第一章 RV的数字特征

第一节    期望

一、概念

例：某班考试成绩：

分数	x1	x2	x3	……	xi	……
人数	m1	m2	m3	……	mi	……
P	m1/n	m2/n	m3/n	……	mi/n	……

平均分=x1m1+x2m2+……ximi……=x1m1/n+x2m2/n+……ximi/n……

=x1p1+x2p2+……xipi+……

定义1：设离散型RV X~ P(X=xi)=Pi, i=1,2……，若 绝对收敛，则称它是X的数学期望。记为E(X)=

定义2：设连续型RV X~ f(x),若 绝对收敛，则称它为X的期望，即E(X)= 。

注意：

一个RV X其E(X)是一个数值。

两个定义实际上是一致的，离散化： ，对于区间（xi,xi+1）,有 ，落在区间（xi,xi+1）上的概率。

力学解释: ,其中 =1

E(X)表示RV X取值的集中位置。

并非每个RV X其E(X)都存在，若X服从柯西分布， ，E（x）不存在，因为

二、举例

例1  

X	-1	0	1	2
P	1/8	1/4	1/8	1/2

求E(X)

E(X)=-1*1/8+0*1/4+1*1/8+2*1/2=1

例2  RV X~ B(1， P) (0-1分布)

EX=0*q+1*p=p

例3 RV  X~ B(n,p),求EX

利用二项式定理  =

例4： ,求E(X)

，k=0,1,2……

部分和 ，有S=1/(1-r) if |r|<1; 发散 if |r|>1

例5：RV X~  N(μ,σ2),X~ f(x)= ,E(x)=

期望是理想的平均值，算数平均值是计算的平均值。

例6： RV X~ f(x)= x if 0<x<1; 2-x if 1≤x<2; 0 其他。求E(X)

解：E(X)=

三、RV函数的期望

（一）  已知RV X的分布律，求Y= （X）的期望，Y= （X）是连续函数

1.  若X~ F(x=xi)=Pi, Y= （X）的取值：E(Y)=

X	x1	x2	……	Xn
P	P1	P2	……	Pn
Y	（X1）	（X2）	……	（Xn）

求Y=X^2的期望值：E(Y)=

X	-1	1	0	1	2	3
P	1/8	1/4	1/8	1/8	1/8	1/4

E(Y)=-1*1/8+1*1/4+0*1/8+1*1/8+2*1/8+3*1/4

2.  若X~ f(X), （X）,

例： X~ f(X)=2x if 0<x≤1；0 其他。求Y=X^2+1的期望

（二）  已知（X,Y）的分布律，z=g(x,y)是二元连续函数，求z=g(x,y)的期望E(Z)

1.  若（X,Y）~ P(X=xi,Y=yi)=Pij, i,j=1,2……，E(Z)= 绝对收敛。

2.  若(X,Y)~ f(X,Y),

例： （X,Y）~ f(x,y)= x+y if 0≤x≤1 0≤y≤1, 0 其他。则E(2XY)=

四、期望性质

（一）c为常数，E(c)=c, E(cx)=CE(x)

(二) 任意RV X, Y，E(X±Y)=E(X)±E(Y)，可以推广到n个RV 的情况。

若（X,Y）~f(x,y), 求E(X±Y)。

解：E(X±Y)=

(三)若X,Y是两个相互独立的RV, E(X,Y)=E(X)E(Y),可以推广到n个RV积的期望。

若X,Y~ f（x,y）,Z=XY, X~ Fx(x) Y~Fy(y),E(X,Y)=

例：RV X~ П(3) , RV Y~ N(2,4), 求E(2X+3Y), 若X，Y独立，求E(XY+3X)

E(2X+3Y)=2*E(X)+3*E(Y)=2*3+3*2=12,X,Y独立，E(XY+3X)=E(X)E(Y)+3E(X)=6+9=15

已知RV X~ B(n, P),求E(X)

