模拟选举动态和虚假信息的影响

2022-6-14 14:53:32

建模选举动态和反信息的影响多杰C.布罗迪（Dorje C.BrodyDepartment of Mathematics，University of Surrey，Guildford GU2 7XH，UK）（日期：2019年9月11日）通过将潜在的信息流作为模型输入，可以有效地建模由信息分解驱动的复杂动态系统。然后将系统的复杂动力学行为导出为输出。这种基于信息的方法与信息驱动系统的传统数学模型形成了鲜明的对比，人们试图为输出建立基本上特殊的模型。在这里，选举竞争的动态是通过与选举相关的信息流的具体化来建模的。然后，将选举民意调查统计数据的看似随机的演化导出为模型输出，然后将其用于研究选举预测、虚假信息的影响以及竞选活动中信息管理的最佳策略。一、近年来，鉴于互联网和其他媒体上大规模传播虚假信息对民主构成的潜在威胁，对选举或公民投票等民主进程的建模和理解变得越来越重要（参见[1，2]）。特别是，为了应对2016年美国总统大选和英国“脱欧”公投期间广泛传播的虚假信息，大量研究工作致力于检测、预防、，对互联网上传播的虚假信息进行回顾性分析，即所谓的事实检查，已有大量文献[3-9]。

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2022-6-14 14:53:35

尽管很重要，但仅进行事实核查不足以抵消虚假信息的影响；同样重要的是为民主进程开发动态建模框架，以及虚假信息的传播如何影响民主进程，以期进行情景分析、影响研究和战略规划。为了响应这一要求，我们最近引入了一个基于信息的框架，用于模拟选举和公民投票中民意调查统计的动态。关于候选人在问题上的立场的不完善信息，或关于他们的能力和正直性的信息，必须在模拟选举中发挥重要作用，这一观点在之前就有过争论，例如，在[11]中，不完全信息下的博弈论被应用于模拟选举。事实上，许多作者探讨了信息在选举中的作用。举几个例子，在[12]中，当有知情和不知情的选民时，就建立了平衡状态存在的条件。文献[13]研究了具有不完全信息的选举中信息的聚集以及建立均衡的条件。还有一些实证研究表明，投票模式如何根据选民的知情程度而变化【14】。鉴于社交媒体使用的普及和移动技术的进步，信息可以即时广泛传播，信息在选举建模中的作用现在变得越来越重要。考虑到这一点，我们在这里通过扩展[10]中的工作来探索选择模型的进一步细节。[10]中基于信息的方法与之前的工作不同之处在于，信息流动的动态模型被指定为起点。

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2022-6-14 14:53:38

信息流将如何影响民意调查的动态演变，然后作为输出导出，而不是建模。这是通过借用信号处理（参见[15，16]）中的数学技术来实现的，该技术将噪声信息转换为对感兴趣的数量的最佳估计。由于基础信息过程转化为输出是高度非线性的，即使信息流动的模型选择相对简单，也有可能以与我们的直觉一致的方式来描述复杂系统的动力学行为，我们将通过各种分析和示例加以证明。（对各种资产定价过程的财务建模已证明了这一点，包括信贷风险债券[17]、再保险合同[18]或原油[19]。）尤其是在模拟行业竞争时，我们强调，据我们所知，我们的方案提供了第一个完全动态的框架，能够捕捉噪音环境中信息披露的影响；然而，之前提出的动力学模型要么是确定性的，要么不依赖于信息披露（参见，例如，[20–22]）。这反过来又使我们能够明确地计算出未来事件发生的可能性，正如我们将要证明的那样，这些结果对于情景分析、影响研究和战略规划是必不可少的。本文的组织结构如下。我们从第二节开始，概述了[10]中提出的两种模拟选举竞争的方法；一种叫做结构法，另一种叫做简化形式法。

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2022-6-14 14:53:42

本文的重点将放在后一种方法上，后一种方法将在第三节中进一步发展，分析识别noi-sy通信信道中新信息的到达。然后，将这些结果应用于第四节，以推导出特定候选人在选举中的先验概率公式。然后，在第五节中计算出获胜概率的动态演变。在第七节中，我们研究了虚假信息对获胜概率的影响。特别是，在一个非常简单的假新闻模型的情况下，我们确定了最佳的虚假信息策略，以便最大限度地影响获胜概率。更一般而言，第七节研究了选举竞争中的信息管理，我们分析了在时间相关的环境中，随着信息流量的变化，获胜概率会受到怎样的影响。第八节通过借鉴信息几何学中的技术并计算出Fis-her信息，分析了获胜概率对信息流量参数的敏感性。该结果将有助于广告活动的成本效益分析。在第九节中，我们讨论了如何在结构方法中比照应用本文开发的技术，以帮助在现实环境中开展竞选活动，以及更广泛地管理广告中的信息。我们注意到，这篇论文的目的不是发展新的数学，而是发展一种新的基于信息的方法来模拟广告的影响，重点是选举竞争。

