关于HJM仿射实现存在性的另一种方法

2022-6-24 07:45:35

HJM TERM STRUCTUREMODELSSTEFAN Tappeastract中存在石蜡实现的另一种方法。我们提出了一种关于HJM利率模型存在函数优化的替代方法。它适用于广泛的一类模型，同时在概念上也相当容易理解。我们还对特定波动率结构应用了一些已知的存在性结果，并进一步深入了解了期限结构模型的几何结构。关键词：利率模型的几何结构、不变叶理、函数化、Riccati方程。91G80、60H151。简介到期日为T的零息债券是一种金融资产，以T向持有人支付一单位现金。其价格为t≤ T可以写成一单位现金的连续贴现p（T，T）=exp-ZTtf（t，s）ds,式中，f（t，t）是时间t时瞬时借款的现行利率，也称为日期t的远期利率。远期利率演变的经典连续框架可以追溯到Heath、Jarrow和Morton（HJM）[18]。他们假设，对于每个日期T，远期利率f（T，T）遵循形式df（T，T）=αHJM（T，T）dt+σ（T，T）dWt，T的It^oproces∈ [0，T]其中W是维纳过程。请注意，这种HJM利率模型是一个有限维的对象，因为对于每个到期日≥ 0我们有anIt^o流程。在实践中，我们之所以对有限维实现的存在感兴趣，有几个原因，也就是说，远期利率的演变可以通过有限维状态过程来描述。

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2022-6-24 07:45:38

这种有限维的实现确保了模型更大的分析可处理性，例如，从期权定价的角度来看。此外，如[1]所述，没有有限维实现的HJM模型似乎不合理，因为远期利率曲线f（t，t+·），t>0的支持度变得很大，因此从一开始就对市场现象建模的远期利率曲线的任何“形状”都以正概率被破坏。在[20、23、13、2、19、4、5、9、10]中，针对各种特殊情况，研究了HJM利率模型的有限维实现的存在和构建问题，并在[7、6、16]中得到了彻底解决，另请参见[3]中的调查。其主要思想是切换到正向曲线的Musiela参数化：t（x）=f（t，t+x）（见[22]），并将远期利率视为一个随机偏微分方程（SPDE）的解，即所谓的HJMM（Heath–Jarrow–Morton–Musiela）方程（drt=（ddxrt+αHJM（rt））dt+σ（rt）dWtr=h（1.1），在适当的正向曲线希尔伯特空间h上，其中dDxD表示微分算子，它由强连续半群（St）t生成≥0个班次。银行账户B是无风险资产，从一单位现金开始，在时间t以短期利率rt（0）持续增长，即B（t）=expZtrs（0）ds, t型≥ 根据[12]，隐含债券市场，我们现在可以表示为asP（t，t）=exp-ZT公司-ttrt（x）dx, 0≤ t型≤ 如果存在等价（局部）鞅测度Q，则T（1.2）是无套利的~ p确认贴现债券价格sp（t，t）B（t），t∈ [0，T]是所有到期T的局部Q-鞅。如果我们就这样一个等价鞅测度Q建立HJMM方程（1.1）~ P、然后漂移由波动率决定，即。

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mingdashike22

2022-6-24 07:45:41

αHJM:H→ （1.1）中的H由HJMdrift条件给出（见[18]）αHJM（H）=σ（H）Zo（H）（η）dη=ddxZo∑（h）（η）dη, h类∈ H、（1.3）现在，我们可以从几何角度考虑问题，有限维实现的存在仅仅意味着存在不变流形，即无限维子流形，远期利率过程永远不会离开它。应用Frobenius定理，我们得到了存在不变流形，即dim{β，σ}LA<∞,i、 e.向量场7生成的所谓李代数→ β（h）：=ddxh+αHJM（h）-Dσ（h）σ（h）和h 7→ σ（h）必须是局部有限尺寸。这些是上述条款的基本思想【7、6、16】。这种方法的技术问题是，微分算子rdx通常是无界的，因此是非光滑算子。比约克等人[7，6]选择的状态空间H非常小，以至于DdxBecomes有界。因此，并不是所有基本HJM模型的正向曲线都属于该空间，例如，Cox-Ingersoll-Ross模型所暗示的正向曲线，见【16，第1节】。菲利波维奇（Filipovi\'c）和泰奇曼（Teichmann）[16]通过对[21]中开发的Fr'echet空间进行方便的分析，解决了这个问题，然而，这远远不是一个简单的问题。在他们的论文中，他们特别指出，任何具有有限维度实现的HJM模型都必然具有一个期限结构。本论文的贡献是提出一种替代方法，其特点是以下两个主要特征：仿射项结构模型的替代方法3o我们从[15，Sec.5]开始研究Hilbert空间H，该空间足够大，可以捕捉任何合理的正向曲线。

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2022-6-24 07:45:44

如前所述，Bj¨ork等人[7，6]选择空间H，使得微分算子Dx是有界的，因此它非常小同时，本文不需要关于Fr'echet空间的便利性分析的知识。菲利波维奇（Filipovi\'c）和泰奇曼（Teichmann）[16]使用了这种相当技术性的机器。我们通过直接将重点放在一个实现上来避免这个框架，由于[16]中提到的结果，这并不意味着限制。这使我们的方法相当容易理解。综上所述，我们提出了一种关于HJM模型存在有效实现的替代方法，该方法适用于广泛类别的模型，并且在概念上可供广大读者使用。我们的方法还允许我们补充[7]中特定脆弱性结构的一些存在结果（见备注6.6、7.4中的注释），并进一步深入了解期限结构模型的几何结构（见备注6.3、6.5、8.2中的注释）。在我们通过概述本文的其余部分来完成这篇介绍之前，让我们简要地提及另一种建模零息票债券的几何方法，这种方法在概念上与目前的HJM框架完全不同，但也会导致不变性问题。它由Brody和Hughston[8]提出，并受到信息几何方法的启发。他们定义了债券价格sp（t，t）=Z∞T-tρt（x）dx，其中每个ρ是R+上的密度。为了引入密度，作者在[8]中考虑了状态空间H=L（R+）上的一个过程ξ，通过构造，该过程保持在希尔伯特空间H中单位球体S的正正正角。这意味着ρt=√ξ确实是一种密度。本文的其余部分组织如下。在第2节中，我们提供了关于不变叶理的结果，在第3节中，我们提供了关于一般随机偏微分方程的有效实现。

