动态均值-方差投资组合优化

2022-6-24 07:43:26

Meng Xiang动态均值方差组合优化主管：新加坡国立大学数量金融系助理教授Zhou ChaoQF4199荣誉项目2017/2018致谢我想向帮助我实现这一目标的人表示感谢。首先，我要感谢我的导师周超教授。你的引导和耐心是促使我进行这项研究的最重要因素。我还需要感谢我的父母，当我感到失落时，他们一直在鼓励我。没有你的持续支持，完整的工作就不可能完成。iiAbstractThe portfolio Optimization problem，由哈里·马科维茨（Harry Markowitz）于1952年首次提出，一直是理解股票市场和决策的一个基本和中心话题。到目前为止，已有大量的工作致力于均值方差优化（MVO）的发展。本文主要讨论其中的一种，即动态均值-方差优化（DMVO）。人们可以应用预承诺或博弈论方法来解决MVO中的时间不一致性问题。我们使用第二种方法来寻求时间一致的策略。在获得最优策略后，我们将结果推广到CEV驱动的经济。为了证明这些策略的有用性，将这些策略整合到实际市场数据和模拟数据中。事实证明，假设接近市场条件的策略通常会给出更好的结果。

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2022-6-24 07:43:29

最后，选择一种策略与深度学习技术提出的另一种策略进行比较。iiiContents1简介12均值-方差优化43动态均值-方差优化73.1市场假设73.2 DMVO政策的确定83.3博弈论解释153.4最优终端财富分析163.5预承诺策略184应用和实际结果214.1多股公式214.2恒定方差弹性（CEV）234.3实际结果244.3.1数据描述254.3.2设计和方法254.3.3结果和讨论265机器学习基准32A精选股票列表36A。1精选标准普尔500指数股票36A。2精选新加坡交易所股票38参考文献40IV第1章简介在现代数学金融中，投资组合优化一直是理解股市和决策的基础和核心。1952年，哈里·马科维茨（HarryMarkowitz）在该地区取得了重大突破[]，他的理论通常被称为现代投资组合理论（ModernPortfolio theory，MPT）。该理论为投资者应如何在所有可能的资产组合中分配资金这一基本问题提供了答案。马科维茨之前的所有理论都被投资回报和风险之间的权衡所阻碍。Markowitz使用样本均值和方差的统计度量对收益和风险进行了量化，并进一步表明，为了做出非最优选择，收益和风险应该一起考虑。这一理论在投资决策方面发生革命性变化的原因有几个。首先，该理论表明，投资组合的风险不仅取决于各个组成部分的风险，还取决于它们的共同运动。

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2022-6-24 07:43:32

相应的定性原则旨在选择在当前价格下能够产生最高未来现金流的证券。然而，马科维茨的投资组合理论表明，在一定的预期回报水平下，AHA中各成分之间的相关性是最小方差。除了Markowitz最初的出版物之外，迄今为止已有大量的工作对均值方差优化（MVO）的发展做出了贡献。本文主要讨论其中的一种，即动态均值-方差优化（DMVO）。traditionalMVO被认为是一种静态策略，因为它只在每个时间点优化投资组合。相比之下，DMVO寻求一种能够在每个瞬间间隔和整个投资周期内优化财富的战略。MVO的一个主要障碍是Bellman最优性原则不适用于MVO的多周期设置。所指对象不明确，无法直接应用动态规划。在针对DMVO的研究中，人们通常采用两个连续的时间设置来处理时间不一致性。对于离散时间的情况，Li和Ng（2000）[]提出了嵌入技术。他们将时间不一致问题转化为随机线性二次型（LQ）控制问题。第二个解决方案是采用博弈论的观点，这是本文的主要主题。请注意，时间不一致的本质是投资者可以偏离未来的最优政策，在下一个瞬间区间内获得最优。Strotz（1955年[]研究了确定性拉姆齐问题。在DMVO方面，Basak和Chabakauri（2010年）[]是第一位使用博弈论方法解决问题的作者。作者巧妙地调整了时间不一致的更一般的术语。

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2022-6-24 07:43:34

该方法研究动态目标函数的一般形式，能够处理不同的市场环境和一组特定的随机控制问题。Bjork、Murgoci和Zhou[]在2014年进一步研究了一般风险规避案例。在他们的研究中，风险规避被视为财富的函数而不是常数，并使用动态规划导出线性系统解。他们还导出了一个具体案例的显式解，研究了它的实际行为，并证明它在经济上是合理的。本文组织如下：在第2节中，我们回顾了经典的MVO问题。市场数据的非实质性结果。两组市场数据，一组来自现实世界，另一组来自理论，我们比较了我们的“理论”策略与长期短期记忆（LSTM）策略下的结果，这是一种应用深度学习技术的代表性方法。第2章均值方差优化假设股票市场考虑风险资产。。。，序号：。将其平均收益表示为uuu，u。。。，unσij由向量ωω=（ω，ω，…，ωn）表示，其中每个ωi表示投资于股票i的资金比例。投资组合均值和方差是投资组合收益和风险的代表，分别由u=ωTωTωTuu和σ=ωTωTωT∑ωω给出。本文假设协方差矩阵为正定义，即每ωω6=，ωTωTωT∑ωω>0。该约束确保由S、S、…、。。。，其他人无法复制SN。给定一定水平的预期投资组合回报，人们寻求一个风险最小化的投资组合。MVO问题的形式为：minωTωTωT∑ωω（2.1）s.T.1TωTωTω=1（2.2）ωTωTωTu≥ u（2.3）该公式满足正常投资情况。

