证券组合交易的平均场博弈及其对感知的影响

2022-6-14 05:18:53

证券组合交易的平均场博弈及其后果感知相关性Charles-ALBERT LEHALLE和CHARAFEDDINE MOUZOUNIVersion：2019年2月27日摘要。本文超越了Pierre Cardaliaguet和Charles Albert Lehalle在[13]中提出的最优交易均值场博弈模型。它首先将ITT扩展到相关工具的投资组合。这导致了一些独到的贡献：对冲策略自然会从投资组合的最优清算方案中转移出来。其次，我们展示了交易流对日内波动率和相关性的天真估计的影响。围绕这一重要关系，我们展示了一个封闭式公式，通过交易员之间的平均场博弈的最优流，将相关性的标准估计表示为基础相关性和大订单初始失衡的函数。为了支持我们的理论发现，我们使用了2014年1月至12月期间每5分钟抽样的176只美国股票的真实数据集，分析每日波动对观察到的相关性的影响。最后，我们提出了一种基于玩具模型的方法来在数据上校准我们的制造模型。1、引言最优清算作为一个学术领域出现，有两篇开创性论文：一篇[5]专注于一种代表性工具的快速交易（以尽量减少获得价格的不确定性）和慢速交易（以尽量减少“市场影响”，即交易压力对价格变动的决定性影响）之间的平衡；而另一位（10）则专注于可交易仪器的投资组合，揭示了价格回报和市场影响之间的相互关系。

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2022-6-14 05:18:56

在过去的二十年中，已经有很多建议将单一仪器案例复杂化（典型模型和参考文献请参见这些参考书[12,17,23]），但将其扩展到多资产组合的建议很少（值得注意的是，除了[25]）。此外，最佳执行的通常框架是一个大型特权代理面临由其他市场参与者的行为总和构成的“平均场”或“背景噪音”，以及2010年数学主题分类。关键词和短语。平均场博弈、市场微观结构、拥挤、多资产组合、最优交易、最优随机控制。确认C在法国国家研究机构（ANR）运营的“Avenir投资”（ANR-11-IDEX-0007）项目中，Mouzouni得到了里昂大学LABEX MI-LYON（ANR-10-LABX-0070）的支持，部分得到了平均野战项目（ANR-16-CE40-0015-01）的支持。作者要感谢Pierre Cardaliaguet仔细阅读了本文的大部分内容，Jean-Philippe Bouchaud坚持认为[13]的结果应该使用日内数据进行观察。2查尔斯·阿尔伯特·莱哈勒（CHARLES-ALBERT LEHALLE）和查拉菲丁·穆佐尼（CHARAFEDDINE Mouzouni）的学术文献很少涉及许多市场参与者之间的战略互动，这些市场参与者都渴望执行大订单。最近，博弈论被引入这一领域。首先是关于代理人较少的情况，如[33]，然后通过[13、20、28]依赖平均场对策（MFG）来消除参与者较少的对策的组合复杂性，考虑到大量的代理人，使得他们的聚合行为降低到所有人都认为的“匿名平均流动场”，我们显然从[13]获得的框架和结果开始，并将其扩展到可交易工具组合的情况。

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2022-6-14 05:18:59

我们的年龄与本文中的年龄相同：寻求在一天开始时买入和卖出头寸的最佳交易者。因此，他们依赖于[17]中为一种工具定义的s-tochastic控制问题，其结果具有确定性，因为其具有线性二次性：在风险规避条件下最小化交易成本和终端成本。这个框架可以与[10]在投资组合一节中使用的框架进行比较，用一个对角矩阵来表示市场影响，并在一个由一系列代理人参与的游戏中使用。请注意，在包括我们在内的所有这些论文中，时间尺度大到不考虑订单动态，小到足以让交易员和结算台使用；我们典型的终端时间从一小时到几天，时间步长以分钟为单位。Cardaliaguet和Lehalle在他们的论文中展示了一系列具有异质偏好的代理人如何模仿典型经纪人（具有较大的风险厌恶和最终成本）和机会主义交易者（具有较低的风险厌恶）的组合。我们也一样。但是，虽然ir论文只强调了投资者在单一金融工具上的战略行为，但这一部分处理了相关资产组合的情况。在实际应用中，金融工具很少单独开发；大多数投资者通过同时买卖大量资产来构建多元化或对冲的portfo lios或Index跟踪工具。这推动了目前的工作，我们将initialCardaliaguet-Lehalle框架扩展到多资产投资组合的情况。

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2022-6-14 05:19:02

一方面，这一扩展允许涵盖一种新的交易策略，如程序交易（执行大篮子储备）、套利策略（旨在从两种或更多资产的动态差异中获益），对冲策略（第二项资产的往返——通常是流动性很强的资产——可用于部分对冲给定资产执行过程中的价格风险）和指数跟踪（即遵循公式给出的组合，如要素投资，或仅遵循一系列工具的市值）。另一方面，它使我们能够理解处于“均衡”状态的市场订单之间的依赖结构，并评估它们对资产回报协方差（或相关关系）矩阵的标准估计的影响。这些问题由一些作者独立提出，很少在实证和理论著作中进行研究（参见[9、11、18、26、32]及其参考文献）。根据开创性的论文【13】，我们假设市场影响是内在的或永久的，所有资产的公共价格都会受到所有市场参与者的永久市场影响。相反，由于代理人受到公共价格的影响，他们的目标是通过使用他们拥有的投资组合交易平均场的所有信息来预测“市场平均场”（即由于所有代理人平均场的市场影响而产生的市场趋势），以尽量减少他们对其他代理人的影响。如【13】所述，这导致了制造业类型的纳什均衡配置，其中所有代理均表示总体的平均交易速度，并相应调整其执行。我们请读者参阅第2节，了解平均场博弈模型的更详细的规划。

