具有一般均值回复的大型投资组合的随机偏微分方程

2022-6-24 04:32:23

具有一般均值回复波动率过程的大型投资组合的随机偏微分方程Ben Hambly*和Nikolaos Kolliopoulos+牛津大学数学研究所，卡内基梅隆大学数学科学系，2021年10月6日摘要本文考虑一个大型投资组合损失的结构随机波动率模型。资产价值和波动过程都通过系统布朗运动进行关联，第二个过程是从一类一般平均波动差异中选取的。我们证明，我们的系统随着投资组合变大而收敛，并且当vol-of-vol函数满足一定的正则性和有界性条件时，经验测度过程的极限具有密度，这是根据半空间上随机初边值问题的解给出的。该问题定义在一个特殊的加权Sobolev空间中。对该问题的解给出了一个很好的正则性结果，并证明了存在唯一解。与现有文献中涵盖的CIR波动率设置相反，即使系统布朗运动被校正，我们的结果仍然成立。1简介大型信贷组合建模中的一个关键数量是损失过程，即违约资产的比例随时间的变化。这是信用指数[5，27]和许多资产支持证券[1]以及系统性风险模型[23，15]定价所需的关键要素。在许多情况下，信贷组合使用结构模型，其中资产的价值被建模为粒子位置，以实现相关SDE系统，当资产价值达到较低边界时，资产将违约。资产价值由其自身的特殊噪音和模拟宏观经济对整个系统影响的常见系统噪音驱动。

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2022-6-24 04:32:26

通过考虑经验测量，可以捕捉w孔组合的演变，尤其是损失过程的演变。当资产数量趋于完整时，取其极限值，对特殊噪声进行平均，并用半空间中系统噪声驱动的SPDE来描述经验测度的渐近行为。使用SPDE而不是有限的投资组合经验度量可以更好地理解模型，也可以降低计算成本*牛津大学数学研究所，电子邮件：hambly@maths.ox.ac.uk+卡内基梅隆大学数学科学系，电子邮件：nkolliop@andrew.cmu.edu（通讯作者）不需要模拟特殊的布朗路径。对大型投资组合中的信用风险进行建模的其他方法也可以对相互作用的粒子系统进行渐近分析，包括使用简化的f型模型，其中每个粒子的位置描述了资产的违约强度【8、9、30】。本文研究了一类具有随机波动性的结构性信贷投资组合模型，对于这类模型，可以通过求解相应的极限值来估计大型投资组合限额中损失过程的值，即资产数量趋于一致的限额。文献[5]研究了大型信贷组合的单一常数波动率结构模型，并将文献[13]中的d推广到任意两种资产价值的相关性取决于总损失的情况。[11]中引入了这种包含随机波动性的模型，其中波动性被建模为循环过程。

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2022-6-24 04:32:29

然而，在这项工作中，在最近的勘误表[12]中进行了一些重大更正之后，即使我们能够证明满足半空间SPDE的经验测度极限的可积密度的存在，也无法建立Sobolev正则性和一些边界条件，除非我们将驱动值过程和波动率的系统噪声视为不相关，这不是一个非常现实的假设。此外，即使有一些加权Sobolev正则性和在边界处消失的条件，我们也无法证明SP DE解的唯一性。在本文中，我们将这一工作适用于不同类别的随机波动率模型，其中包含了广泛使用的Ornstein-Uhlenbeck模型以及其他可能感兴趣的模型，并导致了一个适定的随机初边值问题，无需施加任何非现实条件。最后一个对于成功实现这类模型很重要，而需要使用的加权Sobolev空间中的分析从数学角度来看是新颖而有趣的。在随机波动率结构大型投资组合模型的最一般形式中，我们有N个信贷风险as集合，其中第i个as集合的值过程Ai满足SDEsdAit=Aituidt+Aith系统σit第一季度- ρ1，idWit+ρ1，idWt, 0≤ t型≤ Tidσit=ki（θi- σit）dt+ξiqσit第一季度-ρ2，idBit+ρ2，idBt, t型≥ 0Ait=bi，t>Ti（Ai，σi）=（Ai，σi），（1.1）对于所有i∈ {1, 2, . . .

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2022-6-24 04:32:32

，N}，其中Ti：=inf{t≥ 0:Ait=bi}建模i-thasset的默认时间，a，a。。。，aNandσ，σ。。。，σn分别是资产价值的初始值和波动率，bi≤ Ai是第i项资产价值的默认屏障，Ci=（ki，θi，ξi，ri，ρ1，i，ρ2，i）是第i项资产价值过程各种参数的向量，h和q是具有足够规律性的函数，Wt，Bt。。。，WNt，bntarestard标准布朗运动。显然，wt和bt用于捕获systemicrisk，而witandbitfor i≥ 1表示由于某些特质，第i项资产价值的随机变动。我们假设bi、（ai，σi）和Ciare不依赖于每个i的一些适当分布，布朗运动独立于每个ai，σi和Ci，在布朗运动中，只有wt和bt允许具有非零相关性。接下来，我们考虑相应的对数标度粒子系统，它是通过设置Xit获得的=在Ait中- ln bi公司在（1.1）中，并使用伊藤公式推导出以下等效的SDEsdXit系统=国际扶轮社-h（σit）dt+h（σit）第一季度-ρ1，idWit+ρ1，idWt, 0≤ t型≤ Tidσit=ki（θi- σit）dt+ξiq1-ρ2，iqσitdBit+ξiρ2，iqσitdBt，t≥ 0Xit=0，t>Ti（Xi，σi）=（Xi，σi），（1.2）表示i∈ {1，2，…，N}，其中xi=ln人工智能- ln bi公司≥ 0和Ti=inf{t≥ 0：Xit=0}1.≤ 我≤ N、流程XI通常被认为是i-thasset违约的距离。我们将研究大型投资组合限额（即限额为N-→ ∞) 对上述相互作用粒子系统的经验测量。为此，我们考虑Vnt=NNXi=1δXit，σit，（1.3）给出的经验测量过程及其对（0，∞) x R由vn1给出，t=NNXi=1δXit，σitI{Ti>t}，（1.4）表示t≥ 0

