混合命中次数的可能性

2022-6-23 21:19:55

混合命中次数的可能性*Jaap H.Abbring+Tim Salimans2021年4月摘要我们提出了一种计算混合命中时间模型可能性的方法，该模型规定了潜在L'evy过程首次跨越异质阈值时的持续时间。这种可能性在封闭形式中并不广为人知，但它的拉普拉斯变换是。我们的计算方法依赖于利用L'evy过程第一次通过时间的特殊性质反演拉普拉斯变换的数值方法。我们使用我们的方法在MATLAB中实现了混合命中时间模型的最大似然估计。我们通过对Kennan（1985）str-ike数据的分析来说明该估计量的应用。*即将在《计量经济学杂志》上发表：doi。org/1 0.1016/j.jeecom。2019.08.017.+蒂尔堡大学计量经济学与OR系，邮政信箱90153，5000勒蒂尔堡，荷兰；和CEPR。电子邮件：jaap@abbring.org.网址：jaap。缩写。o rg.Brain团队，谷歌研究公司，荷兰阿姆斯特丹。电子邮件：salimans@google.com.网站：github。com/TimSalimans。关键词：持续时间分析、首次通过时间、识别、拉普拉斯变换、列维过程、最大似然、梅林逆公式、混合、最佳停车、罢工持续时间。JEL代码：C14、C41。(c) 2021. 本手稿根据aCC BY-NC-ND 4.0国际许可证提供。1简介混合命中时间（MHT）模型是一种混合持续时间模型，指定潜在随机过程第一次跨越异质阈值时的持续时间。它们具有本质相关性，因为它们可以用于分析异构代理的最优停止决策（Abbring，2010，2012）。

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2022-6-23 21:19:58

特别是，它们可以应用于不会导致混合比例危险（MPH）模型、Lancaster（1979）和Vaupel等人（1979）对Cox（1972）比例危险模型的流行扩展的问题。例如，由布朗运动和更一般的持续过程驱动的工作持续时间、变动持续时间和企业的进入和退出模型。击中时间-持续时间模型在统计学中也很流行，因为它们具有结构性和描述性的吸引力（Lee和Whitmore，2006）。本文考虑了MHT模型的基于似然的经验方法，其中潜在过程是一个谱负L'evy过程，一个具有静态和独立增量且无正j umps的连续时间过程，阈值与观察到的压力和未观察到的异质性的影响成比例。谱负L'evy过程包括具有线性漂移的布朗运动和带有负冲击的泊松过程，以及众所周知的特例。根据混合持续时间模型（如混合比例风险模型）的经验实践，我们将重点放在准度量MHT模型上，并提出灵活的参数化，通过增加参数的数量来近似常见的函数形式。应用标准r d参数似然方法的主要障碍是，通常我们对MHT模型的似然没有明确的表示。但是，其Laplacetransform的显式表达式始终可用。我们的似然计算方法利用了这一点。我们关注潜在L'evy过程具有非平凡高斯分量的情况。我们首先表明，这确保了该模型在所有正持续时间下都具有非零Lebesgue密度的持续时间分布，并且在无害的尺度归一化下，它是非参数识别的。

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2022-6-23 21:20:01

然后，我们采用数值方法转换具有非平凡Algaussian分量的L'evy过程命中时间的拉普拉斯变换，以计算MHT模型隐含的条件密度和生存函数。反过来，这些用于构建独立传感器持续时间数据的可能性。如果潜在过程是布朗运动，则可能性可以用混合逆高斯密度和生存函数表示。因此，我们可以使用这种特殊情况作为评估我们计算可能性的程序质量的基准。我们表明，在一般情况下需要的数值反演非常快速和精确，以使最大似然估计可行，即使没有明确的似然表达式可用。我们在MATLAB中实现了一个使用这种计算策略的最大似然估计，并通过重新考虑Kennan（1985）对美国合同履约期限的实证分析来说明其应用。我们计算MHT模型可能性的策略也可用于实现其他基于可能性的经验方法。例如，它可以结合数据扩充和马尔可夫链蒙特卡罗技术来实现MHT模型的贝叶斯估计。Abbring（2012）提出了本文研究的MHT模型，分析了其经验内容，并强调了其与经济学中最优停止问题的密切关系。本文表明，对具有非平凡高斯分量的MHT模型的约束有助于其识别。它通过提供和分析计算其可能性及其最大似然估计量的可行方法来操作该模型。Singleton（2001）为不同类别的模型开发了类似的方法，对不同的差异进行了离散采样。

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2022-6-23 21:20:04

他指出，与之前的观察相比，这种差异条件下的观察密度尚不明确，但其特征功能是。他提出了一种基于该特征函数的傅里叶逆变换的最大似然估计。本文针对MHT模型的方法依赖于我们提供的MATLAB代码，该代码在Github的公共存储库中实现了本文中的方法。com/jabbring/mht可能性。本文中的结果可以通过运行该代码的make inversion v1.1.1来复制，我们将其保存为Abbring和Salimans（2021）。拉普拉斯变换的反演，并利用L'evy过程首次通过时间的特定结果。或者，我们可以通过直接从真实模型及其经验分析日志所隐含的持续时间数据的L aplace变换的等式构造一个估计量，从而完全避免计算可能性。Abbring（20 12，第5.3节）为MHT模型勾画了这样一个广义矩量法（GMM）估计量。这种替代方法的一个缺点是，与本文基于可能性的方法不同，它不能直接处理经过删失的持续时间数据，因为我们只有完整（未经审查）持续时间分布的拉普拉斯变换表达式。此外，这种GMM估计的实际实现通常不如最大似然估计有效。因此，本文主要研究基于似然的方法。本文的其余部分组织如下。第2节回顾了MHT模型和BBRING（2012）中给出的数据的相应特征。本文还提出了潜在过程具有非平凡高斯分量的假设，并探讨了其含义，包括新的非参数和准参数识别结果。