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2022-6-24 07:43:37

对于某个市场，根据市场特征和全球趋势，投资组合经理应该考虑最低的预期回报。然而，风险似乎并不明显。然后很自然地确定了投资的目标，例如，根据投资组合风险的上限，最大化预期回报。我们观察到，对于上述问题，如果我们将最后一个约束设置为相等，则MVO将成为一个二次问题，可以使用拉格朗日乘子方法解析求解。在这种情况下，问题被表示为最小ωTωTωT∑ωωω（2.4）s.T。1TωTωTω=1（2.5）ωTωTωTu=u（2.6）可能的解析解。然而，它偏离了现实，因为并没有投资组合经理需要精确的回报水平（事实上，回报越多越好）。这也是为什么投资经理很少直接使用该策略的原因。尽管如此，我们将在第4章中看到，该战略仍然为我们提供了一些启示。为了解决这个问题，我们首先得到拉格朗日：L（ωωω，λ，λ）=ωTωTωT∑ωω- λ（1TωTωTω- 1) - λ（ωTωTωTu- u）（2.7），然后将2.7的一阶导数设置为零：∑ωωω- λ- λuu=0（2.8）考虑到2.5和2.6，我们现在的重点是求解线性系统ω- λ- λu=0TωTωTω=1ωTωTωTu=u（2.9）使用Cauchy-Schwartz不等式定义以下常数a=1TTT∑11 b=1TTT∑c=uT∑TuT∑u，注意协方差为正定义，我们可以很容易地看到ac>b。因此，系统的解或最优投资组合由ω*ω*ω*= （c）- buac- b） ∑-11+（au- 美国银行- b） ∑-1uu（2.10）从上述解中，我们观察到该策略高度依赖于平均回报、协方差矩阵和预期回报。一般来说，风险回报率（夏普比率）较高的股票将分配更多权重。

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2022-6-24 07:43:40

此外，我们将在第4章中看到，预期回报会影响投资的波动性。第3章动态均值方差优化3.1市场假设我们首先考虑满足马尔可夫性质的市场，该市场由两种资产组成：无风险债券和风险股票。我们进一步假设有限的投资期限为[0，T]。不确定性由过滤概率空间表示(Ohm, F，{Ft}，P）。在空间上定义了两个相关系数为ρ的布朗运动，即WandWx。然后，{Ftt∈[0，T]}实际上是WANDWX生成的强化过滤，我们假设所有随机过程都是由它适应的。此外，假设所有过程都定义良好，没有明确规定的规则条件。设r为无风险债券的恒定利率，股票价格遵循动态：dSt=uStdt+σStdwt（3.1）uσ，满足dxt=m（Xt，t）dt+ν（Xt，t）dwXt（3.2）在本文的以下部分，我们使用ut，σt，mt，ν表示3.1和3.2中定义的四个系数。很明显，当-< ρ<1由于另一方面存在不确定性，对于ρ=±1的特殊情况，市场达到动态完整性。假设投资者的初始财富为0。定义她选择的政策θt，即她在timet投资的金额。在市场格局下，财富遵循以下过程：dWt=[rWt+θt（ut- r） ]dt+θtσtdwt（3.3）假设投资者寻求动态均值-方差策略，目标是最大化最终财富wt。代替2.4、2.5和2.6给出的静态MVO公式，我们将拉格朗日2.7改写为以下形式：maxθE【WT】-γvar【WT】（3.4）s.t.dWt=【rWt+θt（ut- r） ]dt+θtσtdwt3.2 DMVO策略的确定Basak和Chabakauri（2010）[]给出的解决方案基于动态编程方法。

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mingdashike22

2022-6-24 07:43:44

它类似于Strotz（1056）[]提出的先驱方法，该方法试图通过递归关系处理时间不一致性。具体来说，我们不能直接应用动态规划的主要原因是缺少方差项的塔楼属性。这里，关于塔的属性，我们指的是迭代期望公式：Et[Et+τ[WT]]=Et[WT]（3.5）。这对于期望来说不是问题，但它会给方差带来麻烦，尤其是在塔的属性无法应用的情况下。为了解决这个问题，我们需要稍微改变原始的MVO目标。方差分解公式提供了救助，其形式如下：V art[WT]=Et[V art+τ（WT）]+V art[Et+τ（WT）]（3.6）该公式还提供了如何选择最佳投资政策的信息：固定时间tθτtτ说明了时间t+τ时预期终端财富的方差。因此，在时间t+τ时，投资者可能有动机偏离在时间t时获得的最优政策。我们调用时间t时的DMVO目标函数：Ut=Et[WT]-γV艺术【WT】（3.7）我们现在将偏离政策的动机纳入DMVO目标，即将3.6替换为3.7。进一步应用风塔特性toE【WT】，我们获得了新的DMVO目标：Ut=Et【Ut+τ】-γV art[Et+τ（WT）]（3.8）这种调整使我们能够递归地确定最优策略，并将问题转化为时间一致性问题。