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2022-6-24 07:45:47

在第4节中，我们介绍了前向曲线的空间。在这个空间上，我们给出了第5节中关于HJMM方程（1.1）不变叶理的一个结果。利用这一结果，我们研究了第6节中具有一般波动率的HJMM方程（1.1）和第7-9节中各种特定波动率结构的存在性。最后，第10节总结。2、一般随机偏微分方程的不变叶理在本节中，我们提供了关于一般随机偏微分方程不变叶理的结果，我们将随后应用于HJMM方程（1.1）。从现在开始，让(Ohm, F、（Ft）t≥0，P）是一个满足通常条件的过滤概率空间，且W是一个实值维纳过程。这里，我们将在可分离的Hilbert空间（h，k·k，h·，·i）上处理类型为（drt=（Art+α（rt））dt+σ（rt）dWtr=h（2.1）的随机偏微分方程。在（2.1）中，操作员A:D（A）H→ H是C-半群（St）t的最小生成元≥0on H，带4个STEFAN TAPPEoperator A*: D（A*) H→ H、回想一下，域D（A）和D（A*) 在H中为致密，参见，例如，[24，第13.35.c条，第13.12条]。关于向量场α，σ：H→ 我们施加以下条件。2.1. 假定我们假设α，σ∈ C（H）且常数大于0，使得kα（H）- α（h）k≤ Lkh公司- hk，（2.2）kσ（h）- σ（h）k≤ Lkh公司- hk（2.3）适用于所有h、h∈ H、 Lipschitz假设（2.2）、（2.3）确保∈ H对于r=H的（2.1）存在唯一的弱解，请参见[11，第6.5条，第7.4条]。2.2. 定义。A子集U 对于（2.1）H称为不变量，如果对于每个H∈ Uwe haveP（rt∈ U） =1表示所有t≥ 0其中（rt）t≥0表示r=h的（2.1）的弱解。在下面的公式中，让V H是有限维线性子空间，d：=维数V。2.3. 定义。

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mingdashike22

2022-6-24 07:45:51

A系列（Mt）t≥a ffine子空间Mt的0 H、 t型≥ 如果存在ψ，则0称为V生成的接触∈ C（R+；H）使得mt=ψ（t）+V，t≥ 0。（2.4）mapψ是叶理（Mt）t的参数化≥0.2.4. 评论请注意，叶理（Mt）的参数化≥0生成的byV不是唯一的。然而，由于条件（2.4），对于两个参数ψ，ψ，我们有ψ（t）- ψ（t）∈ V代表所有t≥ 0.在下面的内容中，让（Mt）t≥0是V生成的叶理。每t≥ 0设定πV⊥mt正好由一个点组成。因此，映射ψ：R+→ H、 ψ（t）：=πV⊥MTI定义良好，是叶理（Mt）t的唯一参数化≥0suchthatψ（t）∈ 五、⊥对于所有t≥ 0.2.5. 定义。对于每个t≥ 0我们定义了切线空间t Mt：=ψ（t）+V。通过备注2.4，切线的定义与参数化的选择无关。2.6. 定义。叶理（Mt）t≥如果forevery t，则（2.1）的0of子流形是不变的∈ R+和h∈ Mtwe haveP（rt∈ Mt+t）=1表示所有t≥ 0（2.5），其中（rt）t≥0表示r=h的（2.1）弱解。我们现在将看到，V生成的不变叶理是唯一的，前提是它存在。2.7. 引理。Let（Mit）t≥0，i=1，2是由V和M生成的两个叶理∩M6=, 对于（2.1）是不变的。那么对于所有t，我们有Mt=Mt≥ 0.仿射项结构模型的另一种方法。选择h∈ M∩ 手动（rt）t≥0是（2.1）的弱解，r=h。那么我们有πV⊥Mt=πV⊥rt=πV⊥Mt，t≥ 0完成证明。2.8. 提议假设叶理（Mt）t≥0of子流形对于（2.1）和let是不变的`∈ L（H；Rd）是`（V）=Rd的连续线性算子。那么，对于每t∈ R+和h∈ Mtwe几乎可以肯定的是，t=πV⊥Mt+t+`-1（`（rt）- `πV⊥Mt+t），t≥ 0（2.6），其中（rt）t≥0表示（2.1）的弱解，r=h，（2.6）是（rt）t的分解≥0根据V⊥⊕ 五、证据

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2022-6-24 07:45:54

通过条件（2.5），我们几乎可以得到surelyrt=πV⊥rt+πVrt=πV⊥Mt+t+πVrt，t≥ 因此我们几乎可以确定πVrt=rt- πV⊥Mt+t=`-1（`（rt）- `（πV⊥Mt+t）），t≥ 将（2.8）插入（2.7），我们得到（2.6）。2.9. 评论如果叶理（Mt）t≥0对于（2.1）是不变的，然后对于每个连续线性运算符`∈ L（H；Rd）（V）=Rd分解（2.6）提供了解决方案（rt）t的实现≥0通过有限维过程`（r）。现在我们将讨论本节的主要结果，即下面的定理2.11，它为叶理（Mt）t的不变性提供了一致性条件≥0.2.10. 引理。存在ζ，ζd∈ D（A*) 和同构φ：Rd→ v使φ（hζ，hi）=所有h的h∈ V，（2.9）其中我们使用符号hζ，hi：=（hζ，hi，…，hζd，hi）∈ Rd证明。用Gram-Schmidt方法，存在V的正交基{e，…，ed}。自D（A）起*) 在H中致密，存在ζ，ζd∈ D（A*) 带kζi-eik<2-D对于i=1，d、因此，我们得到| hζi，eji |≤ |hei，eji |+| hζi- ei，eji |<2-D对于所有i，j=1，d，i 6=j和| hζi，eii |≥ |嗨，eii |- |hζi- ei，eii |>1- 2.-D对于所有i=1，d、因此，我们有dxj=1j6=i | hζi，eji |<（d- 1)2-d<（2d- 1)2-d=1- 2d<| hζi，eii |对于所有i=1，d、因此，根据Gerschgorin的定理，（d×d）-矩阵b：=hζ，ei···hζ，edi。。。。。。hζd，ei···hζd，edi是可逆的。Letψ：V→ Rdbe同构ψ（h）：=（he，hi，…，hed，hi），h∈ 五、 STEFAN TAPPEThen，同构Boψ：V→ Rdhas表示（Boψ）（h）=（hζ，hi，…，hζd，hi），h∈ 五、定义同构φ：=（Bo ψ)-1：研发部→ V完成证明。现在，让ψ∈ C（R+；H）是（Mt）t的参数化≥0并让φ：Rd→ Vbe是引理2.10中的同构。

