然而，作为P（Z≤ Z） =1，我们发现infτ∈T2,3 E[Zτ]=E[Z]=。因此，任何（0-均值）确定最优鞅M必须满足min1，Z- M=w、 第1页。因此，1- M（0，1，1）=，和- M（0，1，）=。结合以上内容完成证明。Q、 E.D.7.2。定理8的证明我们通过证明与i.i.d.U[0,1]停止或Robbins问题的特殊问题无关的关于我们的修正展开式的更一般的结果来进行证明。回想一下η∈ （0、1）和T∈ [1，T]，Zη，T=Zt。对于T≥ 1和η∈ （0，1），设tη（t）= (1 - η） T型. n将其重新称为k≥1, η ∈ （0，1），t∈ [1，T]，Zk+1η，T=Zkη，T- E迷你∈[1，tη（t）]Zkη，i | Ft. 回想一下f或1≤ t型≤ t型≤ T，Tt，tdenotes所有整数值停止时间τ的集合，适用于F，s.T.w.p.1 T≤ τ ≤ t、 同样，Leoptη（t）= infτ∈T1，tη（t）E[Zτ]。请注意，如果受时间限制，OPTη（T）会重新显示您所能做的最好的结果(1 - η） T型. 进一步回顾Hk（η）=E[最小1≤t型≤tη（t）Zkη，t]，且Ek（η）=Pki=1Hi（η）。Chen和Goldberg：战胜期权定价和最优止损中的维度诅咒我们首先对修正后的扩展进行了一些观察，这些观察来自定义、条件期望的基本属性、单调性以及与定理1几乎相同的证明（我们省略了细节）。引理19。对于所有η∈ （0，1），k≥ 1和t∈ [1，tη（t）]，Zkη，t≥ 0.对于所有η∈ （0，1）和t∈ [1，T]，{Zkη，T，k≥ 1} 是单调递减的。同样，对于所有η∈ （0，1），OPTη（T）=P∞k=1Hk（η）。此外，对于所有k≥ 1，Hk（η）≤k×OPTη（T）。我们注意到，必须小心，因为Zkη，t<0表示t>tη（t）。对于T≥ 1和η∈ （0，1），Leoptη（T）= infτ∈Ttη（T），TE[（Zτ）]。请注意，如果限制在时间Tη（T）之后停止，optη（T）代表您所能做的最好的（相对于Z的平方）。它遵循最佳停车理论的标准结果，例如：。

Chow和Robbins（1963），fτ中最优停止问题的最优值∈得到了Ttη（T），TE[（Zτ）]（而不是仅接近某一停止时间序列的极限），我们用τη（T）表示该问题的最佳停止时间。因此，OPTη（T）=E[（Zτη（T））]。为了使依赖项onT显式化，我们还用OPT（T）表示OPT。为了便于标记（允许我们在数量上除以certa），我们排除了OPT（T）=0的退化设置。那么我们的一般辅助结果如下。引理20。对于所有η∈ （0，1）和k≥ 1.选项（T）- Ek（η）选项（T）≤ maxOPTη（T）- 选项（T）选项（T），3×OPTη（T）×OPTη（T）（k+1）×OPT（T）！。证明：首先，我们显示THATEK（η）- OPT（T）OPT（T）≤OPTη（T）- OPT（T）OPT（T）。（11） 通过引理19，我们得出结论：OPTη（T）≥ Ek（η）。下面是OPT（T）=OPTη（T）+选项（T）- OPTη（T）≥ Ek（η）+选项（T）- OPTη（T）,（11）如下。接下来，我们证明了op T（T）- Ek（η）OP T（T）≤ 3 ×OPTη（T）×OPTη（T）（k+1）×OPT（T）。（12） Chen和Goldberg：击败期权定价中的维度诅咒和最优停止证明（12），我们首先证明了对于所有k≥ 1，OP T（T）- Ek（η）=infτ∈TE[Zk+1η，τ]。（13） 事实上，通过定义和直接归纳，对于所有∈ [1，T]和k≥ 1，Zk+1η，t=Zη，t-EPkj=1mini∈[1，tη（t）]Zjη，i | Ft. （13） 然后是选项al停止和定义。因此，为了证明（12），必须证明对于所有k≥ 1，infτ∈TE【Zk+1η，τ】≤ 3 ×OPTη（T）×OPTη（T）k+1. （14） 设xη，k（T）=OPTη（T）×OPTη（T）4（k+1）. 设τη，k（T）表示以下停止时间。它在[1，tη（t）]中第一次停止Zk+1η，t≤ xη，k（T），如果[1，Tη（T）]中存在这样的时间T。否则，根据停止时间τη（T）停止。请注意，所有相关r.v.s可构建在commonprobability spac e s.t上。

w、 p.1，Zk+1η，τη，k（T）≤ xη，k（T）+I迷你∈[1，tη（t）]Zk+1η，i>xη，k（t）Zk+1η，τη（T）≤ xη，k（T）+I迷你∈[1，tη（t）]Zk+1η，i>xη，k（t）Zτη（T），引理19的最终不等式，以及（根据定义，w.p.1）Zη，T=zt的事实∈ [1，T]。结合Markov的inequality、引理19、auchy-Schwarz和一些简单的代数，我们得出结论Zk+1η，τη，k（T）≤ xη，k（T）+k+1×OPTη（T）xη，k（T）×OPTη（T）= 3×xη，k（T）。结合以上内容完成证明。Q、 我们现在给出了一个辅助结果，它将在我们的几个证明中有用。引理21。考虑序列{yT，T≥ 1} 定义为y=，y+1=y-yTfor allT公司≥ 1、然后{T×yT，T≥ 1} 是单调递增的，极限为2。证明：针对T≥ 1.让我来= T×yT。平凡x=。它源于YtthaText+1=T+1Text的定义-×T+1text。（15） 因此，可以很容易地验证{xT，T≥ 1} 对于所有T均为正≥ 1，我们发现XT+1>xTif且仅ifT+1TxT-×T+1TxT>xT，相当于（在一些简单的代数之后）xT<2TT+1。因此，为了证明所需的单调性，必须证明xT<2TT+1对于所有T≥ 让我们从归纳法开始。T=1和T=2的情况很容易得到证实，如x=和x=。现在，假设归纳法对某些T是真的≥ 2、因为这是calc ulusChen和Goldberg的一个直截了当的练习：在期权定价和最优止损中击败维度诅咒，以验证函数f（x）=T+1Tx-对于所有T，x轴在[0，2]上增加≥ 2、为了完成感应，需要验证T+1T×（2TT+1）-×T+1T×（2TT+1）<2（T+1）T+2。（16） 正如一些简单的代数证明的，（16）的左边等于2tt+1一样，导引自这样一个事实，即f（x）=xx+1在[0]的x上增加，∞) .

