n階行列式的幾何意義

李鴻祿

　　

一般說來，n階行列式代表一個數值，它的幾何意義不是很明朗的。但其中有幾種特殊的行列式其幾何意義是很明顯的，其中最明顯的是一種是對角矩陣的行列式，它的數值表示一個n階泛立體的泛體積。另有兩種行列式的幾何意義稍加研究就不難發現，其中一種是它的n個行中，有一行是由單位正交向量所組成，其餘各行仍是數量；另一種是實對稱矩陣的特徵行列式。

我們今天先來研究第一種。

　　為方便討論，我們將一n階行列式的第一行看作是由單位正交向量e₁，e₂，……，e_n所組成，其餘各行仍看作由數量所組成：　

　　這又意味著什麼？難道這就意味著我們所討論的那個n階行列式也是一個外積公式？是這種三維空間中向量的外積的推廣？回答當然是肯定的。

　　那麼，這種n維空間中向量的外積公式，是表示幾個向量之間的外積呢？三維空間向量的外積運算是在兩個向量之間進行的，難道n維空間向量的外積運算也是在兩個向量之間進行嗎？從公式當中看來顯然不象。那麼象什麼？倒像是在n-1個向量之間進行的，因為，式中第二行至最後一行，各行中的元均可看作是不同向量的各個分量的係數。相反，兩個向量之間若要進行外積運算，是無法使用這種行列式的，因為我們無法在這n-1個行中使另外的n-3個行中的元全部唯一確定。而且在事實上，即使在三維空間中，每次參加外積運算的向量的個數（2個）也完全遵循n-１這個規律。

　　n維空間向量的外積的公式有些什麼用處呢？按照我們在《高維歐氏幾何學》一書中的敍述，外積有兩大用處：第一，可以將兩個以上的向量正交化；第二，可用來求解n元線性方程組。這裏我們就不作詳細介紹了。

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