尾部拟线性方法的风险管理

2022-6-14 04:34:38

尾部准线性均值风险管理*以色列比尔舍瓦内盖夫本古里安大学吉尔福德·格雷泽工商管理学院工商管理系D-76128卡尔斯鲁厄卡尔斯鲁厄理工学院托默·舒什随机研究所*通讯作者。电子邮件：nicole。baeuerle@kit.eduAbstract：我们通过限制风险分布的尾部来概括准线性平均值，并表明这在风险管理中是一个有用的数量，因为它以统一的方式在其一般形式中包括风险价值、条件尾部期望和熵风险度量。然后，我们研究了所提出度量的基本属性，并展示了其独特的特征和在风险度量过程中的含义。此外，我们推导了截断椭圆损失模型的公式，并为此类模型的选定成员提供了公式。关键词：拟线性平均；风险度量；尾部风险措施；条件目标期望；风险价值；熵风险度量1简介实践中广泛使用的最突出的风险度量之一是风险价值和条件尾部期望。两者都有各自的优缺点，众所周知，条件尾部期望是控制风险价值的最小一致性风险度量（从Artzner等人（1999）的角度来看）（参见F¨ollmer&Schied（2016），定理4.67）。虽然在数值例子中，条件尾部预期通常比风险值大得多，但给定相同的α水平。在本文中，我们提出了一类风险度量，它包括风险值和条件尾部期望。具有该属性的另一类是风险价值范围，在Cont et al.（2010）中引入，作为风险价值和条件尾部预期的稳健性证明。

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2022-6-14 04:34:42

我们的方法依赖于准线性人的推广。准线性均值可以追溯到Bonferroni（Bonferroni（1924），第103页），他提出了不同均值的统一公式。有趣的是，他用精算学中关于生存概率的问题来推动这一点（详情参见Muliere&Parmigiani（1993），第422页）。用ψU（X）表示的随机变量X的准线性平均值是一个递增的连续函数，定义为ψU（X）=U-1（E[U（X）]）其中U-1是U的广义逆（参见Muliere&Parmigiani（1993））。如果U是加法凹的，则ψU（X）是确定性等价物。如果U是凸的，则U（X）对应于平均值风险度量（见Hardy et al.（1952））。我们从精算的角度来看，即我们假设随机变量X是实值的，代表固定期限结束时的净损失。这意味着正值将丢失，而负值将被视为增益。在本定义中采用指数函数时得到的一个众所周知的风险度量是熵风险度量，该度量已知为凸风险度量，但不一致（参见M¨uller（2007）；Tsanakas（2009））。本文通过关注风险分布的尾部，推广了拟线性平均。当以高于其风险价值的结果为条件时，拟议的衡量指标量化了投资者的准线性平均值。更精确的定义为ραU（X）：=U-1.EU（X）| X≥ V aRα（X）.其中，V aRα是通常的风险值。我们称之为尾部拟线性平均值（TQM）。可以看出，当我们限制凹（效用）函数时，TQM在风险值和条件尾部期望之间插值。通过正确选择效用函数U，我们可以接近风险价值或条件目标期望值。

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2022-6-14 04:34:45

当我们插入特定的实用功能时，这两种极端情况也包括在内。熵风险度量也是我们构建的一个限制性案例。虽然TQM通常不是凸的，但它有一些很好的性质。尤其是它在应用程序中仍然是可管理和有用的。我们展示了TQM风险度量在资本配置、最优再保险和最小风险投资组合中的应用。特别是在对称分布类中，我们证明了显式计算可以简化为TQM的解析闭合形式。在精算学中，已经有一些方法可以统一风险度量或保费原则。风险度量可以被视为比保险费原则更广泛的概念，因为后者被视为风险的“价格”（如Goovaerts et al.（2003）所述）；Furman&Zitikis（2008））。两者的基本定义都是从随机变量空间到实数的映射，但兴趣属性可能因应用而异。在Goovaerts et al.（2003）中，通过最小化尾部概率的马尔可夫界，提出了一种统一的方法来推导风险度量和保费原则。该方法包括均值原则、瑞士保费原则和条件尾部预期等。在Furman&Zitikis（2008）中，引入了加权保费，其中期望值是关于加权分布函数的。这种结构包括条件尾部预期、尾部方差和埃舍尔溢价。本文还讨论了这些测度的不变性和可加性。此外，均值原理以各种方式得到了推广。在B–uhlmannet al中。

