前些天，一直困惑于阿罗不可能性定理的传统性证明（至今都不能使笔者信服）。请教老师孙广振教授之后，我依然不甚明晓，广振近期因事情太忙（兼之广振身体欠佳），未及细看，也没有详细地阐述，只是告诉我，无需质疑这个定理的正确性，并且有不下20种的证明方法，也不必总纠结于最初的证法。 之后，我便在论坛上发帖，请教这个问题（详见https://bbs.pinggu.org/thread-1226429-1-1.html），得到一些网友的启发，兼之读了阿罗学生的那几种证明，对这个定理的魅力发自内心的折服。 题目中的“非正式”证明，并非指这种证明是以偏概全的，而是讲证明的过程完全脱离数学的知识，只是逻辑上的推导。定理魅力之一，便在于此处，经济并非只能跟数学混在一起。
      下面，我就把JOHN GEANAKOPLOS 的非正式证明发现阐述如下，望给困惑中的挚友们一些启示。

      首先是，阿罗不可能性定理的五个前提条件，这同时也是我题目中提到的相克的五行：
      1）排序性。即社会总偏好是符合完备性（已包含反身性）和传递性。
      2）定义域的无限制性（UD）。任何一种可能的偏好都不应该被排除在外。
      3）无关选择的独立性（IIA）。社会总偏好中的任何两个选择的排序，都只取决于每一个人对这两个选择的相对排序，跟第三个选择无关。
      4）帕累托原则（PP）。社会中所有的人都认为选择A比选择B好，那么社会就认为A比B好。
      5）非独裁性（ND）。社会的总偏好，都不能由社会中每一个特定的成员所决定。（这个是证明的矛盾之处）
      （另外需要指明几处符号的表示方法，1，对于特定的成员i， A优于B（即A不劣于B）表示为A Ri B，2， 对于特定的成员i，A严格优于B，表示为A Pi B， 3，对于社会总偏好，A优于B（即A不劣于B）表示为A R B， 4，对于社会总偏好，A严格优于B，表示为A P B）

      在开始正式证明之前，需要先证明一个辅助的引理。内容如下：如果社会中每一个人都把某个特定的选择（比如B）放在自己偏好链（从最好到最差）的最顶端，或者最低端，那么社会总偏好也只会把这个特定的选择放在最顶端，或者最低端。
      证明如下：假设引理不成立。存在一个选择A，和一个选择C，同时满足A R B和B R C，根据排序性，有A R C。现在对所有人的个人偏好做如下调整：将每个人的C都调到相邻A的上面一位。对于调整后的所有个人偏好，根据IIA，有A R B，因为只是调动的第三个无关选择C；又因为每个人都把B放在最顶端，或者最末端，对于那些把B放在最顶端的个人来说，C调到A的上一位，并没有改变B与C之间的相对排序，依然都是B Rj C，对于那些把B放在最末端的个人来说，情况未变，依然有C Ri B，所以，调整后与调整前的对比可以看出，B与C的每个人的相对排序没有发生变化，根据IIA，社会总偏好依然认为 B R C成立。矛盾已经出现了，我们调整后的每个个人偏好中均认为C Pi A，根据PP， 社会总偏好应为C P A，这与根据排序性推出的A R C矛盾。引理得证。
       现在，我们继续从引理出发，假如每个人把一个特定的选择（比如D）放在每个人偏好的最末端。做如下调整，从第一个人开始，依次往后，把选择D从每个人的偏好最末端调到最顶端，依次进行下去。我们知道，根据PP，当D都被放在最低端的时候，D也会出现在社会总偏好的最低端，若在最顶端，也会在总偏好的最顶端。所以，如上的调整，会使得，当某一个特定的人（假如是第n个人）把D从自己的最低端调到最顶端之后，导致社会总偏好中的D从最低端变到了最顶端。
      接着，我们记录如下，把第n个人调整前的所有的个人偏好集（即一个轮廓profile)称为轮廓1，即前n-1个人已经调整，之后的人并未动；把第n个人调整后的所有的个人偏好集称为轮廓2，即前n个人已经调整，之后的人并未动。
      有两点需要明示，1，轮廓1的社会总偏好依然会把D放在最低端，因为n还未调整。2，轮廓2的社会总偏好会把D调整到了最顶端，因为n已经调整过了。
      现在，取两个任意的选择E和F，并且在轮廓2的基础上，构建轮廓3，即把第n个人偏好中的E调整到D的上面（此时E已经在第n个人偏好的最顶端）此时，对于n有，E Pn D Pn F，不管其余人关于E和F的排序。构建轮廓3的调整过程中，只动了E，根据IIA，有，D和F的社会总偏好的排序是不发生改变的，即同轮廓2是一样的，为D P F。再者，考虑E和D的社会总偏好排序，在轮廓1的基础上，D在最低端，即社会总偏好认为E P D，然后，第n个人调整后的轮廓3，并没有改变自己轮廓1下关于E和D的相对排序，依旧是E Pn D，根据IIA，有轮廓3的社会总偏好依然有E P D。因此根据，排序性，E P D P F，有E P F，不管除第n个人之外的所有人关于E和F的相对排序。考虑E和F的任意性，此时的第n个人变充当了独裁者的角色，违背了非独裁性。定理到此得证。

    在我感觉，阿罗不可能性定理的魅力之二，便在于它只使用了序数性。文章题目的前半句，便说明的这个问题，太极，意指效用，阴阳即指的是，效用的基数性和序数性。其实，关于这两个性质的争吵已经不下200年了，依旧没有一个显著的结果。最初萨缪尔森提出的社会福利函数中，无形地使用了效用的基数性（以及人际可比性），虽然他自己极不情愿承认这一点。从我三年前开始学习经济学的时候，我便对效用这个概念存有了很大的质疑。这个概念提得太大了，大到了它能用来解释所有的东西，以至于它最后什么都解释不了了（有点类似于同义反复）。与其继续这样地争吵下去，不如我们尽可能地选择一个效用的替代品。不过，这关系到了微观经济学的重构问题。
    阿罗不可能性定理的魅力之三，在于它完全无视了人际可比性。说到人际可比性，也是对于基数性最致命的攻击。马歇尔关于基数性的应用，得到了很大层面的肯定，但基数性很大程度不是能很合理地应用到福利经济学中。归根结底，便在于它的人际不可比性。
     到此，话可能说得有些大，权当戏言吧。对于阿罗不可能性定理的理解，我目前只能达到这种程度，博诸君一哂吧。