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2022-6-14 14:53:45

事实上，大多数数学运算都是初等的，例如，可以在[17，23]中找到。在本声明中，当在不同的上下文中进行类似计算时，我们将省略对这些论文的重复引用。二、基于信息的选举建模框架【10】我们引入了两种密切相关的方法来模拟选举动态：在e上称为选举微观结构方法，或结构方法，它将结构细节封装在投票场景中；另一种被称为代表性选民方法，或简化形式方法，它捕获了选举动态的定性特征，而无需指定结构细节。让我们从简要描述这些方法开始。在结构化方法中，on e考虑了选民关心的一系列问题。例如，这些可能包括候选人在社会福利、移民、堕胎、气候政策、枪支管制、医疗保健等方面的立场。然后，l-t候选人在k-thissue问题上的立场将由Xlk代表，Xlk的价值对选民来说并不一定显而易见。因子Xlkthus的不确定性使其成为一个在适当定义的概率空间上的随机变量，该概率空间配备了“真实世界”概率度量P。其思想是，例如，如果第k个因子与气候政策有关，然后在一个简单的模型设置中，Xlk=0表示候选人l反对实施应对气候变化的政策的情况，而Xlk=1表示候选人l反对实施此类政策的情况。

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2022-6-14 14:53:48

当然，并非所有因素都需要是二元的，但无论如何，如果选民当选，他们对坎迪·戴斯在这些问题上的立场并不确定。然而，选民们对这些因素的价值观缺乏部分信息，当他们更多地了解候选人，或者可能了解候选人所属的政党时，他们对这些因素的最佳估计将随着时间的推移而改变。选民们也有自己的偏好：一位候选人在某一问题上对一位选民的理想立场可能对另一位选民来说是不可取的。让我们用wkn表示第n个投票人对第k个因素的偏好权重，这可能是正的，也可能是负的，这取决于投票人在该问题上的立场。然后，对于概率测度P下的期望，在时间T可用信息的条件下，在线性评分规则的假设下，第n个投票人在时间T分配给第l个候选人的分数由sumSln（T）=XkwknEt[Xlk]给出。（1）特别是，选民将在时间t选择得分最高的候选人≥ t当选择发生时。因此，通过对与每个因素相关的信息流进行建模，我们得出了一个相当详细的选举动力学模型，这是结构化方法的基础。在本论文中，我们将主要关注简化形式方法，并更详细地发展该理论。我们考虑有N名候选人的选举。在简化形式的方法中，选民通常不完全确定他们应该投票给哪位候选人，但他们的意见是基于（i）他们可以获得的关于候选人的信息，或者他们所属的政治党派的信息，以及（ii）选民的偏好。

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2022-6-14 14:53:56

然后，公众持有的不同观点可以以概率分布的形式进行聚合，代表候选人的公共p参考可能性。因此，我们可以认为一个抽象的随机变量X取值xi，在概率空间中定义先验概率yp（X=xi）=pide，其中xi代表第i个候选人，先验概率pire代表今天的民意调查统计数据。然而，随着与选举相关的新信息的披露，今天的公众舆论会随着时间的推移而变化。因此，先验概率将相应地更新，从而导致投票统计数据的变化。为了对这种动态进行建模，让我们假设（为了简单起见），关于哪个候选人代表“最佳选择”的可靠知识会在早期以恒定速率σ增加lin。还有很多谣言和猜测以噪音的形式掩盖了可靠的信息。这种不确定性或噪声将由{Bt}表示的布朗运动建模，布朗运动被认为独立于X，因为否则它不能被视为代表纯噪声。因此，在这些建模假设下，我们用{ξt}表示的信息流可以用ξt=σXt+Bt的形式表示。（2）对于选民来说，兴趣的数量是X的实际值，但有两个未知值，X和{Bt}，只有一个已知值，{ξt}。在这种情况下，理性个体认为x=x的概率取决于时间序列{ξs}0中包含的信息≤s≤t一直到时间t。我们继续确定条件概率P（X=xi |{ξs}0≤s≤t）。我们首先指出信息过程{ξt}是马尔可夫过程。

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2022-6-14 14:54:00

看到这一点的一种直观方法是观察到增量dξtof{ξt}由σXdt和dBt之和给出，但d t的系数在时间上是常数，而布朗运动有独立的增量，因此（2）的过程{ξt}不携带任何“记忆”。建立马尔可夫性等价于表示p（ξt≤ x |ξs，ξs，ξs，ξsk）=P（ξt≤ x |ξs）对于任意有序时间t，s，s，sk公司。然而，以X=xi为条件的过程{ξt}只是一个干燥的布朗运动，它显然是马尔可夫运动，所以我们得到了ξt≤ x |ξs，ξs，ξsk=XiP公司ξt≤ x | x=xi，ξs，ξs，ξskP（X=xi）=XiP（ξt≤ x | x=xi，ξs）P（x=xi）=Pξt≤ x个ξs. （3）除了马尔可夫性质外，随机变量X是时间序列{ξt}的函数，因为对于概率1，我们有极限→∞ξtσt=X.（4）由此得出，条件概率P（X=xi |{ξs}0≤s≤t）简化为P（X=xi |ξt）。将先验概率P（X=xi）转换为后验概率P（X=xi |ξt）的逻辑步骤由贝叶斯公式捕捉：P（X=xi |ξt）=P（X=xi）ρ（ξt | X=xi）PjP（X=xj）ρ（ξt | X=xj）。（5）这里，随机变量ξ的条件密度函数ρ（ξt | X=xi）由关系p（ξt）定义≤ y | X=xi）=Zy-∞ρ（ξ| X=xi）dξ，（6）由ρ（ξ| X=xi）给出=√2πtexp-(ξ - σxit）2t！。（7）这源于这样一个事实，即在X=xi的条件下，随机变量ξ正态分布，平均值σxit和方差t。因此，我们推断p（X=xiξt）=piexpσxiξt-σxitPjpjexpσxjξt-σxjt. （8）基于（8）的推论在某种意义上是最佳的，因为它们将X值的不确定性降至最低，这是根据可用信息通过方差或熵度量来衡量的。

