最优拍卖期限：一种价格形成观点

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收藏 2022-06-24

英文标题：
《Optimal auction duration: A price formation viewpoint》
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作者：
Paul Jusselin, Thibaut Mastrolia, Mathieu Rosenbaum
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
We consider an auction market in which market makers fill the order book during a given time period while some other investors send market orders. We define the clearing price of the auction as the price maximizing the exchanged volume at the clearing time according to the supply and demand of each market participants. Then we derive in a semi-explicit form the error made between this clearing price and the efficient price as a function of the auction duration. We study the impact of the behavior of market takers on this error. To do so we consider the case of naive market takers and that of rational market takers playing a Nash equilibrium to minimize their transaction costs. We compute the optimal duration of the auctions for 77 stocks traded on Euronext and compare the quality of price formation process under this optimal value to the case of a continuous limit order book. Continuous limit order books are found to be usually sub-optimal. However, in term of our metric, they only moderately impair the quality of price formation process. Order of magnitude of optimal auction durations is from 2 to 10 minutes.
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中文摘要：
我们考虑一个拍卖市场，其中做市商在给定的时间段内填写订单，而其他投资者发送市场订单。我们将拍卖的结算价格定义为根据每个市场参与者的供需情况，在结算时使交易量最大化的价格。然后，我们以一种半显式的形式推导出该结算价格与有效价格之间的误差，作为拍卖持续时间的函数。我们研究了市场接受者的行为对这一错误的影响。为此，我们考虑了天真的市场接受者和理性的市场接受者通过纳什均衡来最小化交易成本的情况。我们计算了在泛欧交易所交易的77只股票的最优拍卖持续时间，并将此最优值下的价格形成过程的质量与连续限价指令簿的情况进行了比较。连续限制订单簿通常是次优的。然而，就我们的衡量标准而言，它们只会适度削弱价格形成过程的质量。最佳拍卖持续时间的数量级为2到10分钟。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure 交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Optimization and Control 优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Probability 概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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kedemingshi

2022-6-24 02:27:38

最优拍卖持续时间：价格形成观点Paul Jusselin*, Thibaut Mastrolia+和Mathieu Rosenbaum''Ecole Polytechnique，CMAP2020年6月30日版本及补充材料。我们考虑的是一个拍卖市场，其中做市商在给定时间段内填写订单，而其他投资者发送市场订单。我们将拍卖的结算价格定义为根据每个市场参与者的供需情况，在结算时最大化交易量的价格。然后，我们以半显式形式推导出该结算价格与有效价格之间的误差ma，作为拍卖持续时间的函数。我们研究市场接受者的行为对这一错误的影响。为此，我们考虑了所有市场接受者和理性市场接受者的情况，他们通过纳什均衡来最小化交易成本。我们计算了泛欧交易所（Euronext）77只股票的最优拍卖持续时间，并将该最优值下的价格形成过程的质量与连续限价订单的情况进行了比较。连续限制订单簿通常是次优的。然而，就我们的衡量标准而言，它们只会适度削弱价格形成过程的质量。最佳拍卖持续时间的数量级为2至10分钟。关键词：微观结构、市场设计、拍卖、限价指令簿、连续交易、做市、纳什均衡、BSDE。1简介在大多数历史（lit）市场中，交易通过连续时间双重拍卖系统进行：连续限额订单簿（CL OB）。这种机制允许市场参与者在任何时间点以报价购买或出售股票。然而，市场订单系统地（至少）支付差价作为交易成本。

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mingdashike22

2022-6-24 02:27:41

此外，随着做市商调整价格，成交量会影响价格*保罗。jusselin@polytechnique.edu+thibaut。mastrolia@polytechnique.edu马修。rosenbaum@polytechnique.edupositions作为对订单流量的反应，导致额外的交易成本。除此之外，有人认为某些机械故障是CLOB固有的，尤其是在高频交易的情况下。这场争论始于学术文献，尤其是影响深远的论文Budish et al.（2015），另见Farmer和Skouras（2012）；Wah和Wellman（2013）。在这项工作中，作者解释说，CLOB会导致明显的机械套利，并在高频做市商之间产生速度而非价格的竞争，从而损害最终投资者的利益。他们令人信服地表明，频繁的批量拍卖可以弥补这些缺陷。拍卖可能是金融市场运作的合适机制，这一观点并不新鲜。例如，在重要的论文Madhavan（1992）中，也可参见Garbade和Silber（1979），已经对拍卖与CLOB相比的利益进行了调查。当然，这项工作中的讨论并不是关于高频套利机会，而是基于这样一个事实，即拍卖将有利于价格形成过程，使投资者能够直接在其他人之间进行交易，避免向做市商支付差价成本。在Budish et al.（2015）中，作者提供了导致消除CLOB高频波动（约100毫秒）的拍卖期下限的数量级。然而，前面提到的文献表明，更长的拍卖时间可能是合适的，但通常没有给出数字。这就是为什么引用Budish et al.（2015）的话，更深入地了解延长拍卖间隔时间的成本是一个重要的话题。

