统计力学和时间序列分析

2022-6-14 05:17:05

具有实时应用可能性的L'evy参数统计力学和时间序列分析Jurischajurisch@ymail.com我们开发了一种方法，将四阶截断累积量函数与塞尔维昂累积量函数联系起来。这为我们提供了L'evy参数的显式公式，可以实时分析随机运动的状态。不需要像最大似然法或最小二乘法这样繁琐的程序。此外，我们从统计力学的角度处理了L'evy系统，并计算了它的热力学性质。这也包括相对论修正的分形性质的讨论。作为时间序列分析的示例，我们将我们的结果应用于德国DAX和美国标准普尔500指数的时间序列。PACS编号：05.20-y、 05.60-k、 05.40。Jc，05.40。Fb，05.45。Tp，2.50-r、 2.50。Ey，2.70。RrI。引言aGaussian通常很好地描述了具有可忽略相互作用的宏观多粒子系统的统计信息，它可以由Maxwell-Boltzmann分布或没有非线性项的Ginzburg-Landau泛函给出。然而，有些宏观系统并非如此。这可能是由于相互作用，或者仅仅是由于粒子数或参与者的数量（如果社会经济系统受到关注）不够大，甚至不足以接近中心极限定理的范围，这相当于高斯定理。在这种系统中，必须考虑像偏度或峰度这样的高阶波动，这可能会导致与高斯分布的显著偏差。L'evy分布给出了高斯分布的自然推广。注意，许多分布函数都是L'evy分布的特例，参见Feller（11）或Zolotarev（25）的教科书。

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2022-6-14 05:17:08

Tsallis分布提供了不同类型的泛化。然而，Tsallis分布产生了一个非延拓热力学，我们倾向于保持与延拓性质的联系。作为非高斯宏观系统的例子，我们选择了股票市场数据。然而，我们的结果是一般性的，因此将适用于不属于中心极限定理领域的任何其他宏观系统。那么，为什么要以股票市场为例进行应用呢？因为它们关于非高斯行为的特性已经被很好地理解，因此它们是测试我们方法可靠性的完美手段。我们写这篇文章的方式是，一个不熟悉股市的读者仍然可以带走通用感知（generalessentials）——或者至少我们希望如此。1961年，曼德尔布罗特（Mandelbrot）[19]证明了市场的行为本质上是非高斯的。自1900年Bachelier对市场行为进行首次分析以来，Mandelbrot的工作可以被视为一项重大突破。特别是，Mandelbrot已经证明，市场随机运动的分布函数表现出类似于L’evy分布，我们在下文中将其称为L’evian。Mandelbrot的结果已经得到证实。g、 Mantegna等人【20】。市场的非高斯行为也反映在这样一个事实上，即当使用历史波动率（方差）时，期权定价的高斯-布莱克-斯科尔斯-默顿理论[4，21]的作用不够充分，因此必须引入隐含波动率的概念。此外，依赖于Cox-Ingersoll-Ross模型的方法[9]，例如。

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2022-6-14 05:17:11

汤普金斯（Tompkins）[24]在描述期权定价以及描述整个市场方面取得了更大的成功。然而，众多不同的模型，我们还将提到赫斯顿[12]，这是一个众所周知的模型，并不能使事情变得更容易，因此似乎有望走上分数差异的一般道路。有关分数或异常差异的详尽介绍，请参见Metzler等人的报告【22】。例如，Cont等人[8]在市场份额分析方面取得了重大进展，表明市场通常表现出与L'evy指数α=1.7相关的行为。高斯情况意味着α=2。Bouchaud等人【7】等对市场的分数行为进行了广泛的研究，而Feigenbaum等人【10】和Johansen等人【13、14】等则专注于接近崩溃的市场的关键动力学。用物理学的语言来说，碰撞可以理解为相变。本文的一个主要结果是，theL'evy指数α是时间或温度的函数。由于α描述了随机系统的输运性质，α的连续变化很可能被解释为连续相变。下面，我们将对可能发生的相变的性质以及列维昂系统的统计力学和热力学进行详尽的讨论。特别地，我们将讨论经典动能的相对论修正与分形统计之间的关系。Aguilar等人【1，2】、Borland等人【5，6】、Kleinert等人【16，17】和我们自己【15】提出了分数期权定价的最新方法。Aguilar等人使用了一种非常技术性的方法，完全依赖于埃维昂，Borland等人。

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何人来此

2022-6-14 05:17:14

提出一个通过Tsallis分布引入分数行为的模型。与埃维昂更密切相关的是Kleinert等人和我们自己的Ansatze。Kleinert等人通过使用分数导数引入分数行为，而我们建议使用分数高斯，它直接来自于L’evy Khintchine定理和与L’evian密切相关的极值原理。然而，所有模型都需要输入它们所依赖的参数的数值。确定分布函数参数的选择方法是最小二乘法和最大似然原理的频率法，或贝叶斯方法。就L’evian而言，由于L’evian是通过傅里叶变换定义的，并且仅对其所依赖的参数的某些数值稳定，因此，L’evian拟合程序尤其困难。这适用于正常的L’evian和截断的L’evian。在本文中，我们发展了一种理论，该理论允许我们直接从所考虑的时间序列中计算出L’evian的参数，但无需使用频繁或贝叶斯拟合程序。事实上，这使我们能够实时计算L'evy参数，这样我们就可以对arandom运动所处的局部状态做出陈述。具体而言，我们的方法通过对数条件的连续匹配，将四阶截断累积量函数与L’evian的累积量函数联系起来。截断的累积函数是多项式，因此不会产生稳定的结果。我们解决这个问题的方法是对截断的累积量函数进行aPad再求和，从中可以得到稳定的结果。根据2013年至2018年的状态分析，我们将我们的结果应用于德国DAX和美国标准普尔500指数的随机波动。