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2022-6-24 07:43:47

换言之，投资者选择其最优政策时，考虑到该政策在未来总是最优的，并且她能够在投资期的后期调整该政策。接下来，我们寻求关于值函数的递归关系，它将是θ*不锈钢∈t、归纳起来，我们定义了价值函数Jtas:Jt=J（Wt，St，Xt，t）：=Et[W*T]-γV艺术【W】*T] （3.9）请注意，最佳码头财富W*由最优策略θ推导出*s、 s∈[t，t]。将[t，t+τ]、τ>0表示为决策区间，即投资者可以选择在时间t+τ的区间后调整其timetinvestmentpolicy。我们进一步假设投资者遵循最优政策θ*sfromt+τtoT。然后，关于递归步骤，问题被简化为寻求从t到t+τ的投资策略θsf，从而使以下目标最大化：Et[Jt+τ]-γV art[Et+τ（WT）]（3.10）再次注：由于存在第二项（时间一致性调整项），最优策略θ*sover[t+τ，t]不一定是[t，t+τ]上的最优值。在得到HJB方程之前，我们想重写[t，t+τ]上的目标。将伊藤引理应用于财富约束3.3，我们得到：d（Wter（T-t））=θt（ut- r） er（T-t） dt+θtσter（t-t） dwt（3.11）将3.11从t+τ积分到t，取t+τ时的期望值，我们得到：Et+τ[W*T] =Wt+τer（T-t型-τ） +ft+τ（3.12），其中w*是最佳财富，然后是θ*sover【t+τ，t】，ft=Et【W】*T]- Wter（T-t） =Et[RTtθ*s（us- r） er（T-s） ds]表示对[t，t]的预期收益。将3.12替换为3.10，并进一步注意到-t）根据filtrationft，将[t，t+τ]上的目标重写为：Jt=最大θs，s∈[t，t+τ]{Et[Jt+τ]-γV art[英尺+τ- ft+Wt+τer（T-t型-τ)- Wter（T-t） ]}（3.13）受财富约束3.3和终端条件jt=WT的约束。

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2022-6-24 07:43:50

终端条件是由V arT[WT]=0和ET[WT]=WT得出的。从3.13可以明显看出，ft+τ也是由最优策略θ确定的*sovert+τtoT。因此，我们在θ之间建立连接*t、 ft，jt由以下引理中给出的HJB方程得出：引理1。DMVO目标下的值函数J遵循递归关系0=maxθtEt[dJt]-γV art[干膜厚度+干膜厚度（T-t））]（3.14）s.t.d（Wter（t-t））=θt（ut- r） er（T-t） dt+θtσter（t-t） dwtJT=wt有趣的是，我们发现，从tin 3.12的定义来看，fti是通过最佳θ计算的*tWtθ对dft的影响。此外，我们注意到WT不会影响最优策略θ*t、从t到t的积分3.11表明了这一点，并在时间t取期望值：Jt=Et【WT】-γV art【WT】=Wter（T-t） +Et[ZTtθs（us- r） er（T-s） ds]（3.15）-γV art[ZTtθs（us- r） er（T-s） ds+ZTtθsσser（T-s）从3.15中，我们注意到值函数jt在wter（T）中是可分离的-t）和一个不依赖于WT的函数。因此，在任何时候∈[0，T]，最优投资策略θ*SDO不依赖于当前的财富≥ t、自θ*sis由反向归纳法得出。具体而言，我们将JT分为两部分：J（Wt，St，Xt，t）=Wter（t-t） +~J（St，Xt，t）（3.16）注意到上述分析，然后我们在3.14上应用伊藤引理，得到以下方程：0=最大θt{DJtdt+θt（ut- r） er（T-t） dt公司-γV art[σtSt英尺Stdt+νt英尺XtdwXt+θtσter（t-t） dwt]}=最大θt{DJtdt+θt（ut- r） er（T-t） dt公司-γ[σtSt(英尺St）+νt(英尺Xt）+θtσte2r（t-t） +2ρνtσtSt英尺St公司英尺Xt+2θtσt（σtSt英尺St+ρνt英尺St）er（T-t） ]}（3.17）s.t.~JT=0其中是表示两个进程中涉及的函数的Ito引理的运算符，并表示Xt:DF（St，Xt，t）=英尺t+utSt英尺St+mt英尺Xt+（σtSt英尺St+νt英尺Xt+2ρνtσtSt英尺Xt公司St）（3.18）DJtdtθtut- rer（T-t） θtft实际上是θt的二次函数上的一个极大值问题。