那个极限→∞xT=2来自Gilbert和Mo steller（1966）的结果。现在，我们给出了i.i.d.统一设置的所需界限。引理22。在i.i.d.unifo rm设置中，即Y=Yand gt=gUt时，对于所有T≥ 1, η ∈ （0，1）和k≥ 1.Ek（η）-选项（T）选项（T）≤ 最大值η1-η, 12 × η-× (1 - η)-×（k+1）-.证据：我们首先证明≥ 1和η∈ （0，1），OPTη（T）- OPT（T）OPT（T）≤η1 - η. （17） 对于T≥ 1.让我来= T×OPT（T）。注意f或T≥ 1，OPT（T+1）=E最小值U、 选项（T）= 选项（T）-选项（T）. （18） 由此引理21得出{xT，T≥ 1} 是随极限2单调增加的。我们还将告诉大家≥ 1和η∈ （0，1），它保持OPTη（T）=OPTtη（t）, （19） 这源于i.i.d.属性和简单的概率论证。结合{xT，T的证明单调性≥ 1} ，我们得出结论，optη（T）-选项（T）选项（T）相等选项tη（t）选项（T）- 1=Ttη（T）×Tη（T）×OPTtη（t）T×OPT（T）- 1.≤Ttη（T）- 1.≤η1 - η、 完成（17）的证明。我们接下来证明，尽管T≥ 1和η∈ (0, 1),OPTη（T）×OPTη（T）选项（T）≤ 4 × η-× (1 - η)-. （20） 设t′η（t）= T-tη（t）+1。它同样来自i.i.d.性质和一个直接的概率论证，即optη（T）=infτ∈T1，t′η（t）E[（Zτ）]，即如果观察长度t′η（t）Chen和Goldberg，你能做的最好的事情：击败期权定价中的维度诅咒和i.i.d.平方一致的最优停止顺序。对于t≥ 1，让yt= infτ∈T1，tE[（Zτ）]。从早期的逻辑到用来证明（18）y=，和≥ 1，yt+1=E最小值U、 年初至今= 年初至今-年初至今。（21）使用（21），我们现在证明≤t对于所有t≥ 1、注意yt≤ 1个用于所有t≥ 1，情况s t=1，2，3很简单。因此，对于归纳法，假设yt≤t对于某些t≥ 3.

注意f（x）=x-xis在[0，1]上增加，且≤ 1表示所有t≥ 3、通过归纳法完成证明，必须验证-×（t）-（t+1）≤ 0，我们现在显示。t型-×（t）-（t+1）=9t（t+1）- 18（t+1）- 9tt（t+1）=-27吨- 18t（t+1）<0，这通过导出yt来完成证明≤t对于所有t≥ 1、对于所有T≥ 1和η∈ （0，1），OPTη（T）≤（T- (1 - η） T型 + 1)≤ηT。再次应用{xT，T的单调性≥ 1}和（19），我们得出结论OPTη（T）×OPTη（T）OPT（T）最多为η-T-×tη（t）×OPTtη（t）tη（t）×OPT（T）=9η-T-×tη（t）×OPTtη（t）T×OPT（T）×Ttη（T）×选项（T）-≤ 9η-T×OPT（T）-×1.- η-≤ 9η-×-×1.- η-≤ 4 × η-× (1 - η)-.结合引理20和（17）完成了证明。Q、 E.D。。现在，我们给出了设置罗宾斯问题所需的界。引理23。在Robbins问题的设置中，即当Y=Yand gt=gRt时，存在一个绝对常数C（独立于T，η，k）s.T.对于所有T≥ 1, η ∈ （0，1）和k≥ 1.Ek（η）-选项（T）选项（T）≤C×最大值η1-η, η-× (1 - η)-×（k+1）-.证明：我们首先证明存在一个普适常数C，独立于T和η，s.T≥ 1和η∈ （0，1），OPTη（T）- OPT（T）OPT（T）≤ C×η1- η. （22）Chen和Goldberg：击败期权定价中的维度诅咒和T的最优止损≥ 1，设τ（T）表示当视界为时，Robbins问题的最佳停止时间，即OPT（T）=e[Zτ（T）]，其中存在再次遵循一般结果导致最佳停止（Chow和Robbins（1963））。

注意，由于τtη（t）∈ T1，tη（t）对于所有t≥ 1和η∈ （0，1），itholds that optη（T）=infτ∈T1，tη（t）EτXi=1I（Yi≤ Yτ）+（T- τ）Yτ= infτ∈T1，tη（t）EτXi=1I（Yi≤ Yτ）+tη（t）- τYτ+T- tη（t）Yτ≤ Eτtη（t）Xi=1I（Yi≤ Yτtη（t）) +tη（t）- τtη（t）Yτtη（t）+T- tη（t）Yτtη（t）= 选择tη（t）+T- tη（t）tη（t）×tη（t）×EYτtη（t）≤ 选择tη（t）+η1 - η×tη（t）×EYτtη（t）. （23）正如Gnedin和I ksanov（2011）所证明的，C= 支持≥1.T×E[Yτ（T）]< ∞, 以及{OPT（T），T≥ 1} 当单调增加到一个有限的极限时，期望的结果（22）由以下事实得出：平凡OPT（1）=1。接下来，我们证明≥ 1和η∈ （0，1），OPTη（T）≤ 10× η-2.（24）让τ表示以下停止ping时间。第一次停车t≥ tη（t）s.t.Yt≤T-t+3。注意，这样的时间总是存在的，asT-T+3=1，a和P（YT≤ 1) = 1. 不是说w.p.1∈ [1，T]，gRt（Y[T]）≤PTi=1I（Yi≤ Yt）+T Yt。然后，它继续定义和一些最直接的代数，包括E[X]≤ 对于所有非负r.v.s X，取1+E[X]，取η（T）≤ ETXi=1I（Yi≤ Yτ）+T Yτ= E1+Xi∈[1，T]\\τI（Yi≤ Yτ）+T Yτ= 1+2×Exi∈[1，T]\\τI（Yi≤ Yτ）+T Yτ+ Exi∈[1，T]\\τI（Yi≤ Yτ）+T Yτ≤ 3+3×Exi∈[1，T]\\τI（Yi≤ Yτ）+T Yτ,most3+3×E时的自身xi∈[1，T]\\τI（Yi≤ Yτ）（25）+6×T×Exi∈[1，T]\\τI（Yi≤ Yτ）×Yτ+ 3×T×E[Yτ]。Chen和Goldberg：击败期权定价和最优止损中的维度诅咒我们现在检查（25）的每一项。对于k∈ [tη（t），t]，让ck=T-k+3。对于k∈ [tη（t），t]andi∈ [1，T]\\k，ck，iequalT-i+3如果i∈ [tη（t），k]，否则为0。然后是一些简单的代数代数，条件期望的基本性质，i.i.d。