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可人4

2022-6-14 05:17:17

我们的结果与指数的行为非常一致。我们特别强调，我们的L'evy指数α随时间变化的局部结果与CONT的整体结果非常一致。等人【8】。此外，我们使用O\'Hagen和Leonard【23】的方法引入了一个基于【15】结果的斜分数分布函数。将O\'Hagen和Leonard的方法与我们的分数高斯法相结合，避免了列维昂所涉及的一些特性，并允许我们计算描述系统局部状态的局部分布函数的可接受估计。二、L'EVY参数的计算我们从四阶截断累积量函数开始考虑，读取ψ（k）=iσ（t）k-σ（t）k- iσ（t）k+σ（t）k.（1）在我们的符号中，我们有σ平均值，σ方差，σ偏度和σ峰度。我们用时间参数表示累积量，因为它们总是被理解为运行累积量。我们可以安全地假设非高斯分布函数P（x）由这四个累积量有效地描述。然而，不可能通过傅里叶变换p（x）=Z从等式（1）计算该分布函数∞-∞dk2πexp[-i k x+ψ（k）]，（2），因为由于峰度的贡献，积分将发散。但峰度包含有关分布函数形状的有趣信息，因此我们寻求一种方法，允许我们包含峰度。注意，对于σ=0，傅里叶变换公式（2）产生了一个艾里函数，如果适当切割振荡部分，该函数可用作斜分布函数。但我们在这方面采取了更为普遍的做法。解决ψ（k）产生的问题的关键是使用L'evian累积量函数，参见例如。

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mingdashike22

2022-6-14 05:17:19

[11],Ψ∞（k） =±iγk- α| k |α±iαβk | k |α-1ζ（α，k），（3），其中指数∞ 表示L'evian渐近稳定的事实。正如下文所示，函数ζ（α，k）在这里不感兴趣，因此我们将不对其作进一步的评论。参数γ缩写为γ=σ-β、其中β是相关参数。参数β不是原始的L'evy参数，但我们引入它是为了解释我们所做的观察，见下文。与ψ相反∞（k），可观测累积量函数ψ（k）可以假设仅对小k有效。现在的问题是将L'evy参数{α，α，β，β}与累积量{σ，σ，σ，σ}联系起来。这可以通过对数条件的匹配来实现，然而，ψ（k）的结构是多项式，因此不会产生稳定的结果。解决此问题的一种方法是对ψ（k）进行Pad'e-再汇总，就像在类似情况下的场论中一样，参见例[18]。Pad'e重采样累积量函数P（k）=P（k，2，2）+i P（k，1，2）由P（k）=-σ（t）| k|1+σ（t）12σ（t）| k|-1+iσ（t）k1+σ（t）6σ（t）| k|-1.（4）通过Pad'e-重新汇总，没有任何信息被抑制或以实质性的方式改变，但是，傅里叶变换公式（2）的发散被消除。对于我们确定的限制→0P（k）=-σ（t）k+iσ（t）k，（5）limk→∞P（k）=-6σ（t）σ（t）+i 6σ（t）σ（t）k-1.（6）极限说明，对于小k，特征函数Φ=exp[P]的行为类似于高斯，而偏斜效应仅渐进。此时峰度的贡献只不过是一个因素。由于动量空间和实空间是相反的，我们可以推断实空间中的分布函数像高斯函数一样衰减，并且在原点附近表现出倾斜行为。Pad'e重新恢复累积量函数等式。

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2022-6-14 05:17:23

（4） thusalready是否允许我们通过傅里叶积分公式（2）计算分布函数P（x）。然而，我们选择研究累积量和L'evy参数之间的关系。这将使我们对时间序列的行为有更深入、更全面的了解。根据公式（4），我们现在可以执行匹配程序。A、通过匹配P（k）和ψ的实部来计算迁移指数和方差∞（k）我们连续地一起得到了传输指数α的表达式，α（k）=24σ（t）12σ（t）+σ（t）k.（7），到目前为止，公式（7）取决于波矢。情况k=0对应于σ（t）=0，并给出α=2，即高斯分布。| k |的情况→ ∞ 给出α=0，这是极端厚尾状态。可以假设中间的过渡区域由标准偏差的范围给出，因此kmatch≈ 1/pσ（t）。这一假设是正确的，因为标准偏差大致确定了分布函数主体到尾部发生交叉的区域。当我们插入kmatchinto公式（7）时，我们得到α=24σ（t）12σ（t）+σ（t）。（8）通过引入归一化峰度σ（t），我们可以将公式（8）转换为α（t）=12+￠σ（t），￠σ（t）=σ（t）σ（t）。（9）这个结果支持我们关于kmatch的假设，因为α（t）确实与时间序列的峰度密切相关。请注意，对于α（t）<2的左旋依云是厚尾的，而对于α（t）>2的左旋依云是细尾的。我们称α（t）为输运指数，因为它的数值描述了随机系统中存在的输运特性：对于▄σ（t）>0，通常的扩散（高斯）、轻轨或跳跃扩散，因此α（t）<2；对于▄σ（t）<0，则平坦或欧姆扩散，因此α（t）>2【26】。此外，我们还获得了α（t）=6σ（t）α/212+～σ（t）=ασ（t）α/2，（10），从中我们可以确定有效方差∑（t）=ασ（t）α/2。（11）按公式计算。