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kedemingshi

2022-6-24 02:27:45

这正是我们在本文中所做的。我们对金融市场上的最佳拍卖持续时间进行了可靠且可操作的定量分析，并将该机制的效率与CLOB的效率进行了比较。我们采用基于价格形成过程质量的标准，如Madhavan（1992），但在现代高频市场的背景下，如Budish等人（2015）。因此，我们希望弥合这两篇开创性论文之间的差距。事实上，人们对在标准CLOB之外进行交易的做法越来越感兴趣。例如，交易活动中很重要的一部分仍然是场外交易，越来越多的市场参与者转向新形式的市场结构，如暗池或拍卖。许多以aCLOB为主要机制的市场已经定期组织了一些拍卖，通常在交易日的开始和结束时进行。也存在拍卖市场，拍卖一整天都在一个接一个地进行，两次拍卖之间没有连续的交易阶段。在拍卖过程中，市场参与者可以发送和取消限价或市场订单。然后在某个时间（可能是随机的），确定清算价格，以最大化交易量，并以此价格执行匹配的订单。例如，BATS Cboe欧洲股票定期拍卖市场就是这样。在这个市场中，当发送第一个订单（限额或市场）时，就会触发拍卖。然后在随机时间进行结算，这样拍卖就不能持续超过预定的持续时间（100毫秒）。在拍卖背景下，监管机构或交易所的关键问题是为拍卖设定适当的时间段，并将该机制与CLOB的相关性进行比较。

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nandehutu2022

2022-6-24 02:27:48

Du和Zhu（2017）中，作者研究了拍卖市场在拍卖持续时间方面的效率。他们提出了一个基于微观agent的模型，其中包含确定或随机到达的私人和公共信息。代理根据其信息和一些个人特征优化其需求计划。以所有代理的平均效用为准则，证明了最优拍卖持续时间与外生信息到达规律有关。作者还研究了代理的异质速度的影响。他们表明，速度快的经纪人更喜欢短时间的拍卖，而速度慢的经纪人更喜欢长时间的拍卖。然而，对于不确定因素，它们不会给出最佳拍卖过程的任何结果。关于这一主题的大多数其他作品都使用价格形成的观点来评估拍卖规格的质量。Garbade和Silber（1979）就是这种情况，作者提出了拍卖市场价格形成的简单模型。有效价格和清算价格之间的平均平方差作为衡量标准，表明始终存在正的最佳拍卖持续时间。建议的最佳期限是平均效应（较长的期限允许大量代理人参与拍卖，从而减少对有效价格的不确定性）和波动风险（较短的期限导致较小的波动风险）之间的权衡。该模型已在Fricke和Gerig（2018）中重新定义。

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可人4

2022-6-24 02:27:51

在本文中，作者研究了该框架的几种一般化，例如多资产情况或做市商的存在，使用过滤技术和观察相关资产来推断清算时的有效价格。在我们的工作中，与Fricke和Gerig（2018）中的驱动力相同；Garbade和Silber（1979）将是确定最佳期限的关键：平均RSU波动风险的影响。然而，Fricke和Gerig（2018）的一个重要限制；Garbade和Silber（1979）认为，没有考虑市场秩序，因此所有代理人都可以被视为流动性提供者。有必要放宽这一假设，因为人们在实际交易中观察到了很大一部分市场需求，见Boussetta et al.（2017）。例如，具有按市值计价基准或在执行中寻求优先权的市场参与者通常可以使用市场订单。在计算最佳拍卖持续时间时，这类订单将发挥关键作用。这是因为持续时间长导致市场订单流量不平衡的差异较大，导致定价不准确。另一个重要的评论是《杜朱》（2017）；Fricke和Gerig（2018）；Garbade和Silber（1979），无法对拍卖和CLOB市场进行比较。这是因为球状结构不包括在其模型范围内。他们获得了生产市场的最佳持续时间，但不能说CLOB市场是否次优。在我们的建模中，https://markets.cboe.com/europe/equities/trading/periodicauctionsbookCLOBs与持续时间为零的拍卖完全一致，这使得在拍卖和CLOBs之间进行比较成为可能。在本文中，受早期文献的启发，我们将价格发现作为计算最佳拍卖持续时间的标准。