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2022-6-14 04:34:49

（1977）这些保费原则已扩展到所谓的瑞士保费原则，该原则借助于参数z进行插值∈ [0，1]介于均值原则和零效用原则之间。De Vylder&Goovaerts（1980）讨论了瑞士优质原则的性质。特别是在某些假设下，证明了独立随机变量的单调性、正次Translation性和次可加性。后两个概念分别是翻译变异性和次加性的弱化版本。Ben Tal&Teboulle（2007）研究了所谓的优化确定性当量，作为构建风险度量的一种手段。它包括条件尾部预期和有界短缺风险。以下部分提供了风险度量的定义和准备工作，将作为本文的必要基础。第3节介绍了拟议的风险度量，并推导了其基本属性。我们展示了这类风险度量的各种表示，并证明了凹函数U（在技术假设下）的TQLM在风险值和条件尾部期望之间有界。不幸的是，这一类中唯一一致的风险度量结果是条件目标期望（这可能并不奇怪，因为这在普通确定性等价物类中也是如此，见M¨uller（2007））。在第4节中，我们在选择指数函数时考虑了特殊情况。在这种情况下，我们称之为ραUTail条件回归风险测度，并证明它在共单调随机变量类中是凸的。第5节专门讨论应用程序。在第一部分中，我们讨论了资本配置的应用。我们根据我们的TQM确定了每个子投资组合的风险度量，并讨论了其性质。

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2022-6-14 04:34:52

在第二部分中，我们考虑了一个以TQM为目标函数的最优再保险问题。对于凸函数U，我们证明了最优再保险合约是止损形式的。在第6节中，研究了对称分布族的拟议风险度量。这里可以进行一些明确的计算。特别是对于尾部条件熵测度，存在一个显式公式。最后，以尾部条件熵风险测度为目标函数，求解了一个最小风险投资组合问题。第7节对本文进行了讨论。2经典风险度量和其他初步研究我们考虑实值连续随机变量X：Ohm → 定义在概率空间上(Ohm, F、 P）并用X表示该集合。这些随机变量表示固定期限结束时的贴现净损失，即正值视为损失，负值视为收益。我们用fx（x）表示（累积）分布函数：=P（x≤ x），x∈ R、此外，我们考虑了递增和连续函数su:R→ R（如果X只取正值或负值，则可以限制U的域）。广义逆U-1此类功能由U定义-1（x）：=inf{y∈ R:U（y）≥ x} ，其中x∈ R、带L：={X∈ X:X是E[X]<∞}我们表示所有实值、连续、可积随机变量的空间。我们现在回顾一些风险度量的概念。通常，风险度量是映射ρ：L→R∪ {∞}. 特别重要的是以下风险措施。定义2.1。

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2022-6-14 04:34:55

对于α∈ （0、1）和X∈ l使用分布函数FXwe definea）α级X的风险值为V aRα（X）：=inf{X∈ R:FX（x）≥ α}.b） αasCT Eα（X）水平上X的条件尾部期望：=E[X | X≥ V aRα（X）]。请注意，条件尾部预期的定义是针对与风险平均值、预期短缺或尾部条件预期相同的连续随机变量（见F¨ollmer&Schied（2016）或Denuit et al.（2006）第4章）。下面我们总结了广义逆的一些性质（参见McNeilet al.（2005），A.1.2）。引理2.2。对于具有广义逆U的递增连续函数U-1方法：a）U-1严格递增并保持连续。b）对于所有x∈ R+，y∈ R、我们有你-1.o U（x）≤ x和Uo U-1（y）=y.c），如果U在（x）上严格增加- ε、 x）对于ε>0，我们有U-1.o U（x）=x。下一个引理对于风险度量的替代表示很有用。它可以直接从风险价值的定义中得出。引理2.3。对于α∈ （0，1）和任何递增的左连续函数f:R→ R itholds V aRα（f（X））=fV aRα（X）.在下文中，我们将研究风险度量ρ：L的一些性质→ R∪{∞}, like（i）定律不变性：ρ（X）仅取决于分布FX。（ii）恒常性：ρ（m）=所有m的m∈ R+。（iii）单调性：如果X≤ Y然后ρ（X）≤ ρ（Y）。（iv）平移不变性：对于m∈ R它保持ρ（X+m）=ρ（X）+m。（v）正同质性：对于λ≥ 0它认为ρ（λX）=λρ（X）。（vi）次加性：ρ（X+Y）≤ ρ（X）+ρ（Y）。（vii）凸性：对于λ∈ [0，1]它认为ρ（λX+（1- λ） Y）≤ λρ（X）+（1- λ） ρ（Y）。具有（iii）-（vi）性质的风险度量称为一致性。注意，当X是离散随机变量时，CTEα（X）不一定是相干的，但如果X是连续的，则CTEα（X）是相干的。还要注意，如果ρ是正齐次的，则凸性和次可加性是等价的性质。