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2022-6-14 05:17:25

（9，10）L'evian累积量函数方程（3）的实部完全由obseravbles{σ，∧σ}确定。B、偏斜参数{β（t），β（t）}描述分布函数的偏斜行为。它们可以通过匹配P（k）和ψ的虚部来获得∞（k）如上所述连续进行。对于α（t）6=1，我们发现γ（t）=σ（t）- β（t）=-72σ（t）（α（t）-1)6σ（t）+pσ（t）～σ（t）+6（1+α（t））σ（t）（α（t）-1)6σ（t）+pσ（t）～σ（t）, （12）和β（t）=±12σ（t）σα（t）/2|Μσ（t）α（t）（α（t））-1)6σ（t）+pσ（t）～σ（t）ζ（α，k）。（13）在等式中。（12，13）我们使用了归一化偏度▄σ（t）=σ（t）pσ（t）。（14） α（t）=1的情况是柯西分布的特例，我们在此不讨论。我们下面的分析将表明，对于股市数据，α（t）>1将成立。通过检查公式（3），我们注意到参数β（t）乘以ζ（α，k），因此我们可以在下面的讨论中忽略公式（13）中的该因素。应用于数据，参数{γ（t），β（t）}可以给出较大的数值，这与所考虑的时间序列的行为不匹配。然而，Eqs。（12，13）仍然是微扰方法的结果，因此我们可以假设只应考虑∑（t）中的前导阶。此外，经验表明，与{σ（t），σ（t）}相比，偏度▄σ（t）通常只有很小的数值，因此方程的前导顺序。（12，13）无论如何都是有效的。下面我们将看到，这个假设确实是正确的，因为前导序提供了时间序列的倾斜行为的极好描述。{γ（t），β（t）}的σ（t）中的前导顺序由γ（t）=σ（t）给出- β（t）=σ（t）-（α（t）-3） pσ（t）（α（t）-1） 6σ（t）+O~σ, （15）和β=±4￠σ（t）3（α（t）-α（t））+氧~σ. （16）我们在公式（16）中选择了正号，因为相位的选择与我们的观察结果一致，见下文。来自等式。

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2022-6-14 05:17:28

（15）我们可以推断，β（t）描述了平均值σ（t）的斜移，在对称分布函数的情况下，它也是最大值。如上所述，在适当切割的空气分布情况下也可以观察到类似的现象。方程（16）中的参数β（t）的作用类似于弹性，它描述了分布函数的倾斜变形。三、 L'EVIAN统计力学和相变类型在统计力学意义上，L'EVIAN累积量函数方程（3）的实部具有无功能量的含义，因此我们有哈密顿量（k）=k |α。（17）请注意，有效方差的倒数∑-1（t）在以下方面起着热能kBT的作用。FromEq。（17）我们可以立即推断出≤ α（t）≤ 2随机运动在α（t）=2（高斯）的经典（离散）行为和α（t）=1的声波（类波）行为之间变化，这对应于柯西情况。如果传输指数是时间的函数，这是第一种局部发生的连续相变。关于哈密顿公式（17），我们将讨论相对论修正如何导致分形行为。对于低动量，我们发现（p）=ppc+mc=m c+p2 m-p8 mc+O（p）。（18）通过省略剩余能量，并利用哈密顿量和累积量函数ψ=-βH，β-1=kBT，我们发现峰度≈σ=3（m cβ）。注意，这里σ=β/m成立。一种统计数据，它希望包括相对论修正，这与傅里叶变换公式（2）的收敛问题相同。然而，根据公式（8），我们发现传输指数α=2-2 m cβ+O~σ. （19）因此，将第一次相对论修正包括在内，可以有效地理解为引入分形行为。对于超相对论情况H（p）=c | p |，我们发现了一个柯西分布。

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2022-6-14 05:17:31

最后要注意的是，对于多项式相互作用U（x）到四阶，也可以引入分形行为，例如有效值yu（x）~ xα出现。第二类连续相变与第一类相变相关，或者说是对其的不同解释。对称L′evian的傅里叶变换可以转换为p（x）=αZ∞dqπq2/α-1exp-∑qcoshx q2/αi，（20），其中我们设置了k=q2/α。当我们将公式（20）解释为维积分时，我们发现维的d（t）=2/α（t）。高斯情况下，d（t）=1，而对于柯西情况，d（t）=2。因此，经典运动和声波运动之间的连续相变对应于一个连续的一维相变，它位于一维和二维之间。对于α（t）<1的值，系统的维数会朝着完整性快速增长。关于分布函数的尾部，我们知道，尾巴越粗，越有可能出现大的移动，这由d（t）=2/α（t）表示，对应于内部自由度的增长。极端轻轨极限α（t）→ 这导致了动量空间中蒸发的模拟。注意，通过α（t）的连续变化，分布函数处于呼吸模式。现在我们想讨论一下列维昂系统的热力学性质。由于现实空间中没有相互作用，我们可以假设埃维昂气体是一种理想气体，尽管是分数气体。请注意，根据我们的发现，上述分形行为很可能与多项式相互作用有关。我们用z=VNN来计算配分函数！αZ∞dq q2/α-1exp-∑q余弦∑βqN、（21）在式（21）中，我们使用的密度仅为正半定义，因此不是严格意义上的密度。包含余弦，但这是包含倾斜行为的唯一可能性，我们将看到这确实是有意义的。