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2022-6-24 04:32:36

VNTI的总质量始终等于1，而VN2的总质量，t：=vNt- vN1是我们投资组合的损失过程，其价值在[0，1]中。我们将看到【11】中针对CIR波动率的收敛结果（其中q（z））=√z）一般情况下也适用。也就是说，对于包含在由初始数据生成的σ-代数中的一些σ-代数G，我们有两个-→ vt=PXt，σt∈ ·|W·，B·，GandvN1，t-→ v1，t=PXt，σt∈ ·, T> T | W·，B·，G弱为N-→ ∞, 对于所有t≥ 0，P-几乎可以肯定。然后我们可以再次写下v1，t=Evt，C（·）| W·，B·，G其中我们定义vt，C（·，）：=PXt，σt∈ ·, T> T | W·、B·、C、G. 现在给定系数向量C的值，如果测量值过程vt，C（·，）有密度ut，C，它将满足S PDEut，C（x，y）=u（x，y）-Zt公司r-h（y）（美国，C（x，y））xds-Ztk（θ- y）（us，C（x，y））yds+Zth（y）（us，C（x，y））xxds+ξZtq（y）us，C（x，y）y yds+ξρρ1,1ρ2,1Zt（h（y）q（y）us，C（x，y））xyds-ρ1,1Zth（y）（us，C（x，y））xdWs-ξρ2,1Zt（q（y）ut，C（x，y））ydBs，（1.5）在R+×R中的一些弱意义上，其中uis是初始密度，ρ：=rdwsdbs是wt和Bt之间的相关系数。如[11]中所述，目的是推导x轴上的一些边界条件=0，因此我们可以求解系数向量C的随机样本{C，C，…，cn}的上半空间spd，然后从limn近似损失过程→∞vNt（{0}×R）=1- 画→∞vN1，t（R）=1-EZ∞ZRut，C（x，y）dxdy，| W·，B·，G≈ 1.-nnXi=1Z∞ZRut，ci（x，y）dxdy。（1.6）可用于定价CDO份额，其收益是该损失过程的分段线性函数，也可用于计算建模为大型投资组合的大型市场中的特定风险度量。当然，必须估计每个CI的分布参数，当CI可以取不同的值时，（1.6）中的n必须足够大才能给出准确的近似值。

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2022-6-24 04:32:39

校准我们模型的一种自然方法是，假设ci等于所有i的相同确定性向量C∈ N、数值求解初始边值问题，从LIMN估计损失过程→∞vNt（{0}×R）=1- 画→∞vN1，t（R）=1-Z∞ZRut，C（x，y）dxDy对于许多不同的C值，并最终最小化CDO档的模型和市场价格之间的最小二乘距离，以确定p参数向量C的最佳t值。显然，经验弱极限v1，tin这一确定性系数设置将与测量值过程vt，cwho density ut，cSatifis我们的SPD一致，如[5]。因此，【10】中针对【5】中研究的模型使用的多级蒙特卡罗方法，如果适当扩展，也可以用于我们的模型，以加速CDO份额价格的近似。显然，x=0时的不同边界条件导致（1.5）的不同解，因此，为了从该SPDE恢复密度ut，C，我们需要确定eits边界行为。发现[5]中推导的恒定波动率结构模型的经验测度极限密度在x=0时消失，因此，我们预计在随机波动率设置中也是如此。这使得所有t>0和y的ut，C（0，y）=0∈ R是随机初始边值问题边界条件的自然候选，如果没有该条件，我们的SPDE（1.5）仅在非常弱的意义上满足，其中导数定义为φ（0）=φ′（0）=0的测试函数空间上的分布。在[11，12]中，对于CIR波动率情况以及一些加权Sobolev正则性，得出了这种预期的边界行为，但只有当ρ=0时，才能建立这两个结果。

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2022-6-24 04:32:42

最后一个是不现实的假设，因为即使在用于简单期权定价的经典赫斯顿模型中，驱动单一资产价格的噪音及其波动性通常被视为是相关的，见【7】。此外，即使ρ=0成立，在[11，12]中导出的随机初始边值问题的解的唯一性仍然是一个悬而未决的问题，这对于模型的数值实现是一个潜在的问题。在CIR波动率的情况下，条件ρ=0是因为ut的正则性和边界行为都是从[5]中获得的恒定波动率设置的一维密度转移而来的。这是通过调节波动率路径并用离散路径近似实现的，但是，除非调节B不影响W的分布，否则很难推导出波动率密度的确定界限，也就是说，除非两个系统噪声不相关。即使ρ=0成立，半空间SPDE解决方案的有效性仍存在挑战，这是因为无粘结SPDE系数具有不同的增长率。

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2022-6-24 04:32:45

在本文中，我们证明了当vol-of-vol（volatility of thevolatility）函数q与快速衰减的导数充分绑定时，上述问题就得到了解决。这项工作为具有随机波动性的结构性大型信贷组合模型的现有文献增添了重要内容，因为它是识别平均反向随机波动率模型的第一步，在这种情况下，该模型的表现明显优于anthe CIR模型，尽管我们考虑的模型对其噪声项施加了一些相当严格的条件，但它们包括与CIR波动率模型一样流行的Ornstein-Uhlenbeckvolatility模型（q为常数函数的情况）。此外，我们的结果可能适用于一类CIR模型的有效近似，例如，q等于（0+∞). 在这种情况下，处理每个随机波动率模型下产生的问题的不同方法是快速均值回复波动率渐近分析，这是[14]的主题。从数学角度来看，我们得到的结果也很有趣。对于[11，12]中处理的CIR波动率情况，仅通过对本文所考虑的函数q进行一些证明，就得到了经验测度的收敛结果以及满足随机初始边界问题的正则密度的存在性（第2，3，4和5节）。然而，为了应对相关噪声，我们需要在第4节中解释为什么当波动率过程{σt}t时，[11]中的定理4.1也成立∈[0，T]取决于驱动组合资产价值的系统噪音。

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2022-6-24 04:32:49

此外，我们的随机初边值问题具有有趣的性质，即为了建立更高的正则性和解的唯一性，我们需要精确地施加正则性和加权可积性条件，这些条件可以为经验测度极限的密度建立。最后，也是最重要的一点，问题解的唯一性是一个重要结果，不仅对于前面提到的模型的数值实现，而且对于具体的数学进步。实际上，关于有边界条件的半空间中的SPDE的现有工作（例如[19]）没有考虑具有无界系数的等式，如k（θ- y）（1.5）中的项，而问题的性质迫使我们在具有特殊特征的加权Sobolev空间的区间中工作。特别是，由于在x=0时，g中的光消失，我们用于x中一阶导数的Lnorm比标准Lnorm弱，需要使用标准跟踪操作符来定义边界条件。建立唯一性结果的一个关键因素是概率度量的变化，它消除了一个我们无法控制的项。本文的结构如下：首先，在第2节中，我们讨论了经验测度的不对称行为。接下来，在第3节中，我们陈述了在给定系统噪声B的情况下，波动率密度存在的结果，其中还包括该密度所需边界的存在。在第4节中，我们解释了对[11]定理4.1的改进，然后推导出满足SPDE和边界条件的全二维密度。