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大多数88

2022-6-24 02:27:54

我们的方法在各个方向上延伸到inFricke和Gerig（2018）；Garbade和S ilber（1979）；Madhavan（1992年），其内容如下。我们考虑一个再生拍卖市场，拍卖从市场订单发出时开始，持续时间h。更准确地说，我们假设在（i- 1)-第次拍卖清算（endedat timeτcli-1）限价订单簿被清空，新的市场阶段开始独立于过去。新的拍卖会在发送第一份市场订单的时间τopi开始。这一新的拍卖结束时间τcli=τopi+h。我们的模型包括CLOB和拍卖市场结构，因为CLOB对应于持续时间为0的拍卖（因为拍卖是由市场订单的到达触发的，就像在几个实际市场中一样，我们假设LO B在生产清算时永远为空）。在CLOB市场中，做市商优化报价与做市商寻找合适的执行时间之间存在竞争。在拍卖市场中，市场接受者还有获得廉价流动性的额外可能性：他们可以尝试将自己的订单与其他相反方向的市场订单进行匹配。例如，如果在拍卖结算之前发送了大量的买方市场订单，这对卖方市场接受者来说是一个很好的机会，可以按照之前的价格执行订单。在这种情况下，买卖市场接受者之间可能会出现一种新的竞争形式，市场制造商扮演着次要角色。我们还调查了这种情况，即市场接受者采取战略并采取最佳行动，以降低其交易成本。我们显著地证明了这个博弈存在一个纳什均衡。

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nandehutu2022

2022-6-24 02:27:59

在这个框架中，我们可以计算Etoo函数，从而找到最佳拍卖持续时间。从数学的角度来看，纳什均衡的存在归结为求解一个完全耦合的多维BSDE，该BSDE由具有非正间断生成器的计数过程驱动。Hamad\'ene和Mu（2014）在布朗框架下研究了与具有不连续生成器的BSDE系统相关的纳什均衡的存在性。与Hamad\'ene和Mu（2014）中的BSDE相关的BSDE基本上已在一维布朗案例中进行了调查（例如，见Jia（2008）；范和江（2012）；段和任（2013）；Tian et al.（2013））考虑将半连续生成器与Y过程联系起来，将Lipschitz连续生成器与Z联系起来。通常可以获得这些BSDE的解的存在性，这不是唯一性的情况，参见f或实例（Jia，2008，备注4）。Fan（2018）提出了对多维情况的扩展（仍然考虑关于Z的g Lipschitz连续生成器），并给出了唯一性结果。在Heyne et al.（2014）中，作者成功地削弱了关于Z分量的连续性假设，并证明了在正生成器或宽松条件下一维情况下最小解的存在性和唯一性，参见（Heyne et al.，2014，第3.3节）。据我们所知，我们的存在性结果是新的，并将Hamad\'ene和Mu（2014）扩展到计数过程的情况。如上所述，唯一性问题特别复杂，超出了本文的范围。最后，基于泛欧交易所的数据，我们使用我们的模型计算了77只在泛欧交易所交易的欧洲股票的最优拍卖持续时间。

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nandehutu2022

2022-6-24 02:28:02

Firststriking结果表明，建议的持续时间远大于几毫秒，而不是1到5分钟。第二个问题是，根据我们的度量，CLOB是ind-eed次优的。然而，CLOB市场的价格形成过程的质量与最佳持续时间拍卖的质量相差不远。当然，这项工作只是全面分析拍卖问题的第一步，因为我们在这里关注的是一个特定（但至关重要）的标准。其他方面，如流动性、交易量效应和费用或潜在的套利机会，当然应该在未来的工作中加以考虑。我们还忽视了做市商策略的潜在优化，例如，他们可以根据当前市场订单的不平衡，在拍卖过程中修改报价。尽管如此，我们相信我们的结果是独创的，足以帮助交易所和金融机构从市场设计的角度重新思考其政策。本文的组织结构如下。在第2节中，我们描述了拍卖机制和我们的模型。我们还提供了关于函数E计算的第一个主要结果。第3节考虑了战略市场接受者优化其交易成本的情况。我们的校准方法和股票数据的数值结果见第4节。第5节提供了财务见解。证据被归入附录。2模型在本节中，我们介绍我们的拍卖市场模型。我们描述了市场的组织和两类代理人的行为：做市商填写限价指令簿（LOB）和做市商发送市场指令。然后我们导出清算规则并计算清算价格。

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kedemingshi

2022-6-24 02:28:05

最后，我们提供了价格形成过程质量的半显式表达式。2.1拍卖市场设计我们认为拍卖市场是由市场订单引导的独立顺序拍卖组织的。更准确地说，在市场开放或拍卖清算后，新的拍卖将在发送第一份市场订单时开始。我们写（τopi）i∈N*拍卖开放时间顺序和（τcli）i∈N、对于清除时间序列，τcl=0。拍卖会的持续时间为h秒，允许市场参与者会面。当h=0时，我们的模型对应于CLOB市场，因为任何市场订单都与LOB中存在的限额订单相匹配。对于在某个时间τopi开始的给定拍卖，市场参与者可以发送市场或限制订单。在拍卖清算时间τcli=τopi+h时，以Pclτcli表示的清算价格被设置为最大化交易量。更准确地说，愿意以低于Pclτcli的价格出售股份的卖方将其股份出售给愿意以高于Pclτcli的价格购买股份的买方。每个已清算股份以清算价格出售，独立于相关限额订单（如有）的标价（有利于参与者发送限额订单）。2.2做市商和做市商在一天中，做市商随机进入市场，并发送限价订单以填充LOB。在i期间-市场p期做市商到达时间由（τcli）给出-1+τi，mmk）k≥0其中τi，mmkis是k-计数过程的第次事件时间（Ni，mms）s≥我们描述了k提供的流动性-由其供应职能部门Sk组成的做市商。这种供应函数取决于做市商在结束限价指令时对结算时有效价格的看法。有效定价过程为（Ps）s≥0和可以被视为特定时间做市商对标的资产“公允”价值的平均意见。