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可人4

2022-6-14 05:17:34

对于这里的余弦感到不安的Areader可能会想到Wigner函数，它也只是一个正半定义，但仍然可以被视为一个相空间分布。对于自由能，使用斯特林公式，我们发现f=-N∑1+lnVNα1+1/α∑-1/α(1 + β)-1/（2α）cosarctan[|β|]αΓ[1/α]. （22）状态方程如下：- F 五、∑，N=p=NV∑-1，（23），其中p等于压力。式（23）是理想气体状态方程的等价物，正如预期的那样。我们推断它保持p（α）≥ p（α=2），因此非高斯系统中的压力始终高于高斯系统中的压力。这一结果是正确的，因为对于瘦小的身体和肥胖的尾巴来说，大跳跃的概率高于高斯情况。系统内压力越高，爆发概率越高。对于我们发现的熵=（∑） F Σ五、 N=N（1+α）α+N lnVNα1+1/α∑-1/α(1 + β)-1/（2α）cosarctan[|β|]αΓ[1/α].（24）在图（1）中，我们将熵S表示为几个β值的α函数。图（1）阐明了弹性β起着序参数的作用。β值越大，系统内部的熵越小。1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5 22.533.54SHΑ2L0.2 0.4 0.6 0.8 1∑21.21.41.61.822.22.4XXΒ2 \\\\图1：左图：熵作为α的函数。通过σ=0.5、β=0（黑色）、β=0.5（蓝色）和β=1（红色）选择参数。右图：β的标准偏差作为σ的函数。参数由α=2（黑色）、α=1.7（蓝色）、α=1.5（红色）和α=2.5（绿色）选择。一般设置为N=1，V=1。由于熵是无序的一种度量，我们可以得出这样的结论：偏度创造了秩序，因为偏度指示了随机运动的方向。因此，作为序参数的弹性可以被视为磁化或极化的类似物。

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mingdashike22

2022-6-14 05:17:37

根据严格的莱维昂条件-1.≤ β≤ 1铁磁相变的类似物与|β|=1有关。通过观察β的矩，可以进一步分析β的磁化强度。我们计算βni=αZ∞dq q2/α-1Z-1dβnexp-∑q余弦∑βq. （25）我们发现hβi=0。这是意料之中的，因为我们可以很好地假设系统的平均状态是对称的（顺磁），因此是最大熵的状态，正如我们从上面所知道的。请注意，在以下DAX和标准普尔500指数的状态分析中，我们将发现hβ（t）i 6=0。这一结果仍然是有限时间范围内的动态平均值，因此与我们目前的热力学结果没有主要矛盾。只有在有限的时间范围内，我们才能预期与热力学极限的稳定匹配。差异β是有限的。然而，我们不会写下这个公式，因为它是cumbrous，积分是直接的。我们在图（1）中说明了标准偏差hhβii=phβi。我们很容易推断出，我们可以预期非高斯情况下的歪斜函数比高斯情况下的强。这个结果是正确的，因为高斯情况可以被视为一个平衡，而平衡可以被认为是对称的。此外，我们可以推断，当σ趋于零时，偏斜函数显著增加。这种状态给出了相应分布函数的薄体，包括高斯分布函数和非高斯分布函数，我们当然可以预期这种状态下的随机运动会出现突变。爆发是必然的，但发生在某个方向，爆发的方向会导致系统的偏斜或极化。然而，我们必须强调，疫情的增加并不一定会导致疫情爆发。

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2022-6-14 05:17:40

我们处理的是一个随机运动，如果不发生极有可能发生的疫情，无论出于何种原因，这种运动很可能会朝着平衡方向放松。四、 DAX和标准普尔500指数的状态分析在本节中，我们将我们的结果应用于德国DAX和美国标准普尔500指数。我们的状态分析将表明，我们为上述L'evy参数推导的公式工作得很好，并且可以令人满意地描述随机运动所处的状态。A、 DAX数据在图（2）中，我们展示了德国DAX的状态分析。时间段为2013年2月至2018年9月，图表上的时间单位为一天。考虑到一个月有20个交易日，移动平均线抽样约240个数据点。图中从上到下的窗口为：a）DAX的随机运动（浅绿色），b）倾斜位移参数β（t）（黄色），c）标准偏差，L'evianp∑（t）（灰色），Gaussianpσ（t）（红色），d）传输指数α（t）（aqua），e）弹性参数β（t）（石灰）。数据由Metatrader软件分析，数据由XM提供。通用域名格式。图2：DAX分析的可视化。从上到下的窗口。DAX的随机运动（浅绿色）。斜移参数β（黄色）。标准偏差：埃维昂（灰色）、高斯（红色）。传输指数α（aqua）。弹性参数β（石灰）。运行参数大约在一年内采样，p=240（交易日）。数据取自Metatrader 4，提供者XM。首先，我们了解到传输指数的范围在1.48之间振荡≤ α（t）≤ 1.9，平均值为hα（t）i=1.73。这与Cont等人[8]的研究结果完全一致，其中发现静态总体值α=1.7。我们还推断，对于下降的α（t），DAX执行更大的运动，而对于增长的α（t），运动会平静下来，甚至可能停滞。