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2022-6-14 05:19:05

在具有多资产组合的MF G的情况下，交易日代理之间的战略互动导致资产订单流量之间存在非平凡的关系，进而对资产回报的日内协方差（或相关性）矩阵产生非平凡的影响。在第3节中，我们提供了由交易活动内生产生的超额收益协方差矩阵的精确公式，并且我们表明，当市场影响较大时，这种影响的程度更为显著。这是指高度拥挤的市场、非流动产品或大额初始订单（参见第3节）。这些结果可以与[18]中的结果相关联，e x ce pt指出，在本文中，我们并不只关注不良销售；我们能够捕捉到交易流量的通常变化对同时交易的资产组合协方差矩阵的原始估计变形的影响。我们还进行了一些数值模拟，并将我们的结果应用于一项实证分析，该分析是在2014年1月至12月的市场数据数据库上进行的，涉及176只美国股票。首先，我们展示了净交易流量的日内协方差矩阵和标准日内协方差矩阵之间的理论关系正在增加，然后我们使用这种关系来估计我们模型的一些参数，包括市场影响系数（参见第3节）。接下来，我们对收益的协方差矩阵进行归一化，以计算日内中值对角线模式（跨对角线项）和日内中值非对角线模式（跨非对角线项）（参见。

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2022-6-14 05:19:08

第3.3节），以描述对角线和非对角线项的典型日内演变。它使我们能够从经验上获得与我们的模型一致的众所周知的日内波动模式，并且我们表明，它随着典型交易规模的减小而衰减。在这种情况下，经验波动率接近其“基本”值（见图4）。最后，我们提出了一种基于玩具模型的方法来校准我们的基于数据的制造模型。本文的结构如下：在第二节中，我们讨论了平均场博弈中多资产组合的最优执行问题。我们导出了一个MFG系统mof PDE，并证明了该系统对于一般哈密顿函数解的唯一性。然后，我们在二次框架中构造了一个正则解，这将被认为是本文其余部分的粗略部分。接下来，我们提供了一个方便的数值模式来计算制造系统的解，并给出了管理者的最优交易路径和总体的平均交易路径的几个例子。第三节分析了群体交易对日内收益协方差矩阵的影响。在制造业均衡条件下，我们推导出了资产订单流量对资产收益依赖结构影响的公式。接下来，我们进行数值模拟来说明这一事实，并将我们的结果应用于176只美国股票的实证分析。4 CHARLES-ALBERT LEHALLE和CHARAFEDDINE MOUZOUNI2。众包内最优投资组合交易2.1。平均场博弈模型。考虑一系列投资者（代理人），这些投资者（代理人）由参数a索引。每个代理人必须根据portfo lio经理给出的指示交易一个投资组合。想一想经纪人或交易台执行客户下达的大额订单的连续体。

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2022-6-14 05:19:13

投资组合由不同股票（或任何金融资产）中的理想头寸组成。任何代理a的初始位置由qa表示：=（q1，a，…，qd，a）。对于任何i，当初始库存qi，ais为正值时，意味着代理人必须出售该数量的股票（或合同），而当其为负值时，代理人必须出售该数量的股票（或合同）。假设共同水平>0，我们假设所有投资者都必须在交易期内出售或购买[0，T]。这意味着代理人必须出售该数量的股份（或合同），当该数量为负时，代理人必须购买该数量的股份。每个投资者a的日内头寸由Rd估值过程（qat）t建模∈[0，T]具有以下动力学：dqat=vatdt，qa（0）=qa。投资或控制其交易速度（vat）t：=（v1，at，…，vd，at）t，以实现其交易目标。根据标准的最优清算文献，我们假设，对于每只股票，中间价的动态可以表示为：（2.1）dSit=σidWit+αiuitdt，i=1。。。，d其中σi>0是ithstock的算术波动率，α。。。，αdare非负标度，用于模拟永久市场影响的大小。这里（Wt，…，Wdt）t>0是d个相关的维纳过程，而过程（ut）t∈[0，T]：=（uT，…，udt）T对应于资产s的所有投资者的平均交易速度。在整个过程中，我们将用∑d维过程（Wt）T的协方差矩阵表示∈[0，T]：=（σWt，…，σdWdt）T∈假设∑不是单数。投资者a的表现与整个交易过程中产生的现金量有关。

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2022-6-14 05:19:16

给定价格向量（St）t∈[0，T]：=（St，…，Sdt）T∈[0，T]，现金金额（Xat）T∈[0，T]考虑到T r ader，a由：Xat=-Ztvas·SSD-dXi=1ZtViLivi，asVi！ds，其中正标量V。。。，VD表示每项资产的每日市场流动性的大小（实际上，每天的平均交易量可以用作此参数的代理）。这里我。。。，Ldare是执行成本函数（类似于[25]中的函数），模拟市场影响的瞬时分量，参与平均交易成本。函数族Li:R→ 假设R满足以下一组假设：oLi（0）=0；oLi是严格凸的，n是负的；oLiis渐近su per linear，即lim | p|→+∞Li（p）| p |=+∞.投资组合交易的平均场名称5初始Cardaliaguet-Lehalle模型【13】对应于d=1，以及m L（p）=κ| p |的二次流动性函数。在本文中，我们考虑一个类似于[13]的奖励函数，它对应于实现短缺（is）顺序。在这种特殊情况下，任何投资者a的回报函数由以下公式给出：（2.2）Ua（t，x，s，q；u）：=supvEx，s，qXaT+qaT·（ST- AaqaT）-γaZTtqas∑qasds！，式中，Aa：=诊断（Aa，…，Aad），Aai>0，γais是一个非负标量，可量化投资者的风险规避。也就是说，当γa=0时，投资者对长期持有股票漠不关心，而当γa较大时，投资者试图尽快清算。二次项qaT·（ST- AaqaT）惩罚非零终端库存。应该注意的是，报酬函数（2.2）的表达式是通过考虑代理是风险厌恶的，并考虑到CARA效用函数而得出的。