Y的结构，以及一个简单的概率论证xi∈[1，T]\\τI（Yi≤ Yτ）= ETXk=tη（t）Xi∈[1，T]\\kXj∈[1，T]\\kI（Yi≤ Yk）I（Yj≤ Yk）I（τ=k）=TXk=tη（t）Xi∈[1，T]\\kEI（易≤ Yk）I（τ=k）+ 2TXk=tη（t）Xi∈[1，T]\\kXj∈[i+1，T]\\kEI（易≤ Yk）I（Yj≤ Yk）I（τ=k）≤TXk=tη（t）Xi∈[1，T]\\kP（τ=k）×P易≤ ck |τ=k+ 2TXk=tη（t）Xi∈[1，T]\\kXj∈[i+1，T]\\kP（τ=k）×P易≤ ck，Yj≤ ck |τ=k=TXk=tη（t）Xi∈[1，T]\\kP（τ=k）×P易≤ ck | Yi>ck，i+ 2TXk=tη（t）Xi∈[1，T]\\kXj∈[i+1，T]\\kP（τ=k）×P易≤ ck，Yj≤ ck | Yi>ck，i，Yj>ck，j≤TXk=tη（t）Xi∈[1，T]\\kP（τ=k）×P（Yi≤ ck）+2TXk=tη（t）Xi∈[1，T]\\kXj∈[i+1，T]\\kP（τ=k）×P易≤ ck，Yj≤ ck公司≤ T×TXk=Tη（T）P（τ=k）×ck+2×T×TXk=Tη（T）P（τ=k）×ck；（26）Exi∈[1，T]\\τI（Yi≤ Yτ）×Yτ=TXk=tη（t）Xi∈[1，T]\\kEI（易≤ Yk）×Yk×I（τ=k）≤TXk=tη（t）Xi∈[1，T]\\kP（τ=k）×ck×P（Yi≤ ck | Yi>ck，i）≤ T×TXk=Tη（T）P（τ=k）×ck。（27）Chen和Goldberg：击败期权定价中的维数诅咒和最优停止，因为类似的论点产生了不等式E[Yτ]≤PTk=tη（t）P（τ=k）×ck，我们可以将（25）与（26）-（27）结合起来，并且E[cτ]≤E[cτ]得出以下结论：optη（T）≤ 3+3×T×TXk=tη（t）P（τ=k）×ck+ 15×T×TXk=Tη（T）P（τ=k）×ck。（28）现在，我们定义ptk=tη（t）P（τ=k）×ck，所有参数都来自一些直接代数，Y的i.i.d.结构，几个泰勒级数近似，以及≥ 1，n次谐波数Pni=1满足度| Pni=1i-对数（n）|≤ 2.

然后，ptk=tη（t）P（τ=k）×ckequalsTXk=tη（t）k-1Yi=tη（t）1.-T- i+3×T- k+3≤ 30×TXk=tη（t）exp- 3×k-1Xi=tη（t）t- i+3×（T- k+3）≤ 30×exp（12）×TXk=tη（t）exp- 3 ×日志（T- tη（t）+3）- 日志（T- k+4）（T- k+3）≤ 240×exp（12）×T- tη（t）+3）-2.≤ 10× η-2×T-与（28）结合完成了（24）的证明，引理随后与（17）、引理20结合，这是Gnedin和Iksanov（2011）的结果{OPT（T），T≥ 1} 是单调递增到一个有限的极限，以及一些简单的代数。Q、 E.D.7.2.1。定理8的证明。定理8的证明：通过设置η=（k+1），立即从引理22和23得到证明-. Q、 E.D.7.3。引理12的证明引理12的证明：让我们定义以下序列。c=1，f或k≥ 1，ck+1=ckexp(-ck）。现在我们用归纳法证明，对于所有k≥ 1，PZk=ck= 1，Zk=dB（ck）×X。基本情况k=1是微不足道的。现在，假设归纳法对某些k是真的≥ 1、既然v ar[Zk]=0，那么Zk+1=ck- E最小值ck，B（ck）×X= ck公司- ck×E[最小（ck，X）]=ck×1.-Zcky e xp(- y） dy公司- ckexp(-ck）= ck+1。此外，根据无记忆属性，Zk+1=Zk- min（Zk，Zk）=dmax（0，B（ck）×X- ck）=dB（ck）×max（0，X- ck）=dB（ck+1）×X。Chen和Goldberg：击败期权定价中的维度诅咒和最优停止结合上述内容完成归纳。因为zk是所有k的鞅≥ 1，由引理1证明{ck+1，k的期望界≥ 1}. 首先，我们通过归纳法证明，对于llk≥ 1，k×ck≤ 基本情况k=1是微不足道的。现在，补充一下，对于某些k≥ 1、然后作为exp(-x）≤ （x+1）-1对于所有x>0，且f（x）=xx+1在[0，1]的x上增加，则认为（k+1）ck+1等于（k+1）ckexp(-ck）≤ （k+1）ckck+1≤ （k+1）×kk+1=1，完成归纳并证明ck+1≤k+1对于所有k≥ 1.

接下来我们用归纳法证明{kck，k≥ 2} 是单调递增的。这相当于证明（k+1）ckexp{-ck}≥ KCK适用于所有k≥ 2.相当于ck≤ 所有k的对数（1+k）≥ 2、基本情况k=2可以通过简单直接的计算进行验证，我们省略了细节。现在假设归纳法对某些k是真的≥ 2、使用ck+1的定义递归、归纳假设和易于验证的事实，w（x）= x log（1+1/x）在（0，∞)和w（x）= x扩展(-x） 在[0，1]上严格递增，我们有log（1+k+1）≥kk+1log（1+k），=log（1+k）e xp{- 对数（1+k）}，≥ ckexp{-ck}=ck+1，完成归纳。因此{kck，k≥ 2} 是单调递增的，极限c最多为1。我们现在证明c=1，d，首先通过归纳证明f或a都是k≥ 2，ck=exp-主键-1i=1ci.基本cas e k=2是微不足道的。因此，在某些k≥ 2、然后通过对ck+1的递归定义，认为ck+1等于CKXP(-ck）=exp-k-1Xi=1ci经验值(-ck）=exp-kXi=1ci,完成入职培训。让yk= kck公司。那么事实是：1。ck=经验值-主键-1i=1ci, 和2。{yk，k≥ 2} 单调增加到c，共同表示对于所有k≥ 2，log（yk）=log（k）-k-1Xi=1yii≥ 对数（k）- ck公司-1Xi=1i，因此c×Pk-1i=1ilog（k）≥ 1.-log（c）log（k）。因为很容易验证（并且从对数和调和数的基本性质可以看出），limk→∞主键-1i=1ilog（k）=1，我们可以通过上述限制得出c≥ 1、结合以上内容完成证明。Q、 E.D.Chen和Goldberg：《战胜期权定价和最优止损中的维度诅咒》7.4。引理13的证明引理13的证明：首先，我们声称对于所有k≥ 1，infτ∈TE【Zkτ】=E【Zk】。