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大多数88

2022-6-14 05:17:43

这也完全符合这样一个事实，即α（t）越小，埃维昂的尾巴就越胖。更粗的尾巴表明，与高斯或接近高斯的环境相比，更大的跳跃更有可能发生。对于1.8<α（t），可给出近似高斯环境≤ 2.我们还注意到，当随机运动的波动限制在一个狭窄的区域时，α（t）下降。这也与L’evian的性质完全一致，因为对于α<2，分布函数体变薄。胖尾巴和瘦身体是相互关联的，因此这种随机运动状态可以很好地用爆发临近的方式来解释，因为这是一种高内压状态。然而，当然有可能没有爆发发生，因此系统放松了高斯状态。α（t）的行为反映在标准偏差的行为中。高斯标准差总是大于列维昂标准差。这是意料之中的，因为对于α（t）<2，有效方差∑（t），见等式（11），总是小于高斯方差σ（t）。这再次反映了埃维昂的薄体，因此压力更高。此外，我们发现，当β（t）>0时，斜移参数β（t）表示上升运动，而当β（t）<0时，则有收缩或停滞的趋势。未在图（2）中绘制的偏度范围由下式给出-1.7≤ σ（t）≤ 1.63 . 对于σ（t）<0，我们有上升运动，而对于σ（t）>0，我们有停滞或牵引。我们看到弹性β（t）在-1.83≤ β（t）≤ 2.26，因此对埃维昂的限制-1.≤ β≤ 违反了1。我们推断，对于β（t）>0，存在上升运动，而对于β（t）<0，则出现收缩或停滞。

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大多数88

2022-6-14 05:17:46

因此，β（t）的行为与β（t）的行为相同。然而，平均值位于hβ（t）i=0.35。因此，可以计算平均值hβ（t）i=0.35的L’evian，但不一定总是局部β（t）。下面将讨论我们如何在分布函数方面处理这个问题。所有L'evy参数都是时间的函数，因此为了推断趋势或趋势的变化，也必须考虑极值、转折点和零点。还要注意的是，移动平均线必然是一个很大的问题。3：标准普尔分析的可视化。从上到下的窗口。标准普尔500指数的随机波动（浅绿色）。倾斜移位参数β（黄色）。标准偏差：埃维昂（灰色）、高斯（红色）。传输指数α（aqua）。弹性参数β（石灰）。运行参数的采样周期约为一年，p=240（交易日）。数据取自Metatrader 4，providerXM。延迟，使得随机运动和移动平均线在现场的行为并不总是重叠。然而，由{α（t），p∑（t），β（t），β（t）}提供的总览与随机运动的行为非常一致。对于我们用来计算累积量的移动平均数的构造，请参见附录。B、标准普尔500指数在图（3）中，我们展示了美国标准普尔500指数的状态分析。时间段为2013年2月至2018年9月，图表上的时间单位为一天。移动平均值再次采样约240个数据点。图片中的窗口从上到下显示：a）标准普尔500指数（浅绿色）的随机运动，b）斜移参数β（t）（黄色），c）标准偏差，L’evianp∑（t）（灰色），Gaussianpσ（t）（红色），d）运输指数α（t）（aqua），e）弹性参数β（t）（石灰）。

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2022-6-14 05:17:49

数据由Metatrader软件分析，数据由XM提供。通用域名格式。首先，我们注意到标准普尔500指数的随机运动比DAX的随机运动更平稳。这是因为欧洲指数是加权绩效指数，而盎格鲁-撒克逊指数大多是加权平均值指数。因此，与前一年的参考日期相比，DAX不仅包括其组成部分的价值，还包括其营业额。我们发现传输指数介于1.5之间≤ α（t）≤ 1.87，平均值由hα（t）i=1.74给出。Againwe发现与Cont等人[8]的静态总体值完全一致，α=1.7。当然，我们上面所说的关于可能爆发或向高斯区域放松的所有内容在这里也适用。弹性介于-1.3<β（t）<2.26，因此再次违反了严格的莱维昂条件-1.≤ β≤ 1.然而，弹性的平均值由hβ（t）i=0.62给出，因此可以计算出总体L'evy分布。因此，图（3）中未绘制的偏度范围由下式给出-1.86<σ（t）<1.49。上述关于其他参数{p∑（t），pσ（t），β（t）}的所有内容在这里也适用。五、构造偏态分布函数从我们上面的数据分析中我们知道，弹性-1.≤ β≤ 如果它是局部函数β（t），则违反1。然而，对于一个稳定的埃维昂，它必须无条件地持有-1.≤ β≤ 1.这使得严格意义上的塞尔维昂对于计算局部分布函数毫无用处。奥哈根（O\'Hagen）和伦纳德（Leonard）提出了一种优雅地解决这个问题的方法。为了讨论我们如何仍然可以利用这些参数，我们将给出这种方法的基本动机。偏态的引入类似于对称函数的反对称化。