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2022-6-24 07:45:57

我们定义了▄α，▄σ：R+×Rd→ Rdas▄α（t，z）：=hA*ζ、 ψ（t）+φ（z）i+hζ，α（ψ（t）+φ（z））-ψ（t）i，|σ（t，z）：=hζ，σ（ψ（t）+φ（z））i。根据假设2.1，我们有|α，|σ∈ C0,1（R+×Rd；Rd），存在常数tk>0，使得k|α（t，z）- α（t，z）kRd≤ Kkz公司- zkRdk￠σ（t，z）- σ（t，z）kRd≤ Kkz公司- zkRdfor所有t∈ R+和所有z，z∈ 因此，对于每个t∈ R+和每个z∈ rDzt=α（t+t，Zt）dt+σ（t+t，Zt）dWtZ=z存在唯一的强解。（2.10）我们定义了向量场ν：D（a）→ H asν（H）：=Ah+α（H），H∈ D（A）。这是我们关于叶理（Mt）t不变性的主要结果≥0适用于PDE（2.1）。2.11. 定理。叶理（Mt）t≥0是（2.1）的不变叶理当且仅当≥ 0我们有MT D（A），（2.11）ν（h）∈ T Mt，h∈ Mt（2.12）σ（h）∈ 五、 h类∈ Mt.（2.13）如果满足之前的条件，则mapR+→ H、 t 7→ A（πV⊥Mt）（2.14）是连续的∈ R+和h∈ M R=h的（2.1）弱溶液也是强溶液。“证明。”=>”: 让t∈ R+和h∈ V任意。那么我们有h：=ψ（t）+h∈Mt.Let（rt）t≥0为（2.1）的弱解，r=h，设z：=hζ，hi。自ζ，ζd∈ D（A*) 和（Mt）t≥0是（2.1）的不变叶理，我们使用（2.9）得到hζ，rt- ψ（t+t）i=hζ，h-ψ（t）i+Zt（hA*ζ、 rsi+hζ，α（rs）- ψ（t+s）i）ds+Zthζ，σ（rs）idWs=hζ，hi+Ztα（t+s，hζ，rs- ψ（t+s）i）ds+Zt∑（t+s，hζ，rs- ψ（t+s）i）dWs。仿射项结构模型的另一种方法7该恒等式表明，几乎可以肯定zt=hζ，rt- ψ（t+t）i，t≥ 0其中（Zt）t≥0表示Z=Z的（2.10）的强解。通过（2.9），我们几乎可以肯定φ（Zt）=rt- ψ（t+t），t≥ 0、设ξ∈ D（A*) 要专横。

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2022-6-24 07:46:00

通过It^o公式并应用线性函数hξ，·i，然后，（2.15）hξ，rt- ψ（t+t）i=hξ，φ（Zt）i=hξ，hi+Zthξ，φ（|α（t+s，Zs））ids+Zthξ，φ（|σ（t+s，Zs））idWs。自（rt）t起≥0是r=h的（2.1）的弱解，我们有（2.16）hξ，rt- ψ（t+t）i=hξ，h- ψ（t）i+Zt（hA*ξ、 rsi+hξ，α（rs）- ψ（t+s）i）ds+Zthξ，σ（rs）idWs。结合（2.15）和（2.16），我们得到（2.17）0=Zt（hA*ξ、 rsi+hξ，α（rs）- ψ（t+s）- φ（△α（t+s，Zs））i）ds+Zthξ，σ（rs）- φ（￠σ（t+s，Zs））idWs。因此，（2.17）中的所有被积函数都会消失，并且，由于ξ∈ D（A*) 是任意的，设置=0产生ψ（t）+h∈ D（A），证明（2.11）和恒等式ν（ψ（t）+h）=ψ（t）+φ（|α（t，z））∈ T Mt，（2.18）σ（ψ（T）+h）=φ（|σ（T，z））∈ V（2.19），显示（2.12），（2.13）。此外，标识（2.18）证明了（2.14）中定义的地图的连续性。”<=”: 让t∈ R+和h∈ Mtbe任意。存在唯一的z∈ Rdsuchth h=ψ（t）+φ（z）。Let（Zt）t≥0是Z=Z的（2.10）的强解。It^o的公式通过使用（2.11）–（2.13）和（2.9），ψ（t+t）+φ（Zt）=ψ（t）+φ（Z）+Zt（ψ（t+s）+φ（|α（t+s，Zs）））ds+Ztφ（|σ（t+s，Zs））dWs=h+Zt（ψ（t+s）+φ（hζ，ν（ψ（t+s）+φ（Zs））- ψ（t+s）i）ds+Ztφ（hζ，σ（ψ（t+s）+φ（Zs））i）dWs=h+Zt（A（ψ（t+s）+φ（Zs））+α（ψ（t+s）+φ（Zs）））ds+Ztσ（ψ（t+s）+φ（Zs））dWs，t≥ 0.8 STEFAN Tappeb通过（2.1）的解的唯一性，我们几乎可以确定Ryt=ψ（t+t）+φ（Zt）∈ Mt+t，t≥ 0其中（rt）t≥0表示（2.1）的弱解，r=h，其中（Mt）t≥0是不变叶理，我们得到（rt）t≥0也是一个强大的解决方案。2.12. 评论请注意，（2.11）–（2.13）是切线空间上的一致性条件（有关相关结果，请参见，例如，[14]）。自叶理（Mt）t≥对于一个有效的流形，我们不需要漂移的Stratonovich校正项。现在，我们用坐标系表示定理2.11中的一致性条件。

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大多数88

2022-6-24 07:46:03

Letψ∈ C（R+；H）是（Mt）t的参数化≥0设{λ，…，λd}为V的基。2.13. 推论以下陈述等效：（1）（Mt）t≥0是（2.1）的不变叶理。（2）我们有ψ（R+） D（A），（2.20）λ，λd∈ D（A）（2.21），存在u，γ：R+×Rd→ Rd使νψ（t）+dXi=1yiλi= ψ（t）+dXi=1ui（t，y）λi，（t，y）∈ R+×Rd（2.22）σψ（t）+dXi=1yiλi=dXi=1γi（t，y）λi，（t，y）∈ R+×Rd.（2.23）如果满足之前的条件，u和γ是唯一确定的，我们有u，γ∈ C0,1（R+×Rd；Rd），存在一个常数K>0，使得Ku（t，y）- u（t，y）kRd≤ Kky公司- ykRd（2.24）kγ（t，y）- γ（t，y）kRd≤ Kky公司- 所有t的ykRd（2.25）∈ R+和y，y∈ Rd，每t∈ R+和h∈ M r=h的（2.1）弱解也是强解。证据断言的等价性来自定理2.11。通过λ的线性独立性，λd，映射u和γ是唯一确定的。用π表示：Rd→ V同构π（y）：=Pdi=1yiλi，我们可以表示为u（t，y）=π-1.νψ（t）+dXi=1yiλi- ψ（t）,γ（t，y）=π-1.σψ（t）+dXi=1yiλi.由于（2.14）中定义的映射根据定理2.11是连续的，因此我们有u，γ∈根据假设2.1，C0,1（R+×Rd；Rd）和（2.24），（2.25）。假设叶理（Mt）t≥0对于（2.1）是不变的。现在我们将确定基本的坐标过程Y。让t∈ R+和h∈ Mtbe任意。存在唯一的y∈ Rd使得h=ψ（t）+Pdi=1yiλi。考虑到（2.24），（2.25），我们让（Yt）t≥0是（dYt=u（t+t，Yt）dt+γ（t+t，Yt）dWtY=y的强解，（2.26）仿射项结构模型的另一种方法，其中u，γ：R+×Rd→ Rd由（2.22）、（2.23）给出。根据It^o公式，过程rt=ψ（t+t）+dXi=1Yitλi，t≥ 0（2.27）是（2.1）的强解，r=h.2.14。评论如果我们考虑利率模型，状态过程Y没有直接的经济解释。