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2022-6-14 05:19:19

我们省略了细节，请参阅[23，第5章]。与（2.2）相关的Hamilton-Jacobi方程为0=大士-γaq∑q+Tr∑DsUa+ Au·sUa+supvv·qUa公司-v·s+dXi=1ViLi昕薇!xUa公司,终端条件ua（T，x，s，q；u）=x+q·（s- Aaq）。在本文中，我们设置A：=diag（α，…，αd）。由于我们随后将得到的简化，我们假设u=（ut）t∈[0，T]是一个确定性过程，因此上述HJB方程是确定性的。Wh enu是一个随机过程，t h at适应（Wt）t的自然过滤∈[0，T]，我们得到了一个需要特殊处理的随机后向HJB方程（参见[14]）。按照[13]的方法，我们考虑以下情况：Ua（t，x，s，q；u）=x+q·s+Ua（t，q；u），这需要以下关于Ua的HJB方程：（2.3）γaq∑q=tua+Au·q+supvv·qua公司-dXi=1ViLi昕薇,具备终端条件：uaT=-Aaq·q.对于任何i=1。。。，d、设Hibe函数Lit的Legendre-Fenchel变换，由Hi（p）给出：=supρpρ- Li（ρ）。6 CHARLES-ALBERT LEHALLE和CHARAFEDDINE MOUZOUNISince类的映射（Li）16i6dare严格凸，（Hi）16i6dare函数和与（2.3）相关的最优反馈策略由Vi给出，a（t，q）：=Vi˙Hi(qiua（t，q）），其中˙隐藏Hi的第一个导数。因此，与上述问题相关的平均场游戏系统如下：（2.4）γaq∑q=tua+Au·q+dXi=1ViHi(秋华（t，q））tm+dXi=1Vi气m˙嗨(秋花（t，q））= 0uit=Z（q，a）Vi˙Hi(qiua（t，q））m（t，dq，da）m（0，dq，da）=m（dq，da），uaT=-Aaq·q.平均场博弈系统（2.4）描述了一种纳什均衡配置，有很多消息灵通的市场投资者：任何一个参与者都会预测交易周期[0，T]的正确平均交易流量，并相应地计算其最优策略。

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2022-6-14 05:19:22

观察到，我们通过假设被考虑的投资者群体对市场平均场有精确的了解，做出了一个强有力的假设。实际上，这种知识只是部分或近似的。[13]在控制的平均场对策的一般框架内研究了系统（2.4）的适定性。在这项工作中，我们提供了更简单的论据来处理我们研究的具体案例。我们假设（Hi）16i6dare类C满足以下条件：（2.5）i=1。。。，dp∈ R、 C类-1–Hi（p）6 C，对于某些C>0，并且mis是具有有限二阶矩的概率密度。此外，我们假设投资者指数在封闭子集D中变化 R、我们说（ua，m）a∈如果满足以下条件，则为制造系统（2.4）提供解决方案：oua∈ C1,2（[0，T]×R），对于a.e a∈ D、 C中的m（[0，T]；L（R×D））；oua的方程在经典意义上成立，而m的方程在分布意义上成立；o对于任何t∈ [0，T]，（2.6）ZR×D | q | dm（T，dq，da）<∞, 以及|qua（t，q）| 6 C（1+| q |），对于某些C>0。让我们从以下关于t o（2.4）解的唯一性的评论开始。提案2.1。在上述假设下，系统（2.4）最多有一个解决方案。投资组合交易7Proof的平均字段名称。Let（ua，m）a∈丹德（ua，m）a∈Dbe将两个解决方案设置为（2.4），并将“ua：=ua”-ua，\'m：=m- m、首先，让我们假设m是光滑的，这样下面的计算就成立了。

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2022-6-14 05:19:25

通过使用系统（2.4），我们得到：（2.7）ddtZ（q，a）’ua’m=-Z（q，a）(R)mdXi=1Vi（高(邱）- 你好(邱））+A（u- u）·q-Z（q，a）’udXi=1Vi气m˙嗨(邱）- 气m˙嗨(邱）,其中u、u分别对应于（ua，m）a∈丹德（ua，m）a∈D、另一方面，注意z（q，a）(R)mA（u- u）·q=ddtA'E·'E，其中'E（t）：=Z（q，a）q d'm（t）。这源自DDT？E=u- u，依次从sy stem（2.4）中通过零件积分获得。另一方面，根据（2.5），我们得到dxi=1ViZ\'m（高(邱）- 你好(邱））- 齐鲁m˙嗨(邱）- m˙嗨(邱）= -dXi=1ViZm级你好(邱）- 你好(邱）-˙嗨(邱）qi（u- u）-dXi=1ViZm级你好(邱）- 你好(邱）-˙嗨(邱）qi（u- u）6.- min16i6dViZ（q，a）（m+m）2C|qu公司- qu |。因此，（2.7）提供了（2.8）min16i6dViZTZ（q，a）|qu（s）- qu（s）| d（m+m）ds+CA'E（T）·'E（T）=0。通过使用标准正则化过程，恒等式（2.8）适用于任何解（ua，m）a∈丹德（ua，m）a∈Dof（2.4）。因此，我们可以利用这种同一性来推断qu公司≡ 群{m>0}∪{m>0}，因此m，m求解相同的传输方程：tν+dXi=1Vi气ν˙嗨(秋华（t，q））= 0，νt=0=m。该值为m≡ mand so u公司≡ u、根据我们的规律性假设。8 CHARLES-ALBERT LEHALLE和CHARAFEDDINE MOUZOUNI2.2。二次流动性函数。在实践中，流动性函数通常被选为形式为：L（p）=η| p | 1+φ+ω| p |的严格凸幂函数，η，φ，ω>0。附加术语ω| p |表示成比例的成本，如买卖价差、税收、付给经纪人、交易场所和托管人的费用【23】。二次型情形（φ=1）——也在[13]中考虑过——尤其重要，因为它会导致一些可考虑的简化，并允许以相对较低的成本计算出解。