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2022-6-23 21:20:07

第3节介绍了计算模型对数似然及其导数的方法，并讨论了最大似然估计。第4节评估了我们方法的数值准确性，第5节将其应用于罢工数据。第6节brie Floy讨论了贝叶斯和筛分估计器的扩展，并回顾了可能的应用。2混合命中时间模型2.1规范继Abbring（2012年，第2节）之后，我们通过将T指定为第一次实值，对随机持续时间T的分布进行建模。Singleton（2001）基于其特征函数，为离散采样差异开发了类似的GMM估计。在这种情况下，审查并不重要，这种GMM估计是最大似然估计的自然替代。L'evy进程{Y}≡ {Y（t）；t≥ 0}跨越了依赖于X和一些不可观测项V的阈值；假设{Y}、X和V相互独立；并指定V的边际分布。L'evy过程是r'andom walk的连续时间等价物：它具有平稳和独立的增量。Bertoin（1996）对L’evyprocess进行了全面分析。正式而言，我们有定义1。L'evy过程是一个随机过程{Y}，使得增量Y（t+) - Y（t）独立于{Y（τ）；0≤ τ ≤ t} 与Y的分布相同(),每t， ≥ 0 .我们取{Y}具有左极限的右连续采样路径。请注意，定义1意味着Y（0）=0几乎可以肯定。L'evy过程的一个重要例子是带漂移的标量布朗运动，在这种情况下，Y() 与平均u无正态分布和方差σ, 对于某些标量参数u∈ R和σ∈ [0, ∞). 布朗运动是具有连续样本路径的单L'evy过程。一般来说，L'evy过程可能有跳跃。

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2022-6-23 21:20:11

例如，复合泊松过程具有独立且相同分布的跳跃泊松时间。更一般地说，跳转过程{L'evy过程{Y}的Y}是一个具有特征测度Υ的aPoisson点过程，其特征测度为thatrmin{1，Y}Υ（dy）<∞,任何L'evy过程{Y}都可以写成一个带漂移的布朗运动和一个独立的纯跳跃过程的和，其中跳跃受这样一个点过程的控制（Bertoin，1996，第一章，定理1）。{Y}跳跃过程的特征测度称为dits L'evy测度，它与其布朗运动分量的漂移和色散参数一起，充分刻画了{Y}的分布性质。在整篇论文中，我们将重点讨论谱负L'evy过程，即特征测度Υ具有负支持的L'evy过程，即没有正跳的L'evy过程。这大大有助于分析他们的命中率，因为它排除了他们跳过阈值的可能性。设{Y}为谱负L'evy过程，T（Y）≡ inf{t≥ 0:Y（t）>Y}第一次达到阈值时∈ [0, ∞). 这里，我们使用inf ≡ ∞; 也就是说，我们设置T（y）=∞ 如果{Y}从不与Y相交，则对于{Y}的某些规范，这是正概率发生的。我们排除了{Y}弱递减且T（Y）=∞ 几乎可以肯定。用X表示观察到的协变量X的支持度 RK，设V在（0，∞), 回想一下{Y}，X和V是相互独立的。

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2022-6-23 21:20:14

（比例）混合命中时间（MHT）模型规定了T的累积分布F（·| x，v），条件是（x，v）=（x，v）∈ X×（0，∞) as F（t | x，v）=Pr[t（φ（x）v）≤ t] ，对于某些可测函数φ：X→ (0, ∞).将v与v的分布进行积分得到分布F（t | x）=RF（t | x，v）dG（v）=RPr[t（φ（x）v）≤ t] dG（v）ofT | X=X。我们注意到与f（t | X）对应的“生存函数”≡ 1.- F（t | x）。2.2特征分布F（·| x，v）完全由其拉普拉斯变换F（s | x，v）决定≡R[0，∞)经验值(-st）dF（t | x，v），s∈ [0, ∞). 注意，F（0 | x，v）=limt→∞如果{Y}是这样的t，则F（t | x，v）可能小于1，以正概率，它永远不会达到φ（x）v。Abbring（2012年，第4.1节）表明，拉普拉斯变换F（·| x，v）与F（·| x，v）本身不同，可以明确地给出潜在过程{Y}的任何特定情况。这就要求{Y}在其特征函数方面具有共同的概率特征。Bertoin（1996，第VII.1节）表明，对于ALL，E[exp（sY（t））]=exp[ψ（s）t∈ 带实部的CRs≥ 0，拉普拉斯指数ψ由L'evy-Khintchine公式给出，ψ（s）=us+σs+Z(-∞,0）{esy- 1.- syI（y>-1） }Υ（dy）。（1）假设1暗示了这一点，我们将稍后介绍该假设，因为在开发模型的特征后，更容易公式化（这需要她做出的较弱的假设）。为了便于说明，我们限制了φ（X）和V的支撑，因此阈值φ（X）V的支撑为（0，∞). 将分析扩展到[0，∞]-价值阈值，asinAbbring（2012年，第2.2节和附录A）。

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2022-6-23 21:20:17

这将允许零持续时间下的概率质量（T（0）=0几乎可以肯定），并且(∞) ≡ ∞, 一群“守军”这里，我（·）≡ 如果·为真，则为1，否则为0，~u∈ R吸收{Y}，σ的任何线性漂移≥ 0是其布朗运动分量的色散参数；Υ是其跳跃分量的l'evy度量，其中Υsatifiesrmin{1，y}Υ（dy）<∞ 并有负面支持。{Y}的拉普拉斯指数ψ通过其特征函数u充分表征其分布∈ R 7→ E[exp（iuY（t））]=exp[ψ（iu）t]。方程（1）给出了ψ的最常见参数化。它对应于{Y}在具有线性漂移的布朗运动中的{Y}的theL′evy It^o分解，这是一个具有跳跃的复合泊松过程(-∞, -1] ，和一个带跳的纯跳鞅(-1，0）（Bertoin，199 6，第I.1节）。如果我们以其他方式分解{Y}在小激波和大激波中的跳跃，就会出现替代参数化。这些参数都具有相同的色散参数σ和L'evy测度Υ，但具有不同的漂移参数。例如，在特殊情况下(-1,0）yΥ（dy）<∞, （1），R中小冲击的补偿器(-∞,0）syI（y>-1） Υ（dy）=sR(-1,0）yΥ（dy）是s的一个定义良好的线性函数。因此，在这种情况下，我们可以交替地将ψ参数化为ψ（s）=us+σs+Z(-∞,0）（esy- 1） Υ（dy），（2）式中u≡ u+R(-1,0）yΥ（dy）。这包括重要的特殊情况(-∞,0）Υ（dy）<∞, 其中{Y}是具有drif t参数ua的布朗运动和具有尺寸跳跃的复合泊松过程之和(-∞, 0). 一般来说，ψ的任何等效参数化都可以用于MHT模型的规范中，但有些参数化在数值上和统计上都比其他参数化更方便；我们在第2.5节中回到这一点。确定ψ后，我们准备分析拉普拉斯变换F（·| x，v）。