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2022-6-24 07:46:06

命题2.8表明，对于任何连续线性构造器`∈ L（H；Rd）`（V）=Rd我们可以选择`（r）作为状态进程。我们可以考虑\'i（h）=xiRxih（η）dη（基准收益率）或\'i（h）=h（xi）（基准远期利率）。有关相关结果，请参考【6，第7节】、【5，第5.1节】、【7，第3.3节】、【10，第2节】、【13，第5节】。3、一般随机偏微分方程的仿射实现上一节的结果导致对a函数实现的以下定义。3.1. 定义。让V H是有限维线性子空间。SPDE（2.1）每小时有一个由V if生成的a ffine实现∈ D（A）存在摩擦（Mht）t≥0由V和h生成∈ Mh，对于（2.1）是不变的。我们称d：=dim V为a ffine实现的维度。3.2. 引理。让d∈ N和λ，λd∈ H是线性独立的。假设PDE（2.1）有一个由V=hλ，…，生成的d维函数实现，λdi。然后，存在Φ，Φd∈ C（H；R），使得σ（H）=dXi=1Φi（H）λi，H∈ H、（3.1）证明。定理2.11中的关系式（2.13）得出σ（h）∈ V代表所有h∈ D（A）。由于（A）在H中是稠密的，V是闭合的，我们得到σ（H）∈ V代表所有h∈ H、因此，存在Φ，Φd:H→ R使得（3.1）满足σ∈ C（H），我们有Φ，Φd∈ C（H；R）。假设SPDE（2.1）具有由有限维子空间V生成的一个完整实现 H、然后，对于每个H∈ D（A）叶理（Mht）t≥0由引理2.7唯一确定。

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2022-6-24 07:46:08

我们将奇异集∑定义为（3.2）∑={h∈ D（A）：Mh=MHT对于所有t≥ 0}={h∈ D（A）：h+V是不变流形}。从几何角度来看，奇异集由所有起点SH组成∈ D（A），对应的叶理（Mht）t≥0只包含一个单叶，也就是说，求解过程甚至停留在d维a函数空间h+V上。对于h∈ ∑映射u，γ：Rd→ Rdin（2.26）不依赖于时间t，因为坐标过程Y是时间齐次的，并且a fine实现（2.27）中的参数化ψ可以选择为ψ≡ h、（3.2）中单数集定义的结果是恒等式∑+V=∑。（3.3）尤其是，∑是（2.1）的不变集。10斯特凡挺杆3.3。提议假设SPDE（2.1）有一个由V生成的a ffine实现。然后，奇异集∑由∑={h给出∈ D（A）：ν（h）∈ V}，（3.4）每小时∈ D（A）和t∈ R+我们有Mht∩Σ = 或Mht ∑，和forevery t∈ R+带Mht ∑对于所有t，我们有Mht=Mht≥ t、证明。让h∈ D（A）任意。根据定理2.11的条件（2.12），我们得到了ν（h）∈ V当且仅当ν（h）∈ V代表所有h∈ h+V，这意味着h+V是不变流形，证明（3.4）。考虑到（3.3），我们获得了以下声明。3.4. 评论假设SPDE（2.1）有一个由V生成的a ffine实现。对于任何h∈ D（A）我们定义了确定性停止时间t=inf{t≥ 0：ψ（t）∈ Σ} ∈ [0, ∞]根据备注2.4和（3.3），其不取决于（Mht）t的参数化ψ的选择≥根据命题3.3，强解（rt）t≥0对于（2.1），R=hh为二分行为P（rt/∈ ∑）=1，t∈ [0，t）（3.5）P（rt∈ ∑）=1，t∈ [t，∞)（3.6）即，直到时间t，解在奇异集∑之外进行，然后在∑中进行，因此甚至在一个有效流形上。

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2022-6-24 07:46:11

特别是，如果t=0，我们有P（rt∈ ∑）=1表示所有t≥ 0，如果t=∞ 我们有P（rt/∈ ∑）=1表示所有t≥ 对于我们以后关于a ffene实现存在性的研究，拟指数函数（参见[7，第5节]），我们现在将在一般上下文中介绍，它将发挥重要作用。归纳地，我们定义了域SD（An）：={h∈ D（An-1）：An-1小时∈ D（A）}，n≥ 2as以及交叉点d（A∞) :=\\n∈ND（An）。3.5. 定义。A元素h∈ D（A∞) 称为准指数ifdimhAnh:n∈ 镍<∞.(3.7)3.6. 引理。让h∈ H任意。以下陈述是等效的。（1） h是准指数。（2）存在d∈ N使得h∈ D（Ad）和Adh∈ 啊，啊，广告-1你好。（3）存在有限维子空间V D（A）带h∈ V这样的AV∈ V代表所有V∈ 五、（3.8）证明。(1) => （2）：对于h=0，这一点很清楚，对于h 6=0，存在一个最小整数d（3.7）∈ 这样h，啊，广告-1h是线性独立的。因此，我们有Adh∈ 啊，啊，广告-1你好。(2) => （3）：有限维子空间V=hh，Ah，广告-1hi具有所需的属性。(3) => （1）：对于每个n，通过感应使用（3.8）∈ N我们有h∈ D（An）安丹∈ V，产生h∈ D（A∞) 和（3.7），其中h是准指数。仿射项结构模型的另一种方法11在后续章节中，H将是函数空间，a=ddx微分器。然后，域D（A∞) 包含所有C∞-任何导数都属于函数空间H的函数。如引理3.6所示，函数H∈D（A∞) 如果满足d阶d=d的线性常微分方程，则为准指数-1Xn=0cnah（3.9），对于某些d∈ N、特别是，任何指数函数都具有这一性质，这就解释了拟指数这一术语。注意，（3.9）表示有限维子空间V=hh，Ah。

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kedemingshi

2022-6-24 07:46:15

广告-1嗨 D（A）在算子A下不变，即我们有AV 五、准指数函数将对术语结构模型的表征起到决定性的作用，并得到充分的实现，见后续第6–8.4节。前向曲线的空间在本节中，我们定义了前向曲线的空间，我们将在接下来的章节中研究HJMM方程（1.1）。这些空格已在【15，第5节】中产生。我们假设一个任意常数β>0。设Hβ为所有绝对连续函数的空间H:R+→ R使KHKβ：=|h（0）|+ZR+| h（x）| eβxdx< ∞.（4.1）Let（St）t≥0be由Sth定义的Hβ上的移位半群：=H（t+·）表示t∈ R+。由于远期曲线应适用于较长的到期时间x，因此从经济角度来看，选择Hβ是合理的。4.1. 定理。设β>0为任意值。（1）空间（Hβ，k·kβ）是一个可分Hilbert空间。（2）对于每个x∈ R+，点评估h 7→ h（x）：hβ→ R是连续线性泛函。（3）（St）t≥0是Hβ上的一个C半群，具有极小生成元dx:D（ddx）Hβ→ Hβ，ddxh=H，域Dddx公司= {h∈ Hβ：H∈ Hβ}。（4）每小时∈ Hβ是连续的，有界的，极限H(∞) := 林克斯→∞h（x）存在。（5） Hβ：={H∈ Hβ：H(∞) = 0}是Hβ的一个闭子空间。（6）存在一个普适常数C>0，仅取决于β，因此对于所有h∈ Hβ我们有估计的KHKL∞（R+）≤ Ckhkβ。（4.2）（7）对于每个β>β，我们有Hβ Hβ及其关系khkβ≤ khkβ，h∈ Hβ。（4.3）证明。注意，Hβ是空间Hwfrom【15，第5.1节】，权重函数w（x）=eβx，x∈ R+。因此，前六项陈述源自【15，第5.1.1条，第5.1.1条】。对于每个β>β，观测Zr+| h（x）| eβxdx≤ZR+| h（x）| eβxdx，h∈ Hβ12斯特凡挺杆Hβ Hβ和（4.3）。4.2. 引理。

