选举干扰中的非合作动力学

2022-6-25 07:10:03

选举干扰中的非合作动力学David Rushing Dewhurst、Christopher M.Danforth和Peter Sheridan DoddsMassMutual复杂系统和数据科学卓越中心、佛蒙特复杂系统中心计算故事实验室、佛蒙特大学伯灵顿分校数学和统计系，VT 05405外国势力干涉国内选举是对社会的生存威胁。从战争到言论，这种干涉通过无数种方式表现出来，是经济和政治代理人之间战略互动的及时例子。我们将理性玩家之间的这种互动建模为一个连续的时间差异博弈，构建了一个具有各种支付结构的竞争分析模型。只有一个玩家对比赛结果持要么全有要么全无的态度，这导致了一场军备竞赛，两国在干扰和反干扰行动上的投入越来越多。然后，我们将我们的模型与2016年美国总统大选中俄罗斯的分歧相关的数据进行对比。我们介绍并估计了俄罗斯推特巨魔账户的选举投票和社交媒体帖子的阿巴斯结构时间序列模型。我们的分析模型虽然有目的地抽象和简单，但充分捕捉了选举和社交媒体活动的许多时间特征。最后，我们讨论了我们模型的缺点，并对未来的研究提出了建议。一、简介在民主国家和名义上的民主国家，选举是分配权力的社会和政治上至关重要的事件。在完全民主的国家，选举是合法政府变革的方法。

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2022-6-25 07:10:06

一个标有“红色”的国家希望影响另一个国家的选举结果，被贴上“蓝色”标签，因为蓝色选举对红色国家利益的影响。这种对民主国家的攻击并不新鲜。据估计，美国（美国）和俄罗斯（及其前身苏联）经常干涉其他国家的选举，自1946年以来一直如此。尽管这方面的学术研究有所增加，我们不知道选举干扰博弈中非合作动态的任何形式化建模。最近对这一现象的研究主要集中在选举干扰事件的粗粒度（例如，年频率）面板的汇编和对这些数据的定性分析[5，6]，以及干扰操作的后效和二阶效应的数据驱动研究[7，8]。试图创建干扰操作的理论模型的尝试并不常见。这些尝试包括影响选民偏好的网络操作的定性因果模型[9]，以及一个州可能希望干预另一个州选举的潜在原因模型[10]。我们考虑一个两人博弈，其中一个国家希望影响另一个国家的两名候选人，零和选举。我们认为红色是受影响国家的外国情报机构，蓝色是选举所在国的国内情报机构。红色希望有一个特定的候选人赢得选举，我们将把他定为候选人a而不会失去普遍性，而蓝色希望尽量减少红色的干扰。我们推导了一个非合作、非零和微分对策来描述这个问题，然后对该对策进行了数值研究。我们发现，红色或蓝色的所有或任何态度都可能导致干扰行动中的军备竞赛情况。

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2022-6-25 07:10:09

如果一方可信地承诺提供固定的、确定性的战略，我们将得出进一步的分析结果。然后，我们用与2016年美国总统大选有关的数据来对抗我们的模型，在这场大选中，俄罗斯进行了干预。我们将贝叶斯结构时间序列模型应用于由俄罗斯军事情报相关巨魔账户编制的选举投票和社交媒体帖子。我们证明，我们的模型虽然简单，但捕获了许多观测和推断参数的动态。最后，我们为我们的工作提出了一些理论和经验上的张力。二、THEORYA。选举干预模式我们考虑两名候选人之间的选举，没有选举机构，如选举团）我们假设选举过程在任何时候∈ [0，T]由Zt民意测验代表∈ [0, 1]. 该模型是在连续时间内建立的，尽管当我们以秒为单位统计参数时。III我们转向离散时间模拟。我们假设选举动态发生在一个潜在空间中，其中动态由Xt表示∈ R、我们将把Xt<0设置为最新民意测验中有利于候选人A的值，把Xt>0设置为有利于候选人B的值。潜在空间和可观察空间由Zt=φ（Xt）关联，其中φ是一个S形函数，我们选择φ（x）=1+e-x、（任何介于0和1之间的sigmoidal函数将在统计估计的背景下支持并导致不同的参数估计。）选举的实际结果候选人B获得的票数由φ（XT）给出。选举在N名投票代理人的人群中进行。每个投票代理在每个时间步tnby arandom变量ξn，tn更新其对候选人的偏好。这些随机变量满足[ξn，tk]=0和En[ξn，tk]<∞ 对于所有t。

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2022-6-25 07:10:12

选举过程的增量是投票代理在时间t的偏好的样本均值。在没有干扰的情况下，随机选举模型是无偏随机游走：Xtk+1=Xtk+NX1≤n≤NξN，tktk。（1）我们放在哪里tk=tk+1- tk。我们展示了ξn，tkin图1中不同分布的该过程的样本实现。尽管偏好变化的一个分布比另一个分布有更大的方差，但对于每个sinceNPnξn，tkdoes，xtkar的样本路径在统计上相似，在分布之间变化不大。当N较大时，我们可以通过维纳过程合理地近似离散代理选举过程，dXt=σdWt，其中σ≈ 风险值NP1≤n≤NξN，t, 该极限在大N的极限下有效。如果偏好变化随机变量ξN，kdid不满足En[ξN，k]=0，则等式1的随机游走近似值不一定有效。例如，如果{ξn，k}k≥0是一个随机游走或对每个n是趋势平稳的，然后{En[ξn，k]}k≥0也分别是随机游走或趋势静止。一元平稳时间序列是一个随机过程xt=f（t）+εt，其中ε是一个平稳过程，f（·）是时间的确定函数[12，13]。具有单位根的单变量时间序列是一个可以写成p（AR（p）），xt阶自回归过程的时间序列-Ppp=1βpxt-p=εt，因此多项式zp-Ppp=1βpzt-当在复数上求解时，p=0在单位圆上有根。随机游动是AR（p）过程的一种特例，其特征多项式由z给出- 1=0，单位根z=1。趋势平稳和单位根时间序列的根本区别在于，受到外部冲击的趋势平稳过程最终将恢复为其平均函数f（t）。对于具有单位根的随机过程，情况并非如此。