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2022-6-14 05:17:52

因此，任何反对称函数都可以作为引入偏态的工具，至少在原则上是这样。阶跃函数A（x）=θ（x）提供了反对称化器的一般假设。（26）等式（26）给出的函数A（x）在某种程度上是一个硬反对称器。然而，函数A（x）却有一个显著的特性，即它可以被涂抹成累积概率分布CDF，例如A（x；β）=1+erfβx√2 σ, （27）这与高斯函数的CDF有关。对于任何符合函数a（x；β）的函数，以下限制必须保持，limβ→0A（x；β）=，limβ→±∞A（x；β）=θ（±x）。（28）等式（28）所要求的属性由对称分布函数的任何CDF填充，给定适当的归一化。[23]中建议的结构是，可以通过ansatzP（x；β）=Psym（x）a（x；β）对对称分布函数进行反对称化来引入偏度。（29）通过适当的归一化，斜分布函数遵循以下性质Limβ→0P（x；β）=Psym（x），limβ→±∞P（x；β）=Psym（x）θ（±x）。（30）参数β的作用类似于上述弹性。在【23】中，通过拟合来估计倾斜参数。尽管我们得到了关于L'evy参数的结果，但我们能够绕过这种不方便的方法，并使用从时间序列计算出来的{β，β}。因此，可以通过ansatzP（x；α，α，γ，β）=Psym（x）提出具有L'evy参数的斜分布函数- γ; α、 α）A（β（x- γ); α, α) . （31）必须始终记住，施工公式（31）是一个估计值，而不是一个精确的数量。

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2022-6-14 05:17:55

Psym的CDF总是提供一个合适的反对称器A。作为psym的一个模型，我们使用我们在[15]中推导的分数和极值高斯，读取psym（x）=N（α，α）exp“-|x个||x |α（4- α)3.-α#exp“|x |α（4- α)4.-α3-αα#，（32），归一化n（α，α）=3- α4 - αα(4 - α)3.-α!3.-α4-αΓ2 α- 7α- 4.-1.（33）对于α=2，分数高斯当然是正态高斯。我们的分布函数有一个优点，即我们可以摆脱为了在实空间中获得L'evian或截断的L'evian而必须进行的傅立叶变换。-3-2-1 0 1 2 3x00.20.40.6PHxL-3-2-1 0 1 2 3x00.20.40.60.81CDFHxLFIG。4：根据等式（31）给出的反对称化，对倾斜行为进行了说明。左：倾斜分布函数。（31）（黑色）与对称分布函数公式（32）（蓝色）相比。这些分布是标准化的。右图：相应累积概率分布CDF的说明。我们选择了α=1.7，σ=0.5和￠σ=-由于式（32）已经依赖于两个L'evy参数{α，α}，因此仍然需要通过式（31）给出的构造引入斜交参数{γ，β}。分布函数公式（32）仍然呈指数衰减，然而，α<2时，这是由一个更胖的体来补偿的，因此与高斯函数相比，波动空间仍然增加，更多细节请参见【15】。在图（4）中，我们说明了上述反对称化的影响。我们清楚地看到，生成了一个合理的偏态分布函数，它充分满足了所有预期的需求。对于负偏度￠σ<0，我们观察到，由于γ=-β. 注意σ=0。

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何人来此

2022-6-14 05:17:58

弹性β减少了γ左侧的弯曲空间，而γ右侧的弯曲空间略有增加。这种行为正是我们从偏态分布函数中所期望的。因此，我们现在能够计算L'evy参数的任何可能值的分布函数，特别是弹性β，不受硬约束施加的限制-1.≤ β≤ 1.六、数据分布函数的可视化我们现在可以进一步进行随机运动的状态分析。上述方法允许将分布函数直接可视化为与时间相关的L'evy参数的局部函数。例如，我们再次选择了DAX和标准普尔500指数，但规模更大，如上所述。我们将以一周为时间单位分析随机运动。这个尺度允许我们描述随机运动的一般状态。我们选择的采样周期为260周，因此为五年。可视化时间段为2015年至2018年。我们再次使用了XM提供的Metatrader数据。通用域名格式。在图中。（5，6）我们说明了DAX和标准普尔500指数的映射分布函数。橙色线表示高斯分布，浅绿色线表示偏态分数分布。中间线是最大值，而外部线标记标准偏差。映射如下所示。在高斯情况下，我们绘制最大值：σ（t），标准- 偏差：σ（t）±pσ（t）。在偏态分数分布的情况下，我们绘制了最大值：γ（t）=σ（t）- β（t），标准- 偏差：γ（t）±2p∑（t）CDF[γ（t）β（t）]。通过这种构造，我们满足了式（30）中讨论的反对称化要求。对于β（t）→ 0表示对称情况，而对于β（t）→ ±∞ 我们得到了完全反对称情形。

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2022-6-14 05:18:01

注意，对称性不一定是高斯区域，因为对于传输指数，它可能仍然保持α（t）<2。从图（5）中，我们可以很容易地推断出，DAX的随机运动正好显示了我们对L'evy参数行为的了解所预期的倾斜和分馏行为。首先，我们注意到，斜分数分布函数主要表示上升运动，因为σ（t）>γ（t），这表明β（t）>0。下部的流动空间（aqua）略有减少，而上部的图。5： DAX分析的可视化。运行参数的采样周期约为一年，p=260（交易周）。等距线表示高斯分布，等距线表示斜分数分布公式（31）。数据取自Metatrader 4，提供者是XM。建筑空间（aqua）略有增强。此行为与图（4）中所示的行为相同。2015年和2016年，我们注意到，建筑物位于由水线表示的建筑物空间内。特别值得注意的是，2016年的停滞恰好发生在γ（t）左右。2017年和2018年，我们从下面看到了上标准差∑（t）的交叉，这可以解释为夸大。2018年，如图所示，上述γ（t）的交叉打破了上升趋势。同样的分析适用于标准普尔500指数，见图（6）。如上所述，我们注意到标准普尔500指数的随机运动比DAX指数更为剧烈。2015年和2016年的停滞在γ（t）附近振荡，也在水线表示的低层空间内振荡。2016年底开始出现上升趋势，2018年初，我们充分夸大了这种上升趋势。

