理性偏好与效用函数

11780

收藏 2007-10-26

理性偏好与效用函数学习高微有一个总结如下：+备选方案集合X有限&THORN;存在代表偏好的效用函数偏好是理性的：（1）&Uuml;存在代表偏好的效用函数&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; （2）+备选方案集合X有限&THORN;存在代表偏好的效用函数&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; （3）+偏好的连续性 &THORN;存在代表偏好的连续效用函数不知大家觉得这样理解对不？有一个问题是对于（3），是否是充要条件，即：如果存在代表偏好的连续效用函数，此偏好是否一定是理性且连续的？此外，马斯-科奈尔关于（3）的证明推广到X内有两元素相同的情形下，在下没有看懂，不知哪位高手可以指教下啊？不胜感激！

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

全部回复

miranda9452

2007-10-26 21:46:00

这样理解是对的,我们老师说的

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

sungmoo

2007-10-27 00:04:00

以下是引用lihaim在2007-10-26 21:31:00的发言：（3）+偏好的连续性 Þ存在代表偏好的连续效用函数

设X是有可数开集基的拓扑空间（消费集），“≧”是定义在X上的连续的理性偏好，则存在表达该偏好的连续的效用函数u:X→[-∞,+∞]。

当X是可分连通的拓扑空间时，存在性亦成立。

上面即RED定理。

（偏好的“连续性”的定义是通过拓扑空间的“闭集”来定义的）

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

jerryliu

2007-10-27 00:08:00

以下是引用lihaim在2007-10-26 21:31:00的发言：

不知大家觉得这样理解对不？有一个问题是对于（3），是否是充要条件，即：如果存在代表偏好的连续效用函数，此偏好是否一定是理性且连续的？

偏好连续，它对应的效用函数不一定非要连续，这完全取决于你的构造（当然一个满足理性、连续性的偏好一定存在着一个连续的效用函数与之对应）

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

sungmoo

2007-10-27 14:30:00

以下是引用lihaim在2007-10-26 21:31:00的发言：如果存在代表偏好的连续效用函数，此偏好是否一定是理性且连续的？

将该问题改写一下。

设X是有可数开集基的拓扑空间，函数u:X→[-∞,+∞]。

1）根据u是否可以在X上定义一个理性的偏好？

2）若可以，则若u是连续的，该偏好是否是连续的？

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

sungmoo

2007-10-27 14:59:00

在X上定义“≧”（“前者不会比后者更差”）：即对于任意x,y∈X，当且仅当u(x)≥u(y)，x≧y成立。显然“≧”满足完备性与传递性。

u是连续的，指的是，对于任意t∈[-∞,+∞]，集合u^-1([t,+∞])与集合u^-1([-∞,t])都是X的闭集（即[t,+∞]与[-∞,t]这两个闭集的原象都是X的闭集）。

对于任意y∈X，设u(y)=s，显然有{x∈X|x≧y}={x∈X|u(x)≥s}=u^-1([s,+∞])且{x∈X|y≧x}={x∈X|s≥u(x)}=u^-1([-∞,s])。

由u的连续性，知{x∈X|x≧y}与{x∈X|y≧x}都是X的闭集。故“≧”是连续的。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

demander

2008-12-11 16:51:00

楼上说“u是连续的，指的是，对于任意t∈[-∞,+∞]，集合u-1([t,+∞])与集合u-1([-∞,t])都是X的闭集（即[t,+∞]与[-∞,t]这两个闭集的原象都是X的闭集）。”

请问你这个定理是哪里的，我只在书上看到过“连续性与其逆象”定理：里面讲的都是开集（球）的逆象是开的<——>函数连续

。

[此贴子已经被作者于2008-12-11 16:53:19编辑过]

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

demander

2008-12-11 17:17:00

还有这个逻辑还是看不懂啊，为什么是由u的连续性来推“偏好”的连续性？

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

sungmoo

2008-12-11 18:13:00

以下是引用demander在2008-12-11 17:17:00的发言：为什么是由u的连续性来推“偏好”的连续性？

楼主的一个问题是“如果存在代表偏好的连续效用函数，此偏好是否一定是理性且连续的”。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

sungmoo

2008-12-11 18:18:00

demander 发表于 2008-12-11 16:51 楼上说“u是连续的，指的是，对于任意t∈[-∞,+∞]，集合u-1([t,+∞])与集合u-1([-∞,t])都是X的闭集（即[t,+∞]与[-∞,t]这两个闭集的原象都是X的闭集）。” 请问你这个定理是哪里的，我只在书上看到过“连续性与其逆象”定理：里面讲的都是开集（球）的逆象是开的<——>函数连续。

