6. 方差分析

单因素多水平方差分析

例6.1 不同装配方式对生产的过滤系统数量的差异性检验

某城市过滤水系统生产公司，有A、B、C3种方式进行过滤水系统的装配，该公司为了研究三种装配方式生产的过滤系统数量是否有差异，从全体装配工人中抽取了15名工人，然后随机地指派一种装配方式，这样每个装配方式就有5个工人。在指派装配方法和培训工作都完成后，一周内对每名工人的装配过滤系统数量进行统计如下：

请根据数据判断3种装配方式有无差异

分析过程：由于目标是判断3种装配方式有无差异，多样本的检验用方差分析

于是我们有了原假设和备择假设

$H_0: \mu_1 = \mu_2 = \mu_3 \leftrightarrow H_1$:均值不全相等

import pandas as pd
import numpy as np
from scipy import stats

# 数据
A = [58,64,55,66,67]
B = [58,69,71,64,68]
C = [48,57,59,47,49]

data = [A, B, C]
# 方差的齐性检验
w, p = stats.levene(*data)
if p < 0.05:
    print('方差齐性假设不成立')
 
 
# 成立之后， 就可以进行单因素方差分析
f_value, p_value = stats.f_oneway(*data)
# 输出结果
print("F_value:", f_value)
print("p_value:", p_value)
F_value: 9.176470588235295
p_value: 0.0038184120755124806

结论 选择显著性水平 0.05 的话，p = 0.0038 < 0.05，故拒绝原假设。支持三种装配方式装配数量均值不全相等的备则假设。

例6.2 不同优惠金额对购买转化率的差异性检验

某公司营销中心为了提升销量，针对某产品设计了3种不同金额的优惠，想测试三种优惠方式对于用户的购买转化率是否有显著影响，先收集到了三种不同方式在6个月内的转化率数据

请根据数据判断3种不同优惠金额的转化率有无差异

分析过程：由于目标是判断3种不同金额的优惠券对于转化率有无差异，多样本的检验用方差分析

于是我们有了原假设和备择假设

$H_0: \mu_1 = \mu_2 = \mu_3 \leftrightarrow H_1$:认为这几组之间的购买率不一样

P < 0.05 拒绝原假设，倾向于支持不同优惠金额购买率不一样的备择假设。认为不同优惠金额会对购买率产生影响
P > 0.05 无法拒绝原假设。认为不同优惠金额不会对购买率产生影响

import pandas as pd
import numpy as np
from scipy import stats

A = [0.043 , 0.047 , 0.051 , 0.049 , 0.045 , 0.0469]
B = [0.05  , 0.048 , 0.045 , 0.055 , 0.048 , 0.0491]
C = [0.048 , 0.05  , 0.047 , 0.056 , 0.054 , 0.0509]

data = [A, B, C]
# 方差的齐性检验
w, p = stats.levene(*data)
if p < 0.05:
    print('方差齐性假设不成立')
 
 
# 成立之后， 就可以进行单因素方差分析
f_value, p_value = stats.f_oneway(*data)
# 输出结果
print("F_value:", f_value)
print("p_value:", p_value)

# F_value: 2.332956563862427
# p_value: 0.13116820340181937

结论 选择显著性水平 0.05 的话，p = 0.1311 > 0.05，故无法拒绝原假设。认为不同优惠金额不会对购买率产生影响

双因素方差分析

1.双因素方差分析（等重复实验）

这里的等重复实验，意思就是针对每个组合做大于等于两次的实验，比如下方例子中表里A1和B1的组合里面有2个数字，即说明做了两次实验，如果是3个数字则说明3次实验，依次类推。

例6.3 不同燃料种类和推进器的火箭射程差异性检验

火箭的射程与燃料的种类和推进器的型号有关，现对四种不同的燃料与三种不同型号的推进器进行试验，每种组合各发射火箭两次，测得火箭的射程如表（以海里计）（设显著性水平为0.05）

import numpy as np
import pandas as pd 

d = np.array([[58.2, 52.6, 56.2, 41.2, 65.3, 60.8],
    [49.1, 42.8, 54.1, 50.5, 51.6, 48.4],
    [60.1, 58.3, 70.9, 73.2, 39.2, 40.7],
    [75.8, 71.5, 58.2, 51.0, 48.7,41.4]
])
data = pd.Datafr ame(d)
data.index=pd.Index(['A1','A2','A3','A4'],name='燃料')
data.columns=pd.Index(['B1','B1','B2','B2','B3','B3'],name='推进器')

# pandas宽表转长表
data = data.reset_index().melt(id_vars =['燃料'])
data = data.rename(columns={'value':'射程'})
data.sample(5)

import statsmodels.api as sm
from statsmodels.formula.api import ols

# 进行双因素方差分析
model = ols('射程~C(燃料) + C(推进器)+C(燃料):C(推进器)', data =data).fit()
# 打印方差分析表
anova_table = sm.stats.anova_lm(model, typ=2)
anova_table

结论:

对燃料因素来说，其p = 0.0259 < 0.05 所以拒绝$H_{01}$，认为燃料对射程影响显著；

对推进器因素来说，其p = 0.0035 < 0.05,所以拒绝$H_{02}$，认为推进器对射程影响显著；

对燃料和推进器的交互因素来说，其p = 0.000062< 0.05,所以拒绝$H_{03}$，认为交互因素其对射程影响显著。

2.双因素方差分析（无重复实验）

在等重复实验中，我们为了检验实验中两个因素的交互作用，针对每对组合至少要做2次以上实验，才能够将交互作用与误差分离开来，在处理实际问题时候，如果我们一直不存在交互作用，或者交互作用对实验指标影响极小，则可以不考虑交互作用，此时每对组合只做一次实验，类似下方例子中的表中数据：

例6.3 不同时间、不同地点颗粒状物含量差异性检验 无重复实验

下面给出了在5个不同地点、不同时间空气中的颗粒状物(单位：mg/m°)含 量的数据记录于表中，试在显著性水平$\alpha = 0.05$下检验不同时间、不同地点颗粒状物含量有无显著差异？（假设两者没有交互作用〉

import numpy as np
import pandas as pd 

d = np.array([
    [76,67,81,56,51],
    [82,69,96,59,70],
    [68,59,67,54,42],
    [63,56,64,58,37]])
data = pd.Datafr ame(d)
data.index=pd.Index(['1995年10月','1996年01月','1996年05月','1996年08月'],name='时间')
data.columns=pd.Index(['B1','B2','B3','B4','B5'],name='地点')
# pandas宽表转长表
data = data.reset_index().melt(id_vars =['时间'])
data = data.rename(columns={'value':'颗粒状物含量'})
data.sample(5)

随机查看5条转化后的数据：

import statsmodels.api as sm
from statsmodels.formula.api import ols

# 进行双因素方差分析
model = ols('颗粒状物含量~C(时间) + C(地点)', data =data).fit()
# 打印方差分析表
anova_table = sm.stats.anova_lm(model, typ=2)
anova_table

结论:

对时间因素来说，其p = 0.001033 < 0.05 所以拒绝$H_{01}$，认为时间对颗粒状物含量影响显著；

对地点因素来说，其p = 0.000234 < 0.05,所以拒绝$H_{02}$，认为地点对颗粒状物含量影响显著；

下期将为大家带来《统计学极简入门》之相关分析

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