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2022-6-14 05:19:28

在本报告的其余部分，我们支持流动性函数采用以下简单形式：（2.9）Li（p）=ηi | p |，其中ηi>0，i=1。。。，d、按照[13]的方法，我们首先设置'm（da）：=Rqm（dq，da）。对于a.e.a，我们应该提供（2.10）`m（a）6=0∈ D、而且投资者在一段时间内不会改变他们的偏好参数。因此，我们总是将m（t，dq，da）=m（da），这样我们就可以将m分解为m（t，dq，da）=ma（t，dq）(R)m（da），其中ma（t，dq）是q中几乎所有a的概率度量。现在让我们来描述在我们的分析中起重要作用的以下过程：Ea（t）：=Zqq ma（t，dq）t型∈ [0，T]，对于a.e a∈ D、我们用Ea表示，1。。。，Ea，D Ea的组件。根据m所满足的PDE，观察其是否满足以下条件：˙Ea（t）=Zqqtma（t，dq）（2.11）=ZqVi2ηi秋花（t，q）16i6dma（t，dq），因此（2.12）ut=Za˙Ea（t）d'm（a）。由于ua所满足的方程中存在线性和二次项，我们希望解具有以下形式：（2.13）ua（t，q）=ha（t）+q′·ha（t）+q′·ha（t）+q′·ha（t）·q，其中ha（t）是R值函数，ha（t）：=（Hia（t））16i6dis值函数，映射ha（t）：=（Hi，ja（t））16i，J6D在Rd×d对称矩阵集中取值。在（2.4）的HJB方程中插入（2.13）并在q中收集类似项，可得出组合交易9的平均场名称，遵循BODEs耦合系统：（2.14）˙公顷=-VHa·Ha˙Ha=-Au- 2HaVHa˙Ha=-2HaVHa+γa∑ha（T）=0，ha（T）=0，ha（T）=-2Aa，其中V：=诊断V4η。。。，Vd4ηd. 为了完全求解（2.14），我们需要知道owu，或过程˙扩展到（2.12）。

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2022-6-14 05:19:31

我们需要一个额外的等式来完全解决这个问题。根据（2.11），我们有（2.15）˙Ea=2VHa+2VHaEa。通过将该方程与系统（2.14）相结合，可以得到以下fcode：（2.16）¨Ea=-2VAZa˙Ead'm（a）+2γaV∑EaEa（0）=Ea：=Zqqm（q，a）/'m（a）˙Ea（T）+4VAaEa（T）=0。该系统是【13】中研究的系统的一般形式，总结了整个市场平均值。观察到，永久性的市场影响是一个摩擦项，而市场风险项是一个推动更快执行的力量。投资者的异质性在第一个衍生条款中被考虑在内，这意味着所有市场参与者对平均交易流量的贡献已经被所有代理人预测。系统（2.16）是我们在二次型情况下求解MFG系统（2.4）的起点。由于s系统（2.16）的前向-后向结构，我们需要一个较小的条件来构造解决方案。[13]中也考虑了这一假设，从建模标准来看，这一假设没有问题，因为| a |在应用中通常很小（参见第3.3节）。让我们介绍syste m（2.16）解决方案的构建。提案2.2。假设Aa，γa∈ L∞（D），则存在α>0，因此，对于| A | 6α，以下情况成立：（i）在L'm（D；C（[0，T]）中存在一个唯一的过程，该过程求解系统（2.16）；（ii）存在常数C>0，因此（2.17）sup06w6T |uw | 6 C1+Za | Ea | d'meCT，其中（ut）t∈[0，T]由（2.12）给出。证据首先，请注意，（2.14）中矩阵Riccati方程的解存在于[0，T]上，是唯一的，仅取决于数据，并且满足要求（参见示例[29]）（2.18）- 2Aa- Tγa∑6 Ha6 0,10 CHARLES-ALBERT LEHALLE和CHARAFEDDINE Mouzouni，其中上述不等式中的阶应在正对称矩阵的意义上理解。

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2022-6-14 05:19:33

此外，请注意，∑V和V∑都是可对角化的，没有n个负特征值。因此，通过使用Ha满足的ODE，我们知道HaV和VHAAR都可以对角化，且基矩阵不变。特别是，它支持（2.19）Ha（t）V，ZwtHa（u）V du=VHa（t）、ZwtVHa（u）du= 0对于任何0 6 t，w 6 t，其中symbol[B，A]表示谎言Br acke t：[B，A]=BA- AB.给定Ha，我们的目标是通过求解固定点关系来构建˙Eain L'm（D；C（[0，T]），然后导出Ea。为此，我们首先导出˙Ea的固定点关系。根据（2.19），观察任何溶液中的th Eato（2.16）full fills（2.15）（参见例[31]）Ha（t）=ZTtexpZwt2Ha（s）V dsAZa˙Ea（w）d'm（a）dw，因此Ea（t）=expZt2VHa（w）dwEa+2VZTEXTZtτ2VHa（w）dwZTτexpZwτ2Ha（s）V dsAZa˙Ea（w）d'm（a）dw dτ。通过将该关系与（2.15）相结合，我们推断˙满足以下拟合点关系：（2.20）xa（t）=ΦA（xa）（t）：=2VHa（t）expZt2VHa（w）dwEa+4VHa（t）VZtexpZtτ2VHa（w）dwZTτexpZwτ2Ha（s）V dsAZaxa（w）d'm（a）dw dτ+2VZTtexpZwt2Ha（w）V dwAZaxa（w）d'm（a）dw。相反，我们检查XA是否是固定点关系（2.20）的解决方案，对于a.e.a∈ D、那么Ea（t）=Ea+Rtxa（s）ds是系统的一个逻辑单元（2.16）。为了解决固定点关系（2.20），在e上只使用ΦA:X上的Banach固定点Th eorem→ 十、其中X：=L？m（D；C（[0，T]）。很明显，ΦAis是| a |足够小的收缩：的确，给定x，y∈ 十、认为：|ΦA（xa）（t）- ΦA（ya）（t）| 6 C | A | kx- ykx，其中C>0仅取决于T，kγk∞, 卡克∞, |V |和|∑|。因此，给定s解xato（2.20），函数Ea（t）=Ea+Rtxa（s）ds求解（2.16），并属于L m（D；C（[0，t]），前提是mH具有有限的一阶矩。根据Gr–onwall\'sLemma估算（2.17）。