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2022-6-25 07:10:15

一个单位根或趋势平稳ξn，kwould模型，一个政治偏好正在经历人口平均值而不仅仅是个人偏好变化的人口。然而，确实存在这样的情况，即即使En[ξn，k]6=0，随机行走近似也是有效的。如果En[ξn，k]的随机演化方程有一个平稳的有色噪声，其解是指数衰减的协方差函数，那么该噪声的积分就是一个Stratonovich型方程[14–16]。这个方程将是这里考虑的基本随机行走模型的一个广义版本，但在本工作的其余部分中，我们将不考虑这个场景。我们用uR（t）和UB（t）表示红色和蓝色的控制政策（红色和蓝色试图影响（或阻止影响）选举的功能）。这些函数是一维连续时间随机过程（时间序列）。“政策”一词源于经济学和强化学习领域【17-19】。在我们的模型中，这些控制策略是抽象变量，但我们将其解释为干扰操作的支出。我们假设红色和蓝色可以影响选举的平均轨迹，但不会影响其波动性（其增量的标准偏差）。我们做出这个假设是因为Xt是方程1所描述过程的近似值。如图1所示，即使投票人群的偏好变化分布具有不同的方差和峰度，选举过程的方差也不会有太大变化。在红蓝控制政策的影响下，选举动态变为dxt=F（uR（t），uB（t））dt+σdWt，X=y。（2）函数F捕捉红蓝影响潜在选举过程平均动态的机制。我们假设F至少是连续可微的两倍。

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2022-6-25 07:10:17

对于一阶展开式，我们有F（uR（t），uB（t））=a+aRuR（t）+aBuB（t）+O（u），这在u=0附近最精确。我们通过dxt=[uR（t）+uB（t）]dt+σdWt，X=y来近似状态方程，（3）因为我们在定义控制策略时假设了零内生漂移和吸收常数。我们将使用公式3作为本文后面部分的状态方程。B、子博弈完美纳什均衡和蓝均衡都寻求最小化各自控制策略和其他代理控制策略的独立标量成本函数。我们将假设代理不会从statevaluation的值中产生运行成本，尽管我们将在第节中重新讨论这个假设。四、成本函数为EUR，uB，X（ΦR（XT）+ZTCR（uR（t），uB（t））dt，（4）andEuR，uB，X（ΦB（XT）+ZTCB（uR（t），uB（t））dt）。（5） CRand CBR的功能代表了进行选举干扰操作的运行成本或效益。我们假设成本函数的formCi（uR，uB）=ui- λIUI（6）LeftNo Rightn，0 B（0.1，0.1）02p（n，0）At=0 LeftNo Rightn，T B（1.5，1.5）0.00.5p（n，T）Bt=T050100150200250300350T=365t（天）0.10.00.1Xt（潜在选举过程）CPreferences随T变化较小，=0.009首选项随T变化较大，=0.01 LeftNo Rightn，0 B（1.5，1.5）0.00.5p（n，0）Dt=0左否右n，T B（0.1，0.1）02p（n，T）Et=TFIG。1、随机游走潜在空间选择模型是多个不同人群候选参考更新的精确近似。潜在的选举过程按照Xk+1=Xk+NP1演变≤n≤NξN，k。随机变量ξN，kis投票代理N向左或向右移动。在中央面板中，实心曲线是从偏好更新ξn，t导致的潜在选举过程中提取的~ B0.1吨-tT+1.5tT，0.1T-tT+1.5tT, 其中，B（α，β）是β分布，我们设置了T=365。

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2022-6-25 07:10:20

作为t→ 然而，选民对政治观点的改变表现出越来越大的抵制。我们在A组中显示了t=0处的偏好偏移分布，在B组中显示了t=t处的偏好偏移分布。相比之下，虚线是从ξn，t产生的潜在选择过程中得出的~ B1.5T-kT+0.1kT，1.5T-千吨+0.1千吨, 它描述了一个选民，在这个选民中，代理人的政治偏好经常会发生变化→ T我们展示了面板D中t=0处和面板E中t=t处相应的偏好偏移分布。尽管这些偏好更新在某种意义上是相互对立的，但潜在过程Xt在统计上非常相似，并且都由连续近似dXt=σdWt很好地建模。对于i∈ {R，B}。符号-i表示分配的玩家集。例如，如果i=R，-i=B。这个符号起源于对非合作经济博弈的研究。非负标量λi参数化了玩家i从观察玩家i\'s eff中获得的效用。如果λi>0，则玩家i从玩家i的支出资源中获得效用，而如果λi=0，则玩家i对玩家i的福利水平没有任何限制，但仅针对其自身的运营成本和最终成本。我们假设成本与控制策略的大小成二次累积，这在最优控制理论中很常见【20–22】。我们可以如下证明等式6的函数形式。假设playeri的任意分析成本函数为Ci（uR，uB）=C（i）（ui）- λiC（-i）（u-i）。我们做出以下假设：o玩家i执行有利于候选人A或候选人B的操作的成本同样高。这就限制了C（i）和C（i）是均匀函数玩家i执行无干扰操作导致玩家i的选择不会产生任何直接成本。

