这里还有一点需要明确：该问题中“目标函数”并非生产函数f(x)，而是π(x)=pf(x)-w'x。

更全面的表述应是：π(x)有极大值的二阶条件是π(x)在其驻点处的Hessian matrix负定。

就本例而言，π(x)在其驻点处的Hessian matrix的负定性与f(x)在该驻点处的Hessian matrix的负定性等价。

本例的意义其实在于：那些动辄抛出“边际递减”而大加批判的某些人，可能并不清楚经济学早已从数理上对“边际递减”的局限性做了分析。现在再使用“边际递减”（这个陈旧的概念）来批判经济学，就太不合时宜了。

***********************************

“f11<0及f22<0”表明“边际生产力递减”，但f11与f22本身都没有边际生产力的意义。要指出第三个条件的经济学意义，恐怕先要说明f11、f12、f21、f22的“经济学意义”。

如果合并三个条件，它们整体上说明f(x)在驻点附近是严格凹函数。凹函数的经济意义（简单说）是：不同要素投入的凸组合的产量总大于这些不同要素投入的产量的凸组合。（这里的“要素投入”是一个向量）

还是sungmoo看的仔细

[此贴子已经被作者于2007-10-10 10:39:55编辑过]

楼主的问题题纯属数学的多元函数求极值问题。

楼上的两位说得都不错了。 关于多元函数极值，找本数学书看一下就OK了，不过，就我看过的最经典的书，

我推荐楼主看 张筑生编著的《数学分析新讲》（第二册），讲得非常深入浅出！

大家讨论的都很好。非常感谢！尤其是版主所说，基本上使得我这个讨论完结了。

不过，还可以再请教一下：

如果把f11定义为要素投入1的改变对其边际产出的影响，把f12定义为要素投入2的改变对要素1的边际产出的影响

那么，条件（3）的现实意义是？

理论意义大家已经讲的很透了。我也不是来抄写高微教材的，数学意义我知道。呵呵。我想说的是，如果回到现实，该条件说明了什么？

想像一下，你面对的是一群MBA，他们没有系统学习过高微，他们不知道条件（3）如果改成“<”就没有极值，他们从来没有听说过“海赛加边矩阵”或“负定”这些名词。他们只知道生产需要资本和劳动的投入，而其中任意一种要素投入的变化都会同时影响到自身和另一种要素的边际产量。从这个角度上，怎么解释清楚条件（3）的现实意义？

我给出这个讨论，是尽量地想把似乎非常难懂的高微拉近现实经济生活。因此，虽然在8楼版主已经表述得相当清楚了，我还是奢侈地问多一句：“能再清楚一点吗？”

嗯，有点吹毛求疵了。见谅见谅！

[此贴子已经被作者于2007-10-10 14:10:48编辑过]

仅就本例而言，单纯有生产函数的拟凹性还不足以使目标函数取极值。

个人以为，最好将三个条件合并成一体来理解，它们一起保证了生产函数从而目标函数的凹性。——而单独理解某一个条件，都不能保证目标函数的凹性。如果讨论经济学意义，也许应该谈目标函数凹性的经济学意义。

凹目标函数如果有驻点，则驻点是极大值。

经济学也想分析（当然这不是主要目的），在何种条件下，一阶条件就是取极值的充要条件。

楼主谈的是厂商理论。

哦，我没注意。不过，实际上和消费理论差不多。一个技术同样可以用既定成本下的产量最大来定义。而它与既定产量下成本最小是对偶问题，后者可以定义条件要素需求函数。

事实上，一般并不把生产函数定义为拟凹！因为拟凹的生产函数并不一定能够得到凹的利润表达式，从而不能确保利润函数（利润表达式的价值函数）的存在。

完全竞争市场上，给定要素价格w，对于既定产量y

条件要素需求函数：x(w,y)∈argmin{w'x s.t. x∈V(y)}

成本函数：c(w,y)≡w'x(w,y)

给定要素需求集，可推出一个成本函数；反过来，给定成本函数，也可推出一个要素需求集。

如果原要素需求集是凸的，则“要素需求集->成本函数->要素需求集”这一过程中，前后两个要素需求集是一样的。

如果原要素需求集是非凸的，则“要素需求集->成本函数->要素需求集”这一过程中，前后两个要素需求集是不一样的。

由成本函数推导要素需求集，所得到的要素需求集总是凸的（或者说，由成本函数总可以推出一个凸要素需求集），然而原要素需求集未必是凸的。如果原要素需求集是凸的，则可以建立成本函数与要素需求集的等价关系。

完全竞争市场上，给定产量价格p，要素价格w，

要素需求函数：x(p,w)∈argmax{pf(x)-w'x}

利润函数：π(p,w)≡pf[x(p,w)]-w'x(p,w)

