Fisher线性判别分析（LDA）简介

Fisher线性判别分析（LDA）是一种广泛应用的有监督降维与分类技术，尤其适用于类别边界清晰的数据集。该方法通过寻找最优的投影方向，将高维数据映射到低维空间，在保留类别区分能力的同时实现数据压缩。其核心目标是在投影后最大化类间距离、最小化类内距离，从而提升分类性能。

基本原理概述

核心思想：将原始样本投影至一条直线上，使得同一类别的样本在投影后的空间中尽可能聚集，而不同类别的样本则尽可能分离。

优化目标：确定一个最优投影向量 w，使Fisher准则函数达到最大值。该函数定义为类间散度矩阵 S_b 与类内散度矩阵 S_w 的比值。

求解方式：最终得到的最佳投影方向可表示为：
w ∝ S_w(m - m)
其中，m 和 m 分别代表两个类别的均值向量。

实际应用流程

数据选取

常采用Iris或Sonar等经典数据集进行实验验证。这些数据集具有明确的类别标签和适中的特征维度，非常适合用于演示Fisher判别分析的效果。

主要步骤

• 计算类均值向量：对每个类别分别求取样本的平均特征向量。
• 构建散度矩阵：计算类内散度矩阵 S_w 和类间散度矩阵 S_b，用于衡量数据分布特性。
• 求解最佳投影方向：利用矩阵逆运算和均值差向量，求得使准则函数最大的投影向量 w。
• 设定分类阈值：一般选择两类在投影空间中均值点的中点作为决策边界。

模型评估

通过交叉验证等方式评估分类准确率。例如，在Sonar数据集上的测试结果表明，Fisher线性判别能够取得较高的分类精度，显示出良好的实用性。

实践建议

推荐使用Python中的scikit-learn库快速实现Fisher线性判别分析。通过调用 LinearDiscriminantAnalysis 类，仅需少量代码即可完成模型训练与预测，便于在自定义数据集上迅速验证算法效果。