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2022-6-14 05:19:36

我们现在可以解决q值流动函数（2.9）情况下的制造系统（2.4）。证券组合交易的平均场名称11定理2.3。根据（2.9）、（2.10）和命题2.2的假设，平均场博弈系统（2.4）有一个唯一的解。证据由于（2.16）可通过命题2.2求解，我们现在可以求解完整系统（2.14），并将ua（t，q；u）t h ank s推导出（2.13）。事实上，由于t o（2.19），我们知道（参考文献[31]）：Ha（t）=ZTtexpZwt2Ha（s）V dsAuwdwha（t）=ZTtVHa（w）·Ha（w）dw，因此（2.13）给出的函数ua（t，q；u）是C1,2（[0，t]×R）。此外，根据（2.17）-（2.18），请注意（2.21）|qua（t，q）| 6 C（1+| q |），对于某些常数C>0，它仅依赖于t和数据。现在，由于uais正则且满足（2.21），我们知道传输方程tma+dXi=1Viqi（马qiua（t，q））=0，ma（0，dq）=m（dq，da）/？m（a）有唯一的弱解ma∈ a.e a的C（[0，T]；L（R））值∈ D、所以m：=ma'm在弱意义上解决了以下柯西问题：tm+dXi=1Viqi（mqiua（t，q））=0，m（0，dq，da）=m（dq，da）。此外，我们很容易检查m是否长到C（[0，T]；L（R×D））。通过调用（2.16）解的唯一性，我们得到了a.e a的ea（t）=zqma（t，q）dq∈ D、因此，通过与（2.11）中相同的计算，我们得到uit=Z（q，a）Viqiua（t，q）ma（t，q）(R)m（a）da dq，i=1。。。，d、所以（ua，m）a∈D解决制造系统（2.4）。根据命题2.1，任何构造的解都是唯一的。因此，为了得出结论，仍需说明：ZR×D | q | m（t，q，a）dq da<∞.为此，让我们设置ψ（t）：=RR×D | q | m（t，q，a）dq da。

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2022-6-14 05:19:39

在区分ψ并按部分积分后，我们得到了满足ψ的以下ODE：ψ（t）=ψ（0）+2ZtZaHa（w）·Ea（w）(R)m（da）dw+2ZtZa（Ha（w）q·q）m（t，dq，da）dw，12 CHARLES-ALBERT LEHALLE和CHARAFEDDINE MOUZOUNIso，其中ψ（t）| 6 |ψ（0）|+Csup06w6TkEa（w）kL'm+Zt |ψ（w）| dw由于（2.17）-（2.18）而成立。因此，作为一个有限的二阶矩，我们从Gr¨onwall引理推断，对于任何t∈ [0，T]ZR×D | q | m（T，q，a）dq da<∞,这反过来又会产生预期的结果。2.3. 程式化事实和数值模拟。现在，让我们评论我们的结果，并强调系统的一些典型事实。根据（2.13），最佳交易速度v*ais给出人：v*a（t，q）=2VHa（t）q+2VHa（t）（2.22）=2VHa（t）q+2VZTtexpZwt2Ha（s）V dsAuwdw=：v1，*a（t，q）+v2，*a（t；u）。上述表达式表明，最佳交易速度分为两个不同的部分v1，*a、 v2，*a、第一部分v1，*a对应于复杂组合情况下的经典Almgren-Chris解（参见[23]）。第二部分v2，*aa根据交易窗口剩余部分的预期未来平均交易调整速度【t，t】。由于矩阵为负值，请注意，该策略为当前预期的平均交易赋予了更多权重。此外，随着交易周期的结束，修正期的贡献会减少。修正期旨在利用预期市场平均场的优势。设（2.23）Ga（t，w）：=expZwt2Ha（s）V dsA、请注意，矩阵GAI不一定是对称的，可能具有与Ha不同的结构。从市场价格动态来看，交易速度表达式表明，个人投资者或交易员对资产i的行为可能会对资产j的价格产生直接影响，至少当这两种资产基本上是相关的，即。

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2022-6-14 05:19:42

∑i，j6=0。这种交叉影响现象与以下事实有关：其他交易者已经预测到了市场平均值，并希望利用这些信息，尤其是当资产j比资产i流动性更大时（反之亦然）。因此，如果一个投资者是按照人群的预期进行交易的，那么她更有可能通过其他交易者的行为受到“交叉影响”。这一事实在文献[9，26]中得到了经验性的阐述。由于（2.15），还可以导出最佳交易速度的另一个表达式。事实上，我们有：（2.24）v*a（t，q）=Ea+2VHa（t）（q- Ea）。投资组合交易的平均场名称13上述公式表明，个人投资者应遵循市场平均场，但应根据其库存相对于人口平均库存的情况进行修正。为了简化表述，我们从现在开始忽略投资者，并假设市场参与者有相同的偏好。在此假设下，系统（2.16）简单地读取：（2.25）¨E=-2VA˙E+2γV∑EE（0）=E，˙E（T）+4VAE（T）=0。给定离散化步骤δt=N-1，根据以下隐式格式，通过序列（xk，yk）06K6N逼近（2.25）的解：x=Exk- xk公司-1.- δt yk-1=0，k=1。。。，纽约市- yk公司-1.- δt（2γV∑xk- 2VAyk）=0，k=1。。。，N4VAxN+yN=0。因此，计算系统（2.25）的近似解简化为求解一个简单的线性s系统。我们检查了在命题2.2的条件下，上述数值格式收敛且稳定。现在，我们可以用上述数值方法给出一些例子。