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2022-6-14 14:54:03

因此，在最小化误差的意义上，后验概率（8）确定未知变量X的最佳估计。在简化形式方法中，条件概率（8）是模型输入{ξt}的非线性函数，它模拟了民意测验统计的复杂动态。我们在本文中的目标是研究该模型的各种特性，以及探索利用该模型的不同方式。三、选举动力学和新信息的到来我们首先考虑（8）中获得的条件概率的动态演化。为了实现这一目的，让我们引入一个更简单的not-at离子，即πit=P（X=xi |ξt）。然后将伊藤公式应用于（8）屈服强度dπit=σ（xi-^Xt）πitdξt- σ^Xtdt, （9）其中，我们为给定ξt的X的条件期望写下了^Xt=XixiP（X=xi |ξt）（10）。检查条件概率的动力学很有趣，因为它允许我们分离新信息的到达。我们注意到，时间序列{ξt}本身包含新的信息以及已经识别的冗余信息。（例如，通常情况下，当一个人阅读报纸文章时，只有一小部分内容是真正的新内容，这种趋势在网络生成的新闻内容中更为突出，而网络生成的新闻内容正成为主流。）条件期望（10）给出了X的“最佳”估计，这一点反映在一个显著的事实上，即在时间t时，选民信心的小幅增长，由dπit表示，仅由新信息引起。换句话说，过程{Wt}的小增量dWtof定义为Wt=ξt- σZt^Xudu（11）表示新信息的到达。（11）中定义的过程{Wt}在信号处理理论中被称为创新过程【16】。

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kedemingshi

2022-6-14 14:54:12

事实上，可以证明{Wt}是一个标准的布朗运动。为此，我们回顾了布朗运动的L'evy准则，即如果一个过程{Wt}是一个马氏体，并且如果（dWt）=dt，那么{Wt}是一个布朗运动。为了证明{Wt}是鞅，我们观察到≥ s thatEs【Wt】=Es【ξt】- σEs“Zt^Xudu#=σt^Xs+Es[Bt]- σZs^Xudu- σ（t- s） ^Xs，（12）但根据条件期望的塔性质，我们得到了Es[Bt]=Es[Bs]，因此在（12）中写入^Xs=Es[X]我们发现，由于Es[σsX+Bs]=Es[ξs]=ξs，即Es[Wt]=Es[σsX+Bs]- σZs^Xudu=Ws，（13）建立鞅条件。然后从（dξt）=dt，我们在ce上发现（dWt）=dt，由此得出{Wt}是在测度P下的布朗运动，关于{ξt}生成的信息流。根据这一观察结果，我们从（11）中推断，“现实世界”概率测度P中的信息过程{ξt}是一个漂移布朗运动，这意味着存在一个有效的概率测度Q，在该概率测度下，信息过程{ξt}本身就是一个布朗运动。在下面的阿吉文候选人获胜概率分析中，这一指标变化的细节变得很方便。为了阐明两个度量值P和Qlet之间的关系，我们检查（8）中获得的条件概率分母，并将其定义为Φt=Xjpjexpσxjξt-σxjt. （14）然后，伊藤公式的应用表明，dΦtΦt=σ^Xtdξt，（15），从中，在积分并使初始条件Φ=1时，可以得出Φt=expσZt^Xsdξs-σZt^Xsds！。（16）因此，根据Girsanov定理，在任何有限时间范围内都存在一个等价的概率测度Q，使得（11）定义的过程{ξt}是Q-测度中的标准布朗运动，其中{Φt}是测度密度martin gale的变化。