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2022-6-14 04:34:58

接下来，我们需要通常的随机序的概念（参见M¨uller&Stoyan（2002））。定义2.4。设X，Y为两个随机变量。那么，X通常按随机顺序（X）小于Y≤stY）如果E[f（X）]≤ E【f（Y）】对于所有增加的f:R→ R、当存在期望时。这相当于FX（t）≥ FY（t）适用于所有t∈ R、最后，我们还必须处理共单调随机变量（参见Denuit et al.（2006）中的定义1.9.1）；定义2.5。如果存在随机变量Z和递增函数f，g:R，则两个随机变量X，Y称为共单调变量→ R使得X=f（Z）andY=g（Z）。如果两个函数中的一个是递增的，另一个是递减的，则这对函数称为反单调函数。连续随机变量X的3尾拟线性平均值∈ X和α级∈ （0，1）让我们介绍以下形式的风险度量：定义3.1。让X∈ 十、 α∈ （0，1）和U是一个递增的连续函数。尾部准线性平均值由ραU（X）：=U定义-1.EU（X）| X≥ V aRα（X）（3.1）只要内部条件预期存在且不确定。备注3.2。a）很容易看出，U（x）=x导致CT Eα（x）。b）拟线性平均ψU（X）通过取limα得到↓0ραU（X）。在下文中，我们将首先给出一些TQM的替代表示。通过定义条件分布，我们可以立即写出ραU（X）=U-1E级U（X）1{X≥V aRα（X）}P（X≥ V aRα（X））！其中P（X≥ V aRα（X））=1- α表示连续X。此外，当我们用▄P（·）=P（·▄X表示时≥ V aRα（X））给定X的条件概率≥ V aRα（X），然后我们得到ραU（X）=U-1.EU（X）. （3.2）因此，ραU（X）只是X相对于条件分布的拟线性平均值。为了了解TQM衡量的是什么，假设U是有效的。然后我们通过泰勒级数近似（参见。

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2022-6-14 04:35:00

Bielecki&Pliska（2003）），ραU（X）≈ CTEα（X）-`U（CT Eα（X））T Vα（X）（3.3），其中\'U（X）=-U（x）U（x）是绝对风险规避的Arrow-Pratt函数，t Vα（x）：=V ar（x | x≥ V aRα（X））=E[（X- CT Eα（X））| X>V aRα（X）]（3.4）是X的尾部方差。如果U是凹的\'U≥ 如果U是凸的\'U，则从CT Eα中减去0和T Vα≤ 添加0和T Vα，以惩罚尾部的偏差。从这个意义上讲，ραU（X）近似为约束优化问题的拉格朗日函数，我们希望在尾方差不太高的约束下优化条件尾期望。以下技术假设将是有用的：（A）存在ε>0，使得U在（V aRα（X）上严格增加-ε、 V aRα（X））。显然，假设（A）是满足的，如果U在其域上严格增加，那么在所有合理的应用中都应该满足。经济上（A）指出，至少在临界水平V aRα（X）之前的很短时间内，我们的措施严格惩罚了X的较高结果。在假设（A）下，我们获得了TQM的另一种表示。引理3.3。对于所有X∈ 十、递增连续函数U和α∈ （0，1）使得（A）满足，我们得到ραU（X）=U-1.CT Eα（U（X））.证据我们首先表明，在（A）下，我们得到：{X≥ V aRα（X）}={U（X）≥ V aRα（U（X））}。由于引理2.3，我们立即得到{X≥ V aRα（X）} {U（X）≥ U（V aRα（X））}={U（X）≥ V aRα（U（X））}。另一方面，我们有引理2.2b），c）thatU（X）≥ V aRα（U（X））=> 十、≥ U-1.o U（X）≥ U-1.o U（V aRα（X））=V aRα（X），这意味着两个集合相等。因此，我们得到了U（X）| X≥ V aRα（X）= EU（X）| U（X）≥ V aRα（U（X））= CT Eα（U（X）），这意味着该语句。接下来，我们将提供TQM的一些简单但基本的特性。第一个比较明显，我们跳过了证明。引理3.4。

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2022-6-14 04:35:03

对于任何X∈ 十、 TQLM和拟线性平均ψUare相关如下：ραU（X）≥ ψU（X）。如果U是凹的，则TQM在风险值和条件尾部期望之间插值。我们将在假设（A）下的下一个定理中说明这一点（另请参见图1）：定理3.5。对于X∈ X与凹增函数U和α∈ （0，1）使得（A）满足，我们得到v aRα（X）≤ ραU（X）≤ CTEα（X）。此外，还存在效用函数，从而达到了界限。如果U为凸且满足（A），且存在所有期望，则我们得到ραU（X）≥ CTEα（X）。证据设U为凹形。我们将首先证明上界。这里，我们使用（3.2）中ραU（X）的表示作为条件分布P的确定性等价物。我们使用Jensen不等式E[U（X）]≤ U（~E[X]）=U（CT Eα（X））。（3.5）在两侧取U的广义逆，并使用引理2.2 a），b）得到ραU（X）≤ U-1.o U（CT Eα（X））≤ CTEα（X）。选择U（x）=x导致ραU（x）=CT Eα（x）。对于下界，请注意u（V aRα（X））≤ EU（X）| X≥ V aRα（X）.在两侧取U的广义逆，并使用引理2.2 c）yieldsV aRα（X）=U-1.o U（V aRα（X））≤ ραU（X）。定义U（x）=x、 x个≤ V aRα（X）V aRα（X），X>V aRα（X）产量-1（x）=x、 x个≤ V aRα（X）∞, x>V aRα（x），我们得到U（X）| X≥ V aRα（X）= U（V aRα（X））。在两侧取U的广义逆并使用引理2.2 c）得到ραU（X）=U-1.o U（V aRα（X））=V aRα（X），表明可以达到下限。如果U是凸的，则（3.5）中的不等式相反。接下来我们讨论TQM的性质。当然，当我们以特定的方式选择U时，我们期望拥有更多的房产。定理3.6。

