn+lXi=n+1英寸（X（i)) → 0，像素-a、 s.，作为n→ ∞ 对于所有x∈ 十、因为ENPNI=1英寸（X（i)) → π（(R)h）<∞, 二甲苯-a、 s.，作为n→ ∞ 对于allx∈ 十、由于定理1（iii）和定理2（iii）。这就完成了（42）的证明。设φ是D[0，1]上的有界连续泛函φ。那么（42）意味着对于任何正整数l，| Ex[φ（Yn）]- Ex[φ（Yn，l）]|→ 0作为n→ ∞ 对于所有x∈ 十、此限制可以重写为LIMN→∞Ex[φ（Yn）]-ZXPx（X（l) ∈ dy）Ey[φ（Yn，l）]= 0，x∈ 十、

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 02:19:25

（43）另一方面，注意ZXPx（X（l) ∈ dy）Ey[φ（Yn，l）]- Eπ[φ（Yn）]≤ ||Px（X（l) ∈ ·) - π（·）| | supg∈D[0,1]|φ（g）|。自| | Px（X（l) ∈ ·) - π(·)|| → 0作为l→ ∞ 根据定理1（i）和定理2（i），对于任何δ>0，我们可以选择l，使ZXPx（X（l) ∈ dy）Ey[φ（Yn，l）]- Eπ[φ（Yn）]≤ δ. （44）然后从（43）和（44）中得出lim supn→∞|Ex[φ（Yn）]- Eπ[φ（Yn）]|≤ δ. 由于（8）在D[0，1]中保持spπ-弱，我们必须有limn→∞|Eπ[φ（Yn）]- Eπ[φ（W）]|=0，和thuslim supn→∞|Ex[φ（Yn）]- Eπ[φ（W）]|≤ δ.发送δ→ 0表示（8）对所有x在D[0，1]中弱保持Px∈ 十、 4.3特殊情况由于A ffine结构，当h为单位函数时，可以分析渐近平均值和渐近方差，即h（X）=X。注意，当h为Rd值时，相应的SL LN和FCLT是多元的。该计算方法与Zhang等人（2015）使用的方法非常相似，因此我们省略了细节。推论1。如果假设1-3成立且E | | Z | |<∞, 然后是PX限制→∞tZth（X（s））ds=v= 1，x∈ 十、其中v=-（β+E（Z）κ)-1（b+λE（Z））。此外，如果E | | Z | | 2+<∞ 对于某些>0，则为n1/2nZn·X（s）ds- v=> ∑1/2W（·），如n→ ∞ 对于所有x，DRd中的Px较弱[0，1]∈ 十、式中，∑=A（A+λE（ZZ))A.+mXi=1viA（αi+κiE（ZZ))A..致谢第一作者获得了通用研究基金（ECS 624112）项下香港研究资助委员会的部分支持。第二作者非常感谢香港城市大学进修学院的支持和知识环境，这项工作就是在那里完成的。参考Sahalia，Y.（2007）。使用离散采样数据估计连续时间模型。R.Blundell、P.Torsten和W.K.Newey（编辑），《经济学和计量经济学的进展、理论和应用》，第九届世界大会，第9章。剑桥大学出版社。Ait-Sahalia，Y.，J。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 02:19:29

Cacho Diaz和R.J.A.Lae ven（2015年）。使用相互激励跳跃过程建模金融传染。J、财务部。经济。117(3), 585–606.Andersen、L.B.G.和V.V.Piterbarg（2007年7月20日）。随机波动率模型中的矩解。财务部。斯托赫。11, 29–50.Barczy，M.、L.D¨oring、Z.Li和G.Pap（2014年）。n a ffne双因素模型的统计性和遍历性。高级应用程序。概率。46 (3), 878–898.Barndor Off-Niels en、O.E.和N.Shephard（2001年）。基于非高斯Ornstein-Uhlenbeck模型及其在国家经济学中的一些应用。J、 R.统计学家。Soc。B 63（2），167–241。Bates，D.S.（2006年）。潜在过程的最大似然估计。修订版。财务部。螺柱。19(3),909–965.Berman，A.和R.J.Plemmons（1994年）。数学科学中的非负矩阵。暹罗，费城。Cheridito，P.、D.Filipovi\'c和R.L.Kimmel（2007年）。a ffine模型风险规范的市场价格：理论和证据。J、财务部。经济。83, 1 23–170.Collin Dufresne，P.、R.S.Goldstein和C.S.Jones（200 8）。确定最大期限结构模型。J、财务63（2），743–759。Cox，J.C.，J.E.Ingersoll和S.A.Ross（1985）。利率期限结构理论。《计量经济学》53（2），385–407。Dai，Q.和K.J.Singleton（2000年）。短期结构模型的规格分析。J、财务551943–1978。Davies，E.B.（1989）。《热核与光谱理论》，剑桥数学专著第92卷。剑桥大学预科。Dawson，D.A.和Z.Li（2006年）。斜卷积半群和一个有效的马尔可夫过程。安。概率。34 (3), 1103–1142.Du ffie，D.、D.Filipovi\'c和W.Schachermayer（2003年）。财务流程和应用。安。应用程序。概率。13(3), 984–1053.Duffee，D.和P.W.Glynn（2004年）。以随机时间间隔采样的连续时间马尔可夫过程的估计。《计量经济学》72（6），1773-1808年。杜菲，D.和R。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-6-11 02:19:32

Kan（1996年）。利率的收益率模型。数学财务6379–406。Duffee，D.、J.Pan和K.J.Singleton（2000年）。针对跳跃式差异的交易分析和资产定价。《计量经济学》68（6），1343–1376。Erra is，E.、K.Giesecke和L.R.Goldberg（2010年）。一点流程和投资组合信用风险。西亚姆杰。芬南。数学1, 642–665.Ethier，S.N.和T.G.Kurtz（1986年）。马尔可夫过程：特征和收敛。Jo hn Wiley&Sons，股份有限公司Filipovi\'c，D.a和E.Mayerhofer（2009）。A ffion过程：理论与应用。在H.Albrecher、W.Runggaldier和W.Schachermayer（编辑）中，Radon-Ser。计算机。应用程序。数学第8卷，第1-40页。Filipovi\'c，D.、E.Mayerhofer和P.Schneider（2013年）。多变量跳跃扩散过程的密度近似。J、计量经济学176，93–111。Gao，X.、X.Zho u和L.Zhu（2018年）。Hawkes过程的变换分析及其在darkpool交易中的应用。数量。财务18（2），265–282。盖托，R.K.（197-5）。马尔可夫过程：射线过程和右过程。数学课堂讲稿。施普林格·维拉格（Springer Verlag Berlin Heidelberg）。Glasserman，P.和K.-K.Kim（2010年）。力矩爆炸和a ffineDiffusionModels中的平稳分布。数学财务20（1），1–33。Glynn，P.W.和S.P.Meyn（1996年）。泊松方程解的Liapounov界。安。概率。24 (2), 916–931.Hansen，L.P.（1982年）。广义矩估计方法的大样本性质。计量经济学50，1029–1054。Hansen，L.P.和J.A.Scheinkman（1995年）。《回到未来：连续时间马尔可夫过程的矩含义》，s.计量经济学63（4），767–804。霍克斯，A.G.（1971）。一些自激和互激点过程的光谱s.Biometrika 58,83–90。Heston，S.L.（1993年）。随机波动期权的闭式解及其在债券和货币期权中的应用。修订版。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