事实上，这源于一个最直接的归纳和定义，即≥ 1，V ar[Zk]=0，且E[Zk]<E[Zk]。然后，期望的主张来自最优停止理论的基本结果（即其反向归纳解，见Chow和Robbins（1963））和一个简单的对比，我们省略了细节。接下来，让我们定义以下序列。z=，p=1。For k公司≥ 1，zk+1=pkexp(-zk）+zk- pk，且pk+1=pkexp(-zk）。现在我们用归纳法证明，对于所有k≥ 1，PZk=Zk= 1，Zk=dB（pk）×X。基本ca se k=1是微不足道的。现在，假设归纳法对某些k是真的≥ 1、既然V ar[Zk]=0，那么Zk+1=Zk- E最小值zk，B（pk）×X= zk公司- pk×E[最小（zk，X）]=zk- pk×Zzky e xp(- y） dy+zkexp(-zk）= zk+1。此外，根据无记忆属性，Zk+1=Zk- min（Zk，Zk）=dmax（0，B（pk）×X- zk）=dB（pk）×max（0，X- zk）=dB（pk+1）×X。结合以上各项完成归纳。因此，对于所有k≥ 1，pk+1- pk=zk+1- zk，因此pk=zk+（p- z） =zk+。回到PK和zk的原始定义，我们发现zk+1=（zk+）e xp(-zk）-. 事实上infτ∈TE[Zkτ]=E[Zk]，结合引理1和定理2，意味着th在{Zk，k≥ 1} 单调收敛到0。它的n来自于L\'Hopital的rulethatlimk的简单应用→∞zk+1zk=limk→∞（zk+）e xp(-zk）-zk=limz↓0（z+）e xp(- z）-z=，从中可以得到所需的结果。Q、 E.D.7.5。引理14的证明引理14的证明：让我们定义以下序列。设a=2，b=1。对于k≥ 1，设ak+1=ak-akbk和bk+1=bk（1-黑色）。现在我们用归纳法证明，对于所有k≥ 1，PZk=akbk= 1，Zk=dB（bk）×U（ak）。基本情况k=1很简单。现在，假设归纳法对某些k是正确的≥ 1.

既然V ar[Zk]=0，那么一个简单的归纳法证明了s thatbk∈ （0，1）且ak>0，则从straig Htfroward概率参数得出，zk+1=dmax0，B（黑色）×U（黑色）-akbk公司=数据库黑色（1-黑色）U（ak-akbk）、Chen和Goldberg：在期权定价和最优停止中击败维度诅咒完成Zk+1=dB（bk+1）×U（ak+1）的证明。然后，从马丁格尔性质得出所需的归纳。请注意，对ak+1和bk+1递归的定义意味着ak+1ak=bk+1bk=1-BK适用于所有k≥ 1、对于所有k≥ 1，akbk=ab=2，因此ak=2bk。从引理21得出{k×bk，k≥ 2} 是单调递增的，极限为2。当Zk=ak×bk=bk时，则{kZk，k≥ 2} 是单调递增的，限制为4。结合以上事实，Zkis-amartingale和引理1完成了证明。Q、 E.D.7.6。引理16的证明引理16的证明：回想一下fk（，δ）=102（k-1)-2（k-1） （T+2）k-1.1+对数（δ）+对数（）+对数（T）k-1，N（，δ）=2log（δ）. 因为很容易验证1<log（8），因此对于所有，δ∈ （0，1），N（，δ）≤8.5log（δ）和N（，δ）+1≤log（δ），我们的论点如下。N（，δ）+1×T+2×fk，δ4N（，δ）T最多为×log（δ）×（T+2）×fk，Δlog（δ）T≤×对数（δ）×（T+2）×102（k-1） （T+2）k-1()-2（k-1） 1+日志log（δ）Tδ+ 日志）+对数（T）！k-1.≤ 9×对数（δ）×（T+2）k×-2k×102（k-1） ×16k-1×1+log（34）+2 log（）+log（δ）+log（Tδ）+log（4）+log（）+log（T）！k-1.≤ 9×对数（δ）×（T+2）k×-2k×102（k-1） ×16k-1×10+3对数（）+2对数（δ）+2对数（T）！k-1.≤ 9×（T+2）k×-2k×102（k-1） ×16k-1×10+3对数（）+2对数（δ）+2对数（T）！k≤ 10k+1×（T+2）k×-2k×102（k-1） ×102（k-1） ×1+对数（）+对数（δ）+对数（T）！k、 由fk+1进一步限定, δ自2k起-k+1+2（k-1） +2（k-1)= k-1.≥ 0.Q.E.D.7.7。

推论2的证明：定理2的证明：根据定理6和定理2，通过一个并界和一个不等式，可以分别逼近第一个 在Hi中，每一个都在一个可加的误差范围内，rChen和Goldberg：在期权定价和最优停止中击败维度诅咒-1概率为1- δ-1、计算平均成本后 值，并结合FK和一些简单代数的单调性，我们发现计算成本除以C+G+1最多Xi=1fi+1-1, δ-1.+  + 1.≤ f+1.,δ+  + 1.≤ 6-1f层+1.,δ≤ 6-12(3-1)()-2(3-1） （T+2）3-1.1+对数（δ）+对数（δ）+对数（T）3-1= 1018-26-1+1-12-1.-1（T+2）3-1.1+对数（3）+对数（6）+3对数（）+对数（δ）+对数（T）3-1.≤ 1018-2经验日志（6）（7）-1） +对数（）（13-1)（T+2）3-1×1+对数（3）+对数（6）+3对数（）+对数（δ）+对数（T）3-1.≤ 1018-2经验14-2+ 13-2.（T+2）3-1.1+对数（3）+对数（6）+3对数（）+对数（δ）+对数（T）3-1=经验值27+18对数（10）-2.（T+2）3-1.1+对数（3）+对数（6）+3对数（）+对数（δ）+对数（T）3-1.≤ exp（80-2)27-1T3-1.5+3对数（）+对数（δ）+对数（T）3-1.≤ exp（80-2)(500 0)-1T3-1.1+对数（）+对数（δ）+对数（T）3-1.≤ exp（100-2） T3-1.1+对数（）+对数（δ）+对数（T）3-1.≤ exp（100-2） T6-1× 23-1×1+对数（）+对数（δ）3-1自1+对数（）+对数（δ）+对数（T）≤ 2吨1+对数（）+对数（δ）≤ exp（100-2） T6-1× 23-1（e）3-1.1+对数（δ）3-1自1+对数（）+对数（δ）≤e1+对数（δ）≤ exp（100-2） ×T6-1×e6-1×exp3-1日志（）×1+对数（δ）3-1.≤ exp（200-2） ×T6-1×1+对数（δ）6-1、对基本模拟器调用次数的分析结果几乎相同，我们省略了细节。结合以上内容完成证明。Q、 E.D.7.8。定理9的证明我们首先证明一些辅助引理。