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2022-6-14 04:35:06

TQLMραuh具有以下性质：a）它是定律不变的。b）它具有恒常性。c）这是单调的。d）当且仅当U（x）=-e-γx，γ>0，或者如果U是线性的。e）它在严格递增的函数类中是正齐次的，只有U（x）=γxγ，x>0，γ6=0或U（x）=ln（x）或U是线性的。证据a）定律不变性直接源于ραu的定义和V aRα是定律不变性的事实。b）对于m∈ 我们有V aRα（m）=m，因此P=P，这意味着这个陈述。图1：当效用函数U为凹函数时，TQM、CTE、确定性等价物和预期之间的关系。c）这里我们使用表示ραU（X）=U-1E级U（X）1{X≥V aRα（X）}1.- α!.因此，必须表明关系X≤ Y表示EU（X）1{X≥V aRα（X）}≤EU（Y）1{Y≥V aRα（Y）}. 因为我们只对X和Y的边际分布感兴趣，所以我们可以选择X=F-1X（V），Y=F-1Y（V）与均匀分布在（0，1）上的相同随机变量Vwhich。我们用引理2.2X得到≥ V aRα（X）<=> F-1X（V）≥ V aRα（F-1X（V））<=> F-1X（V）≥ F-1台V aRα（V）<=> F-1X（V）≥ F-1台α<=> 五、≥ α.Y也是如此。自X起≤ Y我们获得F-1台≤ F-1 Yand thusEU（X）1{X≥V aRα（X）}= EF-1X（V）1{V≥α}≤ EF-1Y（V）1{V≥α}= EU（Y）1{Y≥V aRα（Y）}这意味着结果。d）因为我们有ραU（X）=U的表示-1.EU（X）, （3.6）这一陈述源自穆勒（2007）定理2.2。注意，我们可以在这里使用一个固定的条件分布，因为{X≥ V aRα（X）}={X+c≥V aRα（X+c）}对于所有c∈ R、 e）如d）中所述，该陈述源自M¨uller（2007），定理2.3。注意，我们可以在这里使用一个固定的条件分布，因为{X≥ V aRα（X）}={λX≥V aRα（λX）}对于所有λ>0。备注3.7。

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2022-6-14 04:35:09

定理3.6的单调性似乎很明显，但如果X和Y是离散的，它可能不成立。在这种情况下，必须谨慎（另请参见B¨auerle&M¨uller（2006））中给出的其他示例）。ConditionalTail期望也是如此。定理3.8。如果ρα是一致的风险度量，那么它就是条件尾部期望度量ραU（X）=CT Eα（X）。证据从定理3.6中可以看出，平移不变性和齐次性同时成立，当且只有U是线性的，这意味着ραU是条件尾部期望。4尾条件熵风险测度在U（x）=γeγx，γ6=0的情况下，我们得到了熵风险测度的条件尾版本。由ραU（X）=γlog E[EγX | X]给出≥ V aRα（X）]。（4.1）在这种情况下，我们写ραγ而不是ρα，因为U由γ确定。对于α↓ 0我们在极限内得到了经典熵风险测度。我们称为ραγ（X）尾条件熵测度，并从（3.3）得到ραγ（X）的以下近似值：如果γ6=0非常接近于零，则熵风险测度的条件尾版本可近似为ραγ（X）≈ CTEα（X）-γT Vα（X）。i、 e.它是由条件尾部期望和尾部方差组成的加权度量（见（3.4））。尾部条件熵风险度量的另一种表示形式是γ6=0，由给出（参见B–auerle&Rieder（2015）；Ben Tal&Teboulle（2007））ραγ（X）=infQP等式[X]+γ等式logdQdP.其中，P再次是条件分布P（·| X≥ V aRα（X））。最小Q*isattained atQ*（dz）=eγzP（dz）ReγyP（dy）。根据定理3.6，我们不能期望尾部条件熵风险测度是凸的。然而，我们得到以下结果：定理4.1。当γ>0时，尾条件熵风险测度对于共单调随机变量是凸的。证据