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2022-6-24 04:32:52

第5节致力于获得随机初边值问题的高正则f或s解以及一些相关引理，第6节我们建立了解的关键唯一性。最后，我们有一个附录，其中我们证明了第2节和第3节的结果以及第5节的引理，因为本文的主要贡献主要体现在第4节，它说明了在这种情况下如何处理相关系统噪声的情况，在第5节的主要结果的顶部，第4节的结果显然正是我们所需要的，在包含唯一性结果的第6节中。2经验测量过程的收敛性和限制SPD为了说明我们的收敛结果，我们需要首先更详细地描述我们的设置。让(Ohm, F、 {Ft}t≥0，P）是一个完整的分级概率s空间，可分解为三个独立概率空间的乘积，表示三个不同的随机性源，如下所示(Ohm, F、 {Ft}t≥0，P）=(Ohm× Ohm× OhmC、 F级 F FC，{Ft 英尺 FC}t≥0，P×P×PC），（2.1），其中s标准布朗运动在完全过滤概率空间上定义(Ohm, F、 {Ft}t≥0，P），适用于过滤{Ft}t≥0，与dWt·dBt=ρdt相关，而{（W，B），（W，B），…}是在完全过滤概率空间上定义的成对独立标准布朗运动的有限序列(Ohm, F、 {Ft}t≥0，P），并适应过滤{Ft}t≥0，最后Ci=（ki，θi，ξi，ri，ρ1，i，ρ2，i）表示i∈ N是定义在完全概率空间上的i.i.d 6维随机向量(OhmC、 FC，PC），这样PC-几乎可以肯定我们有ρ1，i，ρ2，i∈ (-1, 1), 我∈ N、假设所有过滤都是完全连续的。

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2022-6-24 04:32:55

接下来，我们假设x、 σ,x、 σ, ...是二维随机向量的可交换有限序列，可测量σ-代数F=F F FC。交换性条件意味着F中存在一个σ-代数G，这使得上述二维arei。i、 d给定G（例如，见[2]），在不丧失一般性的情况下，我们可以假设G=G{, Ohm}{, OhmC} ，对于一些G F、最后一点很清楚Ohm使r和dom向量相对于F是可测量的{, Ohm} {, Ohm},但考虑到ing对Ohm×Ohm如果我们决定在t>0时重新启动系统，那么将它们定义为与较大σ-代数相关的二维随机变量可以提供一定的一致性。在上述假设下，对于每个N∈ N、我们考虑由方程（1.2）描述的相互作用粒子系统以及相应的经验测量过程和vN，它们分别由方程（1.3）和（1.4）定义。我们还通过vN2定义了流程vNt：=vNt-vN1，t，对所有t的vNtto{0}×R的限制≥ 0、【11】中还对CIR波动率情况定义了这些量，并且不难检查【11】第2节中的所有收敛定理证明是否不依赖于波动率过程满足的形式，只要这些过程是连续的，SDE的强解。此外，σ-代数G There扮演着σ-代数Ghere的角色，它可以分解为G=G{, Ohm}{, OhmC} 。因此，工作给定与工作给定相同，在一般随机波动率设置下，我们可以得到[11]第2节的收敛结果，如下：定理2.1。

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mingdashike22

2022-6-24 04:32:58

对于每个N∈ N和任意t，s≥ 0，考虑vn3，t，s=NNXi=1δXit，σit，σis给出的随机测度。对于所有t，s，序列vN3，t，sof三维经验测度弱收敛到某个测度v3，t，sfo≥ 0，P-几乎可以肯定。此外，测度值过程{v3，t，s:t，s≥ 在弱拓扑下，0}在t和s上几乎肯定是P-连续的。推论2.2。（1.3）给出的二维经验测度序列vNtof弱收敛于所有t的某个测度Vttof≥ 0，P-几乎可以肯定。此外，路径{vt:t≥ 在弱拓扑下，0}是P-几乎肯定连续的。测量值过程vt是v3，t，对第三个变量中的函数空间的限制，对于任何t≥ 0、定理2.3。存在一个Ohm′ Ohm 带P(Ohm′) = 1使得对于任何ω∈ Ohm′, 我们有RRFDv3，t，s=EfXt，σt，σs|W、，B.，G对于任何t，s≥ 0和任意f∈ Cb（R；R）。推论2.4。设{vt:t≥ 0}是推论2.2中定义的度量值过程。存在一个Ohm′ Ohm 带P(Ohm′) = 1使得对于任何ω∈ Ohm′, 我们有RRFDVT=EfXt，σt|W、，B.，G对于任何t≥ 0和任何f∈ Cb公司RR.定理2.5。存在一个度量值过程{v2，t:t≥ 0}和Ohm′′ Ohm′withP公司(Ohm′′) = 1，对于任何ω∈ Ohm′′我们有vN2，tN-→+∞------→ v2，适用于所有t≥ 此外，我们有RRFDv2，t=EfXt，σtI{T<T}| W.，B.，G对于所有t≥ 0和所有f∈ Cb公司RR.根据推论2.2和定理2.5，我们得到弱收敛vN1，t=vNt-vN2，t-→及物动词- v2，t=：v1，t，适用于所有t≥ 0，P-几乎可以肯定。此外，根据推论2.4和定理2.5，我们可以写出tzrfdv1，t=EfXt，σtI{T>T}| W·，B·，G= EEfXt，σtI{T>T}| W·，B·，C，G|W·，B·，G,对于任何f∈ Cb公司RR和t≥ 0，P-几乎可以肯定。