首先，我们限制截断引入的错误。Chen和Goldberg：《战胜期权定价和最优停止引理中的维度诅咒》24。对于所有U>0,0≤[选择- U×supτ∈TE[ZU，τ]≤ （M） ×亩.证明：非负性源于w.p.1 Zt≥ 所有t的U×ZU、t∈ [1，T]。若要向另一个方向移动，则让τ*表示问题supτ的最佳停止时间∈TE【Zτ】，其中存在源自Chow和Ro-bbins（1963）。然后通过直接耦合和缩放，E[Zτ*] - U×E[ZU，τ*] ≤ EZτ*我Zτ*> U≤ EZτ*我最大值∈[1，T]Zt>U≤ E最大值∈[1，T]Zt×I最大值∈[1，T]Zt>U≤ （M） ×P最大值∈[1，T]Zt>U作者：Cauchy Schwarz≤ （M） ×亩利用马尔可夫不等式，完成了证明。Q、 接下来，我们证明，如果γ不是太大，那么optm不能太小。引理25。[选择≥× γ-1×M.证明：重新命名著名的Paley-Zygmund不等式，即对于任何δ∈ （0，1）和非负r.v.X，PX>δE【X】≥ (1 - δ） ×（E[X]）E[X]。（29）现在，对于δ∈ （0，1），考虑停止时间τδ，它第一次停止该Zt≥ δ×M，如果[1，t]中不存在该时间，则在t ime t停止。然后通过非负性和（29），E[Zτδ]≥ δ × (1 - δ） ×（M）M.在δ上进行优化（微积分中的一个简单例子），然后完成证明。Q、 通过组合引理24-25，我们得到了以下推论。推论5。对于所有U>0,0≤[选择- U×supτ∈TE[ZU，τ]≤× (γ)×亩×【OPT.Proof：引理25得出（M）【OPT.Proof】≤×（M）（M）=×（γ）。与引理24相结合，完成了Q.E.D.Chen和Goldberg的proo f.Q.E.D.Chen和Goldberg：击败期权定价和最优止损中的维数诅咒我们现在完成了定理9的证明。定理9的证明：注意，对于所有U>0，supτ∈TE[ZU，τ]=1- infτ∈TE[Z1，-U、 τ]；（30）定理2暗示，对于所有U>0和k≥ 1,1 - E-U、 k级-k+1≤ supτ∈TE[ZU，τ]≤ 1.- E-U、 k。

（31）然后根据推论5和三角形不等式得出[选择- U×1.- E-U、 k+z≤× (γ)×亩×[选择+U×”|z |+（k+1）-1..此外，U[OPT=UM×M[OPT≤UM×M×（M）M=×γ×UM。结合上述三角不等式，γ≥ 通过Jensen不等式和一些简单的代数完成了证明。Q、 E.D.7.9。定理7的证明定理7的证明：回想一下U=10×γ×-2×M.让k= （UM）. 然后，从^A的定义、定理10、直向并集以及概率至少为1的三角形不等式的应用出发- δ、 ^A ret urns A随机数X s.t.| X- E-U、 k |≤ （UM）-. 因此，根据定理9，为了证明定理的第一部分（即算法返回一个具有规定保证的值），必须证明7×γ×嗯×2×（UM）-+ （UM）-≤ ，等于21γ（UM）-≤ . 自21γ（UM）-= 21 × γ×× γ× -2.-≤ ，结合上述内容完成证明。接下来，让我们证明关于运行时分析的第二部分。

回想一下fk（′，δ′）=102（k-1)× ′-2（k-1） ×（T+2）k-1×1+对数（δ′）+对数（′）+对数（T）k-1、Chen和Goldberg：击败期权定价和最优止损中的维数诅咒仔细考虑了^A执行的所有操作，并应用定理10和变量函数的单调性，我们发现计算成本除以C+G+1等于16+（UM） ×4×f（UM）+1.（UM）+1-2, δ ×（UM）+1-1.+ （UM）≤ 10（UM）f（UM）+1.（UM）-3，δ（UM）-≤ 10×（UM）×108（UM）×4（UM）4（UM）×（T+2）2（UM）×1+log（4）+log（δ）+log（UM）+log（4）+3 log（UM）+log（T）2（UM）≤ 1025（UM）×T2（UM）×10+对数（δ）+5对数（UM）+对数（T）2（UM）自10年以来≤ 102（UM），（UM）≤ 10（UM）、44（UM）≤ 103（UM），（UM）12（UM）≤ 经验值12（UM）≤ 107（UM），（T+2）2（UM）≤ 10（UM）×T2（UM）≤ 1027（UM）×T2（UM）×1+对数（δ）+对数（UM）+对数（T）2（UM）≤ 10γ-6.×Tγ-3.×1+对数（δ）+4对数（10）+3对数（γ）+2对数（）+对数（T）γ-3.≤ 10γ-6.×Tγ-3.×1+对数（δ）+对数（γ）+对数（）+对数（T）γ-3.≤ 经验值γ-6.×Tγ-3.×1+对数（δ）+对数（γ）+对数（）+对数（T）γ-3.≤ 经验值γ-6.×Tγ-3×1+对数（δ）+对数（γ）+对数（）γ-3.≤ 经验值γ-6.×Tγ-3×1+对数（δ）+对数（γ）γ-3.≤ 经验值γ-6.×Tγ-3× (2γ)γ-3×1+对数（δ）γ-3.≤ 经验值γ-6.×Tγ-3×1+对数（δ）γ-3、对基本模拟器调用次数的分析几乎相同，我们省略了细节。结合以上内容完成证明。Q、 E.D.Chen和Goldberg：击败期权定价中的维度诅咒和最佳阻止认知作者g感谢Sid Banerjee、Erh an Bayraktar、Denis Be lo mestny、ThomasBruss、Agostino Capponi、Jim Dai、Mark Davis、Vivek Farias、Paul Glasserman、Nir Halman、Shane Henderson、Saul Jacka、Bobby Kle inberg、Ozalp Ozer、Philip Protter、Chris Rogers、，J ohnSchoe nmakers、Timur Tankayev、John Tsitiklis、Alberto Vera和David Williamson进行了一些有益的对话和见解。