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何人来此

2022-6-24 07:43:53

注意到这个性质，我们有一个命题：命题1。动态均值-方差优化器的最优股票投资策略由θ给出*t=ut- rγσe-r（T-t）- （St英尺St+ρνtσt英尺St）e-r（T-t）（3.19）式中，ft=Et[W*T]- Wter（T-t） =Et[RTtθ*s（us- r） er（T-s） ds]表示股票投资的预期总收益者损失从上述表达式中，我们观察到最优政策由两部分组成，即ut- rγσ作为夏普比率[]与风险规避γ结合。通常，它会告诉投资者资产的回报对所承担风险的补偿程度。基于夏普比率进行投资是一种仅在下一个小时间间隔内优化回报的策略，没有需求”。其次，对冲需求是在动态优化目标下补偿未来波动的结果。此外，期限（St英尺St+ρνtσt英尺St）意味着预期投资组合收益对股价的敏感性(英尺St）和驱动套期保值需求的状态变量条件（ρνtσt），这为影响策略的因素提供了直觉。我们实际上可以定量地展示这种关系。股票和状态变量的召回动态由dst=uStdt+σStdwt，dXt=mtdt+νtdwXt给出，wt和wxt之间的相关性为ρ。我们将对冲条款改写如下：-St公司英尺St+ρνtσt英尺St=-σtdt（Stσt英尺Stdt+ρνtσt英尺Stdt）=-σtdt（cov（σtdwt，Stσt英尺标准载重吨+英尺XtνtdwXt））=-σtdtcov（dStSt，dft）（3.20）从上面的表达式来看，套期保值需求是正（负）的，当短期股票在一个小的区间内，股票与投资组合收益之间存在负相关，这意味着一个方差目标。因此，负相关导致正对冲需求。在命题1中，我们推导了最优策略的表达式。

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nandehutu2022

2022-6-24 07:43:55

然而，3.19仅给出了*T- Wter（T-t） EtRTtθ*sus- rer（T-s） DSComputeable公式。我们现在的目标是获得最优政策的表达式，在定义ft时明确使用ut，σt，mt，νt策略3.19：ft=Et[ZTtθ*s（us- r） er（T-s） ds]=Et[ZTtγ（us- rσs）ds]- Et[ZTt（Ssfs公司Ss+ρνsσsfs公司Ss）（us- r） ds]（3.21）期限源自对冲需求。为了避免第二项妨碍我们进行显式计算，我们现在寻求一种可能消除对冲影响的概率度量。注意FT+Wter（T-t） =Et[W*T] 是鞅，然后对其应用Ito\'sLemma，得到：d（ft+Wter（T-t）（）=ftdt公司+f十二烷基硫酸钠+fXdX公司+f十二烷基硫酸钠+fXdX公司+fSXdSdX+[（ut- r） rσt- （StfS+ρνtσtftX- t） ]dt+[（ut- r） rσt- （StσtfS+ρνtftX- t） ]载重吨（3.22），自英尺+重量（t-t）是鞅，上面的dt部分必须为零，即：ft+rStfS+（mt- ρνtut- rσt）fX+（σtStfS+νtfX+2ρνtσtStf十、S） +γ（ut- rσt）=0（3.23），根据费曼-卡克定理，3.23给出了以下方程的唯一解：ft=E*t[ZTtγ（us- rσs）ds]（3.24），其中*t[·]表示概率测度下的期望*. 底部*, stock和state变量适应以下过程：dStSt=rdt+σtdw*t（3.25）dXt=（mt- ρνtut- rσt）dt+νtdw*Xt（3.26）带dw*t=dwt+ut- rσtdt，dw*Xt=dwXt+ρut- rσtdt（3.27）保持近视项。因此，我们可以参考新的措施*作为对冲中性措施。此外，如果市场是完整的（ρ=±1），对冲中性措施与风险中性措施一致。然后，我们将上述发现总结为命题2：命题2。

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2022-6-24 07:43:59

最优投资政策表示为：θ*t=ut- rγtσe-r（T-t）-（StE*t[RTtγ（us-rσs）ds]St+ρνtσtE*t[RTtγ（us-rσs）ds]St）e-r（T-t）（3.28）其中预期投资组合收益表示为：ft=f（St，Xt，t）=E*t[ZTtγ（us- 对冲中性措施下的rσs）ds]（3.29）*, 其中，具有相关ρ的两个标准布朗运动由：dw给出*t=dwt+ut- rσtdt，dw*Xt=dwXt+ρut- rσtdt（3.30）P到P的Radon-Nikodym导数*由：dP给出*dP=e-RT（us-rσs）ds-RTus-rσSDW（3.31）以市场本身为特征。对于分析解决方案无法注意到必须在对冲中性措施下进行模拟的情况*, 部分导数可以重写为Malliavin导数，以便通过蒙特卡罗进行调整。3.3博弈论解释我们回顾，对于DMVO，时间不一致性是阻碍动态编程的障碍。我们使用总方差的“神奇”公式处理了这个问题。然而，这并非纯粹的巧合。在推导HJB方程时，我们假设我们已经选择了最优策略，即在博弈中达到纯策略纳什均衡。更准确地说，我们假设在投资期的每个时间点都有很多参与者【0，T】。每个参与者采取一个投资策略θtsuch，即值jtt，TJtJθt，St，Xt，tθt。纯策略纳什均衡点θ*应满足以下两个条件：o固定时间t。对于任何时间s∈ （t，t），站在时间s处的玩家将对θ作出反应*.o给定目标函数jt和财富约束，θ*也应该是站在t的玩家的最优策略。因此，如上所述的平衡点应该满足HJB方程3.14，并且与我们的最优策略一致，该最优策略采用明确的形式3.28.3.4对最优最终财富结果的分析：owtwtρwtwXt。

