理解数学模型：

数学模型是描述物理、化学或生物状态或过程的方程。非线性回归的目标是将模型拟合到数据中。

数学模型到底是什么?

非线性回归的全部意义在于为您的数据拟合一个模型。这就提出了一个问题:什么是模型？

数学模型是对物理、化学或生物状态或过程的描述。使用模型可以帮助您思考化学和生理过程或机制，这样您就可以设计更好的实验并理解结果。当您将模型拟合到数据中时，您将获得可以在模型上下文中解释的最佳拟合值。

数学模型既不是假设，也不是理论。与科学假设不同，模型不能通过实验直接验证。因为所有的模型都是真的和假的....一个模型的验证不是它是“正确的”，而是它产生了与重要问题相关的良好的可测试的假设。

                                                             - R. Levins, Am. Scientist 54:421-31, 1966

使用模型的目标不一定是完美地描述系统。一个完美的模型可能有太多的参数而不实用。相反，您的目标是找到一个尽可能简单的模型，它接近于描述您的系统。您希望一个模型足够简单，以便您可以将模型与数据拟合，但也希望它足够复杂，以便能够很好地拟合数据，并为您提供参数，帮助您理解系统，得出有效的科学结论，并设计新的实验。

三个示例模型

为了让您了解数学模型是如何工作的，下面是对三种常用模型的简要描述。

光密度作为浓度的函数

Background

比色化学分析是基于一个简单的原理。向样品中加入适当的反应物，使化学反应的产物呈彩色。当您终止反应时，有色产物的浓度与您要测定的物质的初始浓度成正比。

Model

由于光密度与有色物质的浓度成正比，因此光密度也将与您正在分析的物质的浓度成正比。

Reality check

从数学上讲，这个方程适用于任何x值。然而，结果只对某些值有意义。

• 负X值是无意义的，因为浓度不可能是负的。
• 当反应不再受物质浓度的限制时，该模型可能在高浓度的物质中失效。
• 如果溶液在高浓度时变得太暗(光密度很高)，以至于几乎没有光到达探测器，那么该模型也可能失效。在这一点上，仪器的杂声可能超过信号。
  

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一个模型只适用于一定范围的值是很正常的。您只需要意识到它的局限性，不要试图在它的有用范围之外使用这个模型。

指数衰减

指数方程，当某件事发生的速率与剩余的量成正比时。例子包括配体与受体解离、放射性同位素衰变和药物代谢。用微分方程表示的：

将微分方程转换成在不同时间定义Y的模型需要一些微积分。只有一个函数的导数与Y成正比，指数函数。对方程两边积分得到一个新的指数方程它将Y定义为X(时间)的函数，速率常数k，以及时间0时Y的值。

平衡结合

当配体与受体相互作用时，或者当底物与酶相互作用时，这种结合遵循质量作用定律。

测量结合量，也就是RL复合物的浓度，在Y轴上画出来。您改变加入配体的量，我们可以假设它等于自由配体的浓度，L，这就形成了X轴。一些简单(但乏味)的代数运算得出这个等式：

建议:如何理解一个模型

遇到一个方程式会使许多科学家的大脑冻结。如果您是其中一名难以理解方程的科学家，这里有一些提示可以帮助您理解方程的含义。举个例子，我们用Michaelis-Menten方程来描述酶活性作为底物浓度的函数：

Y=Vmax*X/(Km +X)

Tip 1. 确保您知道X和Y的含义和单位

在这个例子中，Y是酶的活性，根据酶的不同，它可以用不同的单位来表达。X是底物浓度，单位是摩尔或微摩尔或其他浓度单位。

Tip 2. 求出参数的单位

在示例方程中，参数Km被添加到X中。只有添加以相同单位表示的东西才有意义，因此Km必须以与X相同的浓度单位表示。这意味着单位在X/(Km +X)项中消去，因此Vmax必须以与Y相同的酶活性单位表示。

Tip 3. 求出在X极值处Y的值

因为X是浓度，它不可能是负的。但也可以是零。把X=0代入方程，您会发现Y也为0。

我们也算一下当X变大时会发生什么。当X比Km变大时，分母(X+Km)的值与X非常相似，因此比值X/(X+Km)接近1.0,Y接近Vmax。所以当X变得非常大时，模型的图形必须在Y=Vmax处趋于平稳。

Tip 4. 求出特殊X值下Y的值

因为Km和X用相同的单位表示，您可以问如果X等于Km会怎样?在这种情况下，X/(Km +X)等于0.5，所以Y等于Vmax的一半。这意味着Km是导致速度等于最大速度Vmax的一半的底物浓度。

Tip 5. 用各种参数值绘制模型图

绘制具有不同参数值的一系列曲线可以帮助您可视化参数的含义。要在Prism中做到这一点，请使用分析“创建理论曲线族”。