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2022-6-23 21:20:20

空间指数，作为[0]上的函数，∞), 是连续的和凸的，满足ψ（0）=0，并且由于{Y}不是弱递减的，lims→∞ψ（s）=∞. 因此，存在sa最大解∧（0）≥ 0到ψ（λ（0））=0和逆∧：[0，∞) → [Λ(0), ∞) ψ对∧（0）的限制，∞). Berto在（1996年，第七章）中的定理1暗示F（s | x，v）=exp[-∧（s）φ（x）v）（Abbring，2012，第4.1节）。使用迭代期望，t | x=x的分布F（·| x）的拉普拉斯变换F（·| x）遵循F（s | x）=Z[0，∞)经验值(-st）dF（t | x）=Z（0，∞)Z[0，∞)经验值(-st）dF（t | x，v）dG（v）=Z（0，∞)经验值[-∧（s）φ（x）v]dG（v）=G[λ（s）φ（x）]，（3）用G表示v的分布G的拉普拉斯变换。2.3非平凡高斯分量为了便于MHT模型可能性的数值计算，并确保最大似然估计的标准条件，我们在本文的主要部分中假设{Y}具有非平凡高斯分量：假设1（非平凡高斯分量）。ψ满足度（1），σ>0。假设1排除了{Y}是纯跳转过程的情况。为了激发这一假设，首先考虑{Y}本身是非平凡布朗运动的特殊情况，即具有一般漂移系数u的布朗运动∈ R和色散系数σ∈ (0, ∞) （显然，这种情况满足了假设1）。那么，ψ（s）等于ψBM（s；u，σ）≡us+σs/2，因此t∧（0）等于∧BM（0；u，σ）≡ 最小值{0，-2u/σ}和∧（s）等于∧BM（s；u，σ）≡pu+2σs- uσ. （4）为了以后的参考，我们明确地给出了对参数u和σ的依赖关系。因为没有跳跃，所以在处理小跳跃和大跳跃时没有歧义，ψ的参数化是唯一的。

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2022-6-23 21:20:23

特别地，ψ的L'evy-khintchinesrepresentation（1）和（2）重合，andu=|u。在这种特殊情况下，已知T | X=X，V=V的分布为反高斯分布，其Lebesgue密度和生存函数的显式表达式（见第3.2节）。如果u≥ 0，则∧BM（0；u，σ）=0，且T | X=X，V=vis的分布无缺陷。然而，如果u<0，则∧BM（0；u，σ）=-2u/σ>0且| X=X，V=V的分布具有尺寸为1的缺陷- exp（2φ（x）vu/σ）。无论哪种方式，MHT模型都规定了在这种特殊情况下T | X=X的混合逆高斯分布。由于该分布具有完全（因此与参数无关）支持的Lebesgue密度，因此可以直接指定φ和g参数规格的可能性，并计算相应的最大似然估计量，该估计量将具有标准的a辛性质。如果{Y}是更一般的谱负L'evy过程，那么F（·| x）可能具有依赖于参数的支持。例如，如果Y（t）=ut，则t（φ（x）v）=u-1φ（x）v，使F（·| x）集中在u的载体上-1φ（x）V。假设1不包括这种病理学。引理1（绝对连续性）。如果假设1成立，则对于给定的（x，v）∈X×（0，∞) 和一些正密度f（·| x，v），f（t | x，v）=Rtf（u | x，v）du，对于所有t∈ [0, ∞).证据因为φ（x）v>0和lims→∞∧（s）=∞, F（0 | x，v）=lims→∞F（s | x，v）=lims→∞经验值[-∧（s）φ（x）v]=0。此外，根据假设1，对于给定的t∈ (0, ∞), Y（t）的分布是正态分布和累积跳跃分布的卷积，因此t在R上具有正Lebesgue密度。

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2022-6-23 21:20:26

利用这一点和φ（x）v>0，Bertoin（1996年，第七章，推论3）暗示F（·| x，v）具有正贝格密度F（·| x，v）o n（0，∞), F（t | x，v）=所有t的Rtf（u | x，v）du∈ [0, ∞).注意，根据引理1和Fubini定理，假设1还意味着F（t | x）=Rtf（u | x）du，对于所有t∈ [0, ∞), 正勒贝格密度f（·x）≡R∞f（·| x，v）dG（v）。因此，假设1确保可以使用标准的参数最大似然法，如在纯高斯情况下。一个复杂的情况是，分布F（·| x）及其密度F（·| x）通常以闭合形式未知，需要通过混合的高斯逆分布计算，这在统计文献中已用于建模持续时间数据。例如，Aalen和Gjessing（20 01）提出了一个在布朗运动漂移系数u上具有参数混合的模型。反转拉普拉斯变换。正如我们将在第3.3节中看到的，假设1是该反演的关键计算简化。此外，在下一节中，我们将看到假设1，以及Abbring（2012）的假设和无害规范，对模型点识别的支持。2.4非参数识别MHT模型的原语为ψ、φ和G。ByFeller（1971年，第十三节1，定理1），概率分布与其拉普拉斯变换之间存在一对一的关系。因此，我们可以将原语等效为ψ、φ和G。通过（3）和∧的定义，这种MHT三元组（ψ、φ、G）的每个规格都意味着分布F（·| x）的拉普拉斯变换F（·| x），因此对于所有x，F（·| x）本身都意味着拉普拉斯变换F（·| x）∈ 十、人们可能想知道，相反地，F（·| X），X的知识∈ 十、可能在施加一些规范化和限制之后，允许一个人立即确定（“识别”）模型的原语（ψ，φ，G）。