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2022-6-14 05:19:46

我们考虑一个包含三项资产（资产1、资产2、资产3）的投资组合，其特征如下：oσ=σ=0.3美元。白天-1/2.共有-1, σ= 1 $.白天-1/2.共有-1;o V=2000000股。白天-1，V=V=500000股。白天-1;o η= η= 0.1 $.共有-1, η= 0.4 $.共有-1，A=A=2.5美元。白天-1.股份-1;o α= α= 8 × 10-4$.共有-1, α= 6 × 10-4$.共有-1、在Figu re1（a）-1（d）中，我们考虑一个初始平均发明E=100000，E=50000，E=-25000股，分别用于资产1、资产2和资产3。在这个例子中，我们假设资产1和资产2的价格增量之间的相关性为80%，我们设置γ=5×10-5$-1图1（c）除外。图1（a）显示，改变市场影响预因子（αk）16K63对平均执行速度有显著影响。正如【13】所指出的，这一事实本质上与市场影响参数越高，其他市场参与者的预期影响就越重要这一事实有关。也就是说，如果规模较大，交易员预计资产k的价格将面临更大的压力，并调整其交易价格。另一方面，资产动态2表明，市场流动性越高，执行速度越快。这是意料之中的，因为流动性越高，资产交易速度越快。最后，资产3的动态表明，交易者加速了他们对波动性资产的执行。它对应于风险厌恶的自然反应；交易者将试图优先减少风险更高（hencevolatile）资产的风险敞口。14 CHARLES-ALBERT LEHALLE和CHARAFEDDINE MOUZOUNI0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1时间-4-2资产1（参考案例）资产2（参考案例）资产3（参考案例。

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2022-6-14 05:19:49

案例）资产1（较小）资产2（较大V）资产3（较大）（a）具有不同参数的市场平均值0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1时间-4-2资产1（市场趋势）资产2（市场趋势）资产3（市场趋势）资产1（个人投资者）资产2（个人投资者）资产3（个人投资者）（b）个人投资者的最佳交易：q=40000，q=110，0000 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1时间-4-2资产1（=5.10-3）资产2（=5.10-3）资产3（=5.10-3）资产1（=5.10-2）资产2（=5.10-2）资产3（=5.10-2）（c）高风险规避的市场资产2（市场趋势）资产3（市场趋势）资产1（个人投资者）资产2（个人投资者）资产3（个人投资者）（d）个人投资者的最佳交易：q=100000，q=0图1。个人投资者E动态和最优交易曲线的模拟示例。图1（a）中的虚线对应于：α=6×10-4$.共有-1，V=700万股。白天-1，σ=5美元。白天-1/2.共有-1、图1（c）显示了风险厌恶程度越来越高（γ越高）的投资者群体的行为。在上述两种情况下，可以观察到资产2很快被清算，然后建立空头头寸（γ=5×10，约为t=0.05-2$-1）它最终会逐渐解开。这表明了对冲策略的出现：事实上，由于资产净值1和资产2高度相关，投资者可以通过使用流动性更强的资产（资产净值2）对冲与资产1相关的市场风险，减缓流动性较差的资产（资产1）的执行过程，以降低交易成本。

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大多数88

2022-6-14 05:19:52

只要资产2中的往返成本小于相应的风险降低（从等式（2.2）定义的回报函数Ua（t，x，s，q；u）来看），交易方就有动机使用这种策略。投资组合交易的平均场名称现在，我们提供了各个p层最优策略的示例。我们考虑两个例子：图1（b）中初始库存q=40000、q=0和q=110000的个人投资者；图1（d）中初始库存q=100000，q=q=0的个人投资者。在图1（d）中，被考虑的投资者从q=e开始。因此，凭借（2.24），她的清算曲线完全符合市场平均值。此外，投资者通过在资产2和资产3上建立有利仓位来把握市场的预期演变：在资产2（分别为资产3）上建立短期（分别为多头）仓位，并回购（分别为卖出），以利用大规模清算（分别为买入）导致的价格下跌（分别为上涨）。资产2和资产3的交易策略与v2相关，*在（2.22）中。这种策略可以被描述为“流动性比特率策略”。图1（b）显示了两个有趣的事实：一方面，个人玩家在实现其目标（完全清算）后在资产1上建立空头头寸，以利用市场抛售压力；另一方面，考虑到资产1的市场购买压力，投资者放慢了清算速度，以降低执行成本，因为她预计没有可持续的价格下跌。3、资产回报的依赖结构T h is部分的主要目的是利用第2部分的平均场博弈框架，分析大型交易对资产回报之间观测协方差矩阵的影响。

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2022-6-14 05:19:55

为此，我们假设一个简单的模型，其中连续的投资者每天交易一个资产组合，并且投资者之间的库存初始分布根据某种给定的概率定律从一天到另一天随机变化。我们假设（2.1）给出了价格动态，并考虑了在一个大型的日内价格观测数据集上估计资产收益协方差矩阵的问题。为了简单起见，我们忽略了投资者的异质性，并假设市场参与者具有理论偏好。接下来，我们将我们的发现与2014年每5分钟抽样的176只美国股票的实证分析进行比较，并根据市场数据校准我们的模型。在本节中，我们表示为十、对于任意两个随机变量X，Y，X的方差和hx，yi，X和Y之间的协方差。此外，我们将“bin”称为5分钟的时间间隔。我们关注连续交易时间，因为所有拍卖（即开盘和收盘拍卖）的机制是特定的。由于美国市场开放时间为9小时30分至16小时，我们的数据库每天有78个垃圾箱。它们将从1到M进行编号，并用k.3.1进行索引。使用日内数据进行估计。我们假设Eis是一个随机变量，在每个交易周期[0，T]上实现敏捷，其中T=1天（交易日）；考虑到以下价格观察结果，估计资产回报协方差矩阵的问题：Snt1,1。。。，Snt1，M,Snt2,1。。。，Snt2，米, ....,SntN，1。。。，SntN，M, n=1。。。，d16 CHARLES-ALBERT LEHALLE和CHARAFEDDINE MOUZOUNIwhere Sntl,kis资产n的价格，以k为单位l.