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2022-6-14 14:54:15

特别地，对于任何可测量的随机变量Yt，这两个概率度量中的条件期望根据pS【Yt】=ΦsEQs【ΦtYt】和EQs【Yt】=ΦsEPs“ΦtYt”；（17）IV.我们在（8）中得出的获胜概率后验概率的动力学过程，即首选候选是第k个。有了这一点，我们可以问一系列定量问题，例如，考虑到即将到来的选举将在T年后举行，坎迪·达特克获得K%以上选票的可能性有多大。我们现在在一个只有两个主要候选人的简单案例中解决这个问题。值得一提的是，如果手头没有一个动力学模型，这样的问题是无法解决的。对于两名候选人的选举（或者，相当于“是非”公民投票），我们可以使用二进制系统将候选人标记为0和1。换句话说，我们让x=0，x=1；因此，对于先验概率，我们设置p=p，p=1- p、然后随机变量X的条件期望由^Xt=Xi=0xiP（X=Xi |ξt）=（1）给出- p）经验值σξt-σtp+（1- p）经验值σξt-σt, （18）这可以解释为代表候选人1的投票百分比的后验预期，因为在二元情况下，我们有^Xt=π1t。我们现在检查候选人1在未来时间T的选举中获得K%以上选票的先验概率P（^XT>K）。我们将利用这一事实^XT>K= Eh1{XT>K}i，（19）也就是说，事件的概率可以通过对该事件的指示函数的期望来计算。为了计算（19）右侧的期望值，我们将更改测量值P→ 利用密度鞅Φt=p+（1- p）经验值σξt-σt. （20）那么我们有了^XT>K= 方程ΦT1{^XT>K}i。

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2022-6-14 14:54:18

（21）我们现在观察到，^XT是ξt的增函数。因此，^XT>K上的条件等价于ξt上的条件。这可以明确地计算出来。我们有（1- p）经验值σξT-σT> Khp+（1- p）经验值σξT-σTi、（22）由此得出，当且仅当ξT>z时，^XT>K成立*√T，其中Z*=日志pK（1-p）（1）-K）+σTσ√T、（23）如上所述，在测度Q下，信息过程{ξT}是一个标准的布朗运动，因此我们推断p^XT>K=√2πZ∞z*e-zp+（1- p） eσ√T z-σTdz。（24）因此，如果我们确定-= -z*d+=σ√T- z*, 或者更明确地说，d±=log(1-p）（1）-K）主键±σTσ√T、（25）那么我们有^XT>K= p N（d-) + (1 - p） N（d+）（26）图1：获胜可能性。候选人1在一年的选举中获胜的概率（T=1），作为先验概率p的函数∈ （0，1）和信息流量σ∈ (0, 0.75). 在极限σ内→ 0当未来不确定性较大时，概率接近阶跃函数，而处于相反的极限σ→ ∞ 概率近似为当前民意测验的线性函数，用p表示，其中n（x）=√2πZx-∞e-zdz（27）表示累积正态分布函数。通过在（26）中设置K=1/2，我们可以得到候选人1赢得选举的可能性。如图1所示。顺便说一句，我们注意到，由此获得的公式（26）表示选举中给定候选人的概率与金融市场中Black-Scholes模型中astock i期权的定价公式基本相同【24】。更仔细地研究候选人在未来选举中获胜的可能性的表现是很有趣的。例如，在极限σ→ 0作为当前轮询函数的概率接近一个阶跃函数。

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2022-6-14 14:54:23

也就是说，如果候选人1今天获得51%的支持，那么候选人1在未来选举中获胜的可能性就接近1。这是因为在信息流量为零的lim it中，不会显示与选择相关的信息。因此，在没有任何进一步信息的情况下，当前的状态将是未来的状态，即51%的选民将投票给候选人1，因此获胜的可能性接近1。当然，在现实中，信息被解开，导致民意调查的动态演变。在图2中，我们绘制了两个σ值的（26）横截面。如果当前的民意调查反映了选举预测因素，那么给定候选人在未来选举中获胜的概率将是当前受欢迎程度的近似函数，即当前支持率等于选举获胜的可能性。然而，根据基于信息的模型，对应关系为0.2 0.4 0.6 0.8 1.01-p0.20.40.60.81.0获胜概率图。2：获胜可能性。候选人1在一年的选举中获胜的概率（T=1），作为当前支持率1的函数- p代表候选人。如果今天的民意测验是获胜概率的预测指标，那么函数应该是此处显示的直线（棕色）。然而，根据基于信息的模型，我们发现，如果1- p>；相反，如果1- p<。显示了两个示例，对应于信息流量的值σ=0.15（紫色）和σ=0.95（洋红）。结果表明，如果未来不确定性较大（σ较小），则偏离民意测验指标的偏差较大。是非线性的。

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2022-6-14 14:54:28

特别是，如果今天某位候选人的支持率高于50%，那么该候选人在未来选举中获胜的可能性总是比今天的民意调查所建议的要大，反之，如果当前的支持率低于50%，那么实际获胜的可能性就比今天的民意调查所建议的要小。此外，随着未来不确定性的增加，今天的得分与获胜可能性之间的差距也会增大。五、预测选举结果在上述分析中，我们引入了一个抽象的随机变量X th，在某种意义上代表“首选”候选人。因此，条件期望^Xtof X不会收敛到候选人中的任何一个，因为在选举日之前，公众舆论的变化范围很广。然而，从竞选经理、选举民调师、选举专家或参与选举的竞选机构的角度来看，重要的不是抽象的概念，即历史可能最终判断哪位候选人是最受欢迎的候选人。对他们来说，重要的是谁可能真正赢得选举这一更具体的概念。为了模拟选举预测，我们需要一个获胜概率的动态版本（26）。为了使讨论保持简单，让我们暂时继续假设只有两个坦率的日期：候选人0和候选人1。然后，候选人1赢得选举的概率必须收敛到0或1，这取决于选举结果。换句话说，我们需要考虑概率T^XT>K= Eth1{XT>K}i（28）以t时间t之前可用的信息为条件。然后，这种条件概率过程将以随机方式演变，随着选举日的临近，它将收敛到0或1，即。