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2022-6-23 21:20:29

实际上，我们明确考虑到，如果Pr（X=X）=0，则T和X上的数据将不允许我们确定F（·| X）。所以，假设我们可以确定F（·| X）几乎是确定的等价量；也就是说，我们知道E[F（·| X）I（X∈ B） ]=E[经验值(-sT）I（X∈ B） ]对于所有可测量的B 十、第3.1节假设了一种简单的独立右截尾方案，这是正确的：从m（min{T，C}，I（T≤ C），X），其中T和X来自（T，X）的联合分布，由X的一些基本分布和模型的条件分布F（·| X），X表示∈ 十、对于给定的X，从条件分布中独立于T得出的截尾时间C，使得Pr（C≥ 对于所有t，t | X）>0∈ [0, ∞).注意，这包括我们从（t，X）的联合分布得到“完全”观测的情况（如果C=∞ 总是），并从截尾数据扩展到更一般的子密度f（t | X）Pr（C≥ t | X），对于几乎所有的t，以及jointsurvival函数Pr（t≥ t、 C类≥ t | X）=F（t | X）Pr（C≥ t | X）几乎可以确定等效性。因此，危险率f（t | X）/f（t | X）=f（t | X）Pr（C≥ t | X）/Pr（t≥ t、 C类≥ t | X）是确定F（·| X）的基本t，几乎可以确定等效性。Se e.g.Cox（1962）。这一论点扩展到更一般的独立审查形式（见Andersen等人，1993年）。独立审查方案。继Gill和Robins（2001年，第3节）之后，我们通过假设连续协变量影响的连续性来处理（可能）连续协变量条件作用引起的歧义。设B（x，δ）是一个半径δ>0，围绕x的n个开球∈ RK。X的支撑X包含所有点X∈ X使得Pr（X∈ 对于所有δ>0的情况，B（x，δ））>0。假设2（协变量效应的连续性）。

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2022-6-23 21:20:33

函数φ和X的支持度X等于，对于每个X∈ 十、 limδ↓0supx′型∈B（x，δ）∩X |φ（X′）- φ（x）|=0。对于隔离质量点x∈ 十、 B（X，δ）∩对于足够小的δ，X={X}，并且假设不约束φ。对于点s x，例如That B（x，δ） X f或某些δ>0，假设2Simple需要φ的连续性，作为RK上的函数，在X处。如果X具有完全离散和连续分量，则假设2需要连续分量中φ的连续性，以获得离散分量的给定值。假设2满足，例如，对于某些参数向量β，φ（x）=exp（x′β∈ RK。引理2（条件分布的识别）。如果假设2 hol ds，则f（s | x）=limδ↓0E[经验（-sT）I（X∈ B（x，δ））]E[I（x∈ B（x，δ））]，s∈ [0, ∞), x个∈ 十、（5）证明。根据假设2和G的连续性，对于每>0，存在δ>0，例如| F（s | x′）- F（s | x）|=| G（λ（s）φ（x′））- G（λ（s）φ（x））|<对于所有x′∈ B（x，δ），so t that | F（s | x）- E[经验值(-sT）I（X∈ B（x，δ））]/E[I（x∈ B（x，δ））]|<。注意，如果x是x中的一个孤立点，那么（5）将减少到F（s | x）=E[exp(-sT）| X=X]。继Abbring（2012）之后，我们的识别分析利用了具有协变量的阈值变化。假设3（非竞争性协变量效应）。对于某些x，x∈ 十、 φ（X）6=φ（X）。从以下定理的证明中可以清楚地看出，在假设2下，协变量值x和xin假设3可以用F（·| x）6=F（·| x）的值来识别。定理1（非参数识别）。设（ψ，φ，G）和（|ψ，|φ，eG）为满足假设1-3且在观测上等效的mhttriplet（意味着相同的传统分布F（·| X），直到几乎确定等效）。那么，对于一些a，b∈(0, ∞):§ψ（s）=ψ（as）和G（s）=G（bs）（对于所有s）∈ [0, ∞), 和▄φ=ab-1φ.证据通过假设2和引理2，我们可以确定所有x的F（·| x）∈ 十、

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2022-6-23 21:20:36

在特定情况下，我们可以识别x，x∈ X使得F（s | X）=G[λ（s）φ（X）]6=G[λ（s）φ（X）]=F（·| X），通过假设3存在。取这些X和X。我们有（ψ；φ（x），φ（x）；G）和（|ψ；|φ（x），|φ（x）；例如）表示相同的识别F（·| x）和F（·| x），并且F（·| x）6=F（·| x）。这是Yabbring（2012）研究的两个样本问题。我们首先将Abbring定理1和假设1应用于这一两个样本问题，然后将参数扩展到φ和φ的全域X。L'evy-Khintchine公式（1），Rmin{1，y}Υ（dy）<∞, 和支配收敛意味着tψ′（s）=u+σs+R(-∞,0）{是- yI（y>-1） }Υ（dy）。更多地使用支配收敛，可以得出lims→∞s-1ψ′（s）=σ。假设1，这会得到LIM→∞ψ′（ws）/ψ′（s）=lims→∞w（ws）-1ψ′（ws）/s-1ψ′（s）]=所有w的w∈ (0, ∞).对于ψ′也是如此。因此，bot h |ψ′|和|Оψ′|随指数1有规律地变化（Feller，1971，第VIII.8节）。因此，Abbring（2012，定理1）应用ρ=1。注意到Abbring的设置与我们的设置不同，它对φ施加了尺度归一化，这意味着，对于一些a，b∈ (0, ∞),∧=a-1∧a ndeG（s）=所有s的G（bs）∈ [0, ∞).∧的倒数等于ψ对∧（0）的限制，∞) 并且可以唯一地分析扩展到其全域[0，∞); 对于∧的倒数也是如此。这就给出了所有s的|ψ（s）=ψ（as）∈ [0, ∞).最后，固定任何∈ (0, ∞). 由于F（·| x）是确定的，观测等效性意味着G[λ（s）φ（x）]=F（s | x）=eGh∧（s）~φ（x）i=Gh∧（s）a-1b▄φ（x）ifor all x∈ 十、因此，￠φ=ab-1φ.proo f的第一部分建立了（ψ，G）和（|ψ，eG）之间的关系，仅使用假设2表示x和x处的连续性。