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2022-6-24 07:44:02

然后我们可以写：dwt=p1- ρ（dwXt- ρdwt）o替换θ的表达式*在3.28到3.11中，应用伊藤引理，我们得到：d（Wter（T-t））=-干膜厚度+ut- rγσtdwt+q1- ρνt英尺Xtdwt（3.32）将3.32从t积分到t，我们可以得到最优财富。其均值、方差和值函数JT可以相应地导出。我们将结果总结为以下命题：命题3。对于DMVO目标，终端财富、其均值、方差和价值函数由以下公式给出：W*T=Wter（T-t） +ft+γZTtus- rσsdws+q1- ρZTtνsfs公司Xsdws（3.33）vart[宽*T] =γEt[ZTtγ（us- rσs）ds]+（1- ρ） Et[νs(fs公司Xs）ds]（3.34）Et[宽*T] =Wter（T-t） +英尺（3.35）Jt=Wter（t-t） +英尺-2γEt[ZTtγ（us- rσs）ds]-γ(1 - ρ） Et[νs(fs公司Xs）ds]（3.36）最优财富由两个无风险条件表示（T-t） +Ft和两个风险术语γRTtus-rσsdwsp1- ρRTtνsfs公司XsdWSRISK条款由可对冲来源γRTtus生成-rσsdwsand a unhedgeable sourcep1- ρRTtνsfs公司Xsdws，这是由于市场的不完全性以及股票和状态变量之间的协同运动。此外，它们也是方差的驱动因素。对冲术语γEt[RTtγ（us-方差中的rσs）ds]完全依赖于状态变量。然而，对于第二个ρ，如果两个市场之间的完整性ρ很接近，则此推断可能不正确，因为对状态变量的敏感性也受ρ的影响，其中关系错综复杂，结论因不同的经济环境而异。此外，市场不完全性ρ也会影响平均最优财富。如前所述，较低的|ρ|会导致较低的对冲需求。具体而言，市场不完全程度越高，投资者的积极需求越低，从而导致预期的最终财富越低。最后，值函数的结果是不确定的。

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2022-6-24 07:44:04

在完全市场中，当套期保值需求为正时，期望最优财富较高，方差较低。然而，当对冲需求为负时，这种关系是模糊的，因为预期最优财富越低，方差越小。3.5预承诺策略在本章开始时，我们讨论了DMVO目标的问题是更迟的，我们推导了一个时间一致的投资政策，该政策既能在瞬间实现DMVO目标的最大化，又能使投资者在以后改变政策的动机最大化。现在，我们关注第二种解决时间不一致性的方法，即预承诺。遵循预承诺策略的投资者在时间0时将其价值函数最大化，并且不允许她在未来对其进行调整。此外，如果我们限制投资者在投资期内坚持其初始政策（例如，债权人订立的一些契约），那些选择时间一致性策略的人将不会调整其政策，因此，预承诺投资者在初始价值函数方面拥有优势。还值得一提的是，与时间一致性策略相比，DMVO objectiveconsider预承诺策略的问题分析解决方案是一个很好的基准。众所周知，不完全市场中的预承诺策略是一个复杂的问题。因此，我们将在完整的市场环境下演示该策略。我们定义了一个价格密度过程ξt，它表示某一状态下某一单位财富在时间t时的每单位概率的价格：ξt=ξe-rt公司-Rt（us-rσs）ds-Rtus-rσsdws（3.37）这不是一个陌生的结果，因为我们记得在对冲中性度量中*, theRadon-Nikodym导数由-Rt（us-rσs）ds-Rtus-rσsdws。承诺策略下的DMVO目标制定为：maxWTE【WT】-γvar【WT】（3.38）s.t。

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2022-6-24 07:44:08

E[ξ行波管]≤ W（3.39）为了获得解析解，我们推导了拉格朗日数：L=E【WT】-γvar[重量]- λ（E[ξ行波管]- W）（3.40）一阶条件如下所示：1- γ^WT+γE【^WT】- λξT=0（3.41）注意到性质E[ξTerT]=1，E[WT]=1，取ξ=1，我们得到：^WT=γ（1+γEt[^WT]- ξTerT）（3.42）将3.42替换为等于约束3.39，我们得到了解析解，它由以下命题表示：命题4。平均方差优化器在预承诺下的最优终端财富由：^WT=WerT+γE[ξT]e2rT给出-γξTerT（3.43），根据州价格密度重写：W*T=WerT+γE[ξTerTZT（us- rσs）]-γ[lnξT+rT+ZT（us- rσs）ds]（3.44）两种策略得出的结果通常不同，如上所示。然而，可以证明，在短决策区间内，3.43中给出的预承诺设定下的财富是时间一致性最优终端财富3.44给出的财富的二阶近似值。此外，风险的市场价格或夏普比率，us- rσS可用作比较指标。我们注意到，当夏普比率等于零时，两种财富重合。此外，如果夏普比率设置为常数，则两种策略的最佳财富会变得更具表达力和信息量。