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kedemingshi

2022-6-14 14:54:39

作为t→ T为了澄清，我们指出，（28）代表优先概率（26）的动态扩展，因为（26）K=1/2代表候选人1在t=t的选举日取得胜利的当前（时间t=0）概率，该概率将随着新信息的披露而动态变化，因此，特别是考虑到时间t的可用信息，获胜概率变为（28），k=1/2。为了计算（28）中的条件期望，我们首先指出模型欠考虑需要以下意义上的动态一致性。支持在时间s之前收集信息∈ [0，t]这样先验概率Pi变成了后验概率πis=p（X=xi |ξs）。然后从这一点开始，给出过去{ξu}0的知识≤u≤ s、根据信息流的原始模型（2），从时间s开始的重新初始化信息过程将采用ξst=ξt的形式- ξs=σX（t- s） +（Bt- Bs）。（29）因此，从时间s开始，后验概率πis现在成为未来时间t的优先概率≥ s、因此，根据导致（8）的逻辑，新的后验概率πit=P（X=xiξt）应该是πit=πisexp的形式σxiξst-σxi（t- s）Pjπjsexpσxjξst-σxj（t- s）. （30）用ξstandπisin（30）的表达式代替，一个简短的计算表明，结果表达式确实与（8）中得到的表达式一致，从而建立了模型的动态一致性。动态一致性意味着要计算出（28）中的条件期望，必须循环计算到（26），而不是使用与时间相关的度量变化规则EPt[YT]=EQt[ΦTYT]/Φt执行直接计算。

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可人4

2022-6-14 14:54:42

特别是，我们立即推断出^XT>K= πtN（d-t） +（1- πt）N（d+t），（31），其中πt=P（X=0 |ξt）和d±t=log(1-πt）（1-K） πtK±σ（T- t） σ√T- t、（32）在（31）中设置K=1/2，我们获得了候选人1将在时间t赢得选举的后验概率，这实际上收敛到0或1，这取决于信息如何沿着这条道路展开。图3显示了条件概率过程的五个充分路径模拟。顺便说一句，我们注意到，如果有两个以上的候选人，比如说，N个候选人竞争，那么在时间t时，kthcandidate赢得选举的相应后验概率在时间t时通过计算Pt（πkT>N）来确定-1). >图3：选举预测的动态。概率Pt^XT>1/2在时间t，候选人1将赢得在时间t进行的选举，这是模拟的。此处显示了五条样本路径，参数值p=0.48、σ=0.5和T=1。六、虚假信息的影响：何时发布虚假新闻？基于信息的选举模型自然允许对传播中存在虚假信息的情况进行概括，故意掩盖X的真实值。特别是，在【10】中，我们定义了“假新闻”作为信息过程的定义的含义（2）形式如下：ηt=σXt+Bt+Ft，（33）其中术语{Ft}，其中h作为一个偏差，因此t h在E[Ft]，0时，为故意的虚假信息建模。他们的想法可以描述如下。有一些没有根据的谣言和猜测掩盖了X的价值，但大量这样的随机猜测将产生一个无偏的噪音，使E[Bt]=0。

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2022-6-14 14:54:46

换句话说，当噪声干扰X的准确估计时，它不会指向任何特定的方向；然而，假新闻可以通过其迷惑公众的欲望与传统新闻区别开来。因此，那些不知道{Ft}存在的人将根据公式（8）得出他们的估计值，但用失真信息{ηt}代替{ξt}。换言之，他们将“感知”关于正常形式（2）的信息，并根据（8）进行适当的推断；但是由于{Ft}的存在，它们的引用现在是倾斜的。在基于信息的模型中，可以以直观透明的方式理解d信息的影响：如果e[Ft]>0，那么人们（不知道{Ft}的存在）会被误导，以为X的真实值大于实际值；同样，如果E【Ft】<0，人们就会错误地认为X的真实值小于它的真实值。因此，通过为过程{Ft}选择特定模型，可以应用模拟研究来确定，对于{Ft}的选择，民意调查统计在这种情况下可能会产生怎样的影响。从那些希望传播虚假信息的人的角度来看，最明显的问题是：如何为{Ft}找到最佳选择？显然，最优性的概念取决于标准的选择，但在目前的情况下，最自然的可能是使给定候选人在选举中获胜的概率最大化。一般来说，要找到这个问题的解决方案，需要解决一个新型的随机优化问题，该问题结合了（a）信号检测理论，尤其是非线性滤波理论[16]，以及（b）变化点检测问题理论[25]。