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何人来此

2022-6-24 07:46:18

以下陈述有效。（1）对于所有h，g∈ Hβ我们有hg∈ Hβ与乘法映射m:Hβ×Hβ→ Hβ定义为m（H，g）：=hg是一个连续的双线性算子。（2）对于所有h，g∈ D（ddx）我们有hg∈ D（ddx）。证据函数hg是绝对连续的，因为h和g是绝对连续且有界的，见定理4.1。通过估算（4.2），我们得到KHGKβ=| h（0）| g（0）|+ZR+| h（x）g（x）+g（x）h（x）| eβxdx≤ khkL公司∞（R+）kgkL∞（R++2khkL）∞（R+）ZR+| g（x）| eβxdx+2kgkL∞（R+）ZR+| h（x）| eβxdx≤ Ckhkβkgkβ+2Ckhkβkgkβ+2CKKKKβKKKβ<∞.因此，我们有hg∈ Hβ和估算的km（H，g）kβ≤pC+4Ckhkβkgkβ，证明m是一个连续的双线性算子。如果h，g∈ D（ddx），我们有hg∈ C（R+）（hg）=hg+hg，从何处hg∈ D（ddx）由第一份声明确定。对于λ∈ Hβ我们定义∧：=Iλ：=Roλ（η）dη，它属于C（R+），即从R+到R的所有连续函数的空间。4.3。引理。设0<β<β为任意实数。对于每个λ∈ Hβ我们有∧∈ Hβ和图I:Hβ→ Hβ是连续线性算子。证据Letλ∈ Hβ是任意的。那么Iλ是绝对连续的。由于Iλ（0）=0，使用Cauchy-Schwarz不等式，我们得到了kiλkβ=ZR+λ（x）eβxdx=ZR+Z∞xλ（y）eβye-βydyeβxdx≤锆+Z∞xλ（y）eβydyZ∞xe公司-βydyeβxdx≤ kλkβZR+βe-(β-β） xdx=β（β- β） kλkβ，证明该断言。5、HJMM方程的不变叶理我们现在将研究HJMM方程（1.1）的不变叶理，方法是从上一节开始研究正向曲线的空间。设0<β<β为任意实数，设σ：Hβ→ 给出Hβ。5.1. 假定

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2022-6-24 07:46:21

我们假设σ∈ C（Hβ）带σ（Hβ） Hβ，存在L，M>0，使得kσ（H）- σ（h）kβ≤ Lkh公司- 所有h、h的hkβ∈ Hβ，kσ（H）kβ≤ M代表所有h∈ Hβ。仿射项结构模型13的另一种方法使用上一节的符号，HJM漂移项（1.3）由αHJM=m（σ，Iσ）给出。回想一下，这种漂移的选择确保了隐含债券市场（1.2）将没有套利机会。根据【15，Cor.5.1.2】，我们得到了αHJM（Hβ） Hβ存在一个常数tk>0，使得kαHJM（H）- αHJM（h）kβ≤ Kkh公司- 所有h、h的hkβ∈ Hβ。因此，对于每个h∈ Hβ（1.1）存在唯一的弱解，r=H，见[11，Thm.6.5，Thm.7.4]。注意，（1.1）是状态空间H=Hβ上随机偏微分方程（2.1）的一个特殊示例，其中生成器a=ddx，漂移α=αHJM。此外，引理4.2、4.3产生αHJM∈ C（Hβ），假设2.1中的所有必要条件均已满足。现在让（Mt）t≥0be由有限维子空间V生成的叶理Hβ。我们设置d：=尺寸V。为了研究（Mt）t的不变性≥0对于HJMequation（1.1），我们直接切换到坐标系。Letψ∈ C（R+；H）bea（Mt）t的参数化≥0设{λ，…，λd}为V的基。那么，集合{∧，…，λd}在C（R+）中是线性独立的。5.2. 评论让E {1，…，d}是一个索引集。我们设定：={（i，j）∈ E×E:i<j}。然后，有子集D Eand和 Esuch thatB={∧，…，λd}∪ {∧i:i∈ D}∪ {∧i∧j：（i，j）∈ D} （5.1）是向量空间W=h∧，∧di+h∧i:i∈ Ei+h∧i∧j：（i，j）∈ 工程安装。（5.2）每m∈ 存在唯一（cmi）i=1，。。。，d R、（dmi）i∈D R和（dmij）（i，j）∈D R使得∧m=dXi=1cmi∧i+Xi∈Ddmi∧i+X（i，j）∈Ddmij∧i∧j，（5.3）和每个（m，n）∈ 存在唯一（cmni）i=1，。。。，d R、（dmni）i∈D 兰德（dmnij）（i，j）∈D R使得∧m∧n=dXi=1cmni∧i+Xi∈Ddmni∧i+X（i，j）∈Ddmnij∧i∧j.（5.4）5.3。定理。

