对数正态分布在生物学中十分常见，但在统计学书籍中却很少见。

对数正态分布

对数正态分布的核心要点

• 高斯分布的变异源于多个分散来源的叠加(下方详解)；而对数正态分布的变异则源于多个分散来源的相乘作用
• 对数正态分布的所有取值均为正数，不存在负值或零值
• 对数正态分布在生物学中十分常见
• 当几何标准差较大时，对数正态分布呈不对称性：多数取值非常接近，仅有小部分取值显著偏大(可参考下方图形的左面板)
  

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• 当几何标准差较小时(例如小于1.3)，除非样本量极大，否则不对称性很难被察觉
• 若将数据绘制在对数坐标轴上(如上方图形的右面板所示)，分布会呈现对称性
• 若不了解对数正态分布，您可能会误以为示例中最大的4个值是离群值(看起来不属于整体分布)。若用基于高斯分布假设的离群值检测算法分析这些数据，大概率会识别出这些值(即示例中最大的4个值)为离群值
• 若尝试用t检验或ANOVA比较均值，可能会得到较大的P值与较宽的置信区间。t检验与ANOVA均假设数据来自高斯分布，若用这些方法分析对数正态分布的数据集，会损失统计功效
• 对数正态分布所有取值的对数值服从高斯分布
  

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如何处理对数正态分布

分析对数正态分布的数据很简单：只需对每个数值取对数进行数据转换。这些对数值应服从高斯分布，因此可通过t检验、ANOVA等方法进行分析。从10.5版本开始，Prism提供了对数正态版本的t检验与单因素ANOVA：勾选“假设数据来自对数正态分布”的选项后，这些检验会比较几何均数，并计算几何均数的比值(而非算术均数的差值)。

深入了解对数正态分布

参考文献：HJ Motulsky, T Head, PBS Clarke, 2025,《分析对数正态数据：非数学实用指南》，《药理学综述》，第77卷，第3期，100049

(高斯分布的来源)

当多个独立随机因素以叠加方式共同作用产生变异时，就会形成高斯分布。我们可以通过一个例子来理解这一点。

想象一个非常简单的“实验”：您用移液管移取一些水并称重。移液管本应移取10微升水，但实际移取量会随机波动在9.5到10.5微升之间。如果您移取1000次，并将结果绘制成频率分布直方图，它会呈现出下图的样子。

此时平均重量为10毫克(对应10微升水的重量，至少在地球上是这样)。这个分布是平的，完全没有高斯分布的特征。

现在我们把实验变复杂一点：移取两次水后再称重。此时平均重量会是20毫克，但误差有时会相互抵消。下图展示了这样操作后的结果。

每一步移液操作都会产生平展型随机误差，但将这些误差叠加后，分布就不再是平展的了。例如，只有当两次移液的误差都大幅偏向同一方向(这种情况很少见)时，才会得到接近21毫克的重量。

现在我们把实验扩展到10次移液操作，观察总和的分布。

这个分布看起来非常接近理想的高斯分布。如果将实验重复15000次(而非1000次)，结果会更接近高斯分布。

这个模拟验证了一个可通过数学证明的原理：若实验误差由多个权重相近的叠加性来源构成，且样本量足够大，那么数据的离散性会近似服从高斯分布。

高斯分布是一种数学理想模型。生物领域中几乎没有(若有的话也极少)分布完全符合高斯分布，因为高斯分布的取值范围是从负无穷到正无穷。比如上面的重量实验，若严格服从高斯分布，就会存在极小概率出现负重量(但重量不可能为负)，因此实际分布不可能是完美的高斯分布。不过，它与高斯分布的近似程度已经足够高，足以支持t检验、回归等基于高斯分布假设的统计方法的使用。

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几何均数与几何标准差系数

几何均数的核心要点

• Prism计算几何均数的步骤：先对所有数值取对数，计算对数值的均数，最后取反对数
• Prism使用10为底的常用对数，再将对数值的均数作为指数求10的幂，得到几何均数；部分程序会使用自然对数，再通过指数函数转换回原尺度
• 对数与反对数的运算，等价于将所有数值相乘后开n次方(n为数值个数)，部分书籍会采用这一定义
• 若数据中存在0或负值，无法计算几何均数
• 几何均数的单位与原始数据、算术均数的单位一致
• 几何均数永远不会大于算术均数
• 若数据来自对数正态分布，几何均数通常是描述分布中心的最佳方式
  

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几何标准差系数

Prism在计算几何均数时，会同时报告几何标准差系数，也可在部分图形中绘制几何均数及其几何标准差系数。

几何标准差系数的核心要点

• “几何标准差”这一术语并不常用，由Kirkwood首次提出
• 几何标准差的计算方式：先将所有数值转换为对数，计算这些对数值的样本标准差，再对该标准差取反对数
• 几何标准差系数无单位，是一个无量纲的比值，且其值≥1(仅当所有数据完全相同时才等于1，此时数据对数值的标准差为0，而0的反对数是1)
• 不能将几何标准差与几何均数进行加减运算，只能进行乘除运算。这与普通标准差不同(普通标准差与数据单位一致，可与均数加减)
• 对于对数正态分布的数据，几何均数÷几何标准差系数到几何均数×几何标准差系数的区间，约包含三分之二的数值；类似地，高斯分布数据中，均数±标准差的区间也包含约三分之二的数值
• 学术出版物中很少报告几何标准差：常见表述是“均数为3.2±1.2(标准差)”，但目前很少见“几何均数为4.3(×/÷1.14)”的写法(这里用“×/÷”代替了“±”符号)
• 虽然用“乘/除”表示误差看似奇怪，但其实和“加/减”一样合理
  

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示例

上图绘制了从对数正态分布中抽样得到的20个数值：

左侧图表显示，均值与几何均值差异明显；

中间图表展示了几何均值，其误差棒的计算方式为几何均值乘以或除以几何标准差因子；

右侧图表则采用对数Y轴呈现相同数据：此时分布看起来是对称的，误差棒向两侧延伸的距离(视觉上)一致。但需注意：中间图与右图中误差棒的端点对应的Y值是相同的，右图采用了对数坐标轴。