我有个想法不知道对不对：
设f(x)是【a，b】上的有界实函数，对于任一第一类不连续点x0,存在（x0,x0+e）,使当x在（x0,x0+e）内时，|f(x)-f(x0)|趋向于0.（也即第一类不连续点存在右极限），根据有理数的稠密性，可以在（x0,x0+e）中取一有理数r0，这样就建立了由第一类不连续点到有理数的单射。有理数可列，所以第一类不连续点至多可数。
不知道对不对，楼主找到答案回复一下，也让我学习一下

多谢回答！  关键是如何证明（x0,x0+e）这个区间内只存在这一个第一类间断点？

这样你看对不对：
     第一类不连续点左右极限都存在。根据极限的定义（存在x0充分小邻域使函数值无限趋近f（x0））是），只要让e尽量小，那么（x0,x0+e）中就不会再有第一类不连续点。