作者特别感谢Jim Dai组织了一个关于处理网络强化学习的系列研讨会，以及该系列研讨会的所有参与者。作者还感谢赖斯大学举办的2018年拉里·谢普最佳停车研讨会的组织者和参与者。参考文献：Abo Lassani，M.、Ehsani，S.、Esfandiari，H.、HajiAghayi，M.、Kleinberg，R.和Lucier，B.（2017年6月）。“为有秩序的先知击败1-1/e。”第49届ACM SIGACT计算理论年度研讨会论文集（第6 1-71页）。ACM。Y.阿奇杜和O.皮龙诺。期权定价的计算方法。第30卷。暹罗，2005年。Agarwal，A.和S.Juneja。“比较百慕大期权定价的随机网格法和勒斯特平方法的最优收敛速度。”2013年冬季模拟会议论文集：模拟：在复杂世界中做出决策。IEEE出版社，2013年。Agarwal，A.、S.Juneja和R.Sircar。“随机波动下的美式期权：控制变量、到期随机化和多尺度渐近性。”量化金融16.1（2016）：17-30。Ahn，S.，H.Bae，H.Ko o，a和K.Lee。“关于美国选择的调查：旧方法和新趋势。”韩国数学学会公报48，第4期（2011）：79 1-812。Ahuja，R.，T.Magnanti和J.B.Orlin。网络流量。皮尔逊教育，201 4。安徒生，L.，a和M.布罗迪。“多维Americanoptions定价的Primal dua l模拟算法。”管理科学50.9（200 4）：1222-1234。A.阿洛托和I.古尔维奇。“多秘书问题中的一致有界遗憾。”arXiv预印本XIV:1710.07719（2017）。Arora，S.、B.Barak、M.Brunnermeier和R.Ge。“金融产品的计算复杂性和信息不对称。”ACM 54通信，第5号（20 11）：101-107。Avramidis，A.和H.Ma tzinger。

“金融工程中的问题：美式期权定价的随机网格估计的收敛性。”第34届冬季模拟会议论文集：探索新的前沿。2002年冬季模拟会议。Aydogan、Burcu、Umit Aksoy和Omur Ugur。“关于美式期权定价方法：案例研究。”运筹学年鉴260.1-2（2018）：79-94。Chen和Goldberg：《战胜期权定价中的维度诅咒和最优止损》，Bandi，C。，还有D.Bertsimas。”稳健的期权定价。”《欧洲歌剧研究杂志》239，第3期（2014）：842-853。Bank，P.和H.Follmer。“美国选项、多武装匪徒和最佳消费计划：Aunizing视图。”巴黎普林斯顿数学金融讲座（2003年）。拜耳，C.、P.弗里兹和J.Gatheral。”粗略波动下的定价。”量化金融16.6（2016）：887-904。Bayraktar，E.和S.Yao。“关于鲁棒最优停止问题。”《暹罗控制与优化杂志》52.5（2014）：3135-3175。Becker，S.、P.Cheridito和A.Jentzen。“深度最佳s打顶。”arXiv预印本arXiv:1804.05394（201 8）。Belomestny，D.、J.Schoenmakers和F.Dickmann。“美式衍生品定价的多级双重方法。”《金融与随机科学》17.4（2013）：717-742。Belomestny，D.、M.Ladka u和J.Schoenmakers。“基于多级仿真的策略迭代优化停止–收敛性和复杂性。”SIAM/ASA《不确定性量化杂志》3.1（2015）：460-483。Belomestny，D.“通过经验对偶优化解决最优停车问题。”《应用可能性年鉴》23.5（2013）：198 8-2019。Belomestny，D.、R.Hildebrand和J.Schoenmakers。“通过路径双经验最大化实现最佳停车。”应用数学与优化（2017）：1-27。Belomestny、D.、S.Hafner和M.Urusov。

“嵌套MonteCarlo方法的基于回归的复杂性降低。”(2018).Belomestny，D.，a和G.Milstein。“使用消费过程对美国ican期权进行蒙特卡罗评估。”《国际理论与应用金融杂志》9.04（20 06）：455-481。Belomestny，D.、C.Bender和J.Schoe nmakers。“通过非NestedMonte C arlo获得的Ber mudan产品的真实上界。”《国际金融数学：国际数学、统计和金融经济学杂志》19.1（2009）：53-71。Belomestny，D.“通过非参数回归对百慕大期权进行定价：低估计的最优收敛速度。”《金融与随机》15.4（2011）：65 5-683。Belomestny，D.“关于基于模拟的优化算法的收敛速度，用于优化停止问题。”应用概率年鉴21.1（2011）：215-239。Belomestny，D.和J.Schoenmakers。优化停车和控制的高级模拟方法：金融应用。Springer，2018年。Bender，C.和J.Schoenmakers。“多重停止的迭代方法：收敛性和稳定性。”应用概率的进展38.3（2006）：729-749。Chen和Goldberg：《战胜期权定价和最优stoppingBender、C.、A.Kolodko和J.Schoenmakers中的维度诅咒》。“美国选项的政策迭代：概述。”蒙特卡罗方法与应用12.5（200 6）：347。Bender，C.、A.Kolodko和J.Schoenmakers。“通过sc enarioselection增强美国选项的政策迭代。”定量金融8.2（2008）：135-146。Bender，C.、J.Schoenmakers和J.Zhang。“一般多重停止问题的对偶表示。”数学金融25.2（2015）：339-370。Bender，C.、C.Gartner和N.Schweizer。“路径动态编程。”运筹学数学（2018）。Bertsimas，D.和I.Popescu。