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2022-6-14 04:35:12

首先注意尾部条件熵风险测度具有恒常性和平移不变性。因此，使用Deprez&Gerber（1985）中的定理6，可以证明g（0；X，Y）≥ 0表示所有共单调X，Y，其中g（t；X，Y）=ραγ（X+t（Y- 十）），t∈ (0, 1).因为X和Y是共单调的，所以我们可以把它们写成X=F-1X（V），Y=F-1Y（V）与均匀分布在（0，1）上的相同随机变量V。因此，我们得到了引理2.2（也比较定理3.6c的证明）X≥ V aRα（X）<=> F-1X（V）≥ V aRα（F-1X（V））<=> F-1X（V）≥ F-1台V aRα（V）<=> F-1X（V）≥ F-1台α<=> 五、≥ α.Y和X+t（Y）也是如此-十） =（1）-t） X+tY=（1-t） F级-1X（V）+tF-1Y（V），因为它是t的V的递增左连续函数∈ (0, 1). 因此，我们在此条件下的所有事件都是相同的：{X≥ V aRα（X）}={Y≥ V aRα（Y）}={X+t（Y-X）≥ V aRα（X+t（Y-十））}={V≥ α}.因此我们得到（t；X，Y）=E（Y）- 十） eγ（X+t（Y-十））[V≥α]Eeγ（X+t（Y-十））[V≥α]andg（0；X，Y）=γE（Y）- 十） eγX[V≥α]EeγX[V≥α]-E（Y）- 十） eγX[V≥α]EeγX[V≥α]!.此表达式可以解释为（Y）的方差- 十）在概率测量dpdp=eγX[V≥α] E类eγX[V≥α]因此大于或等于零，这意味着该语句。5应用程序在本节中，我们展示了TQM是风险管理中各种应用程序的有用工具。5.1资本配置公司通常存在将全球风险资本要求向下分配到子投资组合的问题。一种方法是使用Aumann-Shapley资本分配规则。对于凸风险度量，这不是一项容易的任务，例如Tsanakas（2009）中已经讨论过。在这方面，一个可取的特性是，子投资组合的资本要求之和等于全球风险资本要求。更精确地说，设（X，X，…，Xn）为n个随机变量的向量，并设S=X+X+…+xN其总和。

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2022-6-14 04:35:15

根据TQM，衡量Xito对总资本要求的贡献的直观方法是通过定义（例如与Landsman&Valdez（2003）进行比较）：ραU（Xi）：=U-1（E[U（Xi）| S≥ V aRα（S）]）。如果ραU（S）=nXi=1ραU（Xi | S），则会产生资本分配规则。（5.1）很容易证明，该性质仅在特殊情况下成立：定理5.1。总损失S的TQLM等于风险源Xi的TQLM之和，i=1，2。。。，n、即（5.1）适用于所有随机变量Xi，i=1，2。。。，n、 I仅当U为线性时。一般来说，我们不能期望（5.1）保持不变。事实上，对于尾部条件熵测度，我们得出，如果损失是共单调的，则无法将投资组合拆分为子投资组合，而如果两个损失是反单调的，则可以。定理5.2。尾部条件熵风险测度对于γ>0和共单调Xi，i=1，nραγ（S）的性质≥nXi=1ραγ（Xi | S）。当n=2和X时，Xare反单调不等式相反。证据在定理4.1的证明中，对于共单调X，Y，X=F-1X（V），Y=F-1Y（V）与均匀分布在（0，1）和thatX+Y上的相同随机变量V≥ V aRα（X+Y）<=> 五、≥ α.因此，S=X+Y1- αEheγ（X+Y）[S≥V aRα（S）]i=1- αEheγ（F-1X（V）+F-1Y（V））[V≥α] i=~EheγF-1X（V）eγF-1Y（V）i≥EheγF-1X（V）iEheγF-1Y（V）i=1- αEheγX[S≥V aRα（S）]i1- αEheγY[S≥V aRα（S）]是协方差。对于共单调随机变量，协方差为正。这里，与前面一样，P是比亚迪给定的条件分布PdP=1-α[V≥α]. 在两侧取γlog表示n=2的结果。一般结果是通过归纳随机变量的数量得出的。在反单调的情况下，不等式相反。5.2最优再保险薄膜风险度量也可用于确定最优再保险条约。

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2022-6-14 04:35:18

如果随机变量X描述损失，保险公司可以通过将X分为两部分并将其中一部分转移给再保险公司来降低风险。更正式地说，再保险协议是f:R的函数+→ R+使得f（x）≤ x和fas以及Rf（x）：=x- f（x）都在增加。再保险部分则为f（x）。后一种假设通常是为了排除道德风险。在以下情况下，letC={f:R+→ R+| f（x）≤ x个x个∈ R+和f，Rfare increasing}，是所有再保险协议的集合。请注意，C中的函数尤其是Lipschitzcontinuous，因为Rfincreasing导致f（x）- f（x）≤ x个- 所有0的X≤ x个≤ x、当然，保险公司必须向承担部分风险的再保险人支付保险费。为简单起见，我们在此假设保费是根据预期价值保费原则计算的，即θ>0时，保费由（1+θ）e[f（X）]给出，且一定金额P>0可用于再保险。现在的目标是求解ραURf（X）s、 t.（1+θ）E[f（X）]=P，f∈ C、（5.2）这意味着，鉴于P金额可用于再保险，保险公司试图将留存风险降至最低。这类问题可以在Gajek&Zagrodny（2004）中找到。B–auerle&Glauner（2018）中给出了多维扩展。在下面的内容中，我们假设U是严格递增的、严格凸的和连续可微的，即根据（3.3），Rf（X）右尾的大偏差是严重类型化的。为了避免琐碎的情况，我们假设可用于再保险的金额不会太高，即我们假设p<（1+θ）e[（X- V aRα（X））+]。下面的定理给出了最优再保险协议。结果是阿斯托普损失条约。定理5.3。

