一般保险公司的期望指数效用最大化

2022-6-15 21:54:28

而且，[7、8、23]采用了随机因素模型，预计可以弥补Black-Scholes模型的不足。[37，3，8，39，56，68]研究了均值方差保险人的最优投资再保险问题。[21]研究了最大化电力效用准则的最优投资再保险问题。[4、30、40、41、57、64、62、66、67]处理了指数效用准则最大化的最优投资再保险问题。此外，研究了最优投资和风险控制问题。另一方面，[63，69，70]使用基于等价鞅测度和鞅表示定理的鞅方法。Wang等人【63】2000年数学学科分类。93E20、60H30、91B28、91B30、49L20、90C40、60J70、62P05。关键词和短语。风险过程，随机控制，指数效用，

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2022-6-15 21:54:31

文献[24]讨论了非线性效用下的投资组合优化问题。Sekine【53】运用BSDEs方法讨论了指数对冲。沈增[56]采用BSDEs方法求解均值-方差最优投资再保险问题。文献[54]证明了具有Lips-chitz基因rators和平方可积终端条件的BSDE的存在性和唯一性。然而，基于Merton型问题的性质，得到了相应的具有二次增长的FBSDE。文献[34，58]讨论了具有有界终端条件的二次倒向随机微分方程（QBSDE）的存在性。特别是，Bahlali等人[2]和Briand and Hu[9，10]分别分析了具有无界端值和l端数据的QBSDE。Barrieu和El Karoui[3]研究了无界二次BSDE。Imkeller和Reis【31】讨论了具有截断二次增长的BSDE的路径正则性，Frei等人【20】，Cheridito和Nam【15】，Hu和Tang【29】，Jammneshan等人【32】考虑了多维倒向随机微分方程。一维超二次BSDE的结果如【14，17】所示。Peng和Wu[5 5]基于单调性条件提出了全耦合FBSDE的存在唯一性。Delarue【16】基于与偏微分方程拟线性抛物系统的联系，讨论了非退化情况下FB SDE的存在性和唯一性。[47]中使用解耦随机场分析了系数为一致Lipschitz的FBSDE的适定性。在[42，43]中，通过有界平均振荡（BMO）-鞅技术研究了具有四次增长的耦合FBSDE的可解性。Kupper等人。

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2022-6-15 21:54:34

[36]利用Malliavin演算和PDE技术分析了具有四次增长的多维耦合FBSDE的局部和全局存在唯一性结果。请注意，在前面的讨论中，耦合的FBSDE没有跳跃。由于部分积分微分方程（PIDE）的正则性所带来的挑战，使用PDEapproach很难验证带跳跃的耦合FBSDE的唯一性。此外，为了使用BMO方法显示BSDE的存在性和唯一性，需要跳跃ms有界，请参见【48】。由于保险人的索赔是无界的，因此该条件不适用于所提出的问题。在本文中，我们研究了由保险公司的优化组合表m激励的特定耦合FBSDEswith跳跃。利用theJensen不等式和鞅技巧可以得到相应的带跳FBSDE的唯一性。特别是，我们有tate Badaoui-Fe rn'andez【7】、Ba daoui et al【8】、Fern'andez et al【18】、Hata Yasuda【23】、Wang【61】、Yang Zhang【65】、Zhou【70】。这些方法处理了当效用函数为指数型时，保险公司的预期指数效用最大化3个最优投资问题。这些问题通常可以通过使用动态规划方法来解决。Browne【12】、Fern\'andez等人【18】、Wang【61】和Yang Zhang【65】考虑了Black-Scholes模型。在[12]中，风险过程遵循带漂移的布朗运动。在[18]中，采用经典的Cram'er–Lundberg模型作为r isk过程。在[61]中，索赔过程是一个纯粹的跳跃过程。在[65]中，风险过程是一个受标准布朗运动扰动的复合泊松过程。Badaoui Fern'andez【7】和Badaoui et al【8】将随机波动模型视为【18】的对应物。

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2022-6-15 21:54:37

注意，在[7]中，风险集和因子过程之间的相关性为零。[8] 允许风险资产和工厂流程相互关联。Ha ta Yasuda[23]处理了一个线性高斯随机因子模型，并构建了e-xplicit o-Optimal Strategy。并且，[41]用Ornstein-Uhlenbeck模型研究了最优投资和再保险问题。此外，Xu等人[64]研究了与[7]相对应的最优投资和再保险问题。我们的目标是将之前的工作扩展到一个更一般的随机因子模型，即无风险利率不是常数。事实上，我们认为一个市场由一个银行账户和m只高风险股票组成。假设银行账户过程和风险股票的价格过程S：=（S，···，Sm）*（这里是wedenote（·）*向量或矩阵的转置。）由以下等式控制：dSt=Str（Yt）dt，S=S，dSit=Sit（ui（Yt）dt+mXk=1σikp（Yt）dWkt），Si=Si，dYt=g（Yt）dt+σf（Yt）dWt，Y=Y∈ Rn，（1.1），其中（Wt）t≥0是在潜在概率空间上定义的m维标准布朗运动过程(Ohm, F、 P）。σpandσfare m×m，n×m矩阵值函数，u和g分别是Rm值函数和Rn值函数。考虑到一家保险公司在时间t投资的金额πi财富Xπtin i风险资产t的价格，i=1，m、 πt=（πt，…πmt）*被选中后，他在银行账户上的投资金额为xπt- π*t1=Xπt-mXi=1πit。此处1=（1，…，1）*. 那么，投资者的财富具有动态性：Xπt=X+ct- Jt+Zt（mXi=1πisdssis+（Xπs- π*s1）dSsSs）=x+Zt{c+π*s（u（Ys）- r（Ys）1）+r（Ys）Xπs}ds+Ztπ*sσp（Ys）dWs- Jt，（1.2），其中x是初始盈余，c>0是保险费率。

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2022-6-15 21:54:40

流程JT由JT定义：=ptXi=1Zi，4 HIROAKI HATA，SHUENN-JYI SHEU和LI-HSIEN Sunhere（pt）t≥0是一个泊松过程，其常数强度λ>0，且（Zi）i≥1，索赔额，是具有相同分布ν的独立非负随机变量序列。此外，我们假设zz>0zν（dz）<∞.（1.3）这给出了索赔规模的力矩条件，这将在本文后面引用。稍后将说明更大的力矩条件（见定理2.1中的（A6））。我们还假设（Wt）t≥0，（pt）t≥0和（Zi）i≥1相互独立。此外，对于每个t>0，过滤（Ft）t≥0由ft定义：=σ{Ws，ps，Zjj≤ps；s≤ t、 j≥ 1}.然后，我们将J的泊松随机测度写在[0，∞) × [0, ∞) as N（dt，dz）：N（[0，t]×U）：=X0≤s≤tU公司(Js）=ptXi=1U（Zi），用于孔l设置U [0, ∞), w he reJs：=Js- Js公司-. 我们有jt=ZtZz>0zN（ds，dz）。然后，我们还定义了补偿泊松随机测度N（dt，dz）：=N（dt，dz）- λν（dz）dt。为简单起见，我们总是假设r、u、g、σ和σ完全光滑。我们还假设以下条件：（A1）r，u，g，σ和σfare全局Lipschitz光滑，使得它们的一阶和二阶导数是线性增长的。（A2）σp（x）是不变的。（A3）存在常数u，u>0，因此对于x，η∈ Rn，ξ∈ Rm，uξ|≤ ξ*σp（x）σp（x）*ξ ≤ u|ξ|,u|η|≤ η*σf（x）σf（x）*η ≤ u|η|.（A4）r满意度0≤ r（y）≤ 其中，r是正常数。备注1.1。需要对系数进行平滑处理，以表明HJB方程的解是平滑的。特别是，在一些地方，我们将使用[35]第2章第9节定理10。