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kedemingshi

2022-6-24 02:28:08

它满足带布朗运动和σfa正常数的Ps=P+σfw。当为正数时，数量Sk（p）表示股票数量k-做市商愿意以p或以上的价格出售。负值对应于他愿意以p或更低的价格购买的股票。我们假设sk（p）=K（p-Pk），其中▄Pk=E[Pτcli | Fτcli-1+τi，mmk]+gk，其中pki是k对资产价格的看法-做市商发出指令时，K为正常数，（gk）K>0为i.i.d随机变量序列，方差σ表示做市商在推断有效价格时的估计噪声，与分配过程无关。Du和Zhu（2017）也考虑了线性供应函数；Fr icke和Gerig（2018年）。这相当于假设每个做市商发送高于价格▄Pk的统一限价卖出指令和低于▄Pk的统一限价买入指令。在这种情况下，我们得到▄Pk=Pτcli-1+τi，mmk+gk。实际上，有不同种类的做市商，我们可以假设每个做市商都有自己的噪音。尽管如此，市场上通常没有那么多做市商，而且由于他们基本上拥有相同的技术，因此有理由假设他们具有相同的噪声参数。还要注意的是，由于数据的匿名性，具有不同方差参数的模型很难校准。因此，做市商在LOB中注入信息，因为他们通过其供应功能揭示了他们对价格的了解。然而，拍卖持续的时间越长，造市商的观点就越不可靠，因为他们对清算时间内有效价格的估计来得越早。最后，为了获得再生市场，我们考虑在拍卖清算时间τclimarket结束后，制造商取消其不匹配的限价订单。

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kedemingshi

2022-6-24 02:28:11

由于持续时间非常长的连续拍卖市场并不存在，因此很难知道做市商的行为会是什么。当然，清算后完全取消并不现实。然而，请注意，我们分析的关注时间是拍卖结束时间，其中模型非常合理。例如，当h=0时，对应于CLOB市场，在每次发送市场订单时，LOB已经填写，这要归功于下面的假设2。按设置i=τcli- τcli-1我们推断，在清理处有Ni，mmI LOB中的市场制造商。在i期间-市场阶段k的到达时间-th买入（或卖出）市场指令由τcli给出-1+τi，ak（分别为τi，bk），其中eτi，ak（分别为τi，bk）是k-计数过程的第次事件时间（Ni，as）s≥0（分别为Ni、bs）s≥0). 因此，i-拍卖价格为τopi=τcli-1+τi，a∧τi，b。我们支持每个市场接受者以恒定数量v发送市场订单。此外，我们假设（Ni，mm，Ni，a，Ni，b）与有效价格P无关。我们将IIA定义为市场接受者的累积失衡：Iit=vNi，在- vNi，bt.市场接受者在清算i时的总需求-第次拍卖由Ii给出i、我们现在做出以下自然假设，即市场是再生的。假设1。市场动态满足：i）每次拍卖清算后，市场再生：过程（Ni、mm、Ni、a、Ni、b、Ii）i≥0独立且分布相同。ii）随机变量（τi，a∧ τi，b）i≥0是具有指数定律和参数ν的i.i.d。iii）随机变量N1，aτcland N1，bτclare平方可积。假设1的第i）点和第ii）点暗示市场秩序流动基本上是一个泊松过程，这是微观结构文献中使用的最标准动态，见Avellaned a和Stoikov（2008）；Gu’eant（2017）。