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2022-6-14 04:35:21

问题（5.2）的最优再保险协议由byf给出*（十）=0，x≤ a、 x个- a、 x>a，其中a是（1+θ）E[（x）的正解- a） +]=P.请注意，最优再保险协议并不取决于U的精确形式，即保险公司的精确风险规避。证据首先观察z 7→ E[（X- z） +]连续且递减。此外，假设P<（1+θ）E[（X-V aRα（X））+]。因此，根据中值定理，存在a>V aRα（X），使得（1+θ）E[（X- a） +]=P.自U起-问题（5.2）相当于tomin EhU（Rf（X））1[Rf（X）≥V aRα（Rf（X））]s、 t.（1+θ）E[f（X）]=P，f∈ C、自f起∈ C我们通过引理2.3得到，V aRα（Rf（X））=Rf（V aRα（X）），并且由于Rfisnon递减，我们得到{X≥ V aRα（X）} {Rf（X）≥ Rf（V aRα（X））=V aRα（Rf（X））}。另一方面，假设f（x）=0表示x是合理的≤ V aRα（X），因为该概率质量未进入目标函数，这意味着Rf（X）=X forx≤ V aRα（X），因此{Rf（X）≥ Rf（V aRα（X））=V aRα（Rf（X））} {X≥ V aRα（X）}。我们总共有{Rf（X）≥ V aRα（Rf（X））}={X≥ V aRα（X）}。因此，我们可以等效地考虑问题minfehu（Rf（X））1[X≥V aRα（X）]s、 t.（1+θ）E[f（X）]=P，f∈ C、接下来要注意的是，对于任何凸的可微函数g:R+→ R+thatg（x）- g（y）≥ g（y）（x）- y），x，y≥ 现在考虑函数g（z）：=U（x-z） 1[x≥V aRα（X）]+λz，对于固定λ：=U（a）>0和固定X∈ R+。根据我们的假设，g是凸的且可微分，导数EG（z）=-U（x- z） 1[x≥V aRα（X）]+λ。让f*是定理和f中定义的再保险协议∈ C任何其他可接受再保险条约。

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2022-6-14 04:35:23

ThenE公司U（X- f（X））1[X≥V aRα（X）]- U（X- f*（十））1[X≥V aRα（X）]+λ（f（X）- f*（十）（）≥≥ 呃- U（X- f*（十））1[X≥V aRα（X）]+λ（f（X）- f*（十） i.重新排列术语，并注意到E[f（X）]=E[f*（十） ]我们获得U（X- f（X））1[X≥V aRα（X）]+ 呃U（X- f*（十））1[X≥V aRα（X）]- λ（f（X）- f*（十））我≥≥ EU（X- f*（十））1[X≥V aRα（X）]下面是我们可以证明U（X- f*（十））1[X≥V aRα（X）]- λ（f（X）- f*（十））我≤ 我们可以写U（X- f*（十））1[X≥V aRα（X）]- λ（f（X）- f*（十））i=E[X≥a]U（X- f*（十））1[X≥V aRα（X）]- λ（f（X）- f*（十）（）++ E[X<a]U（X- f*（十））1[X≥V aRα（X）]- λ（f（X）- f*（十）（）在第一种情况下，我们得到X≥ a由f定义*λ（注意a>V aRα（X））：U（X- f*（十））1[X≥V aRα（X）]- λ=U（a）- λ = 0.在第二种情况下，我们得到X<a的f（X）- f*（十） =f（X）≥ 0和自ui增加：U（X- f*（十））1[X≥V aRα（X）]- λ ≤ λ1[X≥V aRα（X）]- λ ≤ 0。因此显示该语句。6对称损失模型的TQM对称分布族以提供合适的金融和精算分布而闻名。该族将正态分布推广到对称的柔性分布框架中。如果一个实值随机变量X的概率密度函数的形式为fx（X）=σg，那么我们说它具有对称分布x个- uσ!, x个∈ R（6.1），其中g（t）≥ 0，t≥ 0，是X和saties的密度生成器∞Zt公司-1/2g（t）dt<∞.参数u∈ R和σ>0分别是分布的期望值和尺度参数，我们写X v S（u，σ，g）。如果存在X的方差，则其形式为v（X）=σZσ，其中σZ=2∞Ztg公司t型dt<∞.对于续集，我们还定义了标准对称随机变量Z v S（0，1，g）和累积生成器g（t），这是Landsman&Valdez（2003）首次定义的，采用了形式g（t）=∞Ztg（v）dv，条件G（0）<∞.