“关于期权与股票价格之间的关系：凸优化方法。”运筹学，50（2）：358 374，200 2。Beveridge，C.、M.Joshi和R.Tang。“实用的政策迭代：使用蒙特卡罗模拟快速获得百慕大外来衍生品紧边界的通用方法。”《经济动力学与控制杂志》37.7（2013）：1342-1361。Bezerra，S.、A.Ohashi和F.Russo。“非马尔可夫最优停止问题的离散型近似：第二部分。”arXiv预印本arXiv:1707.05250（2017）。Bhandari，J.、D.Russo和R.Singal。”使用线性函数近似对时间差异学习进行有限时间分析。”arXiv预印本arXiv:1806.02450（2018）。2018年考尔特接受。Blanchet、J.、G.Gallego和V.Goyal。”选择建模的马尔可夫链近似。”OperationsResearch 64，第4期（2016）：886-905。Blanchet，J.、X.Chen和J.Dong。“eps-ilon通过粗路径分析对多维随机微分方程进行强模拟。”《应用概率年鉴》，2 7，（2017），275-339。Bolia，N.、S.Juneja和P.Glasserman。“pricingAmerican选项基于函数近似的重要性采样。”第36届冬季模拟会议记录。2004年冬季模拟会议。北博利亚和朱内贾。“美国期权定价的基于函数近似的完美控制变量。”模拟会议，2005年冬天的过程。IEEE，2005年。Booth、Heather和Robert Endre Tarjan。”寻找串联并联网络中的最小成本最大流量。”《Alg算法杂志》第15期，第3期（1993）：416-446。Bouchard，B.和X.Warin。“美式期权的蒙特卡罗估值：事实和改进现有方法的新算法。”金融中的数值方法。施普林格，柏林，海德堡，2012年。215-255.Boyle，P.、A.Kolkiewicz和K.Tan。

“一种改进的模拟高维美式衍生品的方法。”数学与计算机模拟3.62（2003）：315-322。M.Braverman和K.Pasricha。“复合期权定价的计算难度。”第五届理论计算机科学创新会议纪要。ACM，2014年。Chen和Goldberg：《战胜期权定价和最优止损中的维度诅咒》，Broadie，M.和M.Cao。“通过模拟为美式期权定价的改进上下限算法。”定量金融8.8（2008）：845-861。Broadie，M.和P.Glasserman。“美国式证券定价模拟”《经济动力学与控制杂志》21.8-9（1997）：1323-1352。Broadie，M.、P.Glasserman和Z.Ha。“使用具有优化权重的随机网格模拟美式期权定价。”概率约束优化。斯普林格，波士顿，马萨诸塞州，2000年。26-44.Broadie，M.和P.Glasserman。“一种为高维美式期权定价的随机网格方法。”计算金融杂志7（2004）：35-72。Broadie，M.和J.Detemple。“周年纪念文章：期权定价：估价模型和应用。”《管理科学》50.9（2004）：11 45-1177。Brown，D.、J.Smith和P.Sun。“随机动态程序中的信息松弛和对偶性。”运筹学58.4-part-1（2010）：785-801。Brown、D.和M.Haugh。“有限时域马尔可夫决策过程的信息松弛界限。”运筹学65.5（2017）：1355-1379。Brucker，P.“树中最小成本流问题的O（nlogn）-算法。”《操作研究和数学经济学精选主题》，第299-306页。施普林格，柏林，海德堡，1984年。Bruss，F.“罗宾斯的问题大家都知道些什么？”应用概率杂志4 2.1（2005）：108-120。Buchbinder，N.、K.Jain和M.Singh。

“通过线性规划解决秘书问题。”《整数规划与组合优化国际会议》，第163-176页。施普林格，柏林，海德堡，2010年。Bumpensanti，P.和H.Wang。“具有统一收益损失的动态资源分配的重新求解启发式。”arXiv预印本arXiv:1802.0 6192（2018）。Carmona，R.，和N.Touzi。“回转选项的最佳多重停止和估值。”MathematicalFinance 18.2（2008）：239-268。Chalasani，P.和S.Jha。“随机停止时间和带交易成本的美式期权定价。”数学金融11，第1期（200 1）：33-77。Chandramouli，S.和M.Haugh。“多重停止和二元性的统一方法。”《运营研究快报》4 0.4（2012）：258-264。多重停止的凸优化方法：定价选择器上限和摆动选项Chen，N.和P.Glasserman。“美式期权定价的加法和乘法对偶。”《金融与随机》11.2（2007）：153-179。Chen，N.和J.Hong。“金融工程中的蒙特卡罗模拟”2007年冬季模拟会议。IEEE，2007年。Chen和Goldberg：在期权定价和最优停止中击败维度诅咒Chen，Y.，和M.Wang。“折扣马尔可夫决策问题计算复杂性的下界。”arXiv预印本arXiv:1705.07312（2017）。Chow，Y.和H.Robbins。“关于最佳停止规则。”Zeitschrift fur Wahrs Cheinlichkeittheorie undverwandte Gebiete 2.1（1963）：33-49。Christensen，S.“使用半有限线性规划为美式期权定价的方法。”数学金融24.1（2014）：156-172。Christiano，P.、J.Kelner、A.Madry、D.Spielman和S.Teng。“电流量、拉普拉斯系统和无向图中最大流量的更快近似。”在《第四十三届年鉴》中，《计算理论》第页。

273-282. ACM，2011年。克莱门特、E.、D.兰伯顿和P.普罗特。“美国期权定价的最小二乘回归方法分析。”《金融与随机科学》6.4（2002）：449-471。Cohen，E.“小深度网络上的近似最大流量。”《暹罗计算杂志》24，第3期（1995）：579-597。Cont，R.，和P.Ta nkov。具有跳跃过程的金融建模。(2003).库珀、W.和B.兰加拉詹。”应用于多周期库存模型的经验马尔可夫决策过程的性能保证。”运筹学60，第5期（2012）：1267-1281。Correa，J.、P.Foncea、R.Hoeksma、T.O osterwijk和T.Vredeveld。“为随机的客户流发布价格机制。”2017年ACM经济与计算会议记录，第169-186页。ACM，2017年。达斯卡·拉基斯（DaskaLakis，C.、G.Kamath和J.Wright）。”哪些分布距离是次线性可测试的？“《第二十九届ACM-SIAM离散算法年度研讨会论文集》，第27472764页。工业和应用数学学会，2018年。Davis，M.和I.Karatzas，“最佳停车的确定性方法。”《概率、统计和优化：向PeterWhittle致敬》，ed.F.P.Kelly，Wiley 1994。Del Moral，P.、P.Hu、N.Oudjane和B.Remillard。“关于Snell信封的健壮性。”《金融数学杂志》（SIAMJournal on Financial Mathematics 2），第1期（2011）：587-626。丹迪维尔，R.，和Y.斯旺。“更进一步：n=4时Robbins问题的显式解决方案。”Mathematica applicanda（20 16）。Desai，V.，V.Farias和C.Moallemi。“最佳停止问题的路径优化。”《管理科学》58.12（2012）：2292-2308。分数布朗运动的模拟荷兰阿姆斯特丹特温特大学硕士论文（2004年）。杜菲，D.动态资产定价理论。