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2022-6-24 07:46:24

叶理（Mt）t≥0对于HJMM方程（1.1）是不变的，如果只有（2.20），（2.21），则存在u，γ∈ C0,1（R+×Rd；Rd），使得ν（ψ（t））=ψ（t）+dXi=1ui（t，0）λi，t∈ R+（5.5）14 STEFAN TAPPEand（2.23），有（aki）k=1，。。。，di=1，。。。，d R、（bki）k=1，。。。，di公司∈D R和（bkij）k=1，。。。，d（i，j）∈D 所有（t，y）的R∈ R+×Rd我们有-ykui（t，y）+Xm∈E\\Dcmiyk（γm（t，y））（5.6）+X（m，n）∈E\\Dcmniyk（γm（t，y）γn（t，y））=aki，i=1，d、 k=1，dyk（γi（t，y））+Xm∈E\\Ddmiyk（γm（t，y））（5.7）+X（m，n）∈E\\Ddmniyk（γm（t，y）γn（t，y））=bki，i∈ D、 k=1，dyk（γi（t，y）γj（t，y））+Xm∈E\\Ddmijyk（γm（t，y））（5.8）+X（m，n）∈E\\Ddmnijyk（γm（t，y）γn（t，y））=bkij，（i，j）∈ D、 k=1，D此处E {1，…，d}的选择应确保E {i=1，…，d：γi6≡ 如备注5.2所示，选择0}和其他量，我们得到了Riccati方程dDx∧k+dXi=1aki∧i+Xi∈Dbki∧i+X（i，j）∈Dbkij∧i∧j=λk（0），k=1，d、（5.9）证明。”=>” 假设（Mt）t≥0是（1.1）的不变叶理。根据推论2.13，我们有（2.20）–（2.23）。关系（5.5）后面是在（2.22）中设置y=0。在（2.22）中插入（2.23），考虑HJM漂移条件（1.3），我们得到ddxψ（t）+dXi=1yiddxλi+ddxdXi=1γi（t，y）∧i= ψ（t）+dXi=1ui（t，y）λifor all（t，y）∈ R+×Rd.与ykwe的差异获得ddxλk+ddxdXi=1γi（t，y）∧idXi=1ykγi（t，y）∧i=dXi=1ykui（t，y）λi，k=1，D全部（t，y）∈ R+×Rd.积分得到λk-dXi=1ykui（t，y）∧i+dXi，j=1γi（t，y）ykγj（t，y）∧i∧j=λk（0），k=1，D全部（t，y）∈ R+×Rd.注意E {i=1，…，d：γi6≡ 0}，我们可以把这个方程表示为λk-dXi=1ykui（t，y）∧i+Xi∈Eyk（γi（t，y））∧i+X（i，j）∈Eyk（γi（t，y）γj（t，y））∧i∧j=λk（0），k=1，仿射项结构模型的dAN替代方法15适用于所有（t，y）∈ R+×Rd.介绍函数fi:R+×Rd→ Rd，i=1。

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mingdashike22

2022-6-24 07:46:27

，dand gi：R+×Rd→ Rd，i∈ Das以及gij：R+×Rd→ Rd，（i，j）∈ Dbyfi（t，y）：=-ui（t，y）+Xm∈E\\Dcmiγm（t，y）+X（m，n）∈E\\Dcmniγm（t，y）γn（t，y），gi（t，y）：=γi（t，y）+Xm∈E\\Ddmiγm（t，y）+X（m，n）∈E\\Ddmniγm（t，y）γn（t，y），gij（t，y）：=γi（t，y）γj（t，y）+Xm∈E\\Ddmijγm（t，y）+X（m，n）∈通过考虑（5.3）和（5.4），我们得到dXi=1ykfi（t，y）∧i+Xi∈Dykgi（t，y）∧i+X（i，j）∈Dykgij（t，y）∧i∧j=-（λk- λk（0）），k=1，D全部（t，y）∈ R+×Rd.由于（5.1）中定义的B是（5.2）中向量空间W的基础，我们推导出（5.6）、（5.7）、（5.8）和Riccati方程（5.9）。”<=”: 关系式（1.3），（2.23），（5.3），（5.4）产量（5.10）αHJMψ（t）+dXi=1yiλi=ddx公司dXi，j=1γi（t，y）γj（t，y）∧i∧j=ddx公司xi∈Eγi（t，y）∧i+2X（i，j）∈Eγi（t，y）γj（t，y）∧i∧j=ddx公司dXi=1（ui（t，y）+fi（t，y））∧i+Xi∈Dgi（t，y）∧i+X（i，j）∈Dgij（t，y）∧i∧j对于所有（t，y）∈ R+×Rd。特别是，通过设置y=0，我们得到（5.11）αHJM（ψ（t））=ddxdXi=1（ui（t，0）+fi（t，0））∧i+Xi∈Dgi（t，0）∧i+X（i，j）∈Dgij（t，0）∧i∧j16 STEFAN挺杆用于所有t∈ R+。关系式（5.10）、（5.6）、（5.7）、（5.8）、（5.11）和Riccati方程（5.9）给出了αHJMψ（t）+dXi=1yiλi=ddx公司dXi=1ui（t，y）+fi（t，0）+dXk=1akiyk∧i+Xi∈Dgi（t，0）+dXk=1bkiyk∧i+X（i，j）∈Dgij（t，0）+dXk=1bkijyk∧i∧j=ddx公司dXi=1（ui（t，0）+fi（t，0））∧i+Xi∈Dgi（t，0）∧i+X（i，j）∈Dgij（t，0）∧i∧j+ddxdXi=1（ui（t，y）- ui（t，0）∧i+ddxdXk=1ykdXi=1aki∧i+Xi∈Dbki∧i+X（i，j）∈Dbkij∧i∧j= αHJM（ψ（t））+dXi=1（ui（t，y）- ui（t，0））λi-dXk=1ykddxλkforall（t，y）∈ R+×Rd。通过进一步合并（5.5），我们得出结论ψ（t）+dXi=1yiλi=ddxψ（t）+dXi=1yiddxλi+αHJMψ（t）+dXi=1yiλi= ν（ψ（t））+dXi=1（ui（t，y）- ui（t，0））λi=ψ（t）+dXi=1ui（t，y）λifor all（t，y）∈ R+×Rd，显示（2.22）。根据推论2.13，叶理（Mt）t≥0是（1.1）的不变量。请注意，特别是Riccati方程的系统（5.9）对于获得有关某一实现存在的知识非常有用。

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2022-6-24 07:46:30

我们将在后续章节中举例说明EOREM 5.3，以描述HJMM方程（1.1）允许有效实现的波动率结构。我们将从第6节中的一般波动率开始，并将在第7–9.6节中获得特定波动率结构的结果作为推论。具有一般挥发性的HJMM方程的仿射实现在本节中，我们假设HJMM方程（1.1）中的挥发性σ的形式为σ（h）=pXi=1Φi（h）λi，h∈ Hβ（6.1），其中p∈ N表示正整数，Φ，Φp:Hβ→ R是泛函，λ，λp∈ Hβ与线性无关。我们假设Φi∈ C（Hβ；R）对于i=1，存在L，M>0，对于所有i=1，p我们有Φi（h）- Φi（h）|≤ Lkh公司- 所有h、h的hkβ∈ Hβ，|Φi（H）|≤ M代表所有h∈ Hβ。然后，假设5.1已完成。仿射期限结构模型17的另一种方法注意到，从引理3.2来看，这是最普遍的波动率，我们可以对HJMM方程（1.1）进行有效的实现。相应的jm漂移项（1.3）由αHJM（h）给出=pXi=1Φi（h）λipXi=1Φi（h）∧i, h类∈ Hβ。(6.2)6.1. 提议假设存在h，hp（马力）∈ Hβ使得σ（H），σ（hp）与线性无关，h∈ D（ddx），以满足以下条件之一：o我们有D（ΦiΦj）（h）λk=0，i，j，k=1，p、（6.3）o存在k，l∈ {1，…，p}这样函数sh 7→ D（ΦiΦj）（h）（λk，λl），h∈ h+hλ，λpi（6.4）与1线性无关≤ 我≤ j≤ p、如果HJMM方程（1.1）有一个有效的实现，则λ，λpare拟指数。证据让V Hβ是生成a ffine实现的有限维子空间，集d：=维数V。引理3.2得出σ（h）∈ V代表所有h∈ Hβ。由于σ（h），σ（hp）与线性无关，我们得到λ，λp∈ V，因为关联式（6.1）产生hλ。