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2022-6-23 21:20:41

因此，如果我们削弱Theorem1的声明t hat t▄φ=ab，我们可以相应地放松假设2-1φ至？φ（X）=ab-1φ（X）几乎可以肯定。与Abbring（2012）研究的模型不同，我们的模型具有非平凡的Gaussiancomponent，最多可识别两个未知的比例参数a和b。很容易看出为什么不能仅通过T和X上的数据来确定YA和b。混合命中时间T（φ（X）V）不受潜在过程{Y}和阈值φ（X）V重定尺度的影响，也不受阈值因子φ（X）和V重定尺度而改变阈值本身的影响。具体地说，假设Theo r em 1中的（ψ，φ，G）对应于Alant过程{Y}和阈值φ（X）V。然后，观测等效（|ψ，|φ，eG）对应于一个潜在过程{aY}，一个观测阈值因子ab-1φ（X），无阈值因子bV。显然，隐含的首次命中时间是相同的：inf{t≥ 0:Y（t）>φ（X）V}=inf{t≥ 0:aY（t）>ab-1φ（X）bV}。此处的识别要求{Y}、φ（X）和V的两个尺度归一化。实现这些规范化的最便捷方式取决于所选的参数化。2.5参数化和规范化本文的估算程序要求对模型进行计算可行、灵活的参数化。为此，我们指定了L'evy测度Υ（·；α）到未知参数α的有限向量。对于漂移参数u和高斯色散参数σ，该规范和L'evy Khintchine公式（在我们提出的规范中，（2））意味着拉普拉斯表达式的参数化ψ（·；u，σ，α）。

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2022-6-23 21:20:43

我们同样指定φ（·；β）和G（·；κ）直到有限向量β和κa，并收集θ中的所有参数≡ (u, σ, α, β, κ).我们确保建议的参数化是唯一的，因为θ的不同值映射到不同的基元ψ（·；u，σ，α）、φ（·；β）和G（·；κ）。我们还想办法使它们正常化。定理1的推论建立了参数识别。潜在过程回想起来，如果{Y}是一个具有漂移的非平凡布朗运动，则Υ（·；α）=0，拉普拉斯表达式等于ψBM（s；u，σ）=us+σs，σ>0。我们用下标“BM”来区分这一基本规范，因为在我们的计算中，它也出现在ψ（·；α）的更一般规范中。我们考虑两种此类规格。第一个dds是一个独立的复合泊松过程，其基本规格具有完全离散的冲击分布。因为(-1,0）yΥ（dy；α）<∞ 在这种情况下，埃尔维·钦钦公式（2）现在提供了参数化ψ的最简单方法：ψ（s；u，σ，α）=us+σs+PJj=1λj（esνj- 1），其中α≡ （λ，…，λJ，ν，…，νJ），λJ>0时，尺寸νJ<0的冲击到达的泊松率；j=1，J和ν<…<νJ.相反，第二个规范假设冲击达到泊松率λ，并从密度为ωτ（τ）的伽马分布中得出大小(-y） τ-1exp（ωy）；ω, τ > 0;在y∈ (-∞, 0). 我们可以再次使用（2），它现在给出ψ（s；u，σ，α）=us+σs+λ{（s/ω+1）-τ- 1} ，其中α≡ (λ, ω, τ).L'evy Khintchine公式（2）提供了关于dr-ift参数u、高斯色散参数σ和L'evy度量Υ的Laplaceexp分量的唯一参数化。反过来，我们的两个跳跃过程规范给出了唯一的Υ参数化。因此，两个参数化ψ（·；α）都是唯一的。ψ（·；u，σ，α）的尺度可以通过设置|u|=1来归一化，这隐含地假设u6=0或σ=1。

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大多数88

2022-6-23 21:20:46

在a ll之后，如果ψ（·；u，σ，α）是|u|=1（或σ=1）的拉普拉斯指数，则对于a>0，s 7→ ψ（as；u，σ，α）是|u|=a（或σ=a）的拉普拉斯指数。协变量影响阈值在协变量中自然规定为对数线性：φ（x；β）=exp（x′β）。请注意，该规范暗示了假设2。等效地，在本规范中，冲击达到λ的速率≡PJj=1λjand是从具有概率（λ/λ，…，λJ/λ）的J个支持点（ν，…，νJ）的分布中独立得出的。我们排除了λj=0、νj=0或νj的边界情况-1=νj，对应于冲击大小小于j的规范，以确保独特的参数化和标准推断。见脚注10。Bertoin（1996年，第1章，定理1）及其后的讨论表明，一般的L'evyKhintchine公式（1）提供了拉普拉斯指数的唯一参数化，即|u、σ和Υ。因此，如第2.2节所述，公式（2）也适用于不同的漂移参数。也可以对跳跃成分的比例进行规范化，这在不同的规格中有所不同。假设X RK不包含在RK的真线性子空间中。那么，这个参数化是唯一的：exp（x′β）=exp（x′β）对于所有x∈ X表示β=~β。此外，它还体现了尺度归一化：对于给定的βa和a∈ (0, ∞)/{1} 存在oβ，使得aφ（x；α）=exp（ln（a）+x′β）=exp（x′β）。未观察到的异质性我们考虑到G的一个完全离散的规范。该规范是通用的，计算方便，并且自然出现在Heckman和Singer（1984）关于MPH模型半非参数估计的工作中。假设Vhas L∈ N支撑点0<v<···<vL，0<πl≡ Pr（V=vl）<1；l=1，五十、那么，G（s；κ）=PLl=1πlexp(-svl），带κ≡ （v，…，vL，π，…）。

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2022-6-23 21:20:51

，πL-1）和πL≡ 1.-PL公司-1l=1πl。不等式约束确保参数化是唯一的。可以通过设置v=1对其进行缩放规格化。推论1（参数识别）。通过本节中的一个参数化，让θ和￠θ映射成观测等效的MHT三元组。假设假设1和3成立，X RK不包含在RK的真线性子空间中，φ或G都是标度正规化的。那么，θ=°θ。推论1并不依赖于这样一个事实，即G的完全离散规格确保E[V]<∞, 这将有助于在没有假设1的情况下进行识别（见Abbring，2012，第4.3节）。我们坚持假设1，因为这对我们的估算方法至关重要（见第2.3节），并考虑到不意味着E[V]<∞. 例如，这可能有助于筛选估计的扩展，其中可能很难施加E[V]<∞ （参见第6节）。我们假设所有πl∈ （0，1），并且所有支撑点都是不同的，以确保G的参数化是唯一的。在实践中，我们可能希望包括边界情况，因为这些情况对应的规范支持点少于L个。然而，这会导致非标准识别和推断，因为我们可以将支撑点的数量从L减少到L- 1通过设置πL=0，在这种情况下，vL不相关，或通过设置vL-1=vL，在这种情况下，只有πL-1+πLmatters。3最大似然估计修复上一节的参数化θ7之一→ [ψ（·；u，σ，α），φ（·；β），G（·；κ）]。用f（·| X；θ）表示T | X=X的隐含参数密度，用f（·| X；θ）表示相应的生存函数。同样，写出f（·| x，v；θ）和f（·| x，v；θ）。