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2022-6-25 07:10:23

换句话说，如果ui（t）=0，则播放器i不会因此产生任何成本。根据这些假设，公式6.1给出了CIT泰勒展开式中的第一个非零项。最终条件的选择在非合作游戏中找到最佳游戏需要通过时间倒向解决游戏【23–26】。因此，我们必须确定最终条件，规定红色和蓝色在实际选举结果φ（XT）中产生的成本。红色和蓝色可能有不同的最终条件，因为它们的质量目标不同。由于红色希望影响蓝色国家的选举结果，有利于候选人A，因此他们的最终成本函数Φrm必须满足ΦR（x）<ΦR（y），对于所有x<0和y>0。在我们即将呈现的最终条件中，我们还假设ΦRis处处单调非递减。我们在Sec中放宽了这些假设。III当我们用选举干扰相关数据面对该模型时。在该模型描述现实的程度上，这些关于最终条件的限制性假设可能并不总是得到满足。然而，满足这些要求的一个简单的最终条件是ΦR（x）=c+cx，但是，如果候选人A在选举中获得100%的选票，这就允许了不现实的最终收益限制条件，如果候选人A获得0%的选票，则允许了最终成本限制条件。我们还将考虑两个红色最终条件，成本仍以x为界→ ±∞: 一个光滑，ΦR（x）=tanh（x）；一个不连续，ΦR（x）=Θ（x）-Θ(-x）。Θ（·）是指Heaviside阶跃函数。Blue希望减少Red的干预行动对选举进程的总体影响。由于蓝色是选举结果之间的先验差异，最初似乎ΦB（x）=0。然而，如果λB=0，这将导致Blue由于等式6的函数形式而不采取任何行动。

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2022-6-25 07:10:26

换言之，如果蓝色不能从红色消耗资源中获利，那么蓝色就不会试图阻止红色干涉蓝色中心的选举。因此，我们认为，蓝色不能无视选举结果。我们提出了三个可能的最终条件，代表Blue对选举结果的偏好。如果XTistoo远离E[XT]=0，Blue可能认为结果是由于Red的干扰。代表这一信念的平滑函数的一个例子是ΦB（x）=x。然而，这忽略了一个事实，即Red的目标不是让候选人a或候选人B大幅度获胜，而是让候选人a获胜，即XT<0。因此，Blue可能不关心状态变量更大的正数值，并且适当修改之前的函数，使ΦB（x）=xΘ(-x）。或者，如果选举结果没有偏离初始预期值“太远”，则Blue可以接受选举结果。代表这些偏好的不连续最终条件的一个例子是ΦB（x）=Θ（| x |- ) - Θ( - |x |），其中 > 0是Blue的可接受误差范围。虽然我们可以提出许多其他可能的最终条件，但这些示例函数展示了一些可能的支付结构。我们包括：o“一阶”函数，它可以由任意分析最终条件的泰勒展开（约为零）得到。

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2022-6-25 07:10:29

这些函数在Red的反对称最终条件下是线性的，在Blue的光滑对称最终条件下是二次的（这是偶数分析函数的Taylor展开中的第一个非常数）；o平滑函数，表示对选举过程结果的有界偏好，以及对红色特别偏爱一位候选人的认识；以及o不连续的最终条件，模拟对结果的“所有或任何”偏好（要么候选人A获胜，要么不获胜；要么红色干扰小于一定量，要么干扰更多）。这些函数无法捕获实际选举干扰操作中可能存在的某些行为。例如，雷德的偏好可能如下：“我们希望候选人A赢得选举，但如果他们不能，那么我们希望候选人B以压倒性优势获胜，这样我们就可以声称蓝的国家的选举制度是针对候选人A操纵的”。这些偏好对应于一个最终条件，全局最小值在somex<0，而次局部最小值在x 0、这种情况不受我们所述任何最终条件的影响。以秒为单位。III我们放松了最终条件根据本节中考虑的任何函数形式进行参数化的假设，而是使用第节中描述的方法从观察到的选举和选举干扰代理数据中推断出它们。II B 3.2。值函数将动态规划原理【17，18】应用于等式。

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2022-6-25 07:10:32

3、4和5导出了红值函数和蓝值函数的耦合HamiltonJacobi-Bellman方程组，-虚拟现实t=西撒特派团虚拟现实x【uR+uB】+uR- λ摩擦+σ虚拟现实x个,（7）以及-VBt=分钟VBx【uR+uB】+uB- λBuR+σVBx个.（8）动态规划原理不会产生艾萨克斯方程，因为博弈不是零和，红色和蓝色的成本函数可以有不同的函数形式。（艾萨克斯方程是一个非线性线性或抛物线方程，出现于对两人零和博弈的研究中，其中一人试图最大化一个泛函，另一人试图最小化它[27，28]。）对控制变量进行最小化得到了纳什均衡控制策略，uR（t）=-虚拟现实x个（t，Xt）（9）uB（t）=-VBx个（t，Xt），（10）和方程的精确函数形式。7和8，-虚拟现实t=-虚拟现实x个-虚拟现实x个VBx个-λRVBx个+σ虚拟现实x、 VR（x，T）=ΦR（x）；(11)-VBt=-VBx个-VBx个虚拟现实x个-λB虚拟现实x个+σVBx、 VB（x，T）=ΦB（x）。（12）当在整个状态空间上求解时，解为Q。11和12构成了子博弈完美纳什均衡的策略。无论玩家i在时间t采取什么行动，玩家i都能够在时间t+dt以最佳行动作出响应。这是对连续时间差分博弈中的子博弈perfectNash均衡的（公认是非正式的）定义[26]。给定解对VR（x，t）和VB（x，t），我们可以分析地写出x，uR和uba的分布。方程式的替代。9和10转化为等式3，给定dx=-虚拟现实x |（t，x）+VBx |（t，x）dt+σdW。我们将该方程在N个时间点上离散，得到xn+1- xn公司+t【VRn+VBn】- (t） 1/2σwn- yδn，0=0，（13）带wn~ N（0，1），t=tn+1- tn，n=0。。。，N- 1和Vin所在位置≡ Vi（xn，tn）。