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2022-6-14 14:54:51

因此，我们在这里遇到了一种情况，一种新型的问题导致了一种新型的数学挑战。在这里，我们将在一个简单的设置中分析这个问题，在这个设置中，只有一次机会发现虚假新闻。因此，问题是找到发布虚假新闻的最佳时机，以最大限度地扩大其对即将到来的选举的影响。我们将特别假设一个形式为Ft=u（t）的假新闻模型- τ） e类-α（T-τ） 1{t>τ}，其中u和α>0是常数，τ表示假新闻发布的时间，1{t>τ}与之前一样，如果t≤ τ和1{t>τ}=1，否则。这种选择有这样一种解释：当假新闻在时间τ发布时，最初它们的强度在时间上以u的速率线性增长，但随着时间的推移，假新闻的强度以α的速率指数级抑制。让我们在两名候选人的选举中考虑这个问题。回想一下，在缺乏dis信息的情况下，候选人e 1获得选举胜利的概率在（26）w中已经计算出来，K=1/2。然而，如果虚假信息以这样的方式传播，而投票者并不知道，那么这种可能性会以以下方式改变。注意到（26）是通过假设真实信息流{ξt}得到的，如果实际上这被{ηt}代替，那么阈值z*of（23）现在替换为z*- 英尺/√T这是因为原始条件是ξT>z*√T，但在存在二元信息时，ξT被ξT+FT替代；因此，条件现在为ξT>（z*- 英尺/√T）√T相应地，变量d±替换为d±+FT/√T如果FT>0（如果FT<0），这会增加（分别降低）候选人1的获胜概率P（^XT>1/2）。

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能者818

2022-6-14 14:54:54

因此，原则上，人们可以优化{Ft}的形式，以最大化（或最小化）概率p（^XT>1/2）。然而，在现实中，由于{ξt}的马尔可夫性以及{Ft}存在的假设对选民是隐藏的，在这种情况下，通过简单的最大化Ft可以获得最大影响。对于型号Ft=u（t- τ） e类-α（T-τ）因此，为了最大限度地影响选举结果，应在τ发布假新闻*=αT- 1α（34）如果α>T-1和atτ*= 如果α为0≤ T-1、在图4中，我们绘制了候选人1在虚假新闻出现的情况下赢得选举的概率P（^XT>1/2），作为发布时间τ的函数。对于所做的参数选择，我们可以看到，在没有虚假消息的情况下，如果候选人1赢得选举的先验概率（今天的民意调查）为1-p=49.5%，那么一年后赢得选举的实际概率（今天的预测）约为47.3%。然而，如果选民没有发现有利于候选人1的虚假消息，那么只要在选举日之前发布，就会增加这种可能性。特别是，如果优化了发布时间，那么概率可以提高5.5%（在本例中），这可能只是为了克服候选人1的统计确定性以确保获胜。这里提到的具体数据当然基于任意选择的模型参数，但该模型以直观的方式清楚地说明了爆炸事件的影响，并允许进行更全面的影响研究、场景分析以及参数敏感性分析；我们希望其结果将有助于制定应对虚假新闻影响的对策。0.2 0.4 0.6 0.8 1.0τ0.480.490.500.510.520.53获胜概率图。4：获胜可能性。

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2022-6-14 14:54:57

当我们设置α=5时，候选人1在一年内（T=1）赢得选举的概率，作为有利于候选人1的假消息发布时间τ的函数，是有规律的。该图显示，在选举期间四分之一的时间里发布虚假新闻，候选人赢得选举的概率可以提高约5.5%（从47.3%提高到52.8%）。其他模型参数为：信息流量σ=0.3，候选人0获胜的先验概率p=0.505，虚假新闻强度u=1.5。七、管理竞选活动中的信息流在上一节中，以及在[10]中，我们研究了虚假信息传播对小齿轮民意调查统计动态的影响。然而，很明显，该框架并不局限于对虚假信息进行建模。例如，如果竞选团队对X的价值有信心，那么他们可以主动宣传（或者可能宣传）相关信息，但不能秘密宣传。在最简单的情况下，设置Ft=κX（t-τ） 1{t>τ}对于某些κ>0，其中{Ft}现在表示真实信息。然后从时间τ开始，选民将获得关于X的更可靠信息。这相当于具有时间相关的信息流量σt，σt=σt≤ 对于t>τ，τ和σt=σ+κ。更一般地说，我们可以考虑通用的时间相关信息流量σt。如果竞选团队能够控制某些信息，那么他们自然会希望优化信息的管理方式，以便最大限度地提高他们在选举中获胜的机会。

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2022-6-14 14:55:00

（事实上，正如最后一节b-el-ow所解释的那样，这种情况在结构方法中是很自然的；而在简化形式方法中，随机变量X是一种抽象的延伸，因此竞选团队是否能够在ion o nX管理信息并不总是显而易见的。然而，因为在任何一个框架中对问题的数学处理都是相同的，并且由于本文件涉及简化模型，我们将在此继续发展该思想，但需要注意的是，本节中提出的思想的实际实现在结构框架内更为适用。）在信息流量与时间相关的一般情况下，信息过程的形式为ξt=XZtσsds+Bt。（35）在这种情况下，信息过程{ξt}不再是马尔可夫过程，因此我们没有简化约化P（X=xi{ξs}0≤s≤t）→ P（X=xi |ξt）。换句话说，随机变量X的条件概率现在是路径相关的。为了计算后验概率，我们首先指出，如果我们根据Φt=expXZtσsdξs定义过程{Φt}，则-Ztσsds！，（36）然后我们可以使用单位初始化鞅{Φt}来改变概率测度P→ Q具有以下性质：（i）信息过程{ξt}是Q独立于x的布朗运动；（ii）随机变量X在Q下的概率定律与在P下的概率定律相同；和（iii）条件期望ft=EP[f（X）|{ξs}0≤s≤t] 对于随机变量X的函数，可以使用Kallianpur Striebel[26]公式ft=EQ[f（X）Φt |{ξs}0≤s≤t] 公式[Φt |{ξs}0≤s≤t] 。