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2022-6-23 21:20:54

本节介绍了一种评估基本但通用抽样方案参数化可能性的方法，使用高斯特例作为基准k.3.1抽样，似然图{（T，X），…，（TN，XN）}是F（·| X；θ），X诱导的（T，X）分布中的随机样本∈ 十、在“true”参数向量θ和X的一些基本分布上，我们不直接观察这个完整的样本，而只观察它的一个删失版本：{（T*, D、 X），（T*N、 DN，XN）}。给，T*n≡ min{Tn，Cn}是观察到的持续时间和DN≡ I（Tn≤ Cn）一个审查指标，对于一些随机审查时间Cn。注t：完全观察（t*n、 Dn）=（t，1）将MHT事件Tn=t与审查事件Cn配对≥ t、而截尾观测（t*n、 Dn）=（t，0）对应于Tn>t和cn=t。我们假设一种简单的独立权利审查（Andersen et al.，1993）。假设（Tn，Cn，Xn）与n无关，并且，以Xn为条件，cns与Tn无关，其分布不依赖于θ。然后，在Xn的条件下，（T）的相似贡献*n、 Dn）分解为MHT部分，f（T*n | Xn；θ） DnF（T*n | Xn；θ)1-Dn，以及不依赖于θ的审查部分。因此，条件似然与qnn=1f（T）成正比*n | Xn；θ） DnF（T*n | Xn；θ)1-Dn。如果协变量Xncarry没有关于θ的信息，则其最大化子是θ的全信息极大似然估计。注意，在没有审查的情况下*n=tn和Dn=1几乎可以肯定为alln，作为特殊情况包括在内，其中Cn=∞ 几乎可以肯定的是，对于所有n。此外，对于更普遍的独立审查方案，所得估计量仍然是有效的（但通常是部分的）似然估计量（Andersen et al.，1993）。

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可人4

2022-6-23 21:20:58

此外，可能性和相应的估计量可以很容易地适用于其他实际相关的抽样方案，例如涉及区间截尾的抽样方案。3.2高斯特例假设{Y}是一个带漂移的布朗运动，因此，根据第2.3节的分析，T | X具有混合的逆高斯分布。然后，在一个包含截尾时间事件的常数内，Log条件（基于协变量）可能性lN（θ）等于lN（θ）=NXn=1lnZfBM（T*n | Xn，v；u，σ，β）DnFBM（T*n | Xn，v；u, σ, β)1-DndG（v；κ），（6），其中fbm（t | x，v；u，σ，β）=φ（x；β）vσ√2πtexp-[φ（x；β）v- ut]2σt（7）是逆高斯分布的勒贝格密度，fbm（t | x，v；u，σ，β）=Φφ（x；β）v- utσ√t型-经验值2uφ（x；β）vσΦ-φ（x；β）v+utσ√t型（8）是其生存函数（Cox a and Miller，1965年，第5.4节）。这里，Φ是累积标准正态分布函数。根据第2.5节G的有限离散规范，（6）中的对数可能性降低至lN（θ）=NXn=1lnLXl=1πlfBM（T*n | Xn，vl；u，σ，β）DnFBM（T*n | Xn，vl；u, σ, β)1-Dn。（9）例如，如果我们指定φ（x；β）=exp（x′β），则使用（7）和（8）可以很容易地计算该对数似然、其导数及其最大化子^θ。在标准正则条件下，包括Corollary1参数识别所需的规范化和假设，^θ是θ的一致和渐近正态估计量。假设X的血缘分布和截尾时间不包含θ的信息，这也是有症状的。它是一个交感协方差矩阵，可以使用Fisher信息矩阵的得分或Hessian特征快速估计。统计文献中研究的许多模型同样导致了便于估计的可能性的明确表达式（Lee和Whitmore，2006）。

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2022-6-23 21:21:01

在一般的L'evy情况下，此类显式表达式不可用，并且无法直接实现最大可能性。下一节将介绍在这种一般情况下计算最大似然估计及其渐近分布的方法。3.3一般酪蛋白一般，f（·| x；θ）和f（·| x；θ）不是明确已知的，但可以通过数值反转其拉普拉斯变换来计算。我们的方法基于Rogers（2000）的工作，Rogers（2000）将Abate和Whitt（1992）反演方法的一种变体应用于计算光谱单侧DL'evy过程的首次通过时间分布的问题。继Rogers之后，我们首先考虑计算生存函数F（·| x；θ）。利用分部积分，很容易证明其拉普拉斯变换F（s | x；θ）≡R∞经验值(-st）F（t | x；θ）dt=s-1{1 - F（s | X）}。所以，对于givenθ，我们可以显式地构造f（s | x；θ）=s-1{1 - G[λ（s；u，σ，α）φ（x；β）；κ]}a并使用梅林的逆公式（例如Davies，2002）获得F（·x；θ），F（t | x；θ）=2πilimξ→∞Zγξexp（st）F（s | x；θ）ds。（10）这里，积分沿γξ：u等高线∈ [-1, 1] 7→ c+iξu，在c上画出一条直线，并从c到imag Inar轴f- iξ至c+iξ。我们将此轮廓与c∈ R通过写入γξ（u；c）表示其在u处的值来显式表示。应选择参数c，使其大于拉普拉斯变换F（·| x；θ）中任何奇点的真实部分。因为F（·| x；θ）在所有s的集合上是解析的Rs>0，我们可以选择任何c>0。（10）中的积分通常没有显式解，但可以使用数值方法有效近似。一个关键的复杂性是，我们的规范ofF（·| x；θ）涉及反函数∧，通常不能用封闭形式表示。