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可人4

2022-6-15 21:54:43

参见定理2.2的证明，其中我们还需要（A1）中的增长条件。在本文中，定义终端财富的预期效用：对于给定的常数T>0，J（T，x，y；π）：=E[U（xπT）]。（1.4）此处U:R→ R是指数型效用函数，即（A5）U（x）：=-e-αx，α>0。利用动态规划方法和FBSDE方法，我们考虑了以下问题：保险公司的期望指数效用最大化5（P）supπ∈ATJ（T，x，y；π）。此处位于( L2，T）是一组可接受的策略，其中L2，由2，T定义：=（πs）s∈[0，T]；π是一个Rm值Fs渐进可测随机过程，使得zt |πs | ds<∞, P- a、 s.）。本文后面将给出精确的定义。在第2节，应用动态规划方法，我们考虑问题（P）。为此，我们推导了一个HJB方程。在第2.1小节中，完全市场的性质将帮助我们获得HJB方程的解。在第2.2小节中，我们使用HJB方程及其解证明了验证定理。在第3节中，使用FBSDE方法，我们考虑问题（P）。首先，利用庞特里亚金极大值原理，我们推导出了EBSDE。在第3.1小节中，我们利用完全市场的性质得到了FBSDE的解。我们的贡献之一是研究解决方案的唯一性。我们的方法具有分析性和技术性，但这是一种在其他地方未见的不同寻常的方法。在第3.2节中，我们使用FBSDE及其解证明了验证。我们的方法是分析性的，并且很好地利用了我们环境的性质。这是我们的贡献之一。请注意，FBSDE方法中的容许策略与动态规划方法中的容许策略不同。这将源于彼此方法之间的差异。

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2022-6-15 21:54:47

最后，我们检验了动态规划方法和FBSDE方法的解、最优策略和最优值的一致性。动态规划在这一节中，我们推导了（P）的Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程。我们准备动态版本：（P’）V（t，x，y）：=supπ∈At，TEU（Xπt，t）| Ft,式中，At是s速度对区间[t，t]和Xπt的限制，t：=Xπt/Xπt。根据标准参数（[19]，第四章），我们可以正式推导（P\'）的HJB方程，动力学（1.1）和（1.2）。HJB方程由supπ给出∈Rm五、t+π*σp（y）σp（y）*πVxx+tr（σf（y）σf（y）*Vyy）+π*σp（y）σf（y）*Vxy+{c+π*（u（y）- r1）+r（y）x}Vx+g（y）*Vy+λZz>0{V（t，x- z、 y）- V（t，x，y）}ν（dz）= 0，V（T，x，y）=U（x）。（2.1）此处Vx、Vy、Vxx、Vyy、Vxy是V相对于x、y的第一或第二部分竞争。如果我们假设V（t，x，y）：=-e-v（t，x，y），（2.2）6 HIROAKI HATA，SHUENN-JYI SHEU和LI-HSIEN Sun然后v s解出以下偏微分方程：supπ∈RmLπv（t，x，y）=0，v（t，x，y）=αx，（2.3），其中Lπv（t，x，y）由Lπv（t，x，y）定义：=vt+tr（σf（y）σf（y）*vyy）-v*yσf（y）σf（y）*vy+g（y）*vy+{c+r（y）x}vx+vxx- （vx）π*σp（y）σp（y）*π + π*{（u（y）- r（y）1）vx+σp（y）σf（y）*（vxy- vxvy）}- λZz>0e-v（t，x-z、 y）+v（t，x，y）- 1.ν（dz）。（2.4）Ifvxx- （vx）<0保持，我们看到最大化子是71π（t，x，y）：=-（σp（y）*)-1{θ（y）- σf（y）*vy}vx+σf（y）*vxyvxx- （vx）。设置θ（y）：=σp（y）-1（u（y）- r（y）1）。（2.5）然后，我们将（2.3）改写为vt+tr（σf（y）σf（y）*vyy）-v*yσf（y）σf（y）*vy+g（y）*vy+{c+r（y）x}vx-2{vxx- （vx）}|（θ（y）- σf（y）*vy）vx+σf（y）*vxy |。- λZz>0e-v（t，x-z、 y）+v（t，x，y）- 1.ν（dz）=0，v（T，x，y）=αx.（2.6）备注2.1。如果无风险利率如[7,2,3]中所示为常数，我们使用合适的换算。然后，我们将HJ B方程改写为不依赖于x的抛物型偏积分方程。我们可以求解该方程。

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2022-6-15 21:54:50

然而，如果无风险利率不是常数，则该方法无法获得HJB方程的解。在本文中，由于我们处理完整的市场模型，我们能够通过不同的方法获得解决方案。见第2.1节。然而，如果市场不完整，新方法将失败。解决HJB方程仍然是一个挑战。2.1. HJB方程的求解。通过直接计算，我们得到以下结果。定理2.1。假设（A1）~ （A5）。也假设（A6）Zz>0eαe'rTzν（dz）<∞.那么，\'v（t，x，y）：=a（t，y）x+b（t，y）（2.7）保险公司的预期指数效用最大化7是（2.6）的解。这里，a（t，y）和b（t，y）求解一t+tr（σf（y）σf（y）*Da）+{g（y）- σf（y）θ（y）}*Da公司-a（D a）*σf（y）σf（y）*Da+r（y）a=0，a（T，y）=α，（2.8）和bt+tr（σf（y）σf（y）*Db）+{g（y）- σf（y）θ（y）-σf（y）σf（y）*Daa公司*数据库+θ（y）+σf（y）*Daa公司+ 加利福尼亚州- λZz>0ea（t，y）z- 1.ν（dz）=0，b（T，y）=0。（2.9）在这里和其他地方，Df=（fy，fy，···，fyn）是f（y）的梯度。定理2.2。假设（A1）~ （A6）。然后，我们有以下内容。1.（2.8）有一个解：a（t，y）=αbEt，yhe-RTtr（bYs）dsi-1，（2.10）其中，[·]表示DBPDP确定的概率测量BP的预期FT=下注，（2.11），其中下注：=经验-Ztθ（Ys）*dWs公司-Zt |θ（Ys）| ds.（2.12）bYs是bYs=ng（bYs）的解- σf（bYs）θ（bYs）ods+σf（bYs）dcWs，s≥ t、 bYt=y，（2.13），其中cWs是一个布朗运动：cWs=Ws+Zstθ（Yu）du。2.

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2022-6-15 21:54:53

（2.9）有一个解决方案：b（t，y）=Et，y“ZTtθ（\'Ys）+σf（\'Ys）*Da（s，\'Ys）a（s，\'Ys）-1.（2.14）+约- λZz>0ea（s，(R)Ys）z- 1.ν（dz）ds公司,8 HIROAKI HATA、SHUENN-JYI SHEU和LI-HSIEN Sun其中“E[·]”表示对概率测量“P denedbyd”PdP的预期FT=\'ET，（2.15），其中\'ET:=exp-Zt公司θ（Ys）+σf（(R)Ys）*Da（s，\'Ys）a（s，\'Ys）-1.*载重吨（2.16）-Zt公司θ（Ys）+σf（(R)Ys）*Da（s，\'Ys）a（s，\'Ys）-1.ds公司.以及分析DYS的解决方案=g（(R)Ys）- σf（\'Ys）θ（\'Ys）- σf（\'Ys）σf（\'Ys）*Da（s，\'Ys）a（s，\'Ys）-1.ds+σf（\'Ys）d'Ws，s≥ t、 “Yt=y，（2.17），其中“Wt”是“P”下的布朗运动：”“Wt=Wt+Ztθ（\'Ys）+σf（\'Ys）*Da（s，\'Ys）a（s，\'Ys）-1.ds。在证明这个定理之前，我们先准备下面的引理。引理2。（引理4.1.1/6）使用（1.1）。对于给定的连续函数H（t，y）满足| H（t，y）|≤ C（1+| y |）我们定义ρt：=exp-ZtH（s，Ys）*dWs公司-Zt | H（s，Ys）| ds.那么，t的e[ρt]=1∈ [0，T]。定理2.2的证明。设置^a（t，y）=a（t，y）-1，则^a求解^at+tr（σf（y）σf（y）*D^a）+{g（y）- σf（y）θ（y）}*D^a- r（y）^a=0，^a（T，y）=α-1.（2.18）从引理2.1中，我们可以看到BP是一个概率度量。因此，使用[35]第2章第9节第10条定理，我们得到了^a（t，y）=α-1bEt，yhe-RTtr（bYs）dsi。（2.19）因此得到（2.10）。另一方面，从（A4）我们有0<a（t，y）≤ αe'rT。根据下面的引理2.2，C>0，使得| Da（t，y）| a（t，y）-1.≤ C（1+| y |）。（2.20）因此，使用引理2.1 ag ain，我们可以看到“P”定义良好。我们可以检查（2.17）的可解性。再次使用【35】第2章第9节第10条，我们获得（2.14）。保险公司的预期指数效用最大化9引理2。2、假设（A1）~ （A5）。然后，存在C>0和C>0，因此（2.20）是令人满意的证明。

