2014 年全国大学生数学竞赛预赛试题参考答案
一 填空题(共有 5 小题, 每小题 6 分,共 30 分)
（1） 已知     y1 = e x 和 y2 = xe x 是齐次二阶常系数线性微分方程的解，则该方程是___________.
答案: y′′( x )  2 y ′( x ) + y ( x ) = 0

[参考解答] 由题设知该方程的特征方程有二重根 r = 1 ，故所求微分方程是 y′′( x )  2 y ′( x ) + y ( x ) = 0 .

（2）设有曲面 S : z = x 2 + 2 y 2 和平面 L : 2 x + 2 y + z = 0 , 则与 L 平行的 S 的切平面方程是________.
              3
答案: 2 x + 2 y + z +      =0
              2
[参考解答] 设 P0 ( x0 , y0 , z0 ) 为 S 上一点, 则 S 在 P0 的切平面方程是
                   2 x0 ( x  x0 )  4 y0 ( y  y0 ) + ( z ...