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mingdashike22

2022-6-24 02:28:14

这一假设并不完全现实，尤其是它不能使我们重现市场秩序流的长记忆特性，例如Bouchaud et al.（2009）。放松这一假设的一种可能方法是考虑霍克斯型强度。然而，这将使模型在计算和校准方面更加复杂。第iii）点是一个经典的技术假设。注意，假设1的i）点和ii）点表示≥ 0，τopi+1-τcli遵循参数为ν的指数随机变量。我们还考虑了（Nmm、Na、Nb、I）一个随机变量，为了部分解决这个问题，我们扩展了我们的模型，允许做市商通过取消附录D中的订单来修改其头寸。请注意，一个可能的扩展是，考虑▄PK还取决于最近观察到的清算价格，请参见Fricke和Gerig（2018）。（N1，mm，N1，a，N1，b，I）定律。这将有助于减轻一些符号。实际上，如果LOB中没有流动性，并且LOB为空的情况非常不现实，那么市场接受者不太可能发出市场指令。适应非emp tyLOB假设设置的一种方法是考虑第一个做市商总是在拍卖清算发生之前到达。这意味着几乎可以肯定，对于任何i，我们都有τi，mm<（τi，a∧ τi，b）+h。因此，我们考虑以下假设假设2。让u>0。密度τ1，mm，（τ1，a∧ τ1，b）在点（s、t）∈ 0给出的Ris≤s≤t+hue-us1- e-u（t+h）dsνe-νtt≥0dt。最后，我们假设（N1，mms+τ1，mm-1)0≤s≤his是一个泊松过程，强度u与P和（N1，as，N1，bs）s无关≥τ1，mm。假设2表示（N1，mms）0≤s≤τop+hh是强度为u的泊松过程定律，条件是其第一个事件发生在时间τcl之前。

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kedemingshi

2022-6-24 02:28:17

该假设允许在h=0.2.3清算规则的限制下获得非退化CLOB。我们现在解释如何在拍卖结束时结算清算价格。在时间τcli=τopi+h时，设置一个连续的PRICE Pclτcli，以最大化交换量。这种结算规则在大多数电子市场中用于开盘和结算拍卖。这也是学术文献中考虑的规则（例如，参见Du an d Z hu（2017））。我们用F表示-（p）（resp.F+（p））买方（resp.sellers）愿意以p价购买（resp.seller）的股份总数。函数F-（分别为F+）正在减少（尤其是增加）。假设th的结算价格为Pclisset。交换的总体积为F-（Pcl）∧ F+（Pcl）。现在假设th在F处-且F+在Pclind F点连续-（Pcl）<F+（Pcl）。如果账簿的投标方仍有剩余流动性（如果F-不受F约束-（Pcl）），交换量不是最优的，因为可以通过降低价格来改善。换言之，假设F-（Pcl）>F+（Pcl），如果ask端有流动性（正式地说，如果F+不是由F+（Pcl）绑定），那么交换量不是最优的，因为它可能会通过提高价格来改善。因此，当这种平等是可能的，以便在清算时最大化交易量时，最优清算价格必须满足F-（Pcl）- F+（Pcl）=0。（1）注意F值处的th-(+∞) （分别为F+(-∞)) 是指以任何价格购买（或出售）的股份数量。导致非常不同方法的另一个想法是将做市商的市场行为内化，参见Du和Zhu（2017）功能F--F+是所有市场参与者（做市商和做市商）的代数供需函数。因此，我们得出清算价格为代理人总供求的零。

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可人4

2022-6-24 02:28:20

因此，在我们的框架内，i- 第次拍卖，定义为（1）的解，可通过求解以下方程找到：Ni，mmiXk=1Sk（p）- 二i=0。i-然后由PCLτcli=Ni，mm给出结算价格iNi，毫米iXk=1？Pk+KIiiNi，毫米i、（2）最后，在不考虑拍卖清算中的市场订单的情况下，我们将LOB的中间价格Pmid定义为获得的清算价格：Pmidτcli=Ni，mmiNi，毫米iXk=1？Pk。（3） 2.4价格形成过程质量的衡量标准金融市场的主要作用之一是准确揭示基础资产的价格，保证市场参与者的公平交易价格。在我们的fr-amework中，这相当于结算价格接近有效价格。因此，比较差异持续时间的一个自然标准是，就拍卖持续时间而言，评估当日有效价格和结算价格之间的累积误差。为此，我们考虑以下时间加权二次误差：Zht=Nclt-1Xi=1i+1（Pτcli- Pclτcli）+（t- τclNclt）（PτclNclt- PclτclNclt），（4）其中ncltd表示时间t之前清算的拍卖数量。因此，对于每次拍卖，我们考虑清算价格和有效价格之间的二次偏差，并按等待新价格设定的时间对该偏差进行加权。注意，（4）可重写ZHT=Zt（Pcls-Ps）ds，其中processespcl和psa分别是时间s之前最后一次拍卖清算时间的清算和有效价格，即（Pcls，Ps）=（Pclτcli，Pτcli），其中i=sup{j≥ 1，s.tτclj≤ s} 。我们确定了拍卖持续时间h*几乎可以肯定的是，Zh是最佳的*对于任何h，它渐近小于zhts≥ 0、使用以下事实：（Pcls- Ps）s≥0是我们获得的再生过程，参见附录E，以下是我们渐近计算的重要结果。引理2.1。