普林斯顿大学出版社，2010年。Chen和Goldberg：《击败期权定价和最优止损中的维度诅咒》，D.“用于最优止损和统计学习的蒙特卡罗算法”《应用可能性年鉴》15.2（2005）：139 6-1432。Eglo Off，D.、M.Kohler和N.Todorovic。“百慕大期权定价的动态前瞻Mo nte Carlo算法。”应用概率年鉴17.4（2007）：1138-1171。Faden，A.“正则条件概率的存在：必要和有效条件。”概率年鉴（1985）：288-298。Ferguson，T.“谁解决了秘书问题？”统计科学（19 89）：282-289。Fujii，M.、K.Matsumoto和K.Tsubota。“美国noption上限的简单改进方法。”《随机性与随机过程国际杂志》83.4-6（2011）：449-466。吉尔伯特、J.P.和F.Mosteller。(1966). “识别序列的最大值。”《美国统计协会杂志》，61（313），35-73。Glasserman，P.《金融工程中的蒙特卡罗方法》。第53卷。Springe r科学与商业媒体，2013年。Glasserman，P.，和B.Yu。“模拟美国选项：现在回归还是以后回归？”MonteCarlo和Quas i-Monte Carlo方法2002。施普林格，柏林，海德堡，2004年。213-226.Glasserman，P.，和B.Yu。“美式期权定价中的路径数与基本函数数。”应用概率年鉴14.4（2004）：2090-2119。Gnedin，A.和A.Iksanov。“随机和矩与Ro-bbins最优停止问题。”Journalof Applied Probability 48.4（2011）：119 7-1199。Goldberg，A.和R.Tarja n.一种在非循环网络中查找阻塞流的并行算法。编号CS-TR-186-88。普林斯顿大学NJ计算机科学系，1988年。Goldenshluger，A.和A.Zeevi。

“具有未知分布的随机序列的最优停止。”(2017).Halman，N.、D.Klabjan、C.Li、J.Orlin和D.Simchi Levi。“随机动态程序的完全多项式时间近似方案。”《暹罗离散数学杂志》28，第4期（201 4）：1725-1796。N.Halman、G.Nannicini和J.Orlin。“凸随机动态程序的计算效率FPTA”，暹罗J.优化25，第317-350页，第20-15页。Halman，N.隐式s-tochastic和基于样本的动力学程序的可证明近似最优方案。技术报告4952，优化在线，2015年。N.Halman和G.Nannicini。”打破维度诅咒：具有多维作用和标量状态的随机动态程序的FPTA。”(201 7).Haug，E.《期权定价公式完整指南》。第2卷。纽约：麦格劳·希尔，2007年。Chen和Goldberg：《战胜期权定价和最优Stoppingaugh，M.和L.Kogan中的维度诅咒》。“美式期权定价：双重方法。”运筹学52.2（20 04）：258-270。Haugh，M.和L.Kogan。“美国期权定价和投资组合优化的对偶理论和近似动态规划。”《运筹学与管理科学》Handbo oks 15（2007）：925-948。Hepperger，P.“使用方差缩减蒙特卡罗方法为高维百慕大期权定价。”《计算金融杂志》16.3（2013）：99-126。Hill，T.和R.Kertz。“Random变量一致有界序列的停止规则不等式。”美国数学学会学报278.1（1983）：197-207。Hill，T.和R.Kertz。“最优停止理论中的pro-phet不等式概览。”康坦普。数学125（1992）：191-207。Hooffman，A.“关于成功的贪婪算法。”组合学调查1985（1985）：97-112。霍夫曼，AlanJ。

“关于序列并行图的贪婪算法。”数学规划40，第1-3期（1988）：197-204。关于简单的组合优化问题艾伦·霍夫曼的论文选集：附评论，第348-352页。2003年，Hong，J.和S.Juneja。“估计条件期望非线性函数的平均值。”冬季模拟会议。2009年冬季模拟会议。Hutzenthaler，M.、A.Jentzen、T.Kruse、T.Nguyen和P.von Wurstemberger。”克服半线性抛物型偏微分方程数值逼近中的维数灾难。”arXiv预印本arXiv:1807.012 12（2018）。Ibanez，A.和F.Zapatero。“通过计算最优行使边界，对美式期权进行蒙特卡罗估值。”《金融与定量分析杂志》39。2 (2004): 253-275.Ibanez，A.和C.Velasco。“百慕大风格选项的递归下界和双上界。”(2017).SSRN提供：https://ssrn.com/abs拖拉机=2512659。詹姆斯·希迪亚（Jamshidian，F.“最佳锻炼和霸道主张的二元性：斯内尔包络线的末日迈耶分解方法。”《概率与随机过程国际杂志》79.1-2（2007）：27-60。Jarrow，R.，和A.Rudd。期权定价。理查德·欧文，1983年。早期可行权导数的一类新的对偶上界，包括加法和乘法边界运营研究报告43.6（2015）：581-585。关于强化学习的样本复杂性博士学位。，伦敦大学，2003年。Kan，F.，R.Mark Reiser，T.Whitehead和M.Davidson。“修正美式期权价值蒙特卡罗估计中的偏差”，《蒙特卡罗和准蒙特卡罗方法2008》，pp。

439- 454.施普林格，柏林，海德堡，2009年。Chen和Goldberg：《击败期权定价中的维度诅咒和最优stoppingKargin》，V.“多维插值晶格期权定价”数学金融15.4（2005）：635-647。Kashtanov，Y.“最优停止问题的随机网格方法。”蒙特卡罗方法与应用23.2（2017）：121-129。Kennedy，D.和R.Kertz。“iidrandom变量最优停止中奖励序列的渐近行为。”《概率年鉴》（1991）：329-341。关于拟回归方法的收敛性：多项式混沌和正则性《应用概率杂志》54.2（2017）：424-443。科勒（Kohler）、M.、A.Krzyzak和N.Todorovic。“高维美式期权的神经网络定价”。数学金融20.3（2010）：383-410。对基于回归的蒙特卡罗方法定价美式期权的回顾应用概率和统计学的最新发展。Physica Verlag HD，2010年。37-58.Kolodko，A.和J.Schoenmakers。“迭代构造最佳百慕大停止时间。”《金融与随机科学》10.1（2006）：27-49。Lai，T.和S.Wong。“通过基函数对美式期权进行估值。”IEEE自动控制交易49。3 (2004): 374-385.Lelong，J.“维纳混沌扩展的美式期权双重定价”暹罗金融数学杂志9.2（201 8）：493-519。挥杆选项的数学：一项调查定量能源金融。Springer，纽约州纽约市，2014年。115-13 3.Lemieux，C.和J.La。“美式期权定价方差缩减技术研究。”第37届冬季模拟会议的召开。冬季模拟会议，2005年。Lerche，H.和M.Urusov。“关于最优停止中的极大极小对偶。”序列分析29.3（2010）：328-342。Lerche，H.和M.Urusov。