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2022-6-25 07:10:36

因此，潜在选举过程增量的分布isp（xn+1 | xn）=√2πσte公司-t2σ（xn+1-xn公司t+[VRn+VBn]-yδn0t）。（14）现在，利用Xt的马尔可夫性质，我们得到p（x，…，xN | x）=N-1Yn=0p（xn+1 | xn）（15）=（2πσt）不适用于2exp-2σS（x，…，xN）,（16）式中（x，…，xN）=N-1Xn=0thxn+1- xn公司t+[VRn+VBn]-yδn，0ti。（17）取N→ ∞ 作为Nt=t保持不变，给出函数高斯分布，p（x（0→ T） | x）=Zexp-2σS[x（0→ T）], （18）带动作[x（0→ T）]=ZThdxdt+虚拟现实x个x=x（t）VBx个x=x（t）- yδ（t- t） idt（19）和分区函数z=Zx（t）x（0）Dx（0→ T）经验值-2σS[x（0→ T）]. （20）我们用x（s）表示→ t）从时间s到时间t的潜在状态所遵循的实际路径。测量值Dx（0→ T）是经典的维纳测度。SinceuR（0→ T）和uB（0→ T）是x（0）的确定性时间相关函数→ T），我们可以使用概率分布公式16和适当的时间相关雅可比变换明确地确定其分布。这些分析结果的实用性有限，因为我们不知道等式中给出的系统的分析解。11和12，因此VR（x，t）和VB（x，t）必须近似。以秒为单位。II C当玩家i宣布对特定控制路径的可信承诺时，我们将得出有效的分析结果。我们通过反向迭代以数值方式找到值函数VR（x，t）和VB（x，t），在x=±3处强制执行Neumann边界条件，这对应于候选人B在100×φ以下的投票普及率(-3） =4.7%，从上面乘以100×φ（3）=95.3%[29]。我们在图2中展示了不同λi和最终条件下值函数的实现示例。由于状态方程由高斯白噪声驱动，因此值函数显示不同的动力学。价值函数也在很大程度上取决于最终条件。

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2022-6-25 07:10:39

当最终条件不连续时（如图2的顶部面板所示），值函数的导数达到更大的量级，并且变化速度比最终条件连续时更快。这对这些结果的博弈论解释产生了影响，正如我们在第二节中讨论的那样。II B 4。图2还表明，当λR=λB=0时，值函数的极值大小不如λR=λB=2时大；这是因为λi的值越高，玩家i的效用不仅来自于游戏的最终结果，还来自于促使玩家i在游戏中扩展资源。等式。7和8给出了给定当前状态XT和时间t、URAN和uB的闭环控制策略。我们展示Fig。2、系统方程对应的值函数示例。11和12。面板A和B分别显示λR=λB=0，ΦR（x）=2[Θ（x）时的VR（x，t）和VB（x，t）- Θ(-x），ΦB（x）=2[Θ（| x |- 0.1) - Θ(0.1 - |x |））]带 = 0.1，当λR=λB=2、ΦR（x）=2 tanh（x）和ΦB（x）=xΘ时，panelsC和D分别显示VR（x，t）和VB（x，t）(-x）。对于每个解，我们强制执行Neumann无flux边界条件，并设置σ=0.6。该解是在具有x的网格上计算的∈ [-3，3]，设置dx=0.025，并对Nt=8000时间步进行积分。uR、UB和ZT选举过程示例如图3所示。对于这个例子，我们用参数λR=λB=2、ΦR（x）=x和ΦB（x）=xΘ来模拟游戏(-x）。我们在顶部面板中绘制控制策略。平均控制策略E[uR]和E[uB]以粗曲线显示。对于此参数集，红色tobegin游戏的干扰量比蓝色Does大，并且平均减少干扰超时的水平是最佳的。在整个比赛中，蓝色增强了他们对红色干扰的抵抗力。尽管蓝队顶住了里德的干扰，但红队能够实现他们让候选人A获胜的目标。3.

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2022-6-25 07:10:42

推理和预测方程的解。11和12是最终条件VR（x，T）=ΦR（x）和VB（x，T）=ΦB（x）的函数。即使ΦR（x）和ΦB（x）未知，也可以在t<t时执行推断和预测。为了做到这一点，我们假设系统通过等式给出。11和12在特定的最终条件ΦRandΦB下有唯一的解。虽然我们有数字证据表明此类解确实存在且唯一，但我们尚未证明情况确实如此。在对比中，我们希望找到系统一些未观测参数的值分布。我们将假设我们想要推断ΦRandΦBgiven the observedpath x（0→ t），uR（0→ t），uB（0→ t） t<t。对于隐含性，我们假设我们知道等式的所有其他参数。11和12的确定性。然后是ΦRandΦBreadsp的后验分布（ΦR，ΦB | Xs）∝ p（x（0→ t） |ΦR，ΦB）p（ΦR，ΦB）。（21）可能性p（x（0→ t） |ΦR，ΦB）为高斯分布，如公式18所示，并取决于时间相关的雅可比数0.00.20.40.60.81.01.2u（t）（控制策略）0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t（年）20%30%40%50%60%70%80%Zt（候选人B投票），有干扰无干扰图。我们在顶部面板中显示uRand uBin的实现，在底部面板中显示选举过程的路径。我们通过参数λR=λB=2、ΦR（x）=x和ΦB（x）=xΘ模拟的游戏绘制这些实现(-x）。对于这个参数集，Blue正在打一场败仗，因为两个参与者的最佳表现会导致E[Zt]低于选举过程，而不会受到任何干扰。由等式的解隐含定义的转换。11和12。如果我们想使用最大似然法，而不考虑我们对ΦRandΦB形式的先验信念，则可以将先验最终条件p（ΦR，ΦB）设置为与单位成比例。