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nandehutu2022

2022-6-24 02:28:23

以下趋同几乎可以肯定：limt→+∞Zhtt=E[（Pclτcl- Pτcl）]。根据引理2.1，持续时间h*如果它是函数E的一个极小值，则为最优值，给定byE（h）=E[（Pclτcl- Pτcl）]。我们还考虑了（3）中定义的中间价格的效率，用Emid表示：Emid（h）=e[（Pmidτop+h- Pτop+h）]。现在我们给出我们的主要定理。它为函数E提供了一个半显式表达式。其证明见附录a定理2.1。价格形成过程质量度量满足度：E（h）=Emid（h）+E[Iτcl]K（1- e-uhνν+u）-1eνhZ+∞hνe-νte-utZutsZseu- 1DUDSD t，Emid（h）由（1）给出- e-uhνν+u）-1eνhZ+∞hνe-νt（σft+σ）e-utZutes- 1sds+σft（1- e-ut）dt。（5）备注2.1。注意，我们可以通过使用所谓的E指数积分函数E:R来简化二重积分*+-→ R+定义为E（x）=R+∞xe公司-uudu。因此，我们得到E（h）=Emid（h）+E[Iτcl]K（1- e-uhνν+u）-1eνhZ+∞他-uu-1uν+uE（ν+u）u杜+哲-uu-1uνν+u日志（hu）e-（ν+u）h+E（（ν+u）h）杜邦,其中Emidis由（5）给出。我们从定理2.1中注意到，对于给定的h>0，E（h）>Emid（h）。这很直观：市场订单的存在会导致结算价格的额外偏差，而这些偏差不是由信息直接驱动的，而是由供需不平衡引起的。当然，当u=0时，我们得到E（h）=Emid（h）。我们还看到，价格形成过程质量更高，但规模更大。在这种情况下，大量流动性已经接近有效价格，从而导致更好的交易价格。最后请注意，当我们允许做市商取消订单时，可以得到与定理2.1中的表达式类似的表达式，见附录D。如果我们可以获得数量e【Iτop+h】，这取决于做市商的行为，定理2.1使我们能够计算函数e，从而通过最小化e来确定最佳行动持续时间。

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何人来此

2022-6-24 02:28:26

例如，我们可以考虑标准假设，即Na和Nb是独立的泊松过程，在拍卖过程中强度为ν/2（这与假设1一致）。在这种情况下，我们得到[Iτop+h]=v（νh+1），见附录B。因此，函数h→ 定理2.1的E（h）变得完全明确，我们可以从数值上获得最佳持续时间。我们参考第4节了解数值细节、经验结果和统计方法，以估计E（h）表达式中出现的参数。市场订单流量的泊松假设非常经典，计算简单，结果简单。然而，在拍卖环境中，市场订单起着关键作用，人们还应该考虑拍卖环境，调查战略性配售的可能性。我们将在下一节中处理这种情况。3战略性市场接受者在实践中，通过优化交易时间的算法发送市场订单。因此，在本节中，我们认为市场接受者的目标是通过调整他们的交易强度以适应市场状态来最小化他们的交易成本。我们将其正式化为买卖市场接受者之间的竞争游戏。我们证明了这个博弈是纳什均衡的。此外，当市场接受者遵循与该纳什均衡对应的策略时，我们可以计算e（h）表达式中出现的关键量e[Iτop+h]。请注意，考虑到做市商也在战略性地改变其行为，以应对拍卖持续时间的变化，这当然是有意思的，参见Budish et al.（2015）；杜、朱（2017）。然而，我们将此案例留作进一步研究，并从市场接受者的角度将重点放在拍卖市场的特定特征上。3.1市场接受者的交易成本我们对总购买群体（分别为。

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mingdashike22

2022-6-24 02:28:29

销售）市场接受者作为一个单独的参与者，称为a层（分别为b层）。在拍卖过程中，玩家a（分别为b）控制到达过程Na（分别为Nb）的强度λa（分别为λb），希望获得最低成本。在实践中，市场订单通常会在指定的时间间隔内执行大型元订单。因此，无论市场设计如何，市场接受者通常都需要在特定时期内购买或出售一定数量的商品。为了证明市场接受者的强度既不能太高也不能太低，我们假设λa和λbare由上下两个正常数λ+和λ-.买入者在t时的总交易成本，用Cat表示，满意度=NcltXi=1Ni，ai（Pclτcli-Pτcli）。根据Asmussen（2008）第六章的定理3.1以及市场是可再生的这一事实，我们得到了关于交易成本渐近行为的以下引理。引理3.1。我们有以下几乎可以肯定的收敛：limt→+∞Catt=E[钠τcl（Pclτcl-Pτcl）]ν1+νh。因此，从长远来看，购买市场参与者的平均交易成本是e[Naτcl（Pclτcl）的倍数- Pτcl）]=vKE【Nmmi] E【Naτcl（Naτcl- Nbτcl）]。现在写入Naτcl=Naτop+h- Naτop+Naτopand使用Naτopis等于一或零的事实，解决参与者a的问题等价于能够最小化[Nah（Nah- Nbh）]当（Na，Nb）=（1，0）和当（Na，Nb）=（0，1）时。因此，f或任何（α，β）∈ N、我们考虑了玩家a最小化的更一般的问题[Nah（Nah- Nbh）|（Na，Nb）=（α，β）]。同样，玩家b最小化E[Nbh（Nbh- Nah）|（Na，Nb）=（α，β）]。每个玩家的目标是获得自己的交易强度，从而使自己的交易成本尽可能小。请注意，在我们的设置中，假设1意味着市场接受者在每次拍卖开始时重置其策略。