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2022-6-23 21:21:04

为了避免这个问题，我们遵循罗杰斯的方法，而是沿着|γξ积分≡ ψ o∧BMoγξ，是从ψ∧BM（C）到C的一个等高线- iξ；u, σ) ; u，σ，α]至ψ[λBM（c+iξ；u，σ）；u，σ，α]。这里，∧bmi是ψ的布朗运动分量的拉普拉斯指数的倒数，其中（4）g给出了一个显式表达式。注意∧bm必然具有与ψ相同的色散参数σ，但其漂移参数不是唯一固定的（因为漂移参数o fψ取决于我们处理小激波的方式；见第2.2节）。幸运的是，漂移参数∧bm的精确值在下面的论证中不起作用。通常可以将其设置为所用ψ的特定参数化中的漂移参数；例如，μin（1）或μin（2）。根据第2.5节关于带复合泊松跳的ψ的规定，我们将∧bm的漂移参数设置为uin（2）。我们通过在u处写入|γξ（u；u，σ，α，c）来明确变换轮廓对c的依赖关系和ψ的参数。罗杰斯认为，在假设1下，在（10）中用|γξ替换γξ不会影响积分的值，因此f（t|x；θ）=2πilimξ→∞Z|γξexp（st）F（s；x；θ）ds=2πilimξ→∞Zγξq*（t，s | x；θ）ds，（11）带q*（t，s | x；θ）≡exp{ψ[λBM（s；u，σ）]t；u，σ，α}1- G[λBM（s；u，σ）φ（x；β）；κ]ψ[λBM（s；u，σ）]ddsψ[λBM（s；u，σ）；u，σ，α]；不再涉及∧。这个论点依赖于柯西积分定理，该定理认为（10）中沿闭合轮廓的解析被积函数上的积分等于零。这对于由γξ向上移动γξ形成的闭合轮廓尤其如此(-1.c）到γξ（1；c），从γξ（1；c）到|γξ（1；u，σ，α，c），从|γξ（1；u，σ，α，c）到|γξ(-1.u，σ，α，c），并从|γξ开始交叉(-1.u，σ，α，c）至γξ(-1.c）。

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2022-6-23 21:21:08

因此，（10）和（11）中的积分是相等的，前提是从γξ（1；c）到γξ（1；u，σ，α，c）的轮廓上的积分和从γξ到γξ的轮廓上的积分(-1.c）至|γξ(-1.u，σ，α，c）消失为ξ→ ∞.罗杰斯得出结论，这是因为被积函数沿这两个常数ξ快速消失→ ∞ （特别是sF（s | x；θ）→ 1 as | s |→ ∞) 并且，在假设1下，它们的长度不会随ξ增长太快。特别地，γξ（1；c）- γξ（1；u，σ，α，c）γξ（1；c）=c+iξ- ψ[λBM（c+iξ；u，σ）；u，σ，α]c+iξ=ψBM[λBM（c+iξ；u，σ）；u，σ]- ψ[λBM（c+iξ；u，σ）；u，σ，α]ψBM[λBM（c+iξ；u，σ）；u，σ]收敛到零，为ξ→ ∞ （注意，（1）的右侧由大s的高斯项表示）。同样地，γξ(-1.c）-~γξ(-1.u，σ，α，c）γξ(-1.c）→ 0为ξ→ ∞.使用变量的变化，我们可以将（11）重写为实线上的积分：F（t | x；θ）=2πZ∞-∞q（t，u | x；θ，c）du，（12）其中q（t，u | x；θ，c）≡ q*（t，c+iu | x；θ）。在阿巴特和惠特之后，我们可以将三角法则应用于有限和的近似值（12）∞（t | x；θ，c，h）≡h2π∞Xr公司=-∞Rq（t，rh | x；θ，c），（13），其中h>0是规则的步长。注意，我们只需要近似（12）的实部，因为它的虚部应该是零。阿巴特和惠特讨论了这种离散化引入的误差，并指出它特别有效，因为积分振荡和近似误差最终会抵消。实际上，我们需要计算固定金额∞（t | x；θ，c，h）in（13）至SR（t | x；θ，c，h）≡h2πPRr=-RR对于某些R，q（t，rh | x；θ，c）∈ N并使用外推法逼近R→ ∞.

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2022-6-23 21:21:11

因为R（t | x；θ，c，h）在R，limR中几乎是周期的→∞SR（t | x；θ，c，h）可以使用Euler求和有效地近似：F（t | x）≈ ER，M（t | x；θ，c，h）≡MXm=0-M毫米SR+m（t | x；θ，c，h），（14）对于某些m∈ N、 Abate和Whitt建议通过ER，M+1（t | x；θ，c，h）估计相关误差-ER，M（t | x；θ，c，h）。在我们的例子中，随着M的增加，该估计值很快趋于零，这表明近似值是准确的（另请参见第4节）。我们遵循一个类似的过程，从拉普拉斯变换f（·| x；θ）计算密度f（·| x；θ）。我们再次从轮廓为γξ的梅林逆公式（10）开始，但现在f（t | x；θ）在其左侧，f（s | x；θ）在其右侧。随着G的离散化，F（s | x；θ）的消失速度比F（s | x；θ）（sF（s | x；θ）更快→ 0，而sF（s | x；θ）→ 1） as | s |→ ∞.这表明我们可以再次将梅林逆公式中的矩γξ替换为|γξ和thatf（t | x；θ）=2πilimξ→∞Zγξq*（t，s | x；θ）ds，其中q*（t，s | x；θ）≡exp{ψ[λBM（s；u，σ）]t；u，σ，α}G[λBM（s；u，σ）φ（x；β）；κ]ddsψ[λBM（s；u，σ）；u，σ，α]。这是因为F（s | x；θ）对于大s的行为受πexp项支配{-∧（s；u，σ）φ（x；β）v}对应于最低支撑点vof G。当G的规格接近零支撑时，F（s | x；θ）的消失速度可能比F（s | x；θ）的消失速度慢，如| s |→ ∞. 例如，如果G是伽马分布，可以表示| sF（s | x；θ）|→ ∞ as | s |→ ∞. 模拟表明，在这种情况下，我们的程序仍然是准确的。如前所述，我们可以将其重写为实线上的积分，f（t | x；θ）=2πZ∞-∞q（t，u | x；θ，c）du，其中q（t，u | x；θ，c）≡ q*（t，c+iu | x；θ），并用Euler-sumER，M（t | x；θ，c，h）近似此积分。可以使用不同的调谐参数c、h、R和M来控制f（t | x；θ）和f（t | x；θ）的计算。