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2022-6-24 07:44:11

我们将结果总结为以下命题：命题5。us- rσsu- rσ-投资者在预承诺策略和时间一致策略下的最优财富，^wt和W*T、由以下公式得出：^WT=WerT+γe（u-rσ）T-γξTerT=WerT+γe（u-rσ）T-γe-(u-rσ）T-u-rσwT（3.45）W*T=WerT+γ（u- rσ）T-γ[lnξT+rT+（u- rσ）T]=WerT+γ（u- rσ）T-γ(u - rσ）wT（3.46）通过一些简单的代数，可以很容易地证明^wT>W*T、这是一个期望的结果，可以应用参数方法（例如，Breeden和Litzenberger（1978）[]）或非参数方法（Ait Sahalia和Lo，1998[]）从amarket来源估算价格密度ξ。第4章应用和实际结果在本章中，我们说明了该策略的有用性，并且在3中获得的理论结果基于一个仅包含一只风险股票的市场，我们将首先推导出股票由恒定方差弹性（CEV）模型驱动的显式经济环境。最后，我们在第4.34.1节多个股票公式中展示了不同策略的实际表现。我们希望在本节将第3章中的发现扩展到多变量情况。与两个相关的布朗变量不同，具有nrisky资产和kstateviables的市场具有由两个布朗运动向量sw=（w，…，wN）T，wx=（wX1，…，wXK）TwithN×k相关矩阵ρ=（ρnm）生成的不确定性。每个元素ρnM表示与wxM之间的相关系数，其中1≤ n≤ N≤ m级≤ K、我们还表示u=（u，…，uN）Tas为预期收益向量，σ=（σ，…，σN）Tas为协方差矩阵，σiσi1。。。，σiNwj。投资者也可以选择投资一种利率不变的无风险债券。然后，库存S=（S，…，SN）t以下过程：dSitSit=ui（St，Xt，t）dt+σt（St，Xt，t）Tdwt（4.1），对于所有1≤ 我≤ N

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2022-6-24 07:44:13

类似地，状态变量如下：dXjt=mj（Xt，t）dt+νt（Xt，t）TdwXt（4.2），对于所有1≤ j≤ K、 andm=（m，…，mK）T，ν=（ν，…，νK）皮重状态特征定义类似于u。利用上述符号，财富过程由：dWt=[rWt+θTt（ut- r） ]dt+θTtσtdwt（4.3），其中θt=（θ1t，…，θNt）是在时间t投资于每只股票的资金向量。遵循DMVO目标的投资者旨在解决以下问题：maxθE【WT】-γvar【WT】（4.4）s.t.dWt=【rWt+θTt（ut- r） ]dt+θTtσtdwt上述目标对应于单个股票案例中的目标。我们可以建立一个调整后的价值函数和HJB方程，并根据预期收益推导出最优策略。我们将结果总结在下面的命题中，这实际上是命题2的一般化版本：命题6。多重股票市场中的最优时间一致性投资策略由θ给出*t=γ（σtσTt）-1（ut- r） e类-r（T-t）- （诊断（St）(英尺St）T+（νTρTσ-1吨）(英尺St）T）e-r（T-t）（4.5）其中预期投资组合收益ftis由以下公式得出：f（St，Xt，t）=E*t[ZTtγ（us- r） T（σsσTs）-1（us- r） ds]（4.6），其中*t[·]是对冲中性点下的预期*. 具有相关矩阵ρ的两个标准布朗运动由：dw给出*t=dwt+σ-1（ut- r） dt（4.7）dw*Xt=dwXt+ρTσ-1t（ut- r） dt（4.8）和P到P的Radon-Nikodym导数*由：dP给出*dP=e-RT（us-r） T（σsσTs）-1（us-r） ds公司-RT（σ-1s（us-r））Tdws（4.9）最优政策包括一个短视期限和一个对冲期限，这并不奇怪。此外，我们还应该注意到，交叉相关性的影响通过对冲需求的第二个期限进入。应用第3章中使用的类似技术，我们还可以获得最佳的终端财富：W*T=Wter（T-t） +ft+γZTt（σ）-1s）T（us- r） dws+qI- ρρTZTtνs(fs公司Xs）Tdws（4.10）4.2本节中的恒定方差弹性（CEV）。各种文献中有不同的表述。

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2022-6-24 07:44:16

这里，在第3章中的类似市场设置下，股票应遵循以下CEV过程：dStSt=udt+(R)σSα/2tdwt（4.11），其中α表示瞬时股票回报的弹性。值得注意的是，varianceterm现在变成了σSαt，当α=0时，CEV过程被简化为几何布朗运动。期权定价理论已经对这一过程进行了很好的研究，尤其是当研究人员想要用厚尾模型来模拟股票价格时。一个有趣的特性是，股票价格大致遵循非中心卡方分布（Lindsay&Brecher，2010）[]。此外，α<α>[]。这是我们在第4.3节中用于分析策略绩效的一个重要结果。有了DMVO目标，就可以导出最优策略的显式形式，如下所述。这里省略了证明，因为这不是我们在本节中的主要兴趣。提案7。CEV模型下的最优时间一致性策略由θ给出*t=ut- rγ′σSαte-r（T-t）-γ（ut- r′σSα/2t）e-αr（T-t）- 1re-r（T-t）（4.12）如果市场由多个股票组成，最优政策将采用θ的形式*t=γ（σtσTt）-1[（ut- r） Sαt]e-r（T-t）-γ（σtσTt）-1[（ut- r） Sαt]e-r（T-t）（4.13）其中表示按Hadamard元素划分。从上述结果中，我们注意到第二项，即套期保值需求，受到弹性α的很大影响。此外，根据术语-αr（T-t）-1、正弹性导致正Hedging需求。还有一种定性解释：正弹性意味着夏普比率随着股票价格的上涨而下降，从而导致股票回报和预期投资组合收益之间的负相关。