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2022-6-15 21:54:56

设置Д（t，y）：=日志a（t，y），我们有φt+tr（σf（y）σf（y）*D^1）-（D^1）*σf（y）σf（y）*DД+{g（y）- σf（y）θ（y）}*DД+r（y）=0，Д（T，y）=对数α。（2.21）在其余部分，我们可以使用Krylov[35]中的结果（第2章第9节定理10）。注意到一t<0成立，我们看到φt<0保持不变。使用φt<0根据[22]的引理3.5或[49]的定理2.1的论点，我们可以看到| Dν（t，y）|- κφt（t，y）≤ C′|D（σfσ*f） | 2r+|σfσ*f | 2r+| g- σfθ| 2r+| D（g- σfθ）| 2r+| r | 2r+| Dr | 2r+1, y∈ Br，t∈ [0，T]，（2.22）其中C′是独立于r和T的正常数，κ是有效的大常数，a和|·······································∞（B2r）。因此，存在C>0，使得| DД（t，y）|≤[0，T]×Rn上的C（1+| y |）。2.2. 验证定理。在本节中，我们展示了（P）的验证定理。定义AT定义的可接受策略集：=（πt）t∈[0，T]∈ L2，T；E[ET（π）]=1,其中Et（π）由Et（π）定义：=exp-Zth（s，Xπs，Ys，πs）*dWs公司-Zt | h（s，Xπs，Ys，πs）| ds· ex p公司ZtZz>0a（s，Ys）zN（ds，dz）+λZtZz>01.- ea（s，Ys）zν（dz）ds.这里，h（t，x，y，π）由h（t，x，y，π）定义：=σf（y）*{Da（t，y）x+Db（t，y）}+σp（y）*πa（t，y）。然后，我们有以下内容。定理2.3。假设（A1）~ （A6）。也假设（A7）Zz>0eαe2'rTzν（dz）<∞.定义∧π（t，x，y）：=a（t，y）-1（σp（y）*)-1.σf（y）*Da（t，y）-x+a（t，y）-1.+θ（y）- σf（y）*Db（t，y）]。（2.23）那么，策略∏t∈ 由▄πt定义的At：=▄π（t，X▄πt，Yt）（2.24）是（P）的最佳值。此外，我们还有V（0，x，y）=V（0，x，y），（2.25）10 HIROAKI HATA，SHUENN-JYI SHEU，和LI-HSIEN Sun，其中V（t，x，y）由V（t，x，y）定义：=-e-a（t，y）x-b（t，y）。（2.26）这里，a（t，y）和b（t，y）分别由（2.10）和（2.14）定义。证据我们写▄v（t，x，y）=a（t，y）x+b（t，y）。

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2022-6-15 21:54:59

对于任意π∈ 在，使用（1.1）和（1.2），我们得到了dv（t，Xπt，Yt）=~Lπ▄v（t，Xπt，Yt）dt+h（t，Xπt，Yt，πt）*载重吨- a（t，Yt）Zz>0zN（dt，dz）,其中，Lπv（t，x，y）由Lπv（t，x，y）定义=vt+tr（σf（y）σf（y）*vyy）+g（y）*vy+{c+（u（y））- r（y）1）*π} vx+π*σp（y）σp（y）*π▄vxx+π*σp（y）σf（y）*vxy。这可以在asd中重写{-~v（t，Xπt，Yt）}=-LπИv（t，Xπt，Yt）dt+d log Et（π）。式中，（2.4）中给出了LπОv（t，x，y）。因此，使用Ata的定义和Lπ▄v（t，x，y）的事实≤ 0保持（t，x，y）∈ [0，T]×R×Rn，我们有j（T，x，y；π）=~V（0，x，y）Ehe-RTLπИv（t，Xπt，Yt）dtET（π）i≤V（0，x，y）E[ET（π）]=(R)V（0，x，y）。（2.27）取π=~π。然后，在附录A中，我们观察到e[ET（|π）]=1。（2.28）即|π∈ 位于。请注意，L▄π▄v（t，x，y）=0表示（t，x，y）∈ [0，T]×R×Rn。那么，我们有j（T，x，y；π）=V（0，x，y）Ehe-RTL▄π▄v（t，X▄πt，Yt）dtET（▄π）i=▄v（0，X，y）E[ET（▄π）]=▄v（0，X，y）。(2.29)3.FBSDE在这一部分中，我们研究了基于财富过程的耦合FBSDE的最优策略，该财富过程写为：asXπt=x+Zt{r（Ys）xπs+π*s（u（Ys）- r（Ys）1）+c}ds+Ztπ*sσp（Ys）dWs-ZtZz>0zN（dz，ds），（3.1），其中系数Y由（1.1）给出。回想一下我们的问题，即（▄P）supπ∈§ATJ（T，x，y；π），保险公司的预期指数效用最大化11，其中J由（1.4）给出。

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kedemingshi

2022-6-15 21:55:02

此处▄位于( L2，T）是稍后描述的可接受策略集。我们进一步假设r、u、b、σp和σf满足条件（A1）~ （A6）。在[27，28]中研究了使用FBSDE方法的相关优化投资组合问题。遵循[27]的思想，给定x=U（x）=-e-αx，将It^o公式应用于▄xπt=U（xπt），以及usingU-1（￠x）=-α对数(-x），U（U-1（▄x））=▄x，xU（（U-1（￠x））=-αОx，xxU（（U-1（▄x））=α▄x.and d▄xπt=xU（U-1（￠Xπt））r（Yt）U-1（~Xπt）+π*t（u（Yt）- r（Yt）1）+cdt公司+xxU（U-1（￠Xπt））π*tσp（Yt）σ*p（Yt）πtdt+xU（U-1（￠Xπt））π*tσp（Yt）dWt+~Xπt-Zz>0（eαz- 1） N（dt，dz）=- α▄Xπt-r（Yt）α对数(-~Xπt）+π*t（u（Yt）- r（Yt）1）+cdt+αИXπtπ*tσp（Yt）σ*p（Yt）πtdt+~XπtZz>0（eαz- 1） λν（dz）dt- αИXπtπ*tσp（Yt）dWt+~Xπt-Zz>0（eαz- 1） ~N（dt，dz），~X=U（X）。（3.2）此处，~N（dt，dz）=N（dt，dz）- λν（dz）dt。Pontryagin极大值原理导致相应的哈密顿书面灰（t，π，~x，y，p，q，q）：=- α▄x(-rα对数(-x）+π*(u - r1）+c）+αxπ*σpσ*pπ+~xZz>0（eαz- 1） λν（dz）p- x（απ*σpq）+▄xZz>0（eαz- 1） q（z）λν（dz），（3.3），其中我们在该显示中省略了r，u，σp，σfon y的相关性。最新订单条件Hπ（π）=0给出π=α（σpσ*p）-1σpθ+qp.表示^πt=α（σp（Yt）σp（Yt）*)-1σp（Yt）θ（Yt）+qtpt,通过滥用符号。在下文中，我们还使用了无定数▄Xt=▄X^πand Xt=X^πt。这里我们不假设σpi在此时是可逆的。如果σp12 HIROAKI HATA、SHUENN-JYI SHEU和LI-HSIEN Sun是可逆的，则市场是完整的。我们将得到（3.4）^π=α（σ*p）-1.θ+qp,和（3.5）^πt=α（σp（Yt）*)-1.θ（Yt）+qtpt,然后（3.2）变为（3.6）dXt=DpH（πt）dt+DqH（πt）dWt+Zz>0DqH（π；z）~N（dt，dz），~X=X，其中DpH（πt）、DqH（πt）、DqH（π；z）是DpH（πt）、Xt、pt、qt、qt（z））的短版本Xt，pt，qt，qt（z）），DqH（πt，~Xt，pt，qt，qt（z））。H依赖于Yt。