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2022-6-14 14:55:08

（37）通过在（37）中设置f（X）=1{X=xi}，我们由此推导出条件概率πit=P（X=xi |{ξs}0的表达式≤s≤t）与时间相关的信息流：πit=piexpxiRtσsdξs-xiRtσsdsPjpjexpxjRtσsdξs-xjRtσsds, （38）从中可以根据^Xt=Pixiπit获得X的最佳估计值^Xt。让我们像第四节那样，进一步审议只有两名候选人的情况。我们有^XT=（1- p）经验值RTσsdξs-RTσsdsp+（1- p）经验值RTσsdξs-RTσsds, （39）是单个高斯随机变量rtσsdξs的增函数。因此，当且仅当ifRTσsdξsqRTσsds>log时，^XT>K成立pK（1-p）（1）-K）+RTσsdsqRTσsds。（40）由于关系P（^XT>K）=等式[ΦT1{^XT>K}]，其中{ΦT}是（39）的分母，则通过一个简短的计算表明P^XT>K= p N（d-) + (1 - p） N（d+）（41），其中d±=对数(1-p）（1）-K）主键±RTσsdsqRTσsds。（42）在（41）中设置K=1/2，我们得到了当信息流量{σt}依赖于时间时，候选人1赢得未来选举的概率。根据candi date 1的竞选团队的观点，如果他们有能力控制信息流动的速度，那么最好找到一个{σt}th，使成功概率最大化（41）。在恒σ的情况下，通过检查图2已经可以推断出基本思想：根据先验概率p的值，我们可以让σ→ ∞ 或让σ→ 从而影响某一候选人在未来选举中获胜的概率。然而，这些极端情况是不现实的（即使是在结构模型中）：发布信息（营销）通常代价高昂。

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2022-6-14 14:55:11

因此，可以合理地假设，如果采样周期d为[0，T]，则数字rtσsds是严格有界的。有了这一点，我们检验了候选人的获胜概率P=P（^XT>1/2）如何随着信息流量σt的变化而变化。为此，让我们考虑P相对于σt的泛函驱动。也就是说，将P=P[σ]视为σ的函数，我们考虑在φt方向上通过少量的扰动σtb：δPδσ=lim→0P[σ+φ]- P[σ]。（43）然后进行一个简短的计算，说明δPδσ=√2π“p e-（d）-)δd-δσ+ (1 - p） e类-（d+）δd+δσ#，（44），其中δd±δσ=RTσsφsdsqRTσsds日志pK（1-p）（1）-K）RTσsds±1. （45）从（44）我们推断P上的扰动与{σt}和{φt}之间的内积rtσsφsds成正比。因此，对于给定的{σt}，我们可以探索它是如何被扰动的，从而增加或减少P。然而，在实际应用中，很可能有人会使用信息流量{σt}的参数模型族，在这种情况下，优化可以在没有正态差异的情况下实现，而不是使用函数导数。我们注意到，更普遍地说，获胜概率P随着今天信息流量的波动而变化的方式将与明天不同。实际上，后验概率πt=P（X=X |{ξs}0≤s≤t）明天可能会从今天的a优先概率p发生变化，虽然今天增加σ有好处，但明天减少σ也有好处。

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2022-6-14 14:55:14

换句话说，我们需要的是基于获胜概率的条件版本的（44）的动态版本：Pt=P（^XT>1/2 |{ξs}0≤s≤t）。这可以直接计算出来，我们推断结果的形式与（44）相同，只是p被πt取代，RTσsds被ttσsds取代，RTσsφsds被ttσsφsds取代。八、敏感性分析基于信息的模型的另一个方面与参数敏感性有关，这将有助于探索战略规划。如果信息发布的成本很高（例如广告成本），并且如果结果不太可能显著改变服务状态，那么继续发布可能并不有利。考虑到这一点，了解模型的参数敏感性将有助于辅助决策。在本文中，我们特别感兴趣的是未来随机变量^XT概率分布的参数敏感性。因此，让我们首先计算出^XT的先验密度函数。回顾^xts的密度函数ρ（x）由ρ（x）=dP（^XT<x）/dx给出，我们通过微分（26）推断ρ（x）=√2πσT x（1- x） hp e-（d）-)+ (1 - p） e类-（d+）i，（46），其中（d±）=日志(1-p）（1）- x） pxσ√T+σT±log（1- p）（1）- x） px！。（47）在图5中，我们绘制了参数σ不同值的密度函数ρ（x）。从（46）可以看出，ρ（x）是一个满足正态化条件的密度函数ρ（x）dx=1（尽管定义ρ（x）显然是一个密度函数），但实际上ρ（x）是变换变量中的高斯混合密度。要查看这一点，请使用change t the variablex→ u根据tou=log1- xx！，（48）同样，为了简化符号，让我们定义β=log[（1-p） /页]。