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2022-6-25 07:10:45

我们可以用一组有限的参数ai，k参数化的函数来近似ΦRandΦb，其中i∈ {R，B}和k=0。。。，K、然后用多元分布p（kR，0，…，kR，K，kB，0，…，kB，K）近似函数先验p（ΦR，ΦB）。在第二节中执行推断时，我们将采用这种方法。三、同样，我们可以预测x（t）的未来值，从而预测uR（t）和ub（t）。现在我们想找出观测x（t）的概率→ T）给定观测x（0→ t）。为此，我们在给定观测路径x（0→ t）。积分是针对函数度量D（ΦR（x），ΦB（x））进行的。这意味着，集成将接管位于某一特定类函数中的ΦRandΦb的所有可能选择【30】。在推理的情况下，我们可以通过一组有限的参数sai来近似ΦRandΦBby函数，并在这些参数的2K维域上进行积分。在目前的工作中，我们无法预测潜在选举进程或控制政策的任何未来价值。4、值函数对参数的依赖我们对λR、λB、ΦR和Φbt进行了粗略的参数扫描，以探索该游戏的定性行为。我们在图中显示了两种最终条件组合的参数扫描结果。4和5。图中每个面板的右上角显示了每个玩家的最终状态。保持蓝色的最终条件为ΦB（x）=xΘ(-x）常数，我们比较了耦合参数λR，λB的值之间的纳什均衡策略uR（t）和uB（t）的平均值和标准偏差∈ [0，3]当Red的最终条件从ΦR（x）=tanh（x）变为ΦR（x）=Θ（x）时- Θ(-x）。对于这些最终条件的组合，耦合参数λi的高值使用控制策略具有更高的方差。

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2022-6-25 07:10:48

当Red的最终条件不连续时，这种增加不变性更加明显，这是合理的，因为在这种情况下→T-uR（x，t）=-δ（x）。附录A包含每3=9个红色示例最终条件组合的类似图，ΦR（x）∈ {tanh（x），Θ（x）- Θ(-x），x}和蓝色示例最终条件，ΦB（x）∈xx，xΘ(-x），Θ（|x|）- ) - Θ( - |x |）. 我们还发现，某些参数组合会导致双方控制政策中的“军备竞赛”效应。对于这些参数组合，纳什均衡策略需要在接近游戏结束时，每个玩家的控制策略的大小呈超指数增长。图6显示了其中一些参数组合的E【uR】和E【uB】，以及每个t的uR（t）和uB（t）的中间80%可信区间（第10至90百分位）。随机变量Y的可信区间~ p（y）是一个区间，其中y以特定的概率下降【31】。例如，Y的中间80%可信区间~ p（y）是间隔（a，b），其中bap（y）dy=0.8 andRa-∞p（y）dy=R∞bp（y）dy=0.1。当任一玩家有不连续的最终条件时，每个玩家的控制策略的幅度就会增加。虽然玩家i的不连续最终条件导致玩家i的控制策略的平均幅度比玩家i的增加更大，但每个玩家策略的标准偏差表现出类似的超指数增长。在某种程度上，该模型反映了现实，这表明了一种关于电视干扰操作的一般性陈述：红色或蓝色对选举最终结果的“全有或全无”心态导致了一场对双方都产生负面影响的军备竞赛。这是任何strategicFIG的一般特征。当Blue的最终条件设置为ΦB（x）=xΘ时，示例扫描耦合参数λRandλB(-x）。

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2022-6-25 07:10:51

我们改变[0，3]上的耦合参数，并显示控制策略uR（x）和uB（x）的结果标准偏差。面板A和B代表一个耦合的方程组，而面板C和D代表一个具有不同最终条件集的耦合方程组。在面板A中，红色的值函数设置为ΦR（x）=tanh（x），而在面板B中，由ΦR（x）=Θ（x）给出- Θ(-x），其中Θ（·）是Heaviside函数。我们在每个面板的右上角显示相应最终条件的图示符。将Red的连续最终条件tanh（x）更改为不连续Θ（x）- Θ(-x）结果两个参与者的控制策略差异显著增加。模型通过等式描述的相互作用。3-5适用。C、可信承诺如果参与者可信地承诺在所有[0，t]上玩一个特定的策略v（t），那么playeri找到子博弈完美纳什均衡策略文件的问题就变成了一个更容易的最优控制问题。玩家i对策略v（t）的可互换承诺意味着o玩家i直接或间接地告诉玩家i，玩家i将遵循v（t）；而且oplayer我应该理性地相信，player-i实际上会遵循v（t）。使战略承诺可信的机制的一个例子是苏联的“死手”自动二次打击核反应系统。如果该机制检测到苏联遭到核打击，它将对美国发动全面的核攻击。

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2022-6-25 07:10:54

这一机制的存在使得对“鉴于对我国的任何核攻击都已发生，对美国发动全面核攻击”战略的承诺是可信的，尽管双方执行该战略的潜在成本很高。当玩家可信地承诺玩v（t）游戏时，playeri的问题就归结为找到迷你图的策略u（t）。当Blue的最终条件设置为ΦB（x）=xΘ时，示例扫描耦合参数λRandλB(-x）。我们在[0，3]上改变耦合参数，并显示控制策略uR（x）和uB（x）的结果平均值。面板a和B代表一个耦合的方程组，而面板C和D代表一个具有不同最终条件集的耦合方程组。在面板A中，红色的值函数设置为ΦR（x）=tanh（x），而在面板B中，由ΦR（x）=Θ（x）给出- Θ(-x）。将红色的最终条件从连续变为不连续会导致蓝色控制策略平均值的最大值增加100%以上。根据修改后的状态方程dx=[u（t）+v（t）]dt+σdW，将函数u，X（Φ（XT）+ZT（u（t）+λv（t））dt，（22）最小化。（23）玩家i的值函数现在由HJB方程的解给出-五、t=分钟五、x[u+v]+u- λv+σ五、x个. （24）执行最小化得到控制策略u（t）=-五、x个x=x（t）和HJB方程的显式函数形式，-五、t=-五、x个+ v（t）五、x+λv（t）+σ五、x、 V（x，T）=Φ（x）。(25)1. 路径积分控制该HJB方程虽然是非线性的，但可以通过变量的变化转化为后向Kolmogorov方程（BKE）。BKE可以用路径积分法求解[34]。设置V（x，t）=-ηlogД（x，t），代入式25，并进行微分，我们能够消除非线性微分。6.