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大多数88

2022-6-24 02:28:32

我们本可以考虑这样一种情况，即市场接受者整天都在优化他们的行为。然而，由于我们对静态环境下拍卖持续时间的影响感兴趣，我们的框架仍然合理。3.2纳什均衡我们现在给出了在这场相互竞争的市场参与者博弈中存在纳什均衡的结果。我们认为市场接受者控制他们的交易强度。可容许控制集用U表示，定义为F集- 具有[λ]值的可预测过程-, λ+]对于固定的0<λ-≤ λ+. 任意一对策略（λa，λb）∈ Uof Player a和b导致一个概率度量Pλa，λb如thatNa·-Z·λasds和Nb·-在Pλa，λb下的Z·∧bsdsare鞅。为了最小化其代价，玩家a求解λa∈UVa，α，βh（λa，λb），（6）与Va，α，βh（λa，λb）=EPλa，λb[Nah（Nah- Nbh）|（Na，Nb）=（α，β）]，对于由卖方市场接受者参与者b确定的λb，参与者b对称求解λb∈UVb，α，βh（λa，λb），（7）与Vb，α，βh（λa，λb）=EPλa，λb[Nbh（Nbh- Nah）|（Na，Nb）=（α，β）]对于买方市场接受者a的固定λachosen。如果两个优化问题（6）和（7）可以同时解决，则获得纳什均衡。请注意，对于市场接受者可观察到的信息，该框架是现实的。Indeed我们只假设市场接受者观察到市场订单不平衡。例如，该信息可在泛欧交易所开盘和收盘拍卖平台以及BATS Cboe拍卖市场上获得。我们证明了该博弈确实存在一个（不一定唯一的）纳什均衡，并具有相应的最优控制（λa、 λb）。更准确地说，使用这些符号，我们得到以下结果。定理3.1。

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nandehutu2022

2022-6-24 02:28:35

由一些马尔可夫控制（λ）给出的同时优化问题（6）-（7）存在一个纳什均衡a、 λb）满足infλa∈UVa，α，βh（λa，λb） =EPλa、 λb[不适用（不适用- Nbh）|（Na，Nb）=（α，β）]和infλb∈UVb，α，βh（λa、 λb）=EPλa、 λb[Nbh（Nbh- Nah）|（Na，Nb）=（α，β）]。附录C提供了定理3.1的证明。与优化问题相关的HJB方程在某种程度上退化了。这使我们无法使用经典参数来获得解决方案。为了给出关于它的直觉，我们在这里给出了一个简短的证明草图。步骤0。我们首先考虑与我们的问题相关的HJ B方程的光滑版本。因此，定理3.1的证明归结为HJB方程（光滑）系统解的存在性和收敛性（见定理C.1）。第1步。我们考虑与光滑HJB方程相关的反向随机微分方程（简称BSDE）。然后，纳什均衡的存在性与此（Lipschitz）BSDE的解的存在性有关。必须从（Carmona和Delarue，2018，定义2.10）步骤2的意义上理解马尔可夫控制的概念。我们证明了BSDE序列在适当的空间中收敛于一个生成BSDE的解。第3步。我们的结论是，我们在极限处得到的解对应于市场接受者之间竞争的纳什均衡。注意，我们没有得到纳什均衡的唯一性，只有存在性。由于与此问题相关的BSDE生成器具有不连续性，因此几乎不可能通过经典方法找到唯一性结果。

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何人来此

2022-6-24 02:28:38

此外，即使使用的方法给出了极限纳什均衡的唯一性，该极限也将强烈依赖于平滑过程。定理3.1的证明还提供了一种近似Va，1,0h（λ）的数值方法a、 λb） andVb，1,0h（λa、 λb）使用一些积分微分方程的解，见附录C.3。这一点尤为重要，因为它使我们能够计算出当市场接受者处于纳什均衡时的最佳拍卖持续时间。这是因为定理2.1的作用E显式依赖于va，1,0h（λa、 λb）和Vb，1,0h（λa、 λb），如以下推论所述。推论3.1。在纳什均衡下（λa、 λb），我们有[Iτop+h]=Va，1,0h（λa、 λb） +Vb，1,0h（λa、 λb）。4一些欧洲股票的最佳拍卖持续时间我们在这里给出了在应用我们的方法推导最佳拍卖持续时间时在实际数据上获得的结果。我们考虑了非战略和战略市场接受者的两种情况，并与CLOB案例进行了比较。4.1数据描述2018年9月所有交易日，我们可以访问Euronextexchange上交易的77支流动性最强的股票的日内市场数据。对于每只股票，每笔交易都会报告以下信息：o交易时间戳。o交易量。o执行价格。o交易前的最佳出价和要价。o交易前的最佳出价和最佳询问量。为了去除一些异常值，我们在研究中丢弃了与1%的上分位数和下分位数有关的交易量。4.2模型参数校准市场数据为CLOB数据，而非拍卖数据。