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2022-6-14 05:18:05

在一些动荡之后，上升趋势又恢复了，正如图中所示。总之，我们看到我们对随机运动的斜分数描述与它的实际行为非常一致。在当地，我们发现我们的方法比高斯方法提供了更好的解释手段。七、结论我们开发了一种方法，使我们能够将时间序列的可观测特性，即累积量{σ，σ，σ}，与L'evy参数{α，α，β，β}联系起来。我们的方法依赖于截断累积量函数的Pad'e重新求和，公式（1），这允许我们修复傅里叶变换的发散性，这将特征函数与分布函数联系起来。因此，获得了渐近稳定性，这使得有可能在L'evian累积量函数上连续匹配Pad'e重新恢复的累积量函数，等式（4），等式（3）。根据匹配，我们计算了L'evy参数的显式公式。我们的公式允许我们分析随机运动相对于其非高斯特性的状态。我们强调，这种分析可以实时进行，因为L'evy参数是可观测累积量的时间相关函数。因此，通过最大似然法或最小二乘法进行的静态匹配逐渐消失。这消除了随机运动状态分析中的大量影响。图6：标准普尔分析的可视化。运行参数的采样周期约为一年，p=260（交易周）。范围线表示高斯分布，水线表示斜分数分布。数据取自Metatrader 4，提供程序isXM。comWe根据分数气体分析了埃维昂的统计和热力学性质。此外，我们还演示了我们的形式主义如何轻松地将相对论修正与经典动能关联到分形行为。

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可人4

2022-6-14 05:18:08

然而，我们分析的主要结果是，弹性β（t）就像一个序参数，类似于磁化或极化。此外，我们还阐明了在列维昂体系中发生的连续相变的性质，如果其参数，尤其是输运指数α是时间的函数。注意，如果α是温度的函数，则会发生相同类型的相变。作为应用我们结果的示例，我们选择了德国DAX和美国标准普尔500指数。将随机运动与我们的公式进行了比较，结果表明，它们在描述非高斯性质方面有很好的一致性。这尤其适用于传输指数α（t）的值。时间相关指数的平均值为DAX的hα（t）i=1.73，标准普尔500指数的hα（t）i=1.74。这与Cont等人[8]的结果相符，他们发现整体静态值α=1.7。因为随时间变化的弹性β（t）的局部值违反了严格的L’evian条件-1.≤ β≤ 1，不可能计算局部L'evian分布函数。我们通过使用我们在[15]中推导的极值和分数高斯函数来回避这个问题。奥哈根·伦纳德（O\'Hagenand Leonard）[23]的构造完成了偏斜的包含。结果是一个偏态分布函数，它以合理的方式描述了随机运动的特性。这可以通过分布函数在指示器随机运动上的直接映射得到证实，如图所示。(5, 6).进一步研究的问题是，我们的结果如何与Tsallis分布相关，从而与非扩展热力学相关。这一点尤其令人感兴趣，因为对埃维昂方法和塔利斯方法的比较可能会说明这两种主要分数统计之间的相似性，但肯定也会有差异。

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大多数88

2022-6-14 05:18:11

请记住，引入非高斯行为没有唯一的方法。附录A：加权移动平均任何时间序列分析的核心都是移动平均。有一些扩展的方法可以根据ARMA、ARCH和GARCH计算移动平均数。就我们而言，所有这些答案都不能满足简单应用的需要。此外，当我们处理知识有限的随机系统时，我们认为最好使用最少的基本假设。相反，我们将使用加权移动平均值，该平均值的计算不需要确定其他参数。我们选择的移动平均值是线性加权的，由hm（t，p）i=N给出-1Xn=0w（n）c（tn）。（A1）权重w（n）及其归一化由w（n）=（n）给出- 1.- n） n个-1Xn=0（N- 1.- n）哦！-1=2（N- 1.- n）（n）- 1）式（A2）中的N.（A2）c（tn）是时间tn的收盘价。表达式hm（t，p）i是时间t的平均值，计算周期p。因此，p=N个数据点。权重w（n）定义了一个三角形递减过滤窗口，因此最新事件的权重高于旧事件。从技术上讲，三角形窗口是一种低通滤波器。低通滤波器抑制所有高阶模式，而低阶模式几乎可以在不损失信息的情况下通过滤波器。这一点很重要，因为α的数值越小，低洼模式就越重要。这一事实可以通过傅里叶变换P（x）=Z很容易推断出来∞-∞dk2πexp[-i k x- α| k |α]。（A3）α的数值越小，特征函数Φ（k）=exp的体越胖[-α| k |α]。动量空间中的阿法特体，但在实空间中表示P（x）的肥尾，反之亦然。应提供进一步的技术说明。式中的总和。

