证明：假设 是有理数．
∵1＜ ＜2，∴ 不是整数，
那么存在两个互质的正整数p，q，使得 = ，
于是p= q．
两边平方，得p2=3q2．
∵3q2是3的倍数，
∴p2是3的倍数，
又∵p是正整数，
∴p是3的倍数．
设p=3k（k为正整数），代入上式，得3q2=9k2，
∴q2=3k2，
同理q也是3的倍数，
这与前面假设p，q互质矛盾．
因此假设 是有理数不成立．
故 是无理数

假设sqrt(3) 是有理数．
∵1＜ sqrt(3)＜2，∴ sqrt(3)不是整数，
那么存在两个互质的正整数p，q，使得 sqrt(3)=p/q ，
于是p= sqrt(3)q．
两边平方，得p2=3q2．
∵3q2是3的倍数，
∴p2是3的倍数，
又∵p是正整数，
∴p是3的倍数．
设p=3k（k为正整数），代入上式，得3q2=9k2，
∴q2=3k2，
同理q也是3的倍数，
这与前面假设p，q互质矛盾．
因此假设 是有理数不成立．
故sqrt(3) 是无理数．