“要素需求函数”x(p,w)与“条件要素需求函数”x(w,y)是不同的，针对不同优化而言的，它们对生产函数特征的要求也不完全一致。

条件3的经济意义，您这样向那群MBA解释：

当投入只有一个要素时，要使企业存在最大化利润，条件之一就是要素边际产出必须递减。当要素投入是2时，情况与此类似，只不过这时多了两要素之间的互相影响地，所以我们要保证的条件是：两个要素的“综合要素”（将两个要素看成只有一个要素）边际产出要递减。影响要素1的产量增速（边际产量）有两个因素，一个是要素1自己的投入量（f11），另一个就是要素2的投入量（f12）。要想使“综合要素”的边际产出递减，必须使综合要素的边际产出受到的全部影响的总和是负的。这要求：首先f11自己要小于0,即自己增加使自己的边际产量递减，同时还要保证要素2对自己边际产量的正影响（一般而言，f12是大于0的，即要素2越多，要素1的边际产量越大）不能完全抵消负影响，即f11的绝对值大于f12,否则要素1受两者的综合影响就成正的了，结果是要素的边际产出递增。

同样，关于要素2也有同样的解释。从上面可以得到的两个绝对值不等式，它就等价于条件3.（您面对的MBA们对这个不等式应该理解吧，这个是初中的）但它们在经济意义上并不相同。3保证了两种要素的“综合要素”边际产出递减，而那两个不等式是分别指要素1和2边际产出递减。

这个，应该是最直白的解释了，相信那些MBA再不懂数学，也可以听懂了。

好，我来尝试表达一下对条件（3）的现实表述。当然，条件（3）和条件（1）、（2）是结合起来看的。

仅就本例而言：

a）  如果1的变化，对1的边际产出的影响小于对2的边际产出的影响（即条件3不成立），为易于理解，设该影响相差较大。再根据条件（1）、（2），及假设f12＝f21>0（后面再讨论<0的情况），于是，1的少量增加，带来1的边际产出的少量减少，而带来2的边际产出的大量增加；此时企业必将额外购买更多的2；

b）  2的大量增加，除了造成自己的边际产量下降外，既然假设f12＝f21>0，于是会造成1的边际产量更大量的上升。如果交叉影响足够大，最终结果是1的增加导致了MP1的增加。显然，这说明要素投入的最初水平不是利润最大化的。因为在该水平下，同时增加1和2的使用量，是有利可图的。

c）  如果假设f12＝f21<0，分析方法一样。不过，结果是增加一种要素同时减少另一种要素将会导致利润的增加。

直观地，从鞍点的形状也可以得出以上结论。

对，就是这样，说白了就是交叉影响的最终结果必须使“综合要素”的边际产出递减，否则不存在最大化利润。其中c)不用讨论，因为一种要素增加肯定使另一种要素的边际产出上升，否则就不现实了。

不能这样讲

直接讲：这三个条件加起来相当于一元函数极值中二阶导数小于0

你的数学没说错。

但我这样讲，就本例来说，并不错。谈何“不能这样讲”？

你是认为我把经济学意义解释的不对，还是认为我就不该解释数学背后的经济学意义？

是因为背后没有经济学意义

要找经济学解释的话，生产者利润最大化函数的性质中有几条可以拿出来解释，但这个二阶条件没有经济学意义

[此贴子已经被作者于2007-10-11 19:56:03编辑过]

是啊，没有根据，而且捕风捉影。

没有意义的东西硬要解释就会造成理解上的困扰，边际什么什么不是这么解释的

要是按照21楼那样解释下去，3种投入，4种投入，5种投入。。。怎么解释?

“条件”不能翻译成生活语言，也没有经济意义；函数满足条件下的“性质”有一些就可以翻译了

这个条件是先验给定的，表示利润一定有个极大值，就这样而已。没什么边际不边际的意义，边际的意义是根据满足这个条件的函数的一些性质体现出来的

[此贴子已经被作者于2007-10-11 21:16:12编辑过]

不太明白27楼在说什么

首先，我已经强调过数遍，这是就本例来所做的解释。

其次，3种投入、4种投入、5种投入......都可以把除第一种投入外的所有其他投入合为一种。

再次，3种投入也可以用文字来解释，不过更麻烦得多。数学引入经济学的目的之一，就是为了表述的简洁。但所有引入的数学，其背后都有其经济意义。只不过，很多时候用文字表达非常困难。这并不是说，什么时候都不能够用文字表达。

您要是不觉得这种说法很荒谬，那我跟您也没有讨论的余地了。如果您曾试图自己画出一条供给曲线过，那么您就会发现，即使根本不懂高数，也必须让生产函数具备这样的性质才可能画一条与需求函数具有互动均衡性质的供给线---这本身就是一个比较直观的东西，哪来的风，何来的影？至于您说的根据，您到底想要什么根据？理性和事实还不够吗？

就这么说吧：XXX满足OOO的条件就会有YYY的结果，但有时候这个OOO的条件其实是先验给定的，所以去解释OOO经济意义就没意思，但我们可以解释YYY的经济含义

那三个条件只不过是为了保证利润有极质的先验条件（有时候是哲学上给定的，哲学上说利润必然有个极质，所以才出现这个条件），没有经济意义。这个规划的均衡解的性质就能表现出经济意义来，从均衡解得性质去解毒经济意义才是正途

[此贴子已经被作者于2007-10-11 21:59:22编辑过]