设Xi=1 or 0,

Xi    0      1

P     q      p

X= ,

E（Xi）=p, x1,……xn独立。

E(X)=E = = =np

可以将X分解为几个随机变量的和，但并非都可以。例如：n把钥匙，X表示开锁次数，不可设为Xi=1 if 第i次打开， 0第i次未打开。但是可以设为Xi=i 第i次能打开，0 其他都打不开。

第二节 方差

一、定义

若E(X-E(X))2存在，称为RV X的方差。记为D(X)或σ2。D(X)^0.5或λ称为RV的标准差（根方差）。用定义计算：若X~ P(X=xi)=pi, i=1,2,……，D（X）=E(xi-E(X))^0.5= ,若y=f(x),D(X)=

例：若X~N(μ,σ2),求D(X)

E(X)=μ, D(X)=

E(X)=p

D(X)=(0-p)^2*q+(1-p)^2*p=pq(p+q)=pq  (p+q=1)

二、方差性质

1. C为常数，D(C)=0; 2. D(CZ)=C2Z;

3. 若X,Y独立，则D(X±Y)=DX+DY.

D(X±Y)=E[(X±Y)-E(X±Y)]2=E[(X-E(X)±(Y-E(Y))]2=E[(X-E(X))2+ E[(Y-E(Y))2±2E[X-E(X)]E(Y-E(Y))

若X,Y独立， =D(X)+D(Y)

若不独立，=2[E(XY-XE(Y)-YE(X)+E(X)E(Y)]=2[E(XY)-2E(X)E(Y)+E(X)E(Y)]

Cov(X,Y)=E(X-E(X))E(Y-E(Y))

一般情况下：D(X±Y)=D(X)+D)Y)±2cov(X,Y)

4. D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2

D(X)=E(X-E(X))^2=E(X^2-2XE(X)+E2(X))=E(X^2)-[E(X)]^2

重要性：用于求D(X)的计算；建立D(X), E(X^2) [E(X)]^2的关系：

E(X^2)=D(X)+[E(X)]^2

例： X~ f(x)=1+x if -1≤x≤0； 1-x if 0<x≤1.

E(X)=

E(X^2)=

D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=1/6

例：X~П(λ),求D(X)

E(X)=λ

X~P(X=k)= , E(X^2)=E[X(X-1)+X]=E(X(X-1))+E(X)

E(X^2)=

所以D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=λ

例：X~ B(n,P)，求D(X)

设    xi    0     1

      Pi    p     q     i=1,2……,n

X= ,D(X)=

例：X~ U(a,b), E(X)= , E(X^2)=

D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=(b-a)^2/12

5. D(X)=0 ó P(X=C)=1; P(X≠C)=0，X几乎必然是常数。

第三节 协方差和相关系数

（X,Y）~ F(X,Y) [f(x,y)是密度函数]

各个分量X,Y的期望和方差。E(X)= ，E(Y)= ，点(E(X)，E(Y))是二维平面点的取值中心。

E(X2)=

E(Y2)=

D(Y)=E(Y2)-E(Y)2

协方差是反映两个变量X,Y之间相关关系的量。

一、定义：若E[(X-EX)(Y-EY)]存在，称它为RV X,Y的协方差，记做cov(X,Y)。称   为X与Y的相关系数或标准协方差， ρ是一个无量纲的量。

二、协方差的性质

1. 设X,Y是两个任意的RV, cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y), 由定义，cov(X,Y)=E(XY-XE(Y)-YE(X)+E(X)E(Y))=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)

D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2cov(X,Y)

Cov(X,Y)=cov(Y,X)

Cov(aX,By)=abcov(X,Y)

Cov(X1+X2,Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y)

证明：由定义，左边=E{[((X1+X2)-E(X1+X2))*(Y-E(Y))=E[((X1-E(X1))+(X2-E(X2))]*(Y-E(Y))}=cov(X1,Y)+cov(X2,Y)