这里开集或闭集的规定，要看事先规定的拓扑。

另外，关于开集的命题与关于闭集的命题具有“对偶性”（每一个关于开集的命题都可以转换为一个关于闭集的命题）。

上面所说的u:Ω→[-∞,+∞]的连续性，已经默认了[-∞,+∞]上的拓扑。比如，常见的度量拓扑。

*********************
偏好连续性与效用函数存在性。

设Ω是消费集，τ是Ω上的一个拓扑，且τ具有可数基β，即τ中任意元素都可以表示为β的某个子集的并集，且β中各元素可用自然数标识。
设≿是Ω上的一个偏好（由此可以进一步定义≻）。∀x∈Ω：定义W(x)={a∈Ω|x≻a}，B(x)={a∈Ω|a≻x}。若≿是连续的，则∀x∈Ω：W(x)∈τ且B(x)∈τ。
∀x∈Ω：定义γ(x)={A∈β|A⊆W(x)}，则必有∪γ(x)=W(x)。设γ(x)中各元素的标识集（自然数集的一个子集）是M(x)，定义u(x)=∑i∈M(x)0.5^i，且若M(x)=∅，u(x)=0。
∀x,y∈Ω：y≿x⇒W(x)⊆W(y)⇒γ(x)⊆γ(y)⇒M(x)⊆M(y)⇒u(y)≥u(x)，而x≻y⇒M(y)⊂M(x)⇒u(x)>u(y)。
从而u:Ω→R是表达≿的一个效用函数。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

demander

2008-12-11 19:19:00

看事先规定的拓扑？就我有限的拓扑学还是不能理解书上还举了个实值函数的例子如f(x)=2,这个值域是闭的但是逆向却是开的

不知道楼上的大虾能不能帮我解答一下问题谢谢

表明如果二元关系≧是成立的,那么定理1.1（就是效用函数存在定理）证明中定义的A与B集都是实数集R上的闭子集。

具体条件列在下面：

A恒等于{t>=0 | t*e≧ x}；

B恒等于{t>=0 | t*e≧x}；

其中：

e={1，……，1} e属于n维非负空间；

ｔ属于１维非负空间；

ｘ是任取的一个消费束，属于n维非负空间；

偏好关系≧满足完备、传递、连续、严格单调；

怎么证明偏好关系≧的连续性蕴含着非负实数集上的Ａ和Ｂ是闭的？？

本文来自: 人大经济论坛(http://www.pinggu.org) 详细出处参考：http://pinggu.org/bbs/b47i394909p1.html

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

vesperw

2008-12-13 03:09:00

2）若可以，则若u是连续的，该偏好是否是连续的？

Yes, because for any sequences {x_n}, {y_n}, x_n-->, y_n-->y,

suppose x_n>~ y_n for all n,

utility representation implies u(x_n)>=u(y_n) for all n

continuity of u(.) implies order is preserved in the limit, i.e., u(x)>=u(y)

by utility representation agains, x>~y

Hence >~ is continuous

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

vesperw

2008-12-13 03:19:00

以下是引用demander在2008-12-11 19:19:00的发言：

看事先规定的拓扑？就我有限的拓扑学还是不能理解书上还举了个实值函数的例子如f(x)=2,这个值域是闭的但是逆向却是开的

不知道楼上的大虾能不能帮我解答一下问题谢谢

表明如果二元关系≧是成立的,那么定理1.1（就是效用函数存在定理）证明中定义的A与B集都是实数集R上的闭子集。

具体条件列在下面：

A恒等于{t>=0 | t*e≧ x}；

B恒等于{t>=0 | t*e≧x}；

其中：

e={1，……，1} e属于n维非负空间；

ｔ属于１维非负空间；

ｘ是任取的一个消费束，属于n维非负空间；

偏好关系≧满足完备、传递、连续、严格单调；

怎么证明偏好关系≧的连续性蕴含着非负实数集上的Ａ和Ｂ是闭的？？

本文来自: 人大经济论坛(http://www.pinggu.org) 详细出处参考：http://pinggu.org/bbs/b47i394909p1.html

I think you can ignore the topology first because MWG and Reny only restrict attention to consumption set X_i as a subset of R^n

for your example, f(x)=2, if f: R->R, then the value of f is just {2}, which is a closed subset of R.

the inverse image of {2} is R, or more formally f^-1({2})= (-00,00), which is both open and closed

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

sungmoo

2008-12-13 09:30:00

以下是引用demander在2008-12-11 16:51:00的发言：我只在书上看到过“连续性与其逆象”定理：里面讲的都是开集（球）的逆象是开的<——>函数连续

闭集是开集的补集。每一个关于开集的定理都可以等价地表述为关于闭集的定理。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

sungmoo

2008-12-13 09:36:00

以下是引用demander在2008-12-11 19:19:00的发言：书上还举了个实值函数的例子如f(x)=2,这个值域是闭的但是逆像却是开的

关于非空集X的任意拓扑中，X与空集都既开又闭。

（关于非空集X的离散拓扑中，X的任一子集都既开又闭）

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

laura360102

2010-4-8 14:03:57

里开集或闭集的规定，要看事先规定的拓扑。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

分享

扫码加好友，拉您进群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群