1. 为了计算每项投资的95% VaR(风险价值),我们需要确定一个事件,其概率等于或小于5%,而该事件将导致的最大损失。根据题目描述,每一项投资有4%的概率触发1000万美元的损失,这超过了我们寻找的5%阈值,因此95%VaR为1000万美元。
2. 预期亏损(Expected Shortfall, ES)是在给定置信度下所计算出的风险水平超出风险价值部分的平均值。对于任一投资,在95%置信度下的预期亏损,我们需要考虑所有可能造成损失且概率累积达到或超过5%的情况。在本例中,只有当损失1000万美元的情形发生时(4%的概率),才会导致VaR被超出,因此预期亏损为:
\[ ES = \frac{4\%}{5\%} \times 1000万 = 800万元。\]
3. 对于组合投资的95% VaR和预期亏损计算,我们需要考虑两项独立投资可能同时或分别造成损失的情况。我们首先计算组合投资在不同情况下的结果概率:
- 双重盈利的概率:\(94\% \times 94\% = 88.36\%\)
- 单项盈利另一方损失100万美元的概率:\(2\% \times 94\% + 94\% \times 2\% = 3.76\%\)
- 单项盈利另一方损失1000万美元的概率:\(4\% \times 94\% + 94\% \times 4\% = 7.52\%\)
- 双重损失100万美元的概率:\(2\% \times 2\% = 0.04\%\)
- 单方损失100万另一方损失1000万的情况概率:\(2\% \times 4\% + 4\% \times 2\% = 0.16\%\)
- 双重损失1000万美元的概率:\(4\% \times 4\% = 0.16\%\)
因此,95% VaR的计算应考虑导致组合总体结果最差且概率累积达到或超过5%的情况:
- 损失100万加损失1000万(0.16%)和双重损失1000万美元(0.16%),总概率为0.32%,超过VaR计算所需的5%界限。
所以,组合投资的95% VaR为\(100 + 1000 = 1100\)万美元。至于预期亏损,则需要考虑所有在给定置信度下超出VaR值的情况平均损失:
- 单方损失100万另一方损失1000万(0.16%)的平均额外损失为900万
- 双重损失1000万美元(0.16%)的平均额外损失为200万
因此,预期亏损约为:
\[ ES = \frac{0.16\%}{5\% - 0.32\%} \times (900 + 200)万元 \approx 400万元。\]
请注意上述计算中采用的近似和简化处理。
4. VaR和预期亏损满足次可加性条件,即VaR和ES对于组合的风险度量不会大于各独立投资VaR和ES的简单相加。在本例中,两个单独投资的95% VaR总和为\(2000\)万美元,而组合投资的95% VaR是\(1100\)万美元;同样地,两单个投资的预期亏损总和约为\(1600\)万元(每个800万),而组合投资的预期亏损大约是\(400\)万元。这表明VaR和ES对于独立但关联的投资而言,确实表现出次可加性特征。
然而,在实际应用中,确切值可能因更为精确的概率计算而有所不同。本题解答基于题目所给条件进行简化处理,并假设所有事件在计算过程中满足独立性和概率分布的适用性。
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