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2022-6-24 04:33:01

还要注意，条件期望W·，B·，G在组件概率空间上定义(Ohm, F、 {Ft}t≥0，P），而条件期望W·，B·，C，G确定产品空间(Ohm, F、 {Ft}t≥0，P）×(OhmC、 FC、PC）。因此，下一步是研究vt，C（·）定义为vt，C（·）=P的测量过程Xt，σt∈ ·, T> T | W·、B·、C、G,论产品空间(Ohm, F、 {Ft}t≥0，P）×(OhmC、 FC、PC）。然而，通过定义ωC∈OhmC=C时研究vt，C（·）ωC, 我们将这个问题简化为所有系数向量都等于确定性向量C=（k，θ，ξ，r，ρ，ρ）的情况。这个度量值过程的行为，我们用vt（·）（隐式抑制）表示，在下面的定理中给出，其证明遵循与[11]和d中定理2.6的证明完全相同的步骤，可以在附录中找到。定理2.6。设A为映射任意光滑函数f的二维微分算子：R+×R→ R toAf（x，y）=r-h（y）fx（x，y）+k（θ- y） fy（x，y）+h（y）fxx（x，y）+ξq（y）fy（x，y）+ξρρh（y）q（y）fxy（x，y）（对于所有（x，y）∈ R+×R。然后，定义了测度值随机过程vt（·）(Ohm, F、 {Ft}t≥0，P）满足以下弱形式SPDEZRf（x，y）dvt（x，y）=ZRf（x，y）dv（x，y）+ZtZRAf（x，y）dvs（x，y）ds+ρzrh（y）fx（x，y）dvs（x，y）dWs+ρξZtZRq（y）fy（x，y）dvs（x，y）dBs，对于所有t≥ 0和任意f∈ Ctest测试=g级∈ Cb（R+×R）：g（0，y）=0，y∈ R.3【11】中的挥发度分析，在展示了经验测量过程对SPDE概率解的收敛性之后，我们通过遵循类似方法，证明了该解存在正则密度。

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2022-6-24 04:33:04

因此，我们的第一步是证明，对于溶液的挥发性成分，几乎可以肯定存在一个规则密度P，即一维分布值过程，其在时间t的值映射任何合适的函数f:R-→ Rto Ef（σt）| B·，G, 其中σ是由B·和B·共同驱动的一般均值回复波动过程，即满足dσt=k（θ）的过程- σt）dt+ξq（σt）q1-ρdBt+ξq（σt）ρdBt，t≥ 0（3.1），对于某些合适的函数q，σ是F×F-可测的。关于q的假设如下：假设3.1。函数q b延伸到空间C（R），位于上方，严格远离0，并已绑定到O|x个|（因为参数x趋于±∞) 三阶导数。重新标记3.2。满足假设3.1的函数类q显然包含与正常数相同的所有函数，这使得该定理适用于Ornstein-Uhlenbeck波动率设置。然而，它实际上是一个更大的类，它包含所有的正C函数，其行为几乎像大x的正常数。我们也可以在（0+∞), 这可以用来获得CIR模型的有效近似值，我们无法获得[11，12]中的每个od结果。如果我们假设ρ∈ (-下一个定理定理3.3给出了我们问题的答案。假设q满足假设3.1，σ是Lp中的随机变量Ohm, F、 P对于所有p≥ 那么P-几乎可以肯定，条件概率测度P（σt∈ A | B·，G），A R具有连续密度pt（y | B·，G），y∈ R表示所有t>0。

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2022-6-24 04:33:07

此外，对于任何T>0，如果我们定义（T）：=ess supy∈R、 ω∈Ohmpt（y | B·，G）ω,和alsoMαB·，G（t）：=supy∈R|y |αpt（y | B·，G）,对于所有0≤ t型≤ T和任意α≥ 0，我们都有M∈ L（[0，T]）和MαB·，G∈有限合伙人Ohm×【0，T】对于任何1≤ p＜2。注意，对于每个t，M（t）是给定密度B的一个确定界限，这是我们在[11，12]中获得的波动率密度界限所没有的，正如我们已经提到的，这将在获得所需结果中起决定性作用。上述定理的基础是一些涉及Malliavin可微性概念的结果，可在附录中找到。关于Malliavin演算的基础知识，我们参考文献[24]，关于应用于条件概率测度的partialMalliavin演算的扩展，我们参考文献[25]。在本节中，我们在条件概率测度e P（·| B·，G）下工作，这意味着部分Malliavin演算是证明我们结果的自然工具。然而，不难看出，在我们的设置中，我们几乎可以确定P-xω∈ Ohm, 和工作底架（σt∈ ·|B·，G）=P（{ω∈ Ohm: σt（ω，ω）∈ ·}) 对于给定的ω，其中可以对布朗运动B·使用普通Malliavin演算。

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2022-6-24 04:33:10

对于B·的任何连续路径，不难检查相对于B·的Malliavin导数是否与[25]意义上的部分Malliavin导数一致，而随机子空间K（ω）是由Br的Malliavin导数生成的空间的正交补B·，B·, 对于r∈ Q+。4二维密度和初始边值问题我们现在开始证明满足定理2.6中给出的SPDE的全二维分布值过程VT存在正则密度。首先，给定一个希尔伯特空间H，我们用L表示Ohm, F、 P×[0，T]；H概率空间中定义的H值随机过程空间Ohm, F、 P它是可积的，适用于二维布朗运动（W·，B·）。我们将使用[11]中的定理4.1和[12]中的引理E2.2，我们将在函数空间SLα=L中工作Ohm, F、 P×[0，T]；L | y |αR+×R对于α≥ 0和H=LOhm, F、 P×[0，T]；H0，w（x）R+×L（R）,对于w（x）=min{1，√x} [12]中也对其进行了定义。正如在该pap中一样，Lg（y）表示权重函数为{g（y）：y的加权Lspace∈ R} ，H0，g（x）（R+）表示权函数为{g（x）：x的加权H（R+）空间≥ 0}在Lnormof弱导数中，任何属于Hspace的函数u′也将满足limx→0+u′（·，x，·）L(Ohm×【0，T】×R）=0。最后一个是我们的随机初边值问题中的边界条件，因为w（·）在零附近爆炸，不允许通过跟踪算子定义该条件。此外，由于[12]中的基本结果是在ρ=0的条件下建立的，因此当波动路径依赖于ww时，具有[11]中的定理4.1也不那么重要。然而，既然允许关联Wand Bare，就需要这个扩展。这在以下定理定理4.1中给出。