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何人来此

2022-6-23 21:21:14

然而，正如我们对应的Euler和的符号ER，M（t | x；θ，c，h）andER，M（t | x；θ，c，h）所示，我们在本文中不会这样做。在设置c、h、R和M的共同值时，我们从罗杰斯那里得到了指导。在接下来的章节中，我们发现，他建议使用durat-ion-t特定值c=11/t和h=π/t，在我们的情况下会产生良好的数值性能。我们将采用这些作为默认设置，同时采用R=9和M=25。独立截尾样本满意度的对数似然性lN（θ）=NXn=1Dnln f（T*n | Xn；θ) + (1 - Dn）lnF（T*n | Xn；θ)≈NXn=1Dnln ER，M（T*n | Xn；θ、 c，h）+（1-Dn）lnER，M（T*n | Xn；θ、 c，h）。（15）我们在MATLAB中实现了一个估计器，该估计器使用准牛顿算法最大化这种近似对数似然，并对Hessian和multiplerandom起始值进行BFGS更新（Nocedal和Wright，2006）。我们提供了关于参数向量θ的近似对数似然的n个分析梯度，以确保快速稳定的最大化。这个梯度将N个观测值的贡献相加。考虑观测值n的贡献。假设该观测值是完整的（Dn=1；截尾观测值的计算类似）。这个观测值的近似似然贡献，ER，M（T*n | Xn；θ、 Rogers（2000）声称R=6和M=15可以很好地权衡精确度和速度。由于此后计算速度的提高，我们可以选择更高的精确度。有关详细信息，请参见第4节。是q（T）的加权和的实部*n、 rh | Xn；θ、 c）r的值超过一个整数，权重不取决于θ。每个t项q（t*n、 rh | Xn；θ、 c）在该加权和中，是三个因素的乘积；exp[ψ（z；u，σ，α）T*n] ，G[zφ（Xn；β）；κ]和ψ′（z；u，σ，α）∧′BM（c+irh；u，σ）；在θ和z上平滑，由z=∧BM（c+irh；u，σ）组成，其本身在u和σ上平滑。

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2022-6-23 21:21:18

它关于θ的复值导数源自乘积和链规则的繁琐但直接的应用。我们忽略了r上这些导数加权和的虚部，因为似然贡献f（t）的虚部*n | Xn；θ）我们用ER，M（T）近似*n | Xn；θ、 c，h）为零。因此，我们将观测值n对对数似然方程梯度的贡献设置为导数加权和的实际par t除以ER，M（t*n | Xn；θ、 c，h）。分析梯度将这些贡献相加。我们从相应的Hessian构造渐近标准误差，我们使用分析梯度的有限差来计算。复制包（Abbring和Salimans，202 1）提供了进一步的详细信息。MATLAB代码目前通过设置u=1来规范化ψ（·|u，σ，α）。不是说这隐含地假设u>0。直接调整代码以代替规范化|u|=1，这通常允许u6=0，或σ=1，这根本不限制u。我们的估计器最大化了近似对数似然。对于某些应用，已经证明，如果近似值随样本量快速提高，则最大近似似然估计值与精确最大似然估计值一阶等价（例如，Ait-Sahalia，2002）。我们可以尝试使用Bate和Whitt的数值分析以及关于q（t，u | x；θ，c）和q（t，u | x；θ，c）尾部行为的一些进一步结果，为我们的估计量得出类似的等价结果。然而，正如我们将在第4节中看到的，我们可以在合理的时间内非常准确地计算估计量，因此，确定准确度应如何随样本量增加的正式结果将没有太多实际用途。

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2022-6-23 21:21:21

因此，我们采用了许多文献所采用的实用方法，并简单地应用标准d最大似然渐近。4数值实验我们通过进行一系列数值实验，研究了所提出的似然近似的准确性。我们讨论了其中三个实验的结果。除非另有明确说明，否则所有三个实验都使用控制近似的参数的默认设置。前两个实验直接比较了MHT模型所暗示的明确已知持续时间密度和可能性，而不影响其近似值。第三个实验集中在一个有冲击的模型上，对于这个模型，隐含的持续时间密度在显式形式下是未知的。第一个实验将使用（7）中密度的显式表达式对混合逆高斯模型的对数似然函数的直接计算与其随M变化的数值近似值进行比较。在第5节中使用的数据集上计算对数似然函数。这确保了这个实验既提供了一个真实的生命测试用例，也检查了我们在该部分中给出的结果。数据包含566个完整的罢工持续时间。由于近似误差接近无偏，因此对数似然误差随样本量的根进行缩放。图1绘制了对数似然绝对近似误差的平均值，对于不同的M值，在其最大似然估计的尺度上随机生成100多个模型参数。我们发现，该平均绝对误差随M呈指数递减；该结果在各种参数值上都是稳健的，在这些参数值上绘制的结果是平均的。与Rogers（2000）一致，我们发现M=15已经为大多数实际目的提供了一个合适的近似值。

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可人4

2022-6-23 21:21:25

然而，因为这就是Singleton（2001）处理离散采样函数的最大似然估计的方式，与我们的估计一样，这需要数值傅里叶反演。他对傅里叶反演程序的计算负担表示担忧，但仅限于多元情况。我们仅使用单变量四ie r反演，并从20年的计算发展中获益。图1：各种M5 10 15 20 25 30的对数似然近似误差-10-5注：该图基于对数可能性l具有布朗运动潜伏期过程和离散不可观测异质性的MHT模型的N（θ），具有Kennan（1985）completestrike持续时间数据的四个支撑点。它绘制了lN（θ）及其在100个随机抽取的参数值θ上的数值近似值，取值范围为M。误差以对数标度重新绘制。对于φ（X；β）V=1的简单逆高斯模型，通过将u和σ设置为其最大似然估计值，这对于m是闭合的，V=1。异质性分布的其余支撑点v、v和VO是通过标准正态分布的指数化绘图生成的，因此它们在水平上有所不同，但都近似于正确的曲线。我们所有的支撑点都有1/4的概率质量。参数β乘以卵巢数设置为零。计算所需的时间仅以M为单位呈线性增长，我们可以以非常低的计算成本将M增加到25，并获得近千倍的精度提高（大多数g都是在M=20时获得的）。一次M≥ 25，其他因素，如舍入误差，变得很重要，近似误差水平也会起作用。我们还发现，当M=25时，增大R或减小步长h对反演精度的影响很小。

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