in Black-Scholes, only today's price and strike price matters which are both fixed today. think it in this way, your option on future expires in 3 month, so who cares what is the price of the future in 4 months when you are pricing the option.  I am also a beginner, maybe wrong. Please correct me if anyone have the right answer. (Sorry, can not type Chinese)

这个问题我也纠结了好久,想了半天才搞明白. 首先,futures的价格F是Ft,T(而不是那个pre-paid price哦,偶就是一直不明白这一点,结果就重新理解了一下futures的运作方式). 那道例题中F是直接给出的,所以option的价格与futures的到期时间无关

你就把future想象成stock好了，你想一个future给了到期时间后，在每一个到期时间前的时间点是不是都有不同的价格，这就和股票一样了。只不过因为future有一个储存池，结算的钱都放在这个池子里，所以可以看作是一个股票dividens=0, risk free rate =0。但是你最终要算option的价格，所以要把payoff discount 到present value。最简单的， 你可以把future看作是 dividens=rate 的stock情况。
这是我的理解，说得有点不清楚，希望有帮助