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2022-6-24 04:33:13

设{Xt:t≥ 0}满足停止的SDEdXt公司=r-σtdt公司+√σtp1-ρdWt+√σtρdWt，0≤ t型≤ τ、 Xt=0，t≥ τ、（4.1）对于τ=inf{t≥ 0：Xt=0}，在初始条件X=X下，其中xis是一个连续的随机变量，密度u=u（·| G）给定G σ（x）、W·和W·是成对独立的标准布朗运动，也与x、r＞0和ρ无关∈ (-1，1）是给定的常数，和{σt}t≥0是一个适应FW的进程，具有连续的路径和紧致子区间（0+∞). 设{Vt:t≥ 0}是给定b yVt（A）=P的度量值过程Xt公司∈ A、 τ≥ t | W·，G对于任何B orel se t A (0, ∞). 那么几乎可以肯定的是，对于所有T>0的情况，以下是正确的：；1、VT具有密度u（t，·）=ut、 ·；W·，G对于所有0≤ t型≤ T，这是SPDEdu（T，x）=-r-σtux（t，x）dt+σtuxx（t，x）dt-√σtρux（t，x）dWt（4.2）in LOhm, F、 P×[0，T]；H（R+）在初始条件u（0，·）=u下，其中Ui是给定G.2的x的密度。对于所有0≤ t型≤ T，以下标识保持SKU（T，·）kL（R+）+1.-ρZtσskux（s，·）kL（R+）ds=kukL（R+）。（4.3）证明（大纲）。我们将描述证明定理4.1所需的修改，以获得上述扩展。首先，我们需要从那篇论文中得到相应的引申，因为它是证明定理4.1的主要工具。这在以下lemmaLemma 4.2中给出。设W为概率空间中定义的布朗运动Ohm, 和{σt:0≤ t型≤ T}是一个正的、连续的、W适应的过程，它由一个逐点递减序列{{σmt:0}来近似≤ t型≤ T}}}m∈Nof W-自适应andL(Ohm ×[0，T]）-可积过程，每T收敛∈ [0，T]波钦L(Ohm) 对于某些全概率事件中的每个结果（与t无关）。

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mingdashike22

2022-6-24 04:33:16

Forany m公司∈ N∪ {0}，用Xm表示。停止的Ito进程由dXmt=r-σmtdt+pσmtdWt，0≤ t型≤ τm，Xmt=0，t>τm，（4.4），其中τm=inf{t≥ 0:Xmt=0}，W·是标准布朗运动，初始条件为xm=maxnx- lm，xo，用于x≥ 0和lm=pσm。-pσ。L(Ohm×【0，T】）1/2次，对于序列{mk:k∈ N} N、我们几乎可以肯定：Xmkt→ Xtuniformlyin[0，T]。上述证明与文献[11]中引理4.2的证明是相同的，因为在这里给出的扩展中进行了修改之后，所有的论证仍然有效。现在，在[11]中定理4.1的实际证明中，我们需要修改步骤1、2和3。对于步骤1，没有什么可做的，因为W适应常数过程总是确定性的。对于步骤2，我们只需要用一系列最终等于T的Wstopping时间来替换有限的d永恒时间集。然后，我们只需在（有限）归纳的每个步骤中使用强马尔可夫性质。最后，对于步骤3，我们不需要更改任何参数（即使勘误表[12]中的澄清仍然有效），但我们需要记住m=min0≤s≤T{σs}≥ c以导出unkinL的弱收敛性Ohm ×[0，T]；H（R+）, 在应用引理4.2之前，我们还需要证明近似序列的存在性。最后，我们需要一个逐点递减序列{{σmt}t∈[0，T]}m∈Nof p iecewise常数，W-自适应andL(Ohm ×[0，T]）-可积过程，可构造如下：∈N+我们定义tm=0和th entmk+1=inf{t>tmk：σtmk+m=σt}∧tmk+m∧ t对于任何k∈ N={0，1，2，…}，我们几乎可以肯定的是，对于较大的k，我们有tmk=T，否则，递增（在k中）序列tmk会有一个极限T≤ T，取σtmk+m=σtk+1k中的限值，则称为σОT=m+σОT=>m=0，矛盾。下一个定义σmt=σtmk+m，t∈tmk，tmk+1.

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2022-6-24 04:33:19

（4.5）对于任何k∈ N，tmk<T，这在W停止时间序列的项之间是常数，因此它也是W自适应的。最后，我们定义了σt=2C和σmt=inf0≤m′≤所有t的m▄σm′t≤ T和m∈ N+实现所需的单调性和可集成性。通过使用（4.5）和| tmk+1这一事实，不难检查最后一个过程序列是否具有所有必需的属性-tmk |≤对于所有的k和m，我们几乎可以肯定地看到（在L中(Ohm) 由支配收敛）它逐点收敛到{σt}t∈[0，T]。我们现在已经准备好证明vt正则密度的存在性，这是下面定理的主题。定理4.3。假设h是一个连续函数，取值于R+的某个紧子集。还假设，给定G，Xhas，L-可积密度u（·| G）inR+，使得Ehkw（·）（u）x（·）kL（R+）i<∞ 和EhkukL（R+）| Gi∈ Lp′Ohm对于某些p′>2。假设最终满足定理3.3中关于函数q和σ=σ的假设。然后，测度值随机过程vt有一个二维密度u=u（t，·，W·，B·，G），属于所有α的空间Lα≥ 0，以及空间H证明。设f是一个在R中紧支撑的smooth函数，使得f在y轴上消失。然后根据定理3.3，我们得到vt（f）=EfXt，σtI{T≥t} | W·，B·，G= EEfXt，σtI{T≥t} | W·，σt，B·，G|W·，B·，G=ZRE公司fXt，yI{T≥t} | W·，σt=y，B·，Gpt公司y | B·，Gdy.（4.6）接下来我们有fXt，yI{T≥t} | W·，σt=y，B·，G= EEfXt，yI{T≥t} | W·，σ。，G|W·，σt=y，B·，G= EZR+f（x，y）ut、 x，W·，G，h（σ）dx | W·，σt=y，B·，G=ZR+f（x，y）Eut、 x，W·，G，h（σ）|W·，σt=y，B·，Gdx，（4.7），其中ut、 x，W·，G，h（σ）是LOhm, F、 P×[0，T]；H（R+）当挥发性路径为h（σ）时，由定理4.1给出的密度。