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2022-6-14 04:35:26

对称分布族的特殊成员有：a）正态分布，g（u）=e-u型/√2π，b）学生t分布g（u）=Γ（m+1）Γ（m/2）√mπ1+2微米-（m+1）/2当m>0自由度时，c）物流分布，g（u）=ce-u/（1+e）-u）其中，c>0是规格化常数。在下文中，我们将考虑这类随机变量的TQM。定理6.1。设X v S（u，σ，g）。然后，TQLM采用以下形式ραU（X）=ραИU（Z）（6.2），其中U（X）=U（σX+u）。证据对于对称分布X，我们有ραU（X）=U-1E级U（X）1{X≥V aRα（X）}1.- α!.现在我们得到了U（X）1{X≥V aRα（X）}=Z∞V aRα（X）U（X）σg（十）- uσ)dx=Z∞V aRα（X）-uσU（σz+u）g（z）dz=z∞V aRα（Z）~U（Z）g（Z）dz=EU（Z）1{Z≥V aRα（Z）}式中，U（x）=U（σx+u）。因此，声明如下。对于尾部条件熵风险测度的特殊情况，我们得到以下结果：定理6.2。设X v S（u，σ，g）。当且仅当尾部条件熵风险度量满足ραγ（X）=u+σρασγ（Z）<∞.证据对于函数U，我们得到：EhU（X）1[X≥V aRα（X）]i=Z∞V aRα（X）U（X）σg（十）- uσ)dx=Z∞V aRα（X）-uσU（σy+u）g（y）dy.插入U（x）=γeγxyieldsEhU（x）1[x≥V aRα（X）]i=γeγuZ∞V aRα（X）-uσeγσyg（y）dy。因此，ραγ（X）=γnγu+对数Z∞V aRα（X）-uσeγσyg（y）dy- 日志（1- α） o=u+σγσlogZ∞V aRα（Z）eγσyg（y）dy+ σlog（1- α） σγ=u+σρασγ（Z）还应注意ραγ（X）<∞ 等价于矩生成函数的存在性。在下面的定理中，我们导出了对称损失模型族的尾部条件熵风险测度的显式公式。为此，我们用κ（t）：=logψ表示Z的累积函数-t型其中ψ是特征发生器，即它满足e[eitX]=eituψ（tσ）。定理6.3。设X v S（u，σ，g），并假设X的矩母函数存在。

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2022-6-14 04:35:30

然后，尾部条件熵风险测度由ραγ（X）=u+γ给出-1κ（γσ）+对数FY（V aRα（Z））1- α-1/γ.这里FY（y）是密度FY（y）=eγσyψ的随机变量y的累积分布函数-γσg级y, y∈ Rand Fy是其尾部分布函数。证据根据前面的定理，我们得到ραγ（X）=u+σρασγ（Z），其中Z vS（0，1，g）。然后，根据Landsman et al.（2016），可以明确计算对称分布的条件特征函数，如下所示：EeγσZ | Z≥ V aRα（Z）=∞RV aRα（Z）eγσzgzdz1- α观察到以下关系适用于g的任何特征生成器ψ（参见Landsman et al.（2016），Dhaene et al.（2008））aZ-∞eγσzgzdz=ψ-γσFY（a），a∈ R、我们的结论是eγσZ | Z≥ V aRα（Z）= ψ-γσFY（V aRα（Z））1- α、最后，ραγ（X）=u+σρασγ（Z）=u+γ-1.对数ψ-γσ+ logFY（V aRα（Z））1- α= u + γ-1κ（γσ）+对数FY（V aRα（Z））1- α-1/γ，其中κ（γσ）=logψ-γσ是Z的累积量。示例6.4。正态分布。对于X v N（u，σ），特征发生器是指数函数，我们有ψ-t型= et.（6.3）这导致以下密度YfY（y）=eγσy-γσ√2πe-y（6.4）=φ（y- γσ），其中φ是标准正态密度函数。然后，尾部条件熵测度由ραγ（X）=u+γσ+log给出Φ (Φ-1(α) - γσ)1 - α-1/γ.这里Φ，Φ分别是标准正态分布的累积分布函数和尾部分布函数。备注6.5。定理6.1和6.3的公式可以专门用于恢复对称分布的条件尾部期望、风险值和熵风险测度的现有公式。