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2022-6-25 07:10:56

在强耦合的情况下（λRandλB 0），任一参与者的不连续最终解决方案都会导致每个参与者的控制策略的数量呈超指数增长。在这里，我们设置λR=λB=3并集成三个系统，每个系统只改变一个最终条件。面板A显示具有两个连续最终条件的系统：ΦR（x）=tanh（x）和ΦB（x）=xΘ(-x）。当红色最终条件更改为ΦR（x）=Θ（x）时，面板B显示平均红色和蓝色控制策略- Θ(-x）由于蓝色最终状态保持相同toxΘ(-x），而面板C显示ΦB（x）=Θ（| x |>1）时的控制策略- Θ（| x |<1）和ΦR（x）=tanh（x）。阴影区域对应于每个t的uR（t）和uB（t）的中间80个百分位（第10到90个百分位）。当任一玩家具有不连续的最终条件时，两个玩家的百分位区间比两个玩家具有连续的最终条件时要宽得多。且仅当ηДφx个=σηφφx个. 设置η=2σ满足此条件。执行变量变化时，等式25现在是线性的，并且具有与时间相关的裂缝和下沉项，φt=λ2σv（t）Д（x，t）- v（t）φx个-σφx、 Д（x，T）=exp-2σΦ（x）.（26）应用Feynman-Kac公式得出式26的解为[35]Д（x，t）=exp(-λ2σZTtv（t）dt）×EYt经验值-2σΦ（YT）Yt=x,（27）式中，Y定义为dyt=v（t）dt+σdWt，Y=x。（28）使用这种形式，我们应用路径积分控制来估计任意v（t）的值函数。图7显示了公式25的路径积分解决方案示例，当玩家i可信地承诺在游戏持续时间内玩v（t）=t，并且玩家i的最终成本函数采用Φ（x）=Θ（| x |）的形式- 1) - Θ(1 - |x |）。在此图中。在最终条件Φ（x）=Θ（| x |>1）下，将路径积分蒙特卡罗解法应用于等式25的结果- Θ（| x |≤ 1） v（t）=t。

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2022-6-25 07:11:00

对于每个点（x，t），使用从等式28中采样的N=10000条轨迹计算近似值函数。我们在面板A中显示t的近似值函数∈ {0, 0.75, 1 - dt}和面板B中相应的近似控制策略u（x，t），以及u（x，t）的平滑版本，我们用虚线表示。面板C显示Yt的实现情况，Yt是生成计算解决方案所依据的度量的过程。分析控制策略att=T由u（T）=-[δ（x- 1) - δ（x+1）]。图中显示了近似值函数V（x，t）及其相应的近似控制策略u（x，t）=-V（x，t）x、我们在Nx=500线性间隔xn的网格上计算这些近似值∈ [-2, 2].由于近似的u（xn，t）是有噪声的随机函数，我们也在图7中绘制了它们的平滑版本。这些平滑版本由我们定义（xn，t）=kXn=-ku（xn+n，t）。（29）我们设置k=7，因此，我们（xn，t）是2k+1=15，噪声较大的u（xn，t）的逐步移动平均值。作为t→ T，us（xn，T）逼近T=T时控制问题的解析解，由u（x，T）给出-[δ（x-1) - δ（x+1）]。在进一步限制的情况下，当一方有可信的承诺来执行常数控制策略v（t）=v时，我们可以得到进一步的分析结果。在此假设下，与等式28对应的概率定律由u（y，t）给出=√2πσtexp2σt[（y- x）- vt], （30）使（指数变换的）值函数读取Д（x，t）=Eu（y，t-t）经验值-λv2σ（T- t） Φ（YT）（31）=扩展-λv2σ（T- t） op2πσ（t- t） ×（32）∞Z-∞经验值-2σΦ（y）+（y- x）- v（T- t））t- t型dy.对于许多Φ（y），可以精确计算该积分，对于许多其他最终条件，可以使用拉普拉斯方法近似计算该积分。当t→ 所以方程中指数的变元的分母。

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2022-6-25 07:11:03

31接近零，拉普拉斯近似积分读数∞Z-∞经验值-2σΦ（y）+（y- x）- v（T- t））t- t型dy公司≈p2πσ（T- t）经验值-2σΦ（x+（T- t）五）.（33）反转变换ν，值函数近似为v（x，t）=λv（t- t） +Φ（x+（t- t） v），（34）和控制策略byu（x，t）=-Φ（x+（T- t） v）。（35）01234V（x，t）V（x，0）VLaplace（x，0）V（x，t）2.0 1.5 1.0 0 0.5 0.0 0 0.5 1.0 1.5 2.0x1.00.50.00.51.0V（x，t）V（x，0）VLaplace（x，0）V（x，t）图8。当玩家i承诺在固定的时间间隔内玩一个恒定的策略文件v（t）=v时，玩家i的值函数v（x，t）的分析近似形式为v（x，t）≈ λv（T- t） +Φ（x+（t- t） v）。我们在实心黑色曲线中显示时间t=0时的数值确定值函数，在虚线黑色曲线中显示时间t=0时的拉普拉斯近似。较浅的色调曲线是最终时间T的值函数，即各自的最终条件。顶部面板显示最终条件Φ（x）=x的结果，而底部面板显示Φ（x）=tanh（x）。我们显示了图8中t=0时用等式34近似值函数的结果，以及t=0和t=t时实际数值确定的值函数，以供参考。依赖于自由参数拉普拉斯近似值函数可能依赖于自由参数a，该参数可用作“控制旋钮”来调整近似值。例如，playeri可以使用a来调整近似值对选举过程与死热的距离的敏感性。理想情况下，近似控制策略应具有与真实控制策略相似的尺度和渐近性质。