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2022-6-14 05:19:58

我们假设tl,1=0，tl,M=T，对于任何1 6l 6 N和tl,k=tl′,k=t对于任何1 6 k 6 M，1 6l, l′6 N.为简单起见，我们假设tkandtk+1之间资产收益的协方差矩阵是使用以下“原始”估计量从数据中估计出来的：（3.1）Ci，j[tk，tk+1]：=N- 1NXl=1δSi，k，l-δSi，kδSj，k，l-δSj，k,式中，δSn，k，l=Sntl，k+1- Sntl，kandδSn，k=N-1PNl=1δSn，k，l，n=i，j。我们将相关矩阵定义如下：（3.2）Ri，j【tk，tk+1】：=Ci，j【tk，tk+1】Ci，i【tk，tk+1】Cj，j【tk，tk+1】1/2.假设价格动态由（2.1）给出，那么下面的命题提供了Ci，j【tk，tk+1】的精确计算。提案3.1。假设Eis独立于过程（Wt）t∈[0，T]，然后对于任何1 6 k 6 M- 1和1 6 i，j 6 d，以下保持：（3.3）Ci，j[tk，tk+1]=（tk+1- tk）∑i，j+αiαjηiηj4ViVj∧i，jk+N，其中N→ 0作为N→ ∞,∧i，jk：=X16l,l′6dDθi，lk、 θj，l′kE+X16l,l′6dDπi，lk、 θj，l′kE+X16l,l′6dDθi，lk、 πj，l′kE+X16l,l′6dDπi，lk、 πj，l′kE和πn，lk： =Ztk+1tkHn，l（s） E类l（s） ds，θn，lk： =Ztk+1tkZTsGn，l（s，w）ul（w） dw ds。证据

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2022-6-14 05:20:00

使用价格动力学（2.1）、大数定律以及EAN和（Wt）t之间的独立性的精确表达式∈【0，T】获得：（3.4）Ci，j【tk，tk+1】=N+（tk+1- tk）∑i，j+αiαj（N- 1） NXl=1Ztk+1tkui，ls-uisdsZtk+1tkuj，ls′-“ujs”ds′，其中unu=N-1PNl=1un，lu和ul，分别表示第1天u，E的实现。现在，由于（2.22）-（2.23），我们知道ult=2VH（t）El（t）+2VZTtG（t，w）ulwdw=：ν1，l（t）+ν2，l（t）。因此，通过设置￠νn，lk：=Ztk+1tkνn，l（s）- N-1NXl=1νn，l（s）！ds，n=1，2，组合交易的平均场名称17我们推断ZTK+1tkui，ls-uisdsZtk+1tkuj，ls′-“ujs”ds′型=ν1，l，ik+ν2，l，ikν1，l，jk+ν2，l，jk.通过注意估计噪声N、N、NandN的存在，从而得出期望的结果，从而：- 1)-1NXl=1￠ν1，l，ik￠ν1，l，jk=ηiηj4ViVjX16l,l′6dDπi，lk、 πj，l′kE+N；（N）- 1)-1NXl=1￠ν2，l，ik￠ν2，l，jk=ηiηj4ViVjX16l,l′6dDθi，lk、 θj，l′kE+N；（N）- 1)-1NXl=1￠ν1，l，ik￠ν2，l，jk=ηiηj4ViVjX16l,l′6dDπi，lk、 θj，l′kE+N；（N）- 1)-1NXl=1￠ν1，l，jk￠ν2，l，ik=ηiηj4ViVjX16l,l′6dDθi，lk、 πj，l′证明是完整的。备注3.2。我们可以很容易地得出类似的结果Ci，j[0，T]16i，j6d。也就是说，它认为：（3.5）Ci，j[0，T]=T∑i，j+αiαjηiηj4ViVj∧i，j+N，其中→ 0作为N→ ∞,∧i，j：=X16l,l′6dDθi，l, θj，l′E+X16l,l′6dDπi，l, θj，l′E+X16l,l′6dDθi，l, πj，l′E、 +X16l,l′6dDπi，l, πj，l′E、和πn，l:=ZTN，l（s） E类l（s） ds，θn，l:=ZTZTsGn，l（s，w）ul（w） dw ds。恒等式（3.3）和（3.5）表明，已实现协方差矩阵是基本协方差和由机构投资者交易策略群体影响产生的超额已实现协方差矩阵的总和。另一方面，由于（πi，i）和（θi，i）.

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2022-6-14 05:20:03

另一方面，由于H和G继承了类似于∑的结构，一旦满足以下条件中的一个或两个，非对角线项中的已实现协方差的超出量就非零：o存在i6=J，如∑i，j6=0；o存在i6=jsuch thatDEi，EjE6=0.18 CHARLES-ALBERT LEHALLE和CHARAFEDDINE Mouzouni此外，（3.3）和（3.5）当市场影响较大（高度拥挤），考虑资产具有高度流动性（小ηi/Vi），风险规避系数γ较高时，超额实现协方差会显著偏离基本面，或者当Eis的标准偏差较大时。此外，由于θn的贡献，lkandπn，l当kvanishes接近交易期结束时，观察到（3.6）Ci，j【tk，tk+1】~ （油箱+1- tk）∑i，j，作为tk+1→ T、这意味着在交易期结束时，市场基本面趋于一致。这是因为，在我们的模型中，所有交易者都有足够高的风险厌恶，因此他们的交易速度在接近终端时间T时变为零。根据（3.3），还可以用基本相关性ρi，j：=σi，j/（σi，i∑j，j）1/2来解释已实现的相关矩阵。也就是说，它认为：（3.7）Ri，j【tk，tk+1】=ρi，j（油箱+1- tk）∑i，i∑j，jCi，i[tk，tk+1]Cj，j[tk，tk+1]1/2+αiαjηiηj∧i，jk4ViVjCi，i【tk，tk+1】Cj，j【tk，tk+1】1/2+N=：ρi，jAi，jk+Bi，jk+，对于任何1 6 i<j 6 d。该表达式表明，实现的相关性与基础的偏差是一个线性映射。乘法部分Ai，jk的分子不依赖于H的非对角项，而加法部分Bi，jk的情况也是如此。3.2. 数值模拟。