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2022-6-15 21:55:05

此外，Pt满足（3.7）dpt=-DxH（^πt）dt+q*tdWt+Zz>0qt（z）~N（dt，dz），pT=1，其中DxH（πt）又是DxH（πt，Xt，pT，qt，qt（z））的短版本。注意，（3.6）是一个提出初始条件的for ward方程，（3.7）是一个提出终端条件的abackwa rd方程，（3.6）和（3.7）一起被称为一对FBSDE（前向-后向随机微分方程）a解决方案由▄Xt、pt、qt和qt（z）给出。在美国，随着对{Ft}的重新描述，过程▄Xt、pt和qt逐渐可测量，而qt（z）在[0，s]×[0，∞) × Ohm 可根据Bs给出的产品σ-字段进行测量 B（[0，∞)) Fs。当我们在方程（3.6）和（3.7）中插入（3.4）时，FBSDEs是具有复杂非线性的pairof方程。实际上，我们得到了相应的fbsde，写为asdX^πt=-X^πtαc- r（Yt）对数(-X^πt）+θ（Yt）*σp（Yt）*（σp（Yt）σp（Yt））-1σp（Yt）θ（Yt）-qtpt公司*σp（Yt）*（σp（Yt）σp（Yt）*)-1σp（Yt）qtptdt+~X^πt-Zz>0（eαz- 1） N（dt，dz）-X^πtθ（Yt）+qtpt*σp（Yt）*（σp（Yt）σp（Yt）*)-1σp（Yt）dWt，（3.8）dpt=αc- r（Yt）（对数(-X^πt）+1）-Zz>0（eαz- 1） λν（dz）+θ（Yt）+qtpt*σp（Yt）*（σp（Yt）σp（Yt）*)-1σp（Yt）θ（Yt）+qtptptdt-Zz>0（eαz- 1） qt（z）λν（dz）dt+q*tdWt+Zz>0qt（z）~N（dt，dz），（3.9）保险公司13的预期指数效用最大化，X=U（X），pT=1。

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2022-6-15 21:55:08

使用x选择▄q=qp和▄q=qp和=-α对数(-~x）和▄p=对数p，我们有dx^πt=r（Yt）X^πt+c+α（θ（Yt）+qt）*σp（Yt）*（σp（Yt）σp（Yt）*)-1σp（Yt）θ（Yt）dt（3.10）+α（θ（Yt）+qt）*σp（Yt）*（σp（Yt）σp（Yt）*)-1σp（Yt）dWt-Zz>0zN（dt，dz），dpt=αc+r（Yt）（αX^πt- 1）（3.11）+（θ（Yt）+qt）*σp（Yt）*（σp（Yt）σp（Yt）*)-1σp（Yt）（θ（Yt）+qt）-|qt|dt公司- λZz>0{eαz（~qt（z）+1）- 1} ν（dz）dt+~q*tdWt+Zz>0log（1+～qt（z））N（dt，dz），初始条件X=X，终端条件～pT=0。在完全市场的情况下，即风险集合的数量和布朗运动的数量是相同的，σp（y）对于任何y都是可逆的。那么σp（y）*（σp（y）σp（y）*)-1σp（y）=I。方程式可简化如下。dX^πt=r（Yt）X^πt+c+α|θ（Yt）|+θ（Yt）*qtdt+α（θ（Yt）+qt）*载重吨-Zz>0zN（dt，dz），（3.12）dpt=αc+r（Yt）（αX^πt- 1） +|θ（Yt）|+θ（Yt）*qtdt公司- λZz>0{eht（z）+αz- 1} ν（dz）dt+~q*tdWt+Zz>0ht（z）N（dt，dz），（3.13），初始条件X=X且▄pT=0。这里，ht（z）：=log（1+~qt（z））。3.1. FBSDE的解决方案。在本小节中，我们将获得BSDES（3.12）-（3.13）的解。现在，我们定义以下空间：Sp：=（Xs）s∈[0，T]；XS是一个R值Fs渐进可测随机过程，使得E“supt∈[0，T]| Xs |#<∞.),有限合伙人：=（Xs）s∈[0，T]；Xs是一个Rm值Fs渐进可测随机过程，使得E“ZT | Xs | pds#<∞.),LpN：=（Xs）s∈[0，T]；Xs:[0，T]×R+→ R是一个Fs渐进可测随机过程，使得E“ZTZz>0 | Xs | pν（dz）ds#<∞.).14 HIROAKI HATA、SHUENN-JYI SHEU和LI-HSIEN Sun然后，我们有以下引理来解耦合的FBSDE。引理3。1.

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2022-6-15 21:55:11

定义（X^πt，~pt，~qt，ht（z））asX^πt：=α- η（t，Yt）{（α- η（0，y））x+φ（t，Yt）- φ（0，y）}（3.14）+α- η（t，Yt）Ztr（Ys）ds+Ztθ（Ys）*dWs+Zt |θ（Ys）| ds-ZtZz>0{α- η（s，Ys）}zN（ds，dz）+λZtZz>0e{α-η（s，Ys}z- 1.ν（dz）ds,~pt：=η（t，Yt）X^πt+φ（t，Yt），（3.15）ht（z）：=-η（t，Yt）z，（3.16）~qt：=α- η（t，Yt）X^πtσf（Yt）*Dη（t，Yt）+σf（Yt）*Dφ（t，Yt）+αη（t，Yt）θ（Yt）,（3.17）式中，η（t，y）和φ（t，y）必须满足ηt+tr（σf（y）σf（y）*Dη）+{g（y）- σf（y）θ（y）}*Dη-η - α（Dη）*σf（y）σf（y）*Dη- r（y）（α- η） =0，η（T，y）=0，（3.18）和φt+tr（σf（y）σf（y）*Dφ）+{g（y）- σf（y）θ（y）+α- ησf（y）σf（y）*Dη*Dφ+α- η（Dη）*σf（y）θ（y）-|θ（y）|+r（y）- c（α- η） +Zz>0e（α-η） z- 1.λν（dz）=0，φ（T，y）=0。（3.19）那么，FBSDEs（3.12）-（3.13）有一个溶液（X^πt，~pt，~qt，~qt）∈ S×S×L×L满足C＞0，使得HT（z）≤ 捷克。（3.20）证明。附录B中给出了证明。在引理3.1中，我们有（3.21）pt=exp（η（t，Yt）Xt+φ（t，Yt））。我们可以看到α-η（t，y）和a（t，y）具有相同的方程式（见（2.8））。此外，从（2.21）中给出的方程Д（t，y）=log a（t，y），我们可以看到Д（t，y）- φ（t，y）和b（t，y）具有相同的方程式（见（2.9）），但具有不同的终端条件，由φ（t，y）给出- φ（T，y）=对数α，b（T，y）=0。保险公司的预期指数效用最大化15我们可以得出η（t，y）=α- a（t，y），φ（t，y）=对数a（t，y）- 对数α- b（t，y）。我们得到以下结果。定理3.1。假设（A1）~ （A6）。那么，（3.18）有一个解：η（t，y）=α- a（t，y），（3.22），其中a（t，y）由（2.10）给出。（3.19）有一个解φ（t，y）=对数a（t，y）-对数α- b（t，y），其表达式为：φ（t，y）=Et，yZTt公司- a（s，’s）-1（日、年）*σf（\'Ys）θ（\'Ys）- ca（s，\'Ys）+r（Ys）-|θ（(R)Ys）|+Zz>0ea（s，(R)Ys）z- 1.λν（dz）ds公司,（3.23）其中（2.1.7）给出了分析。证据设|η=α-η、我们得到了满足（3.24）的￠η ~ηt（t，y）+（g（y）*- θ（y）σf（y））Dη（t，y）+tr（σf（y）σf（y）*Dη（t，y））-r（y）×η（t，y）=0，终端条件×η（t，y）=α。