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kedemingshi

2022-6-24 02:28:41

尽管如此，我们仍然能够校准模型的参数，如下所示。4.2.1市场接受者参数市场接受者的行为以三个参数为特征：o他们在两次拍卖之间到达的强度ν。o市场订单量v.o其交易强度的上限和下限λ-和λ+。CLOB对应于拍卖持续零秒的情况。接下来，在我们的研究中，CLOB市场中的市场订单流由强度为ν的两个泊松过程Na和Nb给出。因此，我们通过每天的平均市场订单数除以交易日的持续时间来估算ν，并通过平均市场订单量来估算v。最后我们设置λ+=2ν和dλ-= ν/4.这种选择似乎是合理的，因为无论市场设计如何，市场订单流量都应该具有类似的大小顺序，以便代理商能够完成其元订单的执行。4.2.2做市商参数和价格波动性校准做市商的行为以三个参数为特征：ogi的方差σi≥0、我们假设σ等于我们根据Dayri和Rosenbaum（2015）的不确定性区域模型估计的资产的隐含价差做市商到达的强度微乎其微其供给函数K的斜率。设α为资产的刻度值。根据我们的模型，在CLOB情况下，当市场接受者到达时，LOB第一个限额内的平均可用容量，用e表示，满足=Kαe【Nmmτop】=Kαν+uν，第一个限额的平均平方容量，用表示，满足=Kαe[（Nmmτop）]=Kαν+ν（1+2νu）。这些结果是假设2和一些计算的直接结果。consequentlywe haveK=（2e-e）α-1和u=ν（eαK- 1).因此，我们可以通过e和的经验测量来估计u和K。

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nandehutu2022

2022-6-24 02:28:45

最后，我们根据基于五分钟抽样的交易价格实际波动率来估计有效价格的波动率σ。4.3数值结果利用我们的方法，我们在表1和表2中提供了泛欧交易所77只股票的最佳拍卖持续时间。我们给出了当假定市场接受者的泊松到达时，以及当考虑优化其交易成本时，导致纳什均衡的结果（这种情况下的数值方面见附录C.3）。第一列是股票名称。在泊松（分别为纳什）情况下，第二列（分别为第四列）是以秒为单位的最佳持续时间。第三个（分别为第四个）是最优持续情况和CLOB情况之间价格形成过程质量的相对差异：（E（0）- E（h*))/E（h*). 在“最佳持续时间”列中，我们提供了90%置信区间的估计最佳持续时间（相对于参数ν的估计值）。最佳持续时间范围基本上在0到10分钟之间，我们的结果对参数ν非常稳健。对于泊松市场接受者的最优拍卖持续时间为正的所有资产，纳什情况下的最优持续时间较小。一些资产的结构在泊松情形下是最优的。然而，在考虑纳什情况时，CLOB总是次优的。我们还指出，没有任何前瞻性结构解释（部门、资本化等）似乎可以解释资产之间最佳持续时间的差异。这些结果的微观结构基础有待进一步研究。如第3节所述，我们将做市商的交易强度限制在[λ]范围内-, λ+].根据数值实验，通过测试多个控制范围[λ-, λ+]，我们观察到最佳持续时间对这些参数非常稳健。

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大多数88

2022-6-24 02:28:48

我们仍然注意到以下敏感性：如果我们允许较小的λ-不修改λ+，最优拍卖持续时间变大。这是因为λ很小-这意味着，当市场形势不好时，市场接受者可以发送更少的市场订单。这意味着E[Iτop+h]随h的增加而缓慢增加。这将E的最小值移动到更高的水平。对于对称原因，如果我们提高λ+而不改变λ-, 最佳拍卖持续时间变短。我们注意到，在泊松情况下，CLOB有时是最优的。否则，h=0和h=h的度量值的差异*通常不是很大。因此，即使ghCLOB市场通常是次优的，它们通常也会导致相当令人满意的市场微观结构。在BATS Cboe上，拍卖持续时间约为100ms，这与我们发现的典型最佳拍卖持续时间相比非常小。此外，根据Besson et al.（2019）的经验研究，基本上每个行动只涉及一个市场秩序。

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