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2022-6-24 07:44:19

利用第3章中的类似推理，负相关性给出了正的套期保值需求。4.3实际结果在本节中，我们想从实践的角度证明上述策略的有用性。我们选择了两个不同的来源：一个是真实的市场数据，另一个是模拟的股票数据。由于完整的结果需要一些涉及复杂蒙特卡罗过程的参数估计，我们将其简化为常数参数。因为财富并不影响我们的投资政策，投资政策代表的是投资股票的资金，所以讨论战略的绝对财富是没有意义的。相反，我们根据趋势评估战略。4.3.1数据描述考虑到长期和低波动性，我们选择从10年期内选择每周股票价格。为实际使用准备了两组数据。首先，市场由标准普尔500指数前20名的组成部分组成。没有10年有效期的股票将被废除，例如Facebook。所有数据均从Yahoo Finance下载。为了证明策略的有效性，我们还根据微分几何布朗运动（GBM）和CEV生成了股票。数据摘要如下：o真实数据：标准普尔500指数前20名。2007年10月29日至2017年11月1日的10年期周股价（523个时间戳）。o模拟数据：模拟数据的两个子集，分别来自GBM和CEV。10年一周的价格，每个子集50只股票。平均回报率设定为12.5%。

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2022-6-24 07:44:22

相关性和方差率分别为0.05和0.2。4.3.2设计和方法为了将理论投资策略转化为计算机代码，需要采取一些简单步骤。首先，我们的实现不是一个连续的投资期限[0，T]，而是只从足够小的每个即时投资间隔（1/52）获取数据。在我们的例子中，每个时间都由I/52表示，其中1≤ 我≤523表示整个10年（523周）期限内的分录指数。其次，我们需要了解市场特征，如utandσtin，以便计算最大可能性和蒙特卡罗模拟。然而，准确估计市场参数需要一个模型构建系统，这偏离了我们主题的目的。因此，我们假设模型中出现的所有参数都是常数。请注意，这种简化也避免了与偏导数相关的问题。第三，我们需要为常数均值和协方差估计设置一个方案。我们选择的方法是重叠批处理方法。在每个时间t>26时，我们选择前0.5年（26周）的数据作为一个批次。然后计算该批次的样本均值和协方差矩阵，并将其用作计算最优策略的参数。我们还将无风险债券的收益率设定为1年期美国国债的2.5%。最后，在获得收益的均值和协方差后，我们模拟了每个时间段的投资过程。由于财富不会影响我们的投资决策，若不损失计算的政策，则会给出一个负数）。对于每个区间【t，t+1/52】，利润和损失使用每个股票的股份条款计算。

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2022-6-24 07:44:25

我们记录每个t的总财富（债券账户+股票账户），并通过绘制来显示表现。4.3.3结果和讨论ω投资对每只股票的比例，因此有必要保持一个投资变量4.1我们选择了三个不同的目标回报率，即10%、15%和20%，如4.1所示。从曲线中，我们观察到目标回报率越高，财富的波动性越大，这确实是一个与理论结果一致的结论。时间100左右的所有曲线的峰值似乎都不正常，但在调查了当时的投资后，我们发现这是由于对谷歌的投资比例很大，在图4.1：静态MVO策略的性能方面，谷歌的投资大幅飙升，在不同的目标回报期（2010年10月左右），他们宣布了非计划融资的成功实验，即价格必须在持续飙升后反弹）。虽然我们没有在正确的时间退出市场，但这仍然证明了该策略的有效性。使用模拟数据。图4.2比较了三种策略的性能。“简单”是指假设GBM过程的时间一致性策略。很明显，简单策略用α击败了CEV策略=-.4、虽然经济受GBM控制，但α=0.4的CEV策略表现最好。我们将其解释为hedgingdemand的结果，这也是驱动α的原因=-.4例为负财富。

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2022-6-24 07:44:28

此外，绝对数并不意味着可预测性，因为根据我们的设计，它们可以通过风险系数γ来衡量。然后，我们将重点放在股票由α=1的CEV过程生成的市场上。在带有α的CEV下=-1的规模如此之大，使得其他两种战略与图4.2：GBM经济中的DMVO战略绩效图4.3：CEV中的DMVO战略绩效可经济化。总体而言，图4.3表明，假设CEVα=1的策略是对冲需求的唯一影响。现在，我们继续介绍一些关于CEV应用于真实α直觉规则的有趣发现，即更接近市场条件的策略应该会产生更好的结果，图4.4：在真实市场数据下CEV策略的应用，这里的演示确实如此。回想一下，当α>0时，遵循CEVα<右尾的股票（Cox，1996）[]。我们将市场指数价格总结为一周，显示出一个带有重右尾的分布，这解释了为什么CEVα=0.05表现更好。最后，我们通过在一个图（4.6）上绘制静态、简单时间一致性和CEV时间一致性来总结策略。α=0.05的CEV策略表现最佳，因为如上所述，其假设与市场条件最为接近。