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2022-6-14 04:35:33

更精确地说，我们从定理6.3中得出，ct Eα（X）=limγ↓0ραγ（X）=limγ↓0hu+γ-1κ（γσ）+对数FY（V aRα（Z））1- α-1/γi=u+σ′G（V aRα（Z））1- α、其中，第一个limγ↓0γ-1κ（γσ）=0，使用L\'Hopital规则，第二个极限是再次使用L\'Hopital规则得到的状态表达式。该公式可在Landsman等人（2016）的推论1中找到。熵风险测度可由IMα得到↓0ραγ（X）=u- γ-1κ（γσ），对于风险值，我们最终通过定理6.1和usingU（x）得到=x、 x个≤ V aRα（X）V aRα（X），X>V aRα（X），即V aRα（X）=u+σV aRα（Z）。因此，我们的一般公式包括几个重要的特例。6.1尾部条件熵测度的最优投资组合选择最优投资组合选择的概念可以追溯到Markowitz（1952）和deFinetti（1940），其中，均值-方差度量的优化提供了一个投资组合选择规则，该规则计算应给予投资组合的每项投资的权重，以便在一定风险水平下获得最大回报。在本节中，我们将使用多变量光学模型的TQM度量检验最优投资组合选择。分布的多变量椭圆模型定义如下：设X为随机向量，其值为Rn，其概率密度函数为（参见Landsman&Valdez（2003））fX（X）=p∑gn（十）- u）T∑-1（x- u), x个∈ 注册护士。（6.5）此处为gn（u），u≥ 0，是满足不等式的分布的密度生成器∞Ztn/2-1gn（t）dt<∞,其中u∈ Rn是X的期望值，∑是n×n正有限尺度矩阵，其中，如果存在，X的协方差矩阵由cov（X）=σZn∑给出，我们写X v En（u，∑，gn）。对于n=1，我们得到了上一节讨论的对称分布类。

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2022-6-14 04:35:36

对于椭圆分布类的一大子集，例如正态分布、Student-t分布、logistic分布和Laplace分布，对于X v En（u，∑，gn）和π∈ 对于一些非随机向量，我们有πTX v E（πTu，πT∑π，g），g：=g。这意味着椭圆随机向量的线性变换也用相同的生成器gnreduced为一维的椭圆分布。例如，在正态分布的情况下，gn（u）=e-u/（2π）n/2，然后g（u）：=g（u）=e-u/（2π）1/2。在现代投资组合理论中，投资组合回报率表示为R：=πTX，其中假设X v Nn（u，∑）是财务回报的正态分布随机向量。定理6.6。设X v En（u，∑，gn）。然后，组合收益率R=πTX的尾部条件熵风险度量由ραγ（R）=πTu给出+√πT∑πραγ√πT∑π（Z）。证据根据椭圆随机向量的线性变换特性，并使用REM 6.2，定理立即成立。使用与Landsman&Makov（2016）相同的符号和定义，我们将n个1和1的列向量定义为（n）的列向量-1）一个。此外，我们用以下划分∑定义n×n正有限尺度矩阵∑=∑∑∑Tσnn.这里∑是一个（n- 1） ×（n- 1）矩阵，σ=（σ1n，…，σn-1n）Tandσnni是∑的（n，n）分量，我们还定义了a（n- 1） ×（n- 1）矩阵Q，Q=∑- 1σT- σT+σnnt也是正定义（再次参见Landsman&Makov（2016））。我们还确定了（n- 1） ×1列向量 = un- u其中u：=（u，u，…，un-1） T.在下面的内容中，我们考虑用固定α和γ的最小ραγ来查找Portfolio的问题：minπραγ（R）s.T.nXi=1πi=1。（6.6）下一个定理给出了解决方案：定理6.7。设X v En（u，∑，gn）为收益的随机向量，R=πTX为投资组合收益X，X。。。，Xn。

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2022-6-14 04:35:39

那么，（6.6）的最优解是π*= ^1+r*^1ifr·sTQ公司-1.·r+T∑-1.-1.= 1/2有唯一的正解r*. 此处^1=T∑-1.-1Σ-11,φ=TQ公司-1.-1TQ-1.T、 s=ds（T）/dt，s（T）=TραTγ（Z）。证据我们首先通过定理6.6观察到，当πTu最小化时，ραγ（R）最小化+√πT∑πραγ√πT∑π（Z）。然后，使用Landsman&Makov（2016）中的定理3.1（另见Landsman et al.（2018）），紧接着陈述。7讨论尾部准线性平均值是一种关注风险分布右尾部的度量。在一般定义中，它包括许多著名的风险度量，如风险价值、条件尾部预期和熵风险度量。因此，一旦得到关于TQM的结果，我们就能够将它们专门化到其他有趣的案例中。这也符合平均值原则的精算概念。此外，我们已经证明，在风险管理中应用TQM确实是可能的，并且它会产生计算上可处理的结果。致谢：这项研究得到了以色列科学基金会（T.S.第1686/17号拨款）的支持。参考文献：Artzner，P.、Delbaen，F.、Eber，J.M.、Heath，D.（1999）。一致的风险度量。数学金融，9（3），203-228。B–auerle，N.，&Glauner，A.（2018）。再保险网络中的最优风险分配。保险：数学与经济学，82，37-47。B¨auerle，N.，&M¨uller，A.（2006）。随机顺序和风险度量：一致性和界。保险：数学与经济学，38132-148。B–auerle，N.，&Rieder，U.（2015）。部分可观测的离散时间风险敏感停止问题。受控随机过程的现代趋势：理论与应用，第二卷（A.B.Piunovskiy ed）。Luniver出版社，12-31。Ben Tal，A.，&Teboulle，M.（2007）。凸风险度量的一个古老的新概念：优化确定性等价物。

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2022-6-14 04:35:42

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