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kedemingshi

2022-6-15 21:55:14

然后，（3.24）符合（2.18）。因此，我们有（3.25）~η（t，y）=α-1bEt，yhe-RTtr（bYs）dsi，其中bYs由（2.13）给出。考虑ξ（t，y）：=对数（α- η（t，y））。然后，观察(α-η)t型≤ 0和ξt型≤ 根据ξ的偏微分方程引理2.2的参数，我们可以看到| Dη（t，y）|α- η（t，y）=Dξ（t，y）|≤ C（1+| y |）。因此，使用条件（A1）~ （A6）和定理10，第9节，第2章，在【35】中，我们得到（3.23）。定理3。2、假设（A1）~ （A6）。那么，FBSDEs（3.12）-（3.13）有一个唯一的解（X^πt，￠pt，￠qt，ht（z））∈ S×S×L×L满足（3.20）。附录C.3.2中给出了证明。验证定理。在本小节中，我们展示了验证定理。确定可预测性度量^PNasd^PNdPFT=^ENT，（3.26），其中^ENtis由^ENT定义：=bEt·expZtZz>0{α- η（s，Ys）}zN（ds，dz）+λZtZz>01.- e{α-η（s，Ys）}zν（dz）ds,（3.27）16 HIROAKI HATA、SHUENN-JYI SHEU和LI-HSIEN Sun，见（2.12）。根据附录A和引理2.1的论点，我们得到E[^ENT]=1。因此，对^PNis进行了很好的定义。注意，在概率度量^PN下，Ytis由dyt={g（Yt）给出- σf（Yt）θ（Yt）}dt+σf（Yt）d^WNt，（3.28），其中^WNt：=Wt+Ztθ（Ys）ds（3.29）是^PN下的布朗运动。在以下位置确定一组可接受的策略：=（πt）t∈[0，T]∈ L2，T；^ENZT |πt | dt< ∞..（3.30）定理3.3。假设（A1）~ （A7）。定义^π（t，x，y）：=α- η（t，y）（σp（y）*)-1.θ（y）+σf（y）*{Dη（t，y）x+Dφ（t，y）}.（3.31）那么，策略^πt∈由^πt定义的At：=^π（t，X^πt，Yt）（3.32）是^（P）的最佳值。此外，我们还有supπ∈ATE[U（XπT）]=EU（X^πT）= -αα - η（0，y）e-{α-η（0，y）}x+φ（0，y）。（3.33）证明。为了证明（3.33），我们考虑∧Xπtpt。

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2022-6-15 21:55:18

我们使用关系式，~Xπtpt=- exp（▄pt- αXπt）。我们有dxπt={r（Yt）Xπt+π*t（u（Yt）- r（Yt）1）+c}dt+π*tσp（Yt）dWt-Zz>0zN（dt，dz），（3.34）和by（3.13）和（3.16），dpt=αc+αr（Yt）X^πt- r（Yt）+θ（Yt）+θ（Yt）*qt- λZz>0（e{α-η（t，Yt）}z- 1） ν（dz）dt+~q*tdWt公司- η（t，Yt）Zz>0zN（dt，dz）。然后（▄pt- αXπt）=αr（Yt）（X^πt- Xπt）- r（Yt）- απ*t（u（Yt）- r（Yt）1）+θ（Yt）+θ（Yt）*qtdt公司- λZz>0（e{α-η（t，Yt）}z- 1） ν（dz）dt+（▄qt- ασp（Yt）*πt）*dWt+Zz>0（α- η（t，Yt））zN（dt，dz）。（3.35）从（3.5）中，我们得到了qt=-θ（Yt）+ασP（Yt）*^πt.保险公司的预期指数效用最大化17从这个和（2.5），我们有θ（Yt）*qt- α（u（Yt）- r（Yt）1）*πt=θ（Yt）*（▄qt- ασp（Yt）*πt）=θ（Yt）*(-θ（Yt）+ασp（Yt）*^πt- ασp（Yt）*πt）=- |θ（Yt）|+αθ（Yt）*σp（Yt）*（^πt- πt）。（3.36）到（3.35），（3.36），我们已经- αXπt）=αr（Yt）（X^πt- Xπt）- r（Yt）-|θ（Yt）|+αθ（Yt）*σp（Yt）*（^πt- πt）dt+(-θ（Yt）+ασp（Yt）*（^πt- πt））*载重吨- λZz>0（e（α-η（t，Yt））z- 1） ν（dz）dt+Zz>0（α- η（t，Yt））zN（dt，dz）。（3.37）使用（3.34），我们得到了（X^πt- Xπt）={r（Yt）（X^πt- Xπt）+θ（Yt）*σp（Yt）（^πt- πt）}dt+（^πt- πt）*σp（Yt）dWt=r（Yt）（X^πt- Xπt）dt+（^πt- πt）*σp（Yt）d^WNt，（3.38），其中^WNt由（3.29）给出。从（3.37）和（3.38）中，我们得到了pT- αXπT=~p- αx+α（x^πT- XπT）-ZTr（Yt）dt-ZTθ（Yt）*载重吨-ZT |θ（Yt）| dt- λZTZz>0（e（α-η（t，Yt））z- 1） ν（dz）dt+ZTZz>0（α- η（t，Yt））zN（dt，dz）=p- αx+α（x^πT- XπT）-ZTr（Ys）ds+log^ENT，其中^ENTis在（3.27）中给出。因此，~XπTpT=U（X）peα（X^πT-XπT）-RTr（Yt）dt·。ThenE[~XπTpT]=U（X）pEheα（X^πT-XπT）-RTr（Yt）dt^ENTi=U（x）p^ENheα（x^πT-XπT）-RTr（Yt）dti，（3.39），其中^EN[·]是对应于^PN的期望值。