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2022-6-24 04:33:22

替代（4.6）中的（4.7），我们发现存在所需密度，并由U给出t、 x、y、W、B、G= pt公司y | B·，GEut、 x，W·，G，h（σ）|W·，σt=y，B·，G（4.8）在R+×R中。然后，通过Cauchy-Schwarz不等式，我们得到了w（x）ux个t、 x、y、W、B、G≤ M（t）pty | B·，G×w（x）E用户体验t、 x，W·，G，h（σ）|W·，σt=y，B·，G≤ M（t）pty | B·，G×Ew（x）uxt、 x，W·，G，h（σ）|W·，σt=y，B·，G,其中M（t）=ess supy∈R、 ω∈Ohmp·（y | B·，G）ω∈ L（[0，T]）（定义见定理3.3）。将上述结果积分到y中，利用总期望定律，我们得到了zrw（x）ux个t、 x、y、W、B、Gdy公司≤ M（t）×Ew（x）uxt、 x，W·，G，h（σ）|W·，B·，G和thusE“ZTZR+ZRw（x）ux个t、 x、y、W、B、Gdydxdt#≤ EhZTM（t）×ZR+Ew（x）uxt、 x，W·，G，h（σ）|W·，B·，Gdxdti=ZTM（t）EZR+w（x）uxt、 x，W·，G，h（σ）dx公司dt公司≤ZTM（t）dtE“sup0≤s≤TZR+w（x）uxs、 x，W·，G，h（σ）dx公司#≤ M′eM′TZTM（t）dtEhkw（·）（u）x（·）kL（R+）i<∞根据Tonelli定理、定理3.3和引理E2.2，定义常数M′。我们之所以认为M′是确定性的，是因为h具有确定性（正）下界和确定性上界。这是u的x导数的估计。为了获得密度的加权可积性，我们使用CauchySchwarz不等式、Tonelli定理和2。对于任何α≥ 0我们有ZR+ZR+| y | aut、 x、y、W、B、Gdydx≤ZR+ZR+MαB·，G（t）pty | B·，G×Eut、 x，W·，G，h（σ）|W·，σt=y，B·，Gdydx≤ MαB·，G（t）ZR+ZR+pty | B·，G×Eut、 x，W·，G，h（σ）|W·，σt=y，B·，Gdydx=MαB·，G（t）ZR+Eut、 x，W·，G，h（σ）|W·，B·，Gdx=MαB·，G（t）E锆+铀t、 x，W·，G，h（σ）dx | W·，B·，G≤ MαB·，G（t）Ehku（·）kL（R+）| gi其中MαB·，G（·）=supy∈R|y |αp·（y | B·，G）∈ 有限合伙人Ohm×【0，T】对于任何p<2的情况（根据第3.3节）。

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2022-6-24 04:33:25

然后将p′>2充分地接近于2且p<2，使得p+p′=1，通过上述和H¨older不等式，我们得到ZTZR+ZR+| y | aut、 x、y、W、B、Gdydxdt≤ EZTMαB·，G（t）Ehku（·）kL（R+）| Gidt≤ Ep“ZTMαB·，G（t）dtp#Ep′hEp′hku（·）kL（R+）| Gii≤ Tp′EpZT公司MαB·，G（t）pdt公司Ep′hEp′hku（·）kL（R+）| Gii<∞这意味着密度属于任意α的空间Lα≥ 最后，我们需要证明limx→0+ku（·，x，·）kL(Ohm×[0，T]×R）=0，根据估计值得出锆+锆+ut、 x、y、W、B、Gdydt公司≤ E“ZR+ZR+M（t）pty | B·，G×Eut、 x，W·，G，h（σ）|W·，σt=y，B·，Gdydt公司#≤ E“ZR+M（t）ZR+pty | B·，G×Eut、 x，W·，G，h（σ）|W·，σt=y，B·，Gdydt#=EZR+M（t）Eut、 x，W·，G，h（σ）|W·，B·，Gdt公司=ZR+M（t）Eut、 x，W·，G，h（σ）dt由于我们可以使用文献[12]中引理E2.2中给出的最大值原理，M（·）的可积性和支配收敛定理表明，最后一个的RHS趋向于零，因为x-→ 0+. 定理的证明现已完成。重新标记4.4。将上述证明与[12]中定理E1.2的证明进行比较（在顺式决定论的情况下），我们可以看到，由于界M（t）是确定的，因此在这里可以获得H正则性，这是我们在顺式波动率情况下没有得到的。出于同样的原因，这是MαB·，G（·）=supy的随机性∈R|y |αp·（y | B·，G）这不允许为α>0的导数ux建立| y |α-加权可积性，即使我们可以通过使用ku（t，·）kL（R+）来为u本身建立该可积性≤ kukL（R+）几乎适用于所有t、 ω∈ [0，T]×Ohm根据定理4.1。

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kedemingshi

2022-6-24 04:33:28

我们将看到，这里得到的正则性和加权可积性正是我们证明下两节结果所需要的。现在我们有一个正则密度u（t，x，y）=ut、 x、y、W、B、G对于测量值过程vt，我们可以在定理2.6的分布SPDE中替换RRf·dvt=RRf（x，y）u（t，x，y）dxdy，并通过分段积分得到u（t，x，y）=u（x，y | G）- rZt（u（s，x，y））xds+Zth（y）（u（s，x，y））xds-kθZt（u（s，x，y））yds+kZt（yu（s，x，y））yds+Zth（y）（u（s，x，y））xxds+ξρρZt（h（y）q（y）u（s，x，y））xyds+ξZtq（y）u（s，x，y）y码-ρZth（y）（u（s，x，y））xdWs-ξρZt（q（y）u（s，x，y））ydBs，（4.9），其中u（x，y | G）表示初始密度。这是二维密度u（t，x，y）满足的SPDE，其中x中的二阶导数和y中的导数在分布意义上考虑（在定理2.6中定义的测试空间C上，y具有额外的消失条件-→ ±∞ 以确保部件相对于y的积分不会留下边界项s）。5初边值问题解的更高正则性在本节中，我们为密度u（t，x，y）满足的随机初边值问题的解建立了更高的正则性，这是以后提供关键唯一性结果所必需的。这一结果的证明很有趣，因为它表明，在上一节中获得的u的| y |α加权可积性，而不是其导数ux（见备注4.4），正是我们需要处理无界系数k（θ- z），其原因是，这种有问题的效率与SPDE中的uxanywhere无关。附录中证明了证明本节主要结果所需的所有引理，因为它们是[11，12]中使用的引理的最小定义。