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何人来此

2022-6-25 07:11:06

解决a的最优值的优化问题是满足这一要求的一种方法。作为一个案例研究，我们考虑了当我们设置Φ（a）（x）=tanh（ax）时，Laplaceapproximated值函数V（a）（x，t）及其相应控制策略u（a）（x，t）的行为。我们之所以考虑这个具体例子，是因为Φ（a）（x）→ Θ（x）-Θ(-x）作为→ +∞. 这一限制可能是各种领域复杂行为的根源，如分段光滑动力系统（确定性和随机性）[36，37]，库仑摩擦[38]和进化生物学[39]。图9显示了最终条件Φi（x）=tanh（ax）的播放器i的指数变换值函数等式31。在这里，玩家可以信赖地承诺玩v=0.01的恒定策略。作为t→ T，a的值越大，状态空间的两个区域之间的边界就越清晰，这两个区域对玩家i来说代价很高（x的正值）而对玩家i来说代价较小（x的负值）。这种行为在性质上与最终条件Φi（x）=Θ（x）产生的行为相似-Θ(-x）。然而，我们将表明，由于使用Φ（x）与Φ（a）（x），控制政策存在显著的比例差异。来自Eqs。

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何人来此

2022-6-25 07:11:09

33和34，我们近似值函数v（a）（x，t）≈ λv（T- t） +tanh{a[x+v（t- t） ]}，（36），因此控制策略约为Yu（a）（x，t）≈ -asech{a[x+v（T- t） ]}，（37），两个展开式的精度都越来越高→ TΦ（x）=Θ（x）时- Θ(-x），我们可以解析地计算值函数：p2σ（T- t）∞Z-∞经验值-2σΘ（y）- Θ(-y） +（（y- x）- v（T- t））t- t型dy=cosh2σ+ 新罕布什尔州2σerf公司-x+v（T- t） p2σ（t- t）！，（38）因此，我们发现v（x，t）=λv（t- t）- 2σlog“cosh2σ+ 新罕布什尔州2σerf公司-x+v（T- t） p2σ（t- t）哦#（39）andu（x，t）=-s2σπ（T- t）经验值-（x+v（T-t））2σ（t-t）科思2σ+ erf公司-x+v（T-t）√2σ（T-t）.（40）近似控制策略u（a）（x，t）和限制控制策略具有类似的负“钟形”形状，但在重要方面也有所不同。真实控制策略衰减为非对称函数erf（·）调制的高斯分布。近似策略在逻辑上衰减，因此比真正的控制策略更慢。虽然近似策略是对称的，但由于误差函数项，真实策略是不对称的。使用拉普拉斯近似会导致对选举过程的控制超过最佳控制。这是因为u（a）（x，t）的尾部比u（x，t）的尾部重。我们可以通过将自由参数a设为函数并解决函数最小化问题mina（t）TZt来最大化u（a）（x，t）和u（x，t）之间的相似性∞Z-∞[u（a（t））（x，t）- u（x，t）]dx-dt。（41）该问题的一个驻点由A（t）给出∞Z-∞[u（a（t））（x，t）- u（x，t）]u（a（t））（x，t）a（t）dx=0。（42）我们无法用解析方法计算该积分，而不是用代换方程。37和40。我们通过使用secantmethod对100个线性间隔t中的每一个进行数值求解，从而找到该问题的解决方案∈ [0.5, 0.9975].我们在图10中显示了最佳a（t），以及相应的u（a（t））（x，t）和真实u（x，t）。

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2022-6-25 07:11:12

我们发现，最优a（t）随t超指数增长→ 在这个极限下，近似的精度会增加。这是预期的，因为u（a）（x，t）是使用拉普拉斯近似推导出来的，而拉普拉斯近似正是在这个限度内有效的。即使假设对常数控制策略v作出可信承诺，我们也可以在非合作场景中使用该理论来近似值函数。对于任意v（t），关于t+t给定SV（t+t） =v（t）+v（t）t、在小时间增量上导致近似值函数迭代t、 V（x，t+t）≈ λv（t）（t-t） +Φ（x+（t-t） [v（t）+v（t）t] ）。（43）在应用中，v（t）和v（t）都可以从t上可能有噪声的数据估计出来∈ [0，t]。103100103a101xt=0.5103100103a101xt=0.75103100103a101xt=0.875103100103a101xt=0.9375103100103a101xt=0.9688103100103a101xt=0.9844103100103a101xt=0.9922103100103a101xt=0.99611006×1012×100（x，t）1004×1012×100（x，t）1003×1016×101（x，t）1002×1013×1014×1016×101（x，t）2×1016×101 1013×1014×1016×101（x，t）1012×1013×1014×101（x，t）1012×1013×1014×101（x，t）1016×1022×101（x，t）图9。如果玩家i可信地承诺在整个游戏期间玩一个值等于v的常数策略，则玩家i的（指数变换）值函数ν（x，t）具有等式31给出的积分表示。在最终条件设置为Φ（x）=tanh（ax）的情况下，我们显示Β（x，t）的动力学。我们计算了x的值函数∈-,和a的对数等距值∈ [10-3, 10]. 对于<10-1，值函数几乎是常数。当a>10时，随着t的增加，xИ（x，t）在x=0附近的幅值增加→ T2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 0 0.5 1.0 1.5 2.0x2.52.01.51.00.50.0u（x，t）0.50.60.70.80.91.0t（年）2 1 0 1 2x1011000u（x，t）0.6 0.8 1.0t（年）2×1001012×101a（t）图10。方程的解。