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2022-6-14 14:55:18

那么很明显，当x从0到1变化时，u从∞ 到-∞. 加上du=-dx/x（1- x）因此，我们推导出变换变量的密度函数f（u）ut=log[（1-^XT）/^XT]的形式为f（u）=1+eβ√2πσTe-2σT（u-(β-σT/2））+eβe-2σT（u-（β+σT/2））, （49）我们认为这是一个归一化高斯混合密度。有了密度函数的表达式，我们可以解决有关参数敏感性的问题。我们特别感兴趣的是模型对信息流量σ和当前民意调查统计数据p的敏感性，因为σ可以直接与广告成本挂钩，而p的值可以从民意调查中得出。对于该分析，我们应借鉴信息几何学的思想（例如，参见[27，2，8]），以确定参数敏感性，即，我们将检查与参数σ和p相关的Fisher信息矩阵（或Fisher-Rao度量）。Fisher-Rao信息度量Gi j（σ，p）非常有用，因为它在密度函数的空间中引入了度量的概念，用于确定不同参数值的密度相对分离。换言之，信息披露率从σ到σ′的变化所造成的影响量通常与原始差异σ无关- σ′. 相反，它是根据与Fisher-Rao度量信息相关的测地距离来测量的。写出θ=σ和θ=p，fisheerinformation由表达式gi j（σ，p）=Z确定∞-∞f（u） f（u）θi f（u）θjdu。（50）图5：^XT的密度函数。对于信息流量参数σ的不同值，此处显示了随机变量^xt的先验概率密度ρ（x）∈ [0.25, 0.75].

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2022-6-14 14:55:21

其他模型参数为p=0.5和dT=1。这里应该注意的是，与曲率等不变量不同，Fisher-Rao度量在变量变换XT下不是严格不变的→ 美国犹他州。然而，在一定的正则性条件下，Chentsov定理表明，在某些统计上重要的变换下，Fisher信息在尺度上是唯一不变的度量[29]。因此，在没有损失的情况下，为了获得计算简单性，我们将研究与密度函数f（u）相关的Fisher信息，而不是ρ（x）。具体地说，如果我们在（50）中替换（49），那么经过一个简短的计算，我们推断出thatGi j（σ，p）=T+σ2p-1σp（1-p） 2p级-1σp（1-p） p（1-p）1+σT p（1-p）. （51）在检查由揭示率σ信息参数化的一维子空间时，相应的Fisher信息只是一个常数t加上与标准偏差σ的正态密度函数相关的Fisher信息2/σ，σ在减小，表明σ越小，对X的预测未来值分布的影响（与σ值的变化相关）越大。不同的是，如果有大量可靠的信息被传输给选民，那么将竞选资金用于进一步的广告可能是不可取的，因为这将产生很小的额外影响；然而，如果传递的信息很少，那么就值得进行额外的广告活动。这个结论可能在直觉上很明显，然而，仅凭直觉不太明显的是，我们在这两个极端之间划出了界限。

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2022-6-14 14:55:24

计算Fisher信息的优点是，它提供了一个定量度量，允许人们分析此类问题。特别是，关于信息披露参数分布的敏感性，与参数值σ和σ′相关的密度之间的测地距离可以以闭合形式计算出来（见[28]），这可以用于对成本效益分析进行定量分析。九、选举规划：结构方法【10】中介绍的两种建模方法与金融和投资银行业信用风险管理中使用的标准和简化模型相似【30】。在金融环境中，通常使用简化模型，因为对于给定的金融合同，现金流的数量和与之相关的独立市场因素的数量通常都是如此，以至于试图剖析产品以确定其结构细节是不切实际的。相比之下，在简化形式方法中，可以抽象地捕获结构模型产生的所有定性特征，而无需深入任何结构细节，这使得简化形式方法更易于实现。

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能者818

2022-6-14 14:55:27

另一方面，在选举建模的背景下，结构方法是完全可行的，因为，（a）通常在选举中，只有少数可能的候选人；（b）与大量选民相关的重要独立问题的数量也相对较少。在本论文中，我们将注意力集中在简化模型上，因为（i）它捕获了结构模型产生的所有定性特征，从而使其成为对s系统进行学术研究的理想框架；（ii）一个人可以进行非常深入的数学分析，而不会把它与所有结构细节混在一起；（iii）数学形式和推导公式直接适用于结构模型。然而，如果要将基于信息的框架作为选举规划的一部分来应用，那么结构模型就更有优势，因为简化模型中存在一定程度的抽象，在某些情况下，很难在实践中实现。例如，在第七章关于控制信息流动的讨论中，如果信息与候选人自己在关键问题上的立场有关，这是可行的，在结构方法中就是这样。可以对第八节中考虑的材料进行类比陈述。因此，虽然本文所研究的选举竞争信息模型的特征可以在上述简化形式的方法中进行探索，但为了实现现实，最好在[10]的结构设置中应用本文所述的技术，其中独立因素具有现实和有形的解释。

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