不是，因为a，b两个端点（无理数）可以由（a，b）内的有理数逼近

不是这种解释。题目问的是S是不是Q里面的闭集，不是问的S是不是R^1里面的闭集。的确，S不是R^1里面的闭集，但它是Q这个度量空间里的闭集。这是Apostol书上一个问题。我没太理解

你的题目说得不是非常清楚。
是不是闭集，取决于你所定义的拓扑。例如，如果由你所定义的度量d所导出的拓扑是离散拓扑，则Q的任意子集既是开集也是闭集。
当然，我猜你所定义的度量d应当就是欧氏度量吧。如果是这样，那么(-∞，a)∩Q和(b，+∞)∩Q都是Q中的开集（根据子空间拓扑的性质，R上的开集与Q的交集就是Q中的开集），故(-∞，a)∩Q)∪((b，+∞)∩Q也是Q中的开集（开集的并集是开集），从而S=Q\(((-∞，a)∩Q)∪((b，+∞)∩Q))是Q中的闭集（开集的补集是闭集）。与此同时，不难看出，S是R上的开集(a, b)与Q的交集，所以S也是Q上的开集。

恩，已经懂了。其实应该是说S既是Q上的开集，也是Q上的闭集。谢谢你