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2022-6-24 04:33:31

为了简化上一节的符号，我们设置了▄Lα=L▄y▄α（R+×R）和▄L0，w=Lw（x）（R+×R）。在陈述结果之前，我们需要明确定义初始边值问题。我们对α问题的α解给出以下定义≥ 0，如前一节所示，对于α的所有正值，密度函数u都满足其性质。定义5.1。对于实数ρ，设q:R-→ R+和h:R-→ R+是连续函数，而Ube是随机om函数，因此U∈ LOhm;Lα和（U）x∈LOhm;L0，w对于某些α>0。给定ρ、α和函数q、h和U，我们说当满足以下条件时，ui是问题的α解；1、u适用于过滤{σG、 Wt，Bt: t型≥ 0}，属于空间Lα∩ H、第4.2节中定义了Lα和Hare。u满足SPDEu（t，x，y）=u（x，y）- rZt（u（s，x，y））xds+Zth（y）（u（s，x，y））xds-kθZt（u（s，x，y））yds+kZt（yu（s，x，y））yds+Zth（y）（u（s，x，y））xxds+ρZt（h（y）q（y）u（s，x，y））xyds+ξZtq（y）u（s，x，y）y码-ρZth（y）（u（s，x，y））xdWs-ξρZt（q（y）u（s，x，y））ydBs，（5.1）对于所有x≥ 0和y∈ R、其中，uy、uy和uxx在测试函数空间上的分布意义上考虑▄Ctest={g∈ Cb（R+×R）：g（0，y）=0y∈ R、林茨-→±∞g（x，z）=limz-→±∞gy（x，z）=0x个∈ R+}。重新标记5.2。对于ρ=ξρρ，其中ρ表示WT和Bt之间的相关系数，我们得到了SPDE（4.9）。现在我们继续我们改进的正则性结果，这在下面的定理定理5.3中给出。固定实数ρ和初始数据函数U。设U为所有α问题的α解≥ 0，其中q满足假设3.1的条件，h如定理4.3所示。然后，u，e，xi sts的弱导数uy和我们haveuy∈ L[0，T]×Ohm;L0，w重新标记5.4。

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kedemingshi

2022-6-24 04:33:34

该结果表明，任何满足定义5.1 f或所有α条件的u≥ 0在y中也是弱可微的，并且uy具有很好的可积性。高阶导数也有可能属于某些加权Lspacesexist，但这是我们在本文中不会研究的内容。eorem 5.3的证明几乎与[11]中定理5.2的证明相同，我们只需将每一步调整为vol函数qvol的新性质，而不是这里的平方根函数。其思想是用一个由适当函数组成的热核来测试SPDE，并导出一个包含u及其导数的smo oth近似的加权形式的估计。正如我们在[11]中所做的那样，我们用一个函数组成了平滑热核，该函数将我们的挥发过程映射为恒定的挥发差。这导致消除了一些扩展术语，如-→ 0+，使我们能够确定某些加权Sobolev规范的真实性。因此，我们用φ（z，y）测试你的速度=√2πe-（Q（z）-y） 2，y，z∈ R、其中，对于某些z，Q（z）=Rzzq（z′）dz′∈ R、我们显然有φ∈测试。当然，我们需要了解我们的内核如何具有良好的平滑和收敛性（如-→ 0+属性。这在[11]中引理5.3和引理5.4的以下模型中给出，其证明非常简单，并在附录中讨论。引理5.5。设（λ，u）为度量空间。对于∧×R中支持的任何函数u，我们定义函数JU，（λ，y）=ZRu（λ，z）φ（z，y）dzandJu（λ，y）=qQ-1（y）u（λ，Q-1（y））y∈ R现在支持Ju∈ L(Λ, u) ; L（R）. 然后我们得到了以下正则性和收敛性结果；1、Ju，（·，·）是光滑的∈ N我们有nynJu，（·，·）∈ L(Λ, u) ; L（R）;2、朱，（·，·）-→ Ju（·，·）在L中很强(Λ, u) ; L（R）, as-→ 0+..引理5.6。

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2022-6-24 04:33:37

在引理5.5的表示法中，假设存在一个常数C>0和一个n∈ 对于任何大于0的lylJu，（·，·）L（∧，u）；L（R））≤ C（5.2）对于∧×R和所有l中支持的某些函数u∈ {1，2，…，n}。那么我们有lylJu公司∈L(Λ, u) ; L（R）还有lylJu，-→l我刚好在L(Λ, u) ; L（R）as-→+, 对于所有l∈ {1，2，…，n}。在X上写入标准Lebesgue测量值的uX和uWX X上的R和加权lebesgue测度 R的重量分别为w（x），我们可以写Ohm;L= LOhm×R+，P×uR+; L（R）,LOhm;L0，w= LOhm×R+，P×uwR+; L（R）,L[0，t]×Ohm;L= L[0，t]×Ohm×R+，u[0，t]×P×uR+; L（R）,安德尔[0，t]×Ohm;L0，w= L[0，t]×Ohm×R+，u[0，t]×P×uwR+; L（R）,这是上面两个引理将被使用的空间。现在是所有α问题的α-解u≥ 0我们设置：I，g（z）（s，x，y）=ZRg（z）u（s，x，z）φ（z，y）dz，对于z和>0的任何函数g，我们得到以下结果MMA 5.7。对于α-溶液u，我们有以下等式yki，1（t，·）kL(Ohm;L0，w）=ZRU（·，z）φ（z，·）dzL(Ohm;L0，w）+rZtI[0，1]×R（·）I，1（s，·）L(Ohm;L）ds+ZtxI，h（z）（s，·），I，1（s，·）L(Ohm;L0，w）ds+2kθZtI，Q′（z）（s，·），yI，1（s，·）L(Ohm;L0，w）ds-ξZtI，q′（z）（s，·），yI，1（s，·）L(Ohm;L0，w）ds-2kZtI，zQ′（z）（s，·），yI，1（s，·）L(Ohm;L0，w）ds-Zt公司xI，h（z）（s，·），xI，1（s，·）L(Ohm;L0，w）ds-Zt公司xI，h（z）（s，·），I[0，1]×R（·）I，1（s，·）L(Ohm;L）ds+ρZtxI，h（z）（s，·）L(Ohm;L0，w）ds-ξ1.- ρZt公司yI，1（s，·）L(Ohm;L0，w）ds。-2 (ρ -ξρρ）×ZtxI，h（z）（s，·），yI，1（s，·）L(Ohm;L0，w）ds。（5.3）上述标识中的所有术语均为有限的。上述引理的证明也可以在附录中找到。我们现在准备证明定理5.3的主要结果证明。