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2022-6-14 05:18:14

（A1）以相反的方向进行，然后通常进行，因为在图表分析中，最年轻的事件通常设置在t点。对于其他系统的分析，必要的更改是直接进行的。附录B：基本趋势函数的构造移动平均线的有利斜率线由构造[27]给出，hM（t，p）i=2 hM（t，p/2）i- hm（t，p）i，p=N。（B1）ansatz公式（B1）加倍加重了N周期数组的较年轻的一半，整个数组从中减去。由此创建了一个内存内核，其惰性小于等式（A2）给出的移动平均值。惯性是时间序列分析中的一个主要问题。太惰性的移动平均线和惰性不够的移动平均线一样无用。通过对hM（t，p）i求和可以实现进一步的平滑。这最终为我们提供了趋势函数HHM（t，p）ii=ppXn=0hM（tn，p）i，p=√N（B2）式（B2）中的平方根对应于高斯分布，有效地去除了加权移动平均中的大部分剩余噪声。这种选择的背景原因可以从分数微积分中推断出来。它认为hx（t）i~√t、请参阅Metzler等人的详尽报告【22】，了解更多信息。然而，从数值上讲，当然不可能求出平方根的真实值，取而代之的是闭合积分。1、内存内核的正不确定性在这里，我们将讨论内存内核公式（B1）的ansatz为什么有效的问题。内存内核等式（B1）可以由hm（t，p）i=2Xn=p/2写入- 1w（n/2）c（tn）-Xn=p- 1 w（n）c（tn），（B3）公式（B3）中的和的重新排序导致toXn=p/2-1an公司-Xn=p- 10亿=Xn=p/2- 12an- bn公司- bn+p/2=Xn=p/2- 12an1.-bn+bn+p/22an. （B4）我们寻找的标准是等式（B4）中的括号是否始终为正。

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2022-6-14 05:18:18

插入系数weobtain1-bn+bn+p/22an=1-w（n）2 w（n/2）-w（n+p/2）2 w（n/2）c（tn+p/2）c（tn）。（B5）对于等式（B5），我们假设数据集的元素都具有相同的数量级。因此，我们可以设置c（tn+p/2）/c（tn）≈ 1.此外，我们可以推断w（n）/w（n/2）<1n、这最终确保等式（B5）对于所有时段p都具有正的不确定性。因此，可能记忆的一般公式必须为hm（t，p）iu=u（u+1）- 4uXν=2νhm（t，p/ν）i- 嗯（t，p）i！，（B6）其中u≤ p、经验表明，u=2就足够了。对于u>2的值，去除了过多的惰性。2、移动累积量为了计算L'evy参数，我们还需要移动累积量。计算由hck（t，p）i=N完成-1Xn=0w（n）（c（tn）- hM（t，p）i）k，k=2，3，4。（B7）然后通过等式（B2）所述的程序进一步平滑累积量hCk（t，p）i，σk（t，p）=ppXn=0hC（tn，p）i，p=√N（B8）平滑累积量用于计算L'evy参数。[1] Aguilar J-P.，Korbel C.C.：《非高斯分析期权定价：列维稳定模型的闭合公式》，arXiv:1609.00987v5【q-fin.PR】，（2017年）。[2] Aguilar J-P.，Korbel J.《时空分数差异驱动的期权定价模型：序列表示和应用》，arXiv:1802.09864v1【q-fin.MF】，（2018年）。[3] 学士路易：《科学年鉴》（Annales Scientifique de l\'E.N.S.），特洛伊群岛（troisi\'eme S\'erie），第17卷（1900），第21-86页。[4] Black Fischer，Scholes Myron：《期权定价和公司负债》，政治经济学杂志81，3，（1971年）。[5] Borland L.：基于非高斯股票价格模型的期权定价公式，Phys。修订版。Lett 89，N9，098701，（2002年）。[6] Borland L.，Bouchaud J。

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2022-6-14 05:18:21

P、：一个带有偏斜的非高斯期权定价模型，arXiv:cond mat/0403022，（2004）。[7] Bouchaud J.-P.、Potters M.、Meyer M.：《金融时间序列中的明显多重分形》，欧元。物理。J、 B 13595，（2000年）。[8] Cont R.、Potters M.和Bouchaud J-P.：《金融数据中的标度：稳定定律及其以外、标度不变性及其以外》，Springer Verlag，（1997）。[9] 考克斯J.C.、英格索尔J.E.、罗斯S.A.：《利率期限结构理论》，计量经济学53385 ff。，(1985).[10] Feigenbaum J.A.，Freund P.G.O.《崩盘前股票市场的离散尺度不变性》，内景J.Mod。物理。B B，3737，（1996年）。[11] Feller W.《概率论及其应用导论》第2卷，威利，纽约（1966）。[12] Heston Steven L.：《随机波动期权的封闭式解及其在债券和货币期权中的应用》，《金融研究评论》6（2），327 ff。，(1993).[13] Johansen A.、Ledoit O.、Sornette D.《作为临界点的崩溃》，内景J.Theor。《应用金融》第3219页（2000年）。[14] Johansen A.，Sornette D.：股市崩盘是离群值，欧元。物理。J、 B 1141，（1998年）。[15] Jurisch A.《一种可能应用于带有倾斜和微笑的期权定价的极值分数高斯》，arXiv:1804.02689v2【q-fin.PR】，（2018年）。[16] Kleinert H.：路径积分非高斯函数的期权定价。《自然鞅与截断的L'evy分布的应用》，Physica A 312，1-22017，（2002）。[17] Kleinert H.，Korbel J.，《基于双分数差的Black-Scholes之外的期权定价》，Physica A 449200，（2016）。[18] Kleinder H.，Schulte Frohlinde V.：φ理论的临界性质，世界科学出版社（2001年）。[19] Mandelbrot B.B.：《某些投机价格的变化》，《商业杂志》第36394页，（1963年）。[20] Mantegna R.N.，Stanley H.E.：《经济物理学：金融中的尺度及其分解》，J.Stat.Phys。

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