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2022-6-24 07:46:33

，λpi=hσ（h），σ（hp）i.选择λp+1，λd∈ 使得{λ，…，λd}是V的基。让h∈ D（ddx）满足上述条件之一。现在，我们将定理5.3应用于不变叶理（Mht）t≥根据（2.23）和（6.1），函数γ=γ（0，·）：Rd→ Rdi由γi（y）=Φi给出h+dXi=1yiλi, i=1，pγi（y）=0，i=p+1，d、特别是，我们有γ∈ C（Rd），我们可以选择E={1，…，p}。如果（6.3）满足要求，则（5.7）、（5.8）给出所有i的bki=0∈ D、 k=1，pand bkij=0表示所有（i，j）∈ D、 k=1，p、因此，Riccati方程（5.9）表明λ，λpare拟指数。如果存在k，l∈ {1，…，p}使得函数（6.4）对于1是线性独立的≤ 我≤ j≤ p、然后我们声称D=D=, 根据theRiccati方程（5.9），这意味着λ，λpare拟指数。相反，假设D6= 或D6=.如果D6=, 选择i∈ d对yl进行二异（5.7），其屈服Φi（h）（λk，λl）+Xm∈E\\DdmiDΦm（h）（λk，λl）+X（m，n）∈E\\DdmniD（ΦmΦn）（h）（λk，λl）=0（对于所有h）∈ h+hλ，λpi。这与（6.4）的线性独立性1相矛盾≤ 我≤ j≤ p、类似地，如果D6=, 选择（i，j）∈ 与Yl的差异（5.8）与1的线性独立性（6.4）产生矛盾≤ 我≤ j≤ p18斯特凡挺杆6.2。提议如果λ，λpare拟指数，则HJMM方程（1.1）有一个有效的实现。证据由于λ，λpare拟指数，线性空间w：=Dddx公司nλ：n∈ NE++Dddx公司nλp:n∈ 氖 Dddx公司是有限维的，我们有DDXW∈ W代表所有W∈ W（6.5）自……以来所有t的Hβ≥ 0，我们有W Hβ。设置q:=dim W。存在λp+1，λq∈ W使得{λ，…，λq}是W的基。我们定义了子空间v：=W+hλi∧j:i，j=1，气。请注意，V D（ddx）由引理4.2、4.3得到。

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2022-6-24 07:46:36

设置d：=尺寸V并选择λq+1，λd∈使得{λ，…，λd}是V的基。关系式（6.5）表示ddx∧i∈ h1，∧，∧qi，i=1，q、（6.6）通过（6.6）和（6.5），我们得到了ddx（λi∧j）=λiddx∧j+λjddxλi∈ 五、 i，j=1，Q我们从哪里得到了DDXV∈ V代表所有V∈ 五、（6.7）让h∈ D（ddx）是任意的。我们定义了映射ψ∈ C（R+；Hβ），ψ（t）：=Sth（6.8）映射γ∈ C0,1（R+×Rd；Rd），γi（t，y）：=（Φi（ψ（t）+Pdj=1yjλj），i=1，p0，i=p+1，d、（6.9）和u∈ C0,1（R+×Rd；Rd）为ui（t，y）：=γk（t，y）γl（t，y）+Pdj=1ajiyjif i∈ 对于某些k，l，{q+1，…，d}和λi=λk∧lf∈ {1，…，p}，Pdj=1ajiyj，否则，（6.10），其中，由于（6.7），（aij）i，j=1，。。。，d R的选择应确保ddxλi=dXj=1aijλj，i=1，d、然后，条件（2.20）–（2.23）完全满足，因此，根据推论2.13，叶理（Mht）t≥0由V=hλ，对于HJMM方程（1.1），参数化ψ的λdi是不变量。6.3. 评论注意，命题6.2的证明同时提供了有效实现的构造。对于h∈ D（ddx）不变叶理（Mht）t≥0由hλ生成，λdi，具有（6.8）中定义的参数化ψ。Forh公司∈ MHT与一些t∈ R+强解（rt）t≥0对于r=h的（1.1），由（2.27）给出，其中映射u，γ：r+×Rd→ （6.9）、（6.10）中定义了状态过程的RD2.26。我们参考[6，第5.1部分，第6.1部分]获得类似结果。仿射期限结构模型的另一种方法196.4。评论根据备注2.14，对于任何连续线性运算符`∈L（Hβ；Rd）`（V）=Rd我们可以选择`（r）作为状态过程。例如，组成部分可以是对基准收益率或基准远期利率的评估。这提供了对a ffne实现的经济解释。6.5. 评论

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2022-6-24 07:46:39

结合命题3.3和关系式（6.2），（6.8），奇点集∑由（d+1）维线性空间∑=h1，∧，∧di，以及注释3.4，对于每个h∈ D（ddx）我们有（3.5），（3.6），其中tdenotest确定性停止时间t=inf{t≥ 0：某物∈ Σ} ∈ [0, ∞]其中（rt）t≥0表示（1.1）的强解，r=h.6.6。评论请注意，命题6.1中的条件是奇异事件，因为只需满足一个单点h的相应条件。因此，命题6.1、6.2得出的结论是，除了像CIRmodel这样的退化示例外，有效实现的存在本质上等同于λ、…、，λpare准指数（这意味着Riccati方程系统（5.9）中的所有二次项都消失）。这也是对[7，第6.4款]的补充，提供了充分的含义。7、具有恒定方向波动率的HJMM方程的仿射实现在本节中，我们研究了具有恒定方向波动率的HJMM方程（1.1）的一个有效实现的存在性，即，我们假设HJMM方程（1.1）中的波动率σ的形式为σ（h）=Φ（h）λ，h∈ Hβ（7.1），其中Φ：Hβ→ R是一个函数，λ∈ λ6=0的Hβ。我们假设Φ∈ C（Hβ；R），存在L，M>0，使得Φ（H）- Φ（h）|≤ Lkh公司- 所有h、h的hkβ∈ Hβ，|Φ（H）|≤ M代表所有h∈ Hβ。然后，假设5.1已完成。7.1. 推论假设Φ6≡ 如果HJMM方程（1.1）有一个有效的实现，那么λ是准指数，或者我们有Φ（h）（λ，λ）=0，h∈ Dddx公司和（7.2）DΦ（h）λ6=0，h∈ Dddx公司.（7.3）证明。这是提案6.1的直接后果。7.2. 评论条件（7.2），（7.3）表示在每个前向曲线h∈ D（ddx）函数Φ在λ方向是一个函数，但不是常数，这是CIR型模型的典型特征。7.3. 推论