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2022-6-15 21:55:26

从（3.38）开始，我们有-RTr（Yt）dt（X^πT- XπT）=中兴通讯-Rtr（Ys）ds（^πt- πt）*σp（Yt）d^WNt。18 HIROAKI HATA、SHUENN-JYI SHEU和LI-xien Sun利用这个和Jensen不等式，我们得到了^ENhe-RTr（Yt）dti^ENhe-RTr（Yt）dteα（X^πT-XπT）i≥ 经验值^ENhe-RTr（Yt）dti^ENhe-RTr（Yt）dtα（X^πT- XπT）i= 经验值^ENhe-RTr（Yt）dti^EN“中兴通讯-Rtr（Ys）ds（^πt- πt）*σp（Yt）d^WNt#=1，if^π∈§AT，见（3.30）。因此，使用（3.39），我们得到了e【~XπTpT】=U（X）p^ENheα（X^πT-XπT）-RTr（Yt）dti≤U（x）p^ENhe-RTr（Yt）dti=E[XπTpT]。因此，我们看到，如果^π∈ATholds。^π∈§A附录d中对公式进行了验证。我们计算了E[~X^πTpT]。由于我们还观察到“bYtgiven in（2.13）underbP”=法则“Yt在（3.28）中给出，在^PN下”，我们看到从m（3.22）^ENhe-RTr（Yt）dti=bEhe-RTr（bYt）dti=αα- η（0，y）。因此，回顾▄X^π=-e-αX和p=eη（0，y）X^π+φ（0，y），我们有ehX^πTpTi=-e-{α-η（0，y）}x+φ（0，y）~Ehe-RTr（Yt）dti=-e-{α-η（0，y）}x+φ（0，y）αα- η（0，y）。推论3.1。通过比较（2.8-2.9）和（3.18-3.19），我们验证了基于η（t，y）=α关系的PDE方法和FBSDE方法的解的一致性- a（t，y），φ（t，y）=loga（t，y）α- b（t，y），使得通过FBSDE方法得到的最优策略（3.31）和最优值（3.33）与最优策略濾π（t，X濾πt，Yt）=a（t，Yt）相同-1（σp（Yt）*)-1·{θ（Yt）- σf（Yt）*（D a（t，Yt）x+Db（t，Yt）- Da（t，Yt）a（t，Yt）-1） }，期望保险公司的指数效用最大化19，最优值为给定nv（0，x，y）=-e-a（0，y）x-b（0，y），使用HJB方法。附录A.证明（2.28）。回想一下h（s，X▄πs，Ys，▄πs）=σf（Ys）*Da（s，Ys）a（s，Ys）-1+θ（Ys）。（A.1）我们认为ztzz>0a（s，Ys）zN（ds，dz）=ptXi=1a（Ti，YTi）Zi，其中Z，Z，···是分布为ν（·）的iid，Ti=s+s+··+Si，s，s，···是具有参数λ的指数分布的iid。

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可人4

2022-6-15 21:55:30

然后，我们得到了“expptXi=1a（Ti，YTi）Zi！”#=∞XN=0E[exp（a（Ti，YTi）Zi）；pt=N]。expnxi的期望值=1a（Ti，YTi）Zi！pt=n关于S，S，····和Z，Z，···当保持Wt时，Yt固定由ztλe给出-λtZz>0ea（t，Yt）zν（dz）dtZttλe-λ（t-t） Zz>0ea（t，Yt）zν（dz）dt··ZttN-1λe-λ（tN-田纳西州-1） e类-λ（t-tN）ZzN>0ea（tN，YtN）zNν（dzN）dtN=λNe-λtZtZz>0ea（t，Yt）zν（dz）dtztzz>0ea（t，Yt）zν（dz）dt··ZttN-1ZzN>0ea（tN，YtN）zNν（dzN）dtN=N！e-λtλZtdsZz>0exp（a（s，Ys）z）ν（dz）N、因此，对fexp的期望ZtZz>0a（s，Ys）zN（ds，dz）关于T，T，···和Z，Z，···保持Ws，Ys，0≤ s≤ 固定为givenbye-λtexpλZtZz>0exp（a（s，Ys）z）ν（dz）ds.利用Et（π）的表达式以及h（s，Xπs，Ys，πs）=h（s，Ys）是（s，Ys）的函数这一事实，我们只需要证明E[EcT]=1，（A.2）20 HIROAKI HATA，SHUENN-JYI SHEU，and LI-xien SUNwhere EcT=exp-Zth（s，Ys）dWs-Zt | h（s，Ys）| ds.然后，我们观察到h（s，y）|≤ C（1+| y |）。使用引理2.1，我们得到了（A.2）。备注A.1。上述参数可能不适用于一般π，因为h（s，Xπs，Ys，πs）通常依赖于N（dt，dz）。在这个论证中，我们不能一开始就对N（dt，dz）进行xπ和期望。然而，如果h（s，Xπs，Ys，πs）仅取决于Ys，那么我们可以在计算中确定W，并首先取n（·，·）的期望值，如附录A所示。对于一般π，我们使用It^o公式推导Et（π）=Et-(π)-h（t，Xπt，Yt，πt）dWt+Zz>0（ea（t，Yt）z- 1） ~N（dt，dz）.因此，它是一个正的局部鞅，因此它是一个上鞅，并且可能不是一个鞅，除非对π施加附加条件。附录B。

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可人4

2022-6-15 21:55:36

定理3.1的证明将It^o公式应用于（3.15）意味着dpt=X^πtηt（t，Yt）+tr（σf（Yt）σf（Yt）*Dη（t，Yt））+g（Yt）*Dη（t，Yt）+r（Yt）η（t，Yt）+φt（t，Yt）+tr（σf（Yt）σf（Yt）*Dφ（t，Yt））+g（Yt）*Dφ（t，Yt）+cη（t，Yt）+α（η（t，Yt）θ（Yt）+σf（Yt）*Dη（t，Yt））*（θ（Yt）+qt）dt公司+X^πt（Dη（t，Yt））*σf（Yt）+（Dφ（t，Yt））*σf（Yt）+η（t，Yt）α（θ（Yt）+qt）*载重吨-Zz>0η（t，Yt）zN（dt，dz）。（B.1）确定（3.13）和（B.1）中的差异项，我们得到（3.16）和（3.17）。将（3.16）和（3.17）插入（3.13）和（B.1）导线tod▄pt=X^πtαr（Yt）+α- η（t，Yt）θ（Yt）*σf（Yt）*Dη（t，Yt）+ αc- r（Yt）+αα- η（t，Yt）θ（Yt）*σf（Yt）*Dφ（t，Yt）+αη（t，Yt）θ（Yt）+|θ（Yt）|- λZz>0e{α-η（t，Yt）}z- 1.ν（dz）dt+~q*tdWt+Zz>0ht（z）N（dt，dz），（B.2）保险公司的预期指数效用最大化21和Dpt=X^πtηt（t，Yt）+tr（σf（Yt）σf（Yt）*Dη（t，Yt））+g（Yt）*Dη（t，Yt）+r（Yt）η（t，Yt）+η（t，Yt）α- η（t，Yt）θ（Yt）+σf（Yt）*Dη（t，Yt）η（t，Yt）*σf（Yt）Dη（t，Yt）+φt（t，Yt）+tr（σf（Yt）σf（Yt）*Dφ（t，Yt））+g（Yt）*Dφ（t，Yt）+cη（t，Yt）+η（t，Yt）α- η（t，Yt）θ（Yt）+σf（Yt）*Dη（t，Yt）η（t，Yt）*θ（Yt）+σf（Yt）*Dφ（t，Yt）dt+~q*tdWt+Zz>0ht（z）N（dt，dz）。（B.3）通过比较X^πtin（B.2）和（B.3）的一阶和零阶项的系数，我们发现η（t，Yt）和φ（t，Yt）必须满足（3.18）和（3.19）。最后给出了最优轨迹的求解方法。ptand^X^πt=-e-αX^πtimply（B.4）对数(-X^πtpt）=-(α - η（t，Yt））X^πt+φ（t，Yt）。通过使用（3.12）和（3.13），我们得到了(-X^πtpt）=对数(-X^πp）-Ztr（Ys）ds-Ztθ（Ys）*dWs公司-Zt |θ（Ys）| ds-ZtZz>0{α- η（s-, Ys公司-)}N（ds、dz）- λZtZz>0e{α-η（s-, Ys公司-)}z- 1.ν（dz）ds。（B.5）识别（B.4）和（B.5）给出了写为（3.1 4）的最佳轨迹。附录C.定理3.2的证明我们证明了FBSDEs（3.12）-（3.13）解的唯一性。