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2022-6-14 05:20:07

在这一部分中，我们进行了一些数值实验，以说明交易对资产回报协方差矩阵结构的影响。我们通过选择ρ1,2=60%、ρ1,3=30%和ρ2,3=5%来考虑第2.3节的示例。为简单起见，我们假设Eis是一个中心高斯随机向量，其方差矩阵为：Γ：=λ。1 0.2 -0.10.2 1 0.3-0.1 0.3 1,式中λ=10000份。我们确定时间步长δt=10-2天(~ 4分钟），设置tk+1- tk=δt，估计值Ci，j【tk，tk+δt】16i6j6316k6M-1和Ri，j【tk，tk+δt】16i<j6316k6M-1通过使用第2.3节的数值方法生成一个N=10000个观测值的样本。图2（a）-2（d）显示，观察到的协方差和相关矩阵与基本面有显著偏差，尤其是在交易日开始时。图2（b）-2（d）还说明了偏差相对于初始库存标准d偏差变化的敏感性：随着λ减小，交易的影响降低，协方差和相关矩阵向基本面收敛。另一方面，我们观察到，每个iod的交易开始时间由初始库存的依赖结构决定。这是由于投资组合交易的平均场名称190 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1时间-0.20.40.60.8R[t+t]1,2（参考案例）R[t+t]1,3（参考案例）R[t+t]2,3（参考案例）（a）日内相关性0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3时间0.10.20.30.40.50.70.80.9C t]1,1（参考案例）C[t+t]2,2（参考案例）C[t+t]3,3（参考案例。

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2022-6-14 05:20:10

案例）C[t+t]1,1（较小）C[t+t]2,2（较小）C[t+t]3,3（较小）（b）λ=10和λ=6.100 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1时间-0.20.40.60.8R[t+t]1,2（较小）R[t+t]1,3（较小）（C）λ=100 0.05 0.1的日内相关性.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5时间-0.010.010.020.030.040.050.060.070.08C【t+t】1,2（参考案例）C【t+t】1,3（参考案例）C【t+t】2,3（参考案例）C[t+t]1,2（较小）C[t+t]1,3（较小）C[t+t]2,3（较小）（d）日内协方差f或λ=10和λ=6.10图2。使用（2.1）模拟日内协方差和相关矩阵的示例。加性项（Bi，jk）16i<j63；事实上，考虑到分母有效值的相对较高幅度，当tk时，（Ai，jk）16i<j63非常小→ 此外，我们注意到，在交易期结束时，所有观察到的数量收敛于两个基本面，这符合（3.6）。3.3. 经验应用。现在，我们对d=176只股票进行了实证分析。该数据包括五分钟的分类数据（δt=5分钟）和2014年1月至12月的报价信息，摘自每家股票（纽约证券交易所或纳斯达克）的一级市场。我们只关注连续交易时段的开始，即开盘后30分钟和收盘前最后90分钟，以避免这些时段交易活动的特殊性，并针对收盘策略。在美国，n天的数量为n=252，每天的箱子数量为M=55。天数将标记为byl=1。。。，N、 k=1的箱子。。。，M、为了简单起见，我们注意Ci，jk，而不是Ci，j[tk-δt，tk]对于任何1 6 i，j 6 d.20 CHARLES-ALBERT LEHALLE和CHARAFEDDINE Mouzouni，我们的目标是实证评估交易活动对资产回报日内协方差矩阵的影响，然后将获得的模型与我们之前的理论观察结果进行比较。

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2022-6-14 05:20:13

根据我们在第3.1节和第3.2节中的分析，我们预计资产回报的观测协方差矩阵会出现异常，尤其是在交易期开始时。此外，正如图2（b）和2（d）所示，我们预计这种影响的大小将是市场订单典型规模的一个递增函数。3.3.1. 市场影响。让我们首先评估资产回报的日内方差与净交换流量的日内方差（Fi，ik）16i6d之间的关系，其定义为：Fi，ik：=N- 1NXl=1νik，l-^1ikνik，l-^1ik对于任何1 6 i 6 d和k=1。。。，M式中，νik，lis是tk之间交换体积的净总和- 第1天库存i的δt和tkf，且|νik=N-1PNl=1νik，l（即“νik”是对νik期望值的估计，lregardless of the day）。作为副产品，我们获得了永久市场影响因素的估计值。尽管νdoe与第3.1节中的变量u并不完全相同，但这两个变量都是市场订单流量的指标，为简单起见，我们将使用ν作为u的代理。1 2 3 4 5 6 7 8 90.050.10.150.20.250.30.350.40.450.50.55（a）GOOG（b）Corr（C，F）直方图图3。（Ci，ik）16k6M和（Fi，ik）16k6M之间的依赖结构。图3（a）显示了（Ci，ik）16K6M和（Fi，ik）16K6M之间的关系。图3（b）显示了Corr（C，F）表示的相关直方图。图3（a）显示了（Ci，ik）16K6M和（Fi，ik）16K6M之间的强正相关。图3（b）表明，第3.1节和第3.2节中的几乎所有库存和钢筋都是如此。

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