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大多数88

2022-6-24 07:46:43

如果λ为准指数，则HJMM方程（1.1）具有唯一实现。证据这是提案6.2的直接结果。20斯特凡挺杆7.4。评论假设我们有Φ6≡ 0且存在h∈ D（ddx）使得DΦ（h）（λ，λ）6=0或DΦ（h）λ=0。然后，根据推论7.1、7.3，HJMM方程（1.1）只有在λ为准指数时才有一个有效的实现。因此，我们放宽了[7，Prop.6.1]中的假设，其中假设Φ（h）6=0表示所有h∈ 对于所有H，Hβ和DΦ（H）（λ，λ）6=0∈ Hβ。8、具有恒定波动性的HJMM方程的仿射实现在本节中，我们研究具有恒定波动性的HJMM方程（1.1）的一个有效实现的存在性，即我们有σ≡ λ与λ∈ Hβ，λ6=0。然后，假设5.1已完成。8.1. 推论HJMM方程（1.1）只有当λ是准指数时才有一个有效的实现。证据该断言是推论7.1、7.3的直接结果，因为σ的形式为（7.1）和Φ≡ 1.8.2. 评论如果λ是拟指数的，我们甚至可以得到d维函数化，其中d：=dimh（ddx）nλ：n∈ 镍。对于h∈ D（ddx）不变叶理（Mht）t≥0由hλ生成，λdi与λi=ddx公司我-1λ，i=1，dand具有参数化ψ（t）=-∧+Sth+λ, t型∈ R+，可以使用推论2.13来表示（参见[6，第4.1款]）。使用命题3.3，奇异集∑由（d+1）-维a f ne空间∑=-∧+h1，∧，∧di，以及注释3.4，对于每个h∈ D（ddx）我们有（3.5），（3.6），其中tdenotest确定性停止时间t=infnt≥ 0：Sth+λ∈ h1，∧，∧dio∈ [0, ∞]其中（rt）t≥0表示（1.1）的强解，r=h.8.3。评论不足为奇的是，推论8.1的陈述与[7，Prop.5.1]的陈述一致。HJMM方程的短期利率实现在最后一节中，我们讨论了维度d=1的一个实现。

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2022-6-24 07:46:46

如备注6.4所述，我们可以对函数化进行经济解释，并选择（在轻微规律性条件下）短期利率r（0）作为状态过程。在本例中，我们还讨论了短速率实现。假设波动率σ的形式为σ（h）=φ（h（0）），h∈ Hβ（9.1）仿射项结构模型的另一种方法21其中H 7→ h（0）：hβ→ R表示短期利率的评估，其中φ：R→ Hβ是一个任意映射。然后，短期利率过程将是一维随机微分方程的解。利用我们之前d=1的结果，并考虑到波动率的特殊结构（9.1），我们可以看到σ属于以下三种类型之一：（1）我们可以有σ≡ ρ具有常数ρ∈ R、这是Ho Lee模型。（2）我们可以有σ≡ ρe-co具有适当的常数ρ，c∈ R、这是瓦西塞克模型的船体白色延伸。（3）我们可以得到σ（h）=pc+dh（0）λ，h∈ 具有适当常数c、d的Hβ∈ R、其中∧=Roλ（η）dη满足一个Riccative方程，即dDx∧+a∧+b∧=λ（0）。这是考克斯-英格索尔-罗斯模型的赫尔-怀特扩展。因此，我们已经认识到了三种众所周知的短期利率模型，这与现有文献完全一致，参见，例如，[20，7，17]。结论我们提出了一种关于HJM利率模型是否存在有效实现的替代方法，该方法的特点是适用于广泛的模型类别，并且在概念上相当容易理解。运用这种方法，我们能够进一步深入了解一种实现的结构。特别是，我们已经看到，基本上所有实现有效的波动率结构都是λ，…，的形式（6.1），λpBeing准指数。

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kedemingshi

2022-6-24 07:46:49

所有剩余的波动率（如CIRmodel）可被视为退化示例，见备注6.6。我们的证明提供了a ffne实现的构造（见备注6.3、6.4），并且我们能够确定奇异集∑，见备注6.5，其中我们还展示了远期利率过程相对于∑的二分法行为。此外，对于特定的波动率结构，我们补充了一些已知的存在性结果。确认作者感谢WWTF（维也纳科学技术基金）的支持。作者还感谢两位匿名推荐人的有益评论和建议。参考文献[1]Baudoin，F.，Teichmann，J.（2005）：有限维中的亚椭圆性及其在利率理论中的应用。《应用概率年鉴》15（3），1765-1777年。[2] Bhar，R.，Chiarella，C.（1997）：将Heath–Jarrow–Morton模型转换为Markoviansystems。《欧洲金融杂志》第3期，第1-26页。[3] 比约克（2003）：关于利率模型的几何学。巴黎普林斯顿数学金融讲座，133–215。[4] 比约克，T.，克里斯滕森，C.（1999）：利率动态和一致的远期利率曲线。数学金融9（4），323–348.22 STEFAN TAPPE【5】Bj¨ork，T.，Gombani，A.（1999）：利率模型的最小实现。《金融与随机》3（4），413–432。[6] 比约克，T.，兰德恩，C.（2002）：关于非线性远期利率模型的有限维回归的构建。金融与随机6（3），303–331。[7] Bj¨ork，T.，Svensson，L.（2001）：关于非线性正向速率模型有限维实现的存在性。数学金融11（2），205–243。[8] 布罗迪，D.C.，休斯顿，L.P.（2001）：利率和信息几何，伦敦皇家学会学报。系列A。

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2022-6-24 07:46:54

数学、物理和工程科学，4571343–1363。[9] Chiarella，C.，Kwon，O.K.（2001）：theHeath–Jarrow–Morton期限结构模型的远期利率相关马尔可夫变换。金融与随机5（2），237–257。[10] Chiarella，C.，Kwon，O.K.（2003）：HJM模型在远期利率和收益率方面的有限维a f e实现。衍生品研究综述6（3），129–155。[11] Da Prato，G.，Zabczyk，J.（1992）：有限维随机方程。纽约：剑桥大学出版社。[12] Delbaen，F.，Schachermayer，W.（1994）：资产定价基本定理的一般版本。Mathematische Annalen 300，463–520。[13] Duffee，D.，Kan，R.（1996）：利率的收益率模型。数学金融6（4），379–406。[14] Filipovi\'c，D.（2000）：随机方程弱解的不变流形。概率论及相关领域118（3），323–341。[15] 菲利波维奇（2001）：希思-贾罗-莫顿利率模型的一致性问题。柏林：斯普林格。[16] Filipovi\'c，D.，Teichmann，J.（2003）：有限维随机方程不变流形的存在性。功能分析杂志197398–432。[17] Filipovi\'c，D.，Teichmann，J.（2004）：关于利率期限结构的几何学。伦敦皇家学会会刊。系列A.数学、物理和工程科学460129–167。[18] Heath，D.、Jarrow，R.、Morton，A.（1992）：债券定价和利率期限结构：未定权益估价的新方法。计量经济学60（1），77–105。[19] Inui，K.，Kijima，M.（1998）：多因素Heath–Jarrow–Mortonmodels中的马尔可夫框架。《金融与定量分析杂志》33（3），423–440。[20] Je Offrey，A.（1995）：基于马尔科夫即期利率动态的单因素Heath–Jarrow–Morton期限结构模型。

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