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kedemingshi

2022-6-15 21:55:39

使用（3.12）和（3.13），我们得到了（▄pt- αX^πt）=-r（Yt）+θ（Yt）+λZz>0{eαz+ht（z）- 1} ν（dz）dt公司- θ（Yt）*dWt+Zz>0{ht（z）+αz}N（dt，dz）。因此，我们有u（X^πT）=pTU（X^πT）=-epT-αX^πT=-ep-αxe-RTr（Yt）dtηhT，其中ηhT由ηhT定义：=e-Rtθ（Ys）*dWs公司-Rt |θ（Ys）| ds（C.1）·eRtRz>0（hs（z）+αz）N（ds，dz）-λRtRz>0（ehs（z）+αz-1） ν（dz）ds。22 HIROAKI HATA、SHUENN-JYI SHEU和LI-HSIEN SUNHere，使用（3.20）和证明（2.28）的论点，我们看到Eηht= 因此，我们可以定义概率度量PhbydPhdPFT=ηhT，那么，我们有U（X^πT）= epU（x）Ehhe-RTr（Yt）dti，其中Eh[·]是概率测量Ph的期望值。制备另一种溶液（X′t、~p′t、~q′t、h′t（z））∈ S×S×L×LNof FBSDEs（3.12）和（3.13）：dX′t=r（Yt）X′t+c+α|θ（Yt）|+θ（Yt）*q′tdt（C.2）+α（θ（Yt）+q′t）*载重吨-Zz>0zN（dt，dz），dp′t=αc+r（Yt）（αX′t- 1） +|θ（Yt）|+θ（Yt）*q′tdt（C.3）- λZz>0{eαz+h′t（z）- 1} ν（dz）dt+（~q′t）*dWt+Zz>0h′t（z）N（dt，dz）。从（3.13）和（C.2），我们已经- αX′t）=d（~pt- αX^πt）+αd（X^πt- X′t）（C.4）=-r（Yt）dt+d logηht+αd（X^πt- X′t）。此外，我们还有αd（X^πt- X′t）=αr（Yt）（X^πt- X′t）dt+（▄qt- q′t）*dWNt，其中WNtis由（3.29）给出，是（3.26）in下的布朗运动，这里也给出了。因此，我们有-RTr（Yt）dtα（X^πT- X′T）=中兴通讯-Rtr（Ys）ds（▄qt- q′t）*dWNt。（C.5）利用这个和Jensen不等式，我们得到了-RTr（Yt）dtiEhhe-RTr（Yt）dteα（X^πT-X′T）i≥ 经验值Ehhe公司-RTr（Yt）dtiEhhe-RTr（Yt）dtα（X^πT- X′T）i（C.6）=经验Ehhe公司-RTr（Yt）dtiEh“中兴通讯-Rtr（Ys）ds（~qt- q′t）*dWNt#=1、另一方面，根据（C.4），我们有（X′T）=-ep-αxe-RTr（Yt）dtηhTeα（X^πT-X′T），保险公司的预期指数效用最大化23andE[U（X′T）]=epU（X）Ehhe-RTr（Yt）dteα（X^π）-因此，我们有[U（X′t）]≤ EU（X^πT）.这里，我们使用（C.2）和（C.6）。

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2022-6-15 21:55:42

此外，我们还将上述参数应用于- αX^πt）和d（~p′t- αX^πt）=d（~p′t- αX′t）+αd（X′t- X^πt）。因此，我们有[U（X′T）]≥ EU（X^πT）.因此，我们有U（X^πT）= E[U（X′T）]。这相当于关系He-RTr（Yt）dtiEhhe-RTr（Yt）dteα（X^πT-X′T）i=经验值Ehhe公司-RTr（Yt）dtiEhhe-RTr（Yt）dtα（X^πT- X′T）i=因此，X^πT- X′T=0，a.s。。使用（C.5），我们可以看到- q′t=0，a.s。。我们有0=Ehhe-RTr（Yt）dt（X^πT- X′T）Fti=e-Rtr（Ys）ds（X^πt- X′t），导致toX^πt- X′t=0，a.s。。这里我们使用（C.5）中的鞅性质。现在，我们将（3.13）与（C.3）进行比较。重新校准▄pt-αX^πt+Rtr（Ys）ds=ep-αxηht，ep′t-αX′t+Rtr（Ys）ds=ep-αxηh′t，（C.7），其中ηh′在（C.1）中给出，其中h替换为h′。重新定义X^πt=X′和pT=p′t，我们看到ηhT=ηh′t。由于ηhT和ηh′tare是鞅，我们有ηhT=E[ηhT | Ft]=E[ηh′t | Ft]=ηh′t.（C.8），从（C.7）我们有pT=p′t，0≤ t型≤ T、 24 HIROAKI HATA、SHUENN-JYI SHEU和LI-HSIEN Sun此外，ηhT=1-ZTηhtθ（Yt）*dWt+ZTηht-Zz>0{ht-（z） +αz}N（dt，dz），ηh′T=1-ZTηh′tθ（Yt）*dWt+ZTηh′t-Zz>0{h′t-（z） +αz}N（dt，dz）。使用（C.8），我们得到了ztηht-Zz>0{ht-（z）- h′t-（z） }~N（dt，dz）=0，这导致ht（z）- h′t（z）=0，a.s.dt×ν（dz）。附录D.定理3.3的证明我们验证了^πt∈在。在^PN下，~NN（t，E），E∈ B（（0，∞)) 定义为▄NN（t，E）：=▄N（t，E）- λZtZE1.- e{α-η（s，y）}zν（dz）dS是一个^PN鞅。

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2022-6-15 21:55:45

在^PNwe rec all thatdX^πt=r（Yt）X^πtdt+cdt+^π下*tσp（Yt）d^WNt-Zz>0zNN（dt，dz）- λZz>0z2.- e{α-η（t，y）}zν（dz）dt。我们得到x^πT=eRTr（Yt）dtx+ZTeRTtr（Ys）dscdt+ZTeRTtr（Ys）ds^π*tσp（Yt）d^WNt-ZTeRTtr（Ys）dsZz>0zNN（dt，dz）- λZTeRTtr（Ys）dsZz>0z2.- e{α-η（t，y）}zν（dz）dt。因此，我们有^EN“ZT^π*tσp（Yt）σp（Yt）*^πtdt#≤ Kx+1+^EN[（x^πT）]+ZTZz>0zν（dz）dt.从（3.14）我们回忆起，在^PNXt=X^πt=α下- η（t，Yt）（（α- η（0，y））x+φ（t，Yt）- φ（0，y））+α- η（t，Yt）Ztr（Ys）ds+Ztθ（Ys）*d^WNs公司-Zt |θ（Ys）| ds-ZtZz>0{α- η（s，Ys）}zNN（dt，dz）-ZtZz>0{α- η（s，Ys）}2.- e{α-η（s，Ys）}zν（dz）ds+λZtZz>0（e-{α-η（s，Ys）}z- 1） ν（dz）ds.（D.1）保险公司的预期指数效用最大化25从（3.23）我们有|φ（t，y）|≤ K（1+| y |）。然后，我们可以看到^EN[（X^πT）]<∞.因此，我们有^EN“ZT^π*tσp（Yt）σp（Yt）*^πtdt#<∞,这导致^πt∈在。参考文献[1]Azcue，P.，Muler，N.：借款约束下保险公司破产概率最小化的最优投资策略。保险数学。经济学。44（1），26–34（2009）【2】Bahlali，K.，Eddahbi，M.，O uknine，Y.：具有L-终端数据的二次BSDE：Krylov\'sestimate，It^O-Krylov公式和存在性结果。安。Probab，45（4），2377–2397（2017）[3]Barrieu，P.，El Karoui，N.：二次半鞅的单调稳定性及其对无界一般二次BSDE的应用。安。概率。41（3B），1831–1863（2013）[4]白，L.，郭，J.：具有多重风险资产且无卖空约束的最优比例再保险和投资。保险数学。经济学。42（3），968–975（2008）[5]Belkina，T.，Hipp，C.，Luo，S.，Taksar，M.：CramerLundberg模型中的最优约束投资。斯堪的纳维亚。精算师。J、 5383–404（2014）[6]Bensoussan，A.：部分可观测系统的随机控制。剑桥大学出版社，剑桥（1992）[7]Badaoui，M.，Fern\'andez，B。