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2022-6-24 04:33:40

对于引理5.7中给出的等式（5.3）中的所有内积，除了第一个和第十个外，我们可以使用Cauchy-Schwartz不等式，然后使用众所周知的不等式ab≤a4C+Cb用于标准产品，以获得Ki，1（t，·）kL(Ohm;L0，w）≤ZRU（·，z）φ（z，·）dzL(Ohm;L0，w）+rZtI[0，1]×R（·）I，1（s，·）L(Ohm;L）ds+ZtxI，h（z）（s，·），I，1（s，·）L(Ohm;~L0，w）ds+kθZtC′I，Q′（z）（s，·）L(Ohm;~L0，w）ds+kθZtC′yI，1（s，·）L(Ohm;~L0，w）ds+ξZtC′I，q′（z）（s，·）L(Ohm;~L0，w）ds+ξZt4C′yI，1（s，·）L(Ohm;~L0，w）ds+kZtC′I，zQ′（z）（s，·）L(Ohm;~L0，w）ds+kZtC′yI，1（s，·）L(Ohm;L0，w）ds-Zt公司xI，h（z）（s，·），xI，1（s，·）L(Ohm;L0，w）ds+ρZtxI，h（z）（s，·）L(Ohm;L0，w）ds-Zt公司xI，h（z）（s，·），I[0，1]×R（·）I，1（s，·）L(Ohm;L）ds-ξ1.-ρZt公司yI，1（s，·）L(Ohm;~L0，w）ds+C′|ρ-ξρρρ| ZtxI，h（z）（s，·）L(Ohm;~L0，w）ds+C′|ρ- ξρρρ| ZtyI，1（s，·）L(Ohm;~L0，w）ds（5.4），对于任何C′，C′大于0。取C′’=1和一个足够大的C′，如kθ+ξ+|ρ- ξρρρ|+kC′<ξ1.-ρ,从（5.4）中，我们可以得出formkI，1（t，·）kL的估计值(Ohm;L0，w）+MZtyI，1（s，·）L(Ohm;L0，w）ds≤ZRU（·，z）φ（z，·）dzL(Ohm;L0，w）+MZtxI，h（z）（s，·）L(Ohm;L0，w）ds+MXg（z）∈{Q′（z），zQ′（z），Q′（z）}ZtI，g（z）（s，·）L(Ohm;L0，w）ds+rZtI[0，1]×R（·）I，1（s，·）L(Ohm;L）ds-Zt公司xI，h（z）（s，·），I[0，1]×R（·）I，1（s，·）L(Ohm;L）ds+ZtxI，h（z）（s，·），I，1（s，·）L(Ohm;L0，w）ds-Zt公司xI，h（z）（s，·），xI，1（s，·）L(Ohm;L0，w）ds，（5.5）对于某些正常数和M。

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2022-6-24 04:33:43

然后，用引理5.5表示，我们得到i，g（z）=Jg·u，和xI，g（z）=Jg·ux，对于任何f函数g，通过使用该引理，上述两个量可以在L中收敛[0，t]×Ohm;L0，wtoJg·u（s，x，v）=gQ-1（v）qQ-1（v）us、 x，Q-1（v）andJg·ux（s，x，v）=gQ-1（v）qQ-1（v）用户体验s、 x，Q-1（v）分别为-→ 0+，前提是最后一个属于空间L[0，t]×Ohm;L0，w.为了验证最后一个，我们使用转换v-→ Q（v）（Q的范围为clearlyR）到computekJg·ukLw（x）（[0，t]×Ohm×R+×R）=中兴通讯ZR+ZRw（x）g（y）q（y）u（s，x，y）dvdxds（5.6）和kjg·uxkLw（x）（[0，t]×Ohm×R+×R）=中兴通讯ZR+ZRw（x）g（y）q（y）ux（s，x，y）dvdxds（5.7），其中第一个始终是有限的，因为（5.5）中与非导数项配对的所有函数g都有多项式增长，第二个也是如此，因为（5.5）中与导数项配对的所有g都有界。现在回顾内积是连续的，我们推断（5.5）的RHS中的所有项都收敛为-→ 0+，因此（5.5）的RHS以为界。最后一个允许我们对（5.5）的LHS中的y导数项应用引理5.6，并推导出vJu=vqQ-1（v）us、 x，Q-1（v）存在于L中[0，t]×Ohm;L0，w在这个空间里vI，1=vJu，-→vJuas-→ 0+. 如果紧随其后，那么弱导数yu（s，x，y）存在，并且通过使用乘积规则和不等式（a-（b）≤ 2a+2我们可以获得中兴通讯ZR+ZRuy（s，x，y）dydxds=中兴通讯ZR+ZRqQ-1（v）uy公司s、 x，Q-1（v）dvdxds=中兴通讯“ZR+ZRq-1.Q-1（v）vus、 x，Q-1（v）dvdx#ds≤ 2ZtZR+ZRE“q-3.Q-1（v）vqQ-1（v）us、 x，Q-1（v）#dvdxds+2ZtZR+ZREhq-1.Q-1（v）q′Q-1（v）us、 x，Q-1（v）idvdxds。自从vJu=vqQ-1（v）us、 x，Q-1（v）∈ L[0，t]×Ohm;L0，w, 最后的RHS，因此我们最终获得uy∈ L[0，T]×Ohm;L0，w.重新标记5.8。

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kedemingshi

2022-6-24 04:33:46

与CIR波动率情况（见[11]中的备注5.7）一样，ρ的选择灵活性允许我们将结果扩展到特殊噪声具有非零相关性的情况w。6解的唯一性前面的章节已经建立了一类由大型投资组合的随机波动率模型产生的偏微分方程的存在性和正则性结果。现在，我们想研究对于给定的初始数据，SPDE的解决方案是否是唯一的。在定理5.3的假设下，我们能够证明问题（定义5.1）解的唯一性。因此，在本节中，我们再次假设我们的SPDE（4.9）中的函数q满足假设3.1的条件，该函数驱动相应大型投资组合模型中资产价格的波动率。正如我们在备注3中提到的，这些函数是正光滑函数，其行为几乎类似于大x的正常数，最简单的例子是常数函数，其对应于具有Ornstein-Uhlenbeckvolatility过程的模型。此外，我们需要假设（4.9）的系数满足条件|ρ- ξρρρ| ≤ ξq1- ρq1- ρ、（6.1）当SPDE从大型投资组合模型中产生时，这一点总是令人满意的（即使在特殊噪声相关的情况下，注释5.8）。为了证明我们的独特性，我们回顾vJu=vqQ-1（v）us、 x，Q-1（v）存在于L中[0，t]×Ohm;L0，w在这个空间里vI，1=vJu，-→vJuas-→ 0+，如定理5.3的证明所示。

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