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2022-6-24 07:44:31

simpletime一致性策略有一条稳定的曲线，这主要是由于预期投资组合收益最大化（请注意，由于模型简化，对冲需求的影响最小）。短期平均收益和协方差矩阵，不考虑整个投资期的套期保值问题。图4.5：市场指数价格汇总当然，结果有其局限性：我们不仅简化了模型，而且简化了数据，可以选择不同的范围（不限于前20名）进行单独的实验。图4.6：真实市场数据下动态与静态的比较第5章Benchmark与机器学习最近，机器学习已成为技术界的热门词汇。具体而言，it的一个分支，深度学习，越来越频繁地用于检测线性和非线性关系。“深层”一词意味着模型的许多隐藏层相互堆叠，“学习”意味着神经网络（NN）的使用，尽管可以与其他模型一起使用。在各种神经网络结构中，长-短期记忆（LSTM）网络是指由LSTM单元组成的递归神经网络（RNN），通常用于处理股票等时间序列数据。LSTM可以从时间序列中捕获重要的隐藏特征并构建关系模型。LSTM在金融数据中的主要应用。考虑图5.1中的LSTM结构示例。LSTM将特征向量作为其神经元，并构建不同的功能门来提取隐藏的特征。所有隐藏特征最终线性连接，以生成预测目标。通过反向传播方法最小化训练过程目标。图5.2是吉宝公司（新加坡证券交易所BN4）的THLSTM预测样本输出。

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nandehutu2022

2022-6-24 07:44:34

观察预测曲线与实际曲线的滞后模式并不奇怪，因为短期模式基本上是LSTM的一个重要考虑因素。这是小组学习的延伸主题。我们想比较一下动态策略和LSTM策略的性能。STM策略旨在根据价格预测优化投资组合。我们在此使用的数据是2007年9月9日至2017年9月10日新加坡证券交易所上市的25只股票的10年数据。我们从图5.3中观察到，股价显示出沉重的左尾。因此，我们选择了带有负α的CEV策略=-.1、此外，由于实施方式不同，很难直接比较财富曲线，因此我们决定比较累积回报的关键统计数据，这是衡量绩效的良好指标。结果如表5.1所示：策略终端收益率最大下降标准偏差CEV 47.90%~83.82%~29.03%1层LSTM w.10个阶段20.16%~15.23%~4.41%1层LSTM w.1000个阶段-4.42%~12.37%2.72%2层LSTM w.10个阶段19.89%~19.33%5.38%2层LSTM w.1000个阶段-3.83%~11.77%2.68%表5.1：比较后的策略绩效，我们首先观察到，在相同的LSTM结构中，预测结果更接近实际数据的滞后价格。因此，以接近的价格形态获得更稳定的回报并不困难。另一方面，尽管存在hedgingdemand，它将回报从中间负回报策略拉回到正数。

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2022-6-24 07:44:38

毕竟，这是一种更关注预期未来绩效的策略，使用LSTM分析评估投资，而动态均值方差策略将高风险和潜在高回报结合在一起。我要感谢Lim Huan Hock对LSTM结果的贡献。要查看完整列表，请参阅App endix A.2图5.1：时间序列的LSTM结构【14】图5.2：吉宝公司的预测与实际数据图5.3：SGXAppendix list of selected stocks A的选股分布。1选定的标准普尔500指数股票1。苹果公司（AAPL）2。微软公司（MSFT）3。亚马逊。com公司（AMZN）4。Facebook股份有限公司A类（FB）（因持续时间短而不包括在内）5。强生（JNJ）6。伯克希尔哈撒韦股份有限公司B类（BRK.B）7。摩根大通公司（JPM）8。埃克森美孚公司（XOM）9。Alphabet股份有限公司A类（GOOGL）10。Alphabet股份有限公司C类（GOOG）11。美国银行公司（BAC）12。富国银行（WFC）13。宝洁公司（PG）14。雪佛龙公司（CVX）15。英特尔公司（INTC）16。P fizer Inc.（PFE）17。美国电话电报公司（T）18。联合健康集团（UNH）19。Visa股份有限公司A类（V）20。花旗集团（C）21。Home Depot Inc.（HD）（因数据不足而不包括在内）22。Verizon Communications Inc.（VZ）A.2选择新加坡交易所股票1。凯德置地（C31）2。城市发展（C09）3。ComfortDelgro（C52）4。星展银行集团控股（D05）5。云顶新加坡有限公司（G13）6。黄金农业资源（E5H）7。香港置地控股（H78）8。怡和自行车和马车（C07）9。吉宝公司（BN4）10。华侨银行（O39）11。SATS（S58）12。胜科实业（U96）13。胜科海事（S51）14。SIA工程公司（S59）15。新加坡航空公司（C6L）16。新加坡交易所（S68）17。新加坡邮政（S08）18。新加坡新闻控股公司（T39）19。新加坡技术工程（S63）20。新加坡电信（Z74）21。

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