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2022-6-15 21:55:48

：在投资存在随机波动的情况下，具有最大风险规避及其破产概率的最优投资策略。保险数学。经济学。53（1），1–13（2013）【8】Badaoui，M.，Fern'andez，B.，Swishchuk，A.：不完整市场中保险公司的最佳投资策略。风险。6（2），31，（2018）[9]P.Briand，P.，Hu，Y.：具有二次增长和无界终值的BSDE。概率。理论关系。领域。136，604–618（2006）[10]P.Briand，P.，Hu，Y.：。具有凸生成器和无界终端条件的二次BSDE。概率。理论关系。领域。141，543–567（2008）[11]Bo，L.，Wang，S.：具有随机因素的保险人的最优投资和风险控制。操作。Res.Lett。45（3），259–265（2017）[12]Browne S.具有随机风险过程的企业的最优投资政策：指数效用和最小化破产概率，数学。操作。第20（4）号决议，937–958（1995）[13]Cheridito，P.，Hu。Y、：具有一般约束的不完全市场中的最优消费和投资。随机与动力学11（2,3），283–299（2011）[14]Cheridito，P.，Nam，K.：具有有界Malliavin导数的终端条件的BSDEs。J、功能。肛门。266（3），1257–1285（2014）[15]Cheridito，P.，Nam，K.：具有特殊结构的多维二次和次二次BSDE。随机87（5），871–884（2015）[16]Delarue，F.：关于非退化情况下FBSDE解的存在性和唯一性。斯托赫。过程。应用程序。。99，209–286（2002）[17]Delbaen，F.，Hu，Y.，Bao，X.：具有超二次增长的反向SDE。概率。理论关系。Fields 150、145–192（2011）[18]Fern'andez，B.、Hern'andez，D.、Meda，A.、Saavedra，P.：最大风险规避及其破产概率的最优投资策略。数学冰毒。操作。第68（1）号决议、第159–179（2008）号决议【19】Fleming，W.H.，Soner，M。

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2022-6-15 21:55:51

：控制马尔可夫过程和粘度溶液，第二版。Springer Verlag，纽约（2006）[20]Frei，C.：分裂多维BSDE和发现局部平衡。斯托赫。过程。应用程序。124（8），26542671（2014）[21]关，G.，梁，Z.：利率和通货膨胀风险下保险人的最优再保险和投资策略。保险数学经济学。55(2), 105–115.[22]Hata，H.，Nagai，H.，Sheu，S.J.：一般因素模型的最优消费问题。暹罗J.Cont.Optim。56（5），3149–3183（2018）[23]Hata，H.，Yasuda，K.：线性高斯随机因素模型下保险公司的预期指数效用最大化。斯堪的纳维亚。精算师。J.2018（5），357–378（2018）26 HIROAKI HATA，SHUENN-JYI SHEU和李显孙[24]Heyne，G.，Kupper，M。，唐皮，L.：非线性效用下的投资组合优化。内景J.Theor。应用程序。《金融》杂志19（5），283–299（2016）[25]希普，C.，普卢姆，M.：保险公司的最佳投资。保险数学经济学。27（2），215–228（2000）[26]Hipp，C.，Schmidli，H.：《小额索赔案件中受控风险过程破产概率的渐近性》，SCAN精算师J.5221–335（2004）。[27]Horst，U.，Imkeller，P.，R’eveillac，Zhang，J.：预期效用最大化的前向和后向系统。随机过程。应用程序。1241813-1848（2014）[28]胡，Y.，Imkeller，P.，M¨uller，M：不完全市场中的效用最大化。安。应用程序。概率。15（3），1691–1712（2005）[29]胡，Y.，唐，S.：对角二次生成元的多维倒向随机微分方程。斯托赫。过程。应用程序。126（4），1066–1086（2016）[30]Huang，Y.，Yang，X.，Zhou，J.：《具有约束控制变量的转移风险模型的最优投资和比例再保险》，J.Compute。应用程序。数学296443–461（2016）[31]Imkeller，P.，Reis，G.D。

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2022-6-15 21:55:54

：具有截断二次增长的BSDE的路径正则性和显式收敛速度。斯托赫。P roc。应用程序。120348–379（2010）[32]Jammneshan，A.，Kupper，M.，Luo，P.：具有分离生成器的多维二次BSDE。预印本（2014）[33]Karatzas，I.，Shreve，S.E.：《布朗运动与随机微积分》第二版。Springer Verlag，纽约，（1998）[34]Kobylanski，M.：倒向随机微分方程和二次增长偏微分方程，Ann。概率。28（2），558–602（2000）[35]纽约Krylov：受控扩散过程。Springer Verlag，纽约，海德堡，柏林，（1980）[36]Kupper，M.，Luo，P.，Tangpi，L.：具有超二次增长的多维马尔可夫FBSDE。预印本（2017）[37]Li，D.，Rong，X.，Zhao，H.：《随机利率模型和通货膨胀风险下均值方差保险人的时间一致性再保险投资策略》。保险数学经济学。64，28–44（2015）[38]Li，T.，Li，Z.：具有依赖性风险规避的均值方差保险公司的最佳TIME一致性投资和再保险策略。保险数学经济学。53（1），86–97（2013）[39]Li，Z.，Zeng，Y.，Lai，Y.：Heston SV模型下保险公司的最佳时间一致性投资和再保险策略。保险数学经济。51（1），191–203（2012）[40]Liang，Z.，Bayraktar，E.：具有不可观察索赔规模和强度的最优再保险和投资。保险数学经济学。55156-166（2014）[41]梁。Z、，Yuen，K.C.，Guo，J.：具有OrnsteinUhlenbeck过程的股票市场中的最优比例再保险和投资。保险数学经济学。49（2），207–215（2011）[42]罗，P.，唐皮，L.：具有二次和超二次增长的耦合FBSDE的可解性。arX iv:1505.01796v1（2015）[43]Luo，P.，Tangpi，L.：带对角二次生成元的耦合FBSDE的可解性。随机和动态。

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2022-6-15 21:55:57

17（6），（2017）[44]Luo，S.：具有借贷约束的保险公司破产最小化。N、上午。精算师。J、 12（2），143–174（2008）[45]Luo，S.，Taksar，M.，Ts oi。A、：关于大型保险组合的再保险和投资。保险数学经济学。42(1), 434–444 (2008).【46】罗，S.，王，M.，曾，X.：最优再保险：最小化预期到达agoal的时间。斯堪的纳维亚。精算师。J、 8741–762（2016）。[47]马，J.，吴，Z.，张，D.，张，J.：关于向前向后SDESA统一方法的适定性。安。应用程序。概率。25（4），2168–2214（2015）[48]Morlais，M.-A.：带跳跃的二次BSDE的一个新的存在性结果，应用于效用最大化问题。斯托赫。过程。应用程序。1201966-1995（2010）【49】Nagai，H.：generalfactor模型风险敏感投资组合优化问题的最优策略。暹罗J.Cont.Optim。41（6），1779–1800（2003）[50]Pham，H.：金融应用中的连续时间随机控制和优化。Springer Verlag Berlin-Heidelberg，（2012）《保险公司的预期指数效用最大化》27【51】Schmidli，H.：动态环境下的最优比例再保险政策。斯堪的纳维亚。精算师。J、 22（1），55–66（2001）[52]Schmidli，H.：《通过投资和再保险最小化破产概率》。。安。应用程序。概率。12（2），890–907（2002）[53]Sekine，J.：关于指数对冲和相关的反向随机微分方程。应用数学&Optim公司。54131–158（2003）[54]Pardoux，\'E.，Peng，S.G.：《反向随机微分方程的自适应解》。系统控制Lett。14（1），55–61（1990）[55]Peng，S.，Wu，Z.：全耦合正反向随机微分方程及其在最优控制中的应用。暹罗J.控制优化。37（3），825–843（1999）[56]沈Y.，曾Y.：均方差保险公司基于平方根因子过程的最优投资再保险策略。

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