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2022-6-25 07:11:15

41是拉普拉斯方法导出的值函数V（a）（x，t）=tanh（ax）中的超指数增长a（t）参数。我们使用该值函数作为公式39中给出的精确值函数的近似值。虚线表示u（x，t），实线表示u（a）（x，t）。右下插入轴显示与主轴相同的数据，并且还包括上一个模拟时间步t=0.9975时的u（x，t）和u（a）（x，t），以证明近似值的精度增加为t→ T左下方的插图显示了最佳a（t）。三、选举干预行动的一个例子是2016年美国总统大选中俄罗斯军事对外情报局（红队）的活动。红队试图损害一位候选人（希拉里·克林顿）的获胜机会，并帮助另一位候选人（唐纳德·特朗普）[11]。尽管俄罗斯外国情报部门在过去至少进行过一次选举干扰行动，但在2014年乌克兰选举中[40]，2015年和2016年的行动引人注目，因为红队特工利用微博网站Twitter试图影响选举结果。当这个攻击向量被发现时，推特关闭了与红队活动相关的账户，并收集和分析了与这些账户相关的所有数据【41–43】。已经对这些和其他选举攻击向量（如Facebook广告购买）对选举投票和选举结果的定性和统计影响进行了分析【44】，并对更普遍的选举影响事件的检测进行了分析【45，46】。

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2022-6-25 07:11:18

然而，据我们所知，俄罗斯军事情报部门以及美国国内外情报机构所使用的控制政策的数量性质，目前还没有公开的工具可以反向工程。我们首先建立了第节所述模型的离散时间公式。II A.然后，我们通过在理论模型中找到最能描述观测数据和推断潜在控制的自由参数值，将其与理论预测进行比较。在这一过程中，我们面临着两个不同的不确定性来源。首先，我们不能直接遵守红色或蓝色的控制政策，因为外国和国内情报机构对其活动进行保密。其次，每个玩家的最终时间支付结构也是秘密的，我们不知道。为了部分规避这些问题，我们构建了一个两阶段模型。第一阶段是贝叶斯结构时间序列模型，如图11所示，通过该模型，我们能够推断uR（t）、uB（t）和x（t）的离散化类似物的分布。一旦我们推断出这些分布，我们将最小化损失函数，该函数将这些分布的平均值与第节所述模型产生的分布平均值进行比较。II A.我们对选举的形式做出了简化假设，正如我们在Sec中所述。I在构建离散时间选举模型时。也就是说，我们假设只有两名候选人参加选举，而选举过程是由一个简单的“候选人反对者-候选人B”投票模拟的。虽然有一些预测选举的方法所做的假设越来越少，限制性也越来越小，例如划分感染模型[47]、预测市场[48]和更复杂的贝叶斯模型[49，50]，但我们构建了我们的统计模型来模拟Sec的基本选举模型。II A。

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nandehutu2022

2022-6-25 07:11:21

我们这样做是为了测试这个基础理论模型再现推断控制和观测选择动力学的能力。我们既不能观察红色uR（t）也不能观察蓝色uB（t）控制策略。然而，我们可以观察到一个事实：2016年大选前一年，俄罗斯军事情报相关账户发送的推特数量【51】。该数据集包含来自2848个独特推特句柄的总计2973371条推特。在这些推文中，共有1107361条发生在选举前一年（2015年11月8日，2016年11月8日）。我们将这些推文按天分组，并使用每天推文总数的时间序列作为观察值，从中我们可以推断出我们的推文。我们限制了模型的时间范围，从共和党全国代表大会（2016年7月21日）和民主党全国代表大会（2016年7月28日）结束日期的较晚者开始。我们之所以这样做，是因为2016年7月28日这两个日期中较晚的一天，是两个主要政党候选人之间的较量日。在2016年所有与俄罗斯军事情报相关的推特中，363131条发生在2016年7月28日至选举日前一天的102天内。虽然小党派候选人的存在可能对选举结果起到了一定的作用，但即使是最突出的小党派（自由意志党和绿党）也只获得了一位数的支持[52，53]。我们没有对这些小党派进行建模，而是只考虑两个主要政党候选人之间的选举竞争。我们使用RealClearPolitics民意测验聚合作为选举过程本身的代理【54】，平均在同一日期记录的民意测验，如果投票在多天内进行，则使用投票日期范围内的最早日期作为观察的时间戳。

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2022-6-25 07:11:24

平均时，我们对所有民意调查进行平均加权。使用这两个观察到的随机变量，我们建立了图11中所示的阿巴斯结构时间序列模型。现在我们描述一下OFIG的结构。11、我们近似于第节中定义的分析模型的时间序列成分。II A采用贝叶斯结构时间序列（BSTS）模型。随后，我们将BSTS模型与2016年美国总统选举数据进行了对比。观察到的随机变量由灰色阴影节点表示，而潜在随机变量由未阴影节点或红色（uR，t）和蓝色（uB，t）节点表示。我们观察到一个由Zt表示的NoiselElection民意调查，以及一系列由推特表示的与俄罗斯军事情报相关的推特。我们在建模阶段的目标是推断潜在的选举过程（用Xt表示）和潜在的控制策略。该模型并解释了我们对先验和似然函数的选择。在分析模型中，我们用依赖于时间和状态的维纳过程对最近的控制策略uR（t）和uB（t）进行建模。要看到这一点，回想一下状态方程是根据维纳过程演化的，并将伊藤引理应用于arandom变量的确定性函数-虚拟现实x个x=x和-VBx个x=xt，定义控制策略。维纳过程的离散化版本是一个简单的高斯随机游走。Wethus用高斯随机游动对潜在的红蓝控制策略进行建模：p（uR，t | uR，t-1，uR，σ）=N（uR，t-1+uR，σ）（44）p（uB，t | uB，t-1，uB，σ）=N（uB，t-1+uB，σ）（45）同样，我们通过状态演化方程的离散化版本对潜在选举过程进行建模，方程3:p（Xt | Xt-1，uR，uB）=N（Xt-1+uB，t-1.- uR，t-1，1）（46）我们假设潜在选举模型